Гравитационное взаимодействие в пространстве-времени с дополнительными измерениями в присутствии бран тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ им. Д.В. СКОБЕЛЬЦЫНА

На правах рукописи

Смоляков Михаил Николаевич

ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ИЗМЕРЕНИЯМИ В ПРИСУТСТВИИ ВРАН

01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте ядерной физики им Д В Скобельцына Московского государственного университета им М В Ломоносова

Научный руководитель

Волобуев Игорь Павлович

доктор физико-математических наук ОТФВЭ НИИЯФ МГУ

Официальные оппоненты

Грац Юрий Владимирович

доктор физико математических наук

профессор Физический Факультет МГУ

Либанов Максим Валентинович

кандидат физико математических наук ОТФ ИЯИ РАН

Ведущая организация

Лаборатория норе гической фишки им Н Н Богоиобова Объединенного иниигута ядерных исследований i Дубна

нии Диссертационного совета К—501 001 03 в Московском юсударственном университет им MB Ломоносова по адресу 119992 г. Москва Ленинские Горы, НИИЯФ МГУ корп 19 ауд 2-15

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Научно-исследовательскою института я черной физики им ДВ Скобельцына МГУ им MB Ломоносова

Защита состоится

и

14 »апрРЛЗ.

2005 г в

15: Сй

на заседа-

Автореферат разослан 2005

и

г

Ученый секретарь

диссертационно1 о совета К 501 001 03 кандидат физико-маюматических н

Общая характеристика и актуальность работы

Модели с дополнительными измерениями пространства-времени широко обсуждаются в теоретической физике Идея дополнительных измерений ведет свое начало от работ Теодора Калуцы и Оскара Клейна 20-х годов прошлого века В этих работах была еде тана попытка объединить гравитацию и электромагнетизм в рамках единой пятимерной теории гравитации Несмотря на то, что попытка оказалась неудачной, эти идеи получили дальнейшее развитие и в настоящее время привели к представлению о "мире на бране" В последние годы появились указания на то, что модели такого типа могу г возникать в теориях струн В этом случае наши три пространственные измерения реализованы как трехмерная гиперповерхность мембрана, вложенная в многомерное пространство время что, конечно отличается oг предположений Калуцы и Клейна Обычно такие гиперповерхности называют 3-браны, или просто браны Модели этого типа позволяют, в частности, решить проблему иерархии - объяснить слабость гравитационного взаимодействия в сравнении с другими типами взаимодействия наличием дополнительных измерений Оказалось чго эгу проблему можно решить или с помощью дополнительных измерении достаточно большого размера, или с помощью экспоненциального фактора в выражении для метрики В обоих случаях гравитация в многомерном простражтве времени становится "сильной" не при Планковских энергиях порядка 1019 ГэВ, а при намного меньших энергиях возможно порядка 1 -г 10 ТэВ Поэтому новые эффекты, предсказываемые такими моделями, представляют большой интерес, так как, в принципе, могут быть обнаружены уже в ближайшее время в экспериментах на коллайдерах или с помощью астр'ономических наблюдений

Дополнительные измерения могут быть не только конечного но и бесконечного размера Например, существует модель с бесконечным дополнительным измерением, в которой гравитация на бране становится эффективно пятимерной на космологических расстояниях, что позволяет по-новому посмотреть на проблему ускоренного расширения Вселенной При этом предполагается, что пятимерная гравитация является очень сильной - уже при энергиях М}?/ ~ 10-3эВ, а проблема иерархий решается за счет ин-

дуцирования соответствующего члена на бране. Хотя было показано, что предложенная модель противоречит экспериментальным данным, предпринимаются попытки создать непротиворечивые сценарии, позволяющие получить модификацию закона Ньютона на сверхбольших расстояниях.

Количество работ, посвященных современным многомерным теориям, огромно. С помощью многомерных сценариев пытаются разрешить многие вопросы, кажущиеся неразрешимыми в четырехмерной теории не только проблему слабой гравитационной постоянной, но и, например, проблему малой космологической константы. Обычно в многомерных моделях на начальном этапе изучается гравитационное взаимодействие в линейном приближении. Однако следует отметить, что часто для этого используются не совсем корректные методы. К примеру, при изучении линеаризованной гравитации часто пользуются так называемым "формализмом изогнутой бра-ны", который разрушает структуру моделей, также в пятимерных моделях при решении соответствующих уравнений движения часто не рассматривается скалярная мода, представляющая собой флуктуации компоненты метрики, соответствующей дополнительному измерению, или же используется калибровка, наложение которой может быть не обосновано Несмотря на кажущуюся безобидность таких упрощений и тот факт, что эти упрощения не всегда приводят к неправильным результатам, в достаточно сложных случаях они, в принципе, могут приводить к ошибкам. Таким образом, методы корректного изучения линеаризованной гравитации достаточно важны, в том числе для изучения более сложных моделей (например, стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума).

Основной целью диссертации является детальное изучение гравитационного взаимодействия в линейном приближении в моделях, имеющих фоновое решение Рэндалл-Сундрума. Особое внимание уделяется выделению физических степеней свободы моделей, для чего выбираются удобные глобальные калибровки, в них решаются уравнения движения для компонент флуктуации метрики в случаях наличия и отсутствия материи на бранах, строятся эффективные лагранжианы теорий и вычисляются эффективные константы моделей, важные с экспериментальной точки зрения.

Научная новизна и практическая ценность

Предложенный в работе подход позволил впервые детально проанализировать ряд явлений, возникающих в модели Рэндалл-Сундрума и в моделях с таким же фоновым решением Его особенность состоит в том, что уравнения движения решаются во всем пространстве, а не в отдельной области Этот подход может быть использован для изучения других моделей с дополнительными измерениями пространства-времени, например, стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума или моделей с большим числом дополнительных измерений

Научная достоверность результатов работы определяется использованием корректных теоретических методов, строгостью применяемого математическою аппарата и внутренней согласованностью результатов

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1 Получен лагранжиан второй вариации для флуктуации метрики в модели Рэндалл-Сундрума с двумя бранами и соответствующие уравнения движения Выделены физические степени свободы модели, для чего была выбрана удобная глобальная калибровка справедливая во всем пятимерном пространстве С помощью этой калибровки расцеплены и решены уравнения движения Выбранные калибровочные условия позволяют не использовать гауссовы нормальные координаты

2 Найдены константы связи физических полей с материей на бранах изучены случаи различного расположения материи и наблюдателя на бранах Получены соответствующие формулы для Ньютоновского пре дела в модели, а в приближении пулевых мод рассчитаны величины углов отклонения света точечным HCIочником

3 В модели Рэндалл-Сундрума с одной браной в удобной калибровке расцеплены и точно решены уравнения движения для линеаризованной гравитации Рассмотрен вопрос о физических степенях свободы модели и показано, что, в отличие от общепринятою мнения, поле ра-диона не может быть полностью исключено из модели и играет важную роль при наличии материи на бране

4 Рассмотрена модель Рэндалл-Сундрума с членами кривизны, локализованными на бранах Показано, что при определенных значениях параметров в модели появляется симметрия, позволяющая в линейном приближении исключить поле радиона из теории Посчитаны поправки к закону Ньютона, обусловленные наличием дополнительного измерения которые не выходят за рамки существующих экспериментальных ограничений

Все перечисленные выше результаты были получены либо при непосредственном участии автра, либо самим автором

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались на семинарах Отдела теоретической физики высоких энергий НИИЯФ МГУ и Отдела теоретической физики ИЯИ РАН, XVI Международной конференции по квантовой теории поля и физике высоких энергий QFTHEP'2001 Москва, 2001, III Всероссийской конференции "Университеты России - фундаментальные исследования Физика элементарных частиц и атомного ядра", Москва, 2002, Семинаре "Классические и кванювые интегрируемые системы" Протвино, 2003, XVII Международной конференции по квантовой теории поля и физике высоких энергий QFTHEP'2003, Самара-Саратов, 2003, XVIII Международной конференции по квантовой теории поля и физике высоких энергий QFTHEP'2004, Сднкг-Пегербур! 2004

Содержание диссертации

Диссертация состоит из введения четырех глав заключения двух приложений и списка цитированной литературы Объем диссертации составляет 102 страницы Список литературы содержит 95 ссылок

Введение содержит краткое описание изучаемой темы, целей работы и общей структуры диссертации

Первая глава диссертации посвящена описанию теории Калуцы-Клейна и некоторых современных моделей многомерной гравитации ADD-сценария. модели Рэндалл-Сундр) ма с одной и двумя бранами, механизма стабилизации размера дополнительного измерения, а также моделям

с индуцированными на бранах дополнительными членами кривизны. Обсуждаются свойства и особенности этих моделей, а также представлен обзор литературы по соответствующим темам.

Во второй главе обсуждается линеаризованная гравитация в модели Рэндалл-Сундрума с двумя бранами (RSI-модель). Получен лагранжиан второй вариации модели, в явном виде выписаны калибровочные преобразования для флуктуации метрики. Показано, что с помощью этих калибровочных преобразований можно во всем пространстве наложить удобную калибровку на компоненты флуктуации метрики, в которой браны остаются в фиксированных точках орбифолда. Это означает, что "формализм изогнутой браны", разрушающий структуру модели, не используется. Анализируя свободную теорию (когда материя на бранах отсутствует), можно показать, что с помощью подстановки специального вида можно диаго-нализовать лагранжиан второй вариации модели и выделить физические степени свободы. Эффективный четырехмерный лагранжиан свободной теории примет вид

(1)

где - безмассовый гравитон. ф - канонически нормированное поле ради-

Р"

она (соответствующее колебаниям бран относительно друг друга), а при п > О - массивные тензорные моды. Видно, что в модели появляются поля, отсутствующие в обычной четырехмерной теории гравитации. В случае наличия материи на бранах наиболее интересной оказывается ситуация, когда материя находится на бране с отрицательным натяжением. В этом случае можно получить слабую четырехмерную гравитацию при

сильной пятимерной. Сложность рассмотрения этого случая заключается в том, что координаты {х1'} являются галилеевыми на бране с положительным натяжением, а не на бране с отрицательным натяжением. После перехода к галилеевым координатам на бране с отрицательным натяжением получим, что лагранжиан взаимодействия с материей на бране имеет

вид

1 /», (¿Я""*"' -£ £'»'""И - Ш^) * (2)

В этом выражении {г11} галилеевы координаты на бране с отрицательным натяжением ¿^(г) тензор -шергии импульса материи на бране

Ак = Мр1е~кн — ^(Мр/У/к Я размер дополнительного измерения а параметр шп оказывается порядка единицы для малых п Выбирая фундаментальную массу Мр"1 ~ к ~ 1 ТэВ, мы получаем правильное значение четырехмерной массы Планка если аргумент экспоненты \довлетворяет условию к Л ~ 30 -г 35 Масс ы Калуца Клейновских мод Мп ~ к ~ 1 ТэВ для малых п Очевидно что прису1ствие безмассового радиола < такой константой связи приводит к предсказаниям которые оказываются в противоречии с имеющимися экспериментальными данными Д тя реше(!ия этой проблемы был предложен ряд механизмов генерации массы радиона

Оказалось чю линеаризованные уравнения движения в случае наличия материи на брапах можно решить ючно В ном случае появляется возможность изучить некоторые эффекты возникающие в теории например отличие закона Ньютона, и >I па отклонения (вета точечным матери альным источником от предсказаний обы той чет ¡.трехмерной теории Так как удалось решить уравнения движения во поем пространстве мы можем проанализирован, влияние так называемой "теневой" материи когда материя и наблюдатель находятся на разных бранах Уравнения движения для ду-компоненгы флуктуаций метрики определенной соотношением 9цV = Т^+^/л/, 1Де 7р1/ есть фоновое решение Р->ндачч Сундрума в приближении нулевых мод оказываются эквивалентными соответствующим урав нениям движения в линеаризованной теории Бранса Дикке Это позволя ст воспользоваться уже известными результатами полученными в рамках этой теории (например выражением лля ^г та отклонения света точечной массой) Уравнения для ци компоненты флуктуаций метрики на соответ ствующей бране а также выражения для гравитационного потенциала и утла отклонения света точечной массой имеют вид

1 Материя и наблюдатель находятся на бране с положительным натя

жением

□ (V -1%, л) = -16*6, - ~ - ^ ) г) (3)

( е'2кв\ М 4Мв] ( 1 \

—(гтг?) (5)

2 Материя расположена на бране г отрицательным натяжением наблюдатель набране с положительным натяжением (случай "теневой" ма терии)

а и„ - =. (¡,„ -' и„ - ) I

1 N 1

= (8) 3 Материя и наблюда!ель находятся па бране с отрицательным натяже-

нием

ЛкИ

(9)

/ е2*П\ М

к = + (10)

4Мвг ( 1 \

4 Материя расположена на бране с положительным натяжением наблюдатель на бране г отрицательным натяжением (опять случай "теневой" материи)

□ (V - ¿V*«) = -^С2еы (V - \ ¡V - *) . (12)

(14)

Здесь = ¿г/г1_е12|.й; — 6кеЧ1_1 гравитационные постоянные на бранах, определяемые константой взаимодействия безмассового тензорного гравитона с материей, С! - пятимерная гравитационная постоянная, го -прицельный параметр Все формулы записаны в галилеевых координатах на бране, на которой находи 1ся наблюдатель а значение массы источника М определяется каноническим видом его тензора энер1ии-импульса в галилеевых координатах на бране, на которой находится материя Также в формулах явно выделен вклад поля радиона (второй член в формулах для ньютоновского потенциала и в юрой член в знаменателе в формулах для угла отклонения света соответствуют вкладу радиона)

В третьей главе изучается линеаризованная гравитация в модели Рэндалл-Сундрума с одной браной (ПЭ2-модель) Эта модель может быть получена из К51-модели, если брану с отрица1ельным натяжением "отодвинуть" на бесконечность Общепринятым является мнение, чю иоле радиона отсутствует в этой модели Однако тщательный анализ калибровочных преобразований и уравнений движения для компонент флуктуации метрики показывает, что в случае наличия материи на бране поле радиона не может быть полностью выкалибровано Более тою в случае отсутствия поля радиона уравнения движения оказываются песамоеогласованньши Можно показать, что гравитация на бране в случае наличия на ней материи описывается следующими выражениями

(15)

где

и р2 = —р2 + р2 > 0 (что включает в себя статический случай ро = 0) В этих формулах явно выделен вклад поля радиона Именно это поле обеспечивает правильную тензорную структуру безмассового четырехмерного гравитона

В четвертой главе изучается модель с компактным дополнительным измерением и дополнительными членами кривизны, локализованными на бранах Действие модели имеет вид

где имеют вид

(18)

кто.

&1п<1 - безразмерный параметр, индуцированная метрика на бранах,

размер дополнительного измерения и пятимерная гравитационная постоянная Параметр к положителен и имеет размерность массы Дополнительный член кривизны 8Л< может быть индуцирован материей на бране блаюдаря пе!лсвым поправкам и возникать в нижоэнер-гегическом приближении Хотелось бы отметить, чю в рассматриваемом случае материя (и, соответственно, член типа на бране с отрицательным натяжением отсутствует (это гарантирует отсутствие тахионов и духов в эффективной теории) Очевидно, что фоновое решение в модели имеет ют же вид, что и в RSI-модели, так что вполне разумно воспользоваться некоторыми результатами полученными для нее - например, калибровочными условиями, способом решения уравнений движения

Оказывается, что линеаризованные уравнения движения обладают дополнительной симметрией относительно преобразований некоторого вида, с помощью которых можно исключить поле радиона из линеаризованной теории. Это свойство является очень полезным, так как многие модели с индуцированной гравитацией оказываются феноменологически неприемлемыми именно из-за влияния поля радиона.

Уравнение движения для линеаризованной гравитации на бране в приближении нулевых мод имеет вид:

Из этого следует, что четырехмерная масса Планка выражается через параметры модели следующим образом:

Интересным является тот факт, что в случае отсутствия члена Sind в действии модели в теории отсутствует нулевая мода, соответствующая четырехмерному безмассовому гравитону на бране.

Анализ массивных Калуца-Клейновских возбуждений (с массами низших мод порядка обратного размера дополнительного измерения при kL ~ 1) показывает, что их наличие не приводит к противоречию с современными экспериментальными данными в широком диапазоне физически приемлемых значений параметров модели. Например, при О¿П(; >> 1 модель допускает существование дополнительного измерения субмиллиметрового масштаба.

В приложения вынесены вопросы вычислительного характера.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации:

• Получен лагранжиан второй вариации в модели Рэндалл-Сундрума с двумя бранами, изучена его калибровочная инвариантность, показано, что можно наложить глобальную калибровку на флуктуации метрики. Также получены соответствующие уравнения движения.

(20)

• Явно выделены физические степени свободы модели для чего исследованы уравнения движения, найдена подстановка, позволяющая расцепи & эти уравнения и диагонализовать лагранжиан второй вариации Рассмотрено взаимодействие этих степеней свободы с материей на бра-нах и обсуждаются физические следствия В частности, показано, что при последовательной физической интерпретации модели наблюдателем на бране с отрицательным на[яжением размер дополнительного измерения может быть порядка

• Получены выражения для Ньютоновского потенциала для материи на обеих бранах, а также для случая "теневой материи" когда наблюдатель и материя находятся на разных бранах Для эгош точно решены уравнения движения для линеаризованной гравитации в случае наличия материи на бранах Кроме тою, в приближении нулевых мод получены выражения для отклонения света статическим точечным источником и обсуждаются ограничения на параметры модели

• Изучены уравнения для линеаризованной гравитации в модели Рэндалл-Сундрума с одной браной, выбрана удобная калибровка возможность наложения которой была проверена Решены уравнения движения и явно выделены степени свободы в модели Показано, что вопреки общепринятому мнению при наличии материи на бране поле радиона не может быть исключено из теории, и именно оно позволяет непротиворечиво решить уравнения движения

• Рассмотрена модель с членами кривизны, локализованными на бра-нах, и при этом имеющая фоновое решение Рэндалл-Сундрума Получены соответствующие уравнения движения и показано что при определенных значениях параметров в модели в линейном приближении возникает дополнительная симметрия, позволяющая исключить поле радиона

• Показано, что в случае наличия материи на бране существует область значений параметров, при которых модель допускает существование больших дополнительных измерений При этом эффекты, обусловлен-

ные взаимодействием массивных Калуца Клейновских мод с материей, не приводят к противоречию с имеющимися экспериментальными данными

Публикации

1 ЭЭ Боос, И П Волобуев, Ю А Кубышин, М Н Смоляков Эффективные ла! раижианы модели Рэндалл-Сундрума — Теоретич и Ма-тематич Физика, 2002, т 131(2), с 216 230

2 Е Е Boos, Y A Kubyshin, M N Smolyakov, I P Volobuev Effective Lagrangianb for physical degrees of freedom in the Randall-Sundrum model Class Quant Grav, 2002 v 19 p 4591-4605

3ИП Волобуев, М Н Смоляков Точные решения для линеаризованной гравитации в модели Рэндалл Сундрума — Теоретич и Математич Физика, 2004, т 139(1), с 12-28

4 И П Волобуев М Н Смо гяков Гравитация и модели Рэндала-Сундрума Теоретическая Физика 2003 т 4 с 29-52

5 М N Smolyakov, I P Volobuev Is there the radion in the RS2 model? — Central Eur J Phys 2004, v 2(1), p 25 34

6 M N Smolvakov Brane-mduced gravity in warped backgrounds and the absence of the radion - Nucl Phys В 2004 v 695 p 301 312

ООП МГУ Заказ 4- 100-05

04. ty

S17

Введение

1 Модели с дополнительными измерениями пространства-времени

1.1 Теория Калуцы-Клейна.

1.2 ADD-сценарий

1.3 Модель Рэндалл-Сундрума с двумя браиами (RSI-модель)

1.4 Механизмы стабилизации радиона.

1.5 Модель Рэндалл-Сундрума с одной браной (И,82-модель)

1.6 Модели с членами кривизны, локализованными на бранах

2 Линеаризованная гравитация в RSI-модели

2.1 Лагранжиан второй вариации для модели Рэндалл-Сундрума.

2.2 Уравнения движения для линеаризованной гравитации и калибровочные условия.

2.3 Взаимодействие с материей на бранах.

2.4 Ньютоновский предел.

2.5 Приближение нулевых мод.

2.6 Выводы по Главе 2.

3 Линеаризованная гравитация в Ы82-модели

3.1 Уравнения движения для линеаризованной гравитации и калибровочные условия.

3.2 Решение уравнений движения.

3.3 Выводы по Главе 3.

4 Индуцированная гравитация в RSl-модели

4.1 Действие модели.

4.2 Линеаризованная гравитация.

4.3 Материя на бране

4.4 Массивные моды.

4.5 Выводы по Главе 4.

В настоящее время гравитация описывается с помощью общей теории относительности Эйнштейна, и современные экспериментальные данные полностью согласуются с предсказаниями этой теории. Однако несмотря на красоту и полноту эйнштейновской теории, на протяжении всего XX века предпринимались попытки создать альтернативные теории, описывающие гравитационное взаимодействие. Исторически наиболее известными являются теории Ни [1], Картана [2], Нордстрема [3, 4], Хойла и Нарликара [4, 5, 6], Йордана-Бранса-Дикке (часто ее называют теорией Бранса-Дикке) [7, 8, 9, 10] и многие другие (см., например, [1, 4, 9]). Некоторые из этих теорий давно были отклонены как противоречащие экспериментальным данным (см. работы [1, 9] и ссылки в них), а некоторые при определенных значениях параметров остаются вполне жизнеспособными, как например сама теория Бранса-Дикке и современные модели такого типа. Более того, гравитационные эксперименты, которые проводятся в наше время, дают возможные ограничения на параметр Бранса-Дикке [11, 12], то есть эта теория все еще рассматривается как альтернативная.

Другой подход в теории гравитации появился в 20-х годах прошлого столетия, когда была сделана попытка объединить четырехмерную гравитацию и электромагнетизм в рамках единой пятимерной теории гравитации. Эта гипотеза ведет свое начало от оригинальных работ Калуцы и Клейна [13, 14, 15], которые предположили, что пространство-время имеет более чем три пространственных измерения, а ненаблюдаемость дополнительных измерений объяснялась их компактностью и малым размером порядка длины Планка Ipi = l/Mpi- Хотя эта попытка оказалась неудачной, идея того, что наше пространство-время имеет дополнительные измерения, оказалась очень интересной с физической точки зрения и получила дальнейшее развитие. В частности, заслуживающим внимание является тот факт, что именно исследования пятимерной теории гравитации привели к созданию теории Бранса-Дикке.

В настоящее время в теоретической физике широко обсуждаются модели с дополнительными измерениями, которые по каким-то причинам оказываются ненаблюдаемыми, но сейчас основные положения многомерных теорий сильно отличаются от первоначальных идей Калуцы и Клейна. Неким толчком к возрождению интереса к многомерным теориям стали работы Рубакова и Шапошникова. В 1983 году они предложили новый сценарий для многомерных теорий, основанный на идее локализации полей на доменной стенке [16]. Они также предложили вид многомерной метрики, совместный с этой гипотезой [17]. В последние годы появились указания на то, что модели такого типа могут возникнуть в теориях струн [18, 19, 20, 21] (см. [22] для обзоров и ссылок). В этом случае наши три пространственные измерения реализованы как трехмерная гиперповерхность - мембрана, вложенная в многомерное пространство-время. Такие гиперповерхности называются 3-браны, или просто браны. Вначале основной целыо построения таких моделей было решение проблемы иерархий, то есть попытка объяснения слабости гравитационного взаимодействия наличием дополнительных измерений. Оказалось, что ее можно решить или с помощью дополнительных измерении достаточно большого размера [23], или с помощью экспоненциального фактора в выражении для метрики [24]. В обоих случаях гравитация в многомерном пространстве-времени становится "сильной" не при энергиях порядка 1019 ГэВ, а при намного меньших энергиях, возможно порядка 1 -f-10 ТэВ. Поэтому новые эффекты, предсказываемые такими моделями, теоретически могут быть проверены уже в ближайшее время в экспериментах на коллайдерах или с помощью астрономических наблюдений (см., например, [25]).

В моделях [23, 24] дополнительные измерения имеют конечный размер. Однако это не обязательно должно быть так. Например, в работе [26] описана модель, в которой одно бесконечное дополнительное измерение и одна брана. Хотя в этом случае иерархия между четырехмерными электрослабым и гравитационным масштабами уже не может быть объясненена геометрией пятимерного пространства, модель предлагает некоторые интересные следствия. К тому же оказалось, что в этом случае нулевая с четырехмерной точки зрения мода гравитона оказывается локализованной на бране, а на достаточно больших расстояниях в пределах слабого поля гравитация на бране соответствует четырехмерной Эйнштейновской гравитации.

Вообще говоря, модели с дополнительными измерениями в принципе могут предсказывать очень интересные с экспериментальной точки зрения эффекты. Например, в работе [27] была предложена модель, в которой гравитация на бране становится эффективно пятимерной на космологических расстояниях, что позволяет по новому посмотреть на проблему ускоренного расширения Вселенной. При этом предполагается, что пятимерная гравитация является очень сильной - Mpj ~ 10~3эВ, а проблема иерархий решается за счет индуцирования соответствующего члена на бране (более подробно эта модель будет обсуждаться ниже). Хотя в дальнейшем было показано, что эта модель в том виде, в котором она была предложена в [27], явно противоречит экспериментальным данным - было показано, что в модели есть сильная связь на расстояниях порядка десятков метров, -предпринимаются попытки создать непротиворечивые модели, позволяющие получить модификацию закона Ньютона на больших расстояниях.

Кроме того, рассматриваются достаточно экзотические сценарии, например, с временными дополнительными измерениями (см. [28, 29, 30]). Также в последнее время появились модели с так называемыми "универсальными дополнительными измерениями" [31, 32, 33]. В таких моделях материя находится не только на бране, а во всем пространстве, что достаточно близко по идее к первоначальным построениям Калуцы и Клейна.

К сожалению, практически все вышеперечисленные модели не лишены недостатков. Например, в модели Рэндалл-Сундрума с двумя бранами [24] в наиболее интересном случае скалярная и безмассовая с четырехмерной точки зрения мода, соответствующая флуктуациям бран по отношению друг к другу, очень сильно взаимодействует с материей на бране, на которой предположительно находится наш мир. Для решения этой проблемы были придуманы механизмы стабилизации дополнительного измерения, которые, по предположению, делают эту скалярную моду массивной. Наиболее известным является механизм, предложенный в работе [34], однако в нем не учитывается влияние дополнительного поля на фоновую метрику. Более согласованной является модель [35].

Количество работ, посвященных современным многомерным теориям, огромно. С помощью многомерных сценариев пытаются разрешить многие вопросы, кажущиеся неразрешимыми в четырехмерной теории - это, например, проблема слабой гравитационной постоянной, малой космологической константы.

Обычно в многомерных моделях на начальном этапе изучается гравитационное взаимодействие в линейном приближении. Однако можно констатировать тот факт, что часто для этого используются далеко не самые лучшие методы. Например, при изучении линеаризованной гравитации часто пользуются так называемым "формализмом изогнутой браны", который разрушает структуру моделей, что было показано в работе [36]. Также в пятимерных моделях при решении соответствующих уравнений движения часто не рассматривается скалярная мода, являющаяся флуктуацией компоненты метрики, соответствующей дополнительному измерению, или же используется калибровка, наложение которой может быть не обосновано. Несмотря на кажущуюся безобидность таких пренебрежений и тот факт, что эти пренебрежения не всегда приводят к неправильным результатам, в достаточно сложных случаях они, в принципе, могут приводить к ошибкам. Таким образом, методы корректного изучения линеаризованной гравитации достаточно важны, в том числе для изучения более сложных моделей (например, стабилизироваиной модели Рэндалл-Сундрума).

В данной диссертации изучается гравитационное взаимодействие в линейном приближении в моделях, имеющих фоновое решение Рэндалл-Сундрума: это сама модель Рэндалл-Сундрума и модель с членами кривизны, локализованными на бранах. На защиту выносятся следующие результаты:

1. Получен лагранжиан второй вариации для флуктуаций метрики в модели Рэндалл-Сундрума с двумя бранами и соответствующие уравнения движения. Выделены физические степени свободы модели, для чего была выбрана удобная глобальная калибровка, справедливая во всем пятимерном пространстве. С помощью этой калибровки расцеплены и решены уравнения движения. Выбранные калибровочные условия позволяют не использовать гауссовы нормальные координаты.

2. Найдены константы связи физических полей с материей на бранах, изучены случаи различного расположения материи и наблюдателя на бранах. Получены соответствующие формулы для Ньютоновского предела в модели, а в приближении нулевых мод рассчитаны величины углов отклонения света точечным источником.

3. В модели Рэндалл-Сундрума с одной браной в удобной калибровке расцеплены и точно решены уравнения движения для линеаризованной гравитации. Рассмотрен вопрос о физических степенях свободы модели и показано, что, в отличие от общепринятого мнения, поле ра-диона не может быть полностью исключено из модели и играет важную роль при наличии материи на бране.

4. Рассмотрена модель Рэндалл-Сундрума с членами кривизны, локализованными на бранах. Показано, что при определенных значениях параметров в модели появляется симметрия, позволяющая в линейном приближении исключить поле радиона из теории. Посчитаны поправки к закону Ньютона, обусловленные наличием дополнительного измерения, которые не выходят за рамки существующих экспериментальных ограничений.

Все перечисленные выше результаты были получены либо при непосредственном участии автора, либо самим автором. Предложенный в работе подход позволил впервые проанализировать с большой точностью ряд явлений, возникающих в модели Рэндалл-Сундрума и в моделях с таким же фоновым решением. Его особенность состоит в том, что уравнения движения решаются во всем пространстве, а не в отдельной области. Этот подход может быть использован для изучения других моделей с дополнительными измерениями пространства-времени, например, стабилизированной модели Рэндалл-Сундрума или моделей с большим числом дополнительных измерений.

Научная достоверность результатов работы определяется использованием корректных теоретических методов, строгостью применяемого математического аппарата и внутренней согласованностью результатов.

Общее число публикаций в реферируемых журналах по теме диссертации - 6. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [37, 38, 39, 40, 41, 42] и докладывались на семинарах Отдела теоретической физики высоких энергий НИИЯФ МГУ и Отдела теоретической физики ИЯИ РАН; XVI Международной конференции по квантовой теории поля и физике высоких энергий QFTHEP'2001, Москва, 2001; III Всероссийской конференции "Университеты России - фундаментальные исследования. Физика элементарных частиц и атомного ядра", Москва, 2002; Семинаре "Классические и квантовые интегрируемые системы", Протвино, 2003; XVII Международной конференции по квантовой теории поля и физике высоких энергий QFTHEP'2003, Самара—Саратов, 2003; XVIII Международной конференции по квантовой теории поля и физике высоких энергий QFTHEP'2004, Санкт-Петербург, 2004 (часть результатов опубликована также в виде трудов конференций [43, 44, 45, 46, 47]).

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений и списка цитированной литературы. Объем диссертации составляет 102 страницы. Список литературы содержит 95 ссылок.

Основные результаты, приведенные в этой главе, опубликованы в работе [42].

Заключение

В диссертации была изучена линеаризованная гравитация в RSI-модели,

RS2-мoдeли и в модели Рэндалл-Сундрума с членами кривизны на бранах.

В работе получены следующие результаты:

• Получен лагранжиан второй вариации в модели Рэндалл-Сундрума с двумя бранами, изучена его калибровочная инвариантность, показано, что можно наложить глобальную калибровку на флуктуации метрики. Также получены соответствующие уравнения движения.

• Явно выделены физические степени свободы модели, для чего исследованы уравнения движения, найдена подстановка, позволяющая расцепить эти уравнения и диагонализовать лагранжиан второй вариации. Рассмотрено взаимодействие этих степеней свободы с материей на бранах и обсуждаются физические следствия. В частности, показано, что при последовательной физической интерпретации модели наблюдателем на бране с отрицательным натяжением размер дополнительного измерения может быть порядка ТэВ~1.

• Получены выражения для Ньютоновского потенциала для материи на обеих бранах, а также для случая "теневой материи", когда наблюдатель и материя находятся на разных бранах. Для этого точно решены уравнения движения для линеаризованной гравитации в случае наличия материи на бранах. Кроме того, в приближении нулевых мод получены выражения для отклонения света статическим точечным источником и обсуждаются ограничения на параметры модели.

• Изучены уравнения для линеаризованной гравитации в модели Рэндалл-Сундрума с одной браной, выбрана удобная калибровка, возможность наложения которой была проверена. Решены уравнения движения и явно выделены степени свободы в модели. Показано, что вопреки общепринятому мнению, при наличии материи на бране поле радиона не может быть исключено из теории, и именно оно позволяет непротиворечиво решить уравнения движения.

• Рассмотрена модель с членами кривизны, локализованными на бранах, и при этом имеющая фоновое решение Рэндалл-Сундрума. Получены соответствующие уравнения движения и показано, что при определенных значениях параметров в модели в линейном приближении возникает дополнительная симметрия, позволяющая исключить поле радиона.

• Показано, что в случае наличия материи на бране существует область значений параметров, при которых модель допускает существование больших дополнительных измерений. При этом эффекты, обусловленные взаимодействием массивных Калуца-Клейновских мод с материей, не приводят к противоречию с имеющимися экспериментальными данными.

Применяемый в работе метод может быть использован для изучения линеаризованной гравитации в различных моделях пятимерной гравитации. Например, он позволяет провести корректный анализ уравнений движения в случае стабилизированных моделей, не прибегая к упрощениям или приближениям. Вполне возможно, что аналогичная найденной в Главе 4 симметрия линеаризованных уравнений движения может иметь место и в других моделях, допускающих модификацию гравитационного потенциала на сверхбольших расстояниях.

Благодарности

Автор выражает искреннюю и глубокую признательность научному руководителю работы доктору физико-математических наук Игорю Павловичу Волобуеву за постановку задачи, плодотворные обсуждения и поддержку. Также хотелось бы выразить благодарность Э.Э. Боосу и Ю.А. Кубыши-ну за полезные обсуждения, а также всему Отделу теоретической физики высоких энергий НИИЯФ МГУ за создание дружелюбной атмосферы в процессе выполнения этой работы.

Покажем, что dye~2°

1 1 О2

1 - ъКу) + f(y -R) +

Фт)2 > о, если Фт удовлетворяет уравнению для собственных функций (е-2стгп2Фт + а|Фт) - 2кЧт + 2Шт

1.1)

1.2)

1 ~ п2

-—6е~2атЧт + -^6(у)е-2атЧт = 0.

Z/v АК

Здесь

Фты = Nmz2(y),

Итак, легко показать, что j\e-^Zl(y) = [t = = §Г tZl(t)dt,

1.3) где £о = X' = Xе • С помощью уравнения Бесселя для функции Z2(t) т)+М+(i i) = о, где = получим, что интеграл (/.3) равен

2А; /*'« ftR " ™2 к

77Г rtR Z2(t)

J to

4Z2 {t)

- Z2(t) - tZ2(t)

4Z2(t) dt = tR to где было проведено интегрирование по частям. Воспользовавшись граничными условиями для функции Z2(t), которые следуют из уравнения (1.2) и имеют вид tZ2(t) + 2Z2(t) - l-Z2{t) tZ2(t) + 2Z2(t) - tz2(t) + Q2nd^Z2(t) 0, t=tR t=to мы можем показать, что интеграл (/. 1) принимает вид (с точностью до множителя N^)

2 к

77Г I dt+2[Zi(t)]\ tR to 4)

И в конце воспользуемся реккурентным соотношением для функций Бесселя второго порядка

Z2(t) = Zi(t) - -Z2(t), где

Zi(t) = No (je**) Л (i) - Jo (jekR) JV, (t). В итоге (/.4) принимает вид

2 к га2

•<Д г 0 fZ?(f) - dt + 2 [Z2W] ) =

2k rtn m* flR tZ\{t)dt.

J to

Очевидно, что значение этого интеграла всегда больше нуля, соответственно интеграл (1.1) также положителен при действительных Nm.

Покажем, как можно получить оценки (4.53) и (4.54) для случая у >> 1 и при kR « 1. При больших значениях аргументов можно воспользоваться разложением для функций Бесселя [94]

1) iVoW.yifsin^^-Icos^-^)], т * svt [cos 0 - i -ж) - S;sin О -1 -*)] ■

N2(t) « y/I [sin (t - I - *) + ft cos (t - I - *)] .

Подставляя (//.!)-(//.4) в уравнение (4.43), получим

2) (//.3) (IIA) sin ((Л - 1)*) + -Qld sin ((Л - 1)0 1

81 8 Xt

15 1

81 8Xt cos ((Л - 1)0 = cos ((A - I)*)) , где t = j, Л = ekR. Очевидно, что при достаточно больших t в нулевом приближении корни этого уравнения определяются выражением

7ГП w Л^Т где п - целое. Поправки At(n) к t(п) в первом приближении определяются уравнением

-1 )»At(n) (А — 1) (fiL + 1) = (-!)' из которого следует, что

Д*(п)

1 , 1 , AL ,

8t(n) 8At(n) 8Ai(n) 8i(n) 1

A - 1 )t(r

15 116

8 + 8A

В итоге для функции Фп(0) имеем

Оценим (/.1) для больших т. Используя формулы, аналогичные (II (ИЛ) (см. [94]), можно легко показать, что 2

Zi(t) « —cos(t - tR) 7Ty/tRVt

Таким образом

2к ftR л, 4к tR-to

J to t Ak tR~to 4k (л tzx (t)dt « -= —o-o (1 - e )

JtQ mW tR т2тт2 и Nn ~ в случае kR «1. В итоге имеем где ап = l)n ~ 1.

1. W.-T. Ni. Theoretical frameworks for testing relativistic gravity. 1.. A compendium of metric theories of gravity and their post-Newtonian limits.

2. Astrophys. Journ., 1972, v. 176, p. 769-796.

3. E. Cartan. Sur une generalisation de la notion de courbure de Riemann et les espace a torsion. — Compt. Rend. Acad. Sci., Paris, 1922, v. 174, p. 593-595.

4. G. Nordstrom. Zur Theorie der Gravitation vom Standpunkt des Relativitatsprinzips. — Ann. Phys. Lpz., 1913, v. 42, p. 533-554.

5. Г. Тредер. Теория гравитации и принцип эквивалентности. — Москва: Атомиздат, 1973. — 168 с.

6. F. Hoyle, J.V. Narlikar. Mach's principle and the creation of matter. — Proc. Roy. Soc. A, 1963, v. 273, p. 1-11.

7. F. Hoyle, J.V. Narlikar. A new theory of gravitation. — Proc. Roy. Soc. A, 1964, 282, p. 191-207.

8. P. Jordan. The present state of Dirac's cosmological hypothesis. — Z. Physik, 1959, v. 157, p. 112-121.

9. C. Brans, R.H. Dicke. Mach's principle and a relativistic theory of gravitation. Phys. Rev., 1961, v. 124, p. 925-935.

10. Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. Гравитация, том 3. — Бишкек: Айн-штайн, 1997. — 510 с.

11. С. Вейнберг. Гравитация и космология. — Волгоград: Платон, 2000.- 696 с.12