Операторные оценки в задачах усреднения вырождающихся эллиптических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.956

Тихомирова Светлана Викторовна

Операторные оценки в задачах

усреднения вырождающихся эллиптических уравнений

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владимир — 2007

00316150В

Работа выполнена на кафедре математического анализа Владимирского государственного педагогического университета

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор ЗКиков В.В.

доктор физико-математических наук, доцент Пастухова С.Е.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент "Чечкин Г.А.

кандидат физико-математических наук, доцент Рычаго М.Е.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский

государстенный университет

Защита диссертации состоится 9 ноября 2007 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета К 212.024.01 во Владимирском государственном педагогическом университете по адресу: 600024, Владимир, проспект Строителей, 11, ауд. 236.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Владимирского государственного педагогического университета.

Автореферат разослан 5 октября 2007 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета К 212.024.01,

доктор физико-математических наук, *

профессор Г) Степанов С.Е.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Вопросы усреднения для уравнений в частных производных долгое время были предметом внимания физиков и механиков и рассматривались "на физическом уровне строгости" Интерес математиков к этим вопросам возник в семидесятые годы и за прошедшее с тех пор время был создан по существу новый раздел теории дифференциальных уравнений в частных производных, который продолжает интенсивно развиваться Этот раздел имеет многочисленные приложения в теории упругости, теории композитных материалов, теории фильтрации и многих других областях физики и механики Процессы, протекающие в сильно неоднородных средах, обычно описываются уравнениями в частных производных, коэффициенты которых сильно осциллируют, что делает практически невозможным их численное решение, и тогда возникает задача построения усредненной среды и усредненного уравнения, более простых сравнительно с исходными, которые позволяют достаточно точно определить различные характеристики исходной среды и описать происходящие в ней процессы

Одной из целей теории усреднения является получение оценок разности между решением исходной задачи и решением соответствующих усредненных задач, а также оценок разности между решением исходной задачи и различного рода приближениями к решению исходной задачи Для этого обычно используется метод двухмасштабных разложений, широко представленный в монографиях Bensoussan A., Lions J L , Papanikolaou G Санчес-Паленсия Э 2, Бахвалов H С , Панасенко ГП 3, Олейник О А , Иосифьян Г А , Шамаев АС4, Жиков В В , Козлов С M , Олейник О А 5 В частности, для классической задачи усреднения

ие € И^т?), -diva(J)Vî/+w£ = /, / G <7o°°(IRd), (1)

где a(y) - измеримая периодическая симметрическая эллиптическая мат-

1 Bensoussan А , Lions J L , Papanikolaou G Asymptotic Analysis for Periodic Structur - Amsterdam North Holland, 1978 - 700 p

2Санчес-Паленсия Э Неоднородные среды и теория колебаний Пер с англ - M Мир, 1984 - 472 с

3Бахвалов H С , Панасенко Г П Осреднение процессов в периодических средах -M Наука, 1984 - 352 с

4Олейник О А , Иосифьян Г А , Шамаев А С Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред - M Изд-во МГУ, 1990 - 311 с

5Жиков В В , Козлов С M , Олейник О А Усреднение дифференциальных операторов - M Наука, 1993

рица, доказаны оценки вида

№ — < се, ||и£ — и0 — еихЦ^г < се2

Здесь и0 - решение усредненной задачи, щ = № (у) дид^, где №(у) -решение задачи на ячейке Однако, константы в этих оценках зависели от достаточно высоких соболевских норм нулевого приближения, что не позволяло придать им операторный смысл. Операторные оценки возможно доказать традиционными методами, но в предположении достаточной гладкости коэффициентов матрицы а (у) Для случая измеримых коэффициентов в известных монографиях по усреднению отсутствуют не только £2-оценки, но и, вообще, утверждения о сходимости резольвент по норме Лишь за последние годы произошел существенный поворот к операторной точке зрения Начало положено М Ш Бирманом и ТА Суслиной6, которые спектральным методом для различных классов уравнений доказали операторную £2-оценку В случае уравнения (1) эта оценка имеет вид

Ы~и°\\ь* <се\тЬ2,

где константа зависит лишь от постоянной эллиптичности и размерности пространства В настоящее время операторными оценками занимаются в нескольких научных центрах в России и за рубежом, при этом используются различные методы

В В Жиков предложил метод получения операторных оценок, основанный на специальном анализе первого приближения и интегрировании по дополнительному параметру7,8 Этот подход, в отличие от спектрального, позволил изучать задачи теории упругости и скалярные задачи по единой схеме, получая сначала так называемые "проинтегрированные оценки", из которых ¿2-оценки выводятся как следствие При доказательстве проинтегрированной оценки важную роль играет представление соленоидального вектора в виде дивергенции от кососимметрической матрицы

6Бирман М Ш , Суслина Т А Периодические дифференциальные операторы второго порядка Пороговые свойства и усреднения // Алгебра и анализ - 2003 - Т15 Вып 5 - С 1-108

7Жиков В В Об операторных оценках в теории усреднения // Доклады РАН -2005 -Т403 №3 - С 305-308

8Жиков В В О некоторых оценках из теории усреднения // Доклады РАН - 2006 -Т406 №5 - С 597-601

Указанный метод В В Жикова модифицирован С Е Пастуховой9,10 Отметим основные особенности этого подхода Во-первых, вместо проинтегрированной оценки на первоначальном этапе устанавливается Н1-оценка для разности между решением и первым приближением со сглаженным по Стеклову корректором Здесь дополнительный параметр интегрирования присутствует в свернутом виде в средних по Стеклову Во-вторых, вместо специальных представлений соленоидальных векторов используются новые оценки для интегралов, содержащих одновременно осциллирующие функции и средние по Стеклову

В работах М Ш Бирмана и Т А Суслиной также возникает понятие сглаженного корректора, но сглаживание там задается с помощью псевдодифференциального оператора11

Описанные выше модификации метода первого приближения позволяют справиться с проблемой недостаточной гладкости первого приближения в условиях, когда / € L2, а(у) - измеримая матрица, и при этом исключить из оценок осциллирующие множители Те же проблемы в подходе G Griso12 решены с помощью особых интерполяций и так называемого unfbldmg-метода

В рамках теории усреднения вырождающиеся уравнения всегда находились в центре внимания, поскольку эти уравнения возникают из физических задач

Мы допускаем два варианта вырождения Первый вариант соответствует диффузии в неоднородной среде, когда коэффициент диффузии не отделен от нуля и бесконечности, второй - отвечает случаю, когда матрица диффузии несимметрична и неограничена, что соответствует диффузии во внешнем поле

Важной чертой рассматриваемых уравнений является особого рода неединственность В случае симметрического уравнения это связано с тем, что гладкие функции не плотны в весовом соболевском пространстве, данное явление называется эффектом Лаврентьева Известно, что если вес принадлежит А2-классу Макенхаупта, то эффекта Лаврентьева

9Zhikov V V, Pastukhova S Е Operator Estimates for Some Problem in Homogemzation Theory // Russian Journal of Mathematical Physics - 2005 - Vol 12 №4 -P 515-524

10Пастухова CEO некоторых оценках из усреднения задач теории упругости // Доклады РАН -2006 - Т406 №5 - С 604-608

1хБирман М Ш , Суслина Т А Усреднение периодических эллиптических дифференциальных операторов с учетом корректора // Алгебра и анализ - 2005 - Т17 Вып 6 - С 1-104

12Gnso G Error estimate and unfolding for periodic homogemzation // Asymptotic Analysis - 2004 - № 40 - P 269-286

нет, и в большинстве работ по усреднению берутся веса из этого класса13 В несимметрическом случае, когда кососимметрическая часть матрицы неограничена, также возникает неединственность, обнаруженная недавно В В Жиковым14 В симметрическом случае мы изучаем так называемые Я-решения и VF-решения, в несимметрическом случае - аппроксимаци-онные и вариационные решения В условиях неединственности требуется подходящим образом осуществить выбор решения и проследить, как этот выбор отражается на процедуре усреднения, на усредненной матрице и тд

Целью работы является получение операторных оценок для вырождающихся эллиптических уравнений, при этом требуется учесть явление неединственности и осуществить подходящий выбор решения

Общая методика исследования. В работе используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, методы функционального анализа, гармонического анализа, методы двухмас-штабных разложений, теория весовых соболевских пространств

Научная новизна. Полученные в диссертации результаты являются новыми На защиту выносятся следующие основные результаты

1) Для вырождающихся симметрических эллиптических уравнений, когда коэффициент диффузии не отделен от нуля и бесконечности, доказаны 1/2-оценка и проинтегрированная оценка разности между точным решением исходной задачи и так называемым первым приближением, а также оценка разности между точным решением исходной задачи и его сглаженным первым приближением Указанные оценки получены для решений двух основных типов для Я-решений и Ж-решений

2) Для несимметрических эллиптических уравнений доказаны проинтегрированная оценка разности между точным решением исходной задачи и его первым приближением, из которой, в частности, следует L2-оценка разности между решениями исходной и усредненной задач, при этом решение исходной задачи понимается в аппроксимационном смысле

3) Одним из способов выделения решения несимметрического эллиптического уравнения в условиях неединственности является обращение к эллиптической системе, для которой решение трактуется однозначно Изучено усреднение такой системы уравнений, доказана £2-оценка разности между точным решением исходной задачи и решением соответству-

13De Arcangelis R, Serra Cassano F On the homogenization of degenerate elliptic equation m divergence form //J Math Pures Appl - 1992 - Vol 71 - P 1-20

14Жиков В В Замечание о единственности решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с младшими членами / / Функц анализ и его приложения - 2004 - Т 38 Вып 3 - С 15-28

ющей усредненной задачи

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты и развитые в ней методы носят теоретический характер и могут быть использованы при изучении математических моделей физических процессов в микронеоднородных средах

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции "Дифференциальные уравнения и динамические системы "(Суздаль, 2006 г), на научных конференциях профессорско-преподавательского состава во Владимирском государственном педагогическом университете (2005 - 2007 г г)

Многие вопросы, затрагиваемые в работе, неоднократно обсуждались на научном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством профессора В В Жикова во Владимирском государственном педагогическом университете (2005 - 2007 г г)

Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [7]

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, содержащих 13 параграфов, и списка литературы из 40 наименований, включая работы автора Объем диссертации составляет 95 страниц машинописного текста

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность и указывается степень разработанности проблемы, формулируется цель исследования и приводятся основные результаты диссертации

В первой главе изучаются неравномерно эллиптические уравнения дивергентного типа

-<1ху рЕ(х)ае(х)Чие + рЕ(х)ие = /, / е СПП^), (2)

где ае{х) = а(|), ре{х) = р(^), а(у) - измеримая периодическая симметрическая матрица, подчиненная условию ограниченности и эллиптичности

Ае<аШ У^Ш«, А > 0, (3)

вес р(у) - неотрицательная периодическая измеримая функция, подчиненная условию Стампаккья

реЩП), р-1 €!/(□), \ = \ + (4)

причем г > 1 при в, = 2, и = [—\,\У - ячейка периодичности

Решение уравнения (2) ищется в весовом соболевском пространстве

И^т,*, Ре) = {ие ^(П^), I Ре(\и? + IV«!2) йх < оо}

Определение 1. Функцию ие € 1У(П1 й,рг) назовем \¥-решением уравнения (2), если выполнено интегральное тождество

J ре(ае\7и£ V(р + и£<р)с1х = J /¡рс1х (5)

Ж'' Ж''

для любой <р € И^ШД рЕ).

Заметим, что в пространстве р£) гладкие функции, вообще го-

воря, не плотны Поэтому решения уравнения (2) можно искать и в подпространстве Н(Ш?, ре), которое является замыканием множества гладких функций в пространстве И^ШД ре)

Определение 2. Функцию иЕ £ Н(ЖЛ, ре) назовем Н-решением уравнения (2), если тождество (5) выполнено для любой <р € Н(ШЛ,ре)

Существование и единственность ¿/-решения и Ж-решения следуют из теоремы Рисса о представлении линейного функционала В общем случае, эти решения различны Важно, что в обоих случаях в качестве пробной функции в интегральном тождестве можно взять сами решения Определим также соболевские пространства периодических функций

ЦГрег(П,/)) = {«€ Iи= О, Iр\Чи\2йх < оо},

□ □

где (□) - классическое соболевское пространство периодических функций, суммируемых по □ вместе с градиентом В качестве нормы в ТУрег(111, р)

возьмем (/р\\?и\2(1х)5 Пусть Нре1(П,р) - замыкание множества гладких

□

периодических функций по указанной норме

Введем задачи на ячейке периодичности Эти задачи обобщают классическую задачу и формально имеют вид

где е1, е2, , ed - канонический базис в IRd В случае Я-решений точная формулировка такова

№ е Ярег(П, р), J pa(V№ + е?) W^pdy = 0 € Ярег(П, р), □

в случае Ж-решений

N3

S WPer(ü, р), J pa(V№ + е3) V^eh/ = 0 V^ € Wper(D, p)

Решения этих задач, вообще говоря, различны, усредненная матрица в обоих случаях задается равенством

аРё = (ра{ + &>)}

и является симметрической и положительно определенной

Пример 1. Вес р(х) задан на ячейке периодичности [—|)2 равенством

р!х\ = / если хгх2 > 0,

\ к\х\а, если Х1Х2 < 0,

где к > 0 - параметр При 0 < а < 1 вес р удовлетворяет условию (4) Найдется не зависящая от к константа с > 0 такая, что

aU £ < ск|£|2

^ aU £ > с-^-^р ^

Видим, что при к —> 0 матрицы а^ и а°н различны Оценки (6) являются аналогом оценок В В Жикова для нелинейного шахматного композита15

Пример 2. Вес р(х) задан на ячейке периодичности [— равенством р(х) — |х|° При |а| < 2 вес р принадлежит Лг-классу Макенхаупта и удовлетворяет условию (4) Тогда а^ = а°н

Введем усредненную задачу и определим первое приближение

и0 е VÍ/1'2(IRd), —diva°Víí° + и° = /,

(7)

15Жиков В В Эффект Лаврентьева и усреднение нелинейных вариационных задач // Дифференц уравнения - 1991 - Т 27 № 1 - С 42-50

Второе слагаемое в (7) называется корректором

Наряду с исходной задачей (2) рассмотрим "сдвинутые" задачи

—й1ур(и + е~1х)а{ш + £~1х)Чие(х,ш)+р{и1 + £~1х)и£{х,ш) = /(х), и> £

с одной и той же правой частью / Усредненная матрица и усредненное уравнение не зависят от сдвига и поэтому первое приближение имеет вид

^(х,и= + у = е~1х (8)

ОХ]

Теорема 1. Пусть ие - есть IV- или Н-решение задачи (2), vе - приближенное решение, определенное равенством (8), вес р(у) удовлетворяет условию (4) Тогда справедлива оценка

У J(К^ + £ш) - Vеш)\2 + | Vгie(ж + еш) - Чуе{х, ш)\2)рейхйш < □ в.* (9)

в которой константа С зависит от размерности пространста, постоянной эллиптичности А и норм Ц/оЦ^,

Чтобы перейти от проинтегрированной оценки (9) к обычной определим "сглаженное" первое приближение

Vе (х) = J уг(х-еш,ш)(Ь; = ! гР{х-еш)йш + е№(у) J ди дсо =

□ □ □ 3

= (10) где и°'£(х) - сглаживание по Стеклову функции и°(х)

Теорема 2. Пусть и£ - IV- или Н-решение исходной задачи (2), и0 -решение усредненной задачи, vе (х) - сглаженное первое приближение (10) Тогда справедлива оценка

У"(|ие{х) - Ъ£(х)\2 + - ЧЪЕ(х)\2)рг<1х <

где константа С зависит от размерности пространста, постоянной эллиптичности А и норм ЦрЦь--, ||р-1||ь"

Важным техническим средством в доказательстве теорем 1 и 2 является теорема о представлении периодического соленоидального вектора

Теорема 3. В предположении (4) периодический соленоидалъный вектор д € р~х), {д) = 0 допускает представление в виде д = ску С, где С? - кососимметрическая матрица,

СёЬ^ЦР"1), Оецг1'-^^)

Во второй главе изучается задача усреднения с неограниченной ко-сосимметрической матрицей.

Рассмотрим уравнение во всем пространстве К.'*

-сЬу А,Х7ие+ иЕ = / £ Ь2(Ш4), Ае(х) = аф + вф, (И)

где измеримая периодическая симметрическая матрица а(у) удовлетворяет условию (3), а кососимметрическая матрица В (у) периодична и

В е Ь*{П) для б, > 3 и В е Ь2+6(0), 6 > 0 для ¿ = 2 (12)

Далее мы формулируем результат для случая~й >3

Определим решение уравнения, считая для простоты е = 1

Определение 3. Функцию и € И^1,2(М<г) назовем решением уравнения (11), если выполнено интегральное тождество

!аЧи + JВЧи 4<р<1х + Jи(р<1х = ^ /<р<1х € (^(Ш?)

к«' И"' К'1

Определение имеет смысл, если В € Ь2(П) Это же условие обеспечивает существование решения Для доказательства достаточно аппроксимировать матрицу В в Ь2(П) матрицами В^ € рассмотреть однозначно разрешимое "приближенное" уравнение и в соответствующем интегральном тождестве перейти к пределу по параметру аппроксимации Предел решений "приближенного" уравнения будет решением задачи (11) Такое решение принято называть аппроксимационным Условие В € Х2(П) не гарантирует единственности аппроксимационного решения В общем случае помимо аппроксимационных могут существовать и другие решения, которые нельзя получить путем аппроксимации14

Операторные оценки для аппроксимационных решений получаем следующим способом Сначала доказываем эти оценки в случае ограниченной матрицы В, когда проблем с единственностью не возникает, но с константами, зависящими только от нормы || В|| £<!(□), а не от ||.В||ь°°(П)

В случае неограниченной матрицы В € Ld(□) строим приближение Bh € L°°(D) в Ld(□), определяющее аппроксимационное решение, и в операторных оценках, соответствующих матрице Bh, совершаем предельный переход При этом усредненная матрица определяется также как предел соответствующих усредненных матриц, а решение N периодической задачи - как предел решений соответствующих периодических задач Таким образом, усредненная матрица и первое приближение зависят от способа аппроксимации

Теорема 4. Пусть и£ - аппроксимационное решение задачи (11), а vs(x, и) - соответствующее первое приближение (8) Тогда справедлива оценка

J J(\ие{х + еш) -ve(x,uj)\2 -f-\Vu£(x + süj) - Vve(x,u>)\2)dxcfa <

□ К.«*

< С£2 J f2dx, с == c(d, А, НВН^щ)

Помимо аппроксимационного подхода имеются и другие способы однозначного выделения решения в условиях неединственности В диссертации рассматривается способ, основанный на переходе от уравнения к специальной системе, решение которой можно определить единственным образом

Для простоты симметрическую часть а считаем единичной,

Ае(х) = 1 + Ве,

где I - единичная матрица, и вместо уравнения

-div (VwE + ВеЧие) + и£ = f е L2(JRd)

рассмотрим систему уравнений

—div (Vuf + BeVue2) + wf = Л e L2(IRd), —div (Vu§ + B£Vul) + ue2 = f2 6 L2(JRd)

Определим решение системы (13), полагая для простоты е операторную систему

Ащ + Su2 - щ = —/х, Au2-S*u1-u2 = -f2, u1,u2eW1'2(TRd)

(13)

=1 Запишем

Здесь S - оператор, действующий из W1'2^) = Яx(lRd) в Я^П^), -определен равенством

для произвольной и 6 C£°(IRd), а затем продолжен до замкнутого оператора Через S* обозначен сопряженный к S оператор Операторная система (14) имеет единственное решение, поскольку "матричный" оператор

( 5* о ^ кососамосопРяжен на своей области определения domS1* х

dorn S в силу классической теоремы Неймана из спектральной теории Это решение называем вариационным решением исходной системы (13) Вообще говоря, оператор S* имеет более широкую область определения, чем S, так что сам оператор S не является кососамосопряженным Таким образом, определение вариационного решения системы (13) выглядит так

£ Ж1'2^), /(Vui + 5Vu2) V<pidx+ fulip1dx = J fripidx,

Rd TRd Rd

u2edomS*, f(Vu2 + BVui) Vip2 dx + f u2ip2dx — f f2ip2dx

для любых <рх, ц>2 €

Теперь обратимся к задаче усреднения для системы (13) Первое приближение к решению ищем в виде

й\{х) = й^х, у) = иЦх) + £Ух(х, у), йв2(х) = й2(х, у) = ь%(х) + еь2(х, у), у =

где пара ^(х, ), ь2(х, ) - вариационное решение следующей задачи на ячейке периодичности

(.Su, ip) = - BVuVipdx Vip € W1'2^)

divB[VBWi + B(y)( 6 + V„«a)] = 0, divy[Vyi;2 + B(y)(^ + V„vi)j = 0, 6,6 € Et« Ы®, )) = 0, {v2(x, )) = 0

,d

Усредненная 2d x 2й-матрица А0 определена равенством

Усредненная система имеет вид

и0 € (Ж1'2^))2, 1(АйЧи°\7ср±и° <р)<Ь = ч>Лх

в.11 к'' (15)

Теорема 5. Пусть матрица В удовлетворяет условию (12), и\, и\ - решение за дачи (13), и\,и\ - решение усредненной задачи (15) Тогдаимеет место оценка

11«! - + - *4Н£> < + И/зЫ, с = \\В\\ьЧа))

В заключение автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям доктору физико-математических наук, профессору Василию Васильевичу Жикову и доктору физико-математических наук, доценту Светлане Евгеньевне Пастуховой за постановку задачи, руководство и постоянное внимание к работе

Публикации автора по теме диссертации

[1] Жиков В.В , Тихомирова С В Об операторных оценках в несимметрических задачах усреднения // Современная математика и ее приложения Т 33 Суздальская конференция - 1, 2004 Тбилиси, 2005 - С 124-128

[2] Тихомирова С В Об операторных оценках в несимметрических задачах усреднения // Всероссийская конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения" Тез докл - Самара, 2005 - С 88-89

[3] Жиков В В , Пастухова С Е , Тихомирова С В Об усреднении вырождающихся эллиптических уравнений // Доклады РАН - 2006 - Т 410 №5 - С 587-591

[4] Тихомирова С В Об усреднении эллиптического уравнения с неограниченной кососимметрической матрицей // Сборник трудов молодых ученых ВГПУ - 2006 - Вып 6 - С 90-94

[5] Тихомирова С В Об оценках усреднения эллиптических уравнений с весом // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам Тез докл - Суздаль, 2006 - С 212-214

[6] Пастухова С Е , Тихомирова С В Эллиптическое уравнение с несимметрической матрицей Усреднение "вариационных решений"// Математические заметки - 2007 - Т 81 Вып 4 - С 631-636

[7] Тихомирова C.B. О представлении соленоидального вектора в дивергентной форме // Вестник ВГПУ. - 2007. - Выл.14. - С. 27-29.

Подписано в печать 17.09.2007 Формат 60x84 1/16

Усл. печ. л. 0,93 Уч. изд. л. 1,0

Заказ МЛ ~ Г Тираж 100

Отпечатано с готового оригинал-макета в ООО "Транзит-ИКС" 600009, г.Владимир, ул. Электрозаводская, 2

Введение

1 Задача с вырождающейся симметрической матрицей

§1 Постановка задачи об усреднении Я-решений.

§2 Постановка задачи об усреднении W-решений.

§3 Некоторые весовые неравенства и теоремы вложения

§4 О представлении соленоидальных векторов.

§5 Усреднение Я-решений.

§6 Усреднение ^-решений.

§7 Об усредненных матрицах в модельном примере.

2 Задача с неограниченной кососимметрической матрицей

§1 Постановка задачи и предварительные сведения

§2 Случай ограниченной кососимметрической матрицы

§3 Усреднение аппроксимационных решений

§4 Вопросы единственности.

§5 Переход к эллиптической системе.

§6 Усреднение эллиптической системы.

Настоящая работа посвящена усреднению неравномерно эллиптических уравнений дивергентного типа

-div pe(x)a£(x)Vu£ + р£(т)ие = /, f 6 C^°(IRd). (0.1)

Здесь а£(х) = a(f), где а(у) - измеримая периодическая симметрическая матрица, подчиненная условию ограниченности и эллиптичности

А£2 < • £ < ГЧ2 V£eIRd, 0 < А < 1, (0.2) вес р£(х) = р(|), р(у) - неотрицательная периодическая измеримая функция, подчиненная условию Стампаккья peLr(D), р-1 6 § = - + -, (0.3) а г s причем г > 1 при d = 2, □ = [— |)d - ячейка периодичности.

Уравнение (0.1) относится к типу вырождающихся, поскольку функция р£ не отделена от нуля и бесконечности.

В работе изучается также другого типа задача

-div AeW + ие = /, А£(х) = а(-) + £(-), (0.4) £ где а(у) удовлетворяет прежним условиям (0.2), а кососимметрическая матрица В (у) периодична и

BeLp(□), р = d для d>2> и р = 2 + 6, S > 0 для d = 2. (0.5)

Важной чертой уравнений (0.1) и (0.4) является особого рода неединственность. В случае симметрического уравнения (0.1) это связано с тем, что гладкие функции не плотны в весовом соболевском пространстве, данное явление называется эффектом Лаврентьева. Известно, что если вес принадлежит так называемому Лг-классу Макенхаупта (см. [1]), то эффекта Лаврентьева нет, и в большинстве работ по усреднению вырождающихся уравнений периодический вес этому условию удовлетворяет (см. [2] - [4]). Другое условие, которое ещё не использовалось в усреднении, у/р £ И7^ (см. [5]), позволяет корректно определить весовое соболевское пространство и доказать плотность гладких функций. В несимметрическом случае (0.4) также возможна неединственность, обнаруженная недавно В.В. Жиковым в работе [6].

Одной из целей теории усреднения является получение оценок разности между решением исходной задачи и решением соответствующих усредненных задач, а также оценок разности между решением исходной задачи и различного рода приближениями к решению исходной задачи. Для этого обычно используется метод двухмасштабных разложений, широко представленный в монографиях [7]-[12].

Поясним этот метод на примере классической задачи усреднения, когда р = 1. Имеем и£ е Wlt2(Md), -diva(-)Vu£ + u£ = f, / e C0°°(IRd). (0.6)

Согласно методу двухмасштабных разложений решение ие ищется в виде и£{х) — и°(х) + eu\(x, -) + £2и2(х, -) + .

Нулевое приближение и0 является решением усредненной задачи, а для определения функций щ, щ, . имеется рекуррентная процедура. Напомним, как определяется усредненная матрица и первое приближение и0 + ЕЩ.

Пусть Wp^((H) - соболевское пространство периодических функций. Введем периодические задачи

F 6 ^(D), diva{VNj + ej) = О, (Nj) = 0, j = l,2,.,d, (0.7) где е1, е2., ed - канонический базис в ШД (•) = f -dy- среднее по ячейке периодичности. Усредненная матрица, заданная равенствами a°ej = {a(VNj + ej)), (0.8) является симметрической и положительно определенной. Первое приближение v£ имеет вид v£{x) = и°{х) + у = е~1х, (0.9) dxj где и0 - решение усредненной задачи diva Vw + и = f. (0.10)

Второе слагаемое в (0.9) называется корректором.

В книгах по усреднению [7]-[11] доказаны оценки вида u£-u°\\L2 <Се, (0.11) и£ — и0 — £Ui\\l* < Се2 и т.д., однако константы С зависели от достаточно высоких соболевских норм нулевого приближения it0, что эквивалентно гладкости правой части /. Для операторной интерпретации оценка (0.11) должна иметь вид u£-u°\\L2<Ce\\f\\L2, (0.12) где константа С не зависит от /. В таком случае, если ввести действующие в L2 операторы

Ле = -div a(j)V, Л = —div a°V, то (0.12) принимает вид где I - единичный оператор.

Традиционные методы позволяют доказать оценку (0.12) только в случае, когда коэффициенты являются достаточно гладкими. Для случая измеримых коэффициентов в литературе по усреднению отсутствует не только оценка (0.12), но и, вообще, важные утверждения типа "норма разности резольвенты исходного и усредненного операторов имеет порядок эпсилон". Лишь за последние годы произошел существенный поворот к операторной точке зрения. М.Ш. Бирман и Т.А. Суслина, (см. [13]-[23]), используя спектральный или блоховский метод, доказали операторную L2-оценку (0.12), в которой константа С зависит лишь от постоянной эллиптичности А и размерности пространства. Именно такими оценками мы и будем интересоваться. В настоящее время операторными оценками занимаются в нескольких научных центрах в России и за рубежом, при этом используются различные методы. Французские математики D. Cioranescu, G. Griso [24], применяя особые интерполяционные методы (unfolding), получают £2-оценку для скалярных уравнений в ограниченной области.

В.В. Жиков предложил метод получения операторных оценок, основанный на специальном анализе первого приближения и интегрировании по дополнительному параметру [25], [26]. Этот подход, в отличие от спектрального, позволил изучать задачи теории упругости и скалярные задачи по единой схеме. Отметим, что идея интегрирования по дополнительному параметру трансформировалась также в новое понятие сглаженного корректора. Оно не только полезно технически, но и представляет возможность написать первое приближение к точному решению в тех случаях, когда классическое первое приближение не работает. Примерами служат задачи теории упругости для размерности пространства большей, чем 2, а также типичные вырождающиеся эллиптические уравнения. Опишем кратко этот метод, поскольку мы будем следовать ему в основном тексте.

1. Рассмотрим первое приближение (0.9). Имеем

W(«) = (VvN'(y) + eOjgJ + ^vg, f)ii° fhi° a(y)W(x) - a°Vu°(x) = gi(y)— + ea(y)N3(y)4— = re, (0.13) где дз = a{y)(4yNj(y) + e?) - aV. (0.14)

В силу (0.7), (0.8) периодические векторы g3(j = 1,., d) соленоидальны, принадлежат L2(□) и имеют нулевые средние. Запишем вектор д3 в виде дивергенции от кососимметрической матрицы, g3(y) = divyG3{y), Gjk = -Gi GjlkeW^(D).

Тогда выполнено равенство dxj dxj dxj причем первое слагаемое справа есть соленоидальный вектор, что следует из кососимметричности матрицы G3. Это позволяет получить для невязки divr£ (см.(0.13)) содержащее множитель е выражение f)n chr divr£ = -ediv(GJV(^—)) + ediv(aW'V(^—)). (0.15)

С/Х j C/«vj

2. Пусть ue - решение исходного уравнения. По построению имеем ди° div atV{ve - ие) + (v£ - и6) = -divaVve + и0 + sN3---/ =

СsJu j

Jli </77 —diva°Vw° + u° - / + eN3 ---divr£ = eN3---divr£. ox; ox;

Воспользуемся теперь энергетической оценкой

IWlUdR") < Co(||/o|li2(Rrf) + \\П1Чп*))' (°-16) в которой 2е - решение уравнения — divaeVz£ + ^ = /о + div F. Полагая z£ = v£ — и£ (с учетом основного соотношения (0.15)) получим

6(s-^)|2(|VU°(x)|2+|WW|2)^, (0-17) где b(y) - это функции вида GJik(y). Функции b(y) в общем случае не принадлежат L°°(lRd) и поэтому их нельзя исключить из полученной оценки.

3. Наряду с исходной задачей (0.6) рассмотрим также задачи, отвечающие "сдвинутой"матрице а(и + у), где ш Е IRd,

-di va(u> + £-1x)Vue(x,w) + uE{x,w) = f(x) (0.18) с одной и той же правой частью /. Уравнение (0.6) получается при и = 0, т.е. и£(х) — и£{х, 0), а усредненная матрица не зависит от о;, поскольку функции Ni(y, ш), как и остальные функции b{y,uS) получаются из исходных с помощью сдвига: b(y,u) = Ь(у + си).

В связи с этим первое приближение определяется равенством v£ (х, ш) = и°(х) + eN>{y + у = e~lx (0.19) и dxj ди°{х)• f(x,u)duj= (u°(x) + eNj{y + Lu)-^-l)duj = u0{x). (0.20) v . . . , . , , ^ □

При каждом и 6 □ справедлива оценка (0.17), т.е

Iи£(х,и) - v£(x,uj)\2 + IVu£(x:oj) - Vv£(x,u)I2) dx < R c0e2 J IЬ(ш + £~1х)ф(х)\2 dx,

Itd где |Ф|2 = |Vw°|2 + |V2u°|2. Интегрирование этой оценки по ш Е □ исключает функции |6|2, заменяя их на (|6|2), так как

J J \b(uj + £-1x)<P(x)\'2dxdu = J J \Ь(ш + £-1х)Ф(х)\Ч^х = nd IV* □ (|6|2) f Ф2{x)dx.

JR' d

Важно, что величины (\b\2), т.е. (|Л^'|2) и (\G3ik\2) оцениваются через d и Л. Действительно, из вспомогательного уравнения (0.7) имеем

J aVNJ ■ Vipdx = - J aVip • eJdx. □ □

Полагая <p = N^, получим

A J \VNj\2dx < A"1 J |WNj\dx < IVA^'I2^, □ □ □

J\VW\2dx < 1 □ 1 где использовано неравенство Пуанкаре для периодических функций. Из

0.14) видно, что f\gi\2dx оценивается через А и f \VNi\2dx. Матрицы □

G\k также оцениваются через d и А. Действительно, из представления матрицы через вектор gi в виде ряда Фурье (см. [11], стр. 15; глава I, §4) следует оценка

J \&\Чх < i J W\2dx. □

Так как величина НФН^к^ оценивается через Н/Н^д^ в силу уравнения (0.10), то в результате получаем

J J(\ие(х,ш) - v£(x,uS)\2 + \Vue{x,u) - \7v£(x,uj)\2) dxduj < Rd (0.21) ci£2 J fdx. ~s\d

4- Остается сравнить решение и£(х,ш) задачи (0.18) с функцией и£(х + ercj), где и£(х) - решение исходной задачи (0.6). Заметим, что и£(х + еш) есть решение задачи (0.18) с правой частью / = f(x + ew). Поэтому достаточно сравнить правые части f(x) и f(x + ей;), а далее воспользоваться энергетической оценкой (0.16) и утверждением (0.23) следующей леммы.

Лемма 0.1. (см., например, [25]). Имеют место неравенства

J\j f{x + £Li)du - f{x) fdx<^ J\Vf\2dx, (0.22) + еа;)-/(.)||я-1(н-) < ФН1/1Ь(н«), (0-23) где H~l(lRd) - пространство, сопряженное к Hl(JRd) = W1,2(IRd). Отсюда и из энергетической оценки получим неравенство (Iи£(х,ш) - и£(х + ей)I2 + \Vu£(x,cu) - Vu£{x + еш)\2) dx < nd

C£zJfzdx VweD, nd которое позволяет в оценке (0.21) заменить функцию и£(х, и) на и£(х + £и). Тем самым приходим к проинтегрированной оценке

J J(\и£(х + £ш) -v£(x,lj)\2 + \Vu£(x + £uj) - Vv£(x,lu)\2) dxdu < Iid

C£2 J fdx, nd

0.24) или - с помощью замены переменной х ecu = t, t = х - к оценке

J J(|и£(х) - ve(х - £uj,uj)|2 + |Vu£(x) - Vv£(x - £cj,oj)\2) dxdco < Rd

Ce2 j fdx. nd

0.25)

Из (0.24) можно выводить различные следствия. Например, отбрасывая слагаемые с градиентом, по неравенству Коши - Буняковского, получается оценка Бирмана - Суслиной (0.12). Действительно, согласно (0.20), имеем хsuj)duj — и°(х)\2 dx — J J(и£(х + £lu) — ve(x,Lu))duj\2 dx < -(x + £uS) - У£(х,ш)^и)2 dx < J j \u£(x + EuS) — ve(x,Lo)\2duo dx и

Rd □ </(/

Rrf □

Rrf □

J J I u£(x + euj) - v£(x,u)\2dxdw < C£2 j fdx, Rd

II т.е.

11J u£(x + £u})du;-u0{x)\2dx < Ce2 j fdx. (0.26)

Функция f u£{x + £U))du представляет собой сглаживание по Стеклову □ исходного решения и£(х).

Из энергетического неравенства (0.16) имеем l!v«l2bW) < c0\\f\\l4Rdy следовательно,

J | J и£(х + еш)ды - U£(x) |2 dx < J fdx (0.27)

Ud □ Tid в силу оценки (0.22). Тогда из (0.26) и (0.27) по неравенству треугольника получаем оценку Бирмана - Суслиной (0.12).

Оценка (0.24) естественно приводит к понятию "сглаженного" первого приближения. Определим "сглаженное" первое приближение г г .г ди°(х - ecu)

Vе (х) = / v£(x-suj,uj)duj = / и°(х-еи) duj + ENJ(y) / -^--du = □ □ 3 + (0.28) где u°'£(x) - сглаживание по Стеклову функции и°(х). Тогда непосредственно из (0.25) получаем оценку

J{\u£{x)-v£{x)\2 + \V{ue(x)-v£{x)\2)dx<C£2 J fdx. (0.29)

Iid R"'

Отдельно в скалярном случае В.В. Жиков доказал [26], что оценка (0.29) справедлива если сглаженное первое приближение vе заменить обычным первым приближением v£ (см. (0.9)): ие -vF\\wv <Ce\\f\\v.

Важную роль при выводе проинтегрированной оценки (0.21) играет представление соленоидального вектора в виде дивергенции от ко-сосимметрической матрицы. Между тем, в задачах усреднения в перфорированных областях такое представление вызывает трудности. С.Е. Пастухова предложила модификацию метода В.В. Жикова, (см. [27] -[31]). Предложенный С.Е. Пастуховой подход не использует представление соленоидального вектора. Альтернативой служит доказанная С.Е. Пастуховой лемма об оценках интеграла, содержащего произведения осциллирующих функций и средние по Стеклову. Метод С.Е. Пастуховой непосредственно приводит к оценке (0.29), минуя проинтегрированную оценку. Необходимый для техники оценок дополнительный параметр интегрирования присутствует здесь в свернутом виде в средних по Стеклову, за счет чего осциллирующие множители исключаются из оценок.

В настоящей диссертации методом Жикова доказываются операторные оценки вида (0.24), (0.29) для уравнения (0.1) и уравнения (0.4), при этом учитывается явление неединственности и осуществляется подходящий выбор решения.

В главе 1 мы исследуем уравнение (0.1). С этим уравнением связываем весовое соболевское пространство

W£ = W(Ud, р£) = € W^OR*). J Ре(\и\2 + |Vw|2) dx < оо},

IM\we = (j Pe(\u\ + |Vu| )dxj , nd в котором и ищется решение задачи.

Определение 0.1. Функцию ие Е We назовем W-решением уравнения (0.1), если выполнено интегральное тождество j p£{a£Vu£ -V(p + u£(p)dx = J fipdx (0.30) для любой ip £ W£.

Заметим, что в весовом И^-пространстве гладкие функции, вообще говоря, не плотны. Поэтому решения уравнения (0.1) можно искать и в подпространстве Не = H(]Rd,pe), которое является замыканием множества гладких функций в пространстве W£.

Определение 0.2. Функцию и£ € Н£ назовем Н-решением уравнения (0.1), если интегральное тождество (0.30) выполнено для любой функции (р £ Н£.

Существование и единственность Я-решений и VF-решений следуют из теоремы Рисса о представлении линейного функционала. В общем случае эти решения различны. Получается, что с одним и тем же формальным дифференциальным выражением можно связать две однозначно разрешимые задачи.

Для 1У-решений выполнения тождества (0.30) на гладких функциях недостаточно, но достаточно выполнения этого тождества на финитных функциях из W£. В обоих случаях в качестве пробной функции можно взять сами решения и получить энергетическое равенство

J p£(a£Vue -Vu£ + и£ -u£)dx = J fu£dx.

Определим также соболевские пространства периодических функций WPer(D,p) = {и 6 j udx = 0, j p\Vu\2dx < оо}, □ где И^^(П) - классическое соболевское пространство периодических функций, суммируемых по □ вместе с градиентом. В качестве нормы в Wpег(Цр) возьмем (f p\Vu\2dx)^. Пусть Ярег = Ярег(П,Р) - замыкание множества гладких периодических функций по указанной норме.

Введем задачи на ячейке периодичности, с помощью которых будет определена усредненная матрица. Эти задачи обобщают классическую задачу и формально имеют вид div (pa{VNj + ej)) = 0, j = 1,2,., d, где e1, e2,., ed - канонический базис в JRd. В случае Я-решений точная формулировка понимается так:

Nj еЯрегр,р), J pa{VNj + ej)-V<pdx = 0 У^Ярег(Цр), в случае И^-решений: е Wper(D, р), jpa(VNj + ej) ■ dx = 0 V<£> G Wper(D, p).

Решения этих задач, вообще говоря, различны, усредненная матрица в обоих случаях задается равенством а°е? = {pa{VNj + ej)), является симметрической и положительно определенной. Кроме того, а°н > a°w > (р-'а-1)-1 > А (/Г1)"1/, где I - единичная матрица.

Для решения задачи (0.1) получена проинтегрированная оценка

J j(|u£(x) - v£(x - £u,u)\2 + IVu£(x) - Vv£(x - eu,uj)\2)pedxduj < □ itd

Слагаемое ||w° 11^2,2^) в правой части можно оценить через Ц/Ц^г воспользовавшись усредненным уравнением (0.10). Здесь важно, что а0 - постоянная эллиптическая матрица. Имеет место Теорема 0.1. Пусть и£ - есть W- или Н-решение задачи (0.1), v£ -приближенное решение, определенное равенством (0.9), вес ре = р£(х) удовлетворяет условию (0.3). Тогда справедлива оценка

J J(Iи£(х) - v£(x - |2 + |Vti£(ir) - Vv£(x - EW, w)\2)pedxdu < Rd c^ll/ll^,), где константа С зависит от размерности пространста, постоянной эллиптичности А и норм ЦрЦь^ H/^Ul*

Напомним классический результат, касающийся представления соле-ноидального вектора в дивергентной форме.

Определение 0.3. Периодический вектор g 6 L!(D) называется соле-ноидалъным, div g = 0, если jg ■ \7(р dx = 0 □

Теорема 0.2. Если д £ ЬР(П), р > 1, (д) = 0, д - соленоидален, то справедливо представление g = divG: Gij = -Gji, G{j e

Кроме того, можно указать линейный оператор g -» G, дающий по заданному g единственную матрицу G, причем выполнена оценка

G\\wig < co\\g\\Lp.

Теорема 0.3. В предположении (0.3) соленоидалъный вектор g £ L2{\2,p~l), (g) = 0 допускает представление в виде g = div G, где G - кососимметрическая матрица, удовлетворяющая условию

1 + г

Для линейного оператора g —> G выполнена оценка

G\\Lz(n,p-i) < со\\д\\Ь2{а,р-1).

При доказательстве теоремы 0.1 мы используем весовое неравенство Пуанкаре

Лемма 0.2. В предположении (0.3) имеет место неравенство

J pu2dx <С J p\Vu\2dx, и £ И^1Д(П), j udx = О, □ □ □ в котором константа С зависит от размерности пространства, показателей г, s и норм ||p||Lr; \\p~1\\l°-Имеет место

Теорема 0.4. Пусть и6 - есть W- или Н-решение исходной задачи (0.1), и0 - решение усредненной задачи, vе (х) - сглаженное первое при-блиэюение, определенное равенством (0.28). Тогда справедлива оценка

И*) - v£(x)\2 + |W(z) - VF(x)\2)pedx < Cs2\\f\\2L2{udr

Rd где С зависит от размерности пространства, постоянной эллиптичности А и норм ||p||Lr,

В доказательстве этой теоремы существенно используется следующая лемма Жикова - Пастуховой, установленная авторами в [28]. Лемма 0.3. В предположении (0.3) справедливо неравенство

J \ф + еи)-ф)\2р{^-)<1х<Се2 j |Vv>(z)|2p{~)dx Vw G ¥td где постоянная С определяется только величинами (рг), (р~*).

Вторая глава диссертации посвящена уравнениям вида (0.4). Прежде всего, определим понятие решения, считая для упрощения, что в уравнении (0.4) е = 1.

Определение 0.4. Функцию и Е H/1,2(IRd) назовем решением уравнения (0.4), если выполнено интегральное тождество

J aVu-Vipdx + J BVu-W(pdx + Jucpdx = J fpdx V</? E CJ°(IRd).

Ud nd Rd Iid

Определение имеет смысл, если В £ Ь2(П). Это же условие обеспечивает существование решения. Действительно, рассмотрим аппроксимацию Bft матрицы В,

Bh Е Ь°°(П), Bh —В в 1/2(П), Bh — кососимметрична.

Аппроксимирующее уравнение

-div (a(x)Wuh + Bh{x)Vuh) + uh = f однозначно разрешимо в смысле выполнения интегрального тождества

J аЧщ ■ V</? dx + J BhViih -Vpdx + J Uftipdx =

Rd nd Rd (0.31)

- J fpdx V<p <E C0°°(IRd).

Rd

По замыканию в этом тождестве можно взять <р = щ и получить энергетическое равенство

J ah4uh ■ Vuh dx + J BhVuh-Vuhdx + J \uh\2 dx = J fuhdx

R^ Rd Rd Rd для любой Lp G Со°(Ш,^). Второе слагаемое слева равно нулю, благодаря кососимметричности матрицы Вь, поэтому приходим к равенству aVu/j • Vuu dx + J \uh\2dx = J fuhdx.

Iid Rd Rd

Отсюда следует, что последовательность u/t ограничена в H/1'2(IRc/) и можно считать, что последовательность щ слабо сходится в И/1'2(И'/), щ и. Переходя к пределу в интегральном тождестве (0.31), получим, что предельная функция и есть решение задачи (0.4). Видим, что процедура аппроксимации всякий раз приводит к решению задачи, которое принято называть аппроксимационным. Условие В е Ь2(П) не гарантирует единственности аппроксимационного решения. Кроме того, помимо аппроксимационных могут существовать и другие решения, которые нельзя получить путем аппроксимации.

Операторные оценки для аппроксимационных решений получаем следующим способом. Сначала доказываем оценки в случае ограниченной матрицы В: когда проблем с единственностью не возникает; важно, что константы в оценках зависят только от нормы Н-ВЦ^щ, а не от ||-^IU°°(D)ld

Затем переходим к пределу Bft -> В, В^ £ Ь°°(П), при этом усредненная матрица определяется также как предел соответствующих усредненных матриц

А1 А°.

Решение периодической задачи N получается как предел решений Nfг соответствующих периодических задач

Nh^N в

Nhewg{□), divAK + ViVft) = o £elRd.

Теорема 0.5. Пусть матрица В ограничена, удовлетворяет условию (0.5) и£(х) - решение исходной задачи (0.4), v£(x, и) - первое приближение (0.19) к решению задачи (0-4). Тогда справедлива оценка

J J(\u£(x+£Uj)-v£(x,uj)\2+\Vu£{x+euj)-Vv£{x,u)\2) dx du < Се2 J f2dx, ]Rd Rd в которой константа С зависит только от размерности пространства, константы эллиптичности А и нормы Ц-ВЦ^п). Эта теорема, а также оценки для усредненной матрицы

Л°>Л/, \А°\ < \\А\\Ь. + \~1\\А\\12 позволяют получить оценки для аппроксимационных решений Теорема 0.6. Пусть и£ - аппроксимационное решение задачи (0.4), и0 - решение соответствующей усредненной задачи. Тогда имеет место оценка u£-u°\\L2<Ce\\f\\l2, где константа С зависит от размерности пространства, постоянной эллиптичности А и нормы || 51| £,?>(□)•

Помимо аппроксимационного подхода имеются и другие способы однозначного выделения решения в условиях неединственности. В диссертации рассматривается способ, основанный на переходе от уравнения к специальной системе, решение которой можно определить единственным образом.

Для простоты положим в задаче (0.4) симметрическую часть а единичной,

Ае(х) = I + В£, где I — единичная матрица размера d х d, и вместо уравнения

-div (Vtt£ + B£Vu£) + u£ = f е L2(IRd) рассмотрим систему уравнений div (Vuf + B£Vu2) + u\ = /iEL2(IRd), -div(Vu! + BeVuf) + «§ - f2EL2(lRd), где B£ = Bg{x) = B{e~lx). Определим решение такой системы, полагая для простоты е = 1. Запишем систему (0.32) в операторной форме

Aui + Su2 — и\ = —/i,

0.33)

A u2-S*ui-u2 = -/2, «ьИзбГЭД.

Здесь 5 - оператор, действующий из Wl'2(\Rd) = Hl(lRd) в Я^(IR/*), определен равенством

Su, </?) = - j BVuVip dx Vtp e W^QR?) ud для произвольной функции и € Co°(IRd), а затем продолжен до замкнутого оператора. Через S* обозначен сопряженный к S оператор. Операторная система (0.33) имеет единственное решение, поскольку "матрич О s\ кососамосопряжен на своей области опреу -S* 0 J деления dom S* х dorn S в силу классической теоремы Неймана из спектральной теории. Это решение называем вариационным решением исходной системы (0.32). Вообще говоря, оператор S* имеет более широкую ный" оператор область определения, чем 5, так что сам оператор S не является косо-самосопряженным. Таким образом, определение вариационного решения системы (0.32) выглядит так: щ Е VT1'2 (IIId), и2 Е domS* - замыкание C0°°(lRd) по норме IHI^1'2 + \\BVu\\H-i, и выполнены интегральные тождества / (Vui + BVu2) • Vy?i dx+ f ицрф = f fmdx Vpi E C0°°(IRd),

Itd Kd ]Rd f (Vu2 + BVu 0 • V<p2 dx+ J u2ip2dx = f f2ip2dx V</?2 <E C0°°(]Rd).

Теперь обратимся к задаче усреднения для системы (0.32). Первое приближение к вариационному решению будем искать в виде

Щ(х) =щ{х,у) = и^х) +evi(x,y), йе2(х)=й2{х,у) - u°2(x) + £v2(x,y), у = е~гх, где пара v\(x,-), v2(x,-) - вариационное решение следующей задачи на ячейке периодичности divjV^i + В(у)(& + Vyu2)] = 0, divy[Vyi72 + B(y)fa + V„wi)] = 0, где условия нормировки добавлены для однозначного выделения решения. Усредненная 2d х 2с?-матрица

А0 определена равенством

Отметим, что усредненная матрица удовлетворяет соотношению

Усредненная система имеет вид и о (W^i IRrf))2, f (A°S7u°4<p + u°.ip)dx= f f ip dx

0.34) ty> = Q e (^(IR"))2, где/=(/.),7ио = 0.

Доказана

Теорема 0.7. Пусть матрица В удовлетворяет условию (0.5), и\, и\ -решение задачи (0.32), и\,и\ - решение усредненной задачи (0.34). Тогда имеет место оценка где константа С зависит только от размерности пространства, постоянной эллиптичности нормы ||#||ьр(П)

В заключение автор выражает благодарность своим научным руководителям доктору физико-математических наук, профессору Василию Васильевичу Жикову и доктору физико-математических наук, доценту Светлане Евгеньевне Пастуховой за постановку задачи, руководство и постоянное внимание к работе.

IK - ||L2 + - ul\\L2 < Се(Ш\ь2 + H/2||L2),

1. Muckenhoupt В. Weighted norm inequalities for Hardy maximal function // Trans. Amer. Math. Soc. - 1972. - Vol.165. - P. 207-226.

2. Serra Cassano F. On the Local Boundedness of Certain Solutions for a Class of Degenerate Elliptic Equations // Boll. Unione Math. Italiana. -1996. Vol. 7. No.lO-B. - P. 651-680.

3. De Arcangelis, Serra Cassano F. On the homogenization of degenerate elliptic equation in divergence form // J. Math. Pures Appl. 1992. -Vol.71. - P. 1-20.

4. Жиков В.В. О весовых соболевских пространствах // Матем. сборник. 1998 - Т. 189. Вып. 8. - С. 27-58.

5. Gallo^t Т., Lederer J., Lewandowski R., Murat F., Tartar L. On a turbulent system with unbounded eddy viscosities // Nonlinear Analysis. 2003. - Vol.52. - P. 1051-1068.

6. Жиков В.В. Замечание о единственности решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с младшими членами // Функц. анализ и его приложения. 2004. - Т.38. Вып. 3. - С. 15-28.

7. Bensoussan A., Lions J.L., Papanikolaou G. Asymptotic Analysis for Periodic Structur. Amsterdam: North Holland, 1978.

8. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний: Пер. с англ. М.: Мир, 1984.

9. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984.

10. Олейник О.А., Иосифьян Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: Изд-во МГУ, 1990.

11. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Наука, 1993.

12. Пятницкий A.JL, Чечкин Г.А., Шамаев А.С. Усреднение. Методы и приложения. Белая серия в математике и физике Т. 3. Новосибирск: Изд-во "Тамара Рожковская", 2007.

13. Бирман М.Ш., Суслина T.A. Периодические дифференциальные операторы второго порядка. Пороговые свойства и усреднения // Алгебра и анализ. 2003. - Т. 15. Вып.5. - С. 1-108.

14. Суслина T.A. Усреднение стационарной периодической системы Максвелла // Алгебра и анализ. 2004. - Т.16. Вып.5. - С. 162-244.

15. Суслина Т.А. Об усреднении периодической системы Максвелла // Функц. анализ и его прил. 2004. - Т.38. № 3. - С. 90-94.

16. Суслина Т.А. Усреднение периодических параболических систем // ПОМИ препринт № 15/2004.

17. Суслина Т.А. Об усреднении периодических параболических систем // Функц. анализ и его прил. 2004. - Т.38. № 4. - С. 86-90.

18. Бирман М.Ш., Суслина Т.А. Усреднение периодических эллиптических дифференциальных операторов с учетом корректора // Алгебра и анализ. 2005. - Т. 17. Вып.6. - С. 1-104.

19. Бирман М.Ш., Суслина Т.А. Пороговые аппроксимации резольвенты факторизованного самосопряженного семейства с учетом корректора // Алгебра и анализ. 2005. - Т. 17. Вып.5. - С. 69-90.

20. Бирман М.Ш., Суслина Т.А. Усреднение периодических дифференциальных операторов с учетом корректора. Приближение решений в классе Соболева Я^ГО/*) // Алгебра и анализ. 2006. - Т. 18. Вып.6. -С. 1-130.

21. Griso G. Error estimate and unfolding for periodic homogenization // Asymptotic Analysis. 2004. - No.40. - P. 269-286.

22. Жиков В.В. Об операторных оценках в теории усреднения // Доклады Академии Наук. 2005. - Т.403. № 3. - С. 305-308.

23. Жиков В.В. О некоторых оценках из теории усреднения // Доклады Академии Наук. 2006. - Т.406. № 5. - С. 597-601.

24. Zhikov V.V., Pastukhova S.E. Operator Estimates for Some Problem in Homogenization Theory // Russian Journal of Mathematical Physics. -2005. Vol.12. No. 4. - P. 515-524.

25. Жиков В.В., Пастухова С.Е. Усреднение вырождающихся эллиптических уравнений // Сибирский математический журнал. 2008. -Т.49. № 1.

26. Пастухова С.Е. О некоторых оценках из усреднения задач теории упругости // Доклады Академии Наук. 2006. - Т.406. № 5. - С. 604608.

27. Пастухова С.Е. О вырожденных уравнениях монотонного типа: эффект Лаврентьева и вопросы достижимости. Матем. сборник. 2007. - Т.198. № 10. - С. 89-118.

28. Пастухова С.Е., Тихомиров Р.Н. Операторные оценки повторного и локально периодического усреднения // Доклады Академии Наук. -2007. Т.415. № 3. - С. 304-309.

29. Жиков В.В. Эффект Лаврентьева и усреднение нелинейных вариационных задач // Дифференц. уравнения. 1991 - Т. 27. № 1. -С.42-50.

30. Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций: Пер. с англ. М.: Мир, 1973.

31. Jikov V.V., Lukkassen D. On Two Types of Effective Conductivities // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2001. - No.256. -P. 339-343.

32. Жиков В.В. Диффузия в несжимаемом случайном потоке // Функц.1.анализ и его приложения. 1997. - Т.31. Вып. 3. - С. 10-22.

33. Жиков В.В., Тихомирова С.В. Об операторных оценках в несимметрических задачах усреднения // Современная математика и ее приложения. Т. 33. Суздальская конференция 1, 2004. Тбилиси, 2005. -С. 124-128.

34. Жиков В.В., Пастухова С.Е., Тихомирова С.В. Об усреднении вырождающихся эллиптических уравнений // Доклады Академии наук. 2006. - Т.410. № 5. - С. 587-591.

35. Пастухова С.Е., Тихомирова С.В. Эллиптическое уравнение с несимметрической матрицей. Усреднение "вариационных решений"// Математические заметки. 2007. - Т.81. Вып.4. - С. 631-636.

36. Тихомирова С.В. Об усреднении эллиптического уравнения с неограниченной кососимметрической матрицей // Сборник трудов молодых ученых В ГПУ. 2006. - Вып.6. - С. 90-94.

37. Тихомирова С.В. О представлении соленоидального вектора в дивергентной форме // Вестник ВГПУ. 2007. - Вып. 14. - С. 27-29.

38. Тихомирова С.В. Об операторных оценках в несимметрических задачах усреднения // Всероссийская конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения": Тез. докл. Самара, 2005.С. 88-89.

39. Тихомирова С.В. Об оценках усреднения эллиптических уравнений с весом // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам: Тез. докл. Суздаль, 2006. -С. 212-214.