Сопряженное банахово расслоение тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

1. Вспомогательные результаты

2. Гомоморфизмы банаховых расслоений

3. Операторное расслоение

4. Сопряженное банахово расслоение

5. Слабо непрерывные сечения

Расслоения традиционно используются в математическом анализе для исследования разнообразных алгебраических систем. Техника расслоений применяется при изучении банаховых пространств, банаховых решеток, С*-алгебр, банаховых модулей и др. (см., например, [10,12,13,19-21]). Реализация некоторых объектов функционального анализа в виде пространств сечений соответствующих расслоений послужила основой для самостоятельных теорий. Одна из таких теорий, изложенная в работах [3,14-17], посвящена понятию непрерывного банахова расслоения (НБР) и его приложениям к исследованию решеточно нормированных пространств (РНП). В рамках этой теории, в частности, получено представление произвольного РНП в виде пространства сечений подходящего НБР.

В определенном смысле, НБР над топологическим пространством Q формально отражает интуитивное представление о семействе банаховых пространств (Xq)q^Q, непрерывно изменяющихся от точки к точке пространства Q. Точнее говоря, банахово расслоение X над Q представляет собой отображение, сопоставляющее каждой точке q £ Q банахово пространство X(q), называемое слоем X в точке q. При этом расслоение X снабжается дополнительной топологической структурой, позволяющей говорить о непрерывности сечений этого расслоения — функций и, определенных на подмножествах Q и принимающих значения u(q) 6 X(q) для всех q Е dorn«. Понятие сечения можно считать обобщением понятия вектор-функции: если X — банахово пространство, то Х-значные функций являются сечениями банахова расслоения, все слои которого равны X.

Во многих вопросах анализа существенную роль играет теория двойственности, одним из основных объектов которой является сопряженное пространство (см., например, [6]). Наличие функциональной реализации исходного пространства посредством сечений некоторого расслоения предоставляет возможность построения аналогичной реализации для сопряженного пространства. В частности, задача реализации сопряженного РНП приводит к понятию сопряженного банахова расслоения.

Вопрос о том, какое НБР X' следует считать сопряженным к данному расслоению X (затронутый, например, в работах [3, 13-15,22]), тесно связан с понятием гомоморфизма. Гомоморфизм v непрерывного банахова расслоения X над Q представляет собой функционально-значное отображение v: q v(q) G X{q)', переводящее любое непрерывное сечение и расслоения X в непрерывную вещественную функцию {и|г>): q \—> (u(q)\v(q)). Определяя сопряженное НБР Xестественно руководствоваться следующими двумя требованиями: во-первых, гомоморфизмы должны быть непрерывными сечениями расслоения X' и, во-вторых, все непрерывные сечения X' должны быть гомоморфизмами.

Задача определения и исследования сопряженного расслоения значительно облегчается, если рассматриваемое расслоение является просторным. Мы сделаем небольшое отступление и коротко остановимся на понятии просторного расслоения.

Непрерывные вещественнозначные функции на экстремально несвязном компакте обладают одним замечательным свойством: всякая ограниченная непрерывная функция, определенная на всюду плотном множестве, продолжается на весь компакт с сохранением непрерывности. Ни непрерывные вектор-функции, ни тем более непрерывные сечения банаховых расслоений, вообще говоря, не обладают этим свойством. Обычные банаховы расслоения не обеспечивают достаточный простор для продолжений своих сечений. Однако среди банаховых расслоений есть и такие, которые этот простор обеспечивают. Эти расслоения называются просторными. Точнее говоря, НБР над экстремально несвязным компактом называется просторным, если всякое ограниченное непрерывное сечение этого НБР, определенное на всюду плотном множестве, продолжается на весь компакт с сохранением непрерывности.

Просторные расслоения встречаются довольно редко. Например, постоянное расслоение является просторным только в том случае, когда его слои конечномерны или базовый компакт конечен.

Ценность просторных расслоений определяется в том числе заметным упрощением техники по сравнению с обычными расслоениями. В частности, для таких расслоений значительно облегчается и задача определения и изучения сопряженных расслоений.

Для случая просторных расслоений над экстремально несвязными компактами проблема определения сопряженного НБР решена в работе [3] (см. также [14]). Однако применяемый в этом случае подход к определению понятия сопряженного расслоения существенно опирается на специфические свойства просторных расслоений и экстремально несвязных компактов и по этой причине не может быть распространен на более широкий класс расслоений. Естественное стремление расширить круг приложений теории двойственности приводит к проблеме построения сопряженного НБР для произвольного банахова расслоения над произвольным топологическим пространством. Исследование этой проблемы и составляет основу данной диссертации, где, в том числе, дано определение сопряженного расслоения, удовлетворяющего сформулированным выше требованиям, и предложен ряд необходимых и достаточных условий для существования сопряженного расслоения.

Перейдем к обзору основных результатов диссертации.

Помимо введения и списка литературы текст диссертации содержит пять параграфов.

В параграфе 1 собраны вспомогательные результаты, касающиеся топологических и банаховых пространств, а также функций, действующих в этих пространствах.

Параграф 2 посвящен исследованию понятия гомоморфизма банаховых расслоений. Здесь, в частности, предложено описание гомоморфизмов для широкого класса расслоений и исследован вопрос о непрерывности поточечной нормы гомоморфизма.

Некоторые из фактов, приведенных в параграфе 2, представляют самостоятельный интерес, но основная ценность большинства результатов этого параграфа раскрывается позже при изучении операторных банаховых расслоений (см. §3,4).

Первая группа результатов (см. 2.1-2.4) предлагает ряд условий, при выполнении которых непрерывные сечения некоторого банахова расслоения с операторными слоями являются гомоморфизмами.

Разделы 2.5-2.7 предоставляют неоднократно используемый в дальнейшем удобный способ построения сечений, гомоморфизмов и банаховых расслоений.

В разделах 2.8 и 2.9 исследуется понятие размерности банахова расслоения. Полученные здесь результаты об областях постоянства размерности, на наш взгляд, представляют самостоятельный интерес.

В 2.10 предложено описание гомоморфизмов банаховых расслоений над топологическим пространством, удовлетворяющим первой аксиоме счетности. Этот результат снабжен примерами (см. 2.11), которые подтверждают существенность ограничений, накладываемых на рассматриваемое топологическое пространство.

Параграф 2 завершается исследованием вопроса о непрерывности поточечной нормы гомоморфизма, действующего из НБР с постоянной конечной размерностью в произвольное НБР (2.12). Ряд примеров (см. 2.13) показывает, что постоянство размерности является существенным требованием.

Вопрос о возможности реализовать пространство всех гомоморфизмов из НБР X в НБР У в виде пространства непрерывных сечений некоторого банахова расслоения приводит к понятию операторного расслоения В(Х,У). Исследованию этого расслоения посвящен параграф 3. В этом параграфе, в частности, предложен ряд необходимых и достаточных условий существования банахова расслоения В(Х,У). Отдельно рассмотрены случаи произвольных расслоений X и У, расслоений с конечномерными слоями, а также случай постоянных НБР и НБР, имеющих постоянную конечную размерность.

В параграфе 4 введено и исследовано понятие сопряженного банахова расслоения, которое представляет собой частный случай операторного расслоения (рассмотренного в параграфе 2). Сформулированное здесь определение сопряженного расслоения обобщает определение, данное в работе [3], где рассмотрен случай просторного банахова расслоения над экстремально несвязным компактом. В той же работе, в частности, установлено, что сопряженным расслоением обладает всякое просторное НБР. В общем же случае сопряженное расслоение существует далеко не всегда. Тем не менее отмеченное обобщение оправдывается появлением новых классов НБР, которые имеют сопряженные. В параграфе 4 приведены разнообразные необходимые и достаточные условия существования сопряженного расслоения, установлены нормативные соотношения двойственности между расслоениями X и X', а также исследованы вопросы существования второго сопряженного расслоения и вложения банахова расслоения во второе сопряженное.

В разделе 4.2 перечислены разнообразные необходимые и достаточные условия существования расслоения X'сопряженного к данному расслоению X. Предложение 4.3 утверждает существование сопряженного расслоения для ПБР с гильбертовыми слоями.

Естественным шагом при исследовании понятия сопряженного расслоения является установление нормативных соотношений двойственности между расслоениями X л X'. Этой теме посвящен раздел 4.5. Предварительно в 4.4 обсуждается условие послойной нормировки слоев НБР значениями соответствующих гомоморфизмов.

В разделах 4.6-4.9 рассматривается связь между сепарабельностью отдельного слоя банахова расслоения и конечномерностью его слоев или слоев сопряженного расслоения.

Оставшаяся часть параграфа (4.10-4.15) посвящена изучению второго сопряженного расслоения. В круг исследуемых здесь вопросов входит существование расслоения X", изометричность рассматриваемых расслоений, а также вложение банахова расслоения во второе сопряженное.

Одним из этапов при изучении понятия сопряженного расслоения является рассмотрение слабо непрерывных сечений (т. е. сечений, непрерывных относительно двойственности между исходным и сопряженным расслоениями). Понятие слабо непрерывного сечения вводится и исследуется в параграфе 5. Здесь, в частности, обсуждается вопрос о непрерывности слабо непрерывных сечений для различных классов банаховых расслоений, а также предлагаются условия совпадения пространства слабо непрерывных сечений постоянного банахова расслоения и пространства слабо непрерывных вектор-функций со значениями в соответствующем слое.

Поскольку слабо непрерывные сечения тесно связаны с гомоморфизмами сопряженного расслоения (которые, как известно, имеют локально ограниченную поточечную норму), одной из естественных задач является поиск условий, гарантирующих локальную ограниченность слабо непрерывных сечений. Решению этой задачи посвящены разделы 5.3-5.5.

В разделах 5.6-5.12 для различных классов банаховых расслоений исследуется вопрос о непрерывности слабо непрерывных сечений.

Разделы 5.13-5.21 посвящены поиску условий совпадения пространства слабо непрерывных сечений постоянного банахова расслоения со слоем X над и пространства слабо непрерывных функций, действующих кз в X.

В качестве итога исследований, проведенных в параграфе 5, в разделах 5.22 и 5.23 приведены списки условий непрерывности слабо непрерывных сечений, а также условий совпадения или несовпадения пространств слабо непрерывных сечений и слабо непрерывных вектор-функций.

В заключение мы перечислим некоторые соглашения, принятые на протяжение всего текста диссертации.

Говоря о банаховых расслоениях, мы следуем терминологии и обозначениям, принятым в [3] (см. также [14]). В частности, мы различаем понятия банахова расслоения и непрерывного банахова расслоения и используем подход к определению непрерывности сечений, связанный с понятием непрерывной структуры. Все необходимые сведения, касающиеся теории банаховых расслоений, можно найти в работах [3,10,13-17].

Если X и У — НБР над топологическим пространством ), то символом Нот(А',30 мы обозначаем множество всех -гомоморфизмов ш X ъ У (обозначаемое в [3] через Нотд(А', 30) ■ Символ Нотд(А',3^), как обычно, используется для обозначения множества Б-гомоморфизмов из Х\][) в У\п, где В С ф- Вместо "ф-гомомор-физм" мы говорим просто "гомоморфизм." Аналогичное соглашение

10 принимается в отношении терминов "(^-изометрическое вложение" и "ф-изометрия."

В отличие от [3] мы используем символ Хд для обозначения постоянного банахова расслоения со слоем X над топологическим пространством Ц. Символом 71 обозначается постоянное НБР со слоем К над рассматриваемым топологическим пространством.

Если и — определенное ка А С сечение расслоения X над (5, а, V — определенное яа, В С отображение, удовлетворяющее соотношению г>(д) £ д 6 5, то символом (и\у) обозначается функция, действующая изЛПВвМпо правилу (и|г>)(д) = (м(д)|г>(д)).

Под компактом мы, как обычно, понимаем компактное хаусдорфово топологическое пространство. Все рассматриваемые в дальнейшем векторные пространства предполагаются заданными над полем М.

1. Архангельский А. В., Пономарев В. И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. М.: Наука, 1974.

2. Вулих Б. 3. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Физматгиз, 1961.

3. Гутман А. Е. Банаховы расслоения в теории решеточно нормированных пространств // Линейные операторы, согласованные с порядком / Тр. Ин-та математики. Новосибирск: РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики, 1995. Т. 29. С. 63-211.

4. Гутман А. Е., Коптев А. В. О понятии сопряженного банахова расслоения // Математические труды. 1999. Т. 2, N2. С. 1-64.

5. Коптев А. В. Критерий рефлексивности слоев банахова расслоения // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, N4. С. 851-857.

6. Кусраев А. Г. Векторная двойственность и ее приложения. Новосибирск: Наука, 1985.

7. Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа. Новосибирск: РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики, 1995.

8. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.

9. Aliprantis С. D., Burkinshaw О. Positive Operators. New York: Acad. Press, 1985.

10. Burden C. W., Mulvey C. J. Banach spaces in categories of sheaves // Application of Sheaves / Lecture Notes in Math.; N753. Berlin: Springer, 1979. P. 169-196.

11. Diestel J. Sequences and Series in Banach Spaces // Graduate Texts in Mathematics 92. Berlin, etc: Springer-Verlag, 1984.

12. Fourman M.P., Mulvey C.J., Scott D.S., eds. Application of Sheaves / Lecture Notes in Math.; N753. Berlin: Springer, 1979.

13. Gierz G. Bundles of Topological Vector Spaces and Their Duality / Lecture Notes in Math.; N955. Berlin: Springer, 1982.

14. Gutman A. E. Banach bundles in the theory of lattice-normed spaces. I. Continuous Banach bundles // Siberian Adv. Math. 1993. V.3, N3. P. 1-55.

15. Gutman A. E. Banach bundles in the theory of lattice-normed spaces. II. Measurable Banach bundles // Siberian Adv. Math. 1993. V.3, N4. P. 8-40.

16. Gutman A.E. Banach bundles in the theory of lattice-normed spaces. III. Approximating sets and bounded operators // Siberian Adv. Math. 1994. V.4, N2. P. 54-75.

17. Gutman A.E. Locally one-dimensional K-spaces and cr-distributive Boolean algebras // Siberian Adv. Math. 1995. V. 5, N2. P. 99-121.

18. Gutman A.E., Koptev A.V. On the notion of a dual Banach bundle // Siberian Adv. Math. 1999. V. 9, N 3. P. 1-64.

19. Hofmann K.H. Representations of algebras by continuous sections // Bull. Amer. Math. Soc. 1972. V. 78. P. 291-373.

20. Hofmann K.H., Keimel K. Sheaf theoretical concepts in analysis: bundles and sheaves of Banach spaces, Banach C(X)-modules // Application of Sheaves / Lecture Notes in Math.; N753. Berlin: Springer, 1979. P. 414-441.