Оптимальные алгоритмы для вычисления значений линейных функционалов и их применение к задаче аналитического продолжения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Сеттаров Джафер Аблякимович

V--------

УДК 517.988:519.65

ОПТИМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К ЗАДАЧЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ

01.01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск — 1996

Работа выполнена в Вычислительном центре СО РАН (г. Красноярск).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор A.M. Федотов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор М.В. Носков; кандидат физико-математических наук, с.н.с. A.JI. Карчевский

Ведущая организация: Вычислительный центр СО РАН

(г. Новосибирск)

Защита состоится & м'_ 1996 г. в /Г . часов на за-

седании Специализированного совета К 064.61.01 по присуждению ученой степени кандидата наук при Красноярском государственном университете по адресу: 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.

Автореферат разослан " / " а* р ¡г/> сЛ 1996 г.

Ученый секретарь Специализированного совета кандидат физпко-математических наук Е.К. Лейнартас

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Большой класс задач, имеющих практическое приложение, сводится к восстановлению значений (экстраполяции или интерполяции) функций класса Винера по экспериментальным данным. Данные, полученные с помощью приборов, содержат погрешность, зависящую от точности измерений. К тому же таких данных часто не хватает для точного восстановления функции. Из эксперимента мы имеем только конечный набор значений функции, что согласно теореме о единственности задания аналитической функции недостаточно для ее однозначного определения. Данная задача относится к некорректно поставленным задачам. К рассматриваемому классу задач относится хорошо известная задача увеличения разрешимости показаний приборов при спектроскопических измерениях, которая сводится к вычислению значений линейных функционалов (значение функции в точке, среднее значение функции на отрезке) от функций класса Винера в правой полуплоскости по конечному набору измеренных значений (функционалов): определенпе значения спектра в заданной точке, определение среднего значения спектра на интервале.

Актуальность темы связана с тем, что разработка методов эффективного решения некорректно поставленных задач с ошибками в исходных данных помимо теоретического значения имеет большой практический интерес, так как позволяет решать с гарантированной оценкой точности большой круг прикладных задач, возникающих при обработке и интерпретации показаний фпзпческпх приборов, восстановлении изображений, томографии, диагностике плазмы, магнитной п гравитационной разведке и другие.

Цель диссертации состоит в следующем:

— построить приближенное решение для задачи оценки значения линейного непрерывного функционала по конечному набору значений других функционалов, заданных с ошибкой;

— получить условия сходимости приближенного решения;

— дать оценку погрешности приближенного решения.

Методика исследования. В основу исследования положены: методы функционального анализа, методы теории некорректных задач и функций комплексного переменного. Качество построенных алгоритмов подтверждено вычислительным экспериментом.

Научная новизна результатов состоит в следующем:

1. Показано, что основная вычислительная трудность при построении

приближенного решения связала с обращением плохо обусловленных матриц.

2. Предлагается подход для уменьшения алгебраической размерности задачи и, следовательно, ошибок округления, за счет решения двойственной задачи.

3. Получены оценки устойчивости приближенного решения как исходной задачи, так п двойственной.

4. Получена формула для контроля вычислительных погрешностей при построении приближенного решения двойственной задачи.

5. Для экстраполяции функций класса Винера получена формула, являющаяся обобщением формулы Котельшпсова для конечного числа равномерных отсчетов с ошибкой, выбранных на отрезке, а также для неравномерных отсчетов с ошибкой.

Практическая и теоретическая ценность. Полученные результаты могут.быть использованы для анализа задач оценки значения линейного непрерывного функционала по конечному набору значений других функционалов, заданных с ошибкой. Построенные алгоритмы могут быть применены для решения задач продолжения стационарных и квазистационарных полей и широкого круга задач обработки и интерпретации экспериментальных данных для построения решений с гарантированной оценкой точности.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на:

— Международной конференции по некорректным задачам (Москва, 1991);

— Всесоюзной конференции по условно-корректным задачам математической физшш п анализа (Новосибирск, 1992);

— семинаре-совещании по кубатурным формулам и их приложениям (Красноярск, 1993);

— Международном симпозиуме по вычислительной томографии (Новосибирск, 1993).

Работа докладывалась на научных семинарах Вычислительного центра СО РАН в г. Красноярске.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав н списка литературы из 73 наименований. Работа содержит 12 рисунков. Объем работы 86 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит краткий обзор работ по теме исследования и основные результаты диссертации.

Первая глава состоит из четырех параграфов и посвящена общей постановке задачи, как задачи решения операторного уравнения первого рода в гильбертовом пространстве с ошибками в исходных данных. Дается понятие гильбертового пространства с воспроизводящим ядром. Определяются классы Впнера УУ„ и Хардп "Н^ в правой полуплоскости. Получены формулы для воспроизводящих ядр пространства Впнера УУа и Хардп И 2 в правой полуплоскости, которые используются, соответственно, при восстановлении значений функций из этих пространств.

Пусть — некоторое гильбертово пространство аналитических фун-

кций, заданных в области Б комплексной плоскости С. Для любой функции /(г) € УУ(£>) функционал

?*(/) = /(*), *ех>,

сопоставляющий функции / ее значение в точке г, является линейным непрерывным функционалом, т. е. У^(О) — гильбертово пространство с воспроизводящим ядром. Пусть далее 17 — некоторое подмножество Б и на множестве II заданы значения функции /(л). Требуется определить значение функции /(г) в точке ¿о 6 В (пли на некотором множестве точек), не принадлежащей множеству II. Сформулируем задачу аналитического продолжения как задачу решения операторного уравнения первого рода.

Обозначим через А оператор, который сопоставляет функции / £ УУ(£>) его ограничение на множество и

А:ЩП)^У(и), (1)

где У (II) — гильбертово пространство комплекснозначных функций. Если множество II континуально, то У (и) = Ьч(11), если II счетно, то У(И) = /2(?7), или, если II конечное множество, то У{II) = Сл', где N — мощность множества II. В частности, для пространства Ич в правой полуплоскости, оператор (1) задается интегральной формулой тина Коши

т 1 /Ж4

к ' 2тт ' 2 — г<

Задачу аналитического продолжения можно рассматривать как задачу решения линейного операторного уравнения первого рода

Л/ = 2Л !/(«) = /(«), пеи. (2)

Исходные данные (значения функции / на множестве II) для всех практических задач получены в результате измерений и поэтому заданы с некоторой ошибкой

у(г) = у{2) + 08{г), геи, (3)

где а — параметр определяющий мощность шума, з(г) — реализация случайной величины со значениями в пространстве У (и).

Метрика в пространстве У(II) определяется моделью ошибки в задании исходных данных. Рассмотрим две модели ошибок в задании исходных данных: детерминированную и случайную.

При рассмотрении детерминированной модели будем считать, что ошибки, возникающие при задании исходных данных содержатся в единичном шаре, то есть

1Н*)1Ыю<1 11ЛИ \\у-уЬт^а- (4)

Случайная модель требует задания дополнительной априорной информации о характере ошибок. Для простоты будем полагать, что случайная величина £(задана с нулевым средним

М£ = 0 (5)

и с известным корреляционным оператором Я: У (II) —* У (и)

[11д,К\у{и) = Щэ^умЫЫи) Чд,НеУ(Ц). (6)

Без ограничения общности оператор Я можно считать единичным.

Данная задача принадлежит к классу некорректно поставленных задач, поэтому для ее устойчивого решения необходима априорная информация. Будем считать, что продолжаемая функция принадлежит ограниченному множеству

Ж = и:У\\що}<р}, (7)

которое будем называть множеством корректности.

Вторая глава состоит из трех параграфов и посвящена изложению подходов и построению оптимальных то порядку линейных решающих процедур для решения исходной задачи. Изложен обзор используемых работ и

б

состояние близких работ в этой области. Также приводятся отличительные стороны исходной задачи среди других аналогичных задач. Предлагается подход для построения оптимальной по порядку линейной решающей процедуры на основе решения двойственной задачи.

Значение функции в точке является в пространстве W(D) линейным непрерывным функционалом, тем самым задача аналитического продолжения в точку сведена к задаче оценки значения линейного непрерывного функционала

?о(/) = Зг„(/) = 1Ы на решении операторного уравнения (2) с оператором (1) по информации (3), (4) и (7) (для детерминированной модели ошибок), или по информации (3), (5) - (7) (для случайной модели ошибок). Произвольное линейное непрерывное отображение (функцпопал)

L : У(Ц) —у С, Le У*{и),

будем называть линейной решающей процедурой задачи оценки значения линейного функционала q.

Качество произвольной линейной решающей процедуры L будем характеризовать функционалом погрешности

E(q, L, a, W) = sup sup |q(f) - L{AJ + <ts)|, /6W||S||<1

для детерминированной модели ошибки и

E(q,L,a,W) = sup Iq(f) - L(Af + aO\2Y/2, few

для случайной модели ошибки, где М^ — математическое ожидание по распределению случайной величины Величину

Ql(q,a,W)=míE(q,L,a,W),

L

будем называть минимально возможной погрешностью.

Линейную решающую процедуру La будем называть оптимальной решающей процедурой, если имеет место равенство

E{q,L0,a,W)=mtE(q,L,o,W).

Ij

Линейную решающую процедуру L00 будем называть оптимальной по порядку с константой С, если

E{q,L00,a,W) < CiníE{q,L,o,W). h

Оптимальные линейные решающие процедуры относительно функционала погрешности E(q,L,o,W) называются минимаксными.

Величину &o(q, И7), минимально возможную погрешность при <7 = 0, будем называть неустранимой погрешностью.

Функционал погрешности E(q,L,a,W) линейной решающей процедуры L для детерминированной модели ошибок в задании исходных данных, допускает следующее разложение

E(q>L,c,W) = sup |g(/) - L(Af)\ + c\\L\\, few

и для случайной модели ошибок в задании исходных данных, разложение

E(q, L, <т, W) — { sup \q(f) - L(Af) |2 + <t2||L||2}1/2.

few

Положим

*(q,f,L,a) = \q(f)-HAf)\ + o\\L\\

и

<f>l(q,f,L,a) = \q(f)-L(Af)\2 + *2\\Lf.

Обозначим через L0 оптимальную относительно функционала погрешности Е = E(q, L, а, И7) линейную решающую процедуру

L0 = argiiif E(q,L,a,W) = arginf sup $(q, f, L, a),

l L feW

а через L\ линейную решающую процедуру оптимальную относительно функционала погрешности Е\ = Ei(q, L, <т, W)

¿1 = arg inf Е\(q, L, а, W) = arginf sup Ф1 (q,f,L,a). (8)

L L jeW

Теорема 1. Оптимальная относительно функционала погрешности Еу линейная решающая процедура L\ является оптимальной по порядку с константой \/2 относительно функционала погрешности Е, то есть выполняется неравенство

E(q,Luo,W) < V2E{q,Lota,W).

Для случайной модели ошибок в задании исходных данных A.M. Федотовым доказано, что оптимальная линейная решающая процедура L\ является оптимальной по порядку с константой у/2.

Таким образом, независимо от модели ошибок в задании исходных данных, для построения оптимальной по порядку с константой \/2 линейной решающей процедуры, мы имеем одну и ту же экстремальную задачу (8).

Пусть множество 17 — конечное (17 = {г,}^), тогда У* (17) = (С^)*. УУ(-О) = Г — векторное пространство над полем комплексных чисел. А : Г —> CN оператор, ставящий в соответствие элементу / е Г значения линейных непрерывных функционалов с Р*. Исходными данными об элементе / £ Г, является некоторый конечный набор линейных функционалов

?,■(/) = ШЪ = /Ы = [/(О, Щ, *)]<, Се О, г = 1,..., ТУ,

где функция Кг(() = К(£,г) — воспроизводящее ядро пространства Г. Требуется оценить значение линейного функционала

?о(/) = /(*о)^[/(С),К(С,*о)]с, С е А зобЛ

на элементе / Е Г, где ¿о £ (7 С Р.

Введем в рассмотрение следующую функцию:

12 1л7Л|2

2Г п_ Ы/)Р , ЫЯ1

а+НЛ/Н^-а + Е^ЫЛр-

(9)

Теорема 2. Дяя каждого / £ И7

Теорема 3. Пусть существует

/о = а^тах-На2,/) : / € IV}, (10)

тогда оптимальная линейная решающая процедура для задачи оценки линейного функционала по значениям конечного набора линейных функционалов имеет вид

Ьор1(у) = Ьг(у) = Л^и мг £ Яп(1о)Уп-

о1 + Е„=1 |?п(/о)| п=1

Теорема 4. Пусть У(17) — конечномерное пространство, тогда существует элемент /о, такой что

/о = а^тах{а>(а2,/) : / € И7}.

Теорема 5. Пусть IV — абсолютно выпуклое подмножество F, тогда любой локальный максимум функции ш(а2,/) на IV является глобальным на У/.

Третья глава состоит из двух параграфов и посвящена вопросу вычислительной устойчивости оптимальных алгоритмов.

В случае когда \У есть шар радиуса р в пространстве Е, задача построения оптимальной по порядку линейной решающей процедуры сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений

Ьор1 = Ьао = (<? + а0 Е)~ХЪ, (11)

где С? —■ матрица с компонентами дц = г3-) = [К(•, г}-), /{(-, г,)], г,= 1,2,..., ао = ст2/р2, Е — единичная матрица, Ь — вектор с компонентами Ь,- = К(ъ, го) = [7Г(-, 20),К{; 2;)], г = 1)2,..., N.

Минимально возможная и неустранимая погрешности оптимальной линейной решающей процедуры (11) равны

1 /2

П^а^У) = {р2!!^!!2 + Л^оРиЬмнк]) , (12)

До(9о,ИО = рЦд^дгИ = />{|М|2 - {ЬмнкЛ}"2, (13)

где (]ом — проекция вектора (]о на подпространство, натянутое на векторы {5,}^,; 5одг — ортогональное дополнение к д0лг; ¿л/ я к = С~1Ь — оптимальная решающая процедура для задачи, в которой отсутствуют ошибхш в задании исходных данных.

Из (12) и (13) вытекает, что для погрешности оптимальной линейной решающей процедуры справедливо неравенство

Ло(до, Ж) < Щдо, а, Ш) = {д^о, Ж) + а¡[Ь^Ьшчс]}™■ (14)

Отметим, что величину До (до, IV) можно вычислить другим способом, причем без накопления вычислительных погрешностей. Тогда соотношение (14) можно использовать для контроля вычислительных ошибок и определения длины мантиссы, с которой нужно проводить вычисления.

Проводится анализ вычислительной устойчивости как при наличии ошибок в исходных данных, так и при их отсутствии. Для вычисления неустранимой погрешности, когда нет формулы получепной аналитически, предлагается алгоритм. Теоретический анализ сопровождается вычислительными экспериментами, проведенными для классов Нч в правой полуплоскости и УУа. На примере класса *Нч в правой полуплоскости показывается, что для решения системы линейных алгебраических уравнений приходится обращать матрицу типа матрицы Коши, которая является плохо обусловленной. На примере класса показывается, что регуляризация не работает. Для экстраполяции функций класса УУа строится оптимальная линейная

ю

решающая процедура. Она является обобщением формулы Котельншсова как для равномерных отсчетов с ошибкой, выбранных на отрезке, так и для неравномерных отсчетов с ошибкой.

Если параметр р, определяющий множество корректности не известен или задан весьма приближенно, то для построения приближенных решений, используется подход, основанный на понятии регуляризующего семейства.

Однопараметрическое семейство линейных решающих процедур {Ьа}гт>о будем называть регуляризующим для задачи (2), (3), если

ИтЕ1(д,Ь(„о,\¥)=А0(д,\У) V / е И7, (15)

<т—>и

где До — неустранимая погрешность решения задачи. Рассмотрим класс линейных решающих процедур вида

Ьа = (в + аЕ)^Ь, а > 0. (16)

Отметим, что оптимальная линейная решающая процедура (11) принадлежит классу (16) при а = ао-

Ввиду того, что Ьа, а = а(<т) — С ■ а2 {С константа), удовлетворяет равенству (15) при а —» 0, этот класс можно использовать для построения регуляризующего семейства.

Теорема 6. Семейство линейных решающих процедур вида (16) является регуляризующим для задачи (2), (3), при а —> 0.

Параметр а может быть выбран априорно при выполнении условия а > С а2, либо из статистического аналога принципа невязкп, из уравнения

~ £ ({Ш) - />.-)}2)1/2 = О2, С 6 [1,2]. (17)

Возникает вопрос: на сколько линейная решающая процедура Ьп = (С + аЕ)~Ч:> отличается от оптимальной линейной решающей процедуры Ьао = _£,орг = (С + аоЕ)~1Ь, при выполнении условия а > Со2 и априорном выборе а, либо из уравнения (17). За отклонение линейной решающей процедуры Ьа от оптимальной Ьаа можно принять величину

Е^я, Ьа,а, Ш) - Е^, Ьао, а, \¥) = Е^д, Ьп, а, \У) - ПЦд, <т,

т. е. число, на которое погрешность линейной решающей процедуры Ьа отличается от линейной минимально возможной погрешности.

Рис. 1.

Теорема 7. Пусть а (о) = ао(1 + £) « ао -> 0 при <т —+ 0. Тогда справедливы утверждения:

1) -Б?(<7о, Ьа, а, ЦТ) - = <г2а0е2[<£2*.<£04

где = С + а(а)Е;

2) Д,2(?о,£«,<г,ИО - < ^-\\Ьа\\ ||£ав||.

Для нахождения Ьа (решения системы линейных уравнений) было использовано Ьи — разложение. Графики зависимости -£а(</о> Ьа, а, IV) (знак "о" — окружность) и теоретической погрешности (сплошная линия) от а2 при ./V = 60 приведен на рис. 1, а от числа измерений N при сг2 = 0.01 на рис. 2.

Численные эксперименты показали, что при выборе параметра а получаем более устойчивое решение, но теоретическая точность не достигается. Неудовлетворительность результатов численного эксперимента, относительно полученных оценок, объясняется тем, что увеличение точности вычисления ведет к увеличению числа измерений N. С увеличением размерности N при фиксированном а возникают вычислительные трудности, связанные с ошибками округления при обращении плохо обусловленной матрицы <3а большой алгебраической размерности.

Рис. 2.

Для уменьшения алгебраической размерности задачи предлагается строить оптимальную линейную решающую процедуру на основе решения двойственной задачи. Доказывается устойчивость относительно решения двойственной задачи. Обозначим

ма-ци.дм-^ ^^ця».

Рассмотрим линейный оператор Г/, действующий из У(Щ в У(11) и сопоставляющий каждому у € У (и) элемент [А/,у] А/, где / € IV. Введем норму

\\Щ={(.Ъ + а*Е)Ц,

которая является нормой, только в случае а > 0, то есть когда оператор Т/ + сг2Е положительно определенный.

Теорема 8. Пусть Ь/ произвольная линейная решающая процедура. Тогда справедливы утверждения:

1) ^(до, £/, <х, ]У) - П?(90> а, IV) < ПКяо, а, Ш) - а2и2(а2, /); (18)

2) Е\(Ч, Ь}, а, IV) - «г, IV) = -

Решение экстремальной задачи (10) достигается на конечномерном подпространстве -Глг-ц. Вычислительные погрешности Ь¡й (у) возникают при вычислении сумм и входящих в них функционалов. Контролировать вычислительные погрешности можно, выбирая "наиболее информативный" подбазис в в котором функция (9) максимизируется с требуемой точностью, либо приближенно решая экстремальную задачу (10), например, методом переменных направлений, что по сути, эквивалентно. В качестве меры контроля может служить точность вычисления разности (18).

Отметим, что как показали вычислительные эксперименты, для задачи аналитического продолжения функций класса Винера, число эффективных направлений (мощность минимального "наиболее информативного" подбазиса, достаточного для исчерпания мантиссы) колеблется в пределах 14 - 20 при числе измерений 20 - 1000.

Вычисления с двойной точностью не дают существенного увеличения числа эффективных направлений, их число колеблется в пределах 16 - 22.

Не смотря на свою относительную трудоемкость, по сравнению с алгоритмами, основанными на решении систем линейных уравнений, предлагаемый алгоритм работает согласуясь с теоретическими оценками точности, что является главным достоинством алгоритма. Хотя значения теоретических оценок точности алгоритма построения оптимальной решающей процедуры по экстремальному элементу несколько хуже, чем соответствующее значения оценок точных или регуляризующих алгоритмов, реальная точность алгоритма (она совпадает с теоретической оценкой) существенно лучше (см. рис. 1 и рис. 2, штриховая линия).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. В диссертации задача аналитического продолжения сформулирована как задача решения операторного уравнения первого рода в гильбертовом пространстве.

2. Построен оптимальный линейный алгоритм для задачи оценки значения линейного непрерывного функционала по конечному набору значений других функционалов, заданных с ошибкой.

3. Для построения оптимального линейного алгоритма предложены 2 способа: решением основной задачи; решением двойственной к основной задачи.

4. Проведен анализ вычислительных трудностей при построении оптимального линейного алгоритма для решения как основной задачи, так и двойственной.

5. Получены оценки погрешности (устойчивости) оптимального линейного алгоритма для решения как основной задачи, так и двойственной.

6. Предложен способ для контроля вычислительных ошибок н определения длины мантиссы, с которой нужно проводить вычисления.

7. Показана возможность применения построенного алгоритма для аналитического продолжения функций, на примерах пространства Впнера Wa и пространства Харди Hi в правой полуплоскости.

8. Получена формула для экстраполяции функций класса Випера, являющаяся обобщеппем формулы Котельнпкова для конечного числа равномерных отсчетов с ошибкой, выбранных на отрезке, а также для неравномерных отсчетов с ошибкой.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (934)12-632) и Красноярского краевого фонда науки (3G131, 4G28, 5G79).

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Сеттаров Дж.А., Федотов A.M. Интерполяция и экстраполяция целых функций и функций из пространств с воспроизводящим ядром // Всесоюзная конференция по условно-корректным задачам математической физики и анализа; Новосибирск, 1-5 июля 1992 г.: Тез. докл. — Новосибирск: НГУ, 1992. — С. 34-35.

2. Сеттаров Дж.А., Федотов A.M. Экстраполяция функций с финитным спектром // Математические модели и алгоритмы в задачах обработки данных. — Красноярск: КГУ, 1993. — С. 4-11.

3. Сеттаров Дж.А., Федотов A.M. Вычисление значений функций из пространств с воспроизводящим ядром // Кубатурные формулы и их приложения; Красноярск, 5-10 апреля 1993 г.: Тез. семинара-совещания.

— Красноярск: КрПИ, 1993. — С. 40-41.

4. Сеттаров Дж.А. Численные алгоритмы для аналитического продолжения функций из пространств с воспроизводящим ядром // Математическое обеспечение и архитектура ЭВМ; Красноярск, 22-25 марта 1994 г.: Матер, научн. конф. "Проблемы техники и технологий XXI века".

— Красноярск, КГТУ, 1994. — С. 168-170.

5. Сеттаров Дж.А. Вычисление значений функций из пространства Винера // Кубатурные формулы и их приложения. — Красноярск: КГТУ,

1994. — С. 131-140.

6. Сеттаров Дж.А. Оптимальные алгоритмы для аналитического продолжения функций из ГПВЯ // Математическое обеспечение п архитектура ЭВМ. — Красноярск: КГТУ, 1995. — С. 267-271.

7. Fedotov A.M., Settarov J.A., Zayniddinov Sh. The numerical algorithms for the analytic continuation // Ill-posed problems / The International Conference; Moskow, August 19-25, 1991. — Abstracts, P. 144.

8. Settarov J.A. Optimal algorithms in reconstruction tomography // International Symposium on Computerized Tomography; Novosibirsk, Russia, August 10-14, 1993. — Abstracts, P. 109.

9. Fedotov A.M., Settarov J.A. Optimal algorithms in Hilbert space for the continuation of entire functions // Scientific Siberian / Numerical and Data Analysis Ser. A. — Tassin, France: AMSE Transaction, 1994. — V. 11. — P. 70-75.