Космологические и волновые решения в многомерной гравитации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА

^ ^ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

со

О- ом

На правах рукописи

Гребешок Михаил Александрович

КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ И ВОЛНОВЫЕ РЕШЕНИЯ В МНОГОМЕРНОЙ ГРАВИТАЦИИ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1998

Работа выполнена на кафедре теоретической физики физическ го факультета Московского Государственного Университета име: М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

профессор Ю.С.Владимиров

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор В.Г.Кречет кандидат физико-математических нау доцент В.Р.Гаврилов

Ведущая организация: Российский Университет Дружбы Народ им. П.Лумумбы

Защита состоится " /•>" " ой-Я'Зсхр1998 г. в _ час. на засед

нии Диссертационного Совета К 053.05.18 при Московском Госуда ственном Университете им. М.В.Ломоносова (г. Москва, Воробьев горы, физический факультет, ауд. СФ/4 ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического ф культета МГУ.

Автореферат разослан с&^с^яДЬя1998 г.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета К 053.05.18

д.ф.-м.н. ' П.А.Поляк«

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Многомерные модели гравитации, шикшие как естественное обобщение 4-мерной эйнштейновской шитации, могут рассматриваться в различных аспектах приме-гелыю к проблемам современной физики. В частности, в рам-х: многомерных моделей гравитации возможно построение теорий, ьединяющих различные виды физических взаимодействий. Исследование точных решений, полученных в рамках многомер-х теорий позволяет более полно понять свойства и особенности пений для 4-мерного пространства, а также оценить влияние него высших размерностей. Сейчас наибольшую актуальность иобрели так называемые многомерные модели гравитации с р-а,нами, вобравшие в себя особенности суперсимметричных теорий многомерной гравитации. Модели с р-бранами представляют со-\ многомерные модели гравитации с дополнительными скалярны-полями и антисимметричными формами произвольного ранга. В мках данных моделей возможно получение различного вида рений, обобщающих решения многомерной гравитации на случай исутствия р-бран. При этом обнаруживается существенное влия-е конфигурации р-бран на соответствующие 4-мерные решения. Поиску точных решений в многомерных моделях с р-бранами в стоящее время уделяется большое внимание со стороны многих горов. Однако в большинстве работ рассматриваются либо плос-е фактор-пространства, либо получены лишь некоторые частные нения. Поэтому наиболее интересным представляется рассмотре-е моделей с р-бранами в искривленном исходном многообразии и лучение соответствующих точных решений в более общем случае.

Целью диссертационного исследования является получе-е точных решений в рамках многомерных гравитационных моде-Я и исследование полученных решений для различных частных /чаев.

Научная новизна. В диссертационной работе впервые в рам-

ках многомерной гравитационной модели с р-бранами получек космологические решения в случае риччи-плоских внутренних пр странств. Также исследованы квантовые космологические модел В случае присутствия р-бран записан многомерный аналог уравн ния Уилера-Де Витта и получены общие квантовые решения. В сл чае спонтанной компактификации внутренних пространств получ но общее решение для масштабного фактора внешнего простра ства при различных конфигурациях р-бран. Исследовано поведен: эффективной космологической постоянной внешнего пространси для различных конфигураций р-бран.

Для многомерных гравитационных моделей с р-бранами в ра: ках сигма-модельного подхода рассмотрены решения типа Маджу: дара-Папапетру в случае, когда матрицы скалярных произведен] векторов обобщенных дилатонных связей образуют матрицы Ка тана простых алгебр Ли. Для всех простых классических и особь алгебр Ли получены точные решения и выписаны возможные пр вила пересечения р-бран.

Научная и практическая ценность работы. Полученш точные решения обобщают соответствующие многомерные решен] на случай присутствия в исходном действии модели дополнител ных скалярных полей и антисимметричных форм произвольно ранга. Это позволяет наряду с исследованием влияния дополн тельных внутренних пространств оценить влияние конфигуращ р-бран на 4-мерное внешнее пространство, что в свою очередь д ет возможность, например, при исследовании многомерных косм логических моделей получить малую эффективную космологич скую постоянную 4-мерного пространства путем рассмотрения опр деленной конфигурации антисимметричных форм вместе с косм логическими постоянными внутренних пространств планковско: масштаба. Решения типа Маджумдара-Папапетру, полученные д.; всех простых классических и особых алгебр Ли предоставляют во можность дальнейшего исследования различных многомерных во. новых метрик в присутствии р-бран для блок-диагонального сл чая.

Полученные результаты могут быть использованы на физич ском факультете МГУ, в Российском университете Дружбы Н

дов, Казанском, Томском государственных университетах, Яро-авском государственном педагогическом университете, а также в [.есском университете.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докла-[вались на шести научных конференциях: "Многомерная грави-ция и космология", Ярославль, 1994г.; "Основания теории грави-ции и космологии", Одесса, 1995г.; 9 Российская Гравитационная шференция "Теоретические и экспериментальные проблемы гра-тации", Новгород, 1996г.; "Проблемы теоретической космологии", [ьяновск, 1997г.; 3 Международная Конференция по Космомикро-1зике "Космион-97", Москва, 1997г.; Международный семинар по .тематической космологии, Потсдам, Германия, 1998г., а также на учных семинарах кафедры теоретической физики МГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, ти глав основного текста, заключения и списка цитируемой ли-ратуры. Объем диссертации составляет 100 страниц текста, на-анного в издательской системе

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В введении охарактеризовано состояние современных исследо-ний по многомерной гравитации, сформулированы цели и краткое держание диссертационной работы.

В первой главе рассмотрена многомерная космологическая дель с идеальной жидкостью в качестве источника в уравнениях [нштейна.

В первом параграфе кратко проанализировано состояние совр< менных исследований многомерных космологических моделей с ид< альной жидкостью в качестве источника в уравнениях Эйнштейн; Введены необходимые в дальнейшем понятия и обозначения.

Во втором параграфе рассмотрена исходная многомерная ко< мологическая модель, описывающая эволюцию п > 2 пространст Эйнштейна в присутствии т-компонентной материи типа идеально жидкости. Метрика рассматриваемой модели имеет вид

п

д = - ехр[27(0]<Й ® <И + ^ ехр[2<^(г)]</\ О

¿=1

и определена на .О-мерном многообразии М = Д х х ... х Мп, т£ фг{1) - масштабные факторы внутренних пространств. Причем дл любой компоненты идеальной жидкости давления во всех простра! ствах пропорциональны плотности. В этом случае уравнения Эй] штейна рассматриваемой модели эквивалентны уравнениям движ( ния некоторой псевдоевклидовой цепочки Тоды с потенциалом, з; висящим от масштабных факторов пространств и параметров сост< яния идеальной жидкости.

В третьем параграфе рассмотрен частный случай исследуемс модели с 2-компонентной идеальной жидкостью, связанной с алп брой Ли А2. В этом случае возможно сведение псевдоевклидовс цепочки Тоды для части координат к соответствующей евклидовс выбором определенного ортонормированного базиса. Далее зам< ной переменных полученная система сводится к открытой цепочь Тоды, что позволяет используя стандартные методы выписать р' шения для масштабных факторов пространств.

В четвертом параграфе рассмотрен частный случай трех пр> странств для 2-компонентной идеальной жидкости. Решение дл масштабных факторов пространств определяется с точностью д: перехода из одного ортонормированного базиса в другой. Для н. хождения общего решения рассмотрены всевозможные повороты псевдоевклидовом пространстве и получено общее параметрическ« решение, позволяющее более полно исследовать возможные сост! яния идеальной жидкости и поведение масштабных факторов пр< странств.

В пятом параграфе кратко сформулированы основные резул таты, полученные в первой главе.

Во второй главе рассмотрены многомерные космологические цели с пересекающимися р-бранами.

Первый параграф посвящен анализу современных исследований огомерных космологических моделей с р-бранами. Во втором параграфе рассмотрена исходная модель с действием

- £ {д^дм^дм1 + ехр^А^-7)^');;!}, (2) Г^а 711 ■ ^

! (р1 - дилатонные скалярные поля, Р1 - антисимметричные фор-[ ранга п/. Здесь, также как и в первой главе, рассматривается грика вида (1), заданная на многообразии М — И х М\ х... х Мп. случае, когда антисимметричные формы пропорциональны форм объема подпространств, уравнения движения исходной систе-[ эквивалентны уравнениям движения некоторой сигма-модели. В третьем параграфе проведено исследование полученной сигма-цели, записан явный вид потенциала. Также записаны скаляре произведения векторов в экспонентах потенциала, существенно ляющие на интегрируемость полученной лагранжевой системы. Четвертый параграф посвящен получению точных решений. :я этого удобно вначале проинтегрировать обобщенные уравнения ьксвелла для форм. Далее рассматривается случай риччи плос-к внутренних пространств, для которого, заменой переменных ис-щая сигма-модель приводится к псевдоевклидовой цепочке Тоды. лученная псевдоевклидовая цепочка Тоды интегрируется для ор-чшальных векторов в экспонентах потенциала. Записаны общие шые решения для масштабных факторов пространств и дила-шых скалярных полей. Также получены явные выражения для грики исходного пространства и антисимметричных форм. В пятом параграфе рассмотрены некоторые частные решения я исследуемой модели. Получено решение для сферически-сим-гричного случая, который непосредственно следует из космоло-1еского выбором соответствующего сигнатурного параметра. Рас-этрено также специальное космологическое решение при Б = 11 1ля всех возможных пересечений р-бран выписаны выражения я масштабных факторов пространств.

В шестом параграфе исследованы квантовые космологичесю модели с р-бранами. Следуя стандартной процедуре квантоваш записано многомерное уравнение типа Уилера-Де Витта в случ; присутствия р-бран. В случае дополнительного условия ортог нальности и калибровки гармонического времени получены общ] квантовые решения для волновой функции вселенной.

В седьмом параграфе кратко сформулированы основные резул таты, полученные во второй главе.

В третьей главе рассмотрена многомерная космологическ; модель с А-членом для пересекающихся р-бран в случае статич ских внутренних пространств.

В первом параграфе изложены особенности исследования мног мерных космологических моделей с р-бранами в случае статическ] внутренних пространств.

Во втором параграфе рассмотрена исходная модель с метрик« вида (1), действие которой содержит дополнительные дилатонш скалярные поля и антисимметричные формы произвольного ра га, а также А-член. Здесь, также как и во второй главе, рассм триваются антисимметричные формы, пропорциональные формг объема подпространств.

В третьем параграфе, для упрощения дальнейшего исследов ния полученной системы, проинтегрированы уравнения Максвел. для форм. При этом исходная модель сводится к псевдоевклидов! цепочке Тоды с потенциалом специального вида.

Четвертый параграф посвящен исследованию полученной сист мы в случае статических внутренних пространств. При этом ура нения движения системы распадаются на одно динамическое ура нение для масштабного фактора внешнего пространства и набор а гебраических уравнений для внутренних пространств. В этом сл чае размеры внутренних пространств могут быть выбраны прог вольно малыми и, таким образом, ненаблюдаемыми в течении вс эволюции Вселенной. Далее рассмотрены два возможных вариа та, когда все р-браны либо "живут", либо не "живут" на внешн( пространстве. При этом, оказывается, что во втором случае, к гда многообразие р-бран не содержит внешнее пространство, реп ние для масштабного фактора внешнего пространства не зависит

нфигурации р-бран, и мы получаем обычное многомерное космо-гическое решение с Л-членом. В случае же, когда все р-браны :ивут" на внешнем пространстве, решение для масштабного фак-ра внешнего пространства существенно зависит от конфигурации Зран и позволяет оценить их влияние на полученное решение. В пятом параграфе более подробно исследовано решение для иболее интересного случая, когда все р-браны "живут" на внеш-м пространстве. Записывая полученное решение в калибровке нхронного времени, мы получаем внешнее пространство Де Сит-ра или анти-Де Ситтера в зависимости от конфигурации р-бран. )и этом, эффективная космологическая постоянная внешнего про-ранства выражается через космологические постоянные внутрен-х пространств и заряды форм, что позволяет для определенных нфигураций р-бран получить малую эффективную космологиче-ую постоянную, в то время, как космологические постоянные вну-енних пространств будут иметь планковский масштаб. В шестом параграфе кратко сформулированы основные резуль-гы, полученные в третьей главе.

В четвертой главе рассматривается обобщение на случай при-гствия р-бран решения типа Маджумдара-Папапетру. Первый параграф посвящен постановке задачи и краткому опи-шю структуры четвертой главы.

Во втором параграфе рассмотрена гравитирующая сигма-мо-иь. В случае, когда векторы дилатонных связей сигма-модели еют блок-диагональную структуру по отношению к скалярному эизведению, для риччи-плоского пространства получены точные пения, определяемые набором гармонических функций. Причем ;ло независимых функций равно числу блоков в матрице скаляр-х произведений векторов дилатонных связей. При этом возника-соотношения на скалярные произведения и сигнатурные пара-гры, необходимые для существования полученного решения. В третьем параграфе рассмотрен случай, когда скалярные про-)едения векторов дилатонных связей внутри блока образуют ма-щы Картана простых алгебр Ли и получены решения для всех ;можных классических, а также особых алгебр Ли. Также рас-этрены некоторые примеры гиперболических алгебр.

Четвертый параграф посвящен применению полученных сигм модельных решений в многомерных моделях с пересекающими« р-бранами. Здесь произведена редукция исходной модели к соотве ствующей сигма-модели и записаны точные решения для метрш и форм.

В пятом параграфе получены общие правила пересечения бран, возникающие вследствие блок-ортогональности векторов д латонных связей в потенциале сигма-модели. Далее, в качест: примера, полученные решения исследованы для так называемь Вд-моделей. Рассмотрены также примеры для НА теории и И — '. супергравитации.

В шестом параграфе кратко сформулированы основные резул таты, полученные в четвертой главе.

В заключительной пятой главе, как частный случай многоме ного решения типа Маджумдара-Папапетру, рассмотрены 5-мерш волновые решения.

В первом параграфе кратко изложены структура и основные п ложения четвертой главы.

Во втором параграфе в рамках 5-мерной теории Калуцы-Клей] найдены точные волновые решения 5-мерных уравнений Эйнштей] в вакууме для исходных метрик, обобщающих на 5-мерие известш 4-мерные волновые метрики. Полученные решения описывают ра личные грави-скалярные волновые процессы. Также рассмотрев наиболее интересные частные решения.

В третьем параграфе методом поворотов с участием координ ты х5 из полученных метрик построены решения, описывающ совместные грави-скалярные и электромагнитные волны. Пут< монадного проектирования на 3-мерное пространственно-временн сечение получены выражения для 3-мерных напряженностей эле тромагнитного поля. Рассмотрены некоторые примеры.

В четвертом параграфе кратко сформулированы основные р зультаты, полученные в пятой главе.

В заключении сформулированы основные результаты, пол ченные в диссертации.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА

ЗАЩИТУ

1. Получено общее параметрическое решение в многомерной гравитационной модели с идеальной жидкостью в качестве источника в уравнении Эйнштейна, исследованы возможные уравнения состояния идеальной жидкости и поведение масштабных факторов пространств.

2. В рамках многомерной гравитационной модели с р-бранами получены космологические решения в случае риччи-плоских внутренних пространств при выполнении дополнительных условий ортогональности.

3. Исследованы квантовые космологические модели. В случае присутствия р-бран записан многомерный аналог уравнения Уилера-Де Витта и получены общие квантовые решения.

4. Рассмотрен случай спонтанной компактификации внутренних пространств для многомерных моделей с р-бранами. Получено общее решение для масштабного фактора внешнего пространства при различных конфигурациях р-бран. Исследовано влияние р-бран на эффективную космологическую постоянную внешнего пространства.

5. Для многомерных гравитационных моделей с р-бранами в рамках сигма-модельного подхода рассмотрены решения типа Маджумдара-Папапетру в случае, когда матрицы скалярных произведений векторов дилатонных связей образуют матрицы Картана простых алгебр Ли. Для всех простых классических и особых алгебр Ли получены точные решения и выписаны возможные правила пересечения р-бран.

3. Как частный случай многомерных волновых решений рассмотрены 5-мерные волновые решения, обобщающие известные 4-мерные волновые метрики. Наряду с грави-инерциальными волновыми решениями получены также решения, описывающие совместные грави-электро-скалярные волновые процессы.

ПУБЛИКАЦИИ

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах

1. К.A. Bronnikov, М.А. Grebeniuk, V.D. Ivashchuk and V.N. Mel] kov, "Integrable Multidimensional Cosmology for Intersecting Branes", Grav. and Cosmol. 3, №2(10), 105 (1997). -

2. M.A. Grebeniuk, V.D. Ivashchuk and V.N. Melnikov, "Integral Multidimensional Quantum Cosmology for Intersecting p-Brane; Grav. and Cosmol. 3, №3(11), 243 (1997).

3. M.A. Grebeniuk, V.D. Ivashchuk and V.N. Melnikov, "Multi< mensional Cosmology for Intersecting p-Branes with Static Inti nal Spaces", Grav. and Cosmol. 4, №2(14), 145 (1998).

4. M.A. Grebeniuk and V.D. Ivashchuk, "Sigma-model Solutions a Intersecting p-Branes Related to the Lie Algebras", Preprint RG VNIIMS-003-98.

5. M.A. Гребенюк. "Точные волновые решения 5-мерных ург нений Эйнштейна", Известия ВУЗов (Физика), №11, 1996.