Аппроксимации операторов с частными интегралами и их приложения к интегральным уравнениям тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Барышева Ирина Владиславовна

АППРОКСИМАЦИИ ОПЕРАТОРОВ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 3 ДЕК 2012

Ростов-на-Дону — 2012

005056956

005056956

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО "Липецкий государственный педагогический университет"

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Калитвин Анатолий Семёнович

Официальные оппоненты:

Пилиди Владимир Ставрович, доктор физико-математических наук, профессор ФГАОУ ВПО "Южный федеральный университет" заведующий кафедрой информатики и вычислительного эксперимента

Ляхов Лев Николаевич,

доктор физико-математических наук, профессор ФГБОУ ВПО "Воронежский государственный университет", профессор кафедры математического и прикладного анализа

Ведущая организация:

ФГБОУ ВПО "Южно-Уральский государственный университет " (НИУ) (Челябинск)

Защита состоится "24" декабря 2012 г. в 15 час. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.208.29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8-а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южного федерального университета по адресу: ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан 1% ^ноября 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.208.29

Кряквин В.Д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математическими моделями, описывающими различные проблемы механики сплошных сред, теории упругих оболочек и других задач, являются частные случаи интегрального уравнения

где I — тождественный оператор, K = C + L + M + N, операторы С, L, M, N представляются равенствами:

t,r 6 [а, Ь], s,cr £ [с, d], заданные функции c(t,s), l(t,s,r), m(t,s,cr), n(t, s, т, а) и /(£, s) измеримы по совокупности переменных. Здесь и далее интегралы рассматриваются как интегралы Лебега. Исследование таких моделей основывается на свойствах оператора К и свойствах решений уравнения (1). Оператор К обычно называют оператором с частными интегралами, так как в нём содержатся интегралы, в которых неизвестная функция х интегрируется по части переменных. Операторы с частными интегралами принципиально отличаются от обычных интегральных операторов. В частности, оператор К не является компактным даже при c(t, s) = 0 и в общем случае непрерывных ядер I, тп, п. Более того, при [а, Ъ\ = [с, d\ = [0,1], единичном ядре I и нулевых функциях с, m и п К — не интегральный, а / — К — не нётеров операторы, тогда как

(Bx)(t) = /х{т) dr — компактный интегральный оператор с ядром I в

пространствах L2 и С.

Свойства оператора К зависят от пространств, в которых он изучается. Оператор К в идеальных пространствах и в пространстве непрерывных функций исследовался Ю. Аппеллем (Вюрцбург), П.П. Забрейко (Минск), A.C. Калитвиным (Липецк), А.И. Поволоцким (Санкт-Петербург), О.П. Околеловым (Липецк), Е.В. Фроловой (Липецк); в пространстве L2 суммируемых с квадратом функции — B.C. Пилиди. (Ростов-на-Дону), а также новгородскими математиками: Л.М. Лихтарниковым, Л.З. Битовой,

(I-K)x = f,

(1)

і

о

B.B. Болтянским; операторы и уравнения с разностными ядрами изучались А. Бёттхером (Хемниц), A.A. Говорухиной, Н.В. Коваленко, И.Б. Си-моненко (Ростов-на-Дону). Сингулярным интегральным уравнениям и операторам с частными интегралами, а также уравнениям типа свёртки, посвящены работы ростовских математиков: В.А. Какичева, B.C. Пилиди, И.Б. Симоненко.

Важнейшими частными случаями уравнения (1) являются уравнения Вольтерра с оператором

где Т х S = [a,t]x [с, s] или Г х 5 = [а,Ь\ х [c,s], или Т х 5 = [a,i] х [c,d] и Вольтерра-Фредгольма с оператором

где Т = [а, Ь] или Т = [o,i], S = [с, d] или S = [с, s] с частными интегралами. Уравнения Вольтерра с частными интегралами впервые, по-видимому, изучались В. Вольтерра, Э. Гурса, Г. Мюнтцем. Приложения этих уравнений к задачам теории упругих оболочек и дифференциальных уравнений с частными производными рассматривались в монографиях И.Н. Векуа (Тбилиси), A.B. Бицадзе (Москва). Операторы и уравнения Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами исследовались Ю. Аппел-лем, П.П. Забрейко, A.C. Калитвиным, В.А. Калитвиным (Липецк), а прикладные задачи, при математическом моделировании которых получаются такие уравнения, описаны в работах московских механиков: В.М. Александрова, Е.В. Коваленко, A.B. Манжирова, С.М. Мхитаряна. Приближённое и численное решение уравнений (1) рассматривалось О.П. Околеловым, а уравнений Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма — A.C. Калитвиным, В.А. Калитвиным, О.П. Околеловым.

Спектральные свойства операторов К, Kv, К/ рассматривались в работах Ю. Аппелля, В.В. Болтянского, JI.3. Битовой, П.П. Забрейко, A.C. Ка-литвина, В.А. Калитвина, Е.В. Фроловой, Л.М. Лихтарникова, О.П. Околе-лова. Нётеровость, фредгольмовость и обратимость операторов и однознач-

+

+

ная разрешимость уравнений с частными интегралами изучались Ю. Ап-пелем, П.П. Забрейко, A.C. Калитвиным, Е.В. Фроловой.

Решение уравнения (1) может обладать различными свойствами по каждой из своих переменных. Например, задача Коши для линейных интегро-дифференциальных уравнений Барбашина, моделирующих различные прикладные задачи, связана с нахождением решений частных случаев уравнения (1) в пространстве частично дифференцируемых функций1, а при численном решении уравнения и оценке погрешности аппроксимации интегралов суммами требуется существование производных по одной из переменных подынтегральной функции, а по другой переменной достаточно непрерывности. Поэтому актуальной задачей стало изучение свойств оператора К и уравнения (1) в пространствах частично дифференцируемых функций двух переменных.

Несмотря на то, что теория операторов и уравнений с частными интегралами интенсивно развивается, особенно в последние годы, многие вопросы ещё не исследованы. Явное построение решений этих уравнений возможно лишь в редких случаях, поэтому важное значение имеют приближенные и численные методы решения. Разработка приближенных и численных методов решения уравнений с частными интегралами невозможна без изучения свойств как самих уравнений, так и содержащихся в уравнениях операторов с частными интегралами, и связана с аппроксимацией таких операторов, что свидетельствует об актуальности тематики диссертационного исследования.

Цели работы:

— установить условия действия и непрерывности операторов К, Kv и К; в пространствах частично дифференцируемых функций двух переменных;

— исследовать аппроксимации операторов с частными интегралами в пространствах частично дифференцируемых функций двух переменных;

— получить условия нётеровости, фредгольмовости, обратимости операторов и однозначной разрешимости уравнений с частными интегралами и ядрами общего вида в пространствах частично дифференцируемых функций двух переменных, используя аппроксамации операторов с частными интегралами;

— провести обоснование применения метода вырожденных ядер для приближённого решения уравнений с частными интегралами в пространстве частично дифференцируемых функций двух переменных и получить оцен-

iAppell J.M., Kalitvin A.S., Zabrejko P.P. Partial Integral Operators and Integro-Differential Equations. - New York: Marcel Dekker, 2000. - 560 p.p.

ку погрешности.

Методы исследования. Доказательства теорем проводятся общими методами функционального анализа, спектральной теории линейных операторов, теории интегральных уравнений.

Научная новизна. Все полученные в данной диссертационной работе результаты являются новыми.

Теоретическая и практичекая значимость. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер и могут быть использованы в целях дальнейшего развития теории линейных операторов и уравнений с частными интегралами в пространствах дифференцируемых и частично дифференцируемых функций, а также при исследовании свойств математических моделей, описывающих различные проблемы механики сплошных сред, теории упругих оболочек и других прикладных задач.

Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарах и конференциях в Липецком государственном педагогическом университете, на Воронежских весенних математических школах "Понтрягинские чтения" в 2000, 2003, 2008 гг., на Международных научных конференциях и семинарах: "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения" (Воронеж, 2000), "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования" (Воронеж, 2007), Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейна (Воронеж, 2008); "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения" (Ростов-на-Дону, 2011, 2012); были представлены на Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Йошкар-Ола, 2006).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-17]. В совместных работах [9-17] научному руководителю принадлежат постановки задач и некоторые идеи доказательств. В статье [17] использовалась общая схема доказательства, предложенная A.C. Калитви-ным и Е.В. Фроловой.

Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, объединяющих 8 параграфов, списка литературы, содержащего 89 наименований, и двух приложений; общий объём работы — 109 страниц, в том числе приложения — 7 страниц. Нумерация формул и теорем своя в пределах каждого параграфа.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается краткий обзор исследований по теории операторов и уравнений с частными интегралами, их приложениям, методам приближённого и численного решения уравнений и излагаются основные результаты диссертации.

В первой главе изучаются непрерывность и аппроксимации операторов с частными интегралами.

§1 носит вспомогательный характер. Здесь описываются пространства дифференцируемых и частично дифференцируемых функций нескольких переменных и некоторые их конструкции. Через и (V) обозначается пространство функций двух переменных, которые имеют р (д) непрерывных частных производных по первой (второй) переменной.

В §2 изучаются условия действия и непрерывности операторов К, К.„ и К/. В теореме 2.1 показывается, что если оператор К действует в пространстве 17, то он непрерывен.

Пусть О, — одно из множеств: [а,Ь], [с, Будем считать, что ш € О,

причём если П = [а, Ь], то ш = т, если О = [с, то ш = а, если Г2 = Д то ш = (т, а). Измеримую по совокупности переменных на В х П функцию /(£, назовем I?-непрерывной, если Уе > 0 35 > 0, что

Достаточные условия действия оператора К в пространстве V содержит Теорема 2.2. Пусть выполнены условия: а) функция с и ее частные производные по £ до порядка р включительно непрерывны по совокупности переменных на Д б) ядра I, т, п Ь1 -непрерывны и Ь1-ограничены вместе со своими частными производными по í до р-го порядка включительно; в) частные производные по Ь до р-го порядка включительно от ядер равномерно суммируемы на [а, &], [с, Щ, О соответственно.

Глава 1.

при |£1 — 1 < б, - яг! < <5; Ь1-ограниченной, если

равномерно суммируемой, если

Тогда оператор К непрерывен в U.

Следствие 2.1. Пусть функции c(t, s), lit, s, т), m(t, s, a), n(t, s, т, a) p раз непрерывно дифференцируемы no переменной t. Тогда К — непрерывный линейный оператор на U.

Для пространства V сформулированы аналогичные утверждения. В теоремах 2.4, 2.5 и следствии 2.3 представлены условия непрерывности действия оператора К из пересечения пространств U и V в их сумму. Аналогичные условия непрерывности действия в пространстве U (У) приводятся для операторов Kv и Kf. Также проводятся оценки норм операторов.

§3 посвящён аппроксимациям операторов с частными интегралами. В теореме 3.1 рассматривается общий случай аппроксимации оператора К оператором К с ядрами I, in, п в пространстве CiJJ) ограниченных на U линейных операторов.

В качестве I, fh, п рассматриваются вырожденные ядра

l(t,s,r) =^2l„(t,s)an(T), m{t,s,o) ^^Tmjit^yojia),

Г

i(t, s, т,а) = У~] nk(t, s)cfc(r, a),

n=l

(3)

k=1

где ln, rrij, rit S U ; функции an,bj,ck (n = 1,..., u;j = 1,... ,v; k = 1,..., r) непрерывны. Из теоремы 3.1 непосредственно следует

Теорема 3.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.2. Тогда найдутся последовательности операторов Li, Mi, Ni, К{ с вырожденнъши ядрами (3), которые сходятся к операторам L, M, N, К соответственно в пространстве C(U) ограниченных на U линейных операторов.

Пусть t,s,r,a 6 [0,1] и а = 0,5. Аппроксимацию оператора К, при которой его ядра приближаются отрезками степенных рядов, обеспечивает

&c(t, s) d'l(t, s, т) д*гп(г, s, cr) Если функции ---

Теорема

dln(t,s,t, а)

Ш

з.з. dti , д(

непрерывны по совокупности переменных,

dlm{t, s, о)

dt'

dH(t, s, т)

dt*

< A < oo,

dP

< В < oo,

dzn(t, s, t, cr)

< С < ■

(» = 0,1,...)

и

ч ^8Н(а,а,т) (t-af _ ^д{т(а,з,а) (t - аУ

г=0 »=<>

„ ^ д1п(а,з,т, a) (t - а)г

7l{t, Sj 7", -gjt---¿j »

!=0

где г >р, то операторы К и К действуют в U, причем

\\к-щ< (а+с)±^г_ +в±±

¿=<Л J' j=0 к=0 v J '

Для пространства V аналогичные утверждения сформулированы в теоремах 3.4-3.6. Аппроксимации оператора I<v в пространствах U и V изучаются в теоремах 3.7—3.9.

Глава 2.

Важнейшие свойства математических моделей, описываемых уравнениями с частными интегралами, связаны с нётеровостью, фредгольмовостью и обратимостью операторов и однозначной разрешимостью уравнений с частными интегралами. Во второй главе аппроксимации операторов с частными интегралами применяются при исследовании условий нётеровости, фредгольмовости и однозначной разрешимости в пространстве U линейных уравнений с частными интегралами. Здесь нётеровым {фредгольмовым) оператором А называется ограниченный линейный оператор, у которого область значений замкнута, а размерности ядра и коядра конечны (в случае фредгольмова оператора ядро и коядро имеют одинаковую размерность). Уравнение Ах = / с нётеровым, фредгольмовым, обратимым на X оператором А будем называть нётеровым, фредгольмовым, однозначно разрешимым соответственно. Однозначно разрешимое уравнение иногда

называют обратимым.

В главе 2 установлена структура резольвенты обратимого в пространстве U уравнения с частными интегралами (1), где К = L + М + N, приведены альтернатива Фредгольма и критерии фредгольмовости и однозначной разрешимости интегральных уравнений с частично интегральными операторами, ядра которых зависят от двух переменных, получены условия однозначной разрешимости и фредгольмовости уравнений Воль-терра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами. Рассмотрена однозначная разрешимость в пространстве U интегральных уравнений некоторых задач механики сплошных сред, теории упругости и других задач.

В §4 исследуются условия нётеровости и фредгольмовости оператора I-K и уравнения (1), где К = L+M+N, f Є U, с вырожденными ядрами. Формулируются теоремы о равносильности фредгольмовости оператора I-К с вырожденными ядрами (3), где системы функций {ап\п = 1,... и {bj\j = 1,..., v} ортонормированы, фредгольмовости операторов I — Ьтл 1-М, которая в свою очередь равносильна неравенству Ai(s) • A2(t) Ф О, где Ai(s) и Дi(t) — определители

1-0U (t)... - ölv(t)

, А2(t)='

Ai(s) =

-X«i(s). • • 1 - Xuu{s)

-Vvl (t)... 1 -

Ґ

Xni(-s) = / an(T)ii(-r,s)dT (n,î = l,...,u), Ja fd

djk(t) = J hj(cr)mk(t,o)d<j (j,k = l,...,v).

В §5 установлены критерии фредгольмовости в пространстве U оператора I—K.

Теорема 5.1. Если функции l(t, s, т), m(t, s, a), n(t, s, т, a) p раз непрерывно дифференцируемы по переменной t, mo фредгольмовость уравнения (1 ) эквивалентна фредгольмовости уравнений (I—L)x = / и (1—М)х = /.

В доказательстве теоремы 5.1. операторы L и M аппроксимируются операторами Lu M с вырожденными ядрами

и «

1{г,з,т) = ^щ(з)ъми(т), m(i,e1<7) = 53cj(s)dj(i)mi-(tт),

i=i J=i

где budjeCW, сц,с,-еС, keL\, ms&L\, a L\ и L\ - пространства суммируемых на [а,Ъ] и [с, d] функций.переменной тиа соответственно. При этом существуют операторы (l-(L-L))'1 и (/-(М-М))"1 с резольвентными ядрами Ci и <2 соответственно. Рассматриваются определители

l-XuM----Xiu(s) l-*u(t)...-tfi„(i)

...................... , A4(Î)= ............

-xul(e)... 1 - Xuu(s) ■ • •1 - *»»(*)

Xin(s) = j\i{T)(an(s)bn(t) + J^ Ciii.e.TiJantsJbnirOdnjdr (і,п = 1,...,«), 0jk(t) =j*mj{<T)(ck(s)dk{tYrJ^ ^s^Ma^dk^da^da (j,k = 1,

A3(S) =

Из доказательства теоремы 5.1 следует

Теорема 5.2. Пусть функции l(t, s, г), m(í, s, a), n(t, s, т, a) непрерывны по совокупности переменных вместе со своими частными производными по переменной t до порядка р включительно. Тогда фредгольмовостъ оператора I — К равносильна неравенствам Дз(з) / Ou A.i(£) ф 0.

§6 посвящен исследованию однозначной разрешимости уравнений с частными интегралами с непрерывными вместе с частными производными по переменной t до у>-го порядка включительно ядрами. Условия однозначной разрешимости (фредгольмовости, нётеровости) уравнений (7 — L)x = f и (7 — М)х = / в пространстве U содержит

Теорема 6.1. Если функции I, m непрерывны по совокупности переменных вместе со своими частными производными по переменной t до р-го порядка включительно, то в пространстве U однозначная разрешимость, фредголъмовость и нётеровость уравнений (7 — L)х = / и (7 — М)х = / совпадают с однозначной разрешимостью в C¡f ц и C¡C:d¡ соответственно интегральных уравнений Фредгольма второго рода семейств

x(t) = [" l(t, s, r)x(T)dT + m (í € M, / e cjg,), x{s) = j m(t,s,a)x(a)da + g(s) (t е{а,Ъ], g

Теорема 6.2. Если функции l, m, n непрерывны no совокупности переменных вместе со своими частными производными по переменной t до р-го порядка включительно, то равносильны следующие утверждения:

а) уравнение (1) фредгольмово в U;

б) уравнения (7 - Ь)х = / и (7 - М)х = / однозначно разрешимы в U ;

в) уравнения семейств (4) однозначно разрешимы в С^д и C[c¡c¡¡ соответственно;

г) уравнение (1) нётерово в U.

Если операторы (7—L)-1 и (7-М)-1 существуют и представимы в виде

(7 — L)_1x(í, s) = x(t, s) + í í"i(£, s, t)x(t, s)dr,

Ja

(7 - M)~lx(t, s) = x(t, s) + £ r2(t, s, cr)x(t, a)da, где ri и т% — резольвентные ядра операторов L и M соответственно, то

уравнение (1) равносильно уравнениям

(I — Н)х = и и (I-P)x = v, (5)

где

Я = (/ - М)-х(/ - Ь)-\ЬМ + N), Р = {1- L)-\I - M)-\ML + N), u = (J- M)~~l{I - L)"1/, « = - Ь)-1^ " M)-1/-

В теореме 6.3 (следствии 6.1) показано, что в пространстве U обратимость оператора I -К (однозначная разрешимость уравнения (1)) равносильна обратимости операторов /-Я и I-P (однозначной разрешимости уравнений (5)). В доказательстве теоремы 6.3 оператор Я аппроксимируется оператором Я с вырожденным ядром к

h(t, s, т, а) = J2 hi(^ s)di(T><J) (hi е U> di 6 '

¿=1

а через Сз обозначено резольвентное ядро оператора I - {Н - Н). В случае вырожденных ядер в теореме 6.4 доказано, что уравнение (1) однозначно разрешимо точно тогда, когда Ai(s) ф О, A%{t) ф О, А ф 0, где

А =

■ »711 ■

■Щь

-Tjw 1 • • • 1 — T]ww rb rd

щ = jb j\{r,a) Сз(т, <7, Tu^hjin, aJdcndT^dadr

(ij _ Для ядер, удовлетворяющих условиям теоремы 2.2 или

следствия 2.1, аналогичные утверждения содержатся в теореме 6.5. Кроме того, для всех типов ядер строятся резольвентные ядра П.Г2, г-з операторов L, М я Н соответственно, приводятся условия однозначной разрешимости в пространстве U уравнения х = Кх + f и формула для нахождения его решения

x{t, s) = f{t, s) + £ nit, s, r)/(r, s) dT + jf rj(i, 5, a) fit, a) da+

pb rd

+ / / r(t,s,r, <т)/(т,ег) dadr, J a J с

где

+ / Г3(^3,Т1,СГ)Г1(Г1,СГ,Т)ЙГ1+ / 5, Т,<71)Г2(Т,<Г1, <7)^(71 +

»/О -/С

+ / / гз^.з.п^ОггСтьСТь^г^п.ст.г^а^Т!.

Здесь Г1, гг, г (г1; Г2, гз) — резольвентные ядра оператора К с частными интегралами (операторов Ь, М, Н соответственно). В заключение параграфа для уравнения х = Кх 4- / сформулирована альтернатива Фредгольма.

В §7 рассматриваются частные случаи и математические модели некоторых прикладных задач, приводящихся к интегральным уравнениям с частными интегралами. В теоремах 7.1 и 7.2 представлены критерии фред-гольмовости и однозначной разрешимости уравнения (1) с ядрами т) и т(з, сг). Теорема 7.3 содержит условия однозначной разрешимости уравнения Вольтерра в пространстве II.

Теорема 7.3. Пусть функции I, т, п непрерывны по совокупности переменных вместе со своими частными производными по переменной Ь до р-го порядка включительно. Тогда для любой функции / е {/ уравнение (1) Вольтерра с оператором Ку "имеет в V единственное решение.

При выполнении условий теоремы 7.3. решение уравнения (1) Вольтерра с оператором К„ может быть получено методом последовательных приближений. Критерий однозначной разрешимости уравнения Вольтерра-Фредгольма содержит

Теорема 7.4. Пусть функции I, т, п непрерывны по совокупности переменных вместе со своими частными производными по переменной Ь до р-го порядка включительно и / е и. Тогда в и однозначная разрешимость уравнения (1) Волътерра-Фредголъма с оператором К/ равносильна однозначной разрешимости уравнения х = Мх + /.

В примерах пунктов 7.3 и 7.4 эти утверждения применены к интегральным уравнениям Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами, моделирующих некоторые прикладные задачи.

Глава 3.

Третья глава посвящена вопросам приближённого и численного решения интегральных уравнений с частными интегралами.

В §8 рассматривается применение метода вырожденных ядер к приближенному решению интегральных уравнений с частными интегралами. По-

лучена оценка погрешности решения уравнения х = (Ь + М + Л^ж + / при аппроксимации его ядер I, т, п вырожденными ядрами.

Теорема 8.1. Пусть уравнение (1) имеет единственное решение, существуют такие постоянные <5о, <*>!> <Зо> <3ъ <32, 7. чт0

і=0 гЬ і Яг

£1тЬ ¿/Г,в,<""5)

¿тйа < ¿о,

дР

дг~к(гп — ш)

¿№|*<«ь ¿¿С?I I-ЭГ-»

і=0 ^ I 1 г=0 Л=0 •/с 1

^іа'Сггп) Р гЬ]яі

йа < ¿2,

Р 1-Ъ га

Ш1

і=0 р

Г

Йтсіо- < <Зо, У] / ¿=0 •/о

р /-г» м

д1п

¿¿«дбн* ыт

йт <(?!

(¿гйсг < 7,

¿=0 £=0 •/с 1 "" «=° ы выполняется условие 1 - <5(1 + т)(1 + <2) > где <5 = ¿о + ¿1 + ¿2,

А з)

ф = д0 + <2і + <2г, « пусть А = эир

г=0

оценка

„ -и , м(1+7)2(1+а)2

1 — <5(1 + 7)(1 + Я)

дР

+ е(1+7)(1 + С)-

. Тогда справедлива

Соискатель благодарит своего научного руководителя доктора физико-математических наук, профессора Калитвина Анатолия Семёновича за терпение, внимательное отношение и постоянный интерес к работе, а также за консультации и ценные советы.

Публикации автора по теме диссертации

1. Барышева, И.В. Аппроксимации операторов Вольтерра с частными интегралами / И.В. Барышева // Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр. -Липецк, 2003. - Вып. 6. - С. 39-51.

2. Барышева, И.В. Об аппроксимации операторов Вольтерра с частными интегралами операторами с вырожденными ядрами / И.В. Барышева // Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения — XIV": Материалы школы, Воронеж, 3-9 мая 2003 г./ ВГУ, МГУ, МИРАН. - Воронеж, 2003. - С. 16-17.

3. Барышева, И.В. О численном решении уравнений с частными интегралами / И.В. Барышева // Обозрение прикладной и промышленной математики: материалы VII Всерос. симпозиума по ПиПМ, Йошкар-Ола, 16-22 декабря 2006 г. — Москва, 2007. - Т. 14. - Вып. 2. - С. 263-264.

4. Барышева, И.В. О линейных уравнениях с частными интегралами в пространстве частично дифференцируемых функций / И.В. Барышева // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: Матер. Междунар. науч. конф., Воронеж, 11-16 декабря 2007 г. - Воронеж: ВГТА, 2007. - С. 27-28.

5. Барышева, И.В. Об обратимости уравнений с частными интегралами в пространстве С(С(1)(£)) / И.В. Барышева // ВЗМШ С.Г. Крейна: Тез. докл., Воронеж, 24-30 января 2008 г. - Воронеж: ВГУ, 2008. - С. 14-16.

6. Барышева, И.В. О фредгольмовости уравнений с частично интегральными операторами и ядрами, зависящими от двух переменных / И.В. Барышева // ВВМШ "Понтрягинские чтения - XIX": Материалы школы, Воронеж, 3-9 мая 2008 г./ ВГУ, МГУ, МИРАН. - Воронеж, 2008. - С. 30-31.

7. Барышева, И.В. О численном решении интегрального уравнения одной плоской контактной задачи / И.В. Барышева // Перспективы науки. -2010.-№1(03).-С. 32-36.

8. Барышева, И.В. Об обратимости уравнений с частными интегралами в пространстве частично дифференцируемых функций / И.В. Барышева // Научные ведомости БелГУ. Физика. Математика. - 2011. - №17(12). -Вып. 24. - С. 28-40.

9. Барышева, И.В. Об одном классе интегральных уравнений в пространстве частично дифференцируемых функций / И.В. Барышева, A.C. Калит-вин // Чернозёмный альманах научных исследований. Серия: "Фундаментальная математика". - Воронеж, 2009. - № 1(8). - С. 12-27.

10. Барышева, И.В. Об уравнениях Вольтерра с частными интегралами / И.В. Барышева, A.C. Калитвин // Междунар. науч. конф. "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения". Тезисы докладов, Ростов-на-Дону, 22-26 апреля 2012 г. -Ростов-на-Дону, 2012. - С. 9.

11. Барышева, И.В. Об уравнениях Вольтерра с частными интегралами в пространстве частично дифференцируемых функций с операторами частного интегрирования / И.В. Барышева, A.C. Калитвин // Научные ведомости БелГУ. Физика. Математика. - 2012. - №11(130). - Вып. 27. -С. 15-23.

12. Калитвин, A.C. Об операторах с частными интегралами в простран-

ствах частично-дифференцируемых функций / A.C. Калитвин, И.В. Бары-шева // Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр. - Липецк, 1997.

- Вып. 2. - С. 12-19.

13. Калитвин, A.C. Об аппроксимации операторов с частными интегралами / A.C. Калитвин, И.В. Барышева // ВВМШ "Понтрягинские чтения

- ХГ', Воронеж, 3-9 мая 2000 г.: Тезисы докл. шк. - Воронеж, 2000. - С. 72.

14. Калитвин, A.C. Об оценке решений интегральных уравнений с частными интегралами / A.C. Калитвин, И.В. Барышева // Междунар. конф. "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения", Воронеж, 15-20 мая 2000 г.: Тезисы докл. - Воронеж, 2000. - С. 114.

15. Калитвин, A.C. Об оценке решений интегральных уравнений с частными интегралами / A.C. Калитвин, И.В. Барышева // Операторы с частными интегралами: Сб. научн. тр. - Липецк, 2000. - Вып. 4. - С. 3-13.

16. Калитвин, A.C. О фредгольмовости уравнений с частными интегралами в пространстве С(С&Щ / A.C. Калитвин, И.В. Барышева // Операторы с частными интегралами: Сб. научн. тр. - Липецк, 2005. - Вып. 7.

- С. 8-23.

17. Калитвин, A.C. О фредгольмовости уравнений с частными интегралами в пространстве частично дифференцируемых функций / A.C. Калитвин, И.В. Барышева, Е.В. Фролова // Операторы с частными интегралами: Сб. научн. тр. - Липецк, 2003. - Вып. 5. - С. 34-47.

Работы [8], [11] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Подписано в печать 19.11.2012. Формат 60 х 84 1/16. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100 экз. Заказ 9 30

Отпечатано с готового оригинал-макета в РИЦ ФГБОУ ВПО "ЛГПУ" 398020, Липецк, ул. Ленина, 42

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. НЕПРЕРЫВНОСТЬ И АППРОКСИМАЦИИ ОПЕРАТОРОВ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ.

§1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.

1.1. Пространства С^ непрерывно дифференцируемых функций

1.2. Пространства непрерывных и частично дифференцируемых функций многих переменных.

1.3. Пересечение и сумма пространств С(С^).

§2. ТЕОРЕМЫ О НЕПРЕРЫВНОСТИ ОПЕРАТОРОВ.

2.1. Основные определения.

2.2. Непрерывность линейного оператора с частными интегралами в С(С^) и в некоторых конструкциях этих пространств.

2.3. Условия непрерывности линейных операторов Вольтерра с частными интегралами.

2.4. Непрерывность линейных операторов Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами.

§3. ТЕОРЕМЫ ОБ АППРОКСИМАЦИЯХ ОПЕРАТОРОВ.

3.1. Аппроксимации общих классов операторов

3.2. Аппроксимации операторов Вольтерра.

3.3. Аппроксимации операторов Вольтерра-Фредгольма

ГЛАВА II. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ В ПРОСТРАНСТВАХ ЧАСТИЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ.

§4. ФРЕДГОЛЬМОВОСТЬ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ И ВЫРОЖДЕННЫМИ ЯДРАМИ.

§5. ФРЕДГОЛЬМОВОСТЬ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ ЯДЕР.

§6. ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ И РЕЗОЛЬВЕНТЫ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ.

6.1. Условия однозначной разрешимости.

6.2. Резольвента и другие условия однозначной разрешимости.

§7. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ И НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ.

7.1. Интегральные уравнения с частично интегральными операторами, ядра которых зависят от двух переменных.

7.2. Однозначная разрешимость уравнений Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма.

7.3. Примеры математического моделирования уравнениями с частными интегралами некоторых задач механики сплошных сред

7.4. О моделировании уравнениями с частными интегралами некоторых задач теории упругости.

ГЛАВА III. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ.

§8. МЕТОД ВЫРОЖДЕННЫХ ЯДЕР.

1. Математическими моделями, описывающими различные проблемы механики сплошных сред [2, 3, 4, 5, 38, 80, 82], теории упругости [20], уравнений математической физики [29, 66] и других задач [18, 20, 65, 77, 79] являются частные случаи интегрального уравнения где / — тождественный оператор, K = C + L-\-M + N, операторы С, L, М, N представляются в виде: т € [а, 6], s,a G [с, d], c(t, s), s, г), m(t, s, er), n(i, s, r, <j) и /(£, s) — заданные измеримые по совокупности переменных функции, а интегралы понимаются в смысле Лебега. Уравнение (1) (оператор К) обычно называют уравнением (оператором) с частными интегралами, так как в нём содержатся интегралы, в которых неизвестная функция х интегрируется по части переменных. Свойства оператора К имеют принципиальные отличия от свойств обычных интегральных операторов. В частности, оператор К не является компактным даже при c(t, s) = 0 и в общем случае непрерывных ядер 1,т,п. Более того, при [a, b] = [c,d] = [0,1], единичном ядре / и нулевых функциях с, т и п К — не интегральный, а I — К — не нётеров операторы.

Линейным операторам и уравнениям с частными интегралами и их приложениям посвящены монографии [38, 41, 49, 54, 82]. Разрешимость, свойства уравнения (1) и свойства оператора К определяются пространствами, в которых они рассматриваются. Оператор К и уравнение (1) в идеальных пространствах исследовались Ю. Аппеллем, П.П. Забрейко, A.C. Калитвиным,

I - К)х = /,

1) b

2)

А.И. Поволоцким в работах [33, 34, 35, 37, 38, 39, 52, 74, 81, 82, 87]; в пространстве непрерывных функций — Ю. Аппеллем, П.П. Забрейко, А.С. Калитвиным, В.А. Калитвиным, О.П. Околеловым, Е.В. Фроловой [36, 38, 49, 54, 70, 82, 88]; в пространстве L2 суммируемых с квадратом функций — В.В. Болтянским, JI.3. Битовой, В.А. Какичевым, Н.В. Коваленко, А.С. Калитвиным, ЯМ. Лихтарниковым, В.С.Пилиди в [19, 21, 22, 31, 34, 38, 61, 62, 63, 64, 71]. Свойства оператора К в других пространствах функций рассматривались в [37, 38, 39, 50, 53, 62]. Сингулярным интегральным уравнениям и операторам с частными интегралами, а также уравнениям типа свёртки, посвящены работы В.А. Какичева, B.C. Пилиди, И.Б. Симоненко [17, 72, 73, 75, 76]. Операторы и уравнения с разностными ядрами изучались А. Вёттхером [17], А.А. Говорухиной, Н.В. Коваленко [26, 27, 28].

Важнейшими частными случаями уравнения (1) являются уравнения Вольтерра с оператором

Kvx)(t, s) = / /(¿, s,t)x(t, s)dr+ J a / m(t, s, a)x(t, a)da + / / n(t, s,t, а)х(т, a)d<jdr J с J a J с и Вольтерра-Фредгольма с оператором

Kfx)(t,s)= / /(¿, s, т)ж(т, s)dr+ J а rd nt rd / m(t, s, cr)x(t, a)da + / / n(t, s)T,a)x(t,a)dadr J с J a J с с частными интегралами. Эти уравнения являются математическими моделями различных задач теории упругих оболочек и механики сплошных сред соответственно. Уравнения Вольтерра с частными интегралами и непрерывными ядрами изучались впервые, по-видимому, В. Вольтерра [89], Э. Гурса [29], Г. Мюнцем [66]. Приложения этих уравнений к задачам теории упругих оболочек и дифференциальных уравнений с частными производными рассматривались в [18, 20] и других работах. Уравнения Вольтерра с оператором Kv в общем случае ядер исследовались в [38, 39, 49, 54, 82, 86, 87], уравнения Вольтерра-Фредгольма с оператором К/ — в [38, 39, 49, 54, 56, 86], а различные классы операторов и уравнений такого типа, встречающиеся в прикладных задачах, — в [2, 3, 4, 5, 38, 39, 49, 54, 80, 82, 86, 87].

Приближённое и численное решение уравнений типа (1) рассматривалось в [23, 68, 70], а уравнений Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма — в [38, 49, 54, 68, 70, 80, 82].

Несмотря на то, что теория операторов и уравнений с частными интегралами интенсивно развивается, особенно в последние годы, многие вопросы ещё не исследованы. Явное построение решений таких уравнении возможно лишь в редких случаях, поэтому важное значение имеют приближенные и численные методы их решения. Разработка приближенных и численных методов решения уравнений с частными интегралами невозможна без изучения свойств как самих уравнений, так и содержащихся в уравнениях операторов с частными интегралами, и связана с аппроксимацией таких операторов, что свидетельствует об актуальности тематики диссертационного исследования.

2. В диссертации исследуются операторы и уравнения с частными интегралами в пространствах частично дифференцируемых функций двух переменных. Изучаются условия действия, нётсровости, фредгольмовости и обратимости таких операторов, однозначной разрешимости уравнений с частными интегралами в этих пространствах; рассматриваются аппроксимации операторов К, Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма. Описан алгоритм приближенного решения уравнения (1). Работа состоит из введения, трёх глав, объединяющих 8 параграфов, списка литературы, содержащего 89 наименований и двух приложений; общий объём работы — 109 страниц. Нумерация формул и теорем своя в пределах каждого параграфа.

1. Акилов, Г.П. Элементарное введение в теорию интеграла Текст./ Г.П. Акилов, Б.М. Макаров, В.П. Хавип. - Л.: ЛГУ, 1969. — 350 с.

2. Александров, В.М. Об одном классе интегральных уравнений смешанных задач механики сплошных сред Текст./ В.М. Александров, Е.В. Коваленко // Докл. АН СССР. 1980. - Т. 252. - С. 324-328.

3. Александров, В.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками Текст./ В.М. Александров, С.М. Мхитарян -■- iVL: Наука, 1983. 488 с.

4. Александров, В.М. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями Текст./ В.М. Александров, Е.В. Коваленко — М.: Наука, 1986. 332 с.

5. Барышева, И.В. Аппроксимации операторов Вольтерра с частными интегралами Текст./ И.В. Барышева // Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр./ ЛГПУ. Липецк, 2003. - Вып. 6. - С. 39-51.

6. Барышева, И.В. О численном решении уравнений с частными интегралами Текст./ И.В. Барышева // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2007. Т. 14. — Вып. 2. - С. 263-264.

7. Барышева, И.В. Об обратимости уравнений с частными интегралами в пространстве C{C^{t)) Текст./ И.В. Барышева // ВЗМШ С.Г. Крейна: Тез. докл., Воронеж, 24-30 января 2008 г. — Воронеж: ВГУ, 2008. — С. 14-16.

8. Барышева, И.В. О численном решении интегрального уравнения одной плоской контактной задачи Текст./ И.В. Барышева // Перспективы науки. 2010. - №1(03). - С. 32-36.

9. Барышева, И.В. Об обратимости уравнений с частными интегралами в пространстве частично дифференцируемых функций Текст./ И.В. Барышева // Научные ведомости БелГУ. Физика. Математика. 2011. -№17(112). - Вып. 24. - С. 28-40.

10. Бёттхер, А. О некоторых двумерных интегральных уравнениях Винера-Хопфа с аннулирующимся символом Текст./ А. Бёттхер // Math. Nachr, 1982. В. 109. - S. 195-213.

11. Бицадзе, A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка Текст./ A.B. Бицадзе. — М.: Наука, 1966. — 204 с.

12. Болтянский, В.В. Об одном классе линейных интегральных уравнений с частными интегралами Текст./ В.В. Болтянский, JI.M. Лпхтарников // Дифференц. уравнения. 1982. - Т. 18. - № И. - С. 1939-1950.

13. Векуа, И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений Текст./ И.Н.Векуа. М.-Л.: ОГИЗ, Гостехпздат, 1948. - 296 с.

14. Витова, Л.З. Разрешимость интегрального уравнения с частными интегралами и вырожденными ядрами Текст./ Л.З. Витова // Сб. Функц. анализ. — Ульяновск, 1976. — Вып. 7. — С. 41-53.

15. Витова, Л.З. О разрешимости линейных интегральных уравнений с частными интегралами и жордановыми ядрами Текст./ Л.З. Витова. — Новгород, 1988. Деп. в ВИНИТИ, №1280-1388.

16. Габдулхаев, Б.Г. Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных и интегродиффе-ренциальных уравнений Текст./ Б.Г. Габдулхаев // Итоги науки и техники. Математический анализ. — 1980. — Т. 18. — С. 251-307.

17. Габов, С.А. Линейные задачи нестандартных внутренних волн Текст./ С.А. Габов, А.Г. Свешников.— М.: Наука, 1990. — 344 с.

18. Гаевский, X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения Текст./ X. Гаевский, К. Грегер, Н. Захариас. М.: Мир, 1978.- 336 с.

19. Говорухина, A.A. Двумерные интегральные уравнения с частными интегралами на плоскости и полуплоскости Текст./ A.A. Говорухина, Н.В. Коваленко, И.А. Парадоксова // Иптегр. и дифф. уравнения и приближённые решения. Элиста, 1985. - С. 23-32.

20. Говорухина, A.A. Двумерные интегральные уравнения с частными интегралами с полиномиальными коэффициентами в полуплоскости Текст./A.A. Говорухина, Н.В. Коваленко, И.А. Парадоксова. Ростов-на-До ну, 1986. - Деп. в ВИНИТИ, № 3747 - В 86.

21. Говорухина, A.A. Дискретный аналог двумерного интегрального оператора с частными интегралами Текст./ A.A. Говорухина, Н.В. Коваленко, И.А. Парадоксова. Ростов-па-Дону, 1987. - Деп. в ВИНИТИ, № 6583 -В 87.

22. Гурса, Э. Курс математического анализа Текст./ в 3 т. / Э. Гурса. — ОНТИ, 1934. — Т. 3. — Ч. 2. Интегральные уравнения. Вариационное исчисление. — 320 с.

23. Иосида К. Функциональный анализ Текст./ К. Иосида. — М.: Мир, 1967.- 624 с.

24. Какичев, В.А. К теории двумерных интегральных уравнений с частными интегралам Текст./ В.А. Какичев, Н.В. Коваленко // Укр. матем. журн.- 1973. Т. 25. - № 3. - С. 302-312.

25. Калитвин, A.C. Об операторах с частными интегралами Текст./ А.С.Калитвин. Ленинград, 1983. - 12 с. Деп. в ВИНИТИ, №3461-83.

26. Калитвин, A.C. Исследование операторов с частными интегралами Текст.: дис.к.ф.-м.п. 01.01.02. / A.C. Калитвин. — Ленинград, 1986.- 143 с.

27. Калитвин, A.C. О непрерывности и регулярности операторов с частными интегралами Текст./ A.C. Калитвин. — Липецк, 1986. — 17 с. Деп. в ВИНИТИ, №504-1387.

28. Калитвин, A.C. Критерии компактности и слабой компактности оператора с частными интегралами в пространстве непрерывных функций Текст./ A.C. Калитвин // Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр. / ЛГПУ. Липецк, 1996. - С. 13-17.

29. Калитвин, A.C. Теорема о замкнутом графике в теории операторов с частными интегралами Текст./ A.C. Калитвин // Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр. / ЛГПУ. — Липецк, 1997. — Вып. 2. — С. 3-7.

30. Калитвин, A.C. Линейные операторы с частными интегралами Текст./ A.C. Калитвин. — Воронеж: ЦЧКИ, 2000. — 252 с.

31. Калитвин, A.C. Операторы и уравнения с частными интенгралами и их приложения Текст.: дис. д.ф.-м.н. 01.01.02. / A.C. Калитвин. — Липецк, 2003. 267 с.

32. Калитвин, A.C. Об одном классе интегральных уравнений в пространстве непрерывных функций Текст./ А.С.Калитвин // Дифференц. уравнения. 2006. - Т. 42. - № 9. - С. 1194-1200.

33. Калитвин, A.C. Интегральные уравнения типа Романовского с частными интегралами Текст./ A.C. Калитвин. Липецк: ЛГПУ, 2007. - 195 с.

34. Калитвин, A.C. Об операторах и уравнениях Вольтерра с частными интегралами Текст./ A.C. Калитвин // ВЗМШ С.Г. Крейпа 2012: Материалы междунар. конф, — Воронеж: ВГУ, 2012. — С. 91-94.

35. Калитвин, A.C. Об операторах с частными интегралами в пространствах частично-дифференцируемых функций Текст./ A.C. Калитвин, И.В.Барышева // Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр. / ЛГПУ. Липецк, 1997. - Вып. 2. - С. 12-19.

36. Калитвин, A.C. Об оценке решений интегральных уравнений с частными интегралами Текст./ A.C. Калитвин, И.В. Барышева // Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр. / ЛГПУ. — Липецк, 2000. — Вып. 4. С. 3-13.

37. Калитвин, A.C. О фредгольмовости уравнений с частными интегралами в пространстве C(C^(t)) Текст./ A.C. Калитвин, И.В. Барышева // Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр. / ЛГПУ. — Липецк, 2005. Вып. 7. - С. 8-23.

38. Калитвин, A.C. Интегральные уравнения Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами Текст./ A.C. Калитвин, В.А. Калитвин. — Липецк: ЛГПУ, 2006. 177 с.

39. Калитвин, A.C. О непрерывности оператора с частными интегралами в пространствах функций ограниченной вариации Текст./ A.C. Калитвин, И.М. Колесникова // Итогов, конф. за 1994 год. Тсзисы докл. / ЛГПИ. Липецк, 1995. - С. 12.

40. Калитвин, A.C. Об обобщённом спектральном радиусе оператора с частными интегралами в пространстве С Текст./ A.C. Калитвин, O.A. Лаврова // Конференция молодых ученых. Тезисы докл. / ЛГПИ. — Липецк, 1993. С. 92-94.

41. Калитвин, A.C. Интерполяционная теорема для интегрального оператора с частными интегралами Текст./ A.C. Калитвин, С.П. Миловидов // Функц. анализ. Теория операторов. — Ульяновск, 1981. — С. 76-81.

42. Калитвин, A.C. Об операторах с частными интегралами в пространствах Гёльдера функций двух переменных Текст./ A.C. Калитвин, С.Н. Насонов // Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр. / ЛГПУ. — Липецк, 1996. С. 23-31.

43. Калитвин, A.C. Линейные операторы с частными интегралами С-теория Текст./ A.C. Калитвин, Е.В. Фролова. Липецк, 2004. - 195 с.

44. Калитвин, A.C. Операторы с частными интегралами в пространстве непрерывных функций I Текст./ A.C. Калитвин, Е.В. Янкелевич // Вестник Чел. гос. ун-та. Сер. мат., мех. — Челябинск, 1994. — №1. — С. 61-67.

45. Калитвин, В.А. О решении уравнений Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами Текст./ В.А. Калитвин // Труды института математики/ HAH Беларуси. Минск, 2000. - Т. 5. - С. 77-79.

46. Канторович, Л.В. Функциональный анализ Текст./ Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. М.: Наука, 1984. - 752 с.

47. Като, Т. Теория возмущений линейных операторов Текст./ Т. Като. — М.: Мир, 1972. 740 с.

48. Крейн, С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве Текст./ С.Г. Крейн. — М.: Наука, 1971. 104 с.

49. Крейн, С.Г. Интерполяция линейных операторов Текст./ С.Г. Крейн, Ю.И. Петунии, Е.М. Семенов. — М.: Наука, 1978. — 400 с.

50. Лихтарников, Л.М. Об одном классе линейных интегральных уравнений с двумя параметрами Текст./ Л.М. Лихтарников // Третья научная конференция по математике и механике: Материалы конф. / ТГУ. — Томск, 1973. Вып. 1. - С. 13.

51. Лихтарников, Л.М. Об одном операторном уравнении с двумя параметрами в гильбертовом пространстве Текст./ Л.М. Лихтарников // Функц. анализ. — Ульяновск, 1974. — Вып. 3. — С. 92-95.

52. Минин, И.Н. Теория переноса излучения в атмосферах планет Текст./ И.Н. Минин. М.: Наука, 1988. - 264 с.

53. Мюнтц, Г. Интегральные уравнения Текст./ Г. Мюнтц. — ГТТИ, 1934.- Т. 1. 330 с.

54. Никольский, С.М. Квадратурные формулы Текст. / С.М. Никольский. — М.: Физматгиз, 1958. — 254 с.

55. Околелов, О.П. Приближённое решение двумерных интегральных уравнений методом осреднения функциональных поправок Текст./ О.П. Околелов // Тр. науч. объед. преподавателей физ.-матем. факультетов пед-инст. Дальнего Востока, 1965. — Вып. 5. — С. 114-119.

56. Околелов, О.П. Исследование уравнений с частными интегральными операторами Текст.: дисс. канд. ф.-м.н. 01.01.01 / О.П. Околелов. — Иркутск, 1967. — 147 с.

57. Пилиди, B.C. Об одном классе линейных операторных уравнений Текст. / B.C. Пилиди // Математический анализ и его приложения. — Издательство РГУ, 1975. Т. VII. - С. 34-42.

58. Пилиди, B.C. Необходимые условия фредгольмовости характеристических бисингулярных интегральных операторов с измеримыми коэффициентами Текст. / B.C. Пилиди // Мат. заметки, 1982. — Т. 31. — № 1.- С. 53-59.

59. Поволоцкий, А.И. Интерполяция оператора с частными интегралами в пространствах со смешанными квазинормами Текст./ А.И. Поволоцкий,A.С. Калитвин // Операторы и их приложения: Сб. науч. тр. — Ленинград, 1983. С. 67-75.

60. Симоненко, И.Б. Операторы типа свёртки в конусах Текст./ И.Б. Симо-ненко // Мат. сб., 1967. Т. 74(116). - № 2. - С. 298-313.

61. Симоненко, И.Б. К вопросу о разрешимости бисингулярных и полисингулярных уравнений Текст./ И.Б. Симоненко // Функц. анализ и его приложения, 1971. Т. 5. — Вып. 2. - С. 93-94.

62. Соболев, В.В. Перенос лучистой энергии в атмосферах звёзд и планет Текст./ В.В. Соболев. — М.: Гостехиздат, 1956. — 391 с.

63. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления Текст./ Г.М. Фихтенгольц. М.: Наука, 1970. - Т. 3. — 656 с.

64. Чандрасекар, С. Перенос лучистой энергии Текст./ С. Чандрасекар. — М.: ИЛ, 1953. 431 с.

65. Appell, J. On some partial integral equations arising in the mechanics of solids Text./ J. Appell, A.S. Kalitvin, M.Z. Nashcd // Zeitschr. Ang. Math. Mech. 1999. - B. 79. - №2. - S. 703-713.

66. Appell, J. Partial integral operators in Orlich spaces with mixed norms Text./ J. Appell, A.S. Kalitvin, P.P. Zabrejko // Coll. Math. 1998.B. 78. -№2. P. 293-306.

67. Appell, J.M. Partial Integral Operators and Integro-Differential Equations Text./ J.M. Appell, A.S. Kalitvin, P.P. Zabrejko. New York: Marcel Dekker, 2000. - 560 p.p.

68. Ch, Y.A. On the spectr of linked operators Text./ Y.A. Ch, J.R. Halberg, A.E. Taylor // Pacific J. Math. 1956. - V. 6. - № 6. - P. 283-290.

69. Grothendieck, A. Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires Text./ A. Grothendieck // Mem. Amer. Math. Soc. 1955. - V. 16. -P. 1-191.

70. Ichinose, T. Operational Calculus for tensor products of linear operators in Banach spaces Text./ T. Ichinose // Hokkaido Math. J. — 1975. № 4. -P. 306-334.

71. Kalitvin, A.S. Spectral properties of partial integral operators of Volterra and Volterra Fredholm type Text./ A.S. Kalitvin // Zeitschr. Anal. Anw.- 1998. V. 17. - № 2. - P. 297-309.

72. Kalitvin, A.S. On the theory of partial integral operators Text./ A.S. Kalitvin, P.P. Zabrejko //J. Integral Equ. Applications. — 1991. — V. 3.- №3. P. 351-382.

73. Appell, J. Partial integral operators on C(a,b. x [c,d]) [Text]/ J. Appell, E.V. Frolova, A.S. Kalitvin, P.P. Zabrejko // Integr. equ. oper. theory. — 1997. Vol. 27. - P. 125-140.

74. Volterra, V. Leçons sur les equations integrales et les equations integro-differentielles Text./ V. Volterra. — Paris: Gauthier-Villars, 1913.