Некоторые свойства операторов проектирования в банаховых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

В начале прошлого века были заложены основы теории наилучшего приближения в нормированных пространствах. Создание этой теории неразрывно связано с именем С. Банаха [1]. Позднее идеи С. Банаха были развиты в работах С. Мазура, М.Г. Крейна, С.М. Никольского, Н.И. Ахиезера, Дж. Уолша, А.Н. Колмогорова, А.И. Маркушевича, A.JL Гаркав и. Е. Чини и других. (Подробнее литературу см. в [5, 6, 56, 57]).

Операторы проектирования (ограниченные идемпотентные операторы) дают приближение того же порядка, что и наилучшее, поэтому изучение их свойств представляется вполне естественным.

Пусть 7 - замкнутое подпространство банахова пространства X. Линейный ограниченный оператор п \Х ¥ называется оператором проектирования (проекцией) X на Y, если ж у = у для любого у <=¥.

Множество всех операторов проектирования пространства X на подпространство Y будем обозначать я (X, F). Относительной проекционной константой подпространства Y в пространстве X называется число 2(7, X) = inf ||Н1 \п е л(Х, 7)|.

Среди операторов проектирования особый интерес представляют те, нормы которых совпадают с относительной проекционной константой. Если такие проекции существуют, то они называются минимальными проекциями.

Хотя сам термин «минимальные проекции» появился позднее, фактически изучение минимальных проекций началось уже в 30-х годах, главным образом, в связи с изучением геометрии банаховых пространств. При этом особенно подробно изучались проекции с единичной нормой, являющиеся естественным обобщением ортогональных проекций в гильбертовых пространствах. При их изучении ставятся две проблемы: (ЕР) - вопрос о существовании проекции с единичной нормой; (UP) - вопрос о единственности такой проекции.

Среди математиков изучавших проекции с единичной нормой такие, как

A.Е. Taylor, H.F. Bohnenblust, Л.В. Канторович, R.C. James, Г.П. Акилов, М.З. Соломяк, J. Lindenstrauss, М.И. Кадец, С. Bessaga, A. Petczynski, J. Aiido, В.И. Гурарий, J. Blatter, E.W. Cheney. (Подробнее см. в [30, 22, 37, 38, 64]). Позднее этой проблемой занимались В.П. Одинец, G. Lewicki,

B.В. Локоть, М.Я. Якубсон (см. [60, 24-28, 51, 12, 34]).

С другой стороны, уже в 40-х годах появились работы о некоторых минимальных проекциях с неединичной нормой. В работе А. Собчика [67], опирающейся на результаты А.Е. Тейлора [68] и Г.Ф. Боненбласта [39], доказано, что минимальные проекции из (с) на подпространство (с0) имеют норму равную двум и их бесконечно много.

Понятие минимальной проекции, то есть имеющей наименьшую из норм всех проекций на данное подпространство, фактически принадлежит Г.Ф. Боненбласту [39]. Очевидно, что проекция с единичной нормой всегда минимальна. Таким образом, проблема (ЕР) распадается на три вопроса: о существовании непрерывной проекции, минимальной проекции и проекции с единичной нормой.

В конечномерных пространствах минимальная проекция существует всегда, однако в бесконечномерном случае это не так (см., например, [38]). Абсолютной проекционной константой порядков к, п называется число

Л (к, п) = sup| Л. (ya, Хй)| Yk с Х„У где dimYk = к, &тХп = п, к <п (см. [31]).

В 1938 году Г.Ф. Боненбласт [39] доказал, что Л (« -1, «) = —-—. Для подпространств коразмерности к > 2 точные значения Л [к, п) не найдены. Однако, в ряде случаев для Л (/с, п) найдены оценки сверху или снизу. В работе [49] получена следующая оценка сверху

В.В. Локтем [58] были получены оценки снизу для Я (и - 2, и) и Я (л - 3, «), а именно Я {п-2, о) >--■-- , где

Г„ =1

О, и = 3s,

8 „ , п - 3S 4-1, й(и2 + In^lf 2 8--П> я = Зя + 2.

5п-2}

Если сравнить этот результат с оценкой сверху (1), то получим, что разность между двумя оценками не превышает -Jl- ^«0.0809. Для

Я (п - 3, nj оценка снизу имеет вид: a(I 3 7 5 3(/я + 4) ' ' 2т7' + 7т 2 2rd,2m+7)' где «= 7т, т eR!. Сравнивая этот результат с оценкой (1), получим, что г 3 разность между двумя оценками не превышает V3 - - « 0,232 . Z

Для получения указанных выше оценок в работе [58] вычислены относительные проекционные константы л(таг, /,(м)), я(уп2, /<">), я(тп„ /<">) для некоторых классов подпространств, причем размерность пространств /f} и /<я) определяется по формуле я = (2к -1 )т, размерность же подпространства равна (2* -1 )т - к. Можно показать, что такой выбор размерности п пространств 1\п) и I<п) и коразмерности к подпространств является оптимальным, то есть в этом случае значение Я (г^, /,(п>) или Я (lrk, l'f) является наилучшей оценкой снизу для Я (п-к, п). В [58] для пространства рассмотрены случаи к = 2 и к - 3, для пространства Iрассмотрен случай к ~2.

В работах [38, 43, 7, 51] определены относительные проекционные константы гиперплоскостей в пространствах * в ГД Я 52] найдены значения 1(};,/,С4)) и A(Y2,l(a4)) для любого подпространства У2. В случае к<п-2 значения JL(Yk,l^r) и А(Ук,!™) удалось определить только для некоторых классов подпространств ¥к. Более общий случай для подпространств коразмерности два пространства рассмотрен Г. Левицким в [51] (см. теорему 2.4.6.). В работе [15] найдены значения &{Y3,lf>\ а в работах [16, 17] - значения ),

Я(73,/^б)), А(Г4,), 1(74,/^7)) для некоторых классов подпространств.

Проблема нахождения относительных проекционных констант различных подпространств конечномерных пространств рассматривается также в [40-43, 50, 53]. В [45] для нахождения относительных проекционных констант применяются численные методы.

Перейдем к вопросу о единственности минимальной проекции. Этот вопрос тесно связан с проблемой единственности распространения функционалов с сохранением нормы. Пространства, обладающие этим свойством, называются гладкими по Хану-Банаху. Такие пространства исследовали Р. Фелпс [65], Дж. Хеннефельд [46, 47], Дж. Джонсон [48], О. Лима [54, 55]. Э. Оя [32, 33, 62] и другие. С данной проблемой также тесно связана проблема единственности линейного оператора продолжения функционалов (см. [2-4]).

Большой вклад в решение проблемы (UP) внес В.11. Одинец [22-29, 60], см. также монографию В.П. Одинца [30] и монографию В.П. Одинца и Г. Левицкого [61]. Им получены критерии единственности минимальных проекций в терминах дифференцируемости нормы по Гато [23], и единственности продолжения функционалов из некоторых "критических" множеств [24].

В.В. Локтем [10-14] разработаны некоторые прямые методы доказательства единственности минимальных проекций для конечномерных пространств.

М.Я. Якубсон [34, 35] рассматривает проблему единственности минимальных проекций на пространства типа Джеймса.

О других работах по проблеме единственности минимальных проекций см. [30].

С проблемой (UP) тесно связана проблема сильной единственности минимальных проекций.

Оператор проектирования ж0 :Х --> Y называется сильно единственным, если существует число к е (0; 1] такое, что неравенство гг0|+ к\ж- ж0\\ < ж выполняется для любого оператора проектирования ж е ж(Х, 7).

Пусть X = - действительное n-мерное пространство элементов х = )"=. с нормой ||х|| = maxj^-|, = Р ~ ^ — (к<п)~ линейные 1 i=i J функционалы, определенные на и гиперплоскости в Если функционалы /р (р= 1, . ,к) линейно it независимы, то Y„k = П Л-1 (0) есть подпространство размерности п-к

Р= г пространства /<я).

Известно [38, 8], что любой оператор проектирования ж -.If ->Ynk имеет к / и вид Жах = x-^apfp{x), где ар = (<згД" причем р=1 i=i

Нормы операторов л и ж - жа вычисляются по формулам ж шахTt, где Tt = £

15г<гг 1

4

Л - Л с тпахД, где 1 р=1 а оператор ж0 имеет вид яг<0)х = х - а™/,(*)■ p=i

Очевидно, что в случае сильной единственности оператор жа имеет минимальную норму и обладает свойством единственности.

Отметим, что понятие сильной единственности для наилучшего приближения было введено С. Franchetti и М. Furi [44]. Этой проблеме посвятили свои работы P.L. Papini [63], G. Niirnberger [59], R. Smarzewski [66] и другие.

М. Baronti и G. Lewicki [36] получен ряд критериев сильной единственности операторов проектирования на гиперплоскость в пространствах и /1("). В [52] G. Lewicki доказывает сильную единственность минимальных проекций на подпространства коразмерности два в пространстве I.

В работе [51] (Теорема 2.3.1) найдено максимальное значение константы сильной единственности операторов проектирования с единичной нормой на гиперплоскость в пространствах 1Г£> и . Там же получены некоторые оценки на константы сильной единственности операторов проектирования с нормой больше единицы опять же для случая гиперплоскости.

В.В. Локтем [19-21] получены максимальные значения констант сильной единственности операторов проектирования с неединичной нормой на гиперплоскость в пространствах и /1('°, на подпространство коразмерности к, (к < п) в пространстве Цп) для проекций с единичной нормой, на подпространство Y =JflS с: Хп = {W^}"^, (и <2s) У с /^[0,1], где Хп = {fF. . - подпространство, образованное первыми п функциями

Уолша. В [18] найдено максимальное значение константы сильной единственности операторов проектирования пространства на некоторый класс подпространств коразмерности два.

Настоящая работа посвящена изучению свойств минимальных проекций в конечномерных пространствах, а именно, вычислению относительных проекционных констант некоторых классов подпространств в пространствах If и и вычислению констант сильной единственности некоторых минимальных проекций.

Работа состоит из введения, двух глав: 1. Относительные проекционные константы. 2. Константы сильной единственности; заключения и списка литературы, содержащего 73 наименования.

Перейдем к изложению основных результатов работы.

Первая глава диссертации посвящена вычислению относительных проекционных констант и состоит из 3-х параграфов. В первом параграфе, опираясь на методы, изложенные в работе [58], находится значение относительной проекционной константы Л для некоторых классов подпространств таких, что п = (2к -l)m и к- 3. Используя оценку сверх}-' (3), показывается, что полученное значение 1 достаточно близко к л{п- 3, и). Во втором параграфе, аналогичными способами вычисляется Л (г„4, /<я)) и находится оценка снизу для Л (гя4, If'). Третий

параграф данной главы посвящен вычислению относительной проекционной константы некоторого класса подпространств коразмерности три в пространстве . Результаты, полученные в 1-ми 3-м параграфах, опубликованы соответственно в [69] и [70].

Вторая глава диссертации посвящена нахождению максимального значения констант сильной единственности операторов проектирования на некоторые классы подпространств пространств и /<4). Она состоит из 2-х параграфов. В первом параграфе вычисляется максимальное значение константы сильной единственности операторов проектирования на некоторый класс подпространств коразмерности два пространства /<п>. Значение константы сильной единственности находится для двух случаев.

В первом случае норма оператора проектирования больше 1, во втором -равна 1. В этом параграфе рассматриваются также частные случаи доказанной теоремы 2.1.2. Частный случай теоремы 2.1.2, рассмотренный в замечании 2.1.4, опубликован в [71].

Во втором параграфе этой главы находятся максимальные значения констант сильной единственности операторов проектирования с единичной нормой на некоторый класс подпространств коразмерности два и три в пространстве Результаты, сформулированные в теоремах 2.2.1 и 2.2.2, опубликованы в [73]. Частный случай теоремы 2.2.1, в котором рассматривается оператор проектирования с единичной нормой на некоторый класс подпространств коразмерности два в пространстве I™, опубликован в [72].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в настоящей диссертации вычислены относительные проекционные константы .м ЗОи2 - 196я + 294 5 147(»-4) м } Й(12Й -49) 2 2п(12п- 49)' где п-1т, т~ 1, 2, .;

151т1 -71/И + 8 55»з2 -15/к где = и = 1, 2, .;

3(л' + г)[г2(2-г) + *г(2-,у)| Л(74,/<'>) = 1 +---^------±

4'» > 4гг(2-г) + 4/(2-5)+3(5 + г)(53 +г3)' если

53 (1- j)+ sr2 (l- г) < 2гъ < s3(r +1)+ sr2 4- И r3(l-r)+r,s2(l-s)< 2s3 <r3(s + l)+rsz +s4, 0<r, .•><!. Найдена оценка c-hhsv для Л (у /<га) \ 4

Г 11-43 "1 1 >

13/я2 +39/Я--8

5т{т 4- 3)

Показано, что найденные значения Л (.Г„3, /£и> j, Л (f„.4, l{f') дают достаточно хорошую оценку снизу соответственно для Л [п - 3, и) и л (и- 4, и), точные значения которых неизвестны.

В диссертации также найдены максимальные значения констант сильной единственности операторов проектирования:

1. /<">->7иг, где = Г'(0) п g'\Q) и / = (/,,/*,.,/„-,,0),

13-1 g = (0, 0, . , 0, 1), причем 0 </2 < . < и 2/. =1

4-у-' 1 = 1

Я-1

Тогда максимальное значение константы сильной единственности равно и/,(1-2/.) 1 у; V1 если ft j 1 •■■ .я-Ьгде и = \2,

1-2/, - к/;' 2.' - ^1-2/; 1- 2/,г, если /пл > ^. j

2. л :/<4> ->7, , где 7, = П/;Ч0) и /,=</„, /12, 0, 0), /2 = (/21, 0, /23, 0), /з = (/31, 0, 0, /;4), причем

0 < /и < fn > /и + /12 - 1, 0 < /21 < /2„ /21 + /23 = 1, 0 < /з, < /34 , /31 + /34 = 1

Максимальное значение А-0 константы сильной единственности равно min{l-2/n; 1-2 /21, 1-2/31}. 3. * :/f -> Г2, где Г2 = /Ло)П/Л<>) и Л - (/и, /ш о), Л - (Лр Л2> /24)» ПРИ условиях /13 > j, /24 > i, 0 < /п < /12 < , и + /,г +/» = 0 < fll < fll < fw fix +fzi + /24=1

Максимальное значение константы сильной единственности в этом случае равно f\2+f 3 /22 + -/24. J [ fll+f\3 f22 + fv

1. Банах С. Курс функцюнального анал1зу. Кшв, 1948.

2. Белобров П.К. Об операторе минимального продолжения, Мат. заметки, 21, №4 (1975), с. 539-550.

3. Белобров П.К. О минимальном продолжении линейных функционалов на второе сопряженное пространство, Мат. заметки, 27, вып. 3 (1980), с. 439-445.

4. Браверман М.Ш., Лозановский Г.Я. О продолжении линейных функционалов в банаховых пространствах измеримых функций. Мат. заметки, 20, № 5 (1976), с. 733-739.

5. Гаркави A.JI. Теория наилучшего приближения в линейных нормированных пространствах. Итоги науки. Математический анализ. 1967.-М., 1969. - С. 75-132.

6. Зуховицкий С.И. О приближении действительных функций в смысле П.Л. Чебышева. УМЛ, 11, №2,1956. - С. 125-159.

7. Локоть В.В. О нормах операторов проектирования в пространстве I" // Применение функционального анализа в теории приближений. -Калинин, 1978* С. 108-115.

8. Локоть В.В., Операторы проектирования с минимальными нормами в конечномерных пространствах. // Применение функционального анализа в теории приближений. Калинин. Калининский гос. университет, 1980. - С. 90-98.

9. Локоть В.В. Относительные проекционные константы двумерных подпространств пространства /4.- Череповец, 1983. ( Деп. в ВИНИТИ, № 5370-83).

10. Локоть В.В., Анохин М.Б., Комлева Н.И., Цветкова Н.В. О единственности операторов проектирования с минимальными нормами на гиперплоскости в пространстве /" Череповец, 1983. - (Деп. ВИНИТИ, № 5369-83).

11. Локоть В.В., Шупова Г.М. К вопросу единственности минимальных проекций на двумерные подпространства в пространстве /,<4) -Мурманск, 1988. (Деп. ВИНИТИ , №4696-В88).

12. Локоть В.В. Условия существования и единственности операторов проектирования с единичной нормой в пространстве 1"Мурманск, 1989. ( Деп. в ВИНИТИ, № 6579-В89).

13. Локоть В.В. Условия единственности минимальных проекций на двумерные подпространства в пространстве . Мурманск. Мурманский пед. ин-т , 1993. - (Деп. в ВИНИТИ, № 1463 В-93).

14. Локоть В.В., Шупова Г.М. Условия единственности минимальных проекций на двумерные подпространства в пространстве /4 // Мат. анализ. Вопросы теории, истории и методики преподавания математики. С.-Пб., 1993. - С. 38-43.

15. Локоть В.В. Относительные проекционные константы трехмерных подпространств пространства /,5 // Вопросы теории, истории и методики преподавания математики и физики. Мурманск, 1998. - Т. 1. - С. 10-19.

16. Локоть В.В., Мартынов О.М. О сильной единственности операторов проектирования в пространстве /* // Методика преподавания математики в высших и средних учебных заведениях. Санкт-Петербург 2001С. 123 - 127.

17. Локоть В.В. Константы сильной единственности // VI Царскосельские чтения. Санкт-Петербург. ЛГОУ им. А.С. Пушкина, 2002. -Т. XII - С. 21-22.

18. Локоть В.В. Константы сильной единственности /7 Дев'ята М1жнародна Наукова Конференщя iMem академика М. Кравчука. Матер1алы Конферешш. Кшв, 2002. -С. 319.

19. Одинец В.П. Об условиях единственности проектора с единичной нормой. Мат. заметки, т. 22, № 1 (1977), с. 45-49.

20. Одинец В.П. О единственности проекции с нормой, равной 1, в банаховом пространстве. Изв. высш. уч. завед., Матем., № 1 (1974).

21. Одинец В.П. О единственности минимальных проекций в банаховых пространствах. ДАН СССР, 220, №4 (1975), с. 789-791.

22. Одинец В.П. О единственности минимальных проекторов в рефлексивных пространствах Банаха, Деп. рук. № 214-83.

23. Одинец В.П. Минимальные проекторы в пространствах Банаха. Проблемы единственности и существования и их приложения. Bydgoszcz: WSP, 1985.

24. Одинец В.П., Якубсон М.Я. Проекторы и базисы в нормированных пространствах. Санкт-Петербург. РГПУ им. А.И. Герцена, 1998.

25. Оя Э.Ф. О единственности продолжения линейных непрерывных функционалов по теореме Хана-Банаха, Изв. АН ЭССР, 33, № 4 (1984).

26. Оя Э.Ф. Сильная единственность продолжения линейных непрерывных функционалов по теореме Хана-Банаха, Мат. зам., 43, № 2 (1988).

27. Якубсон М.Я. О единственности проектора с единичной нормой из В*** на В* для пространства типа Джеймса. Санкт-Петербург. РГПУ им. А.И. Герцена, 1995. - (Деп. в ВИНИТИ, № 1225 В-95).

28. Якубсон М.Я. О единственности минимальных проекторов на пространства типа Джеймса и их сопряженные четного порядка // Санкт-Петербург. РГПУ им. А.И. Герцена, 1995. (Деп. ВИНИТИ , № 1024-В95).

29. Baronti М., Lewicki G. Strongly unique minimal projections on hyperplanes. Journal of Approximation Theory, v. 78, 1994, p. 1-18.

30. Bessaga C., Petczynski A. On bases and unconditional convergence of series in Banach spaces. Stud. Math., 17, № 1 (1958), p. 151-164.

31. Blatter J., Cheney E.W., Minimal projections on hyperplanes in sequence spaces. Ann. math, pura et appl., 101(1974), p. 215-227.

32. Bohnenblust H.R. Convex regions and projections in Minkowski spaces, Ann. of math., 39, 1938, p. 301-308.

33. Chalmers B.L., Lewicki G. Minimal projections onto some subspaces of /,(I), Functiones et approx. XXVI (1998), p. 85-91.

34. Chalmers B.L., Lewicki G. Symmetric subspaces of lx with large projection constants, Stud. Math. 134(2) (1999), p. 119-133.

35. Chalmers B.L., Lewicki G. Two-dimensional real symmetric spaces with maximal projection constant Ann. Polon. Math. LXXII.2 (2000), p. 119134.

36. Cheney E.W., Franchetti C. Minimal projections of finite rank in sequence spaces, Colloquia Math. Soc. Janos Bolyai, 19. Fourier Anal. And Approx. Theory, Budapest (Hungary), 1976, p. 241-253.

37. Franchetti C., Furi M. Some characteristic properties of real Hilbert spaces, Rev. Roumaine Math. Pures Appl. 17(1972), p. 1045-1048.

38. Franchetti C., Tiberio U. A numerical evaluation of projection constants, Linear Algebra And Its Appl. 109 (1988), p. 179-196.

39. Hennefeld J. A decomposition for B(X)* and unique Hahn-Banach extensions, Pacif. J. Math., 46, № 1 (1973), p. 197-199.

40. Hennefeld J. M-ideals, HB-subspaces, and compact operators, Indiana Univ. Math. J., 28, №6 (1979), p. 927-934.

41. Johnson J. Remarks on Banach spaces of compact operators, J. Funct. Anal., 32, №3(1979), p. 304-311.

42. Konig H.P., Lewis D.R., Lin P.-K. Finite dimensional projections. Stud, math. (PRL), 1983, 75, № 3, p. 341-358.

43. Konig H,, Tomczak-Jagermann N. Norms of minimal projections. J. Funct. Anal. 119 (1994), p. 253-280.

44. Lewicki G. Best approximation in spaces of bounded linear operators. Diss. Math., CCCXXX, Warszawa, 1994.

45. Lewicki G. Minimal projections onto two dimensional subspaces of J. Approx. Theory, v. 88, 1997, p. 92-108.

46. Lewicki G. On minimal projections in If, Monatsh. Math. 129 (2000), p. 119-131.

47. Lima A. Uniqueness of Halm-Banach extensions and liftings of linear dependences. Math. Scand. 53. № 1 (1983), p. 97-113.

48. Lima A. The metric approximation property, norm-one projections and intersection properties of balls. Preprint, August 1991.

49. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classifical Banach spaces I. Berlin-New York, Springer, 1977.

50. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classifical Banach spaces II. Berlin-New York, Springer, 1981.

51. Lokof V.V. On a class of minimal projections in finite dimensional spaces. Optimization, 1994, vol. 29, p. 311-317.

52. Nurnberger G. Unicity and strong unicity in approximation theory, J. Approx. Theory 26 (1979), p. 54-70.60.0dyniec W. On uniqueness of minimal projections in 1" («> 3). Bull. Acad.

53. Polon. Sci., Ser. Math., 28, № 7-8 (1980), p. 347-350. 61,Odyniec W., Lewicki G. Minimal projections in Banach spaces. Lecture Notes in Math., 1449, Berlin New-York: Springer, 1990.

54. Oja E., Werner D. Remarks on M-ideals of compact operators on 1Фр X,

55. Math. Nachr., 152 (1991), p. 101-111.

56. Papini P.L. Approximation and strong approximation in normed spaces via tangent functionals, J. Approx. Theory 22 (1978), p. 111-118.

57. Pelczvnski A. Projections in certain Banach spaces. Studia Math., 19 (1960), p. 209-228.

58. Phelps R.R. Uniqueness of Hahn-Banach extensions and unique best approximation. Trans. Amer. Math. Soc„ 95 (1960), p. 238-255.

59. Smarzewski R. Strongly unique best approximation in Banach spaces, J. Approx. Theory 46 (1986), p. 184-194.

60. Sobczyk A. Projection of the space (m) on its subspace (c0). Bull. Amer. Math. Soc., 47 (1941), p. 938-947.

61. Taylor A.E. The extension of linear functionals, Duke Math. J., 5 (1960), p. 538-547.

62. Мартынов O.M. Относительные проекционные константы некоторых классов подпространств конечномерного пространства 1пт // Вопросы теории, истории и методики преподавания математики и физики. -Мурманск, 2000. Т. 2 - С. 43 - 55.

63. Мартынов О.М. Относительные проекционные константы четырехмерных подпространств пространства Vm Я Ученые записки юбилейной научной конференции профессорско-преподавательского состава МГ11И. Мурманск, 2000. - Т. 3 - С. 6 - 9.

64. Мартынов О.М. Константы сильной единственности операторов проектирования в пространстве // Теоретические и методические проблемы обучения в школе и вузе. Санкт-Петербург - Мурманск, 2001.-С. 88-96.

65. Мартынов О.М. Константы сильной единственности минимальных проекций с единичной нормой на некоторый класс подпространств коразмерности два в пространстве I® // VI Царскосельские чтения. -Санкт-Петербург. ЛГОУ им. А.С. Пушкина, 2002. -Т. XII С. 24-26.

66. Мартынов О.М. Константы сильной единственности проекций с единичной нормой на некоторые классы подпространств в пространстве // Образовательные технологии. Воронеж. Воронежский гос. пед. университет, 2002. - С. 152-157.