Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем и последовательности типа Грегори в пространствах L1(m)[a,b] тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение

0.1. Тематика и структура диссертации

0.2. Основные обозначения, определения и утверждения, используемые в диссертации

0.3. Некоторые вспомогательные сведения

1 Решетчатые квадратурные формулы в пространстве Ь]

1.1. Оптимизация однопараметрических квадратурных формул типа

Грегори в пространстве Ь^ [а, Ь]

1.2. Оптимизация двухпараметрических квадратурных формул типа Грегори в пространстве Ь]

1.3. Оптимальные решетчатые квадратурные формулы в классе формул типа Грегори

1.4. Некоторые свойства оптимальных решетчатых квадратурных формул в пространстве Ь^ [а, Ь]

2 Асимптотика норм функционалов ошибок квадратурных формул Грегори в пространствах ¿^""[а, Ь] при т — 2, 3 48 2.1. Оценка норм функционалов ошибок квадратурных формул Грегори с конечными разностями первого порядка в пространстве Ъ]

2.2. Оценка норм функционалов ошибок квадратурных формул Грегори с конечными разностями второго порядка в пространстве bf^*[a,b]

2.3. Оценка норм функционалов ошибок квадратурных формул Грегори с конечными разностями второго порядка в пространстве L^*[a,b]

3 Уточнение квадратурных формул Грегори со вторыми конечными разностями в пространстве

3.1. Однопараметрическая оптимизация квадратурных формул Грегори со вторыми конечными разностями в пространстве L^[a,b]

0.1. Тематика и структура диссертации

Теория приближенного интегрирования является развитым разделом вычислительной математики.

Исследования этой теории имеют давнюю историю, о чем можно судить даже из названий формул интегрирования: Ньютона-Котеса, Эйлера- Мак-лорена, Гаусса, Чебышева, Эрмита и др.

Методы исследования формул интегрирования очень разнообразны. Чаще всего исследуются и применяются в приближенном интегрировании квадратурные и кубатурные формулы. При их применении значение интеграла приближенно заменяется линейными комбинациями значений функции в некоторых точках, называемых узлами. Наиболее часто рассматриваются следующие задачи и методы вычисления интеграла, которые опираются на: а) построение формул высокой точности; б) исследование вероятностных методов интегрирования; в) формулы интегрирования, теория которых связана с оценками погрешностей интегрирования функций, принадлежащих классам или линейным нормированным пространствам функций.

Данная диссертация посвящена исследованию погрешностей интегрирот т вания в классах или пространствах функций.

Направление исследований, проводимых в данной диссертации, может быть проиллюстрировано следующим образом. Пусть исследуются квадратурные формулы о / n х^хп^Ск/Ы, (0.1)

А;=1 где Ск—коэффициенты, а хк—узлы формулы (0.1). % Вместо непосредственного исследования формул (0.1) рассматриваются их функционалы ошибок 1** ь n = [ ¡{х)йх-^СкЦхк). (0.2) ^

Пусть на интегрируемых функциях /(х) определена и конечна некоторая норма или полунорма ||/||я} которая порождает линейное нормированное пространство Н, а функционал определяет некоторый элемент сопряженного пространства Н* к пространству Н. Тогда для погрешности приближенного интегрирования верна оценка

Ы)|<|П1я.-||/11я. (0.3) 0

Если можно оценить ||/||я и ||^||я*> т0 формула (0.3) может быть непосредственно использована для вывода верхних оценок погрешности интегрирования.

Часто речь идет не об одной квадратурной формуле (0.1) и функционале (0.2), а о целой серии формул (0.1) и функционалов (0.2), построенных по определенному закону. 6

Оценки (0.3) могут оказаться неудобными для применения при практическом интегрировании, так как ошибки интегрирования— левые части неравенств (0.3) — могут оказаться значительно меньше правых частей этих неравенств. Тем не менее желательно выбирать формулы (0.1) и функционалы (0.2) так, чтобы Ц/^Ця* была минимальной.

Иногда последовательность формул (0.1) называют просто формулой, например, усложненная формула Ньютона-Котеса или квадратурная формула Грегори.

В данной работе за Н из формулы (0.3) будут обычно приниматься пространства 6], где [а,Ь]— конечный промежуток интегрирования, т = 2 или т = 3. Будут рассматриваться квадратурные формулы Грегори или близкие к ним формулы типа Грегори (Эйлера-Маклорена) и формулы, образующие так называемые последовательности с пограничным слоем.

В диссертации автор обобщает результаты С. М. Никольского, относящиеся к усложненным квадратурным формулам [1]—[3] и результаты В. И. Половинкина [4], [5]. Одно из главных отличий между формулами, рассматриваемыми С. М. Никольским и В. И. Половинкиным состоит в следующем. Формулы, исследуемые С. М. Никольским, например, усложненные формулы Ньютона-Котеса строятся суммированием простейших формул, у которых узлы принадлежат промежуткам интегрирования. Формулы, рассматриваемые В. И. Половинкиным, строятся суммированием простейших формул, у которых некоторые узлы могут лежать вне промежутков интегрирования, т.е. являются одномерными аналогами кубатурных формул Соболева С. Л. с регулярным пограничным слоем. К ним, хотя это и не сразу очевидно, относятся квадратурные формулы Грегори и рассматриваемые т ш здесь формулы типа Грегори.

В доказательствах работы применяются методы, основанные на реализации функционалов с помощью моносплайнов как у С. М. Никольского [2]—[3] и В. И. Крылова [6], а так же более новые методы, применяемые В. И. По-ловинкиным [4], [5].

Изложим более подробно историю вопроса. Исследуемая здесь тематика восходит в первую очередь к работам С. JI. Соболева [7]-[10], связанных с построением асимптотически оптимальных кубатурных формул в пространствах типа L2*.

Так как в диссертации рассматриваются только решетчатые квадратурные формулы с функционалами ошибок {lh} С Н* Г lh(x), /(*)) = / f(x)dx - £ Ci>hf(a + ih), (0.4) a i=0 где Cith—постоянные, h = (6 — a)/n, —oo < a < b < oo то ограничимся описанием вопросов, связанных с решетчатыми формулами.

Пусть функционалы (0.4) исследуются в нормированном пространстве Н и принадлежат Н*. Последовательность функционалов (0.4) называется асимптотически оптимальной в Н, если для любой последовательности функционалов {ph} С Н* Г ср\х), f(x)) = / f(x)dx - ^ Aj,hf(a + jh), (0.5) a j=° где Ajfi—постоянные, j = 0,1, • • •, n выполняется

Шп&>1. С

Последовательность {/л} называется оптимальной, если ||/л||я* минимальна среди всех норм в Н* функционалов вида (0.5).

С. Л. Соболев показал асимптотическую оптимальность построенных им формул с регулярным пограничным слоем в пространствах Ь™(Еп) и близким к ним пространствах Е/™^), где О,—область интегрирования.

Этот и другие результаты С. Л. Соболева были в той или иной мере обобщены В. И. Половинкиным [11]—[15], [4], [5], [16]—[1Т], О. И. Бесовым [18], М. Д. Рамазановым [19], Ц. Б. Шойнжуровым [20], М. В. Носковым [21], X. М. Шадиметовым [22].

В определенной мере, данной тематике посвящены исследования, относящиеся к разным задачам, связанным с оценками погрешностей интегрирования, проводимые И. В. Бойковым [23], А. А. Женсыкбаевым [28] и многими другими авторами [26]—[29].

Настоящая диссертация непосредственно обобщает с пространств Ь], р € (1; оо] результаты В. И. Половинкина [4], [5] на пространства \

Ь\ [а, Ь]. Отметим, что первоначально В. И. Половинкин исследовал задачи, связанные с асимптотической оптимальностью решетчатых формул в пространствах где —ограниченная область п-мерного пространства [11], а затем более подробно изучил одномерный случай. Несколько позднее сходная задача в одномерном случае была рассмотрена в монографии [30].

В. И. Половинкиным были построены асимптотически оптимальные последовательности квадратурных формул, принадлежащие введенному им классу кубатурных формул с пограничным слоем. Функционалы ошибок этих формул имеют вид (0.4) при определенном выборе коэффициентов С,*^. Приведем важнейшие результаты из [4], [5] для р £ (1; оо). Их формулировка опирается на понятие сопутствующего числа последовательности (0.4).

Если {lh}— последовательность функционалов с пограничным слоем, то ее сопутствующее число ае определяется так ае = (b-a)-l\\m{hrrn{lh(x),xrn)}. (0.6)

1-+0

Основной результат этих работ такой: а). Справедлива асимптотическая оценка

Н'И^'-м = - «)1Лн(-1ГДп(®)+»iií,p.i]ft"(i+от (о.?) ^ ^ ^ //¿i при h —> 0, где Вт{х) - полином Бернулли степени т ; б). Последовательность функционалов с пограничным слоем {lh} асимптотически оптимальна в l}™\a, b] тогда и только тогда, когда ае удовлетворяет трансцендентному уравнению i

-1 )тВт(х) + sign{{—l)m Вт{х) + ae)dx = 0, (0.8) где р, q Е (1; 00), ^ + i = 1. Такие асимптотически оптимальные последовательности функционалов всегда можно построить.

Отметим, что исследованию уравнения (0.8) посвящено ряд работ [16], [31]. При нечетном т или р = 2 решением этого уравнения является ае = 0. Случай такого ае соответствует последовательностям квадратурных формул с регулярным пограничным слоем С. JL Соболева.

В теоремах 5 и 6 работы [5], аналогичные теоремам 4 и 5 из [4] было обращено внимание на особенности случая р = 1. Далее приведем формулировки этих теорем. Последовательности функционалов, рассматриваемые в упомянутых теоремах, относятся к последовательностям функционалов типа L

Грегори которые имеют вид ьг * п-4-1 г'=0 г=4+1

0.9) где ао, • • •, ап Рог--, &— числа, п = 77,77 + 1, • • •, £ < 77/2 и удовлетворяют условиям

1н(х),хк) = 0 при & = 0,1, • • •, т — 1.

К этому классу относятся последовательности функционалов ошибок квадратурных формул Грегори. Отметим, что последовательности типа Грегори принадлежат к классу последовательностей функционалов с пограничным слоем.

Теорема 5. [5] Пусть {/Л}—последовательность типа Грегори. Тогда

1Икгм = кит, (о.ю) где К -некоторая постоянная.

Теорема 6. [5] Для любых чисел А найдется последовательность типа Грегори с сопутствующим числом ев, такая, что

Выделим две особенности функционалов типа Грегори в пространствах т)*М]:

1). Как главные члены норм функционалов ошибок, так и свойства асим-тотически оптимальных последовательностей функционалов типа Грегори в [а, Ь] не определяется сопутствующими числами. Описание последовательностей асимптотически оптимальных функционалов в этом случае существенно сложнее, чем в случае пространств р > 1;

2). У последовательностей типа Грегори в отличии от формул (0.7), норма функционалов ошибок является однородной функцией параметров Н. В правой части формулы (0.10) теоремы 5 отсутствуют члены более высокого порядка малости, чем /г.

Далее в диссертации будет показано, что при р = 1 в пространствах Ь^*[а,Ь] можно получать выражения не только для главных членов норм функционалов из оптимальных последовательностей, но и точные выражения для норм функционалов оптимальных последовательностей, несодер-жащих членов высшего порядка малости.

Так же далее будут исследованны свойства оптимальных формул, связанные с их единственностью и сопутствующими числами.

Цели и результаты настоящего исследования состоят в следующем:

1). Получить асимптотические выражения норм функционалов ошибок квадратурных формул Грегори для пространств

2). "Улучшить" с целью уменьшения нормы функционала погрешности квадратурной формулы Грегори с помощью прибавления к квадратурным суммам разностных операторов, зависящих от одного или нескольких параметров, с носителями близкими к концам промежутка интегрирования [42]. Подобные уточнения проводились Крыловым В. И. [6] с целью увеличения точности формулы.

3). При 7п = 2 удалось описать последовательности оптимальных решетчатых формул, функционалы ошибок которых являются последовательностями типа Грегори [35]—[39]. Такие формулы неединственны [40], могут иметь разные сопутствующие числа и даже могут быть несимметричными относительно середины отрезка интегрирования [41]. Результаты проиллюстрированы численно и графически.

Аналогом описанного результата в пункте 3) для пространств типа Ь™ были посвящены работы С. Л. Соболева (гл. 9 [26]). С .Л. Соболев применял математический аппарат, основанный на дискретных уравнениях Винера-Хопфа. Позднее X. М. Шадиметов обобщил результат С. Л. Соболева на пространства ¡^[а, Ь] [22].

Метод доказательства теоремы 1.1., теоремы 1.2. в настоящей диссертации существенно проще методов, использующихся в работах С. Л. Соболева [8]—[10] и X. М. Шадиметова [22]. Отметим, что и другими авторами исследовались квадратурные формулы в пространствах ¿^[с^б] [33], [34]. Достаточно полная библиография научной литературы по данному вопросу приводится в книге [26]. Однако, их исследования относились не к исследованиям асимптотически оптимальных квадратурных формул, а к решению задачи Никольского-Колмогорова о нахождении оптимальных формул в классах формул, где допускается изменение как коэффициентов, так и узлов. Разумеется, ранее были получены асимптотические выражения для норм функционалов ошибок в пространствах Ь] обычных усложненных квадратурных формул, например, формул Ньютона-Котеса. Однако, эти классы квадратурных формул не включают в себя квадратурные формулы Грегори и другие формулы, рассматриваемые в диссертации.

Данная диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, заключения, списка использованных источников из 42 наименований и приложений А, Б, В, Г. Общий объем диссертации 135 страниц.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1). Для пространства Ь] удалось описать последовательности оптимальных решетчатых формул, функционалы ошибок которых являются последовательностями типа Грегори. Такие формулы не единственны, могут иметь разные сопутствующие числа и даже могут быть несимметричными относительно середины интервала интегрирования. Результаты проиллюстрированы численно и графически;

2). Получены выражения норм функционалов ошибок квадратурных формул Грегори для пространств Ь] при га = 2, 3;

3). С целью уменьшения норм функционалов погрешности в пространстве Ь^*[а,Ь] уточнены квадратурные формулы Грегори со вторыми разностями путем добавления к квадратурным суммам конечных разностей третьего порядка с носителями близкими к концам промежутка интегрирования. Найдены интервал изменения параметра минимизации и значение этого параметра, при котором достигается наименьшая норма функционалов ошибок уточненных формул Грегори в пространстве Ь^*[а,Ь].

Результаты диссертации, изложенные в § 1.2. и главе 3, выполены при финансовой поддержке грантов РФФИ: 99-01-00765, 03-01-00703.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Владимиру Ильичу Половинкину за постановку задачи и постоянное внимание, которое он оказывал при получении результатов диссертации, а также благодарность кандидату физико-математических наук Татьяне Валерьевне Сидоровой за помощь в оформлении диссертации.

Заключение

1. Никольский С. М. Квадратурные формулы.— Москва: Гос. идз-во физ.-мат. лит-ры, 1958. -124 с.

2. Никольский С. М. Квадратурные формулы.— М: Наука, 1974.

3. Никольский С. М. Квадратурные формулы. (С дополнением Н. П. Корнейчука) —М: Наука, 1988.

4. Половинкин В. И. Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем и последовательности типа Грегори // Квадратурные и кубатурные формулы. Решение функциональных уравнений. Методы вычислений. -JL: ЛГУ. 1981- Вып. 12 С. 7-25.

5. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. — М.: Наука, 1967.- 500 с.

6. Бабушка И., Соболев С. JI. Оптимизация численных методов // Api. Mat. 1965.- № 10.- p. 96-129.

7. Соболев С. JI. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, -1974.- 808 с.

8. Соболев С. Л. Кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем // Докл. АН СССР-1965.-Т. 163.- № 3- С. 587-590.

9. Соболев С. Л. Лекции по теории кубатурных формул.-Новосибирск: Новосиб. ун-т, 1965.-263 с.

10. Половинкин В. И. Кубатурные формулы в ¿^(П) // Докл. АН СССР.-1970. -Т. 190.- № 1.- С. 42-44.

11. Половинкин В. И. Некоторые вопросы теории весовых кубатурных формул // Сиб. мат. журн- 1971. -Т. 12.- № 1- С. 177-196.

12. Половинкин В. И. Последовательности функционалов с пограничным слоем // Сиб. мат. журн 1974 - Т. 15,- № 2.- С. 413-429.

13. Половинкин В. И. Асимптотическая оптимальность последовательностей формул с регулярным пограничным слоем при нечетных т // Сиб. мат. журн 1975 - Т. 16.- № 2-С. 328-335.

14. Половинкин В. И. Асимптотически наилучшие последовательности кубатурных формул // Сиб. мат. журн. -1975-Т. 16.-№ 6.-С. 1255-1262.

15. Половинкин В. И. Некоторые свойства одного функционального уравнения теории квадратурных формул // Квадратурные формулы и их приложения: Сборник статей семинара-совещания.— Красноярск, 1994. С. 79-89.

16. Бесов О. В. Межъячеечные усреднения и оценка ошибок кубатурных формул в пространствах С. JI. Соболева и их обобщениях // Тр. мат. ин-та АН СССР.-1977- Т. 143.- С. 42-56.

17. Рамазанов М. Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. Уфа: Изд-во Башкирского ун-та, 1973.

18. Шойнжуров Ц. Б. Кубатурные формулы в пространстве С. JI. Соболева Wpm. — Улан-Уде: Изд-во ВСГТУ, 2002.- 282 с.

19. Носков М. В. Асимптотически оптимальные кубатурные формулы на решетчатых поверхностях // Тр. семинара акад. С. JI. Соболева.- Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1983.- № 2 С. 103-112.

20. Шадиметов X. М. Оптимальные решетчатые квадратурные и кубатурные формулы в пространствах Соболева: Дис. доктора физ.-мат. наук: 01.01.07—Ташкент, 2002.-218 с.

21. Бойков И. В. Пассивные и адаптивные алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов — Пенза: Изд-во. гос. тех. ун-та, 1995.

22. Бахвалов Н. С. Численные методы.— М.: Наука, 1973.

23. Блинов Н. И., Войтишек JI. В. О построении кубатурных формул с регулярным пограничным слоем для рациональных многогранников // Тр. семинара акад. С. JI. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1979.- № 1.- С. 5-15.

24. Соболев С. JI., Васкевич В. JL Кубатурные формулы.— Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996.-484 с.

25. Васкевич В. J1. О сходимости квадратурных формул Грегори // Докл. АН СССР.-1981 Т. 261.- 5.- С. 1041-1043.

26. Женсыкбаев А. А. Моносплайны минимальной нормы и наилучшие квадратурные формулы // Успехи мат. наук.- 1981.- Т. 36,- вып. 4.-С. 107-159

27. Белых В. Н. Об оценках колмогоровской е-энтропии компактов С°° — гладких функций на конечном отрезке// Кубатурные формулы и их приложения: Материалы VII Международного семинара-совещания/ Красноярск: Изд-во КГТУ, 2003 С. 4-10

28. Levin М., Girshovich J. Optimal quadrature formulas. BSB. B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1979.

29. Сидорова Т. В. Об асимптотической оптимальности квадратурных формул С. JI. Соболева в пространствах L^(a,b): Дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.07 — Красноярск, 2003.-88 с.

30. Мысовских И. П. Лекции по методам вычислений: Учеб. пособие. 2-е изд., испр. и доп. —С.-Пб.: Издательство С.-Петербургского университета, 1998 472 с.

31. Корнейчук Н. П., Лушпай Н. Е. Наилучшие квадратурные формулы для классов дифференцируемых функций и кусочно полиномиальное приближение // Изв. АН, серия матем.- 1969 33:6 - С. 1416-1437

32. Шайдаева Т. А. Квадратурные формулы с наименьшей оценкой остатка для некоторых классов функций. // Труды Матем. ин-та им.

33. B. А. Стеклова.- 1959.-53.- с. 313-341

34. Шатохина Л. В. Оптимизация двухпараметрических квадратурных формул для пространства Ь\а,Ь] // Кубатурные формулы и их приложения: Материалы V международного семинара-совещания.— Красноярск: КГТУ, 2000 С. 228-237.

35. Шатохина Л.В. Оптимизация квадратурных формул типа Грегори для пространства Ь] // Кубатурные формулы и их приложения: VI международный семинар-совещание — Уфа: ИМВЦ УфНЦ РАН, БГПУ, 2001.- С. 156-158.

36. Шатохина Л. В. Оптимизация решетчатых квадратурных формул для пространства Ь^а,Ь] // II Всесибирский конгресс женщин математиков: Тезисы докладов.— Красноярск: Краен, гос. ун-т, 2002.- С. 255-256

37. Шатохина Л.В. Оптимизация квадратурных формул для пространства Ь] // Вопросы математического анализа: Сб. науч. тр. — Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2002 Вып. 5-С. 100-104.

38. Шатохина JI.B. Оптимальные решетчатые квадратурные формулы в пространстве ¿^(а, b) // Вопросы математического анализа: Сб. науч. тр.— Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2003.- Вып. 6.- С. 258-263.

39. Шатохина JT. В. Некоторые свойства асимптотически оптимальных квадратурных формул в пространстве L^a,b] // Кубатурные формулы и их приложения: Материалы VII Международного семинара-совещания.— Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2003 С. 202-204

40. Шатохина JI. В. Уточнение квадратурных формул Грегори со вторыми конечными разностями в пространстве 43)а,Ь] / СибГТУ.— Красноярск, 2003. -15 е.- Деп. в ВИНИТИ 07.10.2003, N 1771-В.2003