Двухточечная краевая задача для квадратичных дифференциальных уравнений и включений второго порядка на многообразиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

на правах рукописи

ЗЫКОВ ПЕТР СЕРГЕЕВИЧ

Двухточечная краевая задача для квадратичных дифференциальных уравнений и включений второго порядка на многообразиях

01.01.02 — дифференциальные уравнения Автореферат

Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2006

Работа выполнена в Курском государственном университете

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Гликлих Юрий Евгеньевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Климентов Сергей Борисович

кандидат физико-математических наук, доцент Гельман Борис Данилович

Ведущая организация - Самарский государственный университет

Защита состоится "12" декабря 2006 г. на заседании диссертационного совета К 212.038.05 при Воронежском государственном университете, 394006, г, Воронеж, Университетская пл., 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан яф " ноября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

В.В. Смагин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Двухточечные задачи для дифференциальных уравнений и включений второго порядка являются классической областью исследования в теории обыкновенных дифференциальных уравнений и до настоящего времени активно исследуются во всем мире. Укажем, например недавние публикации о двухточечных задачах для дифференциальных включений, авторами которых являются R. Bader, Б.Д. Гельман, М. Каменский и В. Обуховский; А. Boucherif и В. Chanane; Y. Däido; М. Ikehata и G. Nakamura; В. С. Dhage, Т. Donchev и М. Quincampoix; L. Erbe,,R. Ма и С. С. Tisdell; М. Filippakis, L. Gasinski и N. S. Papageorgiou; L. Gasinski и N. S. Papageorgiou; N. Halidias и N. S. Papageorgiou; D.A. Kandilakis и N.S. Papageorgiou и другие.

Отметим, что к дифференциальным уравнениям и включениям второго порядка сводятся законы движения механических систем (к включениям - в случае разрывных силовых полей или силовых полей с управлением), причем рассмотрение подобных уравнений и включений на многообразиях позволяет охватить механические системы на нелинейных конфигурационных пространствах. Указанные уравнения и включения на многообразиях также естественно возникают и в других разделах математической физики (например, в общей теории относительности), а также в геометрии многообразий.

По сравнению со случаем линейных пространств двухточечная краевая задача для уравнений и включений на римановых многообразиях существенно усложняется: даже в классических для линейных пространств случаях разрешимости на многообразиях двухточечная краевая задача может не иметь решений. Так, имеются примеры дифференциальных уравнений второго порядка на компактном многообразии с гладкой ограниченной правой частью (даже не зависящей от скорости), в которых для двух точек, сопряженных вдоль всех геодезических связности Леви-Чивита, их соединяющих, нет ни одного решения уравнения, соединяющего эти точки (поскольку в плоском евклидовом пространстве сопряженных точек не существует, подобный эффект в классическом плоском случае не наблюдается). Аналогичные эффекты неразрешимости имею место и для случая уравнений и включений с линейным ростом правой части. В тексте диссертации приводятся аналогичные примеры для уравнений, чьи правые части имеют квад-

ратичный рост. Таким образом, указанный эффект является универсальным и не зависит от скорости роста правой части.

В случае, когда правая часть дифференциального уравнения второго порядка имеет квадратичный рост, возникают особые эффекты, из-за которых двухточечная краевая задача может быть не разрешима. Один из подобных примеров в R2 приведен в тексте диссертации.

Двухточечная краевая задача для уравнений и включений второго порядка на римановых многообразиях для точек, не сопряженных вдоль хотя бы одной геодезической связности Леви-Чивита, их соединяющей, яссследовалась многими авторами при различных условиях. Для уравнений (т.е. в случае однозначной правой части) разрешимость была показана Ю.Е. Гликлихом для непрерывной правой части в случаях ограниченной правой части и линейного роста по скоростям, Е.И. Яковлевым для гладких правых частей при выполнении некоторых сложных условий и В. Гинзбургом для гладких правых частей с менее, чем квадратичным ростом по скоростям. Разрешимость двухточечной краевой задачи для дифференциальных включений с правыми частями различных типов была доказана Б.Д. Гельманом и Ю.Е. Гликлихом, Ю.Е. Гликлихом и A.B. Обуховским, М. Киселевичем и др., но только в случае ограниченных правых частей. Отметим, что подход работы В, Гинзбурга для уравнений с гладкой правой частью с менее, чем квадратичным ростом по скоростям, не применим к включениям, поскольку основан на свойстве единственности решений, отсутствующем для включений.

Укажем модификацию двухточечной краевой задачи для уравнений и включений второго порядка, подчиненных неголономным связям в смысле Вершика-Фаддеева: в этом случае естественно ставить вопрос о возможности соединить решением заданную точку и некоторое подмногообразие. Эта задача исследовалась Ю.Е. Гликлихом в и A.B. Обуховским, однако также только для случая ограниченных правых частей.

В указанный цикл вопросов естественным образом включается классическая задача о возможности соединить две заданные точки многообразия геодезической некоторой связности. Для связности Леви-Чивита полного риманового многообразия разрешимость этой задачи следует из теоремы Хопфа-Ринова, но это не верно даже для римановых связностей с ненулевым кручением. Существуют примеры связностей, в том числе, на компактном многообразии (двумерном

торе) для которой эта задача не разрешима.

Известно, что геодезические кривые одной связности описываются в терминах ковариантной производной другой связности посредством дифференциального уравнения второго порядка, у которого правая часть квадратична по скоростям, т.е. поставленная задача сводится к двухточечной краевой задаче для указанного уравнения.

Особый интерес вызывает указанная задача на лоренцевых многообразиях, поскольку естественно возникает в общей теории относительности. Так, в цикле работ А. Полторака была предложена новая концепция системы отсчета в общей теории относительности, как некоторого многообразия с заданной на нем связностью. При этом не был изучен вопрос о том, принадлежит ли, некоторое событие собственному будущему некоторого другого события на пространстве времени, если это выполняется в системе отсчета. Указанный вопрос сводится к вопросу о существовании времениподобной геодезической, соединяющей заданные события в пространство-времени, т.е. к двухточечной краевой задаче для уравнения геодезических на пространстве-времени в терминах связности системы отсчета - для дифференциального уравнения второго порядка с правой частью, квадратичной по скоростям.

Целью работы является изучение разрешимости двухточечной краевой задачи и ее аналогов для дифференциальных уравнений и включений второго порядка на римановых и лоренцевых многообразиях, у которых правые части имеют квадратичный или менее, чем квадратичный рост по скоростям.

Методика исследований. Использовались идеи и методы современного глобального анализа, нелинейного анализа, в частности разработанный Ю.Е. Гликлихом метод интегральных операторов с рима-новым параллельным переносом и годографов скорости.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являют ся новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:

1. На полном римановом многообразии найдено геометрическое условие, при выполнении которого для двух точек, не сопряженных вдоль хотя бы одной геодезической римановой связности, их соединяющей, разрешима двухточечная краевая задача для дифференциальных включений второго порядка у которых правая часть имеет квадратичный рост по скопростям и удовлетворяет верхнему условию Каратео-дори (и в этом случае имеет выпуклые образы), либо полунепрерывна снизу. Как частный случай получено достаточное условие при котором

две точки иа полном римановом многообразии могут быть соединены геодезической другой связности.

2. Установлено, что описанное выше условие всегда выполняется для уравнений и включений, у которых правая часть имеет менее, чем квадратичный рост по скоростям. На этой основе доказано, что для двух точек, не сопряженных вдоль хотя бы одной геодезической ри-мановой связности, их соединяющей, всегда разрешима двухточечная краевая задача для дифференциальных включений второго порядка с правой частью, имеющей менее, чем квадратичный рост по скоростям и удовлетворяющей верхнему условию Каратеодори (и в этом случае имеет выпуклые образы), либо полунепрерывна снизу.

3. Изучены дифференциальные включения второго порядка на ри-маиовых многообразиях, подчиненные неголономным связям в смысле Вершика - Фаддеева, с правой частью, имеющей квадратичный рост по скоростям или менее, чем квадратичный рост по скоростям и либо удовлетворяющей верхнему условию Каратеодори (в этом случае образы многоозначного отображения выпуклы), либо полунепрерывной снизу. Получены утверждения о разрешимости аналога двухточечной краевой задачи для данных включений.

5. В двух специальных случаях систем отсчета по А. Полтораку найдены условия, при выполнении которых из того, что одно событие принадлежит собственному будущему в системе отсчета, следует, что то же свойство выполняется в пространстве-времени.

Теоретическая и практическая значимость.

Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты могут применяться при исследовании механических систем на нелинейных конфигурационных пространствах с разрывными силовыми полями или с управлением, а также в общей теории относительности.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной научной конференции по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2004 г), на Воронежской зимней математической школе 2004, на Международной конференции "Геометрическая топология, дискретная геометрия и теория множеств", посвященной столетию Л.В. Келдыш (Москва, 2004) и на международной научной конференции Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения (Воронеж, 2005).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в [1 -И]. Из совместных работ [5] и [8 - 10] в диссертацию вошли только

результаты, принадлежащие лично диссертанту.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Сведения, четырех глав, разбитых на 14 параграфов, и списка литературы, включающего 56 источника. Общий объем диссертации 98 страниц.

Краткое содержание диссертации

Первая глава носит вспомогательный характер и посвящена изложению необходимых понятий и утверждений из теории римановых многообразий, многозначного анализа и общей теории относительности.

Во второй главе описывается обобщение конструкции интегральных операторов с параллельным переносом, введенных Ю.Е. Гликли-хом, конструкция которых распространяется на случай произвольной римановой связности римаиовой метрики. Через 5 обозначается оператор, переводящий непрерывную кривую у[{) в касательном пространстве Т^М к риманову многообразию М в точке то в С71-кривую на М такую, что 5и(0) = тпо и при любом Ь из области определения кривой у({] вектор -щБу^) параллелен вдоль кривой Бу(-) вектору *-'(£)•

Пусть риманово многообразие М полно и точки то и Ш1 не сопряжены вдоль хотя бы одной геодезической 7^) заданной римановой связности. В первом параграфе главы доказана следующая лемма, в которой введена величина е, которая зависит от геометрии многообразия.

Лемма 2.1.3 Существует е > 0 такое, что для произвольной кривой £ ие С С°([0,1], ТтоМ) в некоторой ограниченной окрестности V вектора 7(0) в ТтаМ существует единственный вектор Сц, непрерывно зависящий от й, такой, что Б (и + Сц)[ 1) — тщ.

Обозначим через С верхнюю грань норм векторов из окрестности V. Эта величина зависит от расстояния между двумя данными точками.

В Замечании 2.1.2 отмечено, что все кривые Б(й + Сй)Ц), й € 1/€, лежат в некотором компакте в С М, зависящем от е и С.

Определение 2.2.1 Будем говорить, что на многообразии М задано силовое поле а(<, если в каждом т € М задан вектор а(<, тп, X) 6 ТтМ, зависящий от параметров ¿6/ «Хе ТтМ.

Обозначим через £ ковариантную производную выбранной римановой связности. Для заданного силового поля с использованием параллельного переноса аналогично работам Ю.Е. Гликлиха вводится

уравнение годографа скорости (2.4) - интегральное уравнение в касательном пространстве Tm„Af такое, что если кривая v(t) является его решением, то кривая m(t) = Sv(t) на М удовлетворяет уравнению

£m(i)=a(i,m(i),m(i)) (2.1)

и при этом т(0) = то и m(ti) = mi при некотором t\ > 0.

Пусть a(t, ж, X) таково, что на некотором компакте Н С М, содержащем точки то и mi и на достаточно большом отрезке 1= [0,Т] С Д выполняется неравенство max ||a(i, т,Х)|| < ¿¡|Л'||2, где 8 > 0

(i,m)e/x 2

- некоторая константа. Обозначим через В вполне непрерывный интегральный оператор в правой части уравнения годографа скорости (2.4).

Теорема 2.2.5 Пусть mi не сопряжена с то вдоль хотя бы одной геодезической и при этом выполняется неравенство 5 < i 'е|1. Тогда для любого ti > 0, такого что £ I, существует число К, такое что оператор В переводит в себя шар U/t-(l радиуса Kti в пространстве С°([0, t\],TmoM).

Таким образом, по припципу Шаудера оператор В имеет неподвижную точку (решение уравнения (2.4)) - кривую в Щ, по которой строится решение двухточечной краевой задачи для уравнения (2.1).

Примером применения теоремы 2.2.5 является классическая задача о возможности соединить две заданные точки многообразия геодезической некоторой связности. Напомним, что для связности Леви-Чивита полного риманова многообразия её разрешимость следует из теоремы Хопфа-Ринова. Однако уже для римановой связности с ненулевым кручением эта задача может быть не разрешима.

Задача о существовании геодезической, соединяющей две заданные точки на многообразии, сводится к двухточечной краевой задаче для дифференциального уравнения второго порядка следующего вида:

~m = a(m(t),m(t)), (2.6)

где силовое поле а(т,Х) квадратично по скоростям. Введём норму квадратичного оператора a(m, X) следующей формулой: ||a(m,-)|| = sup ||a(m, Х)||, при X принадлежащем ТтМ. М=1

Теорема 2.2.8. Пусть а(т,Х) из уравнения (2.6) непрерывно по совокупности переменных, ||a(m,-)|| равномерно ограничено некото-

рым числом а > 0, то не сопряжено с rrti вдоль хотя бы одной геодезической связности Леей- Чивита и для соответствующих этим точкам числам С и е из леммы 2.1.3 и числа а выполняется оценка а < Тогда существует решение m(t) уравнения (2.6), такое

что т(0) = гоо и ш(1) = mi.

В последнем параграфе главы описываются интегральные операторы с римановым параллельным переносом относительно так называемой усеченной связности (обозначаются S0) и уравнение годографа скорости для уравнений, подчиненных неголономным связям в смысле Вершика-Фаддеева, заданным в геометрически инвариантной форме в терминах неинтегрируемых распределений. В частности, введены числа с и С, являющиеся для этого случая аналогами чисел, введенных выше для оператора S без связей.

В третьей главе рассматривается двухточечная краевая задача для дифференциальных включений второго порядка на римаиовом многообразии. Такие включения описывают механические системы с управлением или с разрывными силовыми полями на нелинейных конфигурационных пространствах, т.е. рассматривается вопрос о существовании траектории подобной механической системы, соединяющей две заданные точки то и т\ конфигурационного пространства.

В §3.1 приведены два простых примера неразрешимости двухточечной краевой задачи для дифференциальных уравнений второго порядка на многообразиях с квадратичным ростом правой части по скоростям. В первом примере показывается, что если точки сопряжены вдоль всех геодезических связности Лсви-Чивита, то может не быть решений уравнения, соединяющих эти точки. Как отмечалось выше, этот эффект является универсальным и не зависит от роста правой части. Второй пример в линейном пространстве В} является специфическим для уравнений с квадратичным ростом по скоростям.

Будем говорить, что на полном римановом многообразии М задано многозначное силовое поле F(t,m,X), если в каждой точке m 6 М задано множество F(t, т, X) С ТтМ, зависящее от числового параметра t и вектора X £ ТтМ.

Рассмотрим дифференциальное включение второго порядка

jtm(t) в F(t,m(t),m{t)), (3.1)

где ковариантная производная связности Леви-Чивита на М.

Определение 3.1.2. С1- кривая m(t) такая, что её производные абсолютно непрерывны и включение (3.1) выполнено для почти всех t, называется решением включения (3.1).

Во втором параграфе третьей главы рассматриваются дифференциальные включения второго порядка с менее, чем квадратичным ростом по скоростям.

Определение 3.1.3. Мы будем говорить, что F(t,m,X) растёт менее чем квадратично по X, если на любом компакте © € M и на любом конечном интервале [О, /] оно удовлетворяет условию:

ЦАГЦ-ЮО \\Х\\2 v '

равномерно по t & [О, /] и m & Q-Если (3.2) выполняется на некотором компакте 0 и некотором отрезке [О, Z], то будем говорить, что F(t, то, X) растёт менее чем квадратично по X на [0, i] х ©.

В пункте 3.2.1 исследован случай, когда поле F(t, m, X) дифференциального включения (3.1) имеет выпуклые образы и удовлетворяет верхнему условию Каратеодори.

Теорема 3.2.5. Пусть многозначное силовое поле F{t, m, X) удовлетворяет верхнему условию Каратеодори, имеет выпуклые замкнутые ограниченные образы и растет менее чем квадратично по скоростям на [О, I] х ©, где [0,i] - некоторый промежуток, а в -компакт из Замечания 2.1.2., точки т\ и то не сопряжены вдоль некоторой геодезической связности Леви-Чивита. Тогда при достаточно малом ii > 0 существует решение m(t) дифференциального включения (3.1) такое, что т(0) = то и m(ij) = т\.

В пункте 3.2.2 рассматривается случай, когда механическая система описывается дифференциальными включениями второго порядка с полунепрерывной снизу правой частью. Полунепрерывность снизу возникает, например, в случае с управлением - при экстремальных значениях управляющей силы.

Теорема 3.2.7. Пусть точки mi и m о не сопряжены вдоль некоторой геодезической связности Леей- Чивита, a F(t, m, X) полунепрерывно снизу, имеет замкнутые ограниченные образы и растет менее, чем квадратично по скоростям на [0,/] х ©, где [0,/] - некоторый промежуток, а © - компакт из Замечания 2.1.2. Тогда для достаточно малого > 0 существует решение m(t) дифференциального включения (3.1) такое, что т(0) — то и m(ii) =

ю

Теоремы 3.2.5 и 3.2.7 доказываются путем сведения включения (3.1) к многозначному аналогу уравнения годографа скорости и доказательства его разрешимости.

В §3.3 рассматривается случай, когда правая часть дифференциального включения имеет квадратичный рост.

Определение 3.1.4 Мы будем говорить, что т, X) растет квадратично по X,' если на любом компакте © € М и па любом конечном интервале [0, /] оно удовлетворяет условию:

•• шг,го,лг)|| , . , ч

11^ | |Х ц2 ^

равномерно по Ь 6 [0, и т 6 0, где а(£, т) ^ 0 - действительная функция на [0, г] х 0, которая не равна тождественному нулю.Если (3.3) выполняется на некотором компакте 0 и некотором отрезке [О, I], то будем говорить, что т, X) растёт квадратично по X на [О, I) X ©.

Доказываются следующие теоремы.

Теорема 3.3.1 Пусть Р(^,т,Х) удовлетворяет верхнему условию Каратеодори, имеет замкнутые, выпуклые, ограниченные образы и квадратично растёт по по скоростям на [0, /] Х0, где [О, I] - некоторый промежуток, а 0 - компакт из Замечания 2.1.2. Пусть точки то и таг не сопряжены вдоль некоторой геодезической д связности Леви-Чивита. Также, пусть при t Е [0,1] и т £ О, для функции а(£, т) из определения 3.3 найдётся число 8, такое что выполняется следующее неравенство: а(Ь,т) < 5 < Тогда существует поло-

жительное число Ь(то,т1,д), такое что если 0 < < Цто, тг,д), то существует решение т(<) включения (3.1), такое что, ш(0) = то и т(<1) = т\.

Теорема 3.3.2 Пусть т, X) полунепрерывно снизу, имеет замкнутые ограниченные образы и квадратично растёт по по скоростям на [0,/] х 0, где [0,/] - некоторый промежуток, а © - компакт из Замечания 2.1.2. Пусть точки то и т% не сопряжены вдоль некоторой геодезической д связности Леви-Чивита. Также, пусть при (е[0,1]«тб6, для функции а(<, т) из определения 3.3 найдётся число 6, такое что выполняется следующее неравенство: а(4,т) < 5 < (с+еу • Тогда существует положительное число Ь(то, т\,д), такое что если 0 < ¿1,< Ь(то,т1,д), то существует решение т^) включения (3.1), такое что, т{0) = то и т(^) = ть

В следующем параграфе рассматривается случай систем со связями. В отличии от систем без связей, в этом случае естественно ставится вопрос не о достижимости конкретной точки, а о достижимости фиксированного подмногообразия И, трансверсалыюго подмногообразию, заполненного "прямейшими" неголономными геодезическими. Мы рассматриваем случай когда сила, либо удовлетворяет верхнему условию Каратеодори, либо полунепрерывна снизу.

Вводится оператор <2 : ТМ Ъ ортогонального проектирования слоев ТМ на их подпрострапства связи Ь, т.е. : ТтМ —> Ът для каждого тп Е М. Описывается аналог включения (3.1) для случая неголономной связи (включение (3.7)). В Замечании 3.4.1 отмечается, что при I 6 [0,<!] и > К все кривые ¿^(«(г) + С«), где взято из шара радиуса К, лежат в некотором компакте 2.

Теорема 3.4.6 Пусть С}Р^,т,Х) удовлетворяет верхнему условию Каратеодори, имеет выпуклые замкнутые ограниченные образы растёт менее чем квадратично по скоростям на [0, ¿] х Е, где [О, I] -некоторый промежуток, а 5 - компакт из Замечания 3.4-1 • и точки тих и то не сопряжены вдоль некоторой прямейшей. Тогда при достаточно малом > 0 существует решение то(<) дифференциального включения (3.7) такое, что т(0) = то и ш(^) Е N.

Теорема 3.4.7 Пусть точки гпг и то не сопряжены вдоль некоторой прямейшей, а т, X) полунепрерывно снизу, имеет замкнутые ограниченные образы и растёт менее чем квадратично по скоростям на [О, I] хВ где [0,2] - некоторый промежуток, а Е - компакт из Замечания 3-4.1. и точки и то не сопряжены вдоль некоторой прямейшей. Тогда для достаточно малого ^ > 0 существует решение т{{) дифференциального включения (3.7) такое, что га(0) = то и т(<х) 6 N.

Теорема 3.4.8 Пусть точки т\ и тщ не сопряжены вдоль некоторой прямейшей, а т, X) полунепрерывно снизу, имеет замкнутые ограниченные образы и растёт квадратично по скоростям на [0, 1} х Н, где [0, /] - некоторый промежуток, а В - компакт из Замечания 3-4-1-, точки тп\ и то не сопряжены вдоль некоторой прямейшей. Также, пусть при Ь е [О, I] и т Е Е, для функции гп) из определения 3.1.4 найдётся число 5, такое что выполняется следующее неравенство: а(*, т) < 3 < ^су- Тогда для достаточно малого

> 0 существует решение т({) дифференциального включения (3.7) такое, что т(0) — то и т^г) Е N.

Теорема 3.4.9 Пусть QF(t,m,X) удовлетворяет верхнему условию Каратеодори, имеет выпуклые замкнутые ограниченные образы и растёт квадратично по скоростям на [0, i] хЕ, где [0, /] - некоторый промежуток, а S - компакт из Замечания 8.4-1-, точки mi и то не сопряжены вдоль некоторой прямейшей. Также, пусть при t £ [0, i] и т € а, для функции a(t,m) из определения 3.1.4 найдётся число 8, такое что выполняется следующее неравенство: a(t,m) <5 < • Тогда для достаточно малого ¿i > 0 существует решение m(i) дифференциального включения (3.7) такое, что m(O) = то и m{ti) € N.

В четвёртой главе рассматривается двухточечная краевая задача для дифференциальных уравнений второго порядка на лоренце-вых многообразиях, возникающая в связи с концепцией системы отсчета, предложенной А. Полтораком. В этой концепции система отсчета определяется как некоторое гладкое многообразие с заданной на нем связностью. В простейших случаях - это пространство Минковского с плоской связностью, однако в более сложных случаях возможны другие многообразия и связности. При этом геодезическая т(т) связности Леви-Чивита на М (мировая линия в отсутствие других сил, кроме гравитации) описывается в системе отсчета уравнением

£m(r) = GmW(m(r),m(r)). (4.1)

причем правая часть (4.1) квадратична по скоростям m(r).

Нами рассматриваются два случая: система отсчета с плоской связностью и система отсчета с римановой связностью. Для указанных двух связностей исследуется следующий вопрос: возможно ли соединить два события то и гщ в М времениподобной геодезической при условии, что эти события соединимы в системе отсчета геодезической соответствующей связности, у которой начальный вектор временил» добен, т.е. лежит внутри светового конуса пространства ТтоМ. Этот вопрос может быть интерпретирован следующим образом: принадлежит ли событие mi собственному будущему события то в М, если это выполняется в системе отсчета? Найдены геометрические условия, при выполнении которых ответ на поставленный вопрос положителен.

В первом параграфе главы описывается некоторая модификация концепции системы отсчета по А. Полтораку, используемая в дальнейшем.

Во втором параграфе исследуется случай системы отсчета Т^М с плоской связностью. Доказана Лемма 4.2.1 о некоторых свойствах ин-

тегральных операторов в пространстве Минковского, в которой вводятся числа ей С, построенные по событиям то и тгц и аналогичные числам из Леммы 2.1.3 с учетом требования, чтобы после интегрирование кривые были времениподобными. Основным результатом параграфа является следующее утверждение.

Теорема 4.2.3. Пусть гщ и т\ соединены в О прямой а(г) такой, что а(0) = то, а(Т) — которая лежит внутри светового конуса пространства Т^М. Пусть то и т± лежат в шаре V С ТтМ таком, что для любого т£ V выполняется неравенство ||С?т|| < (е+с)1 > где е и С введены в лемме 4-2-1- Тогда на М существует време-ниподобная геодезическая то (г) связности Леви-Чивита лоренцевой метрики такая, что то(0) = то и то(Т) = т\.

Во третьем параграфе рассматривается случай, когда в качестве связности на ТтоМ выбрана риманова связность некоторой (положительно определенной) римановой метрики. Эта задача мотивируется естественным обобщением идеи, приводящей к евклидовым моделям в квантовой теории поля. Доказываются Леммы 4.3.1 и 4.3.3, являющиеся аналогами Леммы 2.1.3 для времениподобных кривых. В этих леммах описываются числа ей С для рассматриваемого случая.

Доказывается следующая теорема.

Теорема 4.3.4. Пусть то и т\ в системе отсчета не сопряжены вдоль геодезической 7(г) связности системы отсчета такой, что 7(0) = то, 7(Т) = т\ и вектор лежит внутри светового

конуса пространства ТГГ1аМ. Пусть также эти точки лежат в шаре V С. О, в котором для любого т 6 V выполняется неравенство УС^пИ < (е+с)а' е > ^ выполнены утверждения лемм 4-3.1 и

4-3.3 и С > 0 - число из леммы 4-3.1. Тогда на М существует време-ниподобная геодезическая то(т) связности Леей- Чивита лоренцевой метрики такая, что то(0) = то и то(Т) — т\.

Публикации автора по теме диссертации

1. Зыков П.С. О разрешимости двухточечной краевой задачи для уравнений типа пульверизаций па римановых многообразиях /П.С. Зыков// Известия РАЕН, серия МММИУ. - 2004. - Т.8, N 1-2. - С.

5-13.

2. Зыков. П.С. Двухточечная краевая задача для геодезических пульверизаций /П.С. Зыков// Международная школа семинар по гео-

метрии и анализу памяти Н.В.Ефимова. Абрау-Дюрсо. 5-11 сентября

2004. Труды конференции. - Ростов н/Д, 2004. - С. 190-191.

3. Зыков П.С. Качественные свойства уравнений типа пульверизации /П.С. Зыков// Воронежская зимняя математическая школа - 2004.

- Воронеж, 2004. - С. 53-54.

4. Зыков П.С. Дифференциальные включения второго порядка на римановых многообразиях с менее, чем квадратичным ростом по скорости /П.С. Зыков// Соврем, мет. теории функций и смежн. пробл: Материалы конференции. - Воронеж, 2005. - С. 98-99.

5. Zykov P.S. On the two-point boundary value problem for geodesic sprays /Yu.E. Gliklikh, P.S. Zykov// International conference "Geometric topology, discrete geometry and set theory dedicated to centenary of L.V. Keldysh. Abstracts. Geometric topology. - Moscow, 2004. - P. 3-4.

6. Зыков П.С. Дифференциальные включения второго порядка с менее, чем квадратичным ростом по скоростям на римановых многообразиях /П.С. Зыков// Тр. мат. ф-та, вып. 9 (новая серия). - Воронеж,

2005. - С. 72-77.

7. Зыков П.С. О дифференциальных включениях второго порядка со связями на римановых многообразиях /П.С. Зыков// Сем. по глоб. и стох. анализу/ Сборник науч. ст. под ред. Ю.Е. Гликлиха и Ю.И. Сапронова, - Воронеж, 2005. - Вып. 1. - С. 52-58.

8. Зыков П.С. О двухточечной краевой задаче для уравнений геодезических /Ю.Е. Гликлих,П.С. Зыков// Фундаментальная и прикладная математика, 2005. - Т. 11, вып. 4. - С. 65-70

9. Zykov P.S. On the two-point boundary value problem for quadratic second order differential equations and inclusions on manifolds /Yu.E. Gliklikh, P.S. Zykov// Abstract and Applied Analysis. - 2006. - Vol. 2006.

- Articlc ID 30395. - P. 1-9

10. Зыков П.С. Об одной двухточечной краевой задаче на лорен-цевом многообразии, связанной с системами отсчета по А. Полтораку /Ю.Е. Гликлих, П.С.Зыков// Вестник Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. - 2006. - Вып. 1. - С. 124-129

11. Зыков П.С. Двухточечная краевая задача в системе отсчёта с римановой связностью / П.С. Зыков // Международная школа семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова. Абрау-Дюрсо. 5-11

- сентября 2006. Труды конференции. - Ростов н/Д, 2006. - С. 190-192.

я LVvVVt^v* vvyf VWV/V /v

'гйрнШ* Ш $

Зыков Пётр Сергеевич

Двухточечная краевая задача для квадратичных дифференциальных уравнений и включений второго порядка на многообразиях

Автореферат

Лицензия ИД № 0624 от 12.11.2001 Подписано в печать 27.10.2006 Формат 60x84/16. Печать офсетная. Бумага офсетная. Тираж 100. Заказ № /ьт^

Издательство Курского госуниверситета 305 000 г. Курск, ул. Радищева 33

E-mail: nauka@pochtanvt.ru

Отпечатано в лаборатории информационно-методического Обеспечения КГУ

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Многозначные отображения.

1.2 Элементы теории гладких многообразий.

1.3 Геометрическая механика с линейными связями.

1.4 Элементы общей теории относительности.

2 Интегральные операторы с римановым параллельным переносом.

2.1 Оператор 5.

2.2 Годограф скорости.

2.3 Интегральные операторы для систем со связями.

3 Двухточечная краевая задача на римановых многообразиях

3.1 Постановка задачи и математический аппарат.

3.2 Дифференциальные включения второго порядка с менее, чем квадратичным ростом по скоростям.

3.2.1 Дифференциальные включения с правой частью, удовлетворяющей верхнему условию Каратеодори.

3.2.2 Дифференциальные включения с правой частью, полунепрерывной снизу.

3.3 Дифференциальные включения второго порядка с квадратичным ростом по скоростям.

3.4 Дифференциальные включения второго порядка со связями на многообразиях.

3.4.1 Математический аппарат.

3.4.2 Основные утверждения.

4 Двухточечная краевая задача на лоренцевых многообразиях

4.1 Концепция системы отсчёта по А.Полтораку.

4.2 Случай системы отсчета с плоской связностью.

4.3 Случай системы отсчета с римановой связностью

Двухточечные краевые задачи для дифференциальных уравнений и включений второго порядка являются классической областью исследования в теории обыкновенных дифференциальных уравнений и до настоящего времени активно исследуются во всем мире (см., например недавние публикации о двухточечных задачах для дифференциальных включений [1] - [12]).

Отметим, что к дифференциальным уравнениям и включениям второго порядка сводятся законы движения механических систем (к включениям - в случае разрывных силовых полей или силовых полей с управлением), причем рассмотрение подобных уравнений и включений на многообразиях позволяет охватить механические системы на нелинейных конфигурационных пространствах. Указанные уравнения и включения на многообразиях также естественно возникают и в других разделах математической физики (например, в общей теории относительности), а также в геометрии многообразий.

По сравнению со случаем линейных пространств двухточечная краевая задача для уравнений и включений на римановых многообразиях существенно усложняется: даже в классических для линейных пространств случаях разрешимости на многообразиях двухточечная краевая задача может не иметь решений. Так, имеются примеры дифференциальных уравнений второго порядка на компактном многообразии с гладкой ограниченной правой частью (даже не зависящей от скорости), в которых для двух точек, сопряженных вдоль всех геодезических связности Леви-Чивита, их соединяющих, нет ни одного решения уравнения, соединяющего эти точки (см., например, [13, 14]; поскольку в плоском евклидовом пространстве сопряженных точек не существует, подобный эффект в классическом плоском случае не наблюдается). Аналогичные эффекты неразрешимости имеют место и для случая уравнений и включений с линейным ростом правой части (см., например, [13]). Ниже в тексте диссертации приводятся аналогичные примеры для уравнений, чьи правые части имеют квадратичный рост. Таким образом, указанный эффект является универсальным и не зависит от скорости роста правой части.

В случае, когда правая часть дифференциального уравнения второго порядка имеет квадратичный рост, возникают особые эффекты, из-за которых двухточечная краевая задача может быть не разрешима. Один из подобных примеров в Я? приведен ниже в тексте диссертации.

Двухточечная краевая задача для уравнений и включений второго порядка на римановых многообразиях для точек, не сопряженных вдоль хотя бы одной геодезической, их соединяющей, иссследовалась многими авторами при различных условиях. Для уравнений (т.е. в случае однозначной правой части) разрешимость была показана Ю.Е. Гликлихом для непрерывной правой части [15] (случай ограниченной правой части) и в [16] (случай линейного роста по скоростям), Е.И. Яковлевым, например, в [17] для гладких правых частей при выполнении некоторых сложных условий и В. Гинзбургом в [18] для гладких правых частей с менее, чем квадратичным ростом по скоростям. Разрешимость двухточечной краевой задачи для дифференциальных включений с правыми частями различных типов была доказана Б.Д. Гельманом и Ю.Е. Гликлихом [19], Ю.Е. Гликлихом и A.B. Обуховским [20, 21] и М. Киселевичем [22] и др., но только в случае ограниченных правых частей. Отметим, что подход работы [18] для уравнений с гладкой правой частью с менее, чем квадратичным ростом по скоростям, не применим к включениям, поскольку основан на свойстве единственности решений, отсутствующем для включений.

Укажем модификацию двухточечной краевой задачи для уравнений и включений второго порядка, подчиненных неголономным связям в смысле Вершика-Фаддеева: в этом случае естественно ставить вопрос о возможности соединить решением заданную точку и некоторое подмногообразие. Эта задача исследовалась Ю.Е. Гликлихом в [23] и A.B. Обуховским в [24, 25], однако также только для случая ограниченных правых частей.

В указанный цикл вопросов естественным образом включается классическая задача о возможности соединить две заданные точки многообразия геодезической некоторой связности. Для связности Ле-ви-Чивита полного риманового многообразия разрешимость этой задачи следует из теоремы Хопфа-Ринова, но это не верно даже для римановых связностей с ненулевым кручением. Существует примеры связностей (см., например, [26]), в том числе, на компактном многообразии (двумерном торе) для которой эта задача не разрешима (см. [27]).

Известно, что геодезические кривые одной связности описываются в терминах ковариантной производной другой связности посредством дифференциального уравнения второго порядка, у которого правая часть квадратична по скоростям, т.е. поставленная задача сводится к двухточечной краевой задаче для указанного уравнения.

Особый интерес вызывает указанная задача на лоренцевых многообразиях, поскольку естественно возникает в общей теории относительности. Так, в цикле работ А. Полторака [28, 29] (см. также развитие этой теории в [30]) была предложена новая концепция системы отсчета в общей теории относительности, как некоторого многообразия с заданной на нем связностью. При этом не был изучен вопрос о том, принадлежит ли некоторое событие собственному будущему некоторого другого события на пространстве времени, если это выполняется в системе отсчета. Указанный вопрос сводится к вопросу о существовании времениподобной геодезической, соединяющей заданные события в пространстве-времени, т.е. к двухточечной краевой задаче для уравнения геодезических на пространстве-времени в терминах связности системы отсчета - для дифференциального уравнения второго порядка с правой частью, квадратичной по скоростям.

Целью работы является изучение разрешимости двухточечной краевой задачи и ее аналогов для дифференциальных уравнений и включений второго порядка на римановых и лоренцевых многообразиях, у которых правые части имеют квадратичный или менее, чем квадратичный рост по скоростям.

Методика исследований. Использовались идеи и методы современного глобального анализа, нелинейного анализа, в частности разработанный Ю.Е. Гликлихом метод интегральных операторов с римановым параллельным переносом и годографов скорости.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:

1. На полном римановом многообразии найдено геометрическое условие, при выполнении которого для двух точек, не сопряженных вдоль хотя бы одной геодезической связности Леви-Чивита, их соединяющей, разрешима двухточечная краевая задача для дифференциальных включений второго порядка у которых правая часть имеет квадратичный рост по скоростям и удовлетворяет верхнему условию Каратеодори (и в этом случае имеет выпуклые образы), либо полунепрерывна снизу. Как частный случай получено достаточное условие при котором две точки на полном римановом многообразии могут быть соединены геодезической другой связности.

2. Установлено, что описанное выше условие всегда выполняется для уравнений и включений, у которых правая часть имеет менее, чем квадратичный рост по скоростям. На этой основе доказано, что для двух точек, не сопряженных вдоль хотя бы одной геодезической связности Леви-Чивита, их соединяющей, при достаточно малых временах всегда разрешима двухточечная краевая задача для дифференциальных включений второго порядка с правой частью, имеющей менее, чем квадратичный рост по скоростям и удовлетворяющей верхнему условию Каратеодори (и в этом случае имеет выпуклые образы), либо полунепрерывна снизу.

3. Изучены дифференциальные включения второго порядка на ри-мановых многообразиях, подчиненные неголономным связям в смысле

Вершика - Фаддеева, с правой частью, имеющей квадратичный рост по скоростям или менее, чем квадратичный рост по скоростям и либо удовлетворяющей верхнему условию Каратеодори (в этом случае образы многоозначного отображения выпуклы), либо полунепрерывной снизу. Получены утверждения о разрешимости аналога двухточечной краевой задачи для данных включений.

5. В двух специальных случаях систем отсчета по А. Полтораку найдены условия, при выполнении которых из того, что одно событие принадлежит собственному будущему в системе отсчета, следует, что то же свойство выполняется в пространстве-времени.

Теоретическая и практическая значимость.

Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты применяются при исследовании механических систем на нелинейных конфигурационных пространствах с разрывными силовыми полями или с управлением, а также в общей теории относительности.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной научной конференции по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2004г), на Воронежской зимней математической школе 2004, на Международной конференции "Геометрическая топология, дискретная геометрия и теория множеств", посвященной столетию Л.В. Келдыш (Москва, 2004) и на международной научной конференции Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения (Воронеж, 2005).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в [31] -[41]. Из совместных работ [35] и [38] - [40] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, четырех глав, разбитых на 14 параграфов, и списка литературы, включающего 58 источника. Общий объем диссертации 98 страниц.

1. Kandilakis D.A. Existence theorems for nonlinear boundary value problems for second order differential inclusions /D.A. Kandilakis, N.S. Papageorgiou//J. Differential Equations 132 (1996), no. 1, 107125.

2. Halidias N. Existence and relaxation results for nonlinear second-order multivalued boundary value problems in RN /N. Halidias, N. S. Papageorgiou// J. Differential Equations 147 (1998), no. 1, 123-154.

3. Bader R. On the topological dimension of the solutions sets for some classes of operator and differential inclusions /R. Bader, B.D. Gel'man, M. Kamenskii, V. Obukhovskii// Discuss. Math. Differ. Incl. Control Optim. 22 (2002), no. 1, 17-32.

4. Boucherif A. Boundary value problems for second order differential inclusions /A. Boucherif, B. Chanane// Int. J. Difer. Equ. Appl. 7 (2003), no. 2, 147-151. 10

5. Gasinski L. Strongly nonlinear multivalued boundary value problems /L. Gasinski, N. S. Papageorgiou// Nonlinear Anal. 52 (2003), no. 4, 1219-1238.

6. Gasinski L. Nonlinear second-order multivalued boundary value problems /L. Gasinski, N. S. Papageorgiou// Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci. 113 (2003), no. 3, 293-319.

7. Boucherif A. Second order multivalued boundary value problems /A. Boucherif, B. Chanane// Comm. Appl. Nonlinear Anal. 11 (2004), no. 1, 85-91.

8. Daido Y. Reconstruction of inclusions for the inverse boundary value problem with mixed type boundary condition /Y. Daido, M. Ikehata, G. Nakamura// Appl. Anal. 83 (2004), no. 2, 109-124.

9. Dhage B. C. On boundary value problems of second order differential inclusions. Discuss /B. C. Dhage//Math. DiRer. Incl. Control Optim. 24 (2004), 73-96.

10. Donchev T. A two point boundary value problem for a class of differential inclusions /T. Donchev, M. Quincampoix// J. Nonlinear Convex Anal. 5 (2004), no. 1, 59-69.

11. L. Erbe. On two point boundary value problems for second order differential inclusions /L. Erbe, R. Ma, C. C. Tisdell// Dynam. Systems Appl. 15 (2006), no. 1, 79-88.

12. Гликлих Ю.Е. Глобальный и стохастический анализ в задачах математической физики /Ю.Е. Гликлих. М.: КомКнига (УРСС), 2005 . - 416 с.

13. Gliklikh Yu.E. Global Analysis in Mathematical Physics. Geometric and Stochastic Methods /Yu.E. Gliklikh. New York: SpringerVerlag, 1997.

14. Гликлих Ю.Е. Об одном обобщении теоремы Хопфа-Ринова о геодезических /Ю.Е.Гликлих//Успехи мат. наук. 1974 . - Т.29, вып. 6. - С. 161-162

15. Gliklikh Yu.E. Velocity hodograph equation in mechanics on Riemannian manifolds /Yu.E.Gliklikh// Differential geometry and its applications (Janyska, J., Krupka D., eds.). Singapore Teaneck: World Scientific, 1990. - P. 308-312

16. Яковлев E. И. О разрешимости двухточечной задачи для некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка на многообразиях /Е. И. Яковлев// Бакинская международная топологическая конференция. Тезисы. Часть 2. Баку, 1987. - С. 361

17. Ginzburg V.L. Accessible Points and closed trajectories of mechanical systems/V.L.Ginzburg// Appendix F in 14]. P. 192-201.

18. Гельман Б.Д. Двухточечная краевая задача в геометрической механике с разрывными силами /Б.Д.Гельман, Ю.Е. Гликлих// Прикладная математика и механика, 1980, т.44, № 3. С. 565-569

19. Gliklikh Yu.E. On a two-point boundary value problem for second order differential inclusions on Riemannian manifolds /Yu.E. Gliklikh, A.V. Obukhovskii// Abstract and Applied Analysis. 2003. - No. 10. - P. 591-600.

20. Kisielewicz M. Some remarks on boundary value problem for differential inclusions /М. Kisielewicz// Discussiones Mathematicae DICO. 1997. - Vol. 17. - No. 1,2. - P. 43-50.

21. Гликлих Ю.Е. Операторы интегрального типа и дифференциальные включения на многообразиях, подчиненные неинволютивным распределениям /Ю.Е. Гликлих// Некоторые вопросы анализа и дифференциальной топологии. Киев, 1988. С. 22-28

22. Обуховский А.В. К задаче об управляемости для неголономных механических систем на римановых многообразиях /А.В. Обуховский// Сборник трудов молодых ученых математического факультета ВГУ. Воронеж, 2003. С. 94-102.

23. Обуховский А.В. Неголономные механические системы с многозначной силой на римановых многообразиях /А.В. Обуховский// Воронежская зимняя математическая школа 2004. Тезисы докладов. С. 85-86.

24. Громол Д. Риманова геометрия в целом /Д. Громол, В. Клинген-берг,В. Мейер. М.: Мир, 1971. - 343 с.

25. Bates L. You can't get there from here /L.Bates// Differential geometry and its applications. 1998. - V. 8. - P. 273-274.

26. Poltorak A. On the covariant theory of gravitation /A.Poltorak// 9th International Conference on General Relativity and Gravitation, Abstracts. Jena, 1980. - Vol. 2. - P. 516. (Available on http: //arXiv.org/abs/gr-qc/0403050)

27. Poltorak A. Gravity as nonmetricity. General relativity in metric-afine space (Ln,g) /A.Poltorak// http: arXiv:gr-qc/0407060 v2. 30 Jul 2004. 15 p.

28. Зыков П.С. О разрешимости двухточечной краевой задачи для уравнений типа пульверизаций на римановых многообразиях /П.С. Зыков// Известия РАЕН, серия МММИУ. 2004. - Т.8, N 1-2. - С. 5-13.

29. Зыков. П.С. Двухточечная краевая задача для геодезических пульверизаций /П.С. Зыков// Международная школа семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова. Абрау-Дюрсо. 5-11сентября 2004. Труды конференции. Ростов н/Д, 2004. - С. 190191.

30. Зыков П.С. Качественные свойства уравнений типа пульверизации /П.С. Зыков// Воронежская зимняя математическая школа -2004. Воронеж, 2004. - С. 53-54.

31. Зыков П.С. Дифференциальные включения второго порядка на римановых многообразиях с менее, чем квадратичным ростом по скорости /П.С. Зыков// Соврем, мет. теории функций и смежн. пробл: Мат. конференции. Воронеж, 2005. - С. 98-99.

32. Зыков П.С. Дифференциальные включения второго порядка с менее, чем квадратичным ростом по скоростям на римановых многообразиях /П.С. Зыков// Тр. мат. ф-та, вып. 9 (новая серия). -Воронеж, 2005. С. 72-77.

33. Зыков П.С. О дифференциальных включениях второго порядка со связями на римановых многообразиях /П.С. Зыков// Сем. по глоб. и стох. анализу/ Сборник науч. ст. под ред. Ю.Е. Гликлиха и Ю.И. Сапронова. Воронеж, 2005. - Вып. 1. - С. 52-58.

34. Зыков П.С. О двухточечной краевой задаче для уравнений геодезических /П.С. Зыков, Ю.Е. Гликлих// Фундаментальная и прикладная математика, 2005. Т. 11, вып. 4. - С. 65-70

35. Zykov P.S. On the two-point boundary value problem for quadratic second order differential equations and inclusions on manifolds /Yu.E. Gliklikh, P.S. Zykov// Abstract and Applied Analysis, 2006. -Vol.2006, Article ID 30395. P. 1-9

36. Зыков П.С. Об одной двухточечной краевой задаче на лоренцевом многообразии, связанной с системами отсчета по А. Полтораку /П.С. Зыков, Ю.Е. Гликлих// Вестник Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. 2006. - Вып. 1. - С. 124-129

37. Зыков П.С. Двухточечная краевая задача в системе отсчёта с ри-мановой связностью /П.С. Зыков// Международная школа семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова. Абрау-Дюрсо. 5-11 сентября 2006. Труды конференции. Ростов н/Д, 2006. - С. 190-192

38. Гликлих Ю.Е. Интегральные операторы на многообразии /Ю.Е.Гликлих // Тр. мат. ф-та Воронежск. ун-та. Воронеж. -1971. Вып. 4. - С. 29-35

39. Гликлих Ю.Е. Анализ на римановых многообразиях и задачи математической физики /Ю.Е.Гликлих. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1989. - 189 с.

40. Борисович Ю.Г. Введение в теорию многозначных отображений /Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В Обуховский. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1986. - 104 с.

41. Deimling К. Multivalued differential equations /К. Deimling. Berlin-New York: Walter de Gruyter, 1992. - 257 p.

42. Бишоп P. Геометрия многообразий /Р. Бишоп, Р. Криттенден. -М.: Мир, 1967. С. 335.

43. Кобаяси Ш. Основы дифференциальной геометрии /Ш. Кобаяси, К. Номицзу. М.: Наука, 1981.- Т.1.344 с. - Т.2. 416 с.

44. Вершик A.M., Фаддеев Л.Д. Дифференциальная геометрия и ла-гранжева механика со связями /A.M. Вершик , Л.Д. Фаддеев// Докл. АН СССР. 1972. - Т.202. - N 3. - С. 555-557

45. Вершик A.M. Классическая и неклассическая динамика со связями /A.M. Вершик// Геометрия и топология в глобальных нелинейных задачах (серия Новое в глобальном анализе). Воронеж, 1984. - С. 23-48

46. Мизнер Ч. Гравитация /Ч. Мизнер, Л. Торн, Дж. Уилер. М.: Мир, 1977. - Т. 1.- 474 е.; Т. 2.- 525 е.; Т. 3.- 510 с.

47. Sachs R.K. General Relativity for Mathematicans /R.K. Sachs, H. Wu. N.Y.: Springer-Verlag, 1977. - 291 p.

48. Synge J.L. Hodographs of general dynamical systems /J.L. Synge// Trans. Royal Soc. Canada. Ser. 3. -1931. V.25. - P. 121-136

49. Синдж Дж. Тензорные методы в динамике /Дж. Синдж. М.: ИЛ, 1947. - 43 с.

50. Толстоногов А.А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве /А.А. Толстоногов. Новосибирск: Наука, 1986. - 296 с.

51. Borisovich Yu.G. Fixed points of mappings of Banach manifolds and some applications/Yu.G. Borisovich, Yu.E. Gliklih // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. 1980. - V. 4, No. 1. -P. 165-192

52. Gliklikh Yu.E. Riemannian parallel translation in non-linear mechanics /Yu.E. Gliklikh //Lect. Notes Math., 1984, v. 1108. p. 128-151