Применение методов динамического программирования и спектрального разложения к задачам оптимального управления системами с распределенными параметрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

л Факультет вычислительной математики и В ГОкибернетики

г д,

Л б , На правах рукописи

^ - 44 £'

О [р / РАХИМОВ МУХЛМЕТБЕРДЫ

удк 517.95 + 517.97 + 518.5'

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И СПЕКТРАЛЬНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМАМИ С РАСПРЕДЕЛ ЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

(01.01.02 — Дифференциальные уравнения )

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ ДОКТОРА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

МОСКВА—1989

Работа выполнена в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова на кафедре общей математики.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент АН Узбекской ССР Алимов III. А.

доктор физико-математических наук Благодатских В. И.

доктор физико-математических наук, профессор Прилепко А.И.

Ведущая организация — институт математики и механики Уральского отделения АН СССР.

Защита состоится _в._ часов на заседании специализированного Совета Д. 053.05.37 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, второй учебный корпус, ауд. 685.

Автореферат разослан,___ 19 г.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М. В. Ломоносова.

Ученый секретарь специлизированного Совета д.ф-м. п., профессор

МОИСЕЕВ Е. И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. 3 настоящее время задачи оптимального уп-эленил системами с распределенными параметрами составляют одну наиболее актуальных проблем прикладной математики и кибернетц-, Этой проблема посвящены многочисленные работы Л.З.Балакрпына-, А.Г.Бутковского, Ф.П.Васильева, А.П.Егорова, Ю.В.Егорова, -Л.Лпонса, В.Г.Литътаюва, К.А.Лурье, Ю.С.Оишова, Д.Расселя, ■ (.Слразетдшюва и др. Тем не менее в этой области теории опти-иыюго управления многие задачи пока остаются нерешенными.

Задачи минимизации квадратическпх функционалов занимают вал-I место в теории управлешщбесконечномерных систем, что мо^ит ъ объяснено тем, что обычно квадратические функционалы выраа-энерх'ию рассматриваемой физической системы. Для задач мпнимпза-; квадратичоского футпсцпонала, начиная с работ А.Г.Вутковского, ¡.Егорова, Т.К.Сиразетдинова и др., с успехом применялся метод деления переменных, однако в основном рассматривались лишь про-сы, описивасмыэ линейными самосопряженными дифференциальными Биениями в частных производных. Особый интерес представляют ма-зучснныо, но часто всхречащиеся на практика классы задач опти-ыюго управления процессами, описываемыми носамосопряяешымц виэнлями и краевыми условиями. Отсюда вытокаот актуальность ре-ия задачи квадратичоского регулятора для линейных уравнений ЛУ) с несамосопр.талшымл стационарными оператора.!» методом спек-льного разложения. Ддлео отметим, что до настоящего времени но обоснован метод д:на\щческого программировали для задачи спн-а оптимального управления а бесконечномерных .пространствах, но водилось исследование матричных уравнений Риккати, возникающих ззультата применения метода разделения перемотай. Автору неиз-

вестны работы, посвященные применению метода спектрального раз. 1шя несамосопрякенных операторов (т.е. применению базисов Рис( для явного определения решения операторного уравнения Риккати, крайне валаю для теории и приложения задачи синтеза в математи1 ком моделировании оптимальных регуляторов.

Важные аспекты задач КРЛУ связаны с тем, что эти задачи, : щэ говоря, неустойчивы (некорректно поставлены) по А.Н.Тихонов; разработка устойчивых методов их решения, основанных на примен спектральных разложений, является актуальной задачей прикладно: тематики.

Применение базиса Рисса (т.е. базиса, переводящегося с : мощью ограниченно обратимого оператора в ортонормированный баз: образованного из собственных и п,%ис единенных элементов (с.п.э заданного дифференциального оператора, оказывается эффоктивн: как в аналитическом решении краевых задач и задач синтеза оптп кого управления, так п в использовании вычислительной техники, проблема базисности, в частности базисность Рисса системы с.п. несамосопряженных дифференциальных операторов, остается пока е малоизученной. Отметил, что кмеэдиеся по этой проблеме результ в основном прлнадаеаат советским математикам. Например, после даменталыюй работы М.В.Келдыша о кратной полноте састамы с.п. базисности Рпсса системы с.п.э. обыкновенных несамосопряясшшх ференциальных операторов посвятили свои труда В.А.Ильин, Г.Г.1.К сельман, В.П.Михайлов, А.А.Шкаликов и др.

Среди различных аспектов проблемы базисности систем больш интерес представляет установление необходимых и достаточных ус вий базисности Рисса систем с.п.э. дифференциальных операторов произвольных краевых условиях. Для линейного пучка обыкновении самосопрязенных дифференциальных операторов эта задача разроае работе В.А.Ильина. Представляет теоретический и практический и

юлучешю необходимых и достаточных условий базисности Рисса т с.п.э. шрогаго класса обыкновенных дифференциальных опера) (в частности операторов, порождаемых нелокальными краевыми гами типа Еицадзе-Самарского^ лгаюГ.но, такяе квадратично :ящи.х от спектрального параметра. |

Поль •работы» Разработка математических методов аналитическо-1Ш0НКЯ разнообразию; задач синтеза оптимального управления сипла с распределенным? параметрами; получение необходимых и до-1чных условий базксности Рисса системы с.п.э. широ1сого класса юсопрягонних даЗйеренциашсых операторов (при произвольных их условиях) линейно и квадратично зависящих от спектралыю-.рамогра и зознккаэдих в задачах оптимального управления. Натчл'гя новизна. В диссертации получены новые, необходимые и .точные условия базисности Рисса выбранной системы с.п.э. квад-ного пучка обыкновенных дифференциальных операторов, так.та ронциальных уравнений с оператор-коэффщиента'лп} лшешю и атпчно зависяцих от спектрального параметра. Решен ряд новых синтеза, когда состоягащ управляемой системы описываются но-опргшшными уравнения!,и первого и второго порядков в гильбер-простраиство и минимизируются общие квадратические функциона-шш обоснования методов динамичеегюго программировать и спск-ного разло-епия в предложенных задачах. Получены явные форглу-шония опораториш: уравне1шй Риккати, изучена юс регулярность, цована проблема управляемости. Проведена регуляризация некор-э поставленных задач оптимального управления. ^рактпчеспая патгость. Доказатше юоромы о базисности Рисса быть использованы при обосновании метода разделения перомен-т краевых задач математической физики и математической био, Разработанный методы решения задачи синтеза могут быть ис-

пользованы для практического исследования широких классов зада тачального управления системами с раслредело1шыми параметрами, никакщих в математическом моделировании управляемой физической темы.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались научно-исследовательских семинарах кафедр общей математики п о малыюго управления МГУ, прикладной математики Днепропетровск института шшзнеров аелезнодорокного транспорта, высшей матеыа ки Туркменского института народаого хозяйства и отдела уравнен в частных производных Математического института ш.В.Л.Стеклсв СССР, а такие на Международной конференции по технике оптимизм (Новосибирск, 1974), на всесоюзных семинарах по нелинейному ц граммированию (Харьков, 1976) а .'о/тглироваыю, идентификации, тезу систем управления в химических и химпкочлеталлургичаских : изводствах (Донецкая область, 1986) и на всесоюзной конферокцц: дифференциальны:.! уравнениям и их приложениям (Ашхабад, 1986).

Публятстют. Основные результаты опубликованы в £ I-I 4 ] . теме диссертации опубликована 21 статья.

Структура и об^.ем япооорта-^п:. Диссертация содержит 296 с ниц машинописного текста и состоит из вводзния и двух частой, держащих восемь глав. Список цитированной литературы включает 184 названий.

Содеркдппо диссертации. Во введении дан литературный обзо] у;:азано место диссертации в круге исследований по проблеме баз] ности Рисса системы корневых элементов несшосопряненных даффе; циальных операторов и по оптимальному управлению системами с ] проделанными параметрами. Введение содержит такге общую характ! стшсу работы и применяемых в ней методов. Здесь se кратко изло: ны основные результаты диссертации.

7

ЧАСТЬ I

>ртации посвящена вопросам базисности Рисса систем, сос-шюй из с.п.э. В первых трех главах рассматривается квадрати-пучок L (X)Ml"i- Pix,Л) II , Р(х,Pix)Д ; где }(х) - комплекснозначные функции действительного пороченного X ~ комплексный спектральный параметр, именуемый далое венным значением (с.з.), Ol- действительное или комплексное , отличное от нуля. Под решением уравнения L(Щ~Р(Х)б1ц(0,2) ается любая функция U(X), абсолютно непрерывная на 6- вмес-caooä первой производной и удовлетворяющая почти ведду в 9-енио при любых возможных значениях парамотра А.

вим рекуррентную систему дифференциальных уравнений (li^ity^O

k-i. о)

Xlil^MX+WlfaXfO, K-^JL,...; A-Q»V7. (I.I)

Злодуя работам B.A.Плыша и яелая охватить случай произволь-раевых услозий, будем называть:

I) собственным элементом (с.э.) оператора L (X), отвечающего ;юму с.з. любое тоядественш не равное нулю решение

ураыиныя L(K)U0(X) =0 ;

I) присоединенным элементом (п.э.) порядка к 7/1 оператора , отвочавдего тому ко At , с.э. Ua (Xj и н.э. U^iX), U^ix)^,^ X) - любое ропекио 11[Ш уравнения (I.I). [юриагьно сопряженный с

оператор

ш определил по

10 . Аналогично определяются собствен-

присоэдинешше элементы (с.п.э.) оператора L (X) .. Зредполоянм, что с.з. принадлежат карлеманской параболе, т.е. этворяюг условию

I л, /)».а)

и выполнена следующая оценка сверху с.э.

2 чио . (I

Всюду предполагается, что множества с.з. рассматриваемых опера1 ров не тлеют конечных точек сгущения.

Определим векторы Ь = 0,...,Шк-1; Шртк< « ,

К - , 1 ,

где (Х)=-0} если £0) - с.п.э. оператора

ли кратность всех с.э. оператора равна единице {Шк-1, К-1,1,.. т.е. если у оператора ¿(А) присоединенные функции отсутствуют системы | Уц ], | ] принимают ^чд

¡мох),

Продполошм, что существуют постоянные ^ ф01 ^ в ( щзм случае зависящие от и такие, что систомы

^--тхм^и)],

биортогональны, т.е. (^ (&) ~ ^ (&) © (&)) .

= с

и каждая из систем ] и | | равномерно ограничена по К ^ в норме т.е. К ' НА = »

»^Гщи-КС + соыь, а.

Г^иШ^^*©1 «£-*-<] С +

+

Тоошла 3.1. Пусть коэффициенты

И ВЫПОЛ-

! оценки (1.2), (1.3). Пусть и |2Ь] - системы, опредо-

1ые по формуле (1.4) из с.п.э. операторов

их) и га)

соот-

:твенно. Пусть система / полна в и выполнены усло-

биортогональности (1.5). Тогда необходимым и достаточным усло-I базисности Рисса системы в является равномерная

цшченность по К и к норм

К

"и:

'А 1

м, нее

у; Ч-и'и, «г; Ч-а-х а,

¿■тГ*

Теорема 3.2. В условиях теоремы 3.1 необходимым и достаточным >вием базисности Рисса в ^(5-) систем« (К!

из (1.8) являъ

¡ледунцио равномерные по К = ¿,«2,..., оценки

1 г

о и ■I

с! им

А, г/х

+

С

йх

1Г!(0)

Ыо) к

I I [ сЩЪ)

и: ¿х/Чг; с(х

Заметил, что теорема 3.2 не только устанавливает необходимые ■статочные условия базисности Рисса в $^(6-) системы (^ ]^но легчает проверку условий базисности в конкретных случаях. Ана-чные необходимые и достаточные условия базисности Рисса в ) могло получить и на правом конце промежутка & . Если систе-^ ] не полна в ^ (&), то она может быть дополнена до мши-ной полной системы добавлением конечного числа с.п.э. операто-4(\). В условиях теоремы 3.2 (условие (1.5) заменяется на | -!-•}) Ь (О Р.) = ^к-) ) необходимым и достаточным услови-

^ /V ^ ГКиКгч)

днократной базисности Рисса полной системы { Г IXу (ЭС) ] ШйфО \b.LJo,?) является выполнение двух оценок

2 тк-1 Г

ьо*-

-< (¡им

- .-1 I

Кк(о)М 1

с(х

г

<№'Ю)

с(х

Доказательства теорем 3.1 и 3,2 основываются ка установло! автором априорных оценках с.н.э.

к. / [И

йг=0 V п=0

Отметим, что в отличие от работы В.А.Ильина, где рассматр: лись вопросы базисности в ^(0,6) системы с.п.э. оператора ¿1 при Р(Х) = С?; в настоящей диссертации не используются антиапр! ные оценки с.п.э.

Теоремы 3.1 и 3.2 использованы при решонии началъно-краев! задач для волнового уравнения. Они также являются полезны:,ш в 1 следованиях разложимости функций по системе производных цепочс М.З.Келдыша. Действительно, положим в 11

полояим, что система ] образует базис Рисс£

¡[¿Ь), а система {Щ,Лки1+ ) полна в ¡£¿(5-) . Тогда справс ливо

Утпетжденне. Для произвольных двух функций справедлива теорама разлонимости, т.е. ряды

(г (г

сходятся безусловно в С&).

3 главо 1У изучаются вопросы о базисности Рисса с.п.э. . дифференциальных операторов с оператор-коэффициентами. Дано обобщение результатов глав I - Ш для с.п.э. дифференциальных уравнений с ограниченными оператор-коэффициентами. Рассматривается уравнение (Н- гильбертово пространство)

¿т&^+р&РШуф'О,

гда РЩ^ШеС^Т;«), У."Х(Н,И\аФ0. Лналоотшо, как и дал уравноши (1.1) вводится понятие с.п.э. оператора

(Д) из (1.7). Устаноатены априорные оценки, выроненные в краевых значениях и нормах с.п.э. В частности, сцраведаи-ва = 9 V *6С0,Т]).

Теорема. Пусть для с.з. оператора из (1.7) выпол-

нены условия (1.2), (1.3) , -

произвольная полная в Е . где £ = Н), удовлетворяю-

щая условию

■ Тогда необходимом и достаточны:/! условием базисности Рисса системы {УХОД} в ^ является выполнение для всех .К- .' ^ и ]у одного из двух условий:

I) цтжн^с, псу1 гс««с.

Если не £ (0ГТ| И)> то необходимым и достаточш

условием базисности Рисса рассматриваемой системы является оценки ,

¡г.гШЯюМ^м/1)<с-

В этой ке главе рассматривается такяе лине!шый пучок дифференциальных операторов

т о. а.

Получены аналогичные необходимые и достаточные условия базисности Рисса системы с.п.э. оператора Ь из (1.6) Указаны другие условия базисности Рисса с.п.э. дифференцк операторов.

Замены, что условие (1.2), означающее прш1адлеяюст карлеманской параболе, является эквивалентным условии ¡Ум

± СОпН

.Последнее условие является необходимым у ело в базисности систем с.п.э. широкого класса обыкновенных дну ференциальных операторов. Условие (1.3), как правило, для обыкновенных дакдаеренциалышх операторов всегда выполняет Таким образом, приведенные выше условия базисности Рисса ференциальных операторов из (1.1), (1.7), (1.8) - самые и ннмальные, естественные и в то же время они необходимые и достаточные.

Часть П

диссертации посвящена задачам оптимального управления сис маш с распределенными параметрами. Для решения задачи а

теза оптимального управления применяется метод спектрального разложения несамосопряяешшх операторов. При этом существенно используется тот факт, что система с.п.э. исходного стационарного оператора образует базис Рнсса в рассматривавши гильбертовом пространстве Н .

В главе I доказываются теоремы о достаточных условиях оптимальности. Пусть Ц -вещественное гильбертово пространство. Обозначим через линейные неограшгченные операторы, зависшие от параметра с плотными областями определения 2)(ЛИ)) СН и со значения:,ш в Н . Цусть сопряяоннип операторЛ*({) имеет У^^^о«^ плотную в Н область определения 3) •

Предгюло:шм, что выполнены следуюпще условия: а) при любых ПаШ), опроделена бплиноГтая форма

й.^,11X)-& {-АС^) V. и она является непрерывной функ-

цией от Ы(0,ое); 6) отображениеиз (0,Т)хЯ(Л(*)) х Н в г/ непрерывное, кроме того,

Пусть состояние дашакической систеш описшзается соотношения:,г:

Ш-Л1(Ш)хСьН№Ш,и(*)), (1.1)

2(0)=Хе£Н, (1.2)

где операторы Л(~Ь) , функция ^ , соответственно, удов-

летворяют условия:,! а) и б), управлявдая непрерывная функция

Определил iuis.cc \^(0,Т;И)[о<Т£^>) функцип, состоящий из произвольных непрерывных функции Н , таких, что-

хвщт). , П б (о7т) . пусть Н)

обозначает '-класс функций, состояний из произвольных непрерывных функдай СОГ^/уГ^^Ю,0^^ ? (если т= оо, то

. 14

имеющих слабую непрерывную производную по t €-(0, Т) ;

Ни и)а)еяи;и)), УЬе(0 ,Т).

Будем говорить, что функци: есть решение задачи (2.1

энергетического класса (э.к.), если ХШ£]£(0,оо',Н) [¡м 11х(Ь)-Х„ 11 = и удовлетворяет уравнению (2.1) в смысле следующего интегрально: тоздества ( V ^ ,Хх \ ^ V ~=> , У ¿0 € Н)):

(х(1),иМ))1 * = $ + а ад] ей:.

Предположил, что задача (2.1) V 11 ¿1,/0, оо; Н)0С(0, 00И. шеет репение из э.к.

Проблема синтеза оптимального управления заключается в том чтобы найти управляющую функцию И", удовлетворяющую следующим у< ловиям:

1) V* £ (0,управление является функцией от функцш состояния XЦ)1 т.е. Ц° = = |

2) & ад ^0;

. 4) при =■ задача (2.1) шеет единственное решенш из э.к.;

5) на этом управлении функционал

<7« "¿о

где Я - функционал, непрерывно зависящий от Ь и неотрицатега кнй при всех Ьб[0,"о) и всех достигает своего наименьшего значения.

Для функционалов У—У^, У-И)] > определенных на функциях э.к., вводится понятие полной производной по i в силу задачи (;

^Г , Пе (о, ,

функция î?(t) определяется по формула

Достаточные условия оптимальности управления. Teopo.va I.I. Пусть для задачи (2.1) молшо найти непрерывно ^сренцнруемш положительный функционал

,Х(Щ такой,что

производная lf~(t) t однозначно определяемая по формуле (2.3), здает тем свойстве'!, что

teVJo

. Тогда, если сутцест-г функция W [t] 1 обладающая перечисленными выше свойствами - 4) и дополнительно удовлетворяющая следующим трем условиям: функционал

при 11 = Wit] является полоеттель-эпределенным 6) il [t]] =0 ,

гдо X"[t] - решение из э.к. задачи (I.I) при

■lï[t] 7) &[v;t,I(t),u(t)]*0, VM)eLjo,o*m)(\ ù(0,oo; Я) ;

управление îi'[t J решает проблему синтеза оптимального управ-.1Я (2.1), (2.2), при отом

DO

t IL t

S) to

Аналогичная теорема доказана и в том случае, когда состояния авляомой системы описываются квазилинейны.! уравнением второго тдка по t .

Заметим, что теорема I.I является бесконечномерным аналогом эстной теоремы Н.Н.Красовского (см. дополнение к книге П.Г.^ал-1. Теория устойчивости дв;шения//;.1., Наука, I9G6). Для скаляр-дифференциальных уравнений в частных производных подобные рогаты били получены раное в работах А.И.Егорова и автора насто-ï работы.

Главы П и Ц части П диссертации посвящены задачам КРЛУ -для зноний первого и второго порядков в гильбертовом пространство Пусть состояние управляемой системы описывается динамическим

уравнением (х(О)еШ) 1 х(о)ен) и :л:нпмпзнруется функционал ( ¿о - 0)

эЬамдм] - а. |х(г) ■-II!' + а, ||х(т) -+

т

си+а^а^+о, а.?,о, .

Задачей (2.4), (2.5) в частных случаях занимались многие авторы. Здесь акцентируем внимание на следящих нерешенных задачах; I) применение метода динамического программирования и его обоснованно; 2) разработка эффективных способов рошошш задач:! (2.4), (2.6) при $.1 ^ Л и применение метода спектрального разложения носамосопрягенных дифференциальных операторов к задаче КРЛУ, включая вопросы о явном представлении решения нелинейного оператс ного уравнения Риккати и об установлении более тонких свойств эт< го решения.

Определи следующие классы функций скэ] •

Под обобщенным решением уравнения (2.4) понимается произвол! ная функция

, удо2!лотэ''ряэдач соответствующему "о: готическому" интегральному тождеству. Управления 11{Ш а У.^) выбираются из классов ¡¿¿(0,7,'Н) и соответственно. Показы-

вается, что функционал {^Ц) - {х("0, X Ш ] )

при определенной гладкости удовлетворяет уравнению Беллмана

га) II хш -т и^ й3шцм) - (Ф а и.ш \\1+ а^инщтшш+т, ш)],

У[т, тч)} = а, ||х(г)-1 ||А+а£ Цх (Т) - {/;

ХМ) - обобщенное решоние уравнешш (2.4). Здесь 16ГСЯ градиентом функционала При этом предпола-

:ся, что Н, Vte[í?1TJ> г^б £(0,Т; Н) . Из уравнения

>) определим оптимальное управление:

ЪЮ^щЪ®' . (2.7)

Решение задачи (2.С) при (2.7) ищется в виде

Щ - скалярная функция, а оператор-матрица КЩ^(Кф)), ¿,¡=¿,1}

КЛ1ШЧ11Ш1 КуШ « , ЬЛФО .

Отсвда следует, что

. (2.9)

1!з (2.6) - (2.3) для определения Ш)Д(^) и /[(£) получаем угхопэ систему дафферонциально-операторнкх уравнешш:

:еМ), £гф(<1,КиХ) , КиЦеЯЩ), ^Н ) ^ЦЬ^хХ^ПйХх^^) (2.ю)

г

/ 18 1 (2.IS

¡in)=ae 11 //ЧI {t- ¡favlwi1* Г+ ;

т (2.I-:

Тактл образом, практически для опроделешм оптимальной пары (MifU^ ) сначала кугно решить нелинейную задачу (2.10), (2.11),3£ тем при найденных К^ и К^- решить линейную задачу (2.12), (2.13).

Особенность системы (2.10) - (2.14) заключается в том,что oi недостаточно изучена даке в случав, когда оператор J-Дявляется < шсопрязешшм. Основную трудность представляет выбор функционалы го пространства и исследование в нем регулярности оператора K(t Ддл кесамосопрякенных операторов ^Лэта задача ранее но изучала« В настоящей работе методом спектрального разложения несамосопряг:! ных операторов построено явное представление оператора K(t)} из? чсны его свойства и связанные с ним вопросы синтеза оптимального управления.

Дальнейшее решение задача синтеза оптимального управления п] водится при условии, что с.п.э. JCj* формального оператора ^Дпрзп длегит области определения оператора Л т.е. Xjj £ ft (A) f и удо] летворяют уравнениям

,»И, ц 6 юр, (2-1!

, _ 19

?д0 кч,...; п-о, тк-[, ¿ар шк- кратность

юбственнох-о элемента X* и положено, что Х*=01Ы01 ...

:.з. Дк действительны и Д^О, К=1Д;...| Дк~* со , К-»- . } том случае, когда опредолен оператор Л? ^ = Н , в уравне-ти (2.15) слагаомоо заменяется на (1 -Х^у) и счн-

:ается, что Н . Пусть обозначает с.п.э. оператора А*Я

выполнено условие биортогональности . 11 система { Ук X^ ^ ( положительный нормирую-а:й мкокитель) образует базис Рисса в Н . Совокупность перечислении условий относительно оператора ^./¡обозначим через (Л). В силу •ело в! и:

(1)

система такае образует базис Рисса в Н и

¡уществует ограниченный, всюду обратимый оператор (ч такой, что

,, (2.16)

до {^1 - ортонормированный базис в Н . Если А*=А-А}то п (2.15), 2.16) нуяно положить Шк^11к=0] ХКХ1 = У* ВДИ-

лчный оператор.

О т'азпетмостк системы (2.10). Приведем некоторые результаты, становленнке по отношению решения системы (2.10). Предположи,что = 0 и ^=^М.Тогда находим т.е. оператор X

: 1 нз зависит и

(2.17)

ОО

£=-а,а* + /адг^А >0, (2Л8>

Ч _______

С ^аа^^а^л/ь^) ? о , а^о .

20 * Теорема 2,1« Пусть выполнены условия и Ь(1) .

Тогда оператор К^ из (2.17), (2.18) является самосопряженным, по-лолятольннм и вполне нопрорывним в Н и действует из Н в Более того, если выполнено условие К , £ |

то Ки принадлежит классу операторов Гильберта-Швдта, при этом если то оператор ^ - ядерный:. Операторы Кц и

К^ представляемые рядами (2.17), (2.18), соответственно, являются самосопряженными и положительно-определенными операторов в Н;

КиеЗДН)П .

В том случае, когда не предполагается Л^Л, искомо операторы Кц1 , ищутся в виде

/•с £

J к.е'1 ьз

i,

ке

I

КО

где числа ^ , fw , а 0П°раТ0р ^h ® ^

действует по правилу - (X,vp!)<f£ 7 VX в Н .

Ч Ч Для определения матриц

гчена система матричных квадратичных уравнений

а,'р*+рмр-в*р-рв-(1л =а, жк.зд) ii

М = СГ^ 1 ^ || , (Ц,Чц )] У- единичная матрица в

(2.19а) (2.196)

(2.19в)

где

пространстве ^ ? которое определяется как мноаество всех числовых последовательностей | таких, что

Т 2(а; М-ИТ.а'Х,и■

к = ' к-1 К-0 а л 1

В связи с задачей (2.19) изучены спектральные свойства оператора В*. В частности, справедлива

Теоре?.п 2.3 а. Пусть выполнены условия (Л), оператор К и ортоноротрованная система {^ | из (2.16) определены согласно процессу ортогоналпзацпи Шмидта формулой

Тогда множество с.з.матрицы 6 состоят из с.з. оператора , ' при этом -Я* , является с.з. Е>* с кратностью .

Соответствующие с.п. о. оператора В* имеют вид

... . 1,«^,..., } у ^

и образуют базис Рисса в .

Известно, что й , определяемый согласно (2.20), является ограниченно обратимым. С помощью теоремы 2.3 а и теории полугрупп оператороз полигоны явнко решения системы (2.19) и (2.10), (2.11). Справедливы следующие представления

.Л 11

<Э=аъ+я1(й1+£) л* , и ¿о ?

4 1 -1

7 Р-Р, р>О, (2.21)

и ек

где -[и^^ - числовые коэффициенты, однозначно опреде-ляеше из счетной системы алгебраических уравнений. Операто! определяется явно с помощью уравнешш (2.19 в).

Отзывается, если 22 (Я^ + ) ^ 00 , то цри выпол-

нешш некоторых дополнительных условий Р из (2.21) ^является вполне непрерывным самосопряженным оператором в ; и являются ограничениями и неогршшченнымп, соответственно, самосопряженными операторами в .

Установлены аналогичные свойства для операторов в Н . Указаны способы практического вычисления коэффициентоз разложения операторов К^' , 1: ¿астностп, справедлива форму.

(2.;

к *

где - с.э. матрицы В • Отметим, что формула (2.22) са держит в себе, как частный случай, значения коэффициентов разлонешш при Л^Л -А*.

В том случае, когда <=° , исследовашш системы ура нений (2.10) услозлшется еще тем, что в этом случав относит но коэффициентов разложения операторов получается

система дифхреренциально-матричных уравнений типа Риккати.

Пусть , 0. Тогда решение задачи

(2.10), (2.11) ищется в виде

Для определения числовых функций (t) и ^ при как-

К = 1,2,..., получена следующая задача:

4 ш т - +^ а) - о Xш ^м-а'^шгк (-о =о : (2-24)

ГДГ) . (2.25)

В тем случае, когда не требуется, что , , относи-

сьно коэффициентов разлокения

X ( =

ы « се м /

¡учена система дифференциально-матричных уравнений Риккати

гм+Ра)мРШ-Ш)-?т-ала),

[ВК(? + (?6)-йР-(г , (2.26)

^)=1кС11, Р(т)-о, чстНа, С ¡1, <2-27>

В связи с исследованиями задач (2.24), (2.25) и (2.26),(2.27) дано банахово пространство ШС[0,Т] над множеством произволь- ., ; векторов-функций [$} с не-

рывнкми функциями (I) , (Ь) на такшли, что

U \\mf rnao&l ¡r'(t)|^ *<

При этом, если УТИК~11 но k-0 . Тогда положено, что

z(t)»i2K(t)J , ,

Теорема 2.4. Существует промеауток [X ,Tj £ [0, Tj ( в которо задача (2.24), (2.25) имеет единственное решение из ШС [Т^Т] причем справедлива оценка

Игр Ц»)1 + у I £I+ ffl I £ < (t)| < -о,

и матрица £(t) У t 6 [Т0,Т] является полозитель

ко-определенной в © . Более того, если üj(t)£ (0,Т) , ¡=¿,3, то , Ш'0,1,... Матрица Stt

составляет неограниченный оператор в .

В том Еажном для практики частном случае, когда в система (2.24) Clx(t) =Cl3(t) = 0 решение задачи (2.24), (2.25) получено в явном виде

ГМ Ш „М--Ш ГЫ-М2

> А10" Ш ' ä«(tl~A,(t) > Z-W-d-^liVM)*«j^i/N^tf > 0 ,

-''-¿ад«Af-t) ■<"

А. iW^Kil+ «гШ +1)'

Для матрицы (оператора) £(Ч) , образованной с помощью с]ррму-[ (2.28), теорема 2.4 справедлива на всом отрезке [0,Т], что по~ взывает естественность введенного пространства ШС [0,Т] для раз-

1ШМостп задач (2.24), (2.25) и (2.25), (2.27).

* *

Теорема 2.5. Пусть выполнены условия (А)}А^А-А^ - й = ^ . Тогда существует промежуток [Т0,Т]5 [О,Т] в котором дача (2.10), (2.11) имеет единственное положптелъно-определен-е з Н®Н рабсила !<(£) , представляемое рядами (2.23). Указан-:о ряда для и К^Ш сходятся равномерно по

? соответственно, в нормах #(Ц(АА),И) ; &(Н(А),Н) и !(Н,Н)5их суммы являются самосопряженными оператора'.« в Ц'} ¿¿СО? VIв[Т0)Т] положительно-определены в Н . Справедливы со-нопонил

'Н00,н®н)), К^ШЬ'ЛтЬ)), Ж^Н),

Здесь НСД"6) («6 - действительное число) - гильбертово прост-нство всех элементов X , определяемых рядами вида

э Хк - с.з. оператора А1 ; Фк определяется по формуле (2.16). элярноо произведешь в Н(А ) определяется согласно правилу

3 том случае, когда А ¡Т+с*3 при условии

(А)

лонио системы 42.10) сохраняот установленные выше свойства.

Методом спектрального разложения доказана разрешимость ши мы линейных уравнений (2.12) при ной ионных решениях системы (2.] Об обосновании метода лит 'мчоского программирования. Оказывается, в задаче (2.4), (2.5) функционал Беллмана V" ( 2.8) не является дифференцируемым по Фреше, а уравнение (2.6) I является справедливым. Тем не менее методом конечномерной адпро1 мацяи доказано, что найденное управление и функционал являются тималышми. В связи с этим выделен класс задач, для которых ура! ние (2.6) имеет силу.

Определим два линейных множества непрерывно дифференцирует функций Х(Ь) на Т.е. X 6 С1 [о, Н] :

[А,хШ]Чха);Х№)£Н(А) , ХШеН, ,

Теорема 5.1. Цусть в задаче (2.4), (2.5) Т= с>0, й0~С1{- й

Ш2) = Н, Щ И)е Н) П с [о, Н Ш)

и выполнено уа

вив (Л)) Тогда существует единственное решение задачи сш: за (2.4), (2.5), представляемое формулами

и°и=-[киоса)+к¿¿щ]=- х г'ш ,

УШ)] ■ (2-29:

в которых К=ИКу|| есть решение системы уравнений (2.10). Сушсц; нал Vе из (2.29) определен на множестве и дпффореза

руем по Среше на

[Л1, КО] .

Функциональные производные и оптимальное управление являются линейными опера'

ралш, т.е.ц^^ть)),, к^^гстк

обладают следующим свойствами: Ц действует из

а и ¿Г, */1е[0,оо) дойствует из Н в Н ;

ператоры

ЧхШе С А', ад] , ,

и оптпиальное управление С1[0,*>о; Н), как функция от с>0) являются непрерывными в

орке Н и

; Н) п С"1 [о, оо; н). На мноко ство [Л*, X ] существует элная производная по £ функционала У° из (2.29), вычисленная згласно уравнению (2.9). Кроме того, справедливы оценки

К - 1 К

Для обоснования метода динамического программирования в зада-1 (2.4), (2.5), Т< в общем случае нужно требовать, чтобы

'.ходзше данныо удовлетворял;! условиям:

IеН; ^бН(А);ах/*3£1Дг); г.б^^.г; н(д)); ЯШ1*«, х^ъи1)] у*£й(их)*)

Оказывается, дифференциальные свойства функционала Беллмапа ществешо зависят от порядка (по i ) динамического уравнения равляемого объокта; в аналогичной задаче синтеза для уравнения раболического типа метод динамического программирования являет-обоснованным, т.е. функционал Боллмана дифференцируем по йрешо,, уравнение Боллмана является справедливым.

Аналогичные результаты получены и в случав, когда не требует, что . В качестве примеров применения полученных ре-

зультатов можно предложить задачи управления системами, состоят которых описываются гиперболически, иолутиперболическим уравнв! ями второго, четвертого порядков и системами талик уравнений с классическими и нелокальными краевыми условиями. Одна из таких : дач для волнового уравнения с нелокальными краевыми условиями 1 па Бидадза-Самарского приводится в § 3.6, гл.Ш. В этом же параг] фе предложена программа вычисления матрицы - оператора на ЭВМ, I торая переводит базис Рисса в ортонормированную систему, позвол* щую построить явное решение системы уравнений Риккати.

В § 3.7 гл.Ш метод динамического программирования применяв1; для решения задачи оптимального управления при неопределенности краевых условиях. Рассмотренное в этом параграфе уравнение сост< ний управляемой системы в частных случаях описывает процесс ра( пространения волн малой амплитуды в жидкости, находящейся в канг ле с упругими стенками, и представляет собой математическую мод< течения крови в кровеносных сосудах.

В последней,главе 1У,часты И рассмотрены задачи квадратиче< кого регулятора для линейных гиперболических уравнений при же с: ких ограничениях. Особенность рассматриваемых здесь задач оптпм; ного управления заключается в том, что исходное уравнение управ, мых объектов не обязательно является самосопряженным, а ыинпмнз] емые функционалы не предполагаются строго выпуклыми. С помощью I тода спектрального разложения для изучаемых задач доказано сущо< зованио оптимальных управлений, получены явные формулы для них,) слэдованы вопросы управляемости, методом А.К.Тихонова проведена гуляризация задачи управления с минимальной энергией, получены оценки скорости для приближенных решений.

Основными в настоящей работе являются следующие результаты I. Теоремы о необходимых и достаточных условиях двухкратно! базисности Рисса в Ь.(0,£) выбранной системы с.п.э. обыкновеннз

есамосопряженных дифференциальных операторов второго порядка рн произвольных краевых условиях, выраяагаиихся в оценках либо ср.м с.и.о., либо в оцешсах значений с.п.э. и их производных а одном из концов промежутка (0, £,), например, в точке Х=0. рказатольства соответствующих утверждений основаны на установ-ешшх автором точных оцешсах с.п.э. и свойствах резольвенты нтегрального уравношгя Вольтерра. Дало обобщение этого резуль-ата для лике ¡¡кого и квадратичного пучков дифференциальных урав-еш;й с ограшчешшш оператор-коэХфициентат.и. Оказывается, од-пм из основных условий для двукратной базксности Рисса иссле-ованной систеш с.п.э. при произвольных краевых условиях явлл-тся принадлежность с.з. карле коне ко параболе.

2. Теоремы о достаточных условиях оптимальности управлений системах, состояшю которых в гильбертовом пространство описы-

аотся квазилинешими уравнениями первого и второго порядков.

3. Результаты исследования абстрактных и матричных дидае-знциашшх уравнегагй с нелинойностью типа Ршисати. Получены зш:о решешш (в вццо рядов) системы операторных уравнений ¡пскати. Изучит регулярности этих решешш: н вопросы качествен-311 теории оптимального управления. Предложены конструктивные 5ТОДО решешм, основашне на конечномерной аппроксимации данных.

4. Решена задачи синтеза оптимального управления систетлаш, эстояння которых в гильбертозом пространство описываются ли-зйпгми динамическими уравнешшш первого и второго порядков, ппи.азпруютсл общие квадратические, строго выпуклые фушециона-¡. Дана сходиг.юсть приблпжешюго решешш задачи синтеза к точ-эму решению. Предложена программа вычисления ттрицы-онератора

I ЗЗ.М, которая переводит базис Рисса в ортонормкрованную систе-т, позволяющую построить явное решение систеш уравнений Екккати.

5. Разработаны способы корректного применения штодов динамического программирования и спектрального разлолюшш носамо-сопряженных операторов. Даш обоснования этих штодов. Предложен метод вывода уравнений Беллмана, позволяющий учитывать обобщенные решения абстрактных задач Коли.

6. Решены задачи оптимального управления системой!,состояния которых описываются абстрактными гиперболическими уравнения ми. Минимизируются не обязательно строго выпуклые квадратически функционалы. Доказана разрешимость нелинейного операторного уравнения относительно искомого управления. Предложен штод при ближенного решения этого уравнения.' Установлены условия разреши мости некорректно поставленной задачи управления с ргшелальной энергией. Методами Л.Н.Тихонова и В.К.Иванова проведена регуляризация этой задачи. Установлены спектральные оценка решений.

СПИСОК ОСНОВНЫХ РАБОТ АВТОРА ПО ТЕЛЕ дассЕРтлщш

LMoui M\L ¡><Ul£J ft %^}iihzsis of OpW/UUfL CU)iixO\

% daiiLc rtciiiaiim tLe<Uu& псы In цлтриШ

ШШ1 ¿ргНуеъ-ПъЬу Ultui

CCOB.M. с Егоровым А.И.Ь

2. Об оптимальной стабиль о? идя систем с распределенны:.!и параметрами // Изв. АН TCCP, сер.ФТХГН, 1978, Л 3. - С. 3-9.

3. Об

одном обобщении теоремы из теории оптимальной ста— билизации // Изв. АН ТССР, сер.ФТХГН, 1979, Jj I. - С. 3-9.

4. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем

вешшх и присоединенных функций квадратического пучка несамосопря-нных дифференциальных одораторов второго порядка // Дифферонциаль-о уравнения, 1986, т.22, J3 I. - С.94-103.

5. Точные оцсшси на замкнутом интервале систем собственных и исоеданокных функций квадратичного пучка обьпсновешшх несамосонря-нных дифференциальных операторов второго порядка // Диффоренциачь-о уравнения, 1986, т.22, JS 8. - С.1374-1386.

6. о безусловной базисности на замкнутом интервале систем соб-Бошгых и присоединенных фушсций квадратичного пучка несамосопря-шшх дпффсрз;щпал111ых операторов второго порядка // дом.All СССР, 36, т.289, JS 5. - C.I064-I0S6.

7. Точные оценки на замкнутом интервале собственных и присое-шшых функций квадратичного пучка обыкновенных несамосопряжен-с дифференциальных опораторов второго порядка // Докл. All СССР, 36, т.230, J5 2. - С.293-296.

8. Об оптимальной стабилизации волнового процосса в жидкости санале с упругими стопками и неопределенными краевыми условия:.® В сб. "Качественные вопросы теории дифференциальных уравнений ix приложения". Ашхабад, I9C6. - С.79-87.

9. о базисности Р/.сса сиотем корневых векторов дпфферонцпаль-■операторных уравнений // Тозисы докладов всесоюзной конференции ;ффоро1гцналышо уравнения и их приложения". Ашхабад, 1986. -.35, I3G.

10. 0 некоторых методах решения задачи линейно-квадратичного гра\:мирован:1я для систем с распределенными параметрами // ¡¿ур-

: вычислительной математики и математической физики, 1986,,)* 12. -797-1812.

11. 0 некоторых задачах квадратичного регулятора для линейных ерболических уравнений // Дифференциальные уравнения, 1987, 3, » I. - С.143-154.

12. Об одной задаче оптимального управления системами с распределенными параметрами // Изв.Я! ТОО?, сер. ¿ТГХпПГ, 1987, й I. ■ С.21-29.

13. О применении метода динамического программихювания к задг чам квадратичного регулятора для линейных гиперболических уравнений // Докл.АН СССР, 1987, т.292, К 3. - С.553-558.

14. О применении метода спектрального разложения и динамического программирования к задачам линейно-квадратичного программирования // Додл.АН СССР, 1987, т.292, В 4. - С.818-821.

Подписано к печати 23.00.87~r. Форглат бумаги 60x84 /16.

Объем 2,0 п.л. Уч.-изд.л.1,4. Заказ Л 1869. Тирая 100 экз.

И - й 00692

Отпечатано на ротапринте ООП Р/0 "Турадеилашнформ" РБЦ ЦСУ г.Ашхабад, 1989 г.