Исследование периодических решений некоторых классов дифференциальных уравнений второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

~ с о Ч

и I,

Академия наук Украины Ордена Трудового Красного Знамв1Ш Институт математики

На правах рукописи

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата Физико-математических наук

ЧОРНЫИ Виктор ЗиноБьевич

Киев - 19Э2

Работа выполнена в отделе математической физики и нелинейных колебаний Института математики АН Украины.

Научный руководитель : академик,доктор технических наук, профессор МИТРОПОЛИЯМ К).А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук РОНТО И.И.,

кандидат физико-математических наук ЩУК В.В.

Ведущая организация: Львовский государственный университет им. Ч.Я.Франко

Защита состоится "_" ■ _(99_г. в _ часов

на заседании■специализированного совета Д 016.50.02 при Институте математики АН Украины по адресу: 252601 Киев 4, ГСП, ул.Репина,3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института. Автореферат разослан "_"_19?_г.

Ученый секретарь специализированного совета

ЛУЧКА А.Ю.

■ ■J1!

ЗЦИЙ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние годы значительный интерес вызывает всестороннее и глубокое исследование колебательных процесов, возникающих в системах электро- и радиотехники, вибротехники, небесной механики, приборостроения, регулирования и т.д.

Весьма эфектившм средством изучения колебателышх процессов являются асимптотические методы нелинейной механики, разработают в фундаментальных трудах Н.М. Крылова, H.H. Боголюбова, Ю.А. Митро-польского и развитые их учениками и последователями. Особо успешно эта методы применяются в исследовании слабо нелинейных систем, эффект от нелинейности которых проявляется медленно и может быть обнаружен в асимптотических разложениях. Это,однако, не решает в полной мере проблему изучения даже чисто гармонических колебаний систем, для которых нелинейность является существенной.

Для иследования периодических решений дифференциальных уравнений, характеризующих эти колебания, многими авторами создаются и развиваются функционально-аналитические, численно-аналитические методы и схемы.

Одним из удобных методов отыскания периодических решений является численно-аналитический метод, предложенный A.M. Самойленко, который представляет собой искомое периодическое решение как предел последовательных приближений,каждое из которых является периодической функцией. В работах A.M. Самойленко, Т.Г. Стрижак, Н.И.Ронто, Д.И. Мартышка, О.Д. Нуржанова, Г. Вахабова, В.П. Ткача указаны возможности метода для исследования вращательных, вращательно-колебательных движений, а также распространение его на эволюционные систекш, системы интегро-дифференцилышх уравнений и уравнений в частных производных. При помощи численно-аналитического метода было выполнено также ряд работ H.A. Перестюка, Н.О. Курпеля, Г.П. Хомы.

Отметим, что несмотря на достаточно большое количество работ по изучению периодических решений для обыкновенных диф&эртдаальшх уравнений метода исследований нелинейных уравнений второго порядка изучены не в полной мера. Поэтому исследование таких уравнений занимает вакное место в дальнейшем развитии эффективных и удобных для реализации методов исследования периодических решений.

Цель работа -построение алгоритма двусторонних приближений периодических решений дифференциальных уравнений второго порядка, обобщение численно-аналитического метода последовательных приближений для исследования решений систем интегро-дифференциалышх уравнений второго порядка.

Методы работы базируются на разработанном A.M. Самойленко численно-аналитическом методе, теореме А.Н. Тихонова о сжимающих отображениях.

Научная новизна результатов диссертационной работы состоит в следующем :

-найдены новые условия разрешимости и достаточные условия существования периодических решений дифференциальных уравнений второго порядка;

-построен алгоритм двусторонних приближений периодических решений данных уравнений;

-развита методика построения последовательных приближений для систем интегро-дифференциалышх уранений второго пордяка.

Теоретическая и практическая ценность диссертации состоит в том, что полученные результаты обобщают и дополняют соответствующие исследования по периодическим краевым задачам для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядке!. Разработанная методика исследований периодических краевых задач может быть перенесена на другие виды нелинейных уравнений, а также использована при решении задач механики и физики.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинаре отдела математической физики и теории нелинейных колебаний Института математики АН Украины.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 11-41.

Обьем и ■ структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка цитируемой литературы, содержащего 112 наименований, Обьем работы соствляет 102 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе предложена новая схема численно-аналитического метода для изучения периодических решений дифференциальных и инте-гро-дифференциальных уравнений второго порядка, а также предложен алгоритм двусторонних приближений периодических решений этих уравнений.

В §1 рассматривается дифференциальное уравнение вида

х-Ц) = т.хШ.г (Ю). (1)

Предполагая, что функция Ш.хШ.х'(г)) определена в области -ю<г<оо; а < 5 Ь; с < X' (1;) < <1. (2)

периодична по г с периодом Т, непрерывна го совокупности переменных х, у и удовлетворяет неравенствам

I х.у) I 2 II , (3)

I т.х^у,) - т,х2,у2) | < я^х,^! + яг1у1-уг1. где М, К1, К2 - положительные постоянные, связанные соотношениями

Т% ИТ Т11

Ь-а 2 -д— , С5 --у- < й ,

(4)

г2я1 ткг

—г~ < 1 .

получен алгоритм построения периодического решения уравнения (1), сущность которого заключается в следующем утверждении.

Теорема I. Пусть функция Ш.х.у) определена в области (2), периодична по I о периодом Т, непрерывна по совокупности переменных 1., х, у, удовлетворяет неравенствам (2), (3) и условию (4). Тогда последовательность периодических по X с периодом Т функций

I

= х0 + " "О Лт -

О

(5)

Т

, г иТ - ± Г(г,х ),х'(а,х ))(--1)<1т.

<р J т От и ^

п

сходится при т -» да равномерно относительно

т^и т^п

-а>

< г < <»; а + -< хп < Ь -

16 и 16

Болев того, предельная функция хю(1;,х0) определена в области (2),периодическая по I с периодом Г и представляет собой единственное решение уравнения

х(г,х0) = х0 + |кт,х(1,х0),х'- %

> йх

5 ] Кт.хСг,х0),х' (т,х0))(--г)йт.

О

(6)

иг

В теореме 2 установлена связь между решением интегрального уравнения (6) и дифференциального уравнения (1).

Теоремы I и 2 утверждают, таким образом, что всякое периодическое с периодом Г решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (3) и неравенствам (4), проходящее при г=0 через точку

ТгМ ТЧ

а+ -£ х0 ¿Ь--, можно найти как предел последопательности

16 16 периодических функций (6) . При этом разность между точным периодическим решением хШ и его приближением хт(г,х0)оценивается с помощью неравенств

1 О

ит

1х®(1:'хо) - 5 Р^-рг1-—. <8)

4

где

Iй Г

р = — К1 * - КР-

о

г

В параграфе рассмотрена также задача управления доя периодической краевой задачи (1). Установлено, что управление |1 для задачи (1) равно значению Л(х0)- постоянной в точке (О,х0)

Г

^ " А<*о> " \ ^Сс.я^ег.Хд).^(т.Хо))Ит .

О

В связи с тем, что функцию Л(х0) можно найти лишь приближенно, исходя из последовательности функций (5), определяем

Г

Г

О

Каждая из функций последовательности (5) определена и непрерывна

, Т2» Ч^М .

по х0 е I а + —; Ь--I . Кроме того,из неравенств (7),(8)

16 16-^

следует оценка

1Л<*0> : Ат<*0>1 5 по)

где (1га = Ир (1~р) . Учитывая непрерывность функций Лт(*0) и оценку (10), доказано следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть правая' часть уравнения (1) удовлетворяет условиям теоремы I и для некоторого т функция удовлетворяет

неравенствам

„ т1п &М 5 а, Ат(*о> - ЛпГ

1е ° 1б 16 0 1б

Тогда уравнение (1) имеет периодическое с периодом Г решение х =• х(1)} для которого х(1;), х' (t) принадлекат области (2) при Ъ я (-«;■»)

, ТЧН Г1« , ЫТ

х(0) ^ I а 4- -: Ь--|х(0)| 5

1 16 16 1

4

Равенство Ат(хо)=0 всегда выполняется для уравнений, правые части которых нечетны по 1;. В данном случае имеет место слодушэе утверждение.

Теорема пусть правая-часть уравнения (1) в области (2) удовлетворяет условиям (3)-(4) и имеет место неравенство

б16- —и уолошю r(-t.-x.y) = -I(t,x,y).

Тогда уравнониь (1) имеет периодическое с периодом Г решение, определяемое соотношением x(t,0) = x°(t,0).

Во втором параграфе результаты предыдущего параграфа перенесены на интегро-дифференциальные уравнения вида

rt+h(t)

x-(t) « r(t.x(t).r (t). J(p(t,s,x(8),x- (B))ds), rt

где h(t)-периодическая функция, г-целое число.

В третьем параграфе рассматривается система дифференциальных уравнений ввда

>(t) = g(t,x(t)),

где х = {х,.....xn), g(t,x) = (gj.....gn) - элементы евклидового

пространства. Положим

g(t,x(t)) = X(t.x(t),x(t)) и рассмотрим систему уравнений

x-(t) = l(t.x(t).x(t)), (11)

относительно которой предположим, что функция I(t,u,v) определена в области

te (-«;<*>), U,V в 18,Ы, (12)

а = (а,.....ап) « Еп, Ь = ((Ц.....dn) « Е,

непрерывна по совокупности переменных t.u.v, периодична по t с периодом Г и удовлетворяет неравенствам

т s f(t,u,v) s и,

т = (mr...,mn) * En, II = (И,.....Un) * En (13)

I(t,u,v) < i(t,0,v),

при U £ U, ViV,

Относительно постоянных Т,к,т,Ъ,а предположим, что для них выполняется неравенство

п2

-i- (М-т) s Ь-а (14)

8

Определим две последовательные функций

( url(t.x0)). on(t,x0)), n = 0,1,... с помощью рекуррзнишх соотношений

t/2

' 0 2

t (Г+t)/2

-|f(a,vn(T,x0),un(T.x0))(i - -Od-t, - 1 (|f(a,yncr,z0),un(t,x0 T

- T)dT - ff(-t,uh(T,x0),vn(i;,x0))('r

2 (T+i)/2

t/2

Tm1(t'V = X0 + ^ ^(X.^Cl.ZoJ.U^Cl.^JJtl-TXlt-

t (T+t)/2

-Гг(т,ип(1;,х0),^(т,х0))(т - ijdu - i <[fCt.u ),

t/2 2 T -t

(15)

vn(T.V)>

X(2Ü - a)dx - rf(t,7m('utx0),um(T.x0))(t - MjdtJ, 2 (Г+t )/2 2

полагал

l^(t.x0) = - ß(t)i~i, v0(t.x0) = *0 + ß(t)j

2 и и 2

(1б)

ß(t) = Ubii , a + ^(it-n) < xn < b - ¥.(M-m) . 4 32 0 32

Предположим, что I(t,u,v) в области (12) удовлетворяет условиям

f(t,U' ,V ) - f(t,U".7") < К, (r-r'HKgÜl'-U") (IT)

при u- > u-,v a v, K1 .Kg-n^n -мерные матрицы с неотрицательными

элементами, и собственные числа матрицы

Q = (К,+К_) 5f. 1 ^ 28

находятся в круге единичного радиуса.

Теоремаб. Пусть правая часть системы (11) определена в области (12), непрерывна по совокупности своих переменных, периодична по t с периодом Т и удовлетворяет неравенствам (13) и условию (14).

Тогда последовательности {un(t,x0)>, {vn(t,*0)}, определяемые соотношениями (15), (16), удовлетворяют условиям

V°'xo> = Vr"V = V а 5 V^V s b-

уп(0»хо> ^ уп<Г'хо> - хо- а £ 7п<г'хо> - Ь'

и неравенствам

и0(г,х0) 5 и,(г,х0) ип(г,х0) уп(г,х0) *

т1(1,х0) * у0(1:,х0), причем последовательности (ип(1;.х0)} и Суп(1;.х0)} равномерно относительно 4 т0 аходятся соответственно к функциям и°(1,х0) и у0(1,х0) и вти функции удовлетворяют уравнении

г Г

ги^нхо^ст.хи.х^.хст.хд))(1-т)йт—|г(т,х(т:,х0)|х(1:,х0)) х

ит 0 0

х (-т)йг.

2

Если х (t,x0) в [а,Ы -решение предыдущего уравнения, то имеют место неравенства

1^(1;,х0) * и°(1;,х0) х*(1;< т°(1;,х0) * тп(1,х0).

В предположении, что правая часть уравнения (11) дополнительно удовлетворяет условиям (12), имеет место оценка

уп<1;.Х0) - ип(1;.* ) з ртсРиг-га), предельные функции и (1.х0), т°(1;.х0) совпадают и для периодического периода Г решения х=<р(1) системы уравнений (11), проходящего при 1=0 через точку

хп е (1Мл);Ь-—(М-п)],

0 32 32

имеет место соотношение

фт = х°(1;,х0) = ср°(г,х0) = 7°(г,х0).

Вторая глава посвящена исследованию решений систем нелинейных волновых дифференциальных уравнений вида

х" = 1(1;,х,х' ) (18)

И вопросам существования решений, удовлетворяющих граничным условиям х(0) - 1(Т), х' (0) X' (Г). (19)

Исследование вадачи производится в некритическом случаэ-|1<1>21т, где п-целое число.

В §1 полученц следующие результаты. "

Т е о ре м а 6. Пусть 1(г,х,х') непрерывна для О^иг и всех (х,г ) и удовлетворяет условию Липшица относительно х,х'

111(1,1,,х*)-Г(г,х2>х^)й £ к,11х|-1гН+^р11х'гхг!1 с постоянными Липшица и,, столь малыши что

ПОускр) < \ , гдй т = (гш|в1||(^)|)"'.

Тогда уравнение (18) имеет единственное решение, удовлетворяющие условиям (19).

И как следствие, в случае периодичности f(t;x,x'), -доказано существование и единственность периодического решения уравнения (18). Предполагая, что • период правой части papen T=(2k-1 Wqu)"1 ,где 2k-1 и q взаимо простые натуральные числа, показано, что интегральное уранение, эквивалентное рассматриваемому дифференциальному уравнению,имеет вид

t

x(t) =ljr(t,x(x),x'(T))slnu(t-T)dx-

0 ,9)

Tq

-[2и]_1|г(г,х(1),г (t))slnw(t-t)<lT . 0

Показано также, что тлеет место утверждение. Теорема 7. Пусть í(t,x,x) непрерывна и ограничена, т.е. Unt.x.r )1И м

для Osts Г и всех(х.х'). Тогда уравнение (18) имеет, по крайней мере, одно решение x(t), удовлетворяющее условиям х(0)=х(Г), х' (0)=х- (Т) и

üx(t)HsMT(2w|ein(^)|)-',|lr (t)|l <МТ(2|81п(^£)|)"1,аЛУ21СП.

2 2 В §2, используя интегральное представление вида (19), исследовано

Т- и 2Т-периодические решений интегро-дифференциальных уравнений вида

h(t)

x"(t)+</x(t) = í(t,x(t),x- (t), jcp(t,s,x(B),x' (B))d3),

o

где h(t)-периодическая функция.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

I. Громяк М. И., Хома Г. IT., Чоршй B.S. Периодические решения нелинейных волновых обыкновенных интегро-дифференцильннх уравнэний второго лорядкэ.//Некоторые вопросы теории чг/п/тттотических методов нелинейной механики. -Киев: Ин-т

математики АН УССР. 1986. -С. 79-84.

г. Хома Г.П., Громяк Ы.И., Чорный В.З. Периодические решения волновых автономных дифференциальных уравнений второго порядка // Методы нелинейной механики и их приложения. -Киев: Ин-т математики АН УССР. 1939.-С.

3. Митропольский Ю.А., Чорный В.З. Двусторонние приближения периодических решений систем дифференциальных уравнений второго порядка.-Киев, 1991. -29с.-(Препр./АН УССР. Нн- т математиш!; 91.6).

4. Чорный В.З. Периодические решения волновых интегро-дифГ-^л. нциалышх и разностных уравнений второго порядка.-Киев, 1991. -30с. - (Црепр. /АН УССР. Ин-т математики; 91.46).

Подл, в печ. 14.04.92, Формат 60x84/16. Бумага тип. Офс.печать. Усл. гоч.л. 0,7. Усл.кр.-отт. 0,7. Уч.-изд.л.0,6. Тира» 100 экз. Зак. Бесплатно.

Подготовлено и отпечатано в Институте математики АН Украины. 252601 Кжв 4, ГСП, ул. Ренина С*