Приближенное решение нормального случая сингулярных интегральных уравнений на вещественной оси тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГБ ОД

2 2 МАИ ^Министерство образования Украины Одесский государственный университет им.И.И.Мечникова

На правах рукописи

Сааделдин АЛ-ТУНДЖИ

Приближенное решение нормального случая сингулярных интегральных уравнений на вещественной оси

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Одесса - 1995

Диссертация является рукописью '

Работа выполнена ца кафедре вычислительной математики Одесского государственного университета им.И.И.Мечникова

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Тихоненко Н.Я.

Официальные оппоненты:

1, Доктор физико-математических наук, профессор Золотаревский В.А.

2. Кандидат физико-математических наук, доцент Светной А.П.

Ведущая оргаш1зация - Харьковский государственный университет

Защита состоится " $" 19Э5 г, в часов на

заседании специализированного совета К 05.01.05 по физико-математическим наукам (математика) при Одесском государственном университете им.И.И.Мечникова но адресу: 270100, г.Одесса, ул.Петра Вели-когЬ, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Одесского государственного университета им.И.И.Мечникова по адресу; г.Одесса, ул.Советской Армии, 24.

Автореферат разослан 1995 г.

Ученый секретарь специализированного совета

А.И.Третьяк

Широкий круг прикладных задач науки » техники приводит к нахождению решений сингулярных интегральных уравнений (СИУ). Как известно, СИУ допускают решения в замкнутом виде лишь в весьма редких частных случаях и даже в этих случаях доведение резульгата до числа наталкивается подчас на большие трудности. Указанное обстоятельство обусловило то большое внимание, которое уделяется вопросам разработки и обоснования методов приближенного решения различных классов СИУ. Особое место, в виду простоты вычислительных схем, занимают проекционные методы приближенного решения СИУ. К настоящему времени, благодаря работам С.М.Белоцерковского, Б.Г.Габдулха-ева, Б.Зильбермана, В.В.Иванова, И.К.Лифанова, З.Пресдорфа, Ю.В. Ганделя, В.Д.Диденко, В.А.Золотаревского, Д.Г.Саникидзе, М.А.Шешко, и др., проекционные методы приближенного решения различных классов СИУ на ограниченных контурах разработаны в достаточной мере полно*). Что же касается обоснования методов приближенного решен я СИУ с ядром Коши на вещественной оси, то в этом направлении известен не широкий круг работ, посвященный этому вопросу. Так, в работах В.И.Касьянова обоснованы методы коллокаций, Бубно-ва-Галеркнна н мехашиеских квадратур приближенного решения СИУ

Достаточно полную библиографию по этим вопросам можно найти в следующих изданиях:

1. Белоцерковский С.М., Лнфанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях.- М.: Наука, 1985.- 256 с.

2. Габдулхаёв Б.Г. ,)птгмалыше аппроксимации решений линейных задач. -Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1980,- 232 с.

3. Золотаревсхнй В.А. Конечномерные методы решения сингулярных уравнений на замкнутых контурах интегрирования.- Кишинев: Шпшпца, 1£>91.г 134 с.

4. Иванов В.В. Теория приближенных методов я ее примеЕенке к численному решению сингулярных интегральных уравнений - Киев: Ндукояа думка, 1968.- 237 с.

5. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений.* М.: Мир, 1979 496 с.

на вещественной оси по многочленам Грегора или Эрмнта в весовых

/

пространствах — или р(х)=е 2 соответственно. В ра-

1+х3

ботах В.В.Иванова и Е.А.Карагодовой к приближенному решению СИУ на вещественной оси применен метод Бубнова-Галеркина по ассоциированным многочленам Лагерра двойного аргумента в пространстве Ь3р,р(х}=е^. Однако наличие весовых пространств значительно

сузило область применимости результатов этих работ при решении конкретных прикладных задач. Отметим также, что в цикле работ Н.Я.Тнхоненко обоснован метод приближенной факторизации решения характеристических СИУ на вещественной оси. Однако применение этого метода к приближенному решению полных СИУ наталкивается на большие трудности. Таким образом, в области разработки и обоснования методов приближенного решения СИУ на вещественной оси оказа лось много не решенных задач. Представляемая диссертация-в некого рой мере восполняет указанные пробелы.

Целью , настоящей работы является обоснование вычислительны* схем проекционных методов приближенного решения СИУ с ядром Ко ши.на вещественной оси. При этом, следуя Л.В.Канторовичу и С.Л.Со болеву, под обоснованием проекционных методов будем понимать еле дующие вопросы: .

- доказательство разрешимости вычислителы.ых схем и установление значений номеров приближения п, начиная с которых эти схемы разре шимы;

- установление сходимое "и и оценок скоростей сходимости приближенных решений к точным;

- оценка погрешности приближенных решений;

- устойчивость приближенных методов и обусловленность приближенного уравнения;

- определение оптимальности приближенного метода.

Методика исследования. При выводе и обосновании полученных в диссертации результатов существенным образом используются утверждения из функционального апалнза, конструктивной теории функции, теории функций комплексного переменного, сингулярных интегральных уравнений н общей теории приближенных методов.

Научная новизна и основные результаты, выносимые на защиту. Все резульчаты, полученные в диссертации, являются новыми, строго доказанными, полуиены лично автором и следующие из них выносятся, на защиту:

- изучены аппроксимативные свойства отрезков рядов Фурье и интерполяционных многочленов Лагранжа на вещественной оси в пространствах Ь2 и С0/ по следующей системе базисных функций

- обоснованы методы гсоллокацнй и Бубнова - Гаяеркина" по системе функции (1) приближенного решения в пространствах Сд{ и Ь2 нор' мального случая СИУ с ядром Коти па вещественной оси, устаиов-

лена их устойчивость н оггшмальносгь по порядку.

- обоснованы методы коллокацнй и Бубнова - Галеркнна по системе функций (1) приближенного решения в пространствах С01 и ¿3 нормального случаи спсл?м СИУ с ядром Коши на вещественной оси п на этой основе предложены методы приближенного решения нормального случая СИУ с ядром Коши и комплексно сопряженными значениями неизвестной функции к нормального случая СИУ с нн-волютивным сдвигом на вещественной оси.

Теоретическая и практическая'ценность. Диссертация носит в основном теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при дальнейшем развитии методов приближенного решения СИУ. Кроме тою, они могут быть использованы при решении конкретных прикладных задач, сводящихся к нахождению решений СИУ на вещественной оси И их обобщений.

Апробация работы п публикации. Результаты, представленные в диссертации, по мере их получения, докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах: V, VI Всесоюзных симпозиумах "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики" (Одесса - 1991, Харьков - 1993), Республиканской на-учно-мегодиуеской конференции, посвященной 200-летию со дня рождения Н.И. Лобачевского (Одесса - 1992), Международной научной конференции "Теория приближения и вычислительная математика" (Днепропетровск - 1993), на конференции "Гаховские чтения" (Одесса -1992), ежегодных Научных конференциях профессорско-преподавательского состава Одесского госуниверситета (Одесса - 1992-1994), научном семинаре "Общая теория приближенных методов" при Одесском госушшерсгггете (1992-1994, руководитель - доц. Тпхоненко Н.Я.), та--учном семинаре "Приближенные методы в интегральных уравнениях" при Молдовском университете (1994, руководитель - профессор Золо-таревскиЙ В.А.). . >

Основные результаты диссертации опубликованы в 7 научных публикациях, - одна из которьх выполнена в соавторстве. При этом в диссертацию включены. только результаты, принадлежащие лично автору.

Структура диссертации и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на девять параграфов со сквозной нумерацией, списка литературы, включающего 81 наименование, и сод«" жится на 121 странице.

Основное содержание работы. Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дан анализ состояния проблемы, кратко изложено содержание диссертации и сформулированы основные результаты, выносимые на защиту.

Первая глава состоит нз пяти параграфов: §§1-5. В первом параграфе изучаются аппроксимативные свойства отрезков рядов Фурье и интерполяционных многочленов Лагранжа на вещественной оси по системе базисных функций (1).

Пусть 0< а <11), где г - целое неотрицательное число,

С!0)=С, ( Н(а0> =На), * пространство г раз непрерывно дифференцируемых функций /¡(х) (- пространство г раз непрерывно дифференцируемых функций Г/х), г ые производные которых на /? удовлетворяют условию Гельдера) с обычной нормой. Тогда символом С^

СЯ^/Коег/,г>0), С(0°,>

-Со! > (И а/=Н а{) обозначим пространство функций Г(х)е и представимых в виде

дой функции /(х) е ¿¿отрезок ее ряда Фурье по системе функций (1), т.е.

(2)

а

где

«

- коеффициекты Фурье функции /(*) <? ¿2. Справедливы

Теорема 1. Если функция f[x) , г>0,то при г=0

11

а при lit

О (г)

Теорема 2. Если функция f(x)eHa/, , 0<a<,l, то

L2

Здесь и далее низшее вполне определенные постоянные, не зависящие от о.

Через £д обозначим оператор, который ставит в соответствие каж-дой.функции Нх) -Сд1 ее интерполяционный многочлен Лагранжа

(ел*- «>

по узлам

■ <5>

Теорема 3. Если функция f(x) е CQV то ее интерполяционный многочлен Лагранжа (BJ)(x) также принадлежит пространству С0/.

0 (г)

Теорема 4, Если функция Г(х)еН а1, г^О, 0<ай1, то

!/<*)-(« л*)|„ * ¿эп'-а 1а а,

"Со,

Во втором параграфе устанавливается осуществимость метода кол-локацнй приближенного решения СИУ

¡Цх^Ж^Цх), хеМ, (6) я ' к

приближенное решение которого ищется в виде

11е№)• (7)

а неизвестнее постоянные Ск определяются из системы уравнений

а / ^

где ' •<

п

а ду - узлы иптерполящш (5). Справедлива

(г)

Теорема 5. Пусть функции а(х), Ь(х)еНа , гкО. 0<а<1, а(х) - Ь2(х) * 0 на Я Ы'Щ^Щ^О; функция к(х,ОеС0( по пере

0 (с)

менной t равномерно относительно переменной х и k{x,t)eH , r~z.0,0<a<i, но переменной х равномерно относительно переменной t;

<7 (/•)

функция /(х)&Нai >i"Z.0,0<a<i, и уравнение (6) имеет единственное

решение. Тогда система уравнений (8) однозначно разрешима при достаточно больших п, а приближенные решения ф'а(0 уравнения (6)

сходятся в пространстве W0I к его точному решению <р (х) со скоро

стыо

<,d5nr-ainn. .

W 0!

Здесь \Vot - пространство функций tp(x)eCotтаких, что <р(х)=Ф+ (лг)-Ф~(х), Ф (х)<~С0}1 Ф*(х),Ф~(х) - краевые значения функций, аналитических соответственно в верхней, нижней полуплоскости. Прн ЭТОМ =|ф+(х}' + Ф (лг) wot сы

Третий параграф посвящен установлению осуществимости метода Бубнова - Галеркина приближенного решения СИУ (6), приближенное решение которого ищется в виде (7), а неизвестные постоянные Ск определяются из системы уравнений (8), где А.к, BJk> DJk, fj - кояффици-енты Фурье (3) соответственно функций [а(х) + Ь(х)]Ч- к(х), [а(х) - b(x№k(x), ^i{x,ty?k(t)dt, f(x). Справедлива

!г)

Теорема 6. Путь функции а(х), b(x)eHu , riO, (Xa<t,

на R, ind/аСxj • b(x)]=ind[a(x)-k(x)J=0; функция k(x,t)eCg, по переменной t равномерно относительно переменной х и k(x,t)eH t, г^О ,0<a<t, по переменной х равномерно относительно

переменной t; функция f(x)e^,ri.O, и уравнение (6} имеет единственное решение. Тогда система уравнений (8) однозначно разрешима при достаточно больших п, а приближенные решения <р'в(х) уравнения

(С) при г=0 сходятся в пространстве L, к его точному решению <р' (х),

-2'

т.е.

lim\<p\x)-<pB{4.

я-хи

а при tët приближенные решения уравнения (6) сходятся в пространстве L2 к его точному решению со скоростью

В четвертом параграфе установлено, что методы коллокаций и Бубнова - Галеркнна приближенного решения СИУ (6) соответственно в условиях теорем 5 и 6 являются устойчивыми относительно малых возмущений входных данных.

Пятый параграф посвящен установлению оптимальности методов коллокаций н Бубнова - Галеркнна приближенного решения СИУ (6) по базисным функциям (1). Справедлива

Теорема 7. Методы коллокаций и Бубнова - Галеркнна соответственно в пространствах Wot и L2 являются оптимальными по порядку среди всех проекционных методов приближенного решения СИУ (6).

Вторая глава состоит ira четырех параграфов: §§6-9. В шестом параграфе производится обоснование методов коллокаций и Бубнова -Галеркнна приближенного решения систем СИУ

fc(x,t)v(i)dt=f(x), xeIR, (9)

где А(х), В(х), к(х, О - матрицы-функции (м.-ф.) размерности т, а Г(х} - вектор - функция <в.-ф.) размерности т. Приближенное решение системы СИУ (6) и .дется в виде

<Pa{x>Yf№)>

а неизвестные размерности m векторы Ck с постоянными компонентами находятся из системы уравнений

t^^iv^tPjt^'J'^' (Ю)

к-0 к=-и к=-й

где в случае метода коллокаций

к

a Xj - узлы интерполяции (5). В случае метода Бубнова - Галеркнна AJk, BJk, DJk,n fj - коэффициенты Фурье (3) соответственно м.-ф. [А(х) + В(х)Пк(х), [А(х) - В(х)]Ч'к(х), ^k{x,t)Vk{p)dt и в.-ф. f(x).

ft

Например, в случае метода Бубнова - Галеркина справедлива

Теорема 8. Пусть м.-ф. А(х), В(х)еН^\ г2.0, 0<а<1, del[A{x)±B(x)^*0 на £2, частные индексы м.-ф. А(х)+В(х) и

А(х)-В(х) равны нулю; м.-ф. k(x,t)eC0, по переменной t равномерно

О (г) ■ •

относительно переменной х и Ic(x,t)eH а/, г^.0,0<а<1, по переменной

хравномерно относительно переменной trp.-ф. f(x)eH^.,rZ0,0<a<t, и система СИУ (9) имеет единственное решение. Тогда система уравнении (i0) однозтчно pa. t ¡сшипа при достаточно больших л, а прибли■

женные решения <р*в (х) системы СИУ (9) сходятся в пространстве к ее точному решению >р'(х) со скоростью

И*)-¿И,

Установлено также, что методы коллокациЙ и Бубнова - Галеркнна приближенного решения систем СИУ (9) являются устойчивыми относительно малых возмущений входных данных и оптимальными по порядку среди всех проекционных методов приближенного решения систем СИУ (9),

Путем сведения к системам СИУ в седьмом и восьмом параграфах предлагаются и обосновываются методы приближенного решения СИУ соответственно вида

та та^ъ—х

+ ¡¿,(х/)<р(^ + ¡Аг(х,= /(ж), к /г

+ ^к,(хХ)<р{£)сИ + \к2{хЛ)<}>(-№ = /(х), хе/г. Я К

На основе результатов, полученных в параграфах 2 и 3, в девятом параграфе строится приближенное решение следующей краевой задачи

+ ",-у ■ Л2» = О,

и(х,0) + аиу(х,0) = А/х), х>0, и(х,0) +риу(х,0) = Ь_(х), х<0,

/ и(х,у) / <+ас ,

в верхней полуплоскости у>0, - со <х< которая приводится к решениям следующего СИУ

где а, р, X - известные Параметры, а Н*(х), Н (х) - преобразования Фурье соответственно функций Ь+(х), Ь_(х).

Для ряда значений параметров а, /5, к и функций Ь+(х) и ¿_(х) был проведен численный эксперимент, который хорошо согласуется с результатами, известными ранее.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Сааделдин Ал-Тунджи. О приближенном решении одного сингулярного интегрального уравнения на полуоси / Тез. докл. Республ. научи, конф., посвященной 200-летию со дня рожд. Н.И.Лобачевского.- Одесса, 3-8 сентября 1992 г. - Одесса: Изд-ьо Одесск. уи-та, 1992.- Ч. 2.- С. 99-100.

2. Сааделдин Ал-Тунджи. О приближенном решении сингулярных интегральных уравнений на полуоси / Тез. докл. междунар. иаучн. конф. "Теория приближения и задачи вычислительной математики" Днепропетровск, 26 24 мая 1993 г.* Днепропетровск: Изд-во Днеп-ропетр. ун-та, 1993.- С, 162.

3. Сааделдин Ал-Тунджн, Тихоненко Н.Я., Свяжииа H.H. Об оценках приближения функций на вещественной оси и полуоси /Одес. ун-т.-Одесса, 1994.- 89 е.- Деп. в ГНТБ Украины 24.11.94, № 2169 Ук 94.

4. Сааделдин Ал-Тунджн. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши и их систем на вещественной оси /Одес.ун-т,- Одесса, 1994.- 24 е.- Деп. в ГНТБ Украины 24.11.94, № 2173 Ук 94.

5. Сааделдин Ал-Тунджи. Проекционные методы решения нормального случая сингулярных интегральных уравнений с сопряжением на вещественной оси /Одес.ун-т.- Одесса, 1994.- 17 е.- Деп. в ГНТБ Украины 24.11.94, № 2171 Ук 94.

6. Сааделдин Ал-Тунджи. Проекционные методы решения нормального случая сингулярных интегральных уравнений со сдвигом на вещественной осн /Одес.ун-т.- Одесса,. 1994.- 17 е.- Дел. в ГНТБ Украины 24.11.94, N° 2172 Ук 94.

7. Сааделдин Ал-Тунджи. Оптимизация проекционных методов решения нормального случая сингулярных интегральных уравнений на вещественной оси /Одес.ун-т.- Одесса, 1995.* 20 е.- Деп. в ГНТБ Украины 16.02.1995, № З86-Ук95.

Сааделдин Ал-Тунджи. Приближенное решение нормального случая сингулярных интегральных уравнений на вещественной оси. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Одесский государственный университет. Одесса. 1995.

Диссертация посвящена обоснованию проекционных методов (кол-локаций и Бубнова-Галеркнна) приближенного решения нормального случая сингулярных интегральных уравнений и их систем с ядром Копт на вещественной оси в различных функциональных пространствах. Получены достаточные условия осуществимости этих методов, определены оценки скорости сходимости приближенных решении к точным, установлена устойчивость рассматриваемых методов относительно малых возмущений входных данных, а также определена их оптимальность по порядку среди всех проекционных методов решения сингулярных интегральных уравнений на вещественной осп.

Saadeldin Al-Tounji. The approximate solution in the normal case of singular integral equations on the real axis. Manuscript. The dissertation is to achieve the degree of Doctor of Phylosophy in Mathematics on the speciality 01,01.02 - Differential equations,.The Odessa I.I.Mechnicov State University. Odessa. 1995.

The dissertation is devoted to the foundation of projection methods ( ollocations and Bubnova - Galerkina) of the approximate solution in the normal case of singular integral , equations and their systems with Cauch's core on the real axis in different types of functional spaces. Sufficient conditions of realizability of these methods arc obtained, estimation of the degree of convergence of approximate solutions to the exact ones are defined, stability of the given methods with respect to small disturbances of input data is established and their optimality according to order anion" all the

projection methods of solutions of singular integral equations on the real ex is is also defined.

Ключое! слова: проекцШний метод, сингулярне иггегральне pie-няння, дШсна вкь, оцшка швидкосп зб!жност1.

Шдписано до друку 25.04.95. Формат 60хВ4/!б. Папгр письмовий. Друк офсетний. 0,99 ум.друк.арк. 1,С6 обл.-вид.арк. Тираж 100 прим. Заыовлення Г iU

Одеський державний пол1техЫчний унгверситег 270044, Одеса, пр. Шевченка, I