Исследование некоторых линейных и нелинейных задач штурма-лиувилля со спектральным параметром в граничных условиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕ1ДШ НАУК АЗЕРБАЙДЖАНА ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И ШШН'ЛКЙ

На правах рукописи

АЛЛАХВЕРДИЕВ ТАПДЫГ ИСЛАЗ оглы

. УДК 517.91/98

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЛЯНБЗШЙ И НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ШТУРЛА-ЛИУВИЛЛЯ СО СПЕКТРАЛЬНО ЯАРА^Ь’ТРОа В ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ

01.01.01 - ЛатааатачвскяЯ анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой схзпени кандидата физико-чаюиатических наук

Работа выполнена на кафедре математического анализа Бакинского Государственного университета ии.М.Э;Расул-зада

Научны»: руководитель:

- доктор физико-иатеиатичаских наук,профессор

А.П.Иахиудов

Официальные оппоненты:

- доктор физико-ііатііиатіїчоских наук,профессор А.Г.Костючанкі (ИГУ ии. U.В.Ломоносова);

- доктор физико-математических наук К.Я.Леонов '

(1Ш АН Азербайджанской Республики).

Ведущая организация - Институт математики и механики АН Казахстана.

' Защита диссертации состоится

1932 года в Чн ■ часов на заседании Специализированного совета К U04.0I.0I по присуждению ученой степени кандидата-физико-иатеиатнчес’кпх наук в Институте математики и механики АН Азербайджанской Республики по адресу:- 370602, Баку, ул. Ф.Агаева, 9, квартал 553. _

С диссертации.. иокно ознакомиться в научно.! библиотеке ІШ АН Азербайдканской Республики.

//■

. 0Б1Ш ХАРАКТЕР/!СТЛКА РАБОТЫ

. Актуальность тега. БакныГ. разлил творил спектральных 1адач для линейных и нслниейнкх дифференциальных уравнений .оставляет исследование задач со .спектральным параметром уравнении п з граничных условиях.Изучение таких задач ведет ачало от известных работ Да.£;:ркго:}а.К задача:.1 такого типа рпводя^ся конкретные задачи математической физики.имоюцие рикладноо значения.В частности,такие задачи возникают при рименении метода разделения переменных д,.я ресения уравне-ий и частных производных с косой производной е граничных словиях .В работах С.Т.Фультона,Я.Вальтера приведена би-лиогра^ия работ,з которых такие задачи рассматривались в вязи с конкретны:.!!! физическими задачами. ■

0т1.!отпм,что краевые задач:: Стурма-Лиув'тлля второго и етвертого порядков со спектральным параметром в одном из раничных условп:: подвергались изучения многими авторами З.В.Мелэско и Ю.В.Покорны;!,С.Т.Фультон.Д.Греко.Д.Хинтон, .ЕнаПдер.П.Зеккэ и др.).солее детально изучены полнота и ззисность системы собственных функция задач,связанных с зоуией обыкновенных дифференциальных .уравнения в работах .АХчаликова,А.11.Иэхмудова и др.Известно,что при исследо-)нии нелинейных уравнении со спектральным параметром в гра-1чкых условиях ванную роль играют вецостванность спектра, юстота,асимптотика собственных значений и оснилляционные юпетва собственных функции соответствующих линейных ( ли-ерпзированн^х) уравнений.Отметим,что детальному анализу ' -двергалась локальная и глобальная бифуркация решения не-:нопних дифференциальных уравнении в случае,когда спектраль-:й параметр не входит в граничные условия (.Ц.А.Красносель-ий,Л.Х.Рабинович,.\(.Г.Крендалл и П.X.Рабинович,Да.Волко-:сски;;,!1.С.Бергер,Р.Е.Тег'нер,Л.Ниренберг,Г.Берестуцкий,

Шмидт и Х.Л.Смит.Р.Чиопанелли.А.П.Мзхмудов.З.С.Ализв и .).Поэтому актуальным представляется:Исследозание спектра; лучение асимптотических формул для собственных значений; учение осцилляиионных свойств собственных функций линейных

Тихонов А.Н.,Самарский А.А. Уравнения ишиатической зики. - .М.: Наука, 1953, с.Иб - 151

_ ц. _

задач Еітуриа—Лиувилля со спектральный параметром ^о всех граничних условиях.Актуально такке исследование структуры инокас'^аа ресеннЙ нелпниіінцх задач,которце получаются дифференцируемыми и недг.^еренцируемыы;: возмущениями линейных задач Етурма-Диувплля со спектральные параметром в обоих граничных условиях.Однако,возникавшие здесь трудности не всегда удается преодолеть с помоцыо известных иетодов.Поо-тоиу неойходнио отыскание новых подходов к изучению этих задач.

Цель работы: Изучить осцпллнцпошще свойства собственных функций и получить вси-іптотическне формулы ; ля собственных аначониіі линейных задач Штуриа-Лиувш’ля второго порядка со спектральный параметров в обоих граничных условиях,изучить структуру множества реиекиЯ ъ "целой" некоторых нелинейных задач Штурма-Лиувилля второго и четвертого порядког со спектральный параметром в гранинных условиях.

Научная новизна. В диссертации в случае,когда спектральный параметр входит в уравнение и граничные условия,изучают! ОСЦИЛЯБЦИОНН.ге свойства собственных функции и применением преобразования Призера получаются асимптотические .формулы для собственных значенії:!.Установленные в работе асимптотические формулы обобщают и уточняют ранее известные рззульта-ты.Отиетим.что при изучении осцияляппокных свойств собственных функций в работах С.В.Мелеико и С.Б.Покерного,И.Вольтер: и др. в случае.когда спектральный параметр входит лишь в од: из граничных условий доказываются,что П -я собственная }ун ция ииеет п простых нулес.В кастояцей работе,в отличие о работ,упомянутых выше авторов,обнаружено,что если спекіраль-ный пар.іиатр входит во все граничные условия,то цояет суцес вовать ноиар Пр&ШЩО] ( Ш -инокезтзо натуральних чисел) та кой,что при п<-П0 , д —я собственная функция имеет п

простых нулей,9 При п > По і л—1 простых пуля.Основнії ми результатами диссертации являются: -

' -Доказаны теоремы!существования собственных, значений и собственных функций, о вещественности и простоте собственны значений. ' .

-Обнаружены осциогционные своіютва собстпеї і их функций рассматривавши задач. ’ ’

-Наклоны асимптотические фтрм^лы г.лп собственных значений и нулеіі собствоннцх *унк;:;Л.

-Доказаны теоремы о глобальной бифуркации ресоний линеаризируемых и нелинеаризируемых задач .Етурмз-Ллувиллп второго и четвертого порядков.

-Ус-’анавливавтся,что глобальное поведение множества нетривиальных роиенпн имеет сходство о лпноГ.ным случаем.

’{лучная и поактичеекая ценность: Работа носит теоретически;; характер.Значение данной работу состоит в том,что доказанные б диссертации об^ие теоремы открывают нозыз возможности з области спектрального анализа линейных и нелинейных операторов.”злг;-еш:ыс в диссертации результату могут ..аГіти применение в тех разделах прикладної: математики, где возникает необходимость исследования краевых задач на собственные значення для л:..-;еГ:чьіх и нелинейных уравнений.

Методы исследования. Используются методы функшюнально-го анализа; спектральная теория обыкновенных диф[еронциаль-ных операторов; теория осииллнционных операторов; асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и методы нелинейного функционального анализа.

Апаобзппя работы. Осноэныо результаты,воаодпне в диссертацию, докладывались и обсулдалпсь на семинаре академика АН Азерб.Республики,проф. М.Г.Гасымова (БГУ),на семинаре . чл.-керр. АН Азерб.Роспублики,нроф. А.А.Бабаева (БГУ}, проф.

А.П.Махмудова СГУ),на семинаре-совещании,лосвяценном 80 -летию акад. З.іі.Халилова А!! Азерб.Рес.),на III Соверо-Хавказскон регионально.; конференции по функциояально-диф-ф.еренпнэльныи уравнениям и их праг'гениям (г.Махачкала,1991 г.).

публикации. 1о тема диссертации опубликовано 3 работы, список которых приводится в конца автореферата.

Объем работы и ее структура. Диссертация изложена на 105 страницах машинописного текста,состоит из введения, двух глав,разбитых на 8 параграфов, и списка итэратуры. нкдючзвщаго 74 найменованій.

- б -

С0ДЗР2ГАН.І2 РЬОЇЬ! _

Во введении дается к^.зткі;;і обзор работ,относящихся к геиа диссертации,;: излагаются ее основные результаты.

Глава І посвн_сна осцллляцпоннии свойствам собственных функций и получению асимптотических ’ормул для собственных значений и ну л ой соЗстьенных ‘уккц.'.Й следуэдзя задачи. Штур-иа-Лиувилля второго, порядка с одним и теи ке спектральный параметром в уравнении и в граничных условиях

- и (*) + а(х)и(х) — % и(х), СI)

~[Д^(а)-Д,ц'(а)] = Цаии{а) -&і2и'{а)], (2)

-[Д,, и[3)-^22и'Щ=Я [й2,и(&) - ос22и'(8)], (з)

где а<-0С.ъ8 ,[а,£іс#і •, Я -спектральный пара-

иотр, у[х)(=С'[а,61,о:ІІ( ,рікє.ІЯ (і‘Л“/,2 ); « -вецест-'ванная ось. ■ _'

При исследовании-задач:: (І) - (3) вазную роль пгравт числа £ і =р„ип -р1г а„ , ^ = РнОСы - агг 0Сг, •

Для того,,тоСц граничные условия (2),(3) зависели от параметра Я .необходимо л достаточно,чтобы .

Исходя из этого,всюду в дзлькепизи для наиих цела;' предпо-логаетсц,чіо выполняется условия:

о , д2<о. (4)

Глава I систспт из четырех параграфов.

§ Х.І- .10 О Ь л .* ДОІ. ао и V «<*Ь С ї Ву Всцб с'ГВи г;::иС Тії .;

всех собственных значснн.'; задач;: (I) -(3).

Ь § 1.2 усїьпоїлиьбвгій осиплляц.'.онные своі’.сіьг. собственных функция задачи (I) - (3).Основным результатом этого параграфа является следующая

Теорема І.с.І (теорсца осцилляции). Существует неограниченно возрастающая последовательность собственных значений Я^<Я/<Я_г< ... < Яа< ... краевой задачи (I) -(3). При этой: . .

1) либо при лкбсы п -0,1,2.,... собственная функция,

соотвэтствуюцая собсі-ісано.'."/ ьнзчзн/й писот розно

$ простых нулей Б .ттьрзьлз {а, 6) ;

2) ліі'іо существует такое число Пс& «V и 10} (/А/ —У и о —

аество натуральных чисел),что собственная функция,соответствующая собственному значению Я/: при П^-По ,имеет

ровно И простых нулей,а при 11>пд ровно п-1

простых нулей в интервале (а, 8) .

В § 1.3 вводиться функция

9п{х)^ЫЦ~^ , (5)

где и^[х) собственная функция,соответствующая собственному значению %ц . играет существенную роль при по-

лучении асимптотических *ор:'у.т для собственных значений и нулей собственных дункпкп.Здесь го с помощью этой функции доказывается грубая оценка собственных значении краевой задачи (I) - (3},а именно доказана следующая

Теорема 1.3.1. Для собственных значенлл Дл краевой

задачи (I) - (3) при достаточно больикх п справедлива оценка

%п = 0 (п. ) . ^

§ 1Л поаяцон получек::» осхалтнческих формул для сочетавших зизчеш!.: п нулей собственных функций задачи (I) - (3).

Пусть V/n(x) собстгонная ~унни:;я краевой задачи (I) - (3) ,:ыокпая п нуле;! в интервале {а,8) Лороз Лп обозначай; собственное значение,ссотгетствупцее собственной §унш::;: \№я1х) .'.'.э осш:лляш:оянс!1 теорем 1.2.1 следует, что ляп Лп *= (в это:.: случае Ил(ж)) ,или Лл =

-• ( в это:.: случае М„(х) = ипн(х)),

Нули функции Мп(£) обозначим через

а<'хп,1<осп,г<-<*п,п<& •

Иноет место следующая теорема,которая является основный результатом этой главы.

Теорема 1Л.1. Коли 0!^)е ^ [£>#] и выполняется условно (/4),то справедливы слодуюдао асимптот!, "екне ^оркулы:

I * Ь с л ’Л ОС- и Об ^2 ^ О 1 ^*2.1 ^*22, ^ ^ *

£n,K=a

{S-a)(2K-i)

2П

, С?)

(8)

Л 1Ж[П'

к={—_

II. Вела CLuCCiz<0 ,Оіг2^І<0 -

; 2г - г * зі (а-О ^

а

1+

8-а. (z(n-i)f

+■

п№н&и ^'а 2<0С22

а

&ЦСІ22

(0-а)[2к-{)

Хи 1C—Сі +■------:---—+

П,к 2{п~1)

°т

(9)

(Ю)

Лд=

III. Если CCtJVl2<0 ><*21 = о ,агг$21с0\

1*тЬ—хЛ !<*># + %*] + <*£)

и(«-о

1-а

(z(n-OY['a

oCiz

{8-а)І2к~і) м\ 'Л,х ' 2(«-f) + Лй4/ ’

ж. „=а +

(її)

(12

ІУ. Если 0LuCLl2<0r Ч22 ~ О >оігфг’>0 •

/+

В-а

«*4)*

*

<*« о: и

ДггДя

UitOijf

+в®

(і

(і

У. Если Мц 0 . СС21а,22>0 :

Л

Пп \s-a

-а

* ,1«и*кП

^(йЛ+

[8-а) {гк-О

хя,к. а + ' 2(й-0

0iU^22

+

(15)

(16)

УІ. Если Ol)fa£(2>0 , 0C2l(Xj2<a

^№)

/+

*-а

Г *

|Ofy Of/2 air а:г2

(7!(V-2j)z I a '

+

чі)

' +

<тг)'

,(17)

(16)

УІІ. Если 0Сц^!2>° ' с*'21~0 ’ <x22fiil<0 :

г &

Лд-

f+

1-а

(Л-(/7-2))2

h{i)dU~^' +0Сй

С8-а)(2к-і)

x„ r, -a +• ,

2(n-2)

+

(19)

УІІІ. Если 0c{iaf2>0 . аг2=5 'tt2tft22>°

(g-a)(2K-i) , n(±Л

*w-et75q5-+^*)-

IX. Если CCn~0 , ССцjifz <йі U21CC£Z>0:

ЛЛ=

'Ж«4у2

8-а.

в \8 г|Ааа«11

"-a Г n^Jl \a2i<X22

,+(ї(«-гі)'|а'ї' «,.f%

л.«= a+-—j-r— Л,ІІ («--г)

о

. (23)

(24)

■Х.Если Uf2 —0 ^anfit2<0 ' ОС21а^2<0 :

8-а

г 8

1 +

«л 4))2

а •

2^2

«я

ІЛ

ft3-1

{8-аУк к-О

'0( да)

, (25;

(2

Лл

(/2-4-) ,W4^

XI. Еслл Ci,2~0 ,0cl}fi,2<0 . GCif = О, кггр21<0 ••

#-а

< +

№гг)/ [8-а){гк-і)

(2'

-h

“Ф-

(2

XXI. ЕСЛИ ОС 0

л„=

тс {п-О'

a 18-а

/+

6-а

rS

lq@dl

a

С8-а) {к-1)

X „ „ - a + , ,

(й-0

+

Ян

СІЗ! fizz Ct]la2l

■+0(-k

XIII. Если сСц - О , j81,0С{2>0 ,ос21осіг>0 ■

Л„ =

» U-a

/ +

*-a

в

(х{п-і%г\а.11''' °k2j

№«)(«M +0му

ХІУ. Если ССИ — О , j3/f0£tt >5 . ^1^2<0

‘■т

/+

4і-а

[S9-(fl^+l57

»(й-2))Ча (£-а)(г/с-/) . Л/ ^

£ _ Д 4

2(Й-2)

ХУ * Если Ctff «я # , J3W » ^2/ —0 >

і

+£>^

і

х

П,К

) , С 29)

-

(ЗО)

) » (ЗІ) (32)

г) ’ <33>

(34)

*«А^:

. .(55)

' (36)

Ш. Если 0Си = О \$>иЧи>0 Л21^2^0\

Ап —

\ж(а-Ы

[1-а

/+

В-

а

8

йда*^мй

х

п,к

(Ф-.тТи

{&-а){2к-і)

2)[2 П і Ы М 1^Ж- + 0У¥)-

> (37)

(38)

Глава II посвящона исследованию структуры множества роиени;". некоторых линеаризируомых и нелиноаризируеыых задач Штурыа-Лиувилля второго и четвертого порядков с однии и тем жэ спектральным параметром в граничных условиях.

Глава II состоит из четырех параграфов.

В § 2.1 линейная задача (I) - (3) сводится к нагруженному интегральному уравнению

и(х) = X §Щх,у)и(у)с1/2, 1а,6}

(39)

где -снииотричное ядро (которое будет определено

далее) ,у,1 (М) -положительная 1;ора,которая определяется- следующим образом:

' 1<іх , мс(а,8) ,

м '

м(ло=^ л. , м~{а] , (40)

' 1 1 , «={*! ■

Да

Доказывается,что интегральны!! оператор в правой части непрерывно и компактно дєііоїгуеи' и пространстве С\а,51

и^а,6і,Я) )•

Пусть X , у бонахои» пространства.

Рассмотри: К‘..,іі!Г'Лі;со уравнение '

с Ч ,:е) 0.

\/ СҐГ Г

(41)

Пару (Я, я) назовем решением,если она удовлетворяет уравнению (41) .Очевидно,что для любого ЯЕ /й , (Я., 0) является решением задачи (41),которое будем называть тривиальным. Нетривиальное решение Х0&. X .отвечающее , называется собственный элементом,а -собствошшм значением.Напоиниц,что точна {X ,й) называется точкой бифуркации задачи (41) относительно прямой тривиальных решо-ний.если каждая окрестность точки (Я>)е/£*Х содержит ненулевое решение.

■ В литературе используется термин "локальный" в случае, когда допускаются малые по норме собственные функции, и термин "глобальный" в случае,когда нет никаких ограничений на норму решения.

Во многих приложениях локальная теория.хоть и оказывается полезной,но не дает польного решения проблемы.Поэтому нужна,очевидно,глобальная теория.

В § 2.2 рассматривается следующая нелинейная задача .

я) > Ш) с граничными условиями (2) ~(3),где опреде-

лена и непрерывна по совокупности аргументов в Га'.#]*»3 и удовлетворяет условию: ■ ■

0(1^1 +161) (43)

в окрестности точки {0,0) равномерно по х&[а,81 и Яе Ас/Й ( А -конечный интервал).

Соответствующая линейная задача,т.е. задача (I) - (3), хорошо изучена в главо I. Напомним,что она имеет возрастанию последовательность собственных значений Д^<Я/< — <Яд<-. причем Яц—+оо при п —*.оо.При этом:

I) либо лри любом Я«=0,/,2,... собственная функция ул(:с) .соответствующая собственному значению Яд имеет ровно П. простых нулей в ицтервало {а, 6) ;

■ 2) либо существует такое число /Л/и {0} ,что

соЗствиннан функция.елотва'.'отвуюцан собственному значении Яд при /2-$ По имеет ровно И простых нуле;!,а

при ц> По ровно (д-/) простые нулей ь интервале

(а, 8).

В дальнейиом в диссертации првдпологаетсн.что имеет место случай 2).

Пусть Е -банахово пространство C[CL}5\ с

норной

Ниц = max |u(x)| + max. \UM\.

1 хе[а,6] ' хеГа,8}

Норму в IRX Е зададим так

Л.

КЯ"УП ={iai4i^ii2}2.

Обозначим через (. К—Д,1,2,..- ) множество

функпии из Е .коториз иаоют К простых нулей в {а,в) и являются положительными в окрестности ТОЧКИ £=<?

•Эгк множества являются открытыми

подмнояоствада В .

Полома .

Г в* , п0 ,

\ V У = + ИЛИ - _

I $*-* , К > п0 ,

Отиотил.что утверждения альтернативы Рабиновича при АГ =/2 и К=Пя+\ представляю! большой интерео.Так как собственные функции линейной задачи (I) - (3),соответствующие• собственны).) значениям Хц0 и имеют й$-1 простых

нулей в интервале {(1,3) ,ю классы и §п0+1 совпа-

дают. Следовательно,случай I) альтернативы Рабиновича2^ не проходит.Поэтому возможен случаи 2) альтернативы Рабиновича которая подлежит подробному исследованию.

Основный результатом зюго параграфа является следующая

Теорс:.:а 2.2.3. Для каждого £€• Ь\'и{0)\{ Нц + 1} и каждого V*® 4- или- — ^континуум инонества решений задачи (42),(2),(3) в («*§/) 1Н(А*,<0} .содержит точку (Я*.-» О) п неограничен в /&*£: .

Б § 2.3 иес.7Г'?:уо-'п ввлкнеЬпая задача

- у"+у(х)у=Я^+/(^.у - Л)+$ (*•?>/• К) W

с граничными условиями (2),(3),где опрзделана

и непрерывна по совокупности аргументов в [£!,<?]*//?3 и ^удовлетворяет следующему условию:

|/(x',^,s^)|c/<lyi,3cera,(?J,l^|+|sK^, (45)

К>0 , Э£>0 -некоторые числа; Ле IR. .

В силу присутствия в уравнении (44) нелинейного члени £ .удовлетворяющего условию (45) .задачу (44),(2),(3> не-• возможно линеаризировать.По этой причине множество точек бифуркации задачи (44)',( 2) ,(3) нэ объязатэльно дискретно. Поэтоуу для исследования вопроса о точках бифуркации задачи (1),как и в случае бифуркации решений нелинейных задач, .изученных в работе^ сладучт изучать бифуркацию от собственных: интервалов.

§ 2.^ состоит из двух пунктов. .

В п.2.3.1 получен основной результат этой главы,а именно доказана следующая

Теорема 2.3.3. Для каждого целого KGWU{0}\{/го»^о+/} и V = + или — подконтинуум множества не-

тривиальных ресаниЯ задачи (44),(2),(3) в j!?xS^U(^x *{0)) » который содержит {0} и неограничен з /# х £ ,где

-ое собственное значение задачи (I) - (3). .

3 п.2.3.2 задача (44),(2),(3) изучается при asj .

При этой ицезт ыесто следующая

Теораиа 2.3.5. Для нандого целого Ke/iVU{o}\{ftsi/Zi> + f} и V = 4- или — существует неограниченный подконтинуум множества кетпнвиальных решений задачи (44) ,(2) ,(3) в («xs^)a(JK х{о}) ,который содержит ЗДо] ' и содер-китса в полосе <7* х £ ,если з условии (45) 3d = оо •

• 3 § 2.4 исследуется нелинейная задача Ытурма-Лиувилля

ъ) Bzvestycxi Ж. On §>отз nonitiecLv Stuvm--HiOUViWe рп Stems.-0.4&i$fevent .Zauat .,t977, v.2S„ p.57S-390. '

четвертого порядка гида .

4= + Ч^>г/'УН'1/’1)

с граничными условиями

у'(о)~уш(о)~о; ■

-/(') = /№ ,

. -У’Ь) = Яу{0, Г

где Я -спектральный параметр,

поарерыБНы по совокупности аргументов и удовлетворяют уело шям:

($(х,у,и.,У,мЛ) = 0(\уі+\и.Н№ + т) '

вблизи точки {0,0,0, О) равномерно по хеЮ,13 и ЯєС/сК Доказываются теоремы о глобальной поведении множества реие-клі! эгоИ задачи.

В заключении зыраизю благодарность своему научному руководителю проф.А.П.Махмудову за постановку задач и постояь нов внимание к работе.

Работы,опубликованные по геке диссертации:

1. Аллахвордиев Т.Н. О некоторых нелинейных краевых задачах для уравнений чегЕертог'с торядка. -В сб. Численные методы решении краевых задач, Баку, 1589, с. 5 - 13.

2. Махмудов А.П..Аллахвердиев Т.И. Асимптотика собствен пых значений задачи Итурма-Лиувилля со спектральный параметром в граничных условиях. Тезисы докл.соыакар-совецании функциональному анализу н его поїшокешші,посвяц0нной паият акад. 3.И.Халилова. Глсу, 1931, с. 41 - 42.

5. Махмудов А.П..Аллахвердиев Т.И. Асимптотика собствсі пых значеки . и глобальная бифуркация реаэний нелинейных задач Етурма-Лкувилля со спектральным параметром в граничны:;' условиях. Тезису докл. третьей Северо-Кавказской региональ ион конкуренции по дункшгоналыго-диф^еренгаольньш ураз на ни и их прг.локечияы. Махачкала, 1991, с. 106 - 107.