Нелинейные уравнения типа Вольтерра-Фредгольма тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ Р Г £ 0 д ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

1 л ¿пр г- ..

На правах рукописи

МУСАЕВ Вели Мустафа оглы

НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА

ВОЛЬТЕРРА-ФРЕДГОЛЬМА

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автор е ф врат диссертация иа соискание ученой стеиеяй доктора фиоико-математиЦескйх иаук

киев « 1995

Диссертация есть рукопись

Работа выполнена в Азербайджанской государственном педагогическом университете им.Н.Туси

Официальные оппонента¡-доктор физико-математических наук, член-корреспондент HAH Украины МАРТЫНШ A.A.

Ведущая организация - Институт математики АН Азербайджанской Республики

на заседании специализированного совета Д 01.66.02 при

Институте математики HAH Украины

по адресу: 252601, Киев,ГСП, ул.Тереиенковская, 3

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института

-доктор физико-математических наук, профессор ПЕРЕСТШ H.A.

-доктор физико-математических щук»

профессор АТДАЕВ С.

Зашита состоится (Ь Ми Я _ 1995 г. а 15 часов

Ученый секретарь специализированного с<

Автореферат разослан

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА.

Актуальность темы. Известно, что исследованиям решений нелинейных интегральных уравнений Вольтерра и Фредгольма посвящены в литературе очень много как научных статей, так и монографий. Также опубликовано немало работ по интегральным неравенствам типа Вольтерра и Фредгольма, которые являются основным аппаратом при исследовании качественной теории интегральных уравнений Вольтерра и Фредгольма. Однако исследованиям интегральных уравнений смешанного типа посвящены лишь отдельные работы. Это относится к интегральным неравенствам смешанного "ипа. Настоящая диссертация посвящена именно последним вопросам и является первой фундаментальной работой.

Целью работы является установление теорем об интегральных неравенствах смешанного типа; исследование решений различных классов нелинейных интегральных и операторных уравнений Вольтерра и Фредгольма и систем нелинейных интегральных и операторных уравнений смешанного типа.

Научная новизнд. Установлены новые теореми:об интегральных и операторных неравенствах Вольтерра-Фредгольма* о оисте-мэ интегральных и операторных неравенств смешанного типа; о смешанной системе интегральных неравенств о двумя переменными пределами. С помощью этих теорем построена теория нелйнейннх Интегральных уравнений, а тайге системы нелинейных интегральных уравнений смешанного типа. Исследован новый класс интегральных уравнений /а также систем/ смешанного типа»

'Теоретическая и практйческая значимость. Результаты по Неравенствам могут быть использованы при установлении новых качественных свойств решений интегральных уравнений смешанного »ипа. Результаты,полученные По теории интегральных уравнений*и систем уравнений смешанного тйпа, могут быть полезными в рщ(д

прикладных задач: термоупругой динамики оболочек, газовой динамики, фильтрации газонасыщенной нефти, колебаниях пластин и др.

При изучении стационарного энергетического спектра нейтронов в теории замедления, а также в задачах, возникающих в математической теории эпидемии.получаются интегральные уравнения смешанного типа с двумя переменными пределами.

По результатам диссертационной работы разработаны и ряд лет читаются различные курсы для студентов-математиков АПУ им.Н.Туси и опубликована книга I .

Апробация работы.' Результаты работы обсуждались на юбилейной научной конференции, посвященной 60-летию АПИ им.В.И.Ленин а (Баку, 1972 г.), на Ш Всесоюзной межвузовской конференции по теории и приближениям дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом (Черновцы, 1972 г.),на 1У Всесоюзной Межвузовской конференции по теории и применениям дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом (Киев, 1975г.),на Республиканской конференции по нелинейным задачам математической физики (Львов,1982г.),на межвузовском научно-методическом совещании (Баку,1987г.),на Научных конференциях профессорско-преподавательского состава и семинарах Азербайджанского Государственного Педагогического университета иы.Н.Туси.на научных семинарах,руководимых чл.-кор.АН АзССР Ыамедовым Я.Д., (МЛ'.Джавадовым!, проф.А.С.Дсафаровьм.

Публикациям Основное содержание опубликовано в книге I и 32 научных статьях. Из совместных работ (4,7,9-11,18,25,34) в тексте диссертации использованы лишь результаты, полученные автором.

• Диссертация состоит из введения, 3 глав, содержащих 15 параграфов, и списка литературы, состоящего из 79 наименований. Обьем работы - 260 страниц. .

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается описайте основных результатов диссертационной работы.-

Работа состоит из трех глав.

Первая глава посвяпена установлению различных теорем об ин-

В связи о тем, что основной метод исследования рассмотренных уравнений в диссертация основывается приложении интегральных неравенств, поэтоцу в работе сначала устанавливаются теоремы о неравенствах типа Вольтерра-Фредгатьма, о многомерных смешанных интегральных неравенствах, о смешанной системе неравенств, о смешанной системе многомерных интегральных неравенств и, наконец, о смешанных интегральных неравенствах о двумя переменными пределами. ,

Приведем некоторые теоремы из этой главы.

Теорема 1.1.3. Пусть непрерывная функция 1Г({) (0£^± Т) удовлетворяет интегральному неравенству

£[(5)?О, ((¡¿¿}ы.Т) ¿-1,2) - суммируемые функции, иеЫ),

Щ*) ¿=1,2)

- непрерывные функция по 1 - суммируемые по .5 ;

Наконец, пусть

тегральных неравенствах смешанного типа и состоит из пяти параграфов.

Т0ГД1

■{ т 3 т

о о о о

т в т ^ I

при всех С°, Т],

Теорема 1.1.12. Цусть ио&) (О^-Т) - непрерывная неотрицательная функция, а (О&^Т, - неотри-

цательные, сумшруегяые функция. Цусть ТЫ) Т) -

ноотрщататьная, непрерывно-дифференцируемая функция, прячем

<£'({) ^ и уравнение = б" имеет единствен-

ное непрерывно-дифференодруемов ретентге ^ ) »причем

Цусть, кроме того, = О , где ¿еГ'^ТДр'**^'

Цусть - непрерывная, неотрицательная

функция и выполнены условия

в т ¿-ъв) ,

I; ' / у /

Тогда, есзпг неотрицательная непрерывная функция и~Ы) ) удовлетворяет интегральному неравенству

* т

о о

Тогда

где выратается через известше функции.

Теорема 1.2.3. Пусть непрерывная функция "УН) (о& г1- Т) удовлетворяет многомерному татегралыюму неравенству / ^ 7 7

уф */••■/{Кит*

где К^О (1 = 1, Р) и к (4),^) (¿-4,2) непрерывны на

[О, Ь и

Тогда

-¡■'■¡£а-тЬт (¡ХтУим*' •

О О ИИШ

• ' Теорема 1.3.1. Пусть скалярный оператор Всдьтерра

уа ц\у*) (цЩ, ¿42; Ш^{гг(Ь (Се>,т], о£ тЩ})

ж се?.гейство скалярных операторов Фредгольма Щ*)

{о*ЫТ} , с - 1,2) нэ уйываог п0 V', V1- и .

Г г ЩШМ (^¡^Т)

и 1/'({) , 1У\{) удовлетворяют системе неравенств Тогда

Ъг\{)± и\{),

тае Ц2(Ь) являются верхним решением системы

и'({>=и;, к/),

Теорема 1.4.2. Пусть непрерывные функции

гг\{) , ггЬ)

!+а) удовлетворяют системе интегральных неравенств С 0-1*

тае %({) (с-/,2 ) - непрерывные, а неот-

рлцателъныо, суммируемые функции на [-1, 1+а] и и-а

У- 1,

где '

Тогда

/+а

где '/*(.{) выражается через известные функции.

Вторая глава состоит из четырех параграфов и посвящена исследованию нелинейных операторов и интегральных уравнений Воль-терра-Фредгольма в банаховом пространстве. Навеян довольно обвив достаточные условия для однозначной разрешимости этих уравнений, сходимости различных последовательных приближений к это?у решению и некоторые их свойства.

Цусть - некоторое банахово пространство, а -

пространство абстрактных непрерывных функций со значениям из X . Норму 8 нем определим следующими формулам;.

/Ш = тах !/0СЦ)/1 /*/= мах ёМ/Ш, Хт о^ит л л стт х

где А •* положительный параметр.

Й пространстве ЭС рассматривается сяедущиэ, пштнешш тгретфялытё уравнений типа Вгогьтерра~Фреяголь?га; * г

Х({) = ЗС0+ (О'йт)]

О 0 (

а

©о

¡К^хы^+Мн,/3/

* 'о

а также более обцее нелинейное операторное уравнение Всяьгерра-Фредгслы.и.

осЫ)=ос0 ^, Хт] ) , /4/

гае РН - оператор Вольтерра при фиксированном

, а при фиксированном ) ~ оператор Фрвдголъма.

Наконец, рассматривается многомерное интегральное уравнение Вояьтерра-Фредгальна.

Приведем некоторые теоремы из этой главы. Теорема 2.2.1. Цусгь операторы (оа1,3£-Т,

■X (УС, ¿= 2) непрерывны и удовлетворяют условии:

где ■= СаШ^-

Цусть, ^ и параметр Д удовлетворяют условию

Тоща уравнение /I/ имеет Единственное решение, это решение является пределом последовательных приближений

ОСоа)=1Хо> т

о 1 с

и скорость сходимости определяется формулой Цх^-хН)^ £ с(пЦх0-хфЦ} ,

Теорема 2.2.9. Пусть операторы (1-1,2) определены в

непрерывны по (1, X) почти при всех 5 . измеримы по 5 при ккадом (¿,х) и

¡//(¡({^Л)Щ(5), ¡[м(¡и- г

О 1

Пусть в выполнена

)К.({, Я X) - ^ «л Ф Щ з; II*-? и) ((=>.2),

где функция и) (о^Ь,**** > 0±и±г) почти при всех

8 непрерывны по Ц} и) , измеримы по 5 при каст ом У,и) и ^

о

Пусть, кроме того, и) (¿-1,2.) не убывает по

и я уравяеше

имвет только рулевой реиенйв.

Тогаа суцестеуйт едииствеяйсе решений уравнения /3/, оггрэ-дейЗяйоа т /Ь^^) и око является пределом постэгговатлтамх прййЛйжвнгЯ

< А = а; ^ДД 5; ^. Д/V,(п^у).

( о

ю

Скорость сходимости определяется формулой

где Сп U) определяетоя следуотим образом: о о

Теорема 2.3.2. Цусть оператор f-Хт) определен n R~ [о,Т}+; /fr-Zell непрерывен и

шасс мЦ* t,

oitiT '

Дгсть Fв Я удовлетворяет условию

Рт)-F({,,

nie скалярный оператор Водьтерра-Фредгольма Ц , Uj ) негфе-рнвный, неотрицательный, действует из в Ш* ,

не убывает по Ü' и Кт и уравнение

Ш = Ц ; UT)

тюет лишь нулевое рбшние.

Тотда оупествует единственное решение уравнения /4/, и оно тлявтся пределом последовательных приближений

11) Г Г, <п',} ,

Скорость сходимости определяется формулой

!/oc'n(i) -эсчьЦб. б%,

где (о)

Теорема 2.4.3. Пусть функция iVft.5j.Xj почти при всех 2,([о,Т] непрерывна по <*>) я ¿( ¿ЦТ) , а

при всех I я ос измерима по Б Цусть

¡К«)У,о)1&

где > -суммируемые на АгУ

и при ¿ = 1+1, К;а1) суммируемы на [Т1,**) .

Пусть, наконец, К(1,ь)х) удовлетворяет условию

!ка, у, х) - киях)!* ь*)

Тогда уравнение

.009 О

»дает единственное решений я оно является пределом последовательных пряближэтай

ОС'(1)= {> I* -¡(ч т/>

i г { т ' Тг ь

Ыет место оцш;а ¿ г£'

ыф ^^¿(У^Ш^Ь^'-

и погрешность оценивается неравенством

Последняя третья глава состоит из пяти параграфов и посвя-цена изучению решений системы нелинейных уравнений Вольтерра-Яредгаяьма. Рассматриваются сяедувдие системы нелинейных уравне-

ний в банаховых пространствах: &

/5/

/6/

N

о

vCcé)— ос

о о

тда VM - оператор Вальтерра, a Fíi,^,^]

( Oír ¿ir Т) - семейство операторов йредгсяниа;

^^VA^hF.V'Vj],

Здесь ] (c=/jг)- операторы Вольтерра, a

(i-l Z\ Oét^T^-семейство операторов Фредгсльма; 3C.(-é)~ y/[¿, ^ , yd)J}

У] , /9/

здесь , у] - оператор Вадьтерра при фиксированном

^ , а при фиксированных (¿, эс^) есть оператор,действующа в банаховом пространстве , оператор /7^/ действует из У в , где У - - тоже банахово пространство;

ДО = Уо*/Х<*>]о1&;

/11/

хИ) - рсо+ /Ж/?,ь; ;

1+а,

/12/

и а

хЫ)=асо+ X В, //ГА«; У ^¿М -

/13/

а также системы многомерных интегральных уравнений, нащииер, &т' тЪ

х(Ь=Х0+(-( (■ ■ МТ^Л' Ус^ак'&'. -Ж'

о о 5 ъ 1 ь' т**

Приведем некоторые теоремы из этой главы. Теорема 3.2.1. Дуста при , У Ь

{$усХ, $*С У^ - шары с радпусаг.м 'С , о центрами соответственно в точках Ха и 5; X, у] ¿¿=1,2) непрерывны и выполнены условия

> ЦТ* г (Ы*).

Пусть, кроме того, •

• V ■

гае скалярные функции 0±и}1Г*гг)

непрерывны, не убывают по вторсиду и третье^ аргументам и

о

Пусть система уравнений ^

и (Ь = ь; иы, гШМ, им, гл[ь))с1з

имеьг только нулевое решети.

Тоща система /5/ однозначно разрешила, последовательные

приближения, определенные равенствами ео 10)

ОС- {{)-ОС0 , ъ АП+О Л „ (п)

х а)-эс0+ У а)]***,

о

в.

сходятся к решению (х Ы) у системы /5/ и скорость

сходимости определяется неравенствами

Иу%-уШ11 ± ¿У),

о

г-<») г1"'') У-'Л /

¿(0 = * (*> М

о

г <»-') Г-1П-0

о

Теорема 3.3.3. Пусть операторы

и р/х, у) ( х * $ , удовлетворяет условиям

//№, ^, у) - У({, , У)//*

где ¿/(> V) действует из

и на убывает по в У ; функция- гг) дей-

ствует из [о,2г] в [б\Лг/ в не убывает по обоим

яргументам.

Кроме того, предполагается, что система и = Ч , V),

- V)

имеет только нулевое решете.

Тогда система /9/ однозначно разрешит и последовательность функций

Г! у "У

сходится к решению (X ((), У , скорость сходимости определяются (Тюрмула?.к

ГДе ¿%= ¥Ы,Яг,Л*>,

1П-0

&%>= а си К

Теорема 3.4.1. Цусть оператора Ж^) (

- / £ 1+а., х * Ц(5*<У) непрерывны и

Цусть,кромэ того,

/ ¿'-/,-2/ -/* ¥,9*3*1

где (^ £-//л/) срлшфуемн я вшояяенм

/Л '

Тоща система /13/ имеет единственное решепие, это решение является пределом последовательных прпблпиегста

Д/^; х^ск + ¡к;/',

е иа

а-*

скорость сходимости определяются неравенствами

йхЫ) - X аф г '<о, г*ш

г7 /т./ I ш

где ¿я (¿-1)^) определяются слацующш формулами:

* ч 1+л *

а~* / №.

а~* 1- г+я

г+а г

Теорема 3.5.3. Пусть операторы при- всех 3 £ & 7] непрерывны по л: < ¿([о, 7] ;

при всех Ь) х ж У измерим^ по ^

Пусть существуют интегрируемые по 5 функции (Г- такие, что //А£ 5;л-,у)//* Р7; ¿¿¿фЩ

причем т, тр

Пусть, кроме того, выполняются

где функции уа^и^) ( 0< ¿У, Р, О непрерывны, не убывают по ы. , V VI

Цусть система равнений

ты ИИ^

о о о о

¿V' Г*

о о о о

шеет только нулевое решение.

Тогда последовательные принижения Птара, определенные равенствами

(П) ?Гтк,1/п „'""'А , » / Р

/••/ ... КЛ5'>х <*■>>

обо

г»; 5 / 7 ГА г и-'Л, / , р

- ¡(Н,5}ОС IV,У о о о О 2

сходятся- к единственна^ реиеятао

(л<{), УН)) системы /14/, причем скорость сходимости оценивается неравенства;,га

Цсс а) - осени* Е ш, II чш-уа)Ц£ в ш,

Т71в ё. 1Ь) определяются равенствами

ш ь' г' Г«1

о о о б

¿%=1'{ г> №

О О ь о

Таким образом, в диссертация получеты следующие результаты:

1.Впервые установлены теоремы а/ об интегральных неравенствах типа Вальтерра-Фредголыла; б/ о системе интегральных неравенств типа Вольтерра-Фрадгольма; в/ о системе интегральных неравенств Фредгольма и Всльтерра с двумя переменными пределами;

г/ об интегральных неравенствах Вояьтерра-Фредгольма с запаздывающим аргументом. Рассмотрен многсмэрный случай я случай на полуоси.

2.Установлены различные, довольно обще, достаточные условия а/ для однозначной разрешимости, б/ сходимости различных последовательных приближений, в/ для установления различных свойств решентЯ интегральных и операторных уравнений Вальтерра-Фредгольма. I

Аналогичные исследования проводятся а/ для интегральных уравнений Вальтерра-Фредгольма с двумя переменными пределами, б/ для многомерных интегральных уравнений Ватьтерра-Фредгольта и в/ для интегральных уравнений Вальтерра-Фредгатьма с запаздывающими аргумэнтамп.

3. Впервые исследованы системы интегральных и операторах уравнений Воль ерра-Фредгольма, а также системы интегральных уравнений типа Вольтерра и Фредгольма с двумя переменными пределами. Для этих систем доказаны теоремы об однозначной разрешимости и исследована сходимость различных последовательных приближений. Установлен ряд свойств решений.

Автор благодарен своему учителю чл.-кор. АН Азербайджана* Я.Д.Мамедову за внимание к работе и полезные советы.

I

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Нелинейные уравнения типа Вольтерра-Фредгольма. -Баку: Иэд.АПУ им.Н.Туси, 1992.

2. Об одном типе интегральных уравнений в банаховых пространствах //'Тез.докл. Всесоюэ.Нежвуз.конф. по применению методов функционального анализа я решению нелинейных задач. -Баку, 1965.

3. Исследование решений интегральных уравнений Вольтерра-по параметру// Уч.зап. АТУ им.С.И.Кирова.-1966.-*3.

4. 0 некоторых свойствах решений нелинейных операторных уравнений типа Вольтерра//Материалы науч.яонф.аспирантов.-Баку: АГУ им.С.М.Кирова, 1967.

5. Об одном виде интегральных уравнений в банаховых пространствах// Сиб.мат.¡^ур.-1967, № 2.

6. Применение метода С.А.Чаплыгина к предельной задаче Коти// Вопросы вычисл.математики АзербССР.-1967.

7. К теории решений нелинейных интегральных уравнений типа Вольтерра-Фредгольиа// Докл.Азбрб.ССР.-I969.5. (еовм. с А.П.Махмудовым)<

8. К теории решений нелинейных интегральных уравнений типа Вольтерра-Урысоеа// Ун.зап. АТУ им.С.М.Кирова.-¡62.1969 (совместно с А.П.Махмудовым).

9. К теории решений нелинейных операторых уравнений// Доия.СССР.-1970.-165, № I. (совместно с Я.Д.Мамедовым).

10. Обобщенный метод наименьших квадратов для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом//Материалы науч.хонф.-АПИ, 1972.

11. Исследование решений нелинейного уравнения с запаздывающим аргументом//Материалы 1У Всесоюз.Межвуз.конф. по теории и применениям дифференциальных уравнений с отклоня-мвшея аргументом.-Киев, 1975.

12. Исследование решения нелинейного интегрального уравнения с запаздывающим аргументом.-М.,1980.-12.-Деп.вВИНИТИ, 12.04.80 » 3315-79.

13. Исследование решения операторного уравнения типа Вольтерра-Урысона с запаздывавшим аргуыентом//Иатериалы науч. конф., посвященной 60-летию АПИ им.В.И.Ленина.-Баку, 1981.

14. Исследование решения нелинейного операторного уравнения// Общая теория граничных задач.-Киев,1983.

15. Исследование репения нелинейного операторного уравнения типа Вольтерра-вредгольма с запаздывающим аргументом.-М., 1983.-16с.-Деп.в ВИНИТИ 21.02.84 № 165-Д-84.

16. Исследование решений системы нелинейных операторных уравнений типа Вольтерра-Урысона// Докл.СССР.-1985.234, № 6. (совместно с Я.Д.Мамедовым).

17. К теории решений системы нелинейных операторных уравнений типа Вольтерра-Фредгольма//Догсл. АзербССР.-198б -»II.

18. Сходимость последовательных приближений систем многомерных интегральных уравнений типа Вольтерра-Фредгольма.-Баку, 1986.-15 с.-Деп. в АэШНИТИ 8.04.86. » 569, 1986.

19. О сходимости итерационных процессов к решения многомерных интегральных уравнений типа Вольтерра// Материалы научно-методического совещания АШ.-Баку, 1987.

20. Исследование многомерного интегрального уравнения типа Вольтерра-Фредгольма. -Баку, 1987. -21с. -Деп.в АзШШТИ 10.03.87 » 835.

21. Сходимость метода простой итерации к решении систем интегральных уравнений типа Водьтерра-Фредгольма//Численныв методы анализа. -Баку: АПУ, 1988.

22. Исследование многомерного интегрального уравнения типа Вольтерра-Фредгольма на полуоси.-М.,1988.-Г?е.-Деп.в ВИНИТИ' 8.01.68, » 1031 -A3.

23. Об одной специальной системе интегральных неравенств и его приложения//Докл. АзербССР.-1989.- Ж?, (совместно с Я.Д.Мамедовкм).

24. Об одной специальной системе нелинейных операторных уравнений на полуоси// Специальные вопросы теории функций и дифференциальных уравнений. -Баку: АПУ, 1989.

25. О некоторых свойствах решений нелинейных интегральных уравнений на полуоси. -Баку, 1989.-12с.-Деп. в 28.04.89 АэШНШ » 1237.

26. О системе интегральных неравенств на полуоси и их приложения// АПУ "Специальные вопросы теории функций н дифференциальных уравнеиий^Баку, 1989.

27. О системе, многомерных интегральных неравенств и их приложениях.-Беку, 1990.-Шс.-Деп.в-АэБИНИТИ 12.05.90 JM435.

28. Теоремы о<3 инвариантных неравенствах с функциональными аргументами//Укр.мат.хурн.-№ 4.1992.

29. К теории решений системы интегральных уравнений типа Вольтерра-Фредгольма с запаздывающим аргументом//Специалыше вопросы математического анализа. -Баку: АГПУ им.Н.Туси, 1992.

30. Исследование решений системы интегральных уравнений смешанного типа.- Ин-т физики АН Азерб.Республики, Баку,1993.

31. К исследованию решений нелинейных операторных уравнений Вольтерра-Фредгольма// Вест.Пед.ун-та.Серяя природоведения.-1933.

2.

32. 0 сметанной системе дифференциальных и интегральных неравенств// Вест. Пед. Ун-та. Серия природоведения.1993 -№2. (совместно с Кхуат В.Н.).

Мусаев В.М.Нелинейные уравнения типа Вольтерра-Фредгольма, Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.02 -дифференциальные уравнения. Институт математики НАН Украины. Киев,, 1995.

Защищается диссертация, в которой содержатся результаты 32 работ по теории нелинейных уравнений типа Вольтерра-Фредгольма. Установлены основные теоремы о неравенствах смешанного' типа, включая многомерные интегральные неравенства.

Исследованы решения нелинейных уравнений Вольтерра-Фредгольма и систем уравнений смешанного типа. Теоретические результаты импстдируитс^.^шдельньми примерами« Ииаает V.M.

Manuscript. Thesie for a degree at Doctor of Science in Physics end Mathematics, the speciality 32

Institute of Mathematics, Rational Academy of Science of Ukraine,

KlBYj, 1995. _. . _ _

ч Eheais contain the results of 32 works on the theory of"

полlinear equations of Volterra-Fredholn'0 type. The main theorem

oa Inequalities of mixed type, including many-dimensional Integral

Inequalities is proved. The solutions of nonlinear Volterra-

Fredhola's equations are Investigated. The theoretical results

are applied to model example».

Клгченые слова; интегральные уравнения, теоремы об интегральных и операторных неравенствах, исследование нелинейных уравнений типа Вольтерра-Фредгольма.