Приложения меры Винера и Н-дифференцируемости в банаховых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВИИЫЙ ШИШ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

РОСТОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

СПЕЩШМЗИРОВАННЫЛ СОВЕТ К 063.52.13 ПО -ЖЗЖО-МАТЕМАТИЧБСШЛ

НАУКАМ

На правах рукописи ГАЛЛАМШ МАЙСУР МУЛЛАГАЯНОВИЧ

ПРИЛОЖЕНИЯ {£ЕШ ВИНЕРА И Н-даШРЕЭДИРУШОСШ В БАНАХОВЫХ

ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата .|лзико-мат0матачесю1х наук

Ростов-на-Дону 1993 г.

Работа выполнена в Ростовском государствен®»! университете

Социальные оппоненты:

- доктор Зизяко-матвмапгчвскйх наук, профессор Кондаков В.П.

- кандидат фиаико-математячесиос наук, доцент Каибханов К.Э.

Ведущая организация: Воронежский государственный университет Защита состоится "_" ___,_ 1Э93 г. в _

часов на заседания Специализированного совета К 063.52.13 по *язтсо-матемагачйскаы наукам в Ростовской государственной университете по адресу: 344104, Ростов-па-Дону, ул. Зорге, 5, мехыат, аул. _

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГ7 по адресу: Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, Г48 ч

автореферат разослан * " .... 1993 г.

Ученый секретарь

Специализированного совета К 063.52.13 кандидат ^йзико-математиче сйих наук

доцент В.Д.Кряквин

ОБЩ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Анализ в бесконечномерном случав представляет собой обширную и быстрораавйвахщупся область в математике с ис-подьзованкен различных математических методов„а также созданием совершенно новых методов исследования. Это вызвано, потребностями математической физики и самой математики; в связи с этим отметим работы следующих авторов: А.И.Авербух, О.Г.СМолянов, Ю.М.Еерезаяс-квЛ, Ю.Г.Кондратьев, Ю.Г.Борисович,'В.Г.Звягин, Ю.И.Сапронов, Й.М.Гельфавд, А.М.Яглом, Ю.Е.Глшслих, А.Н.Колмогоров, Е.Л.Далвц-кк&, С.В.Фошш, Г.Е.Шилов, В.Е.Захаров, Л.Д.Фаддеев, А.В.Угланов, Н.Бурбаки, Х.Дьедовнв, С.Лент, А.Картав, М.Кац, Лд.Глимм, А.Дш$ф! Н.Ваюр, Р.Х.Камерон, В.Т.Мартик, Л.Гросс, Х.-С. Куо, В.Гудман, И.А.Пич, О.Сие&я, Р.Раыэр и др.

Наибольшую трудность в бесконечномерном анализе представляет © бой теория интегрирования, связанная со структурой пространства, на котором она рассматривается. В конечномерном случае фундаментальную роль играет мера Лебега, которая с точностью до константы определяется следующими условиями: она инвариантна относительно сдвигов, принимает конечные значения на ограниченных борелевых множествах и положительна на непустых открытых множествах. В беек нечномерном случае нельзя построить такую меру. Но хотелось йи ун следовать некоторые свойства меры Лебега. В связи с чем сущоствуе много различных подходов к теории интегрирования в бесконечномерном случае (см. работы А.Н.Колмогорова, Н.Винера, П.Леви, й.Иллс К.Д.Злуорти, Р.Геймера, Л.Гросса, Ю.Л.Далэдкого, А.В.Угланова и до.)

Наиболее плодотворным в теории интегрирования оказалось направ

ление, связанное с развитием теории случайных процессов, начиная работ А.Н.Колмогорова и Н.Винера. Теория винерозых интегралов

ыявнла ряд особенностей, свойственна! интегрированию в фунхцио-альных пространствах. Наиболее глубоки» результаты связаны с там-[ами следующих математиков: Р.Х.Камврон, Б.Т.Мартин, М.Кац, М.Д. 1онскер, Дж.Лноняс, Л.Гросс, Р.Ршер, J.-G. Ку», ВЛУдаиш, И.А. 1ич, Г.Е.Шнлов, Ю.Л.Далвщкй, С.В.Фомия, A.B.Скореход и др.

Введенное в 1965 г. I.Гроссом понятие абстрактного праотряжагщ Зинэра наиболее естественным образом вскрыло свойства интеграла Зннэра, что шевелило установить ряд интересных фактов: формулу ан-гегрирования по частям, теорему о дивергенвди для гиперповерхностей гильбертова пространства, аналог теоремы Якоби о замене переменной под знаком интеграла, теорию интегрирования на бесконечномерных многообразиях и т.д.

В данной диссертации с использованием абстрактных пространств Винера, меры Винара и Н-дафферанцируемостн удалось полутать ряд интересных результатов.

Ш>№ .работы:

- изучение Н-ди$ференьируешсс отображений банаховых пространств и условия их гладкого продолжения;

- изучение Н-критических значений Н-дафференщруемых отображений;

- изучение преобразований банахова пространства, переводящих нульмножество в нуль-множество по мере Винера;

- изучение аппроксимационных свойств банахова пространства Н-ана-литичесними отображениями;

- изучение оператора Лапласа, пороаденного мерой Винера и его спектра.

ЗДучная новизна. Получены условия, при которых Н-дифферекйИруе-мое отображение продолжается до более сильного, в смысле дифферен-чируемости, дифференцируемого отображения, что позволяет Для Н-дифференцируемых отображений доказать аналог теоремы Сарда и ус- 4 -

тановгть локальную единственность реаения нелинейного уравнения без условия дифференцируемости по Фреше. ¿Ведено понятие Н-анали-тичесхого отображения, посредством которого удается выявить аппрок-симационные свойства Н-аналитическима отображениями банахова пространства. Построена новая аппроксимационная последовательность для оператора Лапласа, порскденного мерой Винера, вследствие чего удается установить счетность спектра этого оператора.

Достоверность полученных результатов вытекает из строгости изложения и полноты приводимых доказательств.

Апообашя -работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на:

- семинаре по геометрии в целом Московского госуниверситета в 1987 г. (рук. проф. Э.Г.Позняк);

- семинаре кафедры высшей математики Ростовского инженерно-строительного института в 1988 г. (рук. проф. Н.С.Ландкоф);

- семинаре кафедры геометрии Ростовского госуниверситета в I9S9 и 1993 гг. (рук. проф. С.Б.Климентов);

- пятой международной вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике в 1989 г.;

- международной научной конференции "Лобачевский- и современна* геометрия" в 1992 г. (г. Казань);

- семинаре кафедры алгебры и дискретной математики Ростовского гос-ушверситета в 1993 г. (рук. проф. К .Б. Симоненко) ;

- семинаре кафедры алгебры и топологических методов анализа Воронежского госуниверсгтета в 1993 г. (рук. проф. Ю.Г.Борисович).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ.

Структура и объем диссертации, /лссергация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Работа занимает 105 страшад ма-

шшописного текста. Список литературы состоит из 75 наименовании.

Б дальнейшем для удобства изложения выражения "абстрактные пространства Вияера" заменим'сокращением "АПВ".

0СН03НСЕ содтАНич РАЬОТЫ Зо введении кратко освещены вопроса интегрирования в бесконечномерном случае, дана общая характеристика работы с описанием полученных результатов.

В первой глава изложены вспомогательные результаты на АПВ. Она

состоит из четырех параграфов.

Первый параграф представляет сосоЯ введение, в котором описывайся построения меры в бесконечномерном случае. Во втором парагра-« определена измеримая норма, описаны меры Зинера, АПВ, цшгандри-еские функции, изомофизм Лгала и приводятся некоторые свойства хапанных объектов.

Птсть И - сепарабельяое вещественное гильбертово пространс-во с нормой 1*1 , порожденной скалярным произведением <Г-, • >

Н . Через ? обозначим частично упорядоченное множество ко-вчномешых ортопрэектооов. Считаем Р , если О И ^ Р Н ,

Подмножество £ пространства Н называется цилиндрическим ?ояепгвом, если оно имеет вид

Е = ; РхЬ Р)

'•о' Р £ 9* , Р - оорелеро под;лно*елтво в Р Н . Семейство в сох ;лицдпичесчих множеств •'» обозначим Я- . Как легко понять, юазтст поле, но не <5 -поле. ГпуссорскоГ {1 ллинппическс:! > г.«впю: с яаспврге'ой > 0 на Н

ЯЧМПГЙЯ |'Л'НКШЯ МНОУеОТГ,

- с- -

= Ufi) ^ |exP[-ix|Ä/24] Ax

где n= d(rn PH , F€ Я , F - РЕ , Jx - мета Лебега в t Мера ja^ конечно-адиитизная, но не <5 -адвитивная. Посредс-твам этих мер можно построить согласованное семейство мер. Но тог; по теореме Колмогорова существует вероятностное пространство (Q. , ) ( rv» - мера) и последовательность независимых случайных величин {tA. , таких что

£ & ; М, • • • Л>>Н F \ [хб Н; (< е, *>,-.. <*„*>)£

для любого ботюлева множества F из , где { ~ °Рто-

нормированный базис в Н , 4. - фиксированное положительное чисж

Полунорма {j "|| на И называется из-даршлои, если существует такое Р С. 3- , что

О

y*tUfcH ; HPxlhei <е , vp ¿i , Р± P0

Если H = 00 , то норма 1* I неизмерима. Измеримая по-

лунорма II-II слабее И -нормы 1'1 , т.е. И X Ii £ C\xlt4xü С - положительная константа. Следовательно, пространство И не полно относительно измеримой нормы II• II . Пусть ß - (Н, Н'Н) -пополнение Н по измеримой норме II • II , а I Н ß - отображ« ние вложения, которое в силу измеримости нормы компактно. Тюойка чазывается АПН.

Пополнив кагдое цилиндрическое множество из Н по измеримой ноше |1 - II , мы получим новое семейство ^ цилиндрических множеств из В - Оказывается, что ф/нкшя множеств pt '• % "Г —> Г 0, J1 , определенная соотношением ^ -уи^ (Е) 1 Y F £ IR. ,

где Е - (Е, ]| * ||) , представляет <3 -аддитивную меру на <5 -алгебре б ) . меру на б(Я8) называют мерой Винера с

параметром £ . Она обладает очень интересными свойства«,®например, она язляется борелевой мерой на В .

Вероятностное пространство (В, р^) есть конкретная реализация рероятностного пространства кз теоремы Колмогорова.

Более того, оказывается, что любое сепарабельное банахово пространство В можно превратить в АПВ, т.е. в щелить'плотное гильбертово подпространство И из В , такса что В -норма || • II , суженная на Н , будет измеримой нормой в В .В этом случае будем гоаорить, что В наделено структурой АПВ

В §3 описаны измеримые свойства АПВ. Измеримое линейное подпространство 3 из В называется носителем меры р^ , если р^ (5) --1. Известно, что если & ^ Н , то , мера (И) = 0 .

В дальнейшем будем считать, что на носителе 5 ¡.тары р^ задана норна <| * Н^ , относительно которой оя есть банахово пространство.

В }4 рассматриваются топологические и дилере нитруемые свойства АПВ. Отображение "Г из открытого подмножества 1/ оанахора пространства В со структурой АПВ [с , И,В) з банахово пространство X называется £ -дийререньлруемым, если отображение Т(х-+ •) '

~х.)П 3 диМерениируемое по ;1>реие по норме II' II^ . ?сли носитель $ заменить на И и норму II ■ та I • I , то полуюта И ~улр¡яренитруемое отображение. 5 -¡ш.^ереш-лрование и И -;"К';хТяренийрование обозначим Р$ л Р соответственно. 1а,-:ютим, ч™о 5 -производная и Н -производная отображения I есть отображения О^Т : V -> X (5 ; X) я РТ : V 1лН , X ) . "ели отображение 5 -деф^ерен^руеко, то оно И -дифференцируемо, обратное неверно.

3 главе II рассматриваются. Н -л* йуевенцаруемые преобразования

банахова пространства В со структурой АПВ (l,H,B) и мерой Винера . Найдены условия, при которых эти отображения допускают £ -дифференцирование. Ьти условия имеют вид, если T-l + K • 1/""* В дважды Н -дифференцируемое отображение, такое что

и полунормы

ttMI^SuplDkixVkl, IlKll" = Sup 5up -—

v gtu.yi« XA Hgll+IDKW-gl

измеримы на H ( I - тождественное отображение на В , J - открытое поданоежество из В эти обозначения будут употребляться и в дальнейшем). Отображение, обладающее указанными выше свойства'«®, назовем дважды равномерно Н -измеримым отображением на ~ЪГ . Норма

'|Гк.1!5 = ]1К1!; + 11Ы1'; +IIKII

есть измеримая норма на И . Пополнение S = (И , II • i| ^ ) есть носитель меры р

В §1 дана краткая историческая справка и приведены необходимые результаты.

В ¿2 описываются свойства И -ди t>.oepe нциру емых отображений, в частности, доказана

Лемма 2.2.4. Если Т*1/В дваадн равномерно И -измеримое преобразование на , то существует такой носитель S меры ^ ,

что для каждого И -дищвренциалы DT(x): Н-* В , D4T(x):

допускают непрерывное расширение DT(x): В и

Рг"Т£х)" 3 * S В , такие ,что если отрезок Сх^эс + з), для неко-

тооого 6 £ S , содержится в V , то и <еет гиестс равенство

1

Ttx + sWTM-b'DTixM + у

в

T(x+i)-T(x)-DT(x)-i- о (Blip.

Преобразование I принадлежит классу СI (IT)

Теорема 2.2.1. Пусть Т : \fM В (1ГМ - И -открытое подмножество в Н > такое же, как и в лемме 2.2.4, тогда существует такой носитель S меры pt , что Т : В допускает С^

расширение Ts " Us В , где - , ' граница множества XQ .

3 §3 доказывается аналог теоремы Сарда для Н -критических точек в двух формулировках: на языке оэровых категорий й на языке

теории меры.

Отображение ~Г~1 + К" называется И -измеримым отоб-

ражением в точке х из ТГ , если к(лОс И , DKCifc)(H)<: И и полунорма

измерима в Н' . Золи оно Н -измеримо в каждой точке X из V , то ояо называется И -из -шмым в V

Точка & - из V называется Н -критической точкой И -измеримого отображения в V , если замыкание полного оораза DT(«)(H) по норме (I • И >

имеет меру pt нуль. В про чпнс.: случае точка а из V называется Н -регулярном точкой.

Теорема 2.3.1. Пусть Т: ~\J -=> 8 _ дваады разноуерчо Н -измеримое преобразование в У . Если А - множество Н -критических точек, то существует такой носитель S меры р^ , что Т (A OS) есть множество первой категория в 8 . Имеет место также

Тчооека 2.3.I1. Пусть Т и А такие ка, как и в теопзме 2.3.1. Тогда существует такой носитель S меры ^ , что р^ (Т (А 0 -О

Хйрр^тла 1.3.2. Золи Т* такое же, :са.ч и в •••еоряме 2.3.1, то су.нес-

- 1С -

тзует такой носитель S меры pt , что уравнение (Tj^. - сужение т на S Л V ) Ix) - у. для почти всех ^ £

по мере pt имеет локально единственное решение.

В §4 выделяется класс Н -дщдаренцируемых отображений, переводящих нуль-множество в нуль-множество по мере pt

Глава III посвящена агазроксимационным свойствам банахова пространства Н -аналитическими отображениями.

В §1 дана краткая справка по рассматриваемому вопросу. В § 2 показывается, как посредством меры Винера можно осуществим

сглаживание Функции на банаховом пространстве В . Бесконечно И -дифференцируемая функция

I: V-» 1R называется Н -аналитической, если -f (х + •): (*1Г- х ) П Ц |R при каждом фиксированном X из Я/ аналитична в нуле относительно И . -нормы.

Лемма 3.2.2. Пусть {: & 1R - ограниченная функция с ограниченным носителем. Тогда

Р -Их) ~ fl4x + 3)pt Uy) t ß

является И -аналитической функцией на 8 .

В §3 доказывается теорема, аналогичная конечномерной теореме Уитни о приближении вещественно аналитически® функциями.

Теорема 3.3.1. Пусть {: *IT-»IR - к т&з Ц -дифференцируемая пункция, 0 £ к < оо , ограничена и равномерно непрерывна вместе со своими И -производными на люоом ограниченном подмножестве из V , *Г| - непрерывная, ограниченная и положительная функция на . Тсгда существует И -аналитическая функция g в "У , такая что для каждого X из "U М -производные 0 4-(х) , D ^ (*■) из X (.И V Щ удовлетворяют неравенству

при 0 ^ $ ъ-иг>

Аналогичная теорема имеет место, если £ принимает значения в произвольном банаховом пространстве.

В главе IV рассматривается оператор Лапласа, порожденный мерой Винера.

В §1 дана необходимая информация по данному вопросу. В §2 вводятся оператор Лапласа, порожденный мерой Гаусса, в конечномерном случае и изучается его свойства при увеличении размерности пространства, на которой он определен. Мера Гаусса, по которой строится оператор Лапласа, имеет зад

д (Ах) ^ и-тгГ"*ехр [-ы* ¡1 ] Ах , где IX- «и™ ВТ «х:!»1,,..,*")

п

Дх - мера Лебега в ^ -

Оператор Лапласа, порожденный мерой Гаусса,в конечномерном случае имеет вид

где н = ¿цу> 1Г , зе * (*\ . . . , <с К4 , Г-МК - • Санкция, О , ,Ог-

олел оператора ^(х^ - ( 2; - диф$еренциро-

вание по X1 ) и < • , •> - стандартное скалярное произведение в

- 12 -

г.

Пусть = (X Ь.Ъ.Щх))*-)1'* - корма

№

берта - Шмидта оператора

, - • • Р ^ • ~ ^ ' ( О* - вектор-столбец, :

лученный из транспонированием) и = ас ^ ;

Л = (л1» • ••->-* , Р, • • • 1 - т-мерное подпространст]

в . Имеет место следующая лемма ( I• 1п = ^' »"

Лемма 4.2Л. Пусть • К _ Сг -функция, такая что

и

- сужение на подпространство хункши . Тогда имеет место оавенство

иг

В 5о рассматривается оператор Лапласа, ио-юклентк мерой Винера, изучается его спектр.

Пусть В - вещественное сеплрас^льлоа банахово прсстранстао » структурой АПВ (ц Н, В) и мерол Винера р( -1 ) . Тогда ■нкдйонал , • допускает пасикре¡п'.^ на почти все

; мере р1 , которое обозначш ,• > : В -э . П/сть

таковч. что ^ и Ж»* Ри Н-1».

Теорема 4.3.1. Пусть I : В 11? - -¿¡унКмЛя, такая что М ("Х^ I и | £ 1-, (&, р,) ; тогда последователь-

сть Н -дифференциальных спепаторгз ь., , определенных венствш

^ г

= 2ТГ (ъ /(р -1)) ( ¿г (Р„ [йШ)) ~ <РН ь Х>~)

ть последовательность Коти в (_В( р4} , предел которол 1им

{Ьл- е*р и\1Ьг (0Ш,х)У

означим г;

Зственнне щушшди оператора

И(х) х) - ъг4

разуют ортонор."лрованны-' базис в (8 , ^ ^ и сэго спектр счетен.

Здесь (* , О обозначает с.'клшэйнуп >оп*-,у на В. * В

- ппостпатс'Во, топологичес;:;. ¡¡ощшлл ;ог> к В 1, такую^что

- 11 -

(х, К) - ¿ "X, ^ для всех к & И при кавдом хяксировая-

ном X из В

Автор варажает благодарность за подцерхгку в подготовке диссертации профессорам Я.С.Лавдкояу, С.Б.Климентову, И.Б.Симоненко, А.Д.Бендикову и А.Н.Ширяеву^а такке доценту И.В.Павлову и И.А. Чеканову.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ JJJÍGCEPTA¡JÍT.I

1. Галламов Ч.М. Теорема Уитни о приближении аналитическими функциями в абстрактных пространствах Винера ¡f Сб. научных трудов FACA. - Ростов-на-Дону, 19Б8.

2. Галламов М.М. Меры Винера и вопросы аппроксимации в абстрактны; пространствах Бинера (AHB) // Тезясы докладов 5-oii международной вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике. - Вильнюс, 1989. - т. III. - С. II7-II8.

3. Галламов М.М. ""еры Винера и некоторые вопросы аппроксимации в еанаховых пространствах //А n&L. Мй-tlv - 18 (I9S2). -

С. 25-36.

4. Галламов М.М. Оператор Лапласа-Ъельгоами в бесконечномерном случае !( Тезисы докладов международной научной конференции "Лобачевский и современная геометрия". - -чазань, 1992. -

1 I. - С. 21-22.

5. Галламов М.М. Теорема "Гарда в абстрактных пространствах Винера / jen. ВИНИТИ Щ945-В93, 1993, С. 13.

С-,. Галламот» Оператор Лапласа-Ьельтрш® в бесконечномерном плутав и его спектр // Jen. ЗШ№, #1946-3%, 1993, С. В.