Приближенное вычисление потенциалов Рисса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

003477Э2 1

На правах рукописи

Медведева Мария Ивановна

ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛОВ РИССА

01.01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

-1 окт 2009

Красноярск — 2009

003477921

Работа выполнена в Сибирском федеральном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор.

Половинкин Владимир Ильич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Кытманов Александр Мечиславович

кандидат физико-математических наук, Шатохина Лариса Владимировна

Ведущая организация: Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, г. Уфа

Защита состоится 23 октября 2009 г. в 14.00 на заседании диссертационного совета ДМ 212.099.18 в Сибирском федеральном университете по адресу:

660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26, корпус Ж, ауд. 1-15.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки Сибирского федерального университета, ул. Киренского, 26.

Автореферат разослан « » сентября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцентж/ К. А. Кириллов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория квадратурных формул и их многомерных аналогов — кубатурных формул является достаточно хорошо развитой областью математического анализа и вычислительной математики. Построением правил приближённого интегрирования занимались такие великие математики прошлого, как И. Ньютон, Л. Эйлер, К. Ф. Гаусс, П. Л. Чебышёв и др. Весомый вклад в современную теорию квадратурных и кубатурных формул, во многом определивший её развитие, внесли академики Н. С. Бахвалов, С. Н. Никольский, С. Л. Соболев и созданные ими школы.

Можно указать на три важнейших направления, которые прослеживаются в данной тематике. Первое направление состоит в построении и изучении формул, точных на конечномерных подпространствах алгебраических, тригонометрических или сферических многочленов. Второе направление характеризуется построением формул на основе теоретико-вероятностного подхода (метод Монте-Карло). Третье направление, к которому относится настоящая диссертация, связано с непосредственным применением методов функционального анализа и теории функций к выводу оценок погрешностей формул приближённого интегрирования.

Последний подход к изучению квадратурных и кубатурных формул осуществлялся в работах многих учёных, в частности, С. М. Никольского [1], С. Л. Соболева [2], а также его учеников и последователей: В. Л. Васкевича [3], В. И. Половинкина [4, 5], М.Д. Рамазанова [6, 7], Ц. Б. Шойнжурова [8, 9] и др.

Интерес к задачам, связанным с теорией кубатурных и квадратурных формул, не ослабевает. Это доказывает обилие научных публикаций, а также регулярное проведение научных конференций и семинаров, посвященных ку-батурным формулам и их приложениям.

Цель работы. Вывод и анализ оценок погрешностей квадратурных и кубатурных формул из последовательностей функционалов с пограничным слоем на функциях, представимых в виде потенциала Рисса. Эти потенциалы хорошо известны [10, 11] и находят применение во многих прикладных задачах. Многие интегрируемые функции представимы в виде данных потенциалов.

Методика исследования. В диссертации использовались методы математического и функционального анализа, теории функций и вычислительной математики. Для проведения символьных вычислений применялась система

компьютерной алгебры MAPLE.

Научная новизна и положения, выносимые на защиту. Все основные результаты диссертации являются новыми, получены автором лично, снабжены полными доказательствами и состоят в следующем.

1) Для квадратурных формул из последовательностей с пограничным слоем при стремлении шага сетки узлов к нулю получены асимптотические выражения погрешностей на классах Aa(Lp(a,b)), 1 < р < оо, состоящих из функций, пред ставимых в виде потенциала Рисса, плотность которого принадлежит Lp(a, Ь).

2) Найден наилучший порядок сходимости произвольных квадратурных формул на классах Aa(Lp{a, b)).

3) Установлено, что у всех решетчатых- последовательностей функционалов с пограничным слоем главные члены точных верхних оценок на классах Aa(Lp(a,b)) одинаковые.

4) Оценена скорость сходимости квадратурных формул с пограничным слоем на конкретных (индивидуальных) функциях из классов Aa(Lp(a,b)).

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации могут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории приближенного интегрирования, а также для конструирования и получения оценок погрешностей квадратурных и кубатурных формул при практическом численном интегрировании.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на

• Международных семинарах-совещаниях «Кубатурные формулы и их приложения» (Красноярск, 2003 г.; Уфа, 2007 г.);

• Всесибирских конгрессах женщин—математиков (Красноярск, 2004 г., 2006 г. и 2008 г.);

• Международной конференции «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений», посвященной 100-летию со дня рождения С. JI. Соболева (Новосибирск, 2008 г.);

• Международной конференции «Вычислительная математика, дифференциальные уравнения, информационные технологии», посвященной памяти чл.-корр. СО АН ВШ, д.ф.-м.н., профессора Ц. Б. Шойнжурова (Улан-Удэ, 2009 г.);

• научных семинарах в Красноярском государственном техническом университете, в Сибирском федеральном университете (Красноярск), в Институте вычислительного моделирования СО РАН (Красноярск).

Часть результатов получена автором

— при финансовой поддержке гранта 6-го конкурса-экспертизы научных проектов молодых ученых РАН (1999 г., грант №3);

— в ходе работ по проектам Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов № 02-01-01167, 03-01-00703, 03-07-90077, 06-01-00597, 07-01-00326).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ. Основные результаты диссертации содержатся в статьях [19, 21, 24, 26, 28], из которых 2 статьи в периодических изданиях по списку ВАК, 3 статьи в сборниках научных трудов. В работах [24, 28] вклад соавторов одинаков.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав и списка литературы, содержащего 62 наименования. Объем диссертации (включая пять таблиц) — 91 страница.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение состоит из двух параграфов.

В первом параграфе описывается тематика результатов диссертации и ее структура.

Во втором параграфе приводятся основные обозначения и определения, используемые в тексте диссертации.

Первая глава называется «Асимптотические выражения для функционалов ошибок с пограничным слоем» и состоит из трех параграфов. Она посвящена, главным образом, исследованию вопросов, связанных с нахождением неулучшаемых оценок погрешностей квадратурных формул на классах функций Aa(Lp(a, £>)), представимых в виде потенциала Рисса.

Пусть —оо < а < Ъ < оо, 1/р + 1/q = 1, р £ (1,оо), п — натуральное число, h — (b — а)/п.

Обозначим через Aa(Lp{a,b)) — множество функций /, представимых в виде

ь

Дат) = (Aa<pf)(x) = J \х - dt, (1)

а

где <pf(t) принадлежит пространству Lp(a,b), а не является целым числом, ар > 1. Последнее неравенство гарантирует непрерывность на [а, 6] функций из Aa(Lp(a, b)). Отметим, что данные классы могут быть описаны через

классы функций Ь), связанные с левосторонним и правосторонним интегралами Римана-Лиувилля.

Квадратурным формулам с пограничным слоем в классах Ъ) посвящены исследования, проводимые в работах [5] и [12]. Пусть I — функционал ошибок квадратурной формулы

где С[? — соответственно узлы и коэффициенты данной формулы, G [a, b] (1 < й s* N), а\ < Ьъ [ab6i] с [а, 6].

Множество функционалов I вида (2), точных на многочленах степени не выше целой части числа а, обозначим через L[a]. Введем обозначение:

т(1)= sup |(/,/)|= sup

где I € L[a].

Определение 1. Последовательность функционалов {lh} называется последовательностью функционалов с пограничным слоем, если существуют числа г ^ 0 — целое, К > 0 и функционалы I, £g, I% 6 L[aj, удовлетворяющие условиям

supp I С [-г, г + 1], supp С [a, a + Kh], supp l„C[b- Kh, 6], ie(C[-r,r + l])*, ¿J € {C[a,a + Kh})*, lhn e {C[b - Kh,b]Y,

и справедливы равенства

n-r—l

lh(x) = lh0(x) +J2l((x- a)/h - 7) + lhn(x),

7=r

а также оценки

m(ih0) = o(ha), m(ihn) = o(ha)

при h —» 0.

Определение 2. Если {Z'1} — последовательность функционалов с пограничным слоем, I — функционал, соответствующий ей в определении 1, то I называется сопутствующим функционалом для {i'1}.

Определение 3. Последовательность квадратурных формул Г

/ /(!)&« +АЛ)

а к=°

называется последовательностью квадратурных формул с пограничным слоем, если последовательность функционалов ошибок этих формул {¿Л} является последовательностью функционалов с пограничным слоем.

Первый параграф главы 1 посвящен оценкам асимптотических выражений для функционалов погрешностей усложненных квадратурных формул в пространствах функций, в определении которых участвуют потенциалы Рисса вида (1). В нем формулируются основные результаты этой главы — теоремы 1.1 и 1.2.

Определим функцию ip следующим образом:

ОО 00

1Р(и) = £ V» = £ №), \v + 7 - иГ1). (3)

7=—оо 7=—оо

Здесь функционал I вида (2). Функция ф принадлежит Lq(0,1), является периодической на (—оо, оо) с периодом 1 и локально суммируемой там в степени р.

Теорема 1.1. Пусть — последовательность функционалов с пограничным слоем, I — ее сопутствующий функционал. Тогда при hО

Vl(lh)=ha(b-a)V*\\iP\\Li{0il) + o(ha). (4)

Теорема 1.2. Пусть {lh} — последовательность функционалов с пограничным слоем, I — ее сопутствующий функционал. Существует функция G, такая, что при h —► О имеет место равенство

m(lh) = ha(b - - «)) 111,(0,!) + o(ha).

Функция G может быть представлена в виде

00

G(z)= £ (b + zr'-pl^z)), 7=-00

где

Р\* \г) = 1-у]«-1 +

[а]

+ Е (а-1)(а- 2)...(а-^ ^ + >

к=1

а 7+ = юах {7,0}.

Параграф второй посвящен формулировкам и доказательствам тех утверждений, которые нам понадобятся для доказательства основных теорем 1.1 и 1.2. Приведем некоторые из них.

Лемма 1.1. Функционал I € Ь[а] на функциях вида (1) может быть представлен в форме

(г,/) = I ^(О^юсй,

где

= \x-tr1).

Кроме того,

\\т\\ь,(а,Ь) = Ш

Лемма 1.2. Пусть р, К, К\ — числа такие, что К, К\ > 0, р £ [а,Ь — К И], функционалы Iд вида

Ь1 N

*=1

принадлежат (С[р,р + КЩ)* П Ь[а] и верны неравенства

|1Ы1(С[а,Ь])' ^ Кф.

Тогда при /г —> 0

91(0 = о{ка).

Представим функцию ф~,(и) в виде суммы двух других: ф7{и) = ф+(и) + ф~{и),

где

ф+(и) = (1(ь), (V + 7 - и)?"1)- ^(и) = {№, (« - « - 7)ГХ)-

Лемма 1.3. Пусть и £ [0,1], тогда 'фу (и) = О,

■ф;(и) = (1(у), (и-у- 7)«-1) = (1(у), (и - и - 7)"-1) = V» при 7 ^ —г — 1 и 'фу {и) = О,

ф+(и) = (1(ь), (у + 7 - и)""1) = №), (у + 7 - и)"-1) = ^7(и)

при 7 ^ г + 1,

Лемма 1.4. Пусть в > О, и € [0,5], V € [—г, г + 1] и либо 7 ^ —г — 2, либо 7 ^ 5 + г + 2. Тогда найдется число К > 0 такое, что

Лемма 1.5. Пусть п > в > 0, и € [п — в, п\, у 6 [—г,т- + 1] и либо 7^п — я — г — 2, либо 7 ^ п + г + 2. Тогда найдется число К > 0 такое, что верно неравенство (5).

В третьем параграфе приведены доказательства теорем 1.1 и 1.2.

Вторая глава названа «Приближенное вычисление интегралов Рисса» и состоит из трех параграфов. В этой главе выводятся оценки погрешностей интегрирования преобразований Рисса через нормы в Ьр(а,Ь) оригиналов этих преобразований. Доказывается, что функционалы с пограничным слоем дают наилучший порядок равномерной сходимости в классах Аа(Ьр(а, &)), когда число узлов неограниченно возрастает. Здесь предполагаем, что а £ (р-1,1).

Первый и третий параграфы посвящены вопросам, связанным, непосредственно, с теорией квадратурных формул — теоремы 2.1 и 2.3. Доказательство теоремы 2.3 опирается на некоторые свойства интегралов специального вида, которые устанавливаются во втором параграфе.

В первом параграфе рассматриваются функционалы ошибок квадратурных формул на функциях из (1):

(5)

(6)

где числа с^ такие, что

N

а точки € [а, Ь] (Ю <

Теорема 2.1. Существуют последовательности чисел и точек

с постоянная А > 0 такие, что для функционалов вида (6) при всех <р/ £ Ьр(а, Ь) выполняются неравенства

Отметим, что за Iм из (6) можно взять функционалы из последовательностей с пограничным слоем.

Второй параграф носит вспомогательный характер и содержит необходимые для дальнейшего оценки интегралов специального вида.

Положим: Н = ЦЫ) = {Ь - а)/(2ЛГ), П(^) = Ц6д(^)(а + /и, а + /и + Я), где — совокупность целых чисел г 6 [0,2ЛГ — 1] таких, что интервалы (а + /и, а + Ы + Л) не содержат узлов х^,..., х1^ формулы (б).

Пусть число Л фиксировано и таково, что а < А ^ 1.

Рассмотрим произвольную функцию д(х), удовлетворяющую условию Гё-льдера порядка Л на [0,1], равенствам <?(0) = д(1) = 0 и неравенству

1

1

д{х)йх > 0.

о

Продолжим д(х) нулем с [0,1] на всю числовую ось и положим

„ / 9{пг-г), ге1л{Ы),х€(а + кг,а + кг + к), .

Теорема 2.2. Пусть е > 0 — произвольное число, функция дь,{х) определена формулой (7). Тогда существуют функции такие, что

о

при этом выполняется неравенство

Н^Нм^) < в^~а~£

где Вх — некоторая положительная постоянная.

Доказательство теоремы 2.2 опирается на следующий результат.

Лемма 2.1. Пусть функция f(x) на [а, Ь] удовлетворяет, условиям Г'ель-дера порядка А и равенствам /(а) = /(&) = 0. Тогда соответствующая ей в формуле (1) функция (р/(х) может быть представлена в виде

ъ ъ

= /У*-'Увей - /У*~')/(,М +

' 27Г Му (Ь-4)|а;-4|° ] (I - а)\x-t\- [

^ а а }

эт <ХК ,

В третьем параграфе приводится основной результат главы 2 — теорема 2.3 и ее доказательство.

Теорема 2.3. Для любого е > 0 и любой последовательности функционалов вида (6) существуют число В > 0 и функции <р/(х) € Ьр(а,Ь), такие, что выполняется неравенство

Из теорем 2.1 и 2.3 следует, что последовательности функционалов ошибок с пограничным слоем имеют неулучшаемый, в смысле степенных порядков, порядок стремления к нулю при неограниченном возрастании числа узлов N равномерной сходимости последовательности квадратурных формул на классах Аа(Ьр(а, &)).

Третья глава носит название «Решетчатые квадратурные формулы» и состоит из двух параграфов. В этой главе объектом изучения являются решетчатые квадратурные формулы на пространствах функций, представимых через потенциалы Рисса (1).

В первом параграфе приводятся выражения для сильной сходимости решетчатых квадратурных последовательностей функционалов с пограничным слоем.

Определение 4. Последовательность {7'1} функционалов вида

« п

(Л/)= / /(аОЛг-^сгДа + АА),

{ к=о

где Сд, ..., с™ — постоянные, {1к} € £(а], называется решетчатой квадратурной последовательностью функционалов с пограничным слоем, если она удовлетворяет всем условиям определения 1 и, кроме того, функционалы I, Iд, из этого определения имеют вид

/I TI

О к=-т

a+rh i

(lh0, Я = / № dx-J2 ck,hf(a + kh), (8)

a k=°

b t (tf)= [ f(x)dx-Y^clhf(b-kh),

b-rh

где t — фиксированной натуральное число, c°kh, (0 < k ^ t), cj. (—r ^ k ^ r + I) — постоянные.

Теорема 3.1. Пусть {lh} — решетчатая квадратурная последовательность функционалов с пограничным слоем и сопутствующим функционалом I из (8). Тогда имеет место равенство (4) при h —* 0, где функция ip вида (3).

Теорема 3.2. Пусть {/('} и {1%} — решетчатые квадратурные последовательности функционалов с пограничным слоем. Тогда имеет место соотношение

ш№Ь/т№)) = 1.

п—*и

Последняя теорема утверждает, что при а являющимся дробным числом у всех решетчатых последовательностей функционалов с пограничным слоем главные члены в асимптотических выражениях неулучшаемых оценок равномерной сходимости у функционалов ошибок одинаковые.

Во втором параграфе исследуется асимптотика сильной сходимости последовательностей функционалов ошибок усложненных квадратурных формул прямоугольников

Ъ. п-1

Й, /) = / /(*) dx~hJ2f(a + hf + Л/2)

а

и трапеций

7оо + т

(&/) = / ¡{х)йх-}1

+ £/(а + /г7) 7=1

при Л —> 0.

Теорема 3.3. Пусть а < 1, {¿1} ы {¿2} — последовательности функционалов ошибок усложненных квадратурных формул прямоугольников и трапеций соответственно, функция ф из формулы (3). Тогда

(Ь ~ а)1/ч|Мк(°Д) = + Ш) = + Ш),

где функции (3\(К) и стремятся к нулю при К —> 0.

Подобные результаты в пространствах Ьр(а,Ь), а € (1/р, 1], ранее были приведены в [5].

Четвертая глава называется «Сходимость последовательностей решетчатых квадратурных формул на конкретных функциях» и состоит из двух параграфов.

В этой главе исследуются квадратурные формулы с пограничным слоем на конкретных функциях из класса Аа(Ьр(а, 6)), где а — показатель степени потенциала Рисса.

Сходимостью кубатурных формул на конкретных функциях, в частности, занимался С. Л. Соболев [2]; он рассматривал функции из пространств типа Ь™ в периодическом случае. В. И. Половинкин в работах [13] и [14] исследовал вопросы о сходимости кубатурных формул на конкретных функциях в классах типа Ь™, когда интегрируемые функции не являются периодическими.

Лемма 4.1. Пусть ■¡7'1} и {рк} — решетчатые квадратурные последовательности функционалов с пограничным слоем. Тогда

- рн) = о[1га) при /ь —>• 0.

Теорема 4.1. Пусть {['г} — решетчатая квадратурная последовательность функционалов с пограничным слоем, / € Аа(Ьр(а, &)). Тогда

(1к,/) =о(}га) при /г —> 0.

Во втором параграфе аналог теоремы 4.1 устанавливается для асимптотически оптимальных последовательностей весовых кубатурных формул для п-мерных периодических пространств Щ'(Н) с матрицей периодов Н, рассмотренных ранее в [15]. В одномерном случае пространство Ь™{Н) есть пространство квадратично суммируемых по периоду дробных производных Вейля [10].

Глава 5 носит название «Некоторые примеры исследований квадратурных формул» и состоит из двух параграфов.

Первый параграф посвящен вычислению норм функционалов ошибок квадратурных формул прямоугольников, трапеций, Гаусса, Симпсона, Грегори в пространствах ¿^2(0,1), т.е. состоящих из функций /(х) вида

I

о

При этом

1 \ 1/2

называется левосторонней дробной производной Римана—Лиувилля и совпадает с функцией <р € Ьр(а,Ь), см. [10]). Случай данных пространств интересен тем, что нормы функционалов ошибок можно явно выразить в классах ¿^(О, !)■

Норма функционала ошибок квадратурной формулы

Ь. N

//(х)^«^/^), (9)

{

равна

Н^кх-м). = (гигчкгот), (х - ОГ^км- (10)

где Г(а) — гамма-функция Эйлера.

Правая часть равенства (10) при р = 2 и а = 3/2 была вычислена в случаях, когда квадратурная формула (9) есть усложненная формула прямоугольников, усложненная формула трапеций, формула Гаусса, усложненная формула Симпсона или формула Грегори с максимальным порядком разности т при т = 1 и т = 2 (см., например, [с. 42-43, 1], [гл. 7, 16], [с. 235-236,

¿2/2(0,1)

= 11/(3/2)1и2(од,=

17]). Во всех вычислениях N < 20; результаты вычислений представлены в таблицах 1 и 2 диссертации.

Относительно большие нормы функционалов ошибок среди всех рассмотренных квадратурных формул имеют усложненные формулы трапеций и Си-мпсона, однако при существенном увеличении количества узлов формула трапеций мало отличаются от формул Грегори. Усложненная формула Симпсо-на для всех рассмотренных значений N дает «худший» результат. «Лучший» результат обеспечивается усложненной формулой прямоугольников.

Во втором параграфе были рассмотрены некоторые функции из пространства Ьр{0,1), подобранные так, чтобы интеграл

вычислялся в элементарных функциях. В качестве </?(х) последовательно брались функции:

1) '¡р = 1, а = 0.99;

2) (с£ + с?)""1, где а = 1/2 или а = 3/2.

Были вычислены значения функционалов следующих квадратурных формул: усложненной формулы трапеций, усложненной формулы прямоугольников, усложненной формулы Симпсона, формулы Грегори с максимальным порядком разности т при т = 1 и при т = 2. Количество узлов N ^ 10. Все результаты вычислений представлены в таблицах 3-5 диссертации.

В рассмотренных примерах самые «плохие» результаты показали усложненные формулы трапеций. В некоторых случаях лучшими были формулы прямоугольников, в других — формулы Симпсона и квадратурные формулы Грегори с т = 2.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Владимиру Ильичу Половинкину за постоянное и неослабевающее внимание к работе, ценные замечания и советы по её написанию.

1. Никольский С. М. Квадратурные формулы/ С. М. Никольский- М.: Наука, 1974.

о

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

2. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул/ С. Л. Соболев -М: Наука, 1974. 808 с.

3. ВаскевичВ. Л. Гарантированная точность вычисления многомерных интегралов/ В. Л. Васкевич // Дисс. докт. физ.-мат. наук. - Новосибирск, 2003. 243 с.

4. ПоловинкинВ. И. Последовательности кубатурных формул и функционалов с пограничным слоем/ В. И. Половинкин // Дисс. докт. физ.-мат. наук. - Ленинград, 1979. 240 с.

5. Половинкин В. И. Последовательности функционалов с пограничным слоем в пространствах одномерных функций, обладающих дробными, производными Римана —Лиувилля/ В. И. Половинкин // Математические труды. - 2002. - Т. 5. - №2. - С. 178-202.

6. Рамазанов М. Д. Лекции по теории приближенного интегрирования/ М. Д. Рамазанов - Уфа: Изд-во БашГУ, 1973. 177 с.

7. Рамазанов М. Д. Теория решетчатых кубатурных-формул с ограниченным пограничным слоем/ М. Д. Рамазанов — Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН, 2009. 178 с.

8. Шойнжуров Ц. Б. Кубатурные формулы в пространстве С. Л. Соболева Wpm/ Ц. Б. Шойнжуров - Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2002. 202 с.

9. Шойнжуров Ц. Б. Оценка нормы функционала погрешности кубатурных формул в различных функциональных пространствах/ Ц. Б. Шойнжуров - Улан-Удэ: Изд-во Бурятского научного центра СО РАН, 2005. 247 с.

10. Самко С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их применения/ С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев - Минск: Наука и техника, 1987.

11. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение/ А. М. Нахушев -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 272 с.

12. СевастьяноваН. А. Последовательности функционалов с пограничным слоем в пространствах функций с дробными производными/ Н. А. Севастьянова // Вопросы математического анализа: Сборник научных трудов. - Красноярск: ИПЦ КГТУ, 1997. - Вып. 2. - С. 106-119.

13. Половинкин В. И. Квадратурные формулы в пространствах функций/ В. И. Половинкин - Красноярск: СФУ, 2007.

14. Половинкин В. И. Сходимость последовательностей кубатурных формул с пограничным слоем на конкретных функциях/ В. И. Половинкин // Математический анализ и смежные вопросы математики. - Новосибирск: Наука, 1978. - С. 183-191.

15. Половинкин В. И. Весовые кубатурные формулы в периодическом случае/ В. И. Половинкин // Математичёские заметки. 1968. - Т. 3. - № 3.

- С. 319-326.

16. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов/ В. И. Крылов - М.: Наука, 1967. 500 с.

17. МысовскихИ. П. Лекции по методам вычислений/ И. П. Мысовских -СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского университета, 1998.

ОСНОВНЫЕ РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

18. Медведева М. И. Асимптотика норм функционалов ошибок с пограничным слоем для потенциалов Рисса/ М. И. Медведева // Кубатурные формулы и их приложения: Материалы VII Международного семинара-совещания. - Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2003. - С. 86-89.

19. Медведева М. И. Квадратурные формулы в пространствах дробных производных Римана —Лиувилля ьУ2(а, Ь)/ М. И. Медведева // Вопросы математического анализа: Сборник научных трудов. - Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2003. - Вып. 6. - С. 134-143.

20. Медведева М. И. Асимптотика норм функционалов ошибок квадратурных формул с пограничным слоем на функциях, представимых в виде потенциала Рисса/ М. И. Медведева // III Всесибирский конгресс женщин-математиков: Тезисы докладов. - Красноярск: ПФК «ТОРРА», 2004.

- С. 14-15.

21. Медведева М. И. Асимптотика норм функционалов ошибок с пограничным слоем для потенциалов Рисса/ М. И. Медведева // Вопросы математического анализа: Сборник научных трудов. - Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004. - Вып. 8. - С. 85-98.

22. Медведева М. И. Последовательность квадратурных формул с пограничным слоем на конкретных функциях, обладающих дробными производными/ М. И. Медведева //IV Всесибирский конгресс женщин-математиков: Материалы конференции. - Красноярск: РИО СибГТУ, 2006. - С. 108-110.

23. Медведева М. И. Последовательность квадратурных формул на конкретных функциях/ М. И. Медведева // Кубатурные формулы и их приложения: Труды IX-го международного семинара-совещания. - Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН, 2007. - С. 85-92.

24. Козлов В. Н. Последовательность квадратурных формул на конкретных функциях/ В. Н. Козлов, М. И. Медведева, А. И. Акимов // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион, 2007. - С. 11-13.

25. Медведева М. И. О порядке сходимости квадратурных формул на функциях из пространства потенциала Рисса/ М. И. Медведева // V Всесибирский конгресс женщин-математиков: материалы конференции. -Красноярск: РИО СФУ, 2008. - С. 298-303.

26. Медведева М. И. О порядке сходимости квадратурных формул на функциях из пространства потенциала Рисса/ М. И. Медведева // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics 2008, - № 1(3). -S. 296-307.

27. Медведева M. И. Вычисление интегралов типа потенциала Рисса/ М. И. Медведева // Тезисы докладов. Международная конференция «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений», посвященная 100-летию со дня рождения С.Л.Соболева. -Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 2008. - С. 528.

28. Медведева М. И. Приближенное вычисление интегралов Рисса/ М.И. Медведева, В. И. Половинкин // Математические труды. 2009. - Т. 12. -№ 2. - С. 1-15.

Медведева Мария Ивановна Приближенное вычисление потенциалов Рисса

Автореф. дисс. на соискание учёной степени кандидата физ.-мат. наук. Подписано в печать(ЯЮ9.2009. Заказ № Формат 60x90/19. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Отпечатано в типографии СФУ 660074, Красноярск, ул. Киренского, 26

Введение.

§1. О содержании диссертации

§2. Основные обозначения и определения

1. Асимптотические выражения для функционалов ошибок с пограничным слоем

§1. Оценки погрешностей

§2. Формулы для оценок погрешностей интегрирования.

§3. Доказательство теорем

2. Приближенное вычисление интегралов Рисса.

§1. Верхние оценки погрешностей формул

§2. Оценки интегралов специального вида

§3. Нижние оценки погрешностей формул

3. Решетчатые квадратурные формулы

§1. Решетчатые квадратурные последовательности функционалов

§2. Формулы прямоугольников и трапеций

4. Сходимость последовательностей решетчатых квадратурных формул на конкретных функциях

§1. Сходимость квадратурных процессов

§2. О сходимости последовательностей функционалов ошибок на конкретных периодических функциях

5. Некоторые примеры исследований квадратурных формул

§1. Квадратурные формулы в пространствах дробных производных Римана-Лиувилля Ь^2(а, Ъ)

§2. Вычисление функционалов ошибок на функциях из Аа{Ьр(а,Ь))

§ 1. О содержании диссертации

В диссертации будут рассматриваться, главным образом, квадратурные формулы, т.е. формулы вида

Параметры с\- и точки X}- соответственно называются коэффициентами и узлами квадратурной формулы, р{х) — фиксированная функция называемая весовой, /(х) — интегрируемая функция. В настоящее время теория квадратурных формул разработана достаточно полно. Квадратурные формулы, такие как, например, формулы Ньютона-Котеса, Гаусса, Грегори, Чебышева и другие, широко используются в различных областях науки и техники.

Отметим, что в случае многомерного интегрирования по области О квадратурные формулы принято называть кубатурными, т.е.

Для формул интегрирования, как правило, указывается некоторое множество функций, на которых она точна при минимальном или фиксированном числе узлов N. Обычно это множество, состоящее из алгебраических или тригонометрических многочленов степени не выше некоторого фиксированного числа.

Задачи приближенного интегрирования состоят в том, чтобы сумму, стоящую в правой части (0.1), подобрать с учетом выполнения тех или иных заранее заданных свойств формулы (0.1). Укажем на несколько подходов для определения качества квадратурных и кубатурных формул.

0.1) N 3

Для алгебраического подхода характерно оценивать кубатурные формулы по-тому, насколько большее число полиномов они обращают в точное равенство (т. е. лучшей считается формула, точная на возможно большем числе полиномов при заданном числе узлов). Подобные исследования можно проводить и для отличных от алгебраических полиномов наборов функций, например, тригонометрических или сферических многочленов. Исследования, связанные с кубатурными формулами, обладающими высоким порядком точности, проводили, например, И. П. Мысовских [26 — 28], В. И. Крылов [12] и другие.

Среди других методов приближенного интегрирования часто полезными являются методы, основанные на теории вероятности, например, метод Монте-Карло [3, 10, 25, 53, 54].

Данная диссертация относится к научному направлению, связанному с оценками погрешностей интегрирования, основанных на применении функционального анализа и теории функций действительной переменной. Особенно широко методы такого рода стали применяться после работ С. М. Никольского и С.Л.Соболева (см, например, книги [31] и [51]).

Различные вопросы теории квадратурных и кубатурных формул, относящиеся к этому направлению, изложены в ряде монографий и статей, см., например, Н. С.Бахвалов [2], В.И.Крылов [12]. Квадратурные и кубатурные формулы на классах интегрируемых функций и в функциональных пространствах исследовали, например, И. В. Бойков [5], В. Л. Васкевич [б], В. И. Половинкин [34], М. Д. Рамазанов [43 — 45], Ц. Б. Шойнжуров [56, 57].

Основная цель диссертации — исследование квадратурных формул для интегрирования функций, представимых в виде потенциала типа Рисса, на основе оценок их погрешностей на элементах некоторого линейного нормированного пространства. Эти потенциалы хорошо известны (см., например, [47, 55]).

Кратко опишем постановку рассмотренных задач и полученные результаты.

Рассмотрим квадратурные формулы ь и N

ПЛ = [ /(*) « ¿МЛ = <Г ск/(хк), (0.2) а оо < а < Ь < оо, про которые известно, что они точны на многочленах степени не выше т = [а], где а > 0 — дробные числа.

В дальнейшем для удобства будем вести речь не о квадратурных формулах вида (0.2), а о функционалах погрешностей (или ошибок) соответствующих формул, определенных равенствами ь м = [ /(^-¿с^/Ы, а к=1 а вместо последовательностей формул интегрирования рассматривать соответствующие последовательности функционалов ошибок.

В настоящей диссертации исследуются квадратурные формулы в классах Аа(Ьр(а, 6)), состоящих из функций, представленных в виде потенциала Рисса

А» (х) = I ¡х-гг^м, в котором а не является натуральным числом. Они сходны с пространствами Ь™(а,Ь), Ь™(£1) и Ьр(а:Ь), где Ь™(£1) — известные пространства Соболева, Ь™(а, Ъ) — их одномерные аналоги (т — целое число). Пространства Ьр(а,Ь), рассмотренные в [39], состоят из интегрируемых функций, у которых порядок производных а не является целым числом, а сами производные называются дробными производными Римана—Лиувилля.

Пространства типа Ь™ — это классические и хорошо изученные пространства анализа. Исследованиями квадратурных и кубатурных формул в пространствах и классах функций, связанных с дробными производными параметры гладкости которых характеризуются числами, не являющимися целыми) занимались многие авторы и ранее. Например, приближенное интегрирование функций «промежуточной гладкости» исследовалось для классов функций, определяемых через модули непрерывности и пространства, связанные с условием Гёльдера [1, 31], через коэффициенты рядов типа Хаара [32, 53], в классах функций, заданных через ряды Фурье [43] или производные в смысле Вейля [32], а также в пространствах, порожденных дробными производными Римана-Лиувилля [48 — 50] и [38, 39]. Выбор таких пространств связан не в последнюю очередь с тем, что дробные интегрирование и дифференцирование занимают важное место в теории функций, с ними связаны разные теоремы вложений и их приложения [4]. Производные дробного порядка встречаются в различных областях математики, в том числе во многих задачах, носящих прикладной характер [30, 47, 58, 59, 60, 61]. Например, дробное (дифференциальное и интегральное) исчисление в настоящее время приобретает важное значение в теории фракталов и систем с памятью.

В дробном исчислении и при исследовании дифференциальных уравнений с частными производными смешанного типа важную роль [30, с. 35] играет потенциал вида с плотностью </?(£) и со степенным ядром \х — ¿|а~1/Г(—а), который рассматривается в данной диссертации, а также дробная производная потенциала с ядром из (0.3) — в теории задач со смещением для уравнения с оператором Геллерстедта (см. там же с. 24).

Перейдем теперь непосредственно к содержанию диссертации.

Данная диссертация состоит из содержания, введения, основной части, включающей пять глав, и списка литературы. ъ а ~ сопвЬ < 0

0.3) а

Точные формулировки результатов диссертации во введении, как правило, не приводим, так как они есть в главах 1-5 и в автореферате.

1. Бабенко К. И. Основы численного анализа/ К. И. Бабенко - Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. 848 с.

2. Бахвалов Н. С. Численные методы/ Н. С. Бахвалов М.: Наука, 1975.

3. Бесов О. В. Интегральные представления функций и теоремы вложения/ О. В. Бесов, В. П. Ильин, С.М.Никольский М.: Наука, 1975, 480 с.

4. Бойков И. В. Пассивные и адаптивные алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов/ И. В. Бойков Ч. 2. - Пенза: Изд-во Пенз. гос. техн. ун-та, 1995. 128 с.

5. Васкевич В. Л. Гарантированная точность вычисления многомерных интегралов/ В. Л. Васкевич // Дисс. докт. физ.-мат. наук. Новосибирск, 2003. 243 с.

6. Ганеев P.M. Решение обобщенного интегрального уравнения Абеля с постоянными коэффициентами/ P.M. Ганеев // Известия высших учебных заведений. 1982. №6. - С. 14-18.

7. ГаховФ.Д. Краевые задачи/ Ф.Д.Гахов М.: Наука, 1977.

8. Гиршович Ю. М. Норма функционала ошибки квадратурной формулы типа Грегори/ Ю. М. Гиршович // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1980. Т. 20. - № 1. - С. 230-235.

9. Ермаков С. М. Статистическое моделирование/ С. М. Ермаков, Г. А. Михайлов М.: Наука, 1982.

10. Козлов В. Н. Последовательность квадратурных формул на конкретных функциях/ В. Н. Козлов, М. И. Медведева, А. И. Акимов // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2007. С. 11-13.

11. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов/ В.И.Крылов-М.: Наука, 1967. 500 с.

12. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа/ Л. Д. Кудрявцев -М.: Высшая школа, 1981. Т. I, II.

13. ЛюстерникЛ. А. Элементы функционального анализа/ Л.А.Люс-терник, В. И. Соболев М.: Наука, 1965.

14. Медведева М. И. Асимптотика норм функционалов ошибок с пограничным слоем для потенциалов Рисса/ М. И. Медведева // Кубатур-ные формулы и их приложения: Материалы VII Международного семинара-совещания. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2003. - С. 86-89.

15. Медведева М. И. Квадратурные формулы в пространствах дробных производных Римана—Лиувилля Ь^2(а, Ъ)/ М. И. Медведева // Вопросы математического анализа: Сборник научных трудов. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2003. - Вып. 6. - С. 134-143.

16. Медведева М. И. Асимптотика норм функционалов ошибок с пограничным слоем для потенциалов Рисса/ М. И. Медведева // Вопросы математического анализа: Сборник научных трудов. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004. - Вып. 8. - С. 85-98.

17. Медведева М. И. Последовательность квадратурных формул на конкретных функциях/ М. И. Медведева // Кубатурные формулы и их приложения: Труды IX-го международного семинара-совещания. -Уфа": ИМВЦ УНЦ РАН, 2007. С. 85-92.

18. Медведева М. И. О порядке сходимости квадратурных формул на функциях из пространства потенциала Рисса/ М. И. Медведева // V Всесибирский конгресс женщин-математиков: материалы конференции. Красноярск: РИО СФУ, 2008. - С. 298-303.

19. Медведева М. И. О порядке сходимости квадратурных формул на функциях из пространства потенциала Рисса/ М. И. Медведева // Journal of Siberian Federal University. Mathematics &; Physics 2008, № 1(3). - S. 296-307.

20. Медведева М. И. Приближенное вычисление интегралов Рисса/ М.И. Медведева, В. И. Половинкин // Математические труды. 2009. Т. 12.- № 2. С. 1-15.

21. Михайлов Г. А. Весовые методы Монте-Карло/ Г. А. Михайлов Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. 248 с.

22. МысовскихИ. П. Интерполяционные кубатурные формулы/ И. П. Мысовских М.: Наука, 1981. 336 с.

23. МысовскихИ. 77. О кубатурных формулах, точных для тригонометрических многочленов/ И. П. Мысовских // Докл. АН СССР. 1987. - Т. 296. - № 1. - С. 28-31.

24. Мысовских И. 77. О кубатурных формулах, точных для тригонометрических многочленов/ И. 77. Мысовских // Журн. вычисл. матем. и ма-тем. физики. 1998. Т. 38. - № 7. - С. 1114-1117.

25. МысовскихИ. 77. Лекции по методам вычислеиий/ И. 77. Мысовских -СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского университета, 1998.

26. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение/ А. М. Нахушев- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 272 с.

27. Никольский С. М. Квадратурные формулы/ С. М. Никольский М.: Наука, 1974.

28. Половинкин В. И. Весовые кубатурные формулы в периодическом случае/. В. И. Половинкин // Математические заметки. 1968. Т. 3. - № 3.- С. 319-326.

29. Половинкин В. И. Сходимость последовательностей кубатурных формул с пограничным слоем на конкретных функциях/ В. И. Половинкин // Математический анализ и смежные вопросы математики. — Новосибирск: Наука, 1978. С. 183-191:

30. Половинкин В. И. Последовательности кубатурных формул и функционалов с пограничным слоем/ В. И. Половинкин / / Дисс. докт. физмат. наук. Ленинград, 1979. 240 с.

31. Половинкин В. И. Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем и последовательности типа Грегори/ В. И. Половинкин // Методы вычислений. Л: Изд-во ЛГУ, 1981. - Вып. 12. - С. 7-25.

32. Половинкин В. И. Сходимость квадратурных формул в пространствах дробных производных/ В. И. Половинкин // Кубатурные формулы и их приложения: VI международный семинар-совещание. Уфа: ИМВЦ УфНЦ РАН, БГПУ, 2001. - С. 95-97.

33. Половинкин В. И. Последовательности функционалов с пограничным слоем в пространствах производных Римана—Лиувилля/ В. И. Половинкин // Вопросы математического анализа: Сборник научных трудов. Красноярск: КГТУ. 2001. - Вып. 4. - С. 124-144.

34. Половинкин В. И. Последовательности функционалов с пограничным слоем в пространствах одномерных функций, обладающих дробными производными Римана—Лиувилля/ В. И. Половинкин // Математические труды. 2002. - Т. 5. - №2. - С. 178-202.

35. Половинкин В. И. Равномерная сходимость кубатурных процессов/ В. И. Половинкин // Вычислительные технологии. 2004. Т. 9. - Спец. выпуск. - С. 111-119.

36. Половинкип В. И. Квадратурные формулы в пространствах функций/ В. И'. Половинкин Красноярск: СФУ, 2007.

37. Прудников А. П. Интегралы и ряды/ А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев М.: Наука, 1981. 800 с.

38. Рамазанов М. Д. Лекции по теории приближенного интегрирования/ М. Д. Рамазанов Уфа: Изд-во БашГУ, 1973. 177 с.

39. Рамазанов М. Д. О порядке сходимости решетчатых кубатурных формул в пространствах с доминирующей производной/ М. Д. Рамазанов // Докл. АН СССР. 1984. Т. 277. - № 3. - С. 551-553.

40. Рамазанов М. Д. Решетчатые кубатурные формулы могут дать наилучший порядок точности на пространствах с доминирующими производными/ М. Д. Рамазанов // Кубатурные формулы и их приложения. Красноярск: КГТУ, - 1994. - С. 102-113.

41. Рамазанов М. Д. Теория решетчатых кубатурных формул с ограниченным пограничным слоем/ М. Д. Рамазанов--Уфа: ИМВЦ УНЦРАН, 2009. 178 с.

42. Самко С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их применения/ С. Г. Самко, А.А.Килбас, О. И. Маричев Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

43. СевастьяноваН. А. Последовательности функционалов с пограничным слоем для функций, имеющих дробные производные/ H.A. Севастьянова // Кубатурные формулы и их приложения. Уфа: ИМВЦ УфНЦ РАН, 1996. - С. 90-104.

44. СевастьяноваН. А. Последовательности функционалов с пограничным слоем в пространствах функций с дробными производными/ Н. А. Севастьянова // Вопросы математического анализа: Сборникнаучных трудов. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 1997. - Вып. 2. - С. 106119.

45. Севастьянова Н. А. Приближенное интегрирование функций в пространствах дробных производных/ Н. А. Севастьянова. Дисс. канд. физ.-мат. наук. - Красноярск, 1997. 114 с.

46. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул/ С. Л. Соболев М: Наука, 1974. 808 с.

47. Соболев С. Л. Кубатурные формулы/ С. Л. Соболев, В. Л. Васкевич -Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996. 484 с.

48. Соболь И. М. Многомерные квадратурные формулы и функции Ха-ара/ И. М. Соболь М.: Наука, 1969. 214 с.

49. СобольИ. М. Численные методы Монте-Карло/ И. М. Соболь М.: Наука, 1973. 312 с.

50. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций/ И. Стейн- М.: Мир, 1973.

51. Шойноюуров Ц. Б. Кубатурные формулы в пространстве С. JI. Соболева W™¡ Ц. Б. Шойнжуров Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2002. 202 с.

52. Шойнснсуров Ц. Б. Оценка нормы функционала погрешности кубатурных формул в различных функциональных пространствах/ Ц. Б. Шойнжуров Улан-Удэ: Изд-во Бурятского научного центра СО РАН, 2005. 247 с.

53. Das S. Functional Fractional Calculus for System Identification and Controls/ S. Das Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2008.

54. Hilf er R. Applications of fractional calculus in Physics/ R. Hilf er World Scientific Singapore, 2000.A 91 ft

55. Miller K. S. An Introduction to Fractional Calculus and Fractional Differential Equations/ K. S. Miller, B. Ross Willey New York, 1993. K S Miller and Ross, An Introduction to Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, 1993.

56. Oldham K. B. The Fractional Calculus (Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order) / K. B. Oldham, J. Spanier N.Y., London: Academic Press, 1974. - 233 p.

57. Vaskevich V. L. Optimal cubature formulas in a reflexive Banach space/ V. L, Vaskevich // Central Europ. J. of Math. 2003. - Vol. 1. - P. 79-85.