О задаче с граничными условиями третьего рода, одно из которых содержит спектральный параметр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Факультет вычислительной математики и кибернетики

О задаче с граничными условиями третьего рода, одно из которых содержит спектральный параметр

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени • кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Гуляев Денис Анатольевич

31 ОКТ 2013

Москва - 2013

005536517

005536517

Работа выполнена на кафедре функционального анализа и его применений факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: академик РАН, профессор

кафедры функционального анализа и его применений факультета ВМК МГУ им М.В.Ломоносова Моисеев Евгений Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики Московского государственного университета приборостроения и информатики Макин Александр Сергеевич

доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета Репин Олег Александрович

Ведущая организация: Федеральное государственное

бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Орловский государственный университет"

Защита состоится "20"ноября 2013 года в 15 часов 30 минут на заседнии диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова, расположенном по адресу: 119991, Российская Федерация, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, 2-й учебный корпус, Факультет ВМК МГУ имени М.В.Ломоносова, аудитория 685. С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Факультета ВМК МГУ имени М.В.Ломоносова. Автореферат разослан "17"октября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, профессор доктор физико-математических наук Е.В. ЗАХАРОВ

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Задачи со спектральным параметром в граничных условиях возникают в ряде математических моделей для уравнений параболического, гиперболического и смешанного типов. Еще М. Пуассон в своих мемуарах решал задачу о продольном движении груза, подвешенного к концу упругой нити. А. Кнезер в работе изучал колебания однородной струны, в некоторых точках которой сосредоточены массы. А.Н. Крылов и С.П. Тимошенко указывали на актуальность задачи о продольных колебаниях стержня в связи с теорией индикатора паровой машины и прочих измерительных приборов. К этой задаче сводится изучение крутильных колебаний вала с маховиком на конце, разного рода "дрожащих" клапанов и крутильных колебаний шкива с подвешенной на конце массой. Задача подобного плана приобрела особую актуальность еще и в связи с изучением устойчивости вибраций крыльев самолета. Аналогичные математические модели возникают в задачах об изучении электромагнитных колебаний в системах с сосредоточенными емкостями, самоиндукциями и задачах о распространении тепла в средах, граничащих с сосредоточенными теплоемкостями, которые рассматривались A.A. Самарским, A.A. Виттом и С.П. Шубиным . Недавно интерес к задачам со спектральным параметром в граничном условии возник в связи с теорией осреднения. В основе спектрального метода решения ряда задач для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа лежат за-

з

дачи со спектральным параметром в граничных условиях. Начало развитию спектральной теории краевых задач для уравнений смешанного типа положили в конце семидесятых - начале восьмидесятых годов двадцатого века работы Е.И. Моисеева , С.М. Пономарева, Т.Ш. Кальменова. Им предшествовали глубокие исследования Ф. Трикоми, С. Геллерстед-та, М.А. Лаврентьева, Ф.И. Франкля, И.Н. Векуа, A.B. Бицадзе, JI.B. Овсянникова и других математиков по вопросам классической разрешимости краевых задач для уравнений смешанного типа, причем, как правило, задача сводилась к сингулярному интегральному уравнению на линии изменения типа. В этих работах указывалось на актуальность проводимых исследований по теории эллиптико-гиперболических уравнений, а позднее в работах Я.С. Уфлян-да, А.Г. Шашкова, A.M. Нахушева, X. Азиза и Э. Сеттари было обращено внимание на математические модели, приводящие к параболо-гиперболическим уравнениям. Задачи со спектральным параметром в граничных условиях, как правило, несамосопряженные. Большой вклад в науку был внесен академиком В.А.Ильиным, получившим фундаментальные результаты по спектральной теории для несамосопряженных дифференциальных операторов. В опубликованной в 1983 г. работе A.A. Шкаликова построена общая теория спектральных задач с параметром в граничных условиях. Им доказаны теоремы кратной базисности, разложения и полноты для выделенных классов краевых задач: для обыкновенных дифференциальных уравнений: регулярных, почти

регулярных и нормальных. A.M. Ахтямовым в цикле работ предложены алгоритмы решения задач со сложным вхождением спектрального параметра в граничные условия, выписаны соответствующие формулы диагностики механических систем и строительных конструкций.

Общий подход спектральным методом к изучению краевых задач для уравнений эллиптико-гиперболического типа предложен в работах академика Е.И. Моисеева. Им для обоснования представления решений в виде биортогональных рядов установлены тонкие результаты об условиях базисности систем синусов и косинусов.

В работах Е.И. Моисеева и Н.Ю. Капустина изучены вопросы полноты, минимальности и базисности в пространстве Lp,p > 1 систем корневых функций классических задач со спектральным параметром в граничных условиях, возникающих в теории параболо-гиперболических уравнений, а также получены условия, обеспечивающие сходимость разложений в классе непрерывных функций. В цикле работ Н.Ю. Капустина спектральным методом рассмотрены вопросы о максимальной гладкости обобщенного решения задачи Трикоми для пара-боло-гиперболического уравнения с начальной функцией из класса суммируемых функций, о корректности постановки смешанной задачи со смешанной производной в граничном условии для оператора теплопроводности, возникающей при описании процесса теплопереноса параболо-гиперболическим уравнением. Изучены: полнота, минимальность и базисность систем корневых функций в задачах с комплекснозначным

физическим параметром и квадратичным вхождением спектрального параметра в граничное условие. В работах З.С. Алиева, Н.Б. Керимова, З.С. Алиева, Н.Б. Керимова и B.C. Мирзоева рассмотрены вопросы базисности в пространстве Lp,p > 1 систем собственных функций ряда краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго и четвертого порядка с линейным вхождением спектрального параметра в граничные условия. Доказаны осцилляционные теоремы и получены асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций. В некоторых случаях используются свойства пространств с индефинитной метрикой. Классические результаты по этим вопросам содержатся в работах А.Ф. Никифорова и В.Б. Уварова, Т.Я. Азизова и И.С. Иохвидова.

В связи с рассматриваемыми в диссертации вопросами отметим работы И.Ш. Ахатова и A.M. Ахтямова, Ж. Бен Амары, Ж. Бен Амары и A.A. Шкаликова, Б.Т. Билалова, В.Д. Будаева, В.В. Власова, Г.Г. Девдариани, Т.Д. Джураева, В.П. Диденко, В.А. Елеева, В.И. Жегалова, А.Н. Зарубина, Н.Ю. Капустина и Т.Е. Моисеева, А.Г. Костюченко, A.A. Шкаликова, А.Г. Кузьмина, В.М. Курбанова, В.Б. Лидского, Ж.Л. Лионса, И.С. Ломова, A.C. Макина, Д.Б. Марченкова, C.B. Мелешко, В.А. Нахушевой, З.А. На-хушевой, A.A. Полосина, A.B. Псху, С.П. Пулькина, Л.С. Пулькиной, O.A. Репина, O.A. Репина и C.B. Ефимовой, Е.М. Русаковского, К.Б. Сабитова, К.Б. Сабитова и Н.В. Мар-

темьяновой, К.Б. Сабитова и J1.X. Рахмановой, К.Б. Сабитова и Э.М. Сафина, В.А. Садовничего, М.С. Салахитдинова, М.М. Смирнова, А.П. Солдатова, Е.А. Уткиной, С. Фултона, М.М. Хачева, A.A. Шкаликова, М. Розо, Ж. Уолтера. Цель работы. 1) Изучение полноты, минимальности и ба-зисности в пространстве Lp,p > 1 системы собственных функций задачи с граничными условиями третьего рода, одно из которых содержит спектральный параметр и коэффициент в этом условии, вообще говоря, комплекснозначный; 2) формулировка условий, обеспечивающих сходимость соответствующих спектральных разложений в классе W™; 3) изучение вопроса о равномерной сходимости на отрезке спектральных разложений по выделенному базису пространства L2 и по всей системе собственных функций; 4) решение спектральным методом краевых задач для параболического и параболо-гиперболического уравнения, приводящих методом разделения переменных к рассматриваемой спектральной задаче. Методы исследования. Для изучения вопросов базисности в пространстве Lp,p > 1 вводится вполне непрерывный оператор на основе выделенной минимальной подсистемы с предварительным построением биортогонально сопряженной системы и выводом асимптотических формул для собственных значений и собственных функций. Сходимость спектральных разложений в классе непрерывных функций, установленная на основе асимптотических формул для функций биортогонально сопряженной системы и с учетом граничных условий нелокального характера.

Научная новизна. Получены новые результаты по вопросам полноты, минимальности и базисности в пространстве Ьр,р > 1 системы собственных функций задачи с граничными условиями третьего рода, одно из которых содержит спектральный параметр и коэффициент в этом условии комплексный. Сформулированы условия, обеспечивающие сходимость соответствующих спектральных разложений в классе И^. Изучен вопрос о равномерной сходимости на отрезке спектральных разложений по выделенному базису пространства Ь2 и по всей системе собственных функций. В виде билинейных рядов выписаны решения актуальных краевых задач для параболического и параболо-гиперболического уравнений с граничным условием третьего рода на нехарактеристической линии границы области.

Практическая и теоретическая значимость результатов. Полученные в диссертации результаты и подходы к исследованиям могут быть использованы при дальнейшем изучении краевых задач для параболического и параболо-гипер-болического уравнений. Возможно широкое применение этих результатов при математическом моделировании процессов колебаний нагруженных тел, газодинамических процессов, различных физических явлений в теории теплообмена и массо-обмена в капиллярнопористых средах. Апробация работы. По материалам диссертации были сделаны доклады на семинарах и конференциях: научно-исследовательский семинар кафедры функционального анализа и его применений факультета ВМК МГУ под руководством ака-

демика Е.И.Моисеева, конференция МГУ "Ломоносовские чтения" (2012, Москва), 38-я международная конференция "Приложение математики в инженерных науках и экономике"(2012, Болгария).

Публикации. Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в 3 печатных работах, две из которых в журналах, входящих в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК РФ. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, списка литературы включающего 194 наименования. Объем работы 78 страниц.

Содержание работы

Во введении дается обзор литературы, кратко излагается содержание работы.

В параграфе 1 главы 1 рассматривается следующая спектральная задача

Х"{х) + - 0, 0 < х < 1, (1)

Х'(0)=ЪХ(0), X'(l) = dXX(l) (2)

с постоянными коэффициентами b ^ 0 и d > 0. Спектральная задача (1)-(2) не имеет нулевого собственного значения, поэтому общее решение уравнения (1) в случае Л 0, удовлетворяющее первому граничному условию, можно записать в виде:

, . ¿sin r-

Л(ж) =-j=--heos vAz.

vA

9

Записав для этой функции второе граничное условие, получим характеристическое уравнение задачи (1)-(2)

(1 + М)\/А8тл/Л = (6 - ¿А) сов >/А. (3)

Если Ъй = —1, то уравнение (3) имеет один отрицательный корень Л = —1/6 и бесконечное множество положительных корней Л = [тг/2 + тг(п - I)]2, и = 1,2,3,... В случае М > -1, Ь > 0, все корни уравнения (3) - положительные. При значениях параметров Ьё < -1 или Ъй > -1, Ь < 0 также имеется одно отрицательное собственное значение, а все остальные собственные числа расположены в положительной части действительной оси.

Присвоим нулевой индекс любому собственному значению, а все остальные занумеруем в порядке возрастания. Собственные функции задачи (1)-(2) определяются по формуле: Ьъту/Х^х

Хп(х) = у/2

у/^п

■ + СОЭ у/\пХ

п = О,1,2,...

(в случае Л„ < 0 синус и косинус гиперболические). Функции биортонормированной системы {Фт(ж)},т = 1,2,3..., к системе {Хя(ж)}, п = 1,2,3,..., имеют вид:

Фт(я) =

ад -

(4)

Наряду с задачей (1)-(2) рассматривается спектральная задача

У"{х) + ЛУ{х) = 0, 0 < х < 1, ЬУ'(О) = -АУ(0), У( 1) =

(5)

(6)

ю

для системы {Уп(х)},п = 0,1,2,..., функции которой вычисляются по формуле

ад-Ш.

УЛг

Функции биортонормированной системы {<рт(х)}, т = 1,2,3,..., к системе {Уп(х), п = 1,2,3,...}, имеют вид

4>т{х) =

уп(х)-Шу0(х)

/

f*Y%(x)dx + ±Y*( 0)

Системы {Xn(z)} и {Г„(ж)},п = 1,2,3,..., образуют базис в пространстве Lp(0,l),p > 1, а в случае р = 2 даже базис Рисса. В настоящем параграфе доказано общее утверждение для спектральной задачи (1)-(2) в предположении, что параметр d - любое комплексное число, отличное от нуля, -§ < argx/A^ < |,п = 0,1,2,3,..., Л0 - по-прежнему, любое собственное значение, а все остальные занумерованы в порядке возрастания их абсолютных величин.

Теорема 1. Если

^ ф г b cos z — z sin г , bz sin z + z2 cos z где {z} - множество комплексных корней уравнения

(b2 — z2) sin z cos г ,9 о о ----+ Ь + z +2bcos 2 = 0, (7)

то система {Xn(x)}, п = 1,2,3,собственных функций задачи (1)-(2) является базисом в пространстве Lp{0,1 ),р > 1, (базисом Рисса р = 2).

Замечание. Уравнение (7) при некоторых значениях параметра Ь, например при Ъ = —1/2, имеет решение и на действительной оси.

Можно поставить нелокальную спектральную задачу, описывающую систему {Х„(ж)},тг = 1,2,3,..., собственных функций локальной задачи (1) - (2). А, именно, следующую спектральную задачу

Х"(х) + \Х(х) = 0,0 < ж < 1,

Х'(0) = ЬХ( 0), 1

-|_____X

d(b sin \/Ло + V% cos \/Ло)

х / (b sin VA о ж + \/Ло cos V\Qx)X(x)d x = 0, J о

(1 + bd) V^o sin V\q = (b- d\o) cos y/\0. В данной задаче граничное условие не содержит спектрального параметра.

В параграфе 2 главы 1 получены условия, обеспечивающие сходимость ряда

в классах W2m(0,l), где система (Хп(ж)}, п = 1,2,3,..., является подсистемой системы собственных функций задачи (1) - (2) без любой удаленной собственной функции, которой присвоен нулевой индекс, а собственные значения занумерованы в порядке возрастания. Соответственно функции 4>п(х),п = 1,2,3,..., являются элементами биортогонально сопряженной системы.

Теорема 2. Пусть функция f(x) удовлетворяет условиям:

f(x)eW?(0,l),

(8)

J s д^ + Jo^bsin Vx0t + Vx0 cos Vx0t)f(t)dt _

£¿(6 sin \/Л0 + \/Ло cos \/Âo) ~~ '

ДО) = 6/(0), ...,/(2"-1)C0) = ft/(2n_2)(0), 1, /'(1) + d/"(l) = 0, ..., /(2«-3)(l) + df(2n-2){l)

Тогда ряд (8) сходится в метрике W|ra(0,1). Пусть функция f(x) удовлетворяет условиям:

m = bf(0),..., /М(0) = 4)(0),

/'(1) + d/"(l) = 0, ..., /M(l) + = 0,

J = 0,n>2. Тогда ряд (8) сходится в метрике W22n-1(0,1).

В параграфе 1 главы 2 рассмотрен вопрос о равномерной сходимости на отрезке [0,1] разложений по собственным функциям спектральной задачи (1) - (2). Справедлива следующая

Теорема 3. Пусть f(x) е С{0,1]. Ряд Фурье (8) сходится равномерно па отрезке [0,1] тогда и только тогда, когда сходится равномерно ряд Фурье для функции

+ /о (&sm VXpt + VXp cos x/Aqt)f(t)dt d(b sin x/Ao + VX0 eos \/Â0)

по ортонормированному базису {л/2 cos цпх},п = 1,2,3,..., где цп = I + 7r(n - 1).

Следствие. Пусть f(x) - функция из класса Гелъдера Са[0,1] с любым положительным показателем а и выполнено условие

^ + ¡<¡(bsm VXp t + УЛр cos \/Л0 t)f{t)dt = Q d(b sin \/Ло + \/Ао cos Л) Тогда ряд Фурье (8) сходится равномерно на отрезке [0,1]. В параграфе 2 главы 2 рассматривается вопрос о сходимости спектральных разложений по всей системе собственных функций.

Теорема 4. Пусть fix) - функция из класса Гелъдера Са[0,1], а > 0. Тогда она представима в виде равномерно сходящегося на отрезке [0,1] ряда

£5 dxzii) + fi WW

по системе собственных функций задачи (1) - (2).

В параграфе 3 главы 2 рассматривается смешанная задача для уравнения теплопроводности

Ut(x,t) = a2Uxx(x,t) (9)

в области D = {(ж, t); 0 < х < 1, 0 < t < Т} с граничными условиями

U'x(o, t) = ЪЩО, t), U'x(l, t) = -dU¡( 1, í), (10) b Ф 0, d > 0

и начальным условием

U(x,0) = f(x). (И)

14

Требуется найти непрерывную в замкнутой области И функцию 1/(х, £) из класса Сх(рС[{Ь > 0})ПС2,1(1>) для уравнения (9) с граничными условиями (10) и начальными условиями (11),/(Ж)бС[0,1].

Лемма 1. Решение задачи (9)-(11) единственно.

На основании результатов теоремы 4 и леммы 1, установлено следующее утверждение.

Теорема 5. Пусть /(х) - функция из класса Гелъдера Са[0,1], а > 0. Тогда решение задачи (9)-(11) можно представить в виде билинейного ряда

(12)

00 г Л

X

ахЦх) + [1 х2пт ¿0

-1

Хп{х)е

-а2 А „<

Также в этом параграфе рассмотрена краевая задача для уравнения смешанного типа. Введены обозначения:

0 = {(х,Ь):0<х<Ь+1, 0 <¿<1/2; 0 < х < 2—1/2 < ¿< 1},

£>1 = £>П{х< 1}, 1?2 = О П {х > 1}. Рассматривается параболо-гиперболическое уравнение

и{{х,г) = а2ихх(х,г), (13)

ии(х,г) = ихх(х,1), (1,1)6 1)2.

Пусть требуется найти функцию II (х,{) из класса С (Б) П СХ{Р) П С1(П[П 0 > 0}) П С2'1^) п С2(£>2), удовлетворяю-

шую уравнению (13) и граничным условиям

их(о,ь) = ьи(о,ь), 0<£<1, (14)

[/(£ + 1,£) = 0, 0 ^ £ ^ 1/2, и{х,0) = Цх), Дг)еСа[0,1], о; > 0, /(1) = 0.

Используя обозначение

_ /о1 ¡(х)Хп(х)с1х п = 012 Н Цх1{х)йх + Х*(1)' в котором система {Хп(ж)} - множество решений спектральной задачи (1)-(2) при й=\, решение задачи (13)-(14) записывается в виде

00

и(х, £) = ^ ихп{х)е~а2^\ (х, £) € £>ь (15)

п=О

00

£/(*, £) = ]Г /яХп(1)е-°2л-(4+1-ж), (я, £) € 1>2.

п=0

Справедлива

Теорема 6. Пусть функция f(x) принадлежит классу Гелъ-дера Са[0,1],а > 0, и /(1) = 0. ТЬгЛг решение задачи (13) -

(14) существует, единственно и представимо в виде рядов

(15).

В заключении выражаю искреннюю признательность своему научному руководителю, академику РАН Моисееву Е.И. за постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку. Хочу поблагодарить доктора физико-математических наук Капустина Н.Ю. за интерес к работе, консультации и ценные замечания.

Публикации

1. Гуляев Д.А. О равномерной сходимости спектральных разложений для спектральной задачи с граничными условиями третьего рода, одно из которых содержит спектральный параметр. //Дифференц. уравнения, 2011, Т.47, №10, С. 1503-1507

2. Гуляев Д.А. О сходимости в классе УУ^1 спектральных разложений для спектральной задачи с граничными условиями третьего рода, одно из которых содержит спектральный параметр. //Дифференц. уравнения, 2012, Т.48, №10, С. 1450-1454

3. Гуляев Д.А. Об одной смешанной задаче для уравнения теплопроводности, приводящей к спектральной задаче с граничными условиями третьего рода, одно из которых содержит спектральный параметр //Сборник молодых ученых факультета ВМК МГУ, №9, 2012

Напечатано с готового оригинал-макета

Подписано в печать 14.10.2013 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печ.л. 1,0. Тираж 70 экз. Заказ 317.

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 527 к. Тел. 8(495)939-3890/91. Тел./факс 8(495)939-3891.

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На П1 $ах рукописи

04201363193

Гуляев Денис Анатольевич

задаче с граничными условиями третьего рода, одно из которых содержит

спектральный параметр

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: академик РАН Моисеев Евгений Иванович

Москва - 2013

Оглавление

Введение 3

Глава 1. Вопросы полноты, минимальности и базис-ности в пространствах Ьр и Ш™ 19

§1 Постановка задачи. Базисность в Ьр........ 19

§2 О сходимости спектральных разложений в пространстве ТУ™..................... 34

Глава 2. Вопросы равномерной сходимости спектральных разложений 40

§1 О равномерной сходимости спектральных разложений для выделенной, полной и минимальной подсистемы ........................ 40

§2 О равномерной сходимости спектральных разложений по всей системе собственных функций ... 44 §3 Примеры краевых задач для параболического и параболо-гиперболического уравнений, приводящих к рассматриваемой спектральной задаче...... 46

Литература 52

Введение

Задачи со спектральным параметром в граничных условиях возникают в ряде математических моделей для уравнений параболического, гиперболического и смешанного типов. Еще С.Д. Пуассон в своем мемуаре [191] решал задачу о продольном движении груза, подвешенного к концу упругой нити. А. Кнезер в работе [190] изучал колебания однородной струны, в некоторых точках которой сосредоточены массы. А.Н. Крылов [108] и С.П. Тимошенко [173] указывали на актуальность задачи о продольных колебаниях стержня в связи с теорией индикатора паровой машины и прочих измерительных приборов. К этой задаче сводится изучение крутильных колебаний вала с маховиком на конце, разного рода "дрожащих"клапанов и крутильных колебаний шкива с подвешенной на конце массой. Задача подобного плана приобрела особую актуальность еще и в связи с изучением устойчивости вибраций крыльев самолета. Аналогичные математические модели возникают в задачах об изучении электромагнитных колебаний в системах с сосредоточенными емкостями, самоиндукциями и задачах о распространении тепла в средах, граничащих с сосредоточенными теплоемкостями,

которые рассматривались A.A. Самарским [169], A.A. Виттом и С.П. Шубиным [35,36]. Недавно интерес к задачам со спектральным параметром в граничном условии возник в связи с теорией осреднения [38].

В основе спектрального метода решения ряда задач для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа лежат задачи со спектральным параметром в граничных условиях. Начало развитию спектральной теории краевых задач для уравнений смешанного типа положили в конце семидесятых - начале восьмидесятых годов двадцатого века работы Е.И. Моисеева [124], С.М. Пономарева [145,146], Т.Ш. Кальменова [65]. Им предшествовали глубокие исследования Ф. Трикоми [176,193], С. Гел-лерстедта [188], М.А. Лаврентьева [111], Ф.И. Франкля [179], И.Н. Веку а [34], A.B. Бицадзе [30,31], Л.В. Овсянникова [143] и других математиков по вопросам классической разрешимости краевых задач для уравнений смешанного типа, причем, как правило, задача сводилась к сингулярному интегральному уравнению на линии изменения типа. В этих работах указывалось на актуальность проводимых исследований по теории эллиптико-гиперболических уравнений, а позднее в работах Я.С. Уфлянда [178], А.Г. Шашкова [184], A.M. Нахушева [137-139], X. Азиза и Э. Сеттари [1] было обращено внимание на математические модели, приводящие к параболо-гиперболическим уравнениям.

Задачи со спектральным параметром в граничных условиях, как правило, несамосопряженные. Большой вклад в науку был

внесен академиком В.А.Ильиным [56-64], получившим фундаментальные результаты по спектральной теории для несамосопряженных дифференциальных операторов. В опубликованной в 1983 г. работе A.A. Шкаликова [183] построена общая теория спектральных задач с параметром в граничных условиях. Им доказаны теоремы кратной базисности, разложения и полноты для выделенных классов краевых задач: для обыкновенных дифференциальных уравнений: регулярных, почти регулярных и нормальных. A.M. Ахтямовым в цикле работ [6-26] предложены алгоритмы решения задач со сложным вхождением спектрального параметра в граничные условия, выписаны соответствующие формулы диагностики механических систем и строительных конструкций.

Общий подход спектральным методом к изучению краевых задач для уравнений эллиптико-гиперболического типа предложен в работах академика Е.И. Моисеева [124-131]. Им для обоснования представления решений в виде биортогональных рядов установлены тонкие результаты об условиях базисности систем синусов и косинусов.

В работах Е.И. Моисеева и Н.Ю. Капустина [132-134,89-94] изучены вопросы полноты, минимальности и базисности в пространстве Lp,p > 1 систем корневых функций классических задач со спектральным параметром в граничных условиях, возникающих в теории параболо-гиперболических уравнений, а также получены условия, обеспечивающие сходимость разложений в

классе непрерывных функций. В цикле работ Н.Ю. Капустина [66-88] спектральным методом рассмотрены вопросы о максимальной гладкости обобщенного решения задачи Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с начальной функцией из класса суммируемых функций, о корректности постановки смешанной задачи со смешанной производной в граничном условии для оператора теплопроводности, возникающей при описании процесса теплопереноса параболо-гиперболическим уравнением. Изучены: полнота, минимальность и базисность систем корневых функций в задачах с комплекснозначным физическим параметром и квадратичным вхождением спектрального параметра в граничное условие.

В работах З.С. Алиева [3,4], Н.Б. Керимова, З.С. Алиева [103105], Н.Б. Керимова и B.C. Мирзоева [106] рассмотрены вопросы базисности в пространстве Lp,p > 1 систем собственных функций ряда краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго и четвертого порядка с линейным вхождением спектрального параметра в граничные условия. Доказаны осцилляционные теоремы и получены асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций. В некоторых случаях используются свойства пространств с индефинитной метрикой. Классические результаты по этим вопросам содержатся в работах А.Ф. Никифорова и В.Б. Уварова [142], Т.Я. Азизова и И.С. Иохвидова [2].

В связи с рассматриваемыми в диссертации вопросами отме-

тим работы И.Ш. Ахатова и А.М. Ахтямова [5], Ж. Бен Амары [186], Ж. Бен Амары и A.A. Шкаликова [28], Б.Т. Билалова [29], В.Д. Будаева [32,33], В.В. Власова [37], Г.Г. Девдариани [43], Т.Д. Джураева [44], В.П. Диденко [45], В.А. Елеева [46-52], В.И. Жегалова [53], А.Н. Зарубина [54], Н.Ю. Капустина и Т.Е. Моисеева [95-96], А.Г. Костюченко, A.A. Шкаликова [107], А.Г. Кузьмина [109], В.М. Курбанова [110], В.Б. Лидского [113,114], Ж.Л. Лионса [115], И.С. Ломова [116-119], A.C. Макина [120,121], Д.Б. Марченкова [122], C.B. Мелешко [123], В.А. Нахушевой [140], З.А. Нахушевой [141], A.A. Полосина [144],

A.B. Псху [147,148], С.П. Пулькина [149,150], Л.С. Пулькиной [151], O.A. Репина [152-156], O.A. Репина и C.B. Ефимовой [157], Е.М. Русаковского [158], К.Б. Сабитова [159-161], К.Б. Сабитова и Н.В. Мартемьяновой [162], К.Б. Сабитова и Л.Х. Рахмановой [163], К.Б. Сабитова и Э.М. Сафина [164,165],

B.А. Садовничего [166,167], М.С. Салахитдинова [168],

М.М. Смирнова [170], А.П. Солдатова [171,172], Е.А. Уткиной [177], С. Фултона [187], М.М. Хачева [180], A.A. Шкаликова [181,182], М. Розо [192], Ж. Уолтера [194].

Научная новизна полученных результатов. Получены новые результаты по вопросам полноты, минимальности и ба-зисности в пространстве Lp,p > 1 системы собственных функций задачи с граничными условиями третьего рода, одно из которых содержит спектральный параметр и коэффициент в этом условии комплексный. Сформулированы условия, обеспечиваю-

щие сходимость соответствующих спектральных разложений в классе У/™. Изучен вопрос о равномерной сходимости на отрезке спектральных разложений по выделенному базису пространства Ь,2 и по всей системе собственных функций. В виде билинейных рядов выписаны решения актуальных краевых задач для параболического и параболо-гиперболического уравнений с граничным условием третьего рода на нехарактеристической линии границы области.

Методы исследования. Для изучения вопросов базисности в пространстве Ьр,р > 1 вводится вполне непрерывный оператор на основе выделенной минимальной подсистемы с предварительным построением биортогонально сопряженной системы и выводом асимптотических формул для собственных значений и собственных функций. Сходимость спектральных разложений в классе непрерывных функций, установленная на основе асимптотических формул для функций биортогонально сопряженной системы и учетом граничных условий нелокального характера.

Цели исследования. 1) Изучение полноты, минимальности и базисности в пространстве Ьр,р > 1 системы собственных функций задачи с граничными условиями третьего рода, одно из которых содержит спектральный параметр и коэффициент в этом условии, вообще говоря, комплекснозначный; 2)форму-лировка условий, обеспечивающих сходимость соответствующих спектральных разложений в классе И^; 3) изучение вопроса о равномерной сходимости на отрезке спектральных разложений

по выделенному базису пространства 1/2 и по всей системе собственных функций; 4) решение спектральным методом краевых задач для параболического и параболо-гиперболического уравнения, приводящих методом разделения переменных к рассматриваемой спектральной задаче.

Практическая и теоретическая значимость результатов. Полученные в диссертации результаты и подходы к исследованиям могут быть использованы при дальнейшем изучении краевых задач для параболического и параболо-гиперболического уравнений. Возможно широкое применение этих результатов при математическом моделировании процессов колебаний нагруженных тел, газодинамических процессов, различных физических явлений в теории теплообмена и массообмена в капиллярнопо-ристых средах.

Апробация работы. По материалам диссертации были сделаны доклады на семинарах и конференциях: научно-исследовательский семинар кафедры функционального анализа и его применений факультета ВМК МГУ под руководством академика Е.И.Моисеева, конференция МГУ "Ломоносовские чтения"(2012, Москва), 38-я международная конференция " Приложение математики в инженерных науках и экономике"(2012, Болгария).

Публикации. Основное содержание и результаты диссертации изложены в работах автора [40-42].

Структура диссертации.

Сформулируем более подробно основные результаты диссертации.

В параграфе 1 главы 1 излагается постановка спектральной задачи

Х"{х) + ХХ{х) = 0, 0 < ж < 1, (1.1)

Х'(0) = ЬХ{ 0), Х'{1) = dXX{l) (1.2)

с постоянными коэффициентами Ъ ф 0 и d > 0.

Спектральная задача (1.1)-(1.2) не имеет нулевого собственного значения, поэтому общее решение уравнения (1.1) в случае Л ф 0, удовлетворяющее первому граничному условию, можно записать в виде:

6 s ту/Хх гг

x\х) = -7=--1- cos v хх.

\/А

Записав для этой функции второе граничное условие, получим характеристическое уравнение задачи (1.1)-(1.2)

(1 + bd)y/\ sin = (6 - d\) cos VA. (1.3)

Если bd = —1, то уравнение (1.3) имеет один отрицательный корень Л = — 1/d и бесконечное множество положительных корней Л = [7г/2 + 7г(п-1)]2, п = 1,2,3,... В случае bd > -1, Ь > 0, все корни уравнения (1.3) - положительные. При значениях параметров bd < — 1 или bd > — 1, b < 0 также имеется одно

отрицательное собственное значение, а все остальные собственные числа расположены в положительной части действительной оси.

Присвоим нулевой индекс любому собственному значению, а все остальные занумеруем в порядке возрастания. Собственные функции задачи (1.1)-(1.2) определяются по формуле:

Хп(х) = у/2

Ъ БШ у/Х^Х \/%1

+ сое \/\^Х

, 71 = 0,1,2,

(в случае Хп < 0 синус и косинус гиперболические). Функции биортонормированной системы {Фт(х)}, т = 1, 2,3..., к системе {Хп(х)}, п = 1, 2, 3,..., имеют вид:

Фт(ж) =

£ Х1{х)<Ь + ¿х^Х)

(1.4)

Наряду с задачей (1.1)-(1.2) рассматривается спектральная задача

У"(х) + ХУ{х) = 0, 0 < ж < 1, (1.5)

ЬУ'(0) = —ЛУ(0), У(1) = -<№( 1)

(1.6)

для системы {¥п(х)},п = 0,1,2,..., функции которой вычисляются по формуле

-ад

\Ап

Функции биортонормированной системы {</2т(ж)}, т = 1, 2,3,...

к системе (УЦж), п = 1,2,3,...}, имеют вид

4>т{х) =

Ym{0)„, Л , Г Г1 „о, . . 1

Ут(х) ~ ^щ-Уо(ж)

/

+ О)

LJO 0

Системы (Хп(ж)} и {Уп(х)},п = 1,2,3,..., образуют базис в пространстве Lp(0,1),р > 1, а в случае р = 2 даже базис Рисса. В настоящем параграфе доказано общее утверждение для спектральной задачи (1.1)-(1.2) в предположении, что параметр d -любое комплексное число, отличное от нуля, — | < arg\/An < |,п = О,1,2,3,..., Ао - по прежнему, любое собственное значение, а все остальные занумерованы в порядке возрастания их абсолютных величин.

Теорема 1.1. Если

. , , bcosz — zsmz _

d £ {-—:-5-},

bz sm г + zz cos z

где {z} - множество комплексных корней уравнения

(b2 — z2) sin 25 Cos2 2 = 0, (1.7)

г

то система {Хп(ж)}, п — 1, 2, 3,..., собственных функций задачи (1.1)-(1.2) является базисом в пространстве Ьр(0,1 ),р > 1, (базисом Рисса р = 2).

Замечание. Уравнение (1.7) при некоторых значениях параметра Ь, например при Ь = —1/2, имеет решение и на дей-

ствителъной оси.

Можно поставить нелокальную спектральную задачу, описывающую систему {Хп(х)},п = 1,2,3,..., собственных функций локальной задачи (1.1) - (1.2). А, именно, следующую спектральную задачу

Х''(ж) + АХ(ж) = 0,0<ж<1,

Х'(0) = ЪХ( 0),

Х(1) +--=—1—7=-х

d{b sin у Ло + vAo cos v Ло)

x / (bsmy/Xox cos y/\ox)X(x)dx = 0,

Jo

(1 -f bd)VAo sin л/Ло — (b — d\o) cos л/Хо-

В данной задаче граничное условие не содержит спектрального параметра.

В параграфе 2 главы 1 получены условия, обеспечивающие сходимость ряда

£ (^ Д«)Ф„(4)й) Хп(х) (1.11)

в классах Wf^O, 1), где система (Хп(х)}, тг = 1,2,3,..., является подсистемой системы собственных функций задачи (1.1) - (1.2) без любой удаленной собственной функции, которой присвоен нулевой индекс, а собственные значения занумерованы в порядке возрастания. Соответственно функции Ч/П(х),п = 1,2,3,...,

являются элементами биортогонально сопряженной системы.

Теорема 1.2. Пусть функция f(x) удовлетворяет условиям:

f(x) 6 Wf"(0,1),

/0 (6 sin \/А„г + \/А(| cos л/ао t)f(t)dt п

— J\) /— /— /— — )

d(b sin V Ао + V Ао cos у Ао)

/'(0) = 6/(0),..., /^-«(О) = 6/<2"-2'(0), п > 1, /'(1) + £¡/"(1) = О,..., /С-3>(1) + df{2"~2\l) = 0,П > 2.

Тогда рлд (1.11) сходится в метрике И7!71^, 1). Пусть функция f(x) удовлетворяет условиям:

f(x)eWt-\0,1),

J = 0,n> 1, /'(0) = 6/(0),..., /(2п~3)(0) = 6/(2п~4)(0), /'(1) + d/"(l) = О,..., /(^(l) + d/^l) = о,

J = 0,n>2.

Тогда ряд (1.11) сходится в метрике И^п-1(0,1).

В параграфе 1 главы 2 рассмотрен вопрос о равномерной сходимости на отрезке [0,1] разложений по собственным функциям спектральной задачи (1.1) - (1.2). Справедлива следующая

Теорема 2.1. Пусть f(x) € С[0,1]. Ряд Фурье (1.11) схо-

дится равномерно на отрезке [0,1] тогда и только тогда, когда сходится равномерно ряд Фурье для функции

Ub sin y/X0t + л/Ао cos \/А Qt)f(t)dt

j{x) + —--=-J=--=-

d(b sin v Aq + у Aq cos v Ao)

no ортонормированному базису {\/2cos¡inx},n — 1, 2,3,....

Следствие Пусть f(x) - функция из класса Гельдера Са[0,1] с любым положительным показателем а и выполнено условие

/о (Ь sin + л/А0 cos л/Ло t)f{t)dt л d(b sin л/Ао + V^o cos \/Ao)

Тогда ряд Фурье (1-11) сходится равномерно на отрезке [0,1].

В параграфе 2 главы 2 рассматривается вопрос о сходимости спектральных разложений по всей системе собственных функций.

Теорема 2.2. Пусть f(x) - функция из класса Гельдера Са[0,1], а > 0. Тогда она представима в виде равномерно сходящегося на отрезке [0,1] ряда

т = у* df(l)Xn(l) + f¿ f(t)Xn(t)dtx (х) ¿o dXS(l) +/J X*(t)dt

по системе собственных функций задачи (1.1) - (1.2).

В параграфе 3 главы 2 рассматривается смешанная задача

для уравнения теплопроводности

= а2ихх{х,£)

(2.2)

в области В = 0 < ж < 1, 0 < £ < Т} с граничными

условиями

Требуется найти непрерывную в замкнутой области В функцию и(х, £) из класса С1 (Б П {£ > 0}) П С1,2(Б) для уравнения (2.2) с граничными условиями (2.3) и начальными условиями

Лемма 2.1. Решение задачи (2.2)-(2.4) единственно.

На основании результатов теоремы 2.2 и леммы 2.1, установлено следующее утверждение.

Теорема 2.3. Пусть f(x) - функция из класса Гельдера Са[0,1], а > 0. Тогда решение задачи (2.2)-(2.4) можно представить в виде билинейного ряда

= -¿¿£/;(М), МО, ¿>0 (2.3)

и начальным условием

Щх,0) = Кх).

(2.4)

(2.4), /(х) € С[0,1].

ОО г

X

dx2n(i) + [ xl(t)dt

J 0

Xn(x)e

-a2Xnt

(2.5)

Также в этом параграфе рассмотрена краевая задача для уравнения смешанного типа. Введены обозначения:

D = {(x,t) : 0 < ж < t+1, 0 < t^l/2; 0 < х < 2-t, 1/2 < t < 1},

D1 = Dn{x< 1}, = D П {x > 1}. Рассматривается параболо-гиперболическое уравнение

Ut(x, t) = a2Uxx(x, ¿), (x, t) e Du

(2.7)

Пусть требуется найти функцию [/(ж, £) из класса С(1)ПС1(/))П С2,1 (1)1)0(^2), удовлетворяющую уравнению (2.7) и граничным условиям

Ux{0,t) = 6i/(0,t), 0 < i < 1, £/(t + l,t) = 0, 0 ^ t ^ 1/2,

f(x)€Ca[0,1], a>0, /(1) = 0.

(2.8)

Используя обозначение

Гп 1(х)Хп(х)йх

/п = 1° У-, 72 = 0,1,2,...,

II Х1{х)*х + Х1&

в котором система {Хп(х)} - множество решений спектральной задачи (1.1)-(1.2) при в, = 1, решение задачи (2.7)-(2.8) записывается в виде

оо

Щх, *) = £ /пХп(х)е-а(ж, *) е А, (2-9)

п=0

оо

«/(а,*) = £/Л(1)е-а,Л,,(,+1-1), (яг,*) 6 »2.

п=0

Справедлива

Теорема 2.4. Пусть функция f(x) принадлежит классу Гель-дера Са[0,1],а > 0, и /(1) = 0. Тогда решение задачи (2.7) - (2.8) существует, единственно и представимо в виде рядов (2.9).

Глава 1. Вопросы полн