Теоремы о неравенствах и двусторонние приближения для трехточечной задачи обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

л

/ • ■' ~ ' "

ТУРКМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" .■1ЫЕНИ.МАПШ1УЛЫ

На.правах рукописи

ПЗЛДИЕВ Харяшмухамея Ашыр оглы

ТЕОРЕМЫ О НЕРАВЕНСТВАХ И ДВУСТОРОННИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ДЛЯ.ТРЕХТОЧЕЧНОЙ ЗАДАЧИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФ&ЕРЕНЩАЛЪШХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА '

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ашгабат - 1594

Работа выполнена в Туркменском государственном университете им.Магтымгулы

Научный руководитель - доктор физико-математических

наув, профессор С.АТДАЕВ

Официальные оппоненты - доктор физико-математических ' • \ наук, доцент Д. БАЗАРОВ

кандидат физико-математических

наук, доцент

И.ВШШШВ

Ведущая организация - ' Туркменский политехнический

институт

Защита состоится "/Р" 1994г. в час

мин, на заседании Специализированного совета

по присуядению ученых степеней кандидата-наук в области математики ври туркменском государственном.университете' имени Магтымгулы по адресу: 744014 ш.Ашгабат, Сапармырат Туркменйаш шаелы 31.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ТТУ имени Магтымгулы. .

Автореферат разослан " 1994 года •

Ученый секретарь -Специглизкрсванкого совета гокгор физико-математических

наук Ли^ги/- . Д.АПЫРАШЕВ

• ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА даССЕРТШОННОЙ РАБОТЫ

Актуальность темы. Многие задачи, с которыми сталкиваются сегодня физики, инженеры и специалиста по прикладной ■ математике, не поддаются точному решению. Среда причин, за' трудюшцих точное решение, можно указать, например, нелинейность получающихся уравнений. Поэтому приближенные метода решения уравнений стали одним из вешние разделов современного прикладного анализа.,

Аналитические методы двусторонних приближений имеют ватаое преимущество по сравнению с другими приближенными методами. Они монотонно снизу и сверху аппроксимируют искомые решения уравнений,, что дает возможность на какдом шаге итерационного процесса получать удобную апостериорную оценку погрешности приближений. Зти методы привлекают внимание и тем, что круг задач, решаемых-с их помощью, все еще не-

• достаточно широк. Этими обстоятельствами, в основном, и определяется актуальность и вакность исследований, направленных на расширение области приложений двусторонних методов.

Настоящая диссертационная работа посвящена разработке аналитических методов двусторонних приближений для трехточечной задачи обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. .

Целью работы является установление теорем о неравен-

• ствах и разработка двусторонних методов.

Научная новизна. В работе установлены новые теоремы о неравенствах. На трехточечную задачу распространены .. различные модификации метола Чаплыгина, известные для обыч-

ной двухточечной краевой задачи. Предложен двусторонний метод для интегродифференциальных уравнений второго порядка..

Теоретическая и практическая значимость- Установленные теорема о неравенствах могут быть использованы и при исследовании других вопросов теории и приближенных методов трехточечной задачи обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Предлоаеннне двусторонние методы оказываются полезными как при теоретическом исследовании, так и при приближенном построении решений. ,

Апробация работы. Результаты диссертации обсуждались

/

в школе-семинаре "Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения" (Самарканд, 1992 г.), на научно-практической конференции молодых ученых СНГ "Человек. Природа. Общество" (Ашгабат, 1992 г.), на научно-практической, конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Ашгабат, 1993 г.), на научных конференциях профессорско-преподавательского состава и на научных семинарах кафедры математического анализа туркменского госуниверситета имени Магтшгулы (руководитель - доктор физ.-мат.наук,профессор-Атдаев С.), на Ашгабатском городском семинаре по диффёрен-циальным уравнениям (руководитель - член АНТ, доктор физмат, наук, профессор Худай-Веренов O.P.).

Публикации. Основное содержание-диссертации опубликовано в работах [i] - [б].

Структура и объем работы.Диссертация состоит из введения, 5 параграфов и списка.литературы, состоящего из 27 наиыекэзангй. Объем работа -70 страниц машинописи.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается описание основных результатов диссертационной работы...

§ I посшщей доказательству теорем о неравенствах ' для трехточечной задачи обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, которые систематически используются в последующих параграфах.

Основные 'результаты содержатся в следующих утвержпе-Теорема 1.1. Пусть функция

1рф,ф(0*ит; иеШ)

непрерывна и имеет непрерывную частную производную Еслй функция (О-^-Ь^'Т^ удовлетворяет условиям

&(о)=иа,&сг)=г?-(%у (I)

и дифференциальному неравенству.

то на интервале JOfT[ имеет место неравенство^,

где решение уравнения

удовл1борявдее условиям

и(о)=и0, (о+То+ч) (з)

' Теорема 1.2. Пусть функция (О^Ь^Т; ПвИ*)

непрерывна и имеет непрерывную частную производную %<№>0. Если функция (0^-Т) удовлетворяет условиям (I) и.дифференциальному неравенству

то на интервале имеет место неравенство

где ЩЬ)~ решение задачи (2) - (3),

- б - •

Теорема 1.3. Пусть функция ф^И) (&')

непрерывна и имеет непрерывную частную производную ДО (ЬЛ1)>0,

1Ц. '

Если функция 2г(Ь) т) удовлетворяет условиям

г),

где = Ь=СШ$Ьу .

и дифференциальному неравенству

то имеет место неравенство . •

где %(£) - решение уравненда удовлетворящее условиям

Из теоремы 1.3 при «С =0 получается теорема о дифференциальном неравенстве для обычной двухточечной краевой задачи (Бабкин Б.Н. Решение одной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка методом Чаплыгина // Прикл.математика и механика. - 1954.- 18, вып.2. - С.239-242), а' при«£=У л В=0 теоремы 1.1, 1.2.

В теоремах 1.1г1.3 условие м°*на

несколько ослабить, а именно, заменить возрастанием по и. •

В § 2 на задачу .

х(о)~х0, зсю^хс%) С0±7<,<Т) (4)

распространяется три модификации метода Чаплыгина, известные для обычной двухточечной краевой задача (Атдаев С. Аналитические методы двусторонних приближений для обыкновенных диф-

ференциальных уравнений. - Ашхабад: Минвуз ТССР, 1988.-116с), пусть функция (^¿¿¿Т; леЩ*)

непрерывна и имеет непрерывную частную производную Во всех модификациях нулевые нижнее Ф0Ш и верхнее Зс0(Ъ) 'приближения определяются из дифференциальных неравенств

хЦ ^Ш^о), хоС0), ^оШ = хаСТс),

х" Хс0Г) = Ло СТо).

Последующие приближения - соответственно из вадач:

а) • _ __

когла и в И=Го5г]х

К=\ч(Щпг ^^Л-^^^^п^ь

когда в £ ^(Ь.Х) удовлетворяет по второму аргументу .условию Липшида;

В) К =ИЙг

Доказывается, что модификации а) и (3) имеют квадратичную скорость сходимости, а в) - скорость геометрической прогрессии.

Б конце параграфа модификация в) применяется к приближенному решению конкретной грехточечной задачи.

В §3 Для задачи /

исследуются две модификации метода Чаплыгина, имеющие квадратичную скорость сходимости, и метод двусторонних приближений, не требующий дифференцируемости правой части уравнения. Пусть функция (О^Ь^Т; X £ В*)

непрерывна и возрастает до х. Во всех трех методах нулевые нижнее и верхнее Х0 (тУ приближения определяются из дифференциальных неравенств

Посгег^х-зее приближения - соответственно из задач:

когда в

б) ХМ?

когда в £

в) _

когда в Ц возрастает по второму аргументу

и не возрастает по третьему.

Устанавливается, что модификации в) и (!) имеет квадратичную скорость сходимости, а для в) - оценка

где _ .

решение задачи •

4елсг)=глсто,

когда в Ц Удовлетворяет условию

• F&x'J) -

при i^^XizX , непрерывная функция

возрастает по -И-, не возрастает1 по и задача'

u"= щс)=о9 ит^ми) ■

имеет только нулевое решение. Рассматривается частный случай метода в). Для обычной двухточечной краев ой Гзадачи исследованные методы известны (Лтдаев С. Два замечания о сходимости двусторонних приближений к решению краевой задачи // Изв. АН ТССР. Сер.физ.-техн..хим.и геол.наук.-. 1989. - « 4. - С.13-15.).

В § 4 исследуется возможность распространения результатов §§ 2 и 3 на общую трехточечную задачу - . .*

где об>0 и £> постоянные. На эту задачу распространяется . модификация в), излокенная в § 2 для задачи (4). Пусть функция

непрерывна иимеет непре- ■ .

рывную частную производную fig^S) >0 • Нулевые ызшее Х0(Ь) к верхнее 3CQ(j>) приближения опредвля-

гг.с-; zs ^сех-енгдальЕШс неравенств •, ■■;

- II -

$Ц > (о)= Х0, я* (Т)=л ^оСТс)+В ?

я! * ШЛ), Х0(Т)=сЬХ0(%)+Ь.

Последу щие приближения соответственно из задач:

мй

Доказывается, что и 3 определен-

ные из задач (7) и (8), равномерно на [о,7] сходятся к енн-ственноаду решению (6), при этом

£0 -ш&х (х0Ш-х0ф).

где

п

.М-м П _ МСг-ю) 7 _

ми -ЗШТ-МкЯГЪ ■

1ЬЖГ^„ $Шт+<1 ЬШ(!?-70) -зШт) Г лм м I ьктт-^кжг- ]

где

^ ^ШтызШГо ) я у

В § 5 двусторонние приближения к решению строятся и исследуются для задачи

где«и5 постоянные?

(РШТ;Х#еЩ)И ¡С&,Х)(ЩЗ£Т) ле/ЛО

непрерывные функции. Пусть ХСШ И Х0Ш (0- ¿—Т) двакды непрерывно дифференцируемые функции, удовлетворяющие неравенствам

(¿>£¿¿1% (10) о

(II)

о ^ . (12)

Пусть

о

о

в выполнены условия

ф (±, X Ф -Ф Хф± м - *)

лри х ^Х, где М -ст$-к >0,

^ л Я

при ХШ&ХСь)

За нулевые нижнее и верхнее приближения берутся функции Х0Ш и ХсШ » Удовлетворяющие неравенствам (10) -- (12)« Последующие нижние и верхние приближения определяю, ся.из задач

■Ь.

о

Доказывается, что при этих условиях приближения (13) и (14) равномерно на [09Т] сходятся соответственно к нижнему к верхнему решениям задачи (9).

Если дополнительно предположить, что в Я выполнено

условие

£ - -ч *

О О

то справедливо неравенство

о-Ы.4 Т

¿¡¿л

в-ё^Ю-ё^0-^)

О- ё^™-™)

где

Таким образом, в диссертационной работе получены результаты:

1. Впервые установлены теоремы о дифференциальных

• неравенствах второго порядка, с трехточечными условиями, представляющие самостоятельный научный интерес и система. тически используемые в работе.

2. На трехточечную задачу дифференциальных уравнений второго порядка распространены три модификации метода Чаплыгина, известные для обычной двухточечной краевой задачи.

3. Для трехточечной задачи дифференциальных уравнений второго порядка с расщепленной правой частью исследованы две модификации метода Чаплыгина, имениие квадратичную скорость сходимости, и метод двусторонних приближений, не требующий дифференцируемости правой части уравнения.

4. Изучена возможность применения модификаций метода Чаплыгина к общей трехточечной, задаче дифференциальных уравнений второго порядка.

5. Дда общей трехточечной задачи интегродифферен-циальных уравнений второго порядка построены двусторонние приближения к решению. Указаны условия . сходимости и оценка погрешности построенных приближений.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Атдаев С., Гелдиев X. Теорема о дифференциальном неравенстве и двусторонние приближения для одной нелокально:'! краевой задачи /У Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. - Киев, 1992. - С.8-10. Рукопись полностью деп.в ТуркменНИИНТИ 25.05.1992г., й 244 -Ту. .

2. Атдаев С., Гелдиев X. Об одной трехточечной задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Труда научна-практ.конф. "Дифференц.уравнения и их прилоаения". - Ашгабат, 1993. -ч. I. - С.54-59.

3. Атдаев С., Гелдиев X. О методе Чаплыгина для одной нелокальной краевой задачи // Изв.АН Туркменистана . Сер.физ.-техн.,хим.и геол.наук.-1993. - Я 2.-^.3-?.

4. Гелдиев X. О сходимости двусторонних приближений

к решению нелокальной краевой задачи // Деп.в ТуркменНИИНТИ 29.04.1992г. й 237 - Ту.

5. Гелдиев X. Двусторонние приближения для нелокаль-.. ной краевой задачи интегредифференциалышх уравнений второго порядка // Тез.докл.научно-практической конф.молодых ученых СНГ "Человек. Природа, Общество".- Ашгабат,1992.- .

С.10-И.

РЕФЕРАТ

Шу гун физиклериц.иняенерлерим ее амалы математика бсюнча специа-листлериц иш салышян кеп меселелери такык чезулмейэр»Онун себаплериниц бири хем алынян денлемелериц чызыклы дэлдигидир»Шонуц учин хем децле-мелери такмыны чэзмек методлары хэзирки заман амалы анализиц мохум бо-лумлериниц бири.болуп дуряр,

Икитараплайын якынлашмаларыц аналитик методлары дечлемелери такмыны чезмегиьг бейлеки методлары билен децешдириленде мвхум артыкмачлы-га эедирлер^лар деилемелерин гвзленйэн чвзувлерини ашакдан ее ёкардан монотон аппроксимирлейэрлер.бу болса итерацион лроцесиц хер бир эдимин-де' якынлашмаларыц ялцышяыпьжын аматлы апостериор бахасыны алмаклыга мумкинчилик берйэр1Бу методлара унс берилмегиниц себаплериниц ене бири , оларыц кемеги билен чэзулйэн меселелериц етерликче кеп дэлдигидир^Эса-• сан шу ягдайлар икитараплайын якынлашмаларыц уланлыш яйласыны гицепт-мэге гэнукдирилен баряагларын актуаллыпыны ве мехумлигини кесгитлейэр-лер*

Диссертацион иш икин)ци тертипли ады дифференциал денлемелерич уч' нокатлы меселеси учин икитараплайын якынлашмаларыц аналитик методлары-ны. йшлэп тайярламакЛыга багышланандыр1 : Ишде ашакдакы нетичедер алынды:

■■11 бзбашдак ылмы ехмиети болан ее ишде ызыгидерли уланылян учнокатлы шертли икин^и 'тертипли дифференциал децсизликлер барадакы теоремалар илкин^и гезек субут эдилди»

2, Адаты икинокатлы гыра меселелери учин белли болан Чапль-гин' методыныц уч модификациям икинщи теотипли дифференциал децлемело-риц учнокатлы меселесине яйрадылдьц

Зь Белекленен саг белекли икинци тертипли дифференциал дон" лемелериц учнокатлы меселеси учин Чаплыгин методынощ квадратик йогча--> .'ныш тизликли ики модификациясы ве децлемэнин саг белегинден ' !: цирлеимеги талап э^мейэн икитараплайын яккнлашмалар метод», эсасламд..--: . рылды, '