Реализация решеточно-нормированных пространств и ее приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

А]{ЛДЕШ!Я наук СССР СИБИРСКОЙ ОТДЕЛЕНИЕ Институт математики

На праьах рукописи

ГУТМАН /Александр Ефимович УДК 517.98

пшпБлт ржточно-ноаировдшых пространств и ое шгшшия

01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-мчтематичоских наук

НОВОСИБИРСК-1991

Дисс^.;т.'ииш шматк^на в ядои аиачиаа я г.) жнт^ил Института мятаматик,1 СО АЛ СССР.

Паучий'.! руююдптопь - д;ктор ¡¡¡¡аико-лотзчатич.эских

на/к Л. Г. КУС РАМ

Э^иниачь'шо огиоч знти: доктор ,'ш«к э-м.тг эмчтичоскик

наук, чро(оссор Л.Л.ТЖГГОЛОГ-Н,

кандидат &»>зич >-иат ¿матлчзских наук, дэюит .иА.ГаЩОЯ

Ззлуи'ая организация - Локинградски;*. государственной

университет

Занята состоится "_" _ 1ЭЭ1 г.. в._ час.

на заседании споциаяизировапного совету К 002.23..02 в Института математики СО АН СССР по адресу: 630090, Новосибирск 90, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотека-Института математики СО АН СССР.

Ап?орз&ерат раз эс чан."___

УчоныЗ секретарь сАвата к,{).-м.н. В. О.Кванза

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Построение реализаций абстрактных объектов функционального анализа ( К -пространств, С*-алгебр и т.д.), а тзкке поиск англитических представлений действующих в них операторов (матричного, интегрального, мультипликативного и других представлений) - давняя традиция. Она обусловлена, прежде всего, тем, что наличие у объекта того или иного аналитического представления значительно облегчает работу с ним. Действительно, ведь это означает, что, например, вместо списка абстрактных свойств оператора vu получасу его выражение в виде конкретной формулы, в которую автоматически заложены все с-го свойства. Аналогичное преимущество перед акскомэтическик описанием тех пли иных алгебраических систем имеет их конкретная реализация, например, в виде функциональных пространств. Кроме того, только наличие каких-либо реализаций абстрактных пространств позволяет говорить об аналитическом представлении действующих в них операторов.

Отмоченная проблематика в полной мере отражена и теории ■упорядоченных векторных пространств, основы которой били заложены Л.В.Канторовиче!.«. В 1947 г. Б.о.Вулихом быча предложена реализация произвольного К -пространства в виде фундамента пространства расширенных непрерывных функций на экстремально несвязном компакте. Остановимся коротко на одно!' из приложений этого фундаментального результата, а именно - на его применении к построению аналитических представлений линейных операторов.

Интересующий нас вопрос о мультипликативном представлении операторов, сохраняющих дизъюпктность, восходит к работам 40-х годов Б.З.Булиха. В последствии исследованием этого

вопроса занимались Ю.А.Абрамович, А.И.Векслер, А.Викстед, А.Заанен, А.Иваник, Л.В,Колдунов, Л.Мак-Полин л др- На дута к.установлению окончательного результата исследовались ортоморфизмы, операторы сдвига, не расширяющие операторы, с{ -изоморфизмы, действующие как в произвольных векторных решетках, так и в конкретных пространствах функций. В наиболее общем виде результат был сформулирован в 1983 г. в статье Ю.А.Абрамовича и затем уточнен П.Мак-Полином и А.Викстедом в 1985 г. Оказалось, что всякий сохраняющий дизъюнктность .оператор, действующий в векторных решетках и удовлетворяющий некоторому условию, близкому к г-непрерывности, представим в виде оператора взвешенного сдвига.

Отметим, что операторы взвешенного сдвига имеют собственную теорию. Результаты в этой области можно, найти в работах А.В.Антоневича (среди которых есть обзорные), Ю.А.Быкадо-рова, А.Б.Ганкина, Х.Камовица, А.В.Лебедева, В.Фельдмана и др. Работы А.К.Китовера иллюстрируют, насколько полезным оказывается мультипликативное представление для исследования сеойств спектра операторов, сохраняющих дизъюнктность.

Введенные в 30-х годах.Л.В.Канторовичем решеточно-норми-рованные пространства (РНП) в дальнейшем стали объектом интенсивных исследований. Глубокое и детальное изучение этих • пространств, во многом связанное с работами А.Г.Кус'раева и его учеников, позволяет говорить о сложившейся и развивающейся теории решетечно-нормированных пространств л мажорируемых операторов.

Уже в 30-е годы ьелссь исследование в рамках банаховой теории некоторых классов РНП, имеющих естественное функциональное представление. Например, изучение пространств измеримых вектор-функций восходит .к С.Бохнеру,-И.М.Гельфа:1ду, Н.Дан-форду, Б.Яеттису и другим классикам функционального анализа. Широкие классы функциональных пространств с точки зрения теории РнЯ / мажорируемых операторов были исследованы в работах А.В.Бухвалова, Н.Дпнкулоану, А.Г.Еусраева, В.Л.Левина и др. В том числе велись исследования интересующего нас вопроса о мультипликативном представлении операторов, действующих в пространствах вектор-функций. Например, А.Г.Кусраевым было полу-

чзно мультипликативное пргдотавлвнпг сохраняющих дизгюнктность операторов с о-непрерывной мажорантой, действующих в РГШ непрерывных вгктор-функций. Кроне того, большое число работ связано с мультипликативным представлением изометрий бакзхово-значких lp-пространств. Результаты в этой области принадлежа? П.Грейму, Jfe.$sewKCOH5<, М.Кзгберку; Д^.Лампорти, А.Сурору, Р.Елемингу и др.

Цел^работыд Если реализация К-пространств была предложена сравнительно через короткое вреия после их введения, то RÍI1 до последнего времени сстагались без функционального представления. (К сожалению, такие хорошо нсслздовшшке объекты, как пространства сектор-функций, не «счерпывают acero многообразия ШП.) В связи о этик представляется естественной следующая постановка проблемы:., построить функциональную реализацию ( о -полных) ШП, аналогичную реализация /ч-пространств, и исследовать вопрос о мультипликативном предетазденйи оперп-тороэ, дойстьующих э этгсс реализациях.

Научная нззшыа. Dco основные результат« работы ягллюгсг новщи.

I. Установлены критерии мультипликативно?; представимости операторов, действующих в различных функциональных пространствах.

Z, Получены критерии мажорируемости операторов, сохраняющих дизъюнктность.

3. Введено -л исследовано понятие полного банахова расслоения.

4. Получена реализация пространств Банзха-Канторовгоа а заде пространств раскжрошялх н-зпрерквных сечений полных банаховых расслоений.

■ Ь. Введено и.исследовано понятие листинга .в пространстве измеримых сечений банахова' расслоения.

G. Для пространств Банаха-Канторовича, нсртрозаннкх по средстве!/ идеального пространства, получена реализация з Еиде пространств (классов) измеримых сечений банаховых расслоений с ЛифТННГОМ.

7. Установлена связь между пояньг,и банаховыми.расслоени-

ям и и измеривши банаховыми расслоениями с лифт-ингом, позволяющая переносить результаты с одного вида реализаций РНГ1 на другой.

«

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа косит теоретический характер. Предложенные разработки и результаты могут быть использованы для изучения структуры РКП, а также исследования операторов взвешенного сдвига и мажорируемых операторов в целом.

Методы исследования. Основными методами, используемыми в работе, являются истоды теории векторных решеток, теории РНП и мажорируемых операторов, а такие теории меры и лифтцнга.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на ХХУ1, ХХУП и ХХУШ Всесоюзных научных студенческих конференциях в Новосибирском государственном университете (1988-1990 гг.)., на ХТУ и ХУ Всесоюзных школах по теории .операторов в функциональных пространствах (Новгород, 1989 г. и Ульяновск, 1930 г.), на Международной научной студенческой конференции (.Москва1990 г-),- на У Школе молодых математиков Сибири и .Дальнего Востока.( Новосибирск, 1990 г.) на семинаре по теории операторов в Ленинградском государственном университете (1990 г.), а также на семинаре по функциональному анализу 'в Институте математики СО АН СССР (1988-1990 гг.).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем работы НО страниц машинописного текста. Библиография включает 64 наименования.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах и 1-5 ] .

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ .

Глава 0 содержит сведения общего характера, используемые е дальнейшем,; а также некоторые определения и обозначения.

Б главе 1 собран материал диссертации, связанный с реализацией пространств Банаха-Канторовича (ЛБК) в виде пространств непрерывных сечений банаховых расслоений. Здесь после обсуждения основных свойств предлагаемой реализации приводится ряд

б

ее приложений, в основном связанных с аналитическим представлением операторов, сохраняющих диэъкнктность.

Параграф I.I посвящен изучению банаховых расслоений над экстремально несвязными компактами и их связи с ПБК.

В начале параграфа вводится ппнятие полного банахова расслоения Х- над .экстремально несвязыкм компактом О , пространство CfQ, X) глобальных сечений которого является о -полным. Оказывается, последнее свойство равносильно продолжимости любого ограниченного непрерывного сечения над ду плотным подмножеством до глобального сечения (теорема 1.1.<2). Это позволяет ввести в рассмотрение Hin рас-

ширенных непрерывных сечений и, область определения do m и. которых совпадает с областью определения dorn |u. | их С х, ( Q ) -значных норм.

Центральной в данной параграфе является

ТЕОРЕМА I.I.4. Дня любого ПБК IL с £-значной нормой и лйбой реализации Е с C^CQ) К-пространства с

существует единственное (с точностью до изоморфизма) полное банахово расслоение Х- над Q такое, что ПБК Е(X)-

-{uçCm(Q,£) : lu|<=£} изоморфно IL.

3 1987 г. А.Г.Кусраев и Б.З.Стрикевский установили, что всякое ПБК представляется в виде пространства классов эквивалентности почти глобальных непрерывных сечений некоторого банахова расслоения. Теорема I.1.4 является развитием итого .результата в следующем смысле. С помощью дополнительного требования полноты удалось добиться единственности реализационного расслоения. .Кроме того, элементами новой реализации является отдельные сечения, а не их классы, что значительно удобнее.

Как видно из теирсмы I.I.5, полные банаховы расслоения в категории всех банаховых расслоений играют ту ке роль, îto и банаховы пространства в категории нормированных: всякое банахово расслоение X _ плотно вкладывается в некоторое полное, определяемое одкозначно с точностью до изоморфизма к, естественно, называемое пополнением Л . Теорема о пополнении банаховых расслоений сказывается весьма полезной. Например, с- ее

по.мещыо «окно ввести понятая еасшлрсшиого сечегст не Сс±(0)Я'} длч любого (но обязательно полного) баиакс-т расслоения 2 . В Чс'СТноотЦ; ьаченязтея структура классов эквивалентности не Е(Х) С Е - ирэал в Ст(0.) , К ~ банахово прост-сшпсгво), вьедешадх и иведедомнных А.В.Б^/хвипоьш в 70-х годах. Одазисаесся! квздкй тйкой класс и. с £(Х) представляет собой собок/шость суцзккК на ко?о:цло мдеэтозестяв н-зкото-роЛ о^ной фуншдгл и € С л СО, X) из «тоге класса, которую мы называй: рае-кроцкоа.

.В заклэлеаио параграфа ¡гряьпдптек теорему характерлсу.з™ щаи с раггачиых (как тсцойогпчсских, так и порядковых) точе** ореим плохиостгь го.'-чножеегьа 15'К. Пусть X - произвольное йанахоко расслоение над О . Рйсспсгрж ллдмклл.стбо V с;

С« С С, ■£} . Сдополде с!.'1' (ссо^хлтстЕетш;) ¿„-р. V )

осно^ушоель приема,лч'али; Т! ^ Щ илзментоо У . «оластйхпуксих 1соотгегс~,.он;;о коиеадаы)

рк:;бйе»8;г.1 ь&'лзцц (Т^) ь Сляейол ллгебре порядлошх пряеь-ТОрог. ' , ■

ТЗОГИ'У Т. 1,7. Сяадукд:;::.- евг.ветаа пножес!*?.а У эквивслен-

лки

(I) мле.г^елло 1 ¡/(о: '1 сгг} ьепду плотно

п ' * " /

¡••■-егсл ч~ ( О ; т, что „'лобле

-О^чт-.нсс. елл^лил (•• л ¿л 1;) лиллллаг! слачлплл и.'-рс 4 • 1\а лл'ллол Г.Л1 ллл"'л>лллО ;

. лллл лл~ь,ил,лл' ллпрл^влол склеило прл;;л~

¡¡ул.- :-■('■•- . i*« 1' | кч- гслуилл ьодл лод\е~

Очл.Э (■:

;ЛЯЛК.;>-V' -Л :0Д2ЛЛЦЛ. для л..; ■

но 'орого (а ;йСг,го) ^¡даиси-га • В ^ С^лл'2);

глл г. елллллл и «= ! ц: малдетея иО-

ечодоЕстгжтллг, Ог-.-.,. -еллдл^лел к ¿;.

с р^гуляюлг-м :■•<• ; г. л:-с:ллллл лллллслъо ■%V Л Г.(^)

Г -т:лО'.;1;э ;; (Я, дчя .л1.', гд^^ча С

(6) фуядауцл? ? ; что

сюо О Ь(^) плотам .";.') и смысле сха-

л; лостл ¡:а ясйд;» плотлег. попмнслест1,п ^

(7) множество П £($£) о-плотно в ¿(X) для

любого идеала Е с С (<3).

Проясняя структуру реализации ПЕК, теорема 1.1.7 имеет т8к;:-з ряд важщях следствий в общей теории РНП (см. [5] ).

В параграфе 1.2 исследуются сохраняющие дизъюнктность операторы, действующие в ПБК, а также изучается их устройство с точки зрения реализаций соответствующих ПЕК.

В первом пункте строится операторное банахово расслоение X. С ¿/) , значения Н(у) сечений которого представляют собой ограниченныеякнейкые опера-горн /■/(<}) : ХЦ) УСф, примем течения НО)и(-) непрерывны при непрерывных И и «. . 'Интересно отметить,, что расслоение У У оказыва-'

ется полным при полноте У . Далее определяется банахово расслоение а"" X , являющееся результатом "замены переменной" С'-(р) <-> 5с С(з (<?)) в слоях расслоения 3? над Р и г.ре вращающее его в банахово расслоение над другим компактом <3 (здесь <? - непрерывное отображение из О в Р .) Построение расслоений У) -и С =""5? позволяет понятие мультипликативного оператора (или оператора ыьег.-мпого сдвига) Т-- Е(2£) —> Р(У) , действующего в ¡Т-'1 раг-дггрсьтгьк сечешИ по прагму;

( Г и )(а) « И(<\) и(с>(<])) , и е £ (X), (м)

гп,а -с и !' - идеалы в С^СР) п С «ДОЗ соответ-

й.' и У - полнее бапаховц расслоен:',л над р л С , - '.«прерывное отображение из (3 в р , а Н е

1'"<-> • ' ;-т " '/) ) . 'Зункш-ш Н и О , даго-

<■-■>,0. предг/гз-.ле.^чо „Л.1 для д&акго оператора Т , з опре- ' ;чг>'.'1л»о: -укьш '. .аорйяа 1.2.6) и позучлог со-

ге.гс-га V едг-ига '¡! , Сдвиг произволь-

но! О 00 .иН'г" ■'! О'и'-'С'Ч^Т! ■'Ь О'.Крг/Ора МСЧШ0 ОПрОДЗЛПТЬ 1-опосг.г-г:. гсо депетгле на компонентах.

горам данного параграфа дает список ■\м.чпи;?1 ^^дс-гаг.^'ссч-'д оператора в виде (М).

TBOPS-iA 1.2.8. Предположи.'-;, что линейный оператор Т '■ Е (Эс) -> F(y) сохраняет дизъшнктность, и пусть б : Q —> р - его сдвиг. Тогда Т представим в виде (М) в том и только в то:.: случае, если выполнены следующие три условия:

(а) множество ff-1 [dorn ej плотно в Q для любой функции е-£ £ ;

(б) если последовательность (ип) с Е(Х) такова, что г - Lim lctK| = 0 з £ , то Inf l Т l =, О

Л ее * л е (N

в F;

(в) множество { I Та I : I w I - осколок единицы} по-Рядкоео ограничено в с» fq ).

Заметим, что условий (а) и (б) достаточно для мультипликативной представимости (М) оператора, действующего в векторных решетках. Это показывает принципиальное отличие вопроса о мультипликативной представимости в случае РНП от его "скалярного" аналога. Как видно из приводимого в пункте 1.2.9 контрпримера, дополнительное требование (г) нельзя исключить, . даже ограничившись рассмотрение:.: оператора Т ; X -»• F, действующего из банахова пространства X в /("-пространство Я, и даже усилив условие (б) до секвенциальной г-непрерывности олоратора Т .

.Приводимая далее теорема является обобщением результата Ю.А.Абрамовича об эквивалентных условиях мааорируемостк 'или регулярности) оператора, сохраняющего дизъвнктность.

ТЛ)?ШЛ 1.2.10. Рассмотрим линейный сохраняющий дизъюнкт-ность оператор Т , действующий из ШК iL ь расширенное ПБК ' V . Следующие утверждения эквивалентны:

(I) оператор Т обладает следующими двумя свойствами:

(а) если последовательность («-„.)леin с ^ такова,

что 's-UmiM.nl=0 . , TO 1 Тип i = С ,

ne им

(б) если сеть (и-«.)*^ ^ V- удовлетворяет

условию г-Um i ^ I ~ 0 , то найдется Тгкой индекс

ле А _

ы е А , что множество {J Ти.^ 1 : • орядково ограик-

Iü ' ■ .

чено;

(2) оператор Т г - о -непрерывен;

(3) оператор Т г -непрерывен;

(4) оператор Т мажорируем;

(5) для любого главного идеала ио с. Ц оператор Т}цс имеет мультипликативное представление (М).

Отметим, что связь со "скалярной" ситуацией з данном случае совершенно аналогична теореме 1.2.8: если в теореме Ю.А.Абрамовича условие (I) (б) отсутствует, то в случае РНП его нельзя исключить, даже усилив требование (I) (а) до секвенциальной г-непрерывности оператора Т.

Однако, картина меняется, если дополнительно потребовать инъективность сдвига оператора. В этом случае (который охватывает (¿-изоморфизмы и нерасашрявщие операторы) теоремы 1.2.8 и 1.2.10 уже полностью идентичны своим решеточным аналогам: условия (г) в 1.2,8 и (I) (б) в 1.2.10 могут быть опущены.

Параграф 1.3 содержит ряд приложений результатов предыдущего параграфа к описанию изоморфизмов и вложений ПБК.

В теореме 1.3.5 находит подтверждение естественное предположение о том, что мультипликативное представление изоморфизма ПБК Е(£) и У ) является композицией гомеомор-фной замены переменной и послойной кзометрии. В этом не параграфе исследуется зависимость изоморфности ПБК £(£) ^ РСУ) от изоморфности К-пространств Е т* Р и банаховых расслоений £ — У-

Ключом к переносу результатов об изоморфизмах ПБК на случай вложений служит теорема 1.3.8, дающая описание о-гселных реше^очно-нормированных подпространств с точки зрения их реализаций: ге-.слсе тлкое подпространство 1С с £ ССВ) имеет шд II ~ £(3?0) для некоторого (единственного) полного банахова псррасслоен^я Хв с а?.

Параграф 1.4 посвящен изучению структуры реализационных расслоений пространств вектор-функций. Он носит технический характер и не содержит теорем, представляющих самостоятельный теоретический интерес.

Для оператора, действующего в пространствах непрерывных вектор-функций, наряду с представлением (М) его реализации можно определить его "собственное" мультипликативное представление - в терминах самих пространств вектор-функций. Связь двух представлений исследуется в параграфе 1.5. Основная теорема 1.5.7 утверждает равносильность существования "собственного" и "реализационного" мультипликативных представлений, причем описана явная конструкция, позволяющая строить каждое представление из другого. С помощью теоремы 1.5.7 _ легко вывести из утверждений § 1.2 аналогичные теоремы о свойствах операторов в пространствах вектор-функций, а из теорем § 1.3 - результаты об устройстве изоморфизмов и вложений ГЕК вида Е(К).

Материал главы 2 посвящен исследованию вопроса об "измеримой" реализации ПБК.

Вводимое в параграфе 2.1 понятие измеримого банахова расслоения (ИБР) выдержано в духе Н.Дшшулеану. В основе лежит выделение в банаховом расслоении над пространством с мерой измеримой структуры - векторного пространства сечений, играющих роль "констант". Из констант обычны-! образе формируются "ступенчатые" сечения, а из последних - измеримые, представимые на множествах конечной меры в виде пределов -(почти .всюду) ступенчатых сечений. Отсутствие в математической литературе (известной автору) детального изучения такого подхода к определению измеримости компенсируется - в достаточной для данного случая мере - некоторым исследованием свойств измеримых • сечений, проводимым г. параграфе 2.1.

Параграф 2.2 начинается с введения понятия лифтинга в

пространстве <£^(>52-, Ж) существенно ограниченных измеримых сечений банахова расслоения X над пространством с мерой & .

ОПРЕЩЕйЕНИЕ 2.2.1. Зафиксируем лифтинг р пространства

.Отображение ¿оа(&) Я?) Л^СЯ, ЗВ)

будем называть лифтикром . Э£), ассоциированным с р ,

если оно удовлетворяет следующим устозиял:

(а) f-gi"-) ~ ч- I если , то jox (и) = (и);

(б) px(u*v) "fixiul+faCv); fxCe-uiapfei-fgCu);

(в) 1рх(и) I = p(lu.| ) ;

(г) множество { р: иплотно в 3£(см)

- для всех u, v е ¿СЧ^Эг), ее <С°(.51), где запись

tt «г гг означает равенство почти всюду.

Наличие такого лифтинга в пространствах X) ьек-

тор~функций - явление крайне редкое, что объясняет отсутствие. этого понятия в математической литературе. В пространствах же сечений лифтинг встречается значительно чаще, и как следует из результатов § 2.2, всякое банахово пространство X можно в точках Si расширить до слоев такого банахова расслоения X , что в пространстве <С°(Л, Ж) появится лифтинг, причем L^CSl^ 35) оотанется изоморфным

1,Х) • как РНП.

Далее в этом параграфе устанавливается, что в ИВР с лифтингом можно ввести топологию, превращающую его в (топологическое) банахово расслоение. Оказывается, что в каждом классе эквивалентных измеримых сечений существует единственное непрерывное (теорема 2.2.6). Этот факт является обобщением теоремы Окстоби-ЗУлча о топологии, ассоциированной с лифтингом X^CSL).

•Основная теорема параграфа - 2.2.9 - устанавливает тесную связь между ИБР с лифтингами и полными, банаховыми расслоениями. Показывается, что всякое ИБР с лифтингом можно плотно погрузить в полное банахово расслоение с сохранением слоев и топологии лифтинга. Эта теорема является эффективным и простил в употреблении инструменте:!, позволяющим переносить реализационные результаты топологического .характера на измеримый случай наоборот. В к^чесге одного из приложений теоремы 2.2.9 предлагается реализация (2.2.13) произвольного ПБК, нормированного посредством идеального пространства, в виде ПБК классов измеримых ссчопий некоторого ИБР с лифтннгеи.

Автор выражает .глубокую признательность А.Г.Кусраеву за вникание к работе.

Работы аптора по теме диссертации:

1. О сохраняющих дизъюнктность операторах в пространствах Банаха-Канторовича // Х1У Школа по теории операторов с функциональных пространствах. - Новгород, 1989. - Тезисы дек ладов.

2. С сохраняющих дизъюнктность операторах с пространствах непрерывных вектор-функций // ХУ Школа по теории операторов в функциональных пространствах. - Ульяновск, 1990, -Тезисы докладов.

3. Пример секвенциально ^-непрерывного, но не мажорируемого оператора, сохраняющего дизъюнктность // Оптимизация. - Ин-т математики СО АН СССР, 1990. - Вып. 47. -'С.115-121.

ч 4. Измеримые банахоЕЫ расслоения и весовые операторы // У Школа молодых математиков Сибири и Дальнего Востока. - Новосибирск, 1990. - Тезисы докладов.

Подписано в печать 25.СМ.91

Формат бумаги 60x90 I/I6 ■ Объем I печ. л.

Заказ 119 Тираж ICO экз.

Отпечатано на ротапринте Института математики СО АН СССР 63GC90, Новосибирск 90, Университетский пр., 4