Оценка функционалов погрешности кубатурных формул в функциональных пространствах Соболева тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

с/. О ^

На правах рукописи

Корытов Игорь Витальевич

ОЦЕНКА ФУНКЦИОНАЛОВ ПОГРЕШНОСТИ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА

01.01.07 Вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск 1996

Работа выполнена в Восточно-Сибирском государственном технологическом университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор И.Б.Шойнжуров

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор М.В.Носков кандидат физико-математических наук, доцент В.Л.Васкевич

Ведущая организация: Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра УрО РАН

Защита состоится " ^ " 1996 г.

в часов && мин. на заседании диссертационного совета К 064.61.01 при Красноярском государственном университете по адресу:

660062, Красноярск, 62, просп. Свободный, 79. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.

Автореферат разослан " * ^иьсЯ._1999 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физ.-мат. наук, доцент

t. Общая характеристика диссертационной работы

Актуальность темы. В настоящее время благодаря интенсивному развитию вычислительной техники реальной является возможность численного решения многомерных задач. Сложность многомерного численного интегрирования заключается в бесконечном многообразии областей интегрирования и быстром увеличении числа узлов с увеличением размерности пространства. При больших численных расчетах становится актуальной проблема оптимизации формул численного интегрирования, которая на современном уровне понимается как проблема нахождения минимума норм функционалов погрешности кубатурных формул в различных функциональных пространствах.

В терминах функционального анализа задача минимизации погрешности формулируется как задача о приближении заданного функционала

(хп,<р) = J Xn(*)<p(*)dx

с помощью линейного агрегата обобщенных функций

ß ..

Погрешность при том будет иметь вид

р(х) = ха(х) - Y, - х(0))'

Диссертационная работа посвящена изучению норм функционалов погрешности в пространствах Соболева и построению асимптотически оптимальных формул численного интегрирования.

Цель работы. Нахождение явного вида периодического функционала погрешности кубатурной формулы в пространстве Соболева wjT\A) периодических функций, позволяющего

минимизировать главный член нормы. Ногтроение расчетных формул с регулярным пограничным слоем, п том числе повышенной точности,и компьютерная реализация н виде математической основы пакета прикладных программ для приближенного вычисления интегралов но построенным формулам.

Общал методика исследований. Ллл решения вариационной задачи в пространстве Соболева применявлея метод множителей Лагранжа, а также методы функционального анализа (следствие теоремы Хана — Банаха, свойства рефлексивности И равномерной выпуклости пространства и др.). Лля получения явного вида периодического функционала погрешности используется разложимость в ряды Фурье основных и обобщенных периодических функций. Лля получения нижней оценкй нормы функционала погрешности применяется усреднение по Соболеву.

Состояние вопроса. В 50—70-е гг. различные постановки экстремальной задачи для функций одной переменной рассматривали С.М.Никольский, В.И.Крылов, Н.С.Бахвалов, И.М.Со-боль, Н.П.Корнейчук и другие. Ими были получены оптимальные квадратурные формулы в пространстве Ь) и родственных к ним пространствах при небольших значениях т. В отих работах варьируется одновременно узлы и коэффициенты квадратурных формул.

Н.М. Коробов предложил теоретико-числовой метод интегрирования функций многих переменных для классов НЦ(Ь), состоящих из непрерывных функций <р(х) с единичным периодом по каждой переменной и с непрерывными частными производными. Здесь экстремальная задача в Н"{Ь) решалась с помощью варьирования узлов интегрирования и было показано, что, в частности, параллелешшедальные сетки обеспечивают наилучший порядок сходимости.

П.С.Вахналон дал оценки снизу числа необходимых деЙ-

. к , , .

сгний н широких классах //(Л) = f) //».¡,а,'"а\ Эти оценки по

1-1

порядку сходимости совпадают с оценками сверху, данными U.M. Коробовым для ll°(L). Н.С.Нахналоным также указаны способы построения кубатурных формул, Для которых Порядки сходимости отличаются от нижней опенки порядка сходимости не бол«:, чем па N~m(\n N)"~l.

И.М.Соболь исследовал классы Sp, содержащие функции с быстро сходящимися рядами Фурье — Хаара и построил сетки, реализующие наилучший порядок сходимости кубатурных формул n Sp.

И.П.Мысонских, Н.И.Лебедев изучали формулы высокой точности на алгебраических и тригонометрических многочленах с малым числом узлов. В этих работах также одновременно варьируются учлы и коэффициенты кубатурных формул.

И.М.Соболь, С.М.Ермаков, Г.А.Михайлов, Н.С.Бахвалов использовали для построения кубатурных формул вероятностные методы, в частности М"тод Монте-Карло. Здесь узлы определялись на основе регулярного выбора случайных точек.

С.Л.Соболев н работах 60—70 гг. предложил теоретико-функциональный метод оценки функционала погрешности кубатурных формул и рассмотрел задачу минимизации нормы функционала погрешности кубатурной формулы с фиксированными узлами (минимум по коэффициентам) в пространстве функционалов над L^ с нормой, определяемой через квадраты производных.

В случае пространства L^ вычисление нормы функционала сводится к одной задаче для иолигармонического уравнения. Исследование этой нормы тем самым, становится задачей из теории уравнений в частных производных.

С.Л.Соболевым введено также понятие асимптотической оп-

тимальности кубатурных формул и дано определение формул специального вида— с регулярным пограничным слоем.

Ц.В.Шойнжуров и В.И.Полопинкин обобщили теорию кубатурных формул Соболева на пространства и £^(0).

Возможность распространения теоремы Соболева на различные гильбертовы пространства показала правильность идеи построения теории интегрирования на основе понятия асимптотической оптимальности но сравнению с оптимальностью. Тем более интересным стало распространение теории на негильбертовы пространства.

Существенное оглнчие гильбертова случая заключается в том, что он приводит к минимизации квадратичного функционала с линейным уравнением Эйлера — неоднородным полигармоническим уравнением. В случае же пространства типа с р 2 соответствующее уравнение Эйлера получалось нелинейным.

И.Б.Шойшкуров редуцировал задачу с нелинейным уравнением Эйлера для И^"1' к квазилинейной, благодаря чему уда-лрсь выписать экстремальную функцию периодического функционала погрешности.

О.В.Весов рассматривал последовательности норм функционалов погрешности, а также некоторые более общие функционалы с помощью межъячеечных усреднений дифференцируемых функций многих переменных, старшие производные которых принадлежат симметричному пространству.

В.И.Половинкии рассматривал последовательности функционалов с пограничным слоем в при 1 < р < оо. В частности, им доказано, что при нечетном т кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимальны

В 4т)(")- ■

Ц.В.Шойнжуров и М.Д.Рамазанов, рассматривая простран-

стна И'я(т) и Н* с нормами, зависящими от младших производных, где'требование ортогональности к многочленам степени ниже п» не является обязательным н отличие от фактор-пространства ¡,р построили асимптотически оптимальные при любом т кубатурнме формулы с регулярным пограничным слоем, но отличные от формул Соболева.

М.И.Носков установил условия разложимости ирмитовых кубатурных формул в .лекартопы произведения формул меньшей размерности и доказал теорему, позволяющую определить точность сомножителей, исходя из точности самого Декартова произведения.

Первые работы по программированию формул Соболева выполнила Л.В.Войтишек. Были составлены программы вычисления (-функции Эпштейна и весов формул Соболева для некоторых . многогранников. Формулы с регулярным пограничным слоем для произвольных плоских областей с гладкими границами запрограммировал Н И.Блинов. По асимптотически оптимальным решетч-тым формулам несколько программ вычисления интегралов составил И.Умарханов. В частности, гч1 составлена программа для интегрирования по п-мерныМ областям с гладкими границами для п = 2,3,4. В одномерном случае З.Ж.Жамалову удалось вычислить веса оптимальных формул для т < 3.

Последующие исследования представителей школы С.Л.Соболева развивались как в направлении проникновения теории интегрирования вглубь пространств типа п'р^ и род-

ственных им, так и п направлении поиска универсальной асимптотической оптимальности кубатурных формул относительно выбора пространств интегрируемых функций.

Ц.Б.Шойнжуоов обобщил центральные результаты С.Л.Соболева на пространства

включая предельные случаи р-

1 и )) = оо, пространства с весом а также неизотропные

пространства 1УЯ( Л). Кроме того, П.Б.Шойнжуровым исследованы весовые кубагурные формулы и формулы с узлами в криволинейной решетке.

В.И.Половинкнн установил способ реализации линейных функционалов и 11) через однородные дифференциальные формы, аналогичные представлениям функционалов на 1У4т(П).

М.В.Посковым найдена стратегия быстрого получения серий кубатурных формул, обладающих тригонометрическим ¿-свой-ством.

ВЛ.Васкевич исследовал кубатурные формулы в гармонических пространствах Бергмана ¿»(О). Элементами Ц(П) являются функции класса И^П), гармонические в ограниченной области (I € Еп. Узлы таких формул расположены в П произроль-ным образом. Повышенная точность на элементах Ь?(П) достигается подбором коэффициентов приближающей интеграл линейной комбинации, составленной из значений в узлах подынтегральной функции и всех ее производных.

Недавно полученные результаты Ц.В.Шойнжурова относятся к исследованиям квазилинейных уравнений гп-го порядка эллиптического типа в дивергентной форме.

М.Л.Рамазаноа, сняв с соболевских формул требование точности на многочленах, расширил класс применяемых формул и назвал составляющие его кубатуры формулами с ограниченным пограничным слоем — ОПС формулами. Это позволило создать на множестве ОПС формуя более полную теорию, содержащую решение ряда проблем.

Результаты исследований. Основными результатами диссертации являются:

- получение явного выражения периодического функционала погрешности в пространстве Соболева периодических функций

с единичной матрицей периодов и единичным «-мерным кубом в качестве фундаментальной области;

- выделение главного члена нормы периодического функционала погрешности при переходе от единичного периода по всем неременным к периоду к\

»

- минимизации главного члена нормы по параметру, включенному н явное выражение периодического функционала благодаря свойствам Производных Периодических функций;

- получение оценки сверху для функционала с регулярным пограничным слоем при конкретной Нормировке пространства Соболева с применением ныражгнИл главного члена нормы периодического функционала погрешности;

- получение оценки снизу для произвольного функционала погрешности кубатурных формул с использованием явного выражения нормы периодического функционала погрешности;

- построение формул повышенной точности при любой гладкости т пространства интегрируемых функций как развитие идеи о взаимном погашении погрешности на частичных отрезках Ц.Б.ШоЙнжурова, Построившего такие формулы для малых значений т;

- вычисление коэффициентов квадратурных формул с регулярным погран^ ым слоем при т = 2,3,..., 10 и использование их в кубатурных суммах кратности п = 2,3;

- построение алгоритма управления выбором узлов пограничного слоя с целью достижения положительности значений коэффициентов РПС формул.

Научная новизна. Указанные результаты получены лично автором диссертации, являются новыми и опубликованы впервые.

Практическая и теоретическая ценность. Задача о вычислении коэффициентов асимптотически оптимальных квадратур-

ных формул доведена до численных результатов. Полученный алгоритм позволяет вычислять коэффициенты пограничного слоя при любой степени m приближающего многочлена.

Построены кубагурные формулы дли вычисления интегралов кратности < 3. Однако коэффициенты могут применяться в формулах более высокой кратности, участвуя и формировании весов многомерных формул а качестве сомножителей.

формулы численного интегрирования с регулярным пограничным слоем могут применяться в решении различных научных и технических задач, где требуется вычисление кратных интегралов.

Апробации работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на Ш семинаре-совещании "Кубатурные формулы и их приложения" (Красноярск,1995), на научных конференциях Восточно-Сибирского государственного технологического университета (Улан-Уда, 1992—1996), на объединенных физико-математических семинарах Бурятского филиала Новосибирского государственного университета и Бурятского научного центра, на семинарах по проблемам вычислительной математики Бурятского государстэснного университета, на семинарах кафодры высшей математики ВосточноСибирского государственного технологического университета (руководитель проф. Ц.Б.Шойнжуров).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах (1)—[6).

Структура Диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, списка литературы и приложений общим объемом 133 страницы, набранных на компьютере в системе включая библиографический список из 48 наименований, приложения таблиц ковффициентов й текстов прикладных программ на языдо BASIC.

2. Содержание работы

Введение содержит: а) алгебраическую и функционально-аналитическую постановки задачи численного интегрирования; б) определение асимптотически оптимального функционала погрешности и функционала погрешности, асимптотически оптимального по порядку сходимости; в) определение Соболева кубатурных формул с регулярным пограничным слоем; г) обзор различных направлений исследований в области численного интегрирования; д) обзор исследований шролы С.Л.Соболева; е) основные достижения диссертации; ж) краткое содержание диссертации.

Глава 1 посвящена изучению оценок погрешности в пространствах Соболева при тр> п и 1 < р < ос.

В § 1.1 вводится пространство Соболева \Урт\Ея) с нормой

/ £ ^^

1 < р < оо.

Приводится доказательство теоремы.

Теорема I. Пусть £{х) - фундаментальное решение оператора

в-0

1 < р < <х> и € * р е Ж™. Тогда в существует единственное решение уравнения

|а|<п> '

равное

' а!

М<т

оае*р

£

зignВ"€ * р,

И

Л норма линейного функционала в И;р'т' определяется формулой

ПРИ =

14 М<т

q!

ОТ »p dx

В § 1.2 вводится пространство Соболева Wp(m^(Д) периодических функций v? с единичной матрицей периодов Н - Е как замыкание множества S бесконечно дифференцируемых периодических функций fio норме

i

м щ-Чй) -f/E ^

|а|<и

Приводятся формулы разложения основных и обобщенных функций а ряды Фурье в комплексной форме.

В § 1.3 рассматривается Периодический функционал погрешности

и показывается, что в №рт'(Д) он имеет представление где Са г= 0 при |ог| < т К.Са фО при |о( =: т,

м)Е м5'*1 = - Е ^(ыт-ыег-|в|>»0

При нахождении явного вида функционала использовалась разложимость периодической функции в ряд Фурье, и непосредственно преобразовывалось выражение

(р, ¥,>=<1-¿(г), *>(*)>•

В § 1.4 на основании, с одной стороны, свойств пространства а именно его рефлексивности и равномерной выпуклости,

а с другой стороны, ни основании следствия из теоремы Хана — Банаха о продолжении линейного функционала на все пространство с сохранением нормы, показано, что экстремальная функция периодического функционала погрешности имеет вид

<Ро(*> ~ ¡ 2- М) Р- аН)

hj»o

. /V b"e-,,ÍT» - \

Л нормы акстремальной функции И периодического функционала погрешности в И^т'(Д) равны

д 1°!<™

№

№

и

При

-Í/E^E

La М<»

jy,e~UÍfit

~1W

' V'

dx

dx

12 м<» - д»«

В § 1.5 рассматривается периодический функционал погрешности с фундаментальным кубом Д&,.|Дд| = Л*

При Л -+ 0 выделяется главный член нормы

'©ГЕЙ

Л W-m

¿-J М.тгЯРт + "

№

\2Щ

и минимизируется по Са. Определены условия нахождения Са

|»|-го

|2яг/3|г"

Ет!

oí

Д loi»«

ЛЮ

M

2т

Приводится пример для р = 2 и нечетного т. В § 1.6 получена оценка сверху для функционала с регулярным пограничным слоем в ИДоказана

Теорема 2. Пусть П имеет кусочно-гладкуп граничу Г = Г(Ш, ргп > + ^ = 1 и ш - нечеткие число. Тогда при Л -» 0 дл»

всех функционалов I^

(#„) с регулярным пограничным слоем имеет место асимптотическое равенство

<Ьс1Нт(1+0(Н)).

В § 1.7 получена оценка снизу для произвольного функционала погрешности в Показана

Теорема 5. Пусть область (I имеет кусочно-гладкую границу Г = Г(П), А - малый параметр. Тогда для любого функцьонала погрешности кубатурных формул с узлами на вершинах кубов

1п(С,х) = хл(х)- 5>"СТ«(* - Иу) т

при Л -+ 0 имеет место следующая оценка снизу

Глава 2 посвящена построению расчетных квадратурных и кубатурных формул с регулярным пограничным слоем, готовых к практическому применению.

В § 2.1 излагаются основы построения составных квадратурных формул с регулярным пограничным слоем на база элементарных: формулы с правым расположением внешних узлов

} ' » "

I <р{х)6х ^ ]Г) Сп<р(7)

О 7-=0

И

= (шезП)^ у £

|о|-т

т! а!

Е

(-2*1/3 )°е~и,(!х

12*01

1т

и формулы с левым расположением внешних узлов i

I ip(x)dx ~ ]П Ст<р( 1 - 7)-

о 1=0

В § 2.2 приводятся различные способы нахождения коэффициентов квадратурных формул с регулярным пограничным

слоем.

Коэффициенты Су элементарных формул находятся следующими способами.

1. Из линейной системы

т \

= о^0-1.....

2. Интегрированием интерполяционной формулы Лагранжа

_ (-l)"-t Уш(х)

~ 7¡(m - 7)! / 7 = 0,1,....т,

а

где ы(х) = х(х -1)(х - 2)... (х - т).

Коэффициенты Dp составных формул в этих случаях находятся суммированием

0

^ = 0-0,1........

7=0

Коэффициенты Dp могут определяться также из следующих линейных систем:

= .....

= а = 0,1.....m - 1;

т-1

р=а

т-1

Щ-Р) --- —а = 0,1,...,т- 1.

о 4-1 15

В этих системах обозначены Л0+| числа Вернулли, а Д,+ !(.г) многочлены Бериулли.

Вычислительный эксперимент показал, что в квадратурных РПС формулах при т > 9 встречаются как положительные, так и отрицательные коэффициенты 1)ц. Л л я достижения положительности значений Ор применяется система

» 1

Суу" = -, а = 0,1 ■•■,»», т«<*.

а + 1

ч-о

В § 2.3 описывается компьютерная реализация способов 1 и 2 вычисления коэффициентов РПС формул.

Система 1 решается методом Гаусса.

Выражение 2 приводится к виду, удобному для программирования

С 11771-7 т лЬ)

су= г .....

у\(т - 7)! а 4- 1

о=0

где № вычисляются по рекуррентным формулам Ло,о =1,

^7-1,7 = -^7-2,7-1 ~ 7)

-А*,7 = Лк-1,1-1 - А*_1,7_)7, ¿ = 7-1,...,1

Ло,7 = -Ао|7-1, 7 = 0,1,..., т.

Приводится алгоритм управления изменением пограничного слоя с целью достижения положительности значений коэффициентов С,.

В § 2.4 излагается метод построения квадратурных формул повышенной точности.

Строятся формулы с двусторонним симметричным пограничным слоем

~т~1 т—1

Е(1 - +/(о)+]Г{1+эмт+

1 /

8=1 . 0=1 16

N — rn m -1 m-1

+■ y, ллм 5 f »fiww-m + я m + - D,)f{{N + p )h)

fimm 0-1

и с внутренним пограничным слоем

m-l

1

J I(*)d* =r \

D

N-1m

£(-4, + I - Dm-n)J((ih) + + Dp)f((m + P)h) +

.0-0 fimi

i=3m 0 = 1 /»»0

В § 2.5 приведены примеры построения формул повышенной точности при степени приближающего многочлена m = 2. Функция принадлежит классу С<3)(0,1). Примеры проиллюстрированы схематическими графиками, демонстрирующими идею метода.

В § 2.6 доказывается возможность выражения коэффициентов внешнего пограничного слоя через коэффициенты внутреннего. Таким образом, выводится формула с регулярным симметричным пограничным слоем.

В § 2.7 строятся расчетные формулы для вычисления двойных и тройных интегралов. Формулы получены из РПС формулы общего вида

f <p(x)dx ~ £ h'DMW)*

L

я t

где Dp = J] Dpt, если h(3 е Сх; Dp = ДО £>д, если Л/3 € С* Dp - 1, ¡••1

если hp € С3; С\ — узлы пограничного слоя при вершинах кубов, Съ — остальные узлы пограничного слоя, Сз — узлы, расположенные внутри куба. В явном виде выписаны множества Ci, » = 1,2,3, на основании чего составлены кубатурные суммы, коэффициенты которых получаются простым перемножением коэффициентов одномерных формул.

В приложении I сведены в таблицы коэффициенты квадратурных формул с регулярным пограничным слоем.

В 1.1 приведены коэффициенты, исправленные с помощью варьирования узлов.

В приложении II приводятся исходные тексты программ на языке BASIC.

В IL1 приведены управляющие модули. Их.основная функция — обращение к различным подпрограммам. Главную управляющую часть и модули управления вычислительным процессом можно изменять в зависимости от целей вычислительного эксперимента.

Отдельной группой стоят модули управления изменением пограничного слоя. Управление осуществляется в двух режимах — ручном и автоматическом. В первом случае исследователь вводит абсциссы исключаемых узлов с клавиатуры по запросу программы, а во втором происходит циклический перебор возможных вариантов в заданных пределах.

В II.2 приведены вычислительные модули. Здесь происходит автоматическое формирование вандермондовых матриц, решение систем методом Гаусса, вычисление интегралов по формулам с РПС и Симпсона, а также интегралов, взятых аналитически, задаются выражения подынтегральных функций.

В II.3 представлены модули, ответственные за вывод результатов независимо от устройства. Вид устройства — принтер, файл, вкран — задается в главной управляющей части.

В II.4 представлена программа, вычисляющая коэффициенты способом 2 (интегрирование многочлена Лагранжа).

3. Опубликованные работы по теме диссертации

¡1] Корытов И.В. Вычисление двойных интегралов по формуле с регулярным пограничным слоем // Межвузовский сборник научных трудов по прикладной математике. — Улан-Удэ: BHII СО РАН, 1994. — С. 57—60.

[2] Корытов И.В. Оценки погрешности квадратурных формул с регулярным пограничным слоем для класса функций

// Межвузовский сборник научных трудов по прикладной математике. — Улан-Удэ: BHII СО РАН, 1994. — С. 156—158.

[3] Корытов И.В. Построение формул с регулярным Пограничным слоем // Сборник научных статей. Серия: Физико-математические науки. Вып.1.— Улан-Удэ: Вост.-Сиб. го-суд. технол. ун-т, 1994. — С. 150—152.

[4] Корытов И.В. Эффективный способ вычисления коэффициентов квадратурных формул с регулярным пограничным слоем // Сборник научных статей. Серия: Физико-математические науки. Вып.1..— Улан-Удэ: Вост.-Сиб. го-суд. технол. ун-т, 1994. — С. 147—150.

[5] Шойнжуров Ц.Б., Корытов И.В. Вариационная задача для линейного функционала в пространстве Соболева // Тезисы докладов XXXI научной конференции ВСТИ. — Улан-Удэ, 1992. — С. 5.

[6] Шойнжуров Ц.В., Корытов И.В. Квадратурные формулы Соболева с регулярным пограничным слоем / Вост.-Сиб. технол. ин-т. — Улан-Удэ, 1994. — 21 с. — Ден. в ВИНИТИ 27.06.94, №1594-ВЭ4, деп.