Наилучшие квадратурные и кубатурные формулы для некоторых классов функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ



На правах рукописи

ПАРВОНАЕВА ЗАЙБОГУЛ АБДУЛАЛИЕВНА

НАИЛУЧШИЕ КВАДРАТУРНЫЕ И КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ

01.01.01 - всщестиенный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 6 МАЙ 2011

ДУШАНБЕ-201 1

4847655

Работа выполнена в Хорогском государственном университете имени М.Назаршоева

доктор физико-математических наук, академик АН РТ Шабозов Мирганд Шабозович

доктор физико-математических наук, доцент Азизов Музафар

кандидат физико-математических наук

Сабоиев Ризо Саломатшоевич

Российско-Таджикский (Славянский) университет

Защита состоится 22 июня 2011 г. в II00 часов на заседании диссертационного совета ДМ 047.007.01 при Институте математики АН РТ по адресу: 734063, г. Душанбе, ул.Айни, 299/4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Республики Таджикистан

Автореферат разослан YS" 2011 г.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Ученый секретарь диссертационного совета

Халилов Ш.Б.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одной из наиболее важных задач численного анализа является задача нахождения наилучших квадратурных формул для заданного класса функций. Указанная задача для соболевских классов функций с ограниченной старшей производной в пространстве Ьр[а, Ь], 1 < р < оо полностью решена в работах А.А.Женсыкбаева и Б.Д.Боянова.

Существенный вклад в решение этой задачи для различных классов функций также внесли Н.П.Корнейчук, В.П.Моторный, К.И.Осколков, А.А.Лигун, М.И.Левин, Н.Е.Лушпай, В.Ф.Бабенко и др. Основные результаты этой теории полученные до 1979 г. подытожены Н.П.Корнейчуком и приведены в добавлении к монографии С.М.Никольского „Квадратурные формулы"- М.:Наука, 1979 г. Из этого добавления видно, что данная теория получила значительное развитие, хотя в ней остался ряд нерешённых вопросов. Значительно менее развита теория построения весовых наилучших квадратурных и кубатурных формул для интегралов с фиксированными особенностями на отрезке интегрирования.

Последние задачи естественным образом возникают при оптимизации приближённого интегрирования сингулярных интегралов и сингулярных интегральных уравнений.

Пусть для вычисления интеграла

ь

I

а

где /(¿) - произвольная функция из некоторого класса функций, > 0 -заданная весовая функция, применена квадратурная формула

Г

/ д(1)/(Ь)сЙ = £>/(**)+ Д„(/;(Г), (1)

{ «==1

где Р ■= - вектор коэффициентов, Т = {(>■ : а < < £2 < ... < ¿п < 6}

- вектор узлов, а Дп(/;<7) := /?„(/; д; Р, Т) - погрешность формулы (1) на функции /(£).

Если 9Л - некоторый класс функций /(£), заданных и определенных на конечном или бесконечном отрезке [а,Ь], то через

Яп(аЛ;9,Р,Г)=3ир{|Лп(/;д;Р,Л|: / € =

: sup ■

.

/ q(t)f(t)dt - £>/(**. J k=1

fern} (2)

обозначим верхнюю грань погрешности квадратурной формулы (1) на классе ОТ. Очевидно, что если весовая функция q(t) задана, то верхняя грань (2) на данном классе функций зависит только от выбора Р = {pjt}£=1 и Т — В связи с этим в теории квадратур возникает задача построения квадратурных формул вида (1), имеющих на данном классе функций 9Я наименьшую оценку остатка при фиксированных узлах или при произвольных узлах и коэффициентах, то есть требуется найти следующие величины

£п{Ш- д, Т) = inf Rn(Tl; q: Р, Т), (3)

£n(m-q)= m^Rn(m;q-,P.T). (4)

Квадратурная формула (1), для которой существует вектор коэффициентов Р, = {p]fc}fc=i> такой, что £n(VJl;q,T) = Л„(2Л; д; Р„, Г), называется наилучшей по коэффициентам при фиксированных узлах или оптимальной квадратурной формулой в смысле Сарда, а квадратурная формула, для которой существует вектор (Р°,Т°) = , такой, что £п(Ш;д) = д; Р°, Т°) называется наилучшей или оптимальной квадратурной формулой в смысле С.М.Никольского для класса ЯЯ.

В предлагаемой диссертационной работе рассматриваются вопросы построения квадратурных формул вида (1) и решаются задачи (3) и (4) для некоторых классов функций малой гладкости.

Цель работы:

1. Найти наилучшие квадратурные формулы с заданным весом для классов функций, задаваемых модулями непрерывности на конечном отрезке и на полуоси.

2. Найти наилучшие по коэффициентам квадратурные формулы типа Маркова с весом Чебышсва и фиксированными узлами.

3. Найти наилучшие квадратурные и кубатурные формулы типа Маркова для интегралов от быстроосциллирующих функций классов, задаваемых модулями непрерывности.

4. Найти наилучшие квадратурные формулы с заданными весами для классов функций с ограниченной по норме пространства L] [0, оо) старшей производной.

5. Найти наилучшие кубатурные формулы с несом для классов функций, задаваемых модулями непрерывности, и классов функций с. ограниченной по норме старшей частной производной.

Метод исследования. В работе используются современные методы функционального анализа, методы исследования экстремальных задач нахождения квадратурных и кубатурных формул, а также метод Н.П.Корнейчука оценки снизу погрешности квадратур на классах функций, обращающих в нуль квадратурную сумму.

Научная новизна исследований:

1. Найдены наилучшие квадратурные формулы с заданными весами для классов функций, задаваемых модулями непрерывности на конечном отрезке и на полуоси.

2. Найдены наилучшие по коэффициентам квадратурные формулы типа Маркова с весом Чебышёва и фиксированными узлами для классов функций, задаваемых модулями непрерывности.

3. Найдены наилучшие квадратурные и кубатурные формулы типа Маркова для интегралов от быстроосциллирующих функций для классов функций малой гладкости.

4. Найдены наилучшие квадратурные формулы с заданными весами для классов функций с ограниченной но норме пространства Ь1 [0, оо) старшей производной.

5. Найдены наилучшие кубатурные формулы с весом для классов функций, задаваемых модулями непрерывности, и классов функций с ограниченной по норме старшей частной производной.

Практическая ценность. Полученные результаты имеют как теоретическое, гак и прикладное значение. Они могут быть использованы при численном решении сингулярных интегральных уравнений, системы сингулярных интегральных уравнений и оптимизации погрешности их решений на классах функций малой гладкости.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на ежегодных конференциях Хорогского госуниверситета им. М.Назаршоева (г.Хорог. '2000 - 2011 гг.), на семинарах по вопросам теории приближения функций в Институте математики АН Республики Таджикистан (г.Душанбе, 2006 - 2011 п'.), на международной научной конференции „Актуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений и информатики'" (г.Душанбе, 2007 г.), на международной научной конференции, по-

смященной 60-летию академика АН РТ К.Х.Бойматова (г.Душанбе, 23-24 июня 2010 г.), в ИМ АН Республики Таджикистан, на международной научной конференции „Современные проблемы математики и её приложения", посвященной 70-летию члена-корреспондента АН Республики Таджикистан Э.М.Мухамадиева (г.Душанбе, 28-30 июня 2011 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6-и статьях, из них 2 статьи выполнены в соавторстве с научным руководителем М.Ш.Шабозовым, которому принадлежит постановка задач и выбор метода доказательства.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 54 наименований и занимает 87 страниц машинописного текста. В диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.

Содержание диссертации

Во введении приводится краткая характеристика изучаемой проблемы и основные результаты диссертационной работы. Приводим краткое содержание работы с указанием основных результатов.

Рассматриваются следующие классы функций: С[а, Ь\ - множество непрерывных функций на отрезке [а, 6); Ь] - множество функций f(x), у которых f('1(t) е СМ; W^H^[a,b] (г = 0,1,2....;= Ны[а,Ь]) - множество функций /(£) е а,Ь] (г € N), у которых существует кусочно-непрерывная производная г-го порядка /'r,(')i .удовлетворяющая условию

\flr)(t)-fW(t')\<w(\t-t'\), t\t€[a,b],

где uj(t.) - заданный модуль непрерывности. В случае u(t) = £", 0 < а < 1 — это класс функций, у которых г-я производная .удовлетворяет условию Гёль-дера порядка а;

W^Lp\a,b] (1 < р < со;г = 0.1,2,...; И^ü)Lp[a,b} = L,,[«, /;]) - класс функций f(t), у которых производная fl'"l\t) абсолютно-непрерывна, f^(t) £ L„[a, fi] и удовлетворяет условию

ь \

J |/M(í)|"díJ <1.

а )

lí/wIU„ =

В первом параграфе первой главы приводится общая постановка экстремальной задачи отыскания наилучших весовых квадратур в смысле А.Сарда и С.М.Никольского, основные определения и обозначения, а также определение классов функций.

Во втором параграфе доказывается следующий факт общего характера.

Теорема 1.2.1. Еслиш{{) - непрерывно дифференцируемая функция на отрезке [и, Ь], то для погрешности наилучшей квадратурной формулы вида (1) на классе функций Ни[а,Ь] справедлива оценка

¡Я

£п (Я"\ д) = £ [ [д1(1°к - г) + ^ + и>'№, Л* = 4 - (5)

*.'=! п

где = I с}{и)(1и., а Ти = - опти,малыши вектор узлов наилучшей о

квадратурной формулы вида (1) на классе Ны\а,Ь].

В частности, для класса Липщих^а Н1\а,Ь\ справедлива оценка

п-1 Ч п Ъ

£п{Н\Ч) =2^ I I </1 (*)Л+ /</1(*)Л. (6)

а ^=1 а а

Формула (С) ранее получена в работе Т.Н.Бусаровой. Из теоремы 1.2.1 в свою очередь вытекает

Теорема 1.2.2. Среди квадратурных формул вида

+ос п

I в-7(*)Л = £р*/&) + я„(/;<г')

о ь=1>

•наилучшей для. класса [0, +оо) является (формула, узлы и коэффициенты которой определяются равенствами

-2

4 = !»

^ . - __.,, ж к

п

к= 1,2,.... п — 1, ц = 0, = 1, 1

р\ = 2(1 - е 1/2) • \{п - к) + ке 1/2}п 2, к = 1,2, ..., л - 1. При атом погрешность наилучшей формулы па всем классе равна

£(#\ e~l) = (1 — е-1^2)2 •

Основным результатом третьего параграфа является следующая Теорема 1.3.1. Пусть [а, 6] = [—1,1]. Среди всех квадратурных формул вида (1) с весом q{t) = (1 — i2)-1/2, фиксированными узлами Т* = {t*k : Vk = cos(fc7r/n)}j?=0 и произвольными векторами коэффициентами Р — {wJ/Lq наилучшей по коэффициентам квадратурной формулой на классе Ны[~ 1.1] является квадратурная формула типа Маркова

/wh"'-iin-^m+1 g / (« £) + «.<я. (7)

При этом для оценки погрешности формулы (7) на всем классе Ны[— 1,1] имеет место равенство

п/(2п)

«„(яЧ-М^ч/Г^) \:г) ==2гг J W(t)dt.

В этом же параграфе доказывается следующий результат-Теорема 1.3.2. Для погрешности квадратурной фор.иулы (7) на всём классе 1,1], где ai(t) - выпуклый вверх модуль непрерывности,

справедлива оценка

п/(2п)

о

где Р" = {р2 : pg = тг/тг, £ = 1, 2,..., п - 1; rf = = тг/(2 я)} ,

Т = {tl; fk = cos(kn/n)}l=0

- векторы коэффициентов и узлов формулы (7).

В четвёртом параграфе первой главы рассматривается квадратурная формула для оптимизации приближённого вычисления интегралов от бы-строосцилирующих функций следующего вида }. '

/ s'm irmtf(t)dt = + Я,,(/;Т, Р,т), п > т > 1, (8)

и ^

задаваемая векторами узлов Т — : 0 < t\ < t-i < ... < t„ < 1} и коэффициентов Р = {ра }£=1.

Задача приближённого вычисления интегралов от быстроосциллирую-щих функций ранее рассматривалась в известных монографиях В.И.Крылова и Н.С.Бахвалова, а также в работах Я.М.Жилейкина и А.В.Кукаркина, В.К.Задирака и С.С.Василенко, Т.Н.Бусарова, М.Ш.Шабозова и Р.С.Сабои-ева для различных классов функций. Н.С.Бахваловым отмечено, что формулу (8) достаточно рассмотреть для случая т = 1. Включая концы отрезка ¿и = 0, tn = 1 в число узлов, будем изучать оценки погрешности квадратурной формулы типа Маркова следующего вида

\ п-1

/ sinTrtf(t)dt=p0f(0) + J2pkf(tk)+pnf(l) + R,,(f\P,T). (9) о *=i

Имеют место следующие утверждения

Теорема 1.4.1. Среда всех квадратурных формул вида (9) наилучшей по коэффициентам квадратурной формулой типа Маркова при фиксированных узлах Т" = {tk : = k/n}^.=0 для класса Н^О, 1] является формула

J sin ntf(t)dt =

u

-; f¡"! rjm + tm+£ jj> ?/(*)} + ад=« n.

погрешность которой na всем классе Hu[0,1] равна

1/2 п

£п{Н"- Г) = 2 (sin J cos я (t- i-j uj(t)dt. (10)

o

В частности, d/«t класса Липшица Я'[0,1] ш (10) следует оценка

tg¿. (11)

Оценка (11) ранее получена М.Ш.Шабозовым и Р.С.Сабоиевым.

Теорема 1.4.2. Среди всех квадратурных формул вида (9) типа Маркова наилучшей по коэффициентам при фиксированном векторе узлов

Г*= jí„ = 0. = fc = 1. 2,.... r¿; ín+x = l}

является формула

J sin я-t.f{t)dt =

о

. 7Г . (2k- 1)тг , /2Jb— 1\ 1

+ôt Esin Чг^/ hr + адГ

+

1/4П

,(Я-Г*) = 4sinJ J C0S7T (i - W(i)A+

A=2 4 ' ;

погрешность которой на всем классе Ны{0,1] имеет вид

1/4 п

7г

4п

О

1/2 п.

+2ctg^y COS7T ^f - w(i)d£. (12)

о

/I частности, npuu>(t) = t для класса Липщица 1] ш следует,

что

Я1 0,1 ;Г* = - sin— 1 - , ' ~ - sin—.

7Г 4п \ Sin(7r/(2n))/ 7Г 4п В пятом параграфе первой главы рассматривается задача отыскания наилучших квадратурных формул на полуоси [0, +оо) для классов функций W^Lj[0, +оо). Здесь доказан ряд утверждений, основными из которых являются следующие теоремы.

Теорема 1.5.1 Пусть [а,Ь] = [0, +оо), q{t) = (1 + Тогда среди

всех квадратурных формул вида (1) для класса W'^LifO,+оо) наилучшей является формула

о ''"-1

При этом погрешность квадратурной формулы (13) на всём классе №'(1)£][0, +оо) равна

¿„(W<%[0,+oo);(l+/.2)-1)

Теорема 1.5.2. Пусть <?(£) = (1+£)~", а > 1. Среди всех квадратурных формул вида

7 ... /

I) к=1

наилучшей для класса И-"'1'1,1 [О, +оо) является формула, у которой векторы коэффициентов и узлов имеют вид

Р= {р^. : рк = 1 , к = 1,2,.. ,,п { (1 - а)п

При этом для оценки погрешности наилучшей квадратурной формулы на всём классе функций

[О, +оо) справедлива оценка

2(а - 1)п"

Следует отметить, что и пятидесятых годах прошлого столетия С.М.Никольский поставил и решил первые экстремальные задачи о построении наилучших квадратурных формул. Параллельно С.М.Никольский решил несколько экстремальных задач о построении наилучших кубатурных формул, пользуясь своими одномерными результатами. Первая наилучшая куба-турная формула для класса функций с ограниченным по норме пространством ¿2(<3), О = {(х,у) '■ 0 < х,у < 1} старшей частной производной в 1963 1'. найдена М.И.Левином. Для некоторых классов функций многих переменных, задаваемых модулями непрерывности, наилучшые кубатурные формулы и точные оценки их погрешности найдены Н.П.Корнейчуком.

Отметим, что основные результаты по построению наилучших кубатурных формул, приведённые в монографии С.М.Никольского, получены для множеств функций, удовлетворяющих заданным краевым условиям, производные которых принадлежат пространству ¿2(*3)- При этом были существенно использованы особенности гильбертовой метрики.

Во второй главе диссертации введена в рассмотрение кубатурная формула

II'

к=0 <=()

где <2 = {(¿,т) : 0 < < 1}, /((, г) - произвольная интегрируемая в О

функция, a q{t,r) > 0 - весовая функция, произведение которой на /(£,т) интегрируемо в области Q,

Г = {t* : 0 < to < и < ■•■ < fm-l < tm < 1},

Т = {г, : 0 = То < п < ... < т„_1 < т„ = 1}

- векторы узлов, Р — {ры}™'^ - вектор коэффициентов, a R,nn(f:q:P,T,T)

- погрешность формулы на функцию /.

При фиксированных векторах = '{tk}, {ri}) положим

Ятп(Ж;д;Р,Т,Т) =

= sup

m 11

(Q)

r)rfidr - №/(ib n)

fc—0 1=0

:/€5Ш

где ГОТ = {/} - некоторый класс функций /, заданных и определённых в области С). Требуется при фиксированных узлах (Т, Т) найти величину

£тп(ГО1; Р°, Т, Т) = inf Ят„(ЗЛ; Р, Т, Т)

(15)

и при произвольных векторах коэффициентов Р = {ры }£']=(): и произвольных векторах узлов Т = Т = {т}"=0 найти величину

g) = mf ДГШ(9Я; g, Р, Т, Т).

(16)

Кубатурная формула вида (14), для которой нижняя грань в (15) достигается для вектора Р° = {Р°;}Г(=о> называется наилучшей по коэффициентам или наилучшей в елтеле Сарда, а кубатурная формула вида (14), для которой нижняя грань в (16) достигается для вектора (Р*, Т\ Т*), называется наилучшей или оптимальной в смысле С.М.Никольского для класса функций 9Л и весовой функции д(£,т) > 0.

Во второй главе диссертации излагается решение сформулированных задач (15) и (16) для некоторых конкретно заданных весовых функций ц(£, т) и заданных классов функций.

Наилучшие кубатурные формулы для различных классов функций, приведены в монографиях С.М.Никольского, Н.С.Бахвалова и в основополагающих работах Н.П.Корнейчука, М.И.Левина, А.А.Арро и Ю.Г.Гиршовича, Ц.Шац, Г.Коман. Г.Микулы, И.И.Ибрагимова и Р.И.Алиева., Н.Е.Лушпай и С.В.Перевсрзева, М.Ш.Шабозова и многих других. Точная асимптотика

остатков оптимальных для некоторых классов функций весовых кубатурных формул найдена В.Ф.Бабснко. В то же время задача оптимизации весовых кубатурных формул указанными учеными не рассматривалась.

Во второй главе диссертационной работе рассматриваются следующие классы функций:

(У = {(я, у) : 0 < х, у < +оо, 1 < д < оо})

- множество функций /(х, у), имеющих в области С}* кусочно-непрерывные производные у) = дк+1 f /дх'1ду1, к = 0,1; / = 0,1 и удовлетворяющих

следующим ограничениям

+00

I /(,и)(-,

y)dy

< 1,

L,[0,+oo)

+ 0G

J fm)(x..-)dx

1,

< 1.

1,(0,+00) / N 1 ¡4

J J\f{U)(x,y)\qdxdy \m

HW]m{Q) - множество функций f(x,y), заданных и определённых на Q = {(х,у) : 0 < х. у < 1} и для любых двух точек (х',у'),(х",у") £ Q, удовлетворяющих условию | f(x",y") - f(x',y')\ < и)\ (\х" ~ i'|) + ш2(\у" - у'\), где wi(t) и о)2(г) - заданные па [0,1] модули непрерывности.

Во втором параграфе второй главы доказана следующая Теорема 2.2.1. Среди кубатурных формул вида (Ц) с весовой функцией q(t,r) наилучшей па классе является формула, узлы которой

Т(> = { Т;1 : 0 = Tq < Tj < ... < < = 1 } обращают в .минимум выражение

J(tut2,...,tm-i; п, г2,..., r„_i) =

1 ■« + !

1 W+1

= ¿1 / ^t^)^(\t-tk\)dtdT + f2 / j q{t.,T)^2{\T - Tt\)dtdT (17)

k=о I l 1=0 { I

0 Jk 0 (ft

■и коэффициенты которой определяются равенством

Ры = fj q(t,T)dtdr,

(Ql)

где '

Qti = {4<t<4+1. vi < т < Vi+i),

XÜ = О, 4 = (í°_i + í")/2, A = x°m+l = t = 1, Уо = O, 2/? = (гг°_, + Ti)/2, l = lTñ; = r° = 1.

При этом наилучшая оценка остатка на всем классе H^'^(Q) равна

£тп (H^(Q)-,q) =

т \ „ 1 Л»

= Е/ / 9(í,rb(|í-¿2|)dtdr + ¿y (18)

i=ü о i» ,=0 0 у»

Из теоремы 2.2.1 в качестве следствия вытекает

Теорема 2.2.2. Пусть q(t,T) = qi(t)q2(T). Тогда для погрешности (Ц) наилучшей кубагпурной формулы класса HuluU''1{Q) справедливо равенство

£mn(H^(Q)-qiq2) =

1 1

= Sm(Hu4Q)-9l) J q2(r)dT + £n(H^(Q)ul2) j 4l(t)dt, (19)

o o

гЛ' £m(tfu',Wi) u£n(HU2\q2), соответственно, точные оценки погрешности

наилучших квадратурных формул с весами qi[t) и q2(r) для классов функций

0,1] и Ныг[0,1].

Теорема 2.2.2 означает, что если известно решение задачи о нахождении наилучших квадратурных формул для одномерных классов HUl [0,1] и Н'*'2[0,1] с соответствующими весами qi(t) и g2('r)> '''ü "Ри помощи формулы (19) сразу можно написать точную оценку погрешности, соответствующей наилучшей кубатурной формуле для класса HUiM2(Q). В конце второго параграфа второй главы приведены некоторые применения теоремы 2.2.2.

В 'третьем параграфе второй главы рассматривается вопрос отыскания наилучших по коэффициентам весовых кубатурных формул для классов функций Здесь доказаны аналоги теорем 2.2.1 и 2.2.2, из которых

затем, в частности, вытекают различные результаты для весовых кубатур.

Приводим один из таких результатов.

Теорема 2.3.2. Среди всех кубатурных формул вида (Ц) типа Маркова с весовой функцией q(t., т) — sin itt sin лт, фиксированными векторами

узлов Т" — {к/т}™^, Т' = {1/п}}'^) и произвольными векторами коэффициентов Р = наилучшая по коэффициентам кубатуриая формула для класса //Ы,А'2(<3) имеет вид

Л/(¿,г)8т7г(8т7гтс(£с/т = (О)

2 J sin2 ~ sin2 [/(0,0) + ДО, 1) + /(1, ü) + /(1,1)] +

л-1

2 71 7Г г—« . 7TÍ

+ sin -—sin— > sm —

4m vn ' ir

+ sin — sin -— 4n 2 m

i=i Til— 1

E

t=i

тг/с

sm -

m ] \m

+

+

m-l u— 1

+ sil) — sin

TTk

. 7Г l./k 51П-t —.

2ni 2nf-íf-f m n \rri n¡ 1

*=1 (=1

погрешность которой na всем классе HUuU,¿(Q) равна

1/2 m

£mn{H'^{Q)\q,T\T*) = i (sin^)

2m /

4 / 7Г

7Г V 2 n

l cosír ^í - — ^ Wl(í)c/í+ ü

l/2n

) 1 J COSK (t-^Ли2(т)(1т. (20)

В частности, для класса Липшица H^^(Q) из (20) следует оценка

4

+ (21) Формула (21) ранее получена Р.С.Сабоиевым.

В заключительном четвертом параграфе для класса И''и'1/1(<2*) обобщаются одномерные результаты теорем 1.5.1 и 1.5.2. Имеет место следующая

Теорема 2.4.2. Среди всех кубатурных формул, вида (Ц) с весовой функцией цЦ, т) = [(1 + £2)(1 + г2)]для класса

И-г(М)Ы<Э*), Я' = {(С.,т) : 0 < *.7* < +оо}

наилучшей является формула

Но+

погрешность которой на всём классе ЪУ^'^Ь!^*) равна

е^ьшу, О + <•>-<! + + ± +

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю академику АН РТ М.Ш.Шабозову за постановку задач и постоянное внимание при работе над диссертацией.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1. З.А.Парвонаева. Об оптимальных квадратурных формулах для функций, определенных на полуоси // Материалы межд. научной конференции ,Дифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализа" (г.Душанбе, 8-10 ноября, 2005г.), с.130.

2. М.Ш.Шабозов, З.А.Парвонаева. О наилучших по коэффициентам весовых квадратурных формулах для классов функций, задаваемых модулями непрерывности // ДАН РТ, 2006, т.49, №7, с.589 - 596.

3. З.А.Парвонаева. Оптимизация весовых квадратурных формул для классов функций малой гладкости // ДАН РТ, 2008, т.51, №2, с.87 - 96.

4. М.Ш.Шабозов, З.А.Парвонаева. Наилучшие кубатурные формулы для некоторых классов функций // Известия АН Республики Таджикистан. Отд. физ.-мат., хим., геол. и тех. наук, 2008, №3(132), с.7 - 16.

5. З.А.Парвонаева. О наилучших по коэффициентам весовых квадратурных формулах для классов функций, задаваемых модулями непрерывности // Материалы межд. науч. конф., поев. 60-летию академика К.Х.Бойматова (г.Душанбе, 23-24 июня 2010 г.).

6. З.А.Парвонаева. О наилучших весовых кубатурных формулах для некоторых классов функций // ДАН РТ, 2011, т.54, №3. с.6 - 10.

Сдано в печать 16.05.2011. Подписано в печать 17.05.2011. Гарнитура Times New Roman Бумага офсетная. Печать офсетная. Формат 60x84. Тираж 100 экз. Цена договорная. Заказ .M» 11

Отпечатано в ООО «Офсет Империя» г. Душанбе, ул. М.Турсунзода, 31. Тел. 919948080

Введение.

Глава I. Наилучшие квадратурные формулы для классов функций малой гладкости на конечном отрезке и полуоси

§1.1. Классы функций. Общая постановка экстремальной задачи отыскания наилучших весовых квадратурных формул.

1.1.0. Классы функций.

1.1.1. Постановка задачи.

§1.2. Оптимизация весовых квадратурных формул для классов функций малой гладкости.

§1.3. Об одной наилучшей по коэффициентам квадратурной формуле типа Маркова для класса Нш[—1; 1]

§1.4. Оптимизация приближённого вычисления интегралов от быстроосцилирующих функций на классе функций .#^'[0; 1] . :

§1.5. О наилучших квадратурных формулах с весом для функций, заданных на положительной полуоси.

Глава II. Экстремальные задачи для весовых кубатурных формул.

§2.1. Постановка задач. Классы функций.

§2.2. Наилучшие кубатурпыс формулы с весом для класса функций

§2.3. Наилучшие по коэффициентам кубатурные формулы с весом для класса функций НШ1>Ш2(0)

§2.4. О наилучших весовых кубатурных формулах для классов функций И^¿Дд*), 1 < оо.

Одной из наиболее важных задач численного анализа является задача нахождения наилучших квадратурных формул для заданного класса функций. Указанная задача для соболевских классов функций с ограниченной старшей производной в пространстве Ьр[а,Ь], 1 < р < оо полностью решена в работах А.А.Женсыкбаева [16] и Б.Д.Бояпова [7].

Существенный вклад в решение этой задачи для различных классов функций также внесли Н.П.Корнейчук [21], В.П.Моторный [32], А.А.Лигун

31], М.И.Левин [27,28], Н.Е.Лушпай [29,30], В.Ф.Бабенко [2,4] и др.

Основные результаты этой теории полученные до 1979 г. подытожены

Н.П.Корнейчуком и приведены в добавлении к монографии С.М.Никольского

33] „Квадратурные формулы"- М.:Наука, 1979 г. Из этого добавления видно, что данная теория получила значительное развитие, хотя в ней остался ряд нерешённых вопросов. Значительно менее развита теория построения весовых наилучших квадратурных формул и наилучших кубатуриых формул для интегралов с фиксированными особенностями па отрезке интегрирования.

Последние задачи естественным образом возникают при оптимизации приближённого интегрирования сингулярных интегральных уравнений.

Пусть для вычисления интеграла ь

I q(t)f(t)dt, а где /(¿) - произвольная функция из некоторого класса функций, > 0 заданная весовая функция, применена квадратурная формула q{t)f{t)dt = £>/(**) + ад; я), (0.0.1) а А=1 где Р = {ра:}£=1 - вектор коэффициентов, Т — : а < ¿1 < ¿2 < ••• < ¿п < Ь} - вектор узлов, а В,п(/;<?) := -йп(/;д;Р,Т) - погрешность формулы (0.0.1) на функции /(£).

Если Ш1 - некоторый класс функций /(/;), заданных и определенных на конечном или бесконечном отрезке [а, Ь], то через

Лп(Ш1;д,Р,Т)=8ир{|ад;д;Р,Г)| : / е Щ = вир к=1 / еШ} (0.0.2) обозначим верхнюю грань погрешности квадратурной формулы (0.0.1) на классе Ш. Очевидно, что если весовая функция д(Ь) задана, то верхняя грань (0.0.2) па данном классе функций зависит только от выбора Р = {Рк}к=1 и ^ = {¿А;}£=1- В связи с этим в теории квадратур возникает задача построения квадратурных формул вида (0.0.1), имеющих на данном классе функций ШТ наименьшую оценку остатка при фиксированных узлах или при произвольных узлах и коэффициентах, то есть требуется найти следующие величины п{Ш] д, Т) = Ы ДП(9Я; д; Р, Т), (0.0.3) п(Ш; д) = ¡М РП(9Я; д; Р, Т). (0.0.4) р,т)

Квадратурная формула (0.0.1), для которой выполняется равенство (0.0.3), называется наилучшей по коэффициентам при фиксированных узлах или оптимальной квадратурной формулой в смысле Сарда [41], а квадратурные формулы для которых выполняется равенство (0.0.4), называются наилучшими или оптимальными в смысле С.М.Никольского [33] для класса 9Л.

В предлагаемой диссертационной работе рассматриваются вопросы построения квадратурных формул вида (0.0.1) и решаются задачи (0.0.3) и (0.0.4) для некоторых классов функций малой гладкости.

Целыо дайной работы является:

1. Найти наилучшие квадратурные формулы с заданным весом для классов функций, задаваемых модулями непрерывности на конечном отрезке и па полуоси.

2. Найти наилучшие по коэффициентам квадратурные формулы типа Маркова с весом Чебышёва и фиксированными узлами.

3. Найти наилучшие квадратурные и кубатурные формулы типа Маркова для интегралов от быстроосциллирующих функций классов, задаваемых модулями непрерывности.

4. Найти наилучшие квадратурные формулы с заданными весами для классов функций с ограниченными по норме пространства [0, оо) старшей производной.

5. Найти наилучшие кубатурные формулы с весом для классов функций, задаваемых модулями непрерывности, и классов функций с ограниченной по норме старшей частной производной.

В работе используются современные методы функционального анализа, методы исследования экстремальных задач нахождении квадратурных и кубатурных формул, а также метод Н.П.Корнейчука [21] оценки снизу погрешности квадратур иа классах функций, обращающих в нуль квадратурную сумму.

В диссертационной работе:

1. Найдены наилучшие квадратурные формулы с заданными весами для классов функций, задаваемых модулями непрерывности на конечном отрезке и иа полуоси.

2. Найдены наилучшие по коэффициентам квадратурные формулы типа Маркова с весом Чебышёва и фиксированными узлами для классов функций, задаваемых модулями непрерывности.

3. Найдены наилучшие квадратурные и кубатурные формулы типа Маркова для интегралов от быстроосциллирующих функций для классов функций малой гладкости.

4. Найдены наилучшие квадратурные формулы с заданными весами для классов функций с ограниченной по норме пространства ¿а [0, оо) старшей производной.

5. Найдены наилучшие кубатурные формулы с весом для классов функций, задаваемых модулями непрерывности, и классов функций с ограниченной по норме старшей частной производной.

Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 54 наименований и занимает 87 страниц машинописного текста. В диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.

1. Алхимова В.М. Наилучшие квадратурные формулы с равноотстоящими узлами // ДАН СССР, 1972, т.202, №2, с.263-266.

2. Бабенко В.Ф. Асимптотически точная оценка остатка наилучших для некоторых классов функций кубатурных формул //Матем.заметки,1976, т. 19, №3, с.313-332.

3. Бабенко В.Ф. Точная асимптотика остатков оптимальных для некоторых классов функций весовых кубатурных формул // Матем.заметки, 1976, т. 20, т, с.589-595

4. Бабенко В.Ф. Об оптимальной оценке погрешности кубатурных формул на некоторых классах непрерывных функций //Analysis Mathematica,1977, т.З, №1, с.3-9.

5. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.:Наука, 1975. - 631 с.

6. Бойков И.В. Оптимальные по точности алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. Саратов: Из-во Саратовского университета, 1983. - 210 с.

7. Боянов Б.Д. Характеристика и существование оптимальных квадратурных формул для одного класса дифференцируемых функций // ДАН СССР, 1977, 232, №6, с.1233-1236.

8. Бусарова Т.Н. В сб.: Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям. -Днепропетровск, ДГУ, 1980, с. 17-21.

9. Бусарова Т.Н. Об оптимизации приближенного интегрирования быстро-осциллирующих функций // Укр.матем.журнал, 1986, т.38, №1, с.89-93.

10. Вакарчук К. Б. К интерполяции билинейными сплайнами // Мат. заметки, 1990, №47, вып. 5, с.26-29

11. Васильев Н.И., Клоков Ю.А., Шкерстена А.Я. Применение полиномов Чебышёва в численном анализе. Рига: Знатне, 1984.-240 с.83

12. Всликин B.JI. Эрмитовы сплайны и связанные с ними квадратурные формулы для некоторых классов дифференцируемых функции // Изв. вузов, Математика., 1976, №5, с.15-28.

13. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. Казань: Из-во Каз.ун-та, 1980. - 232 с.

14. Гиршович Ю.И. О некоторых наилучших квадратурных формулах на бесконечном интервале // Изв. АН Эст.ССР, сер.физ.-мат.паук, 1975, т.24, №1, с.121-123.

15. Ермолаева Л.Б. Об одной квадратурной формуле //Изв.вузов. Математика, 2000, №3, с 25-28.

16. Женсыкбаев A.A. Моносплайны минимальной нормы и наилучшие квадратурные формулы // Успехи матем.наук, 1981, т.36, №4, с.107-159.

17. Жилейкин Я.М., Кукаркип A.B. Об оптимальном вычислении интегралов от быстроосциллирующих функций. // ЖВМ и МФ, 1978, 18, №2, с.294-301.

18. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. -М.:Наука, 1985 -396 с.

19. Задирак В.К., Василенко С.С. Оптимальные квадратурные формулы вычисления интегралов от быстроосциллирующих функций из некоторых классов и их реализация на ЭВМ. Киев, 1974. - 37 е.- (Препринт АН УССР, Ин-т кибернетики; 74-17).

20. Ибрагимов И.И., Алиев P.M. О некоторых наилучших кубатурных формулах // Изв.АН Азерб.ССР, 1967, №3-4, с.154-161.

21. Корнейчук Н.П.Наилучшие кубатурпые формулы для некоторых классов функций многих переменных. // Матем. заметки, 1968, т.З, №5, с.565-576.

22. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближепия.-М.: Наука, 1983, 324 с.

23. Корнейчук H.П., Бабенко В.Ф., Лигун A.A. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов //Киев: Наукова думка, 1992, 304 с.

24. Крылов В.И., Шульгина Л.Т. Справочная книга по численному интегрированию.-М.: Наука, 1966.-371 с.

25. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967.

26. Лебедь Г.К. О квадратурных формулах с наименьшей оценкой остатка на некоторых классах функций // Мат.заметки, 1968, т.З, №5, с.577-586.

27. Левин М.И., Гиршович Ю.Г. Экстремальные задачи для кубатурных формул // ДАН ССР, 1977, т. 236, №6, с.1303-1306.

28. Левин М.И., Гиршович Ю.Г. Наилучшие кубатурные формулы на множествах периодических функций // Изв.АН Эст.ССР, сер.физ.-матем., 1977, 26, №2, с.114-122.

29. Лушпай Н.Е. О наилучших кубатурных формулах для одного класса дифференцируемых функций двух переменных // Сб.работ асп.ДГУ (матем. и механика).- Днепропетровск, 1972, с.35-39

30. Лушпай Н.Е., Переверзев C.B. О наилучших кубатурных формулах для классов дифференцируемых функций двух переменных // В сб. Исслед. по совр. проблемам суммирования и приближения функций и их приложениями. Днепропетровск, 1976, с.38-45.

31. Лигун A.A. Точные неравенства для сплайн-функций и наилучшие квадратурные формулы для некоторых классов функций // Матем. заметки, 1976, т. 19, №6, с.913-926.

32. Моторный В.П. О квадратурных формулах с равными коэффициентами. // Укр.матем.журнал, 1995, т.47, №9, с. 1205-1208.

33. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1986. - 256 с.

34. Онегов Л.А. Об одной наилучшей квадратурной формуле для сингулярных интегралов с неподвижной особенностью // Изв.вузов, Математика, 1981, №9, с.76-79.

35. Парвонаева З.А. Об оптимальных квадратурных формулах для функций, определённых на полуоси // Материалы межд. научной конферен. ,Дифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализа" (г.Душанбе, 8-10 ноября, 2005г.), с. 136.

36. Парвонаева З.А. Оптимизация весовых квадратурных формул для классов функций малой гладкости // Докл. АН РТ, 2008, т.51, №2, с. 87 96.

37. Парвонаева З.А. О наилучших по коэффициентам весовых квадратурных формулах для классов функций, задаваемых модулями непрерывности // Материалы межд. науч. конф. поев. 60-летию академика К.Х.Бойматова (г.Душанбе, 23-24 июня 2010 г.).

38. Парвонаева З.А. О наилучших весовых кубатурных формулах для некоторых классов функций // Доклады АН РТ, 2011, т.54, №3, с.181-185.

39. Сабоиев P.C. Об оптимальных по коэффициентам квадратурных формулах с весовыми функциями, имеющих фиксированные особенности // Доклады АН РТ, 2005, т.48, №3-4.

40. Сабоиев P.C. О наилучших по коэффициентам весовых кубатурных формулах для классов функций, задаваемых модулями непрерывности // Доклады АН РТ, 2006, т.49, №7, с.597-603.

41. Sard A. Best approximation integration formulas, best approximate formulas. American J. of Math., 1949, LXXI, p.80-91.

42. Сухарев А.Г. Минимаксные алгоритмы в задачах численного анализа. -М.:Наука, 1989. 304 с.

43. Шабозов М.Ш. О наилучших кубатурных формулах с весом // Изв.АН Тадж. ССР. Отд. физ.-мат. и геолого-хим. наук, 1980, №4, с.86-90.

44. Шабозов М.Ш. Об оценках погрешности квадратурных формул для некоторых классов функций //Укр.мат.журнал, 1991, т.43, №12.

45. Шабозов М.Ш. О погрешности интерполяции билинейными сплайнами //Укр. мат. журнал, 1994, т.46, №11, с. 1554-1560.

46. Шабозов М.Ш. Об одном подходе к исследованию оптимальных квадратурных формул для сингулярных интегралов с фиксированной особенностью // Укр.матем.журнал, 1995, т.47, №9, с.1300-1305.

47. Шабозов М.Ш. Точные оценки одновременного приближения функций двух переменных и их производных билинейными сплайнами.//Мат. заметки, 1996, т.59, №1, с. 142-152.

48. Шабозов М.Ш., Каландаршоев С.С. Точные оценки погрешности квадратурных формул на классах функций малой гладкости // Доклады АН РТ, 1998, т.41, №10, с.69-75.

49. Шабозов М.Ш., Парвонаева З.А. О наилучших по коэффициентам весовых квадратурных формулах для классов функций, задаваемых модулями непрерывности // Доклады АН РТ, 2006, т.49, №7, с. 589 596.

50. Шабозов М.Ш., Парвонаева З.А. Наилучшие кубатурные формулы для некоторых классов функций // Известия АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и тех. наук, 2008, №3(132), с. 7 16.

51. Шабозов М.Ш., Сабоиев P.C. Об оптимальном вычислении интегралов от быстроосцилирукяцих функций. Вестник ХоГУ, серия 1, 2004, №6, с. 17-22

52. Шабозов М.Ш., Сабоиев P.C. Об оптимизации приближенного интегрирования быстроосциллирующих функций // Доклады АН РТ, т.47, 2004, №3, с.14-19.

53. Шабозов М.Ш., Сабоиев P.C. О наилучших по коэффициентам весовых квадратурных формулах, имеющих фиксированные особенности //Вестник ХоГУ, серия 1, 2006, №7, с.42-54.

54. Шабозов М.Ш., Сабоиев P.C., Хамдамов Ш.Дж. Оптимизация некоторых весовых квадратурных формул в пространстве Ь\а,Ъ. // Доклады АН РТ, 2009, т.52, №1, с. 5 9.