Декомпозиция в задачах оптимального управления с запаздываниями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Введение .*

Глава I. Декомпозиция на основании агрегирования переменных в задачах оптимального управления системами с сосредоточенными параметрами и запаздываниями . d

§ I.I. Линейные задачи

§ 1.2. Выпуклые задачи с непрерывным временем.

§ 1.3. Задача дискретного оптимального управления с запаздываниями.

§ 1.4. Примеры: аналитическое рассмотрение.

Глава П. Разложение в управлении системами с распределенными параметрами и запаздываниями

§ 2.1. Итеративная декомпозиция путем агрегирования в управлении системами параболического типа

§ 2.2. Редукция к задачам меньшей размерности в модели с параболическими уравнениями и запаздывающими граничными управлениями.

Глава Ш. Эффективность декомпозиции на основании агрегирования переменных для задач управления с запаздываниями (результаты численных экспериментов).

§ 3.1. Линейные системы с квадратичным функционалом, содержащим интегральные по фазовым переменным слагаемые.

§ 3.2. Функционал с терминальными по фазовым переменным слагаемыми.i

Программно-целевое планирование и управление предполагает использование системы самых разнообразных экономико-математических моделей, в том числе - формализованных в виде задач оптимального управления (Г.С.Поспелов, В.А.Йриков /I /, Г.С.Поспелов, В.Л.Вен, В.М.Солодов, В.В.Шафранский, А.Й.Эрлих /2 /). Процессу планирования и функционированию планируемых систем свойственна определенная инерция. Один из способов учета ее -введение в математическую модель запаздывающих аргументов. Так, в экономике широко известны временные лаги, возникающие, в частности, при вводе мощностей Их принимают во внимание в процессе формирования программ отраслей производственной сферы /2, гл. У/. Другой важный класс задач с запаздываниями по времени возникает при реализации программ развития сложных технических систем в пятилетних планах. При этом динамика изменения количества изделий описывается уравнением / 2, стр. 122 /:

4. (D

Здесь использованы следующие вектор-функции: WfeJ - количество изделий по номенклатуре элементов системы в году i является вектором фазовых переменных; Rft) - закупаемые в году / изделия, которые играют роль управлений; УЮ - вектор убыли изделий. При износе изделий, рассчитан х) Запаздывания, обусловленные продолжительностью строительства и связанные с ними линейные динамические задачи оптимального управления в функциональном пространстве, исследуются в / 8 /.

-s ных на срок безотказной службы г , они снимаются с эксплуатации. Это приводит к формализации вида: Ir/i). Afi-т).

Другими словами, в соотношении (I) присутствуют запаздывающие по времени управления.

Важной особенностью используемых при программно-целевом планировании и управлении математических моделей является их многомерность. Последнее обстоятельство связано с тем, что планируемые системы, как правило, состоят из большого числа элементов либо характеризуются значительным количеством параметров -измеряемых сотнями или даже тысячами / /.

Таким образом, при планировании развития сложных технических систем возникают оптимизационные динамические задачи, в которых, с одной стороны, велико число переменных, с другой стороны, эти переменные могут зависеть от запаздывающих по времени аргументов. Декомпозиция (разложение) подобных задач целесообразна с точки зрения более эффективного использования ресурсов ЭВМ и учета их специфики. Эта специфика, в частности, обусловлена блочной структурой задач, которая возникает ввиду иерархии. Важность процедур понижения размерности в реальных процессах планирования и управления подчеркивается в книге /.

Анализ подобных проблем программно-целевого планирования позволил выделить предмет исследования настоящей работы - двухуровневые многомерные задачи оптимального управления с запаздывающими аргументами (или с последействием). Следует отметить, что значение такого класса задач не ограничивается экономическими приложениями. Их исследование важно и для физики, техники, биологии, медицины. Соответствующие постановки могут быть основаны на тех, которые без предположения о блочности приводятся в книгах Х.Гурецкого / 9 /, В.Б.Колмановского, В.Р.Носова / ^ /, обзорах //.Г., Ша/ийад Я. /66/, 97?. Л/67/ Яе^оиг т.е., <Жа/и&ид а. / и других работах.

В обширной библиографии по задачам с отклоняющимися аргументами крайне малая ее часть посвящена проблеме большой размерности. В ранних работах этого направления - до 60-х годов (см., например, А.Д.Мышкис / м /, А.М.Зверкин, Г.А, Каменский, С.Б.Норкин, Л.Э.Эльсгольц Н.Н.Красовский / м /) указанная проблема не изучалась (см. также А.Халанай //«$"/). Мощным аппаратом для исследования задач оптимального управления с запаздывающими аргументами явились необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина / 76 / (системы с сосредоточенными параметрами и непрерывным временем - Г.Л.Ха-ратишвили /^^/j И.А.Ожиганова / ^ /, Р.Габасов, С.ВЛура-кова / /, Р.Габасов, Ф.М.Кириллова /, 77/

СГ./60,70/ и др.; дискретные задачи - Фам Хыу Шак J и др.; системы с распределенными параметрами - Канте Кабине / £4 /, Г.Л.Дегтярев, Т.К.Сиразетдинов I £5 f % Т.С.Цуцунава /£6 /, С.С.Ахиев и др. /27 /). Обсуждение результатов опыта его применения можно найти в / zj-зо / р.Габасова, Ф.М.Кирилловой, / 5/ / Л.Э.Эльсгольца, С.Б.Норкина, /лг / Т.К.Сиразетдинова, статьях /65, 6 7-73 /. тем не менее, использование принципа максимума для получения численных решений некоторых задач оптимального управления с последействием приводило к двухточечным краевым задачам с опережающими и запаздывающими аргументами, которые, по мнению ряда авторов (Р.Беллман, К.Л.Кук /J5 /, tag MM., 4обиплл &./&/. /Z2/t Javavec W /73/ и др.)| чрезвычайно сложны. Альтернативные пути решения были предложены в /.

Большинство авторов рассматривали довольно частные постановки: например, ъ /6 7, 72 - ?б / - без ограничения на фазовые переменные. Чаще всего анализировались линейные дифференциально-разностные уравнения и квадратичные функционалы / 76-70 j, В нелинейных случаях, в основном, предлагались процедуры линеаризации / <?о /и аппроксимации (так, в / / - конечно-разностная, а в / яг / - полиномиальная).

Однако, эффективность указанных методов резко падала при возрастании размерностей задач. Обратимся, например, к одному из наиболее распространенных приемов для решения задач оптимального управления с запаздываниями - методу редукции их к обычным /. В этом случае размерности вновь получаемых задач оказываются существенно выше, чем исходных. Поэтому для больших размерностей исходных задач указанный метод становится непригодным / 72, 73 /.

В 70-х годах начали появляться работы по задачам с отклоняющимися аргументами большой размерности. Разложение динамических систем с запаздываниями рассматривалось в /34, 76, j>4 д вычислительные алгоритмы для синтеза управления с обратной связью в многомерных системах с запаздывающими аргументами предлагались в /лг-л^ /. Отметим работу Ю.Е.Малашенко /, в которой для линейной дискретной задачи оптимального управления предлагалась декомпозиция по времени.(Постановка вопроса принадлежит Ю.П.Иванилову). Тем не менее, проблемы понижения размерности в задачах оптимального управления с запаздываниями все еще мало изученн.

Для решения многомерных задач в последнее время все шире используются различные декомпозиционные методы; достаточно полный их обзор приведен в монографии В.И.Цуркова / з /. Замечено, что вопросы понижения размерности для блочных задач оптимального управления исследованы в гораздо меньшей степени, чем для математического программирования / з /. Методов разложения двухуровневых задач оптимального управления с запаздываниями, тем более, не предлагалось. Введение же в математические модели запаздывающих аргументов может качественно изменить их свойства и поведение. Так, уже классическими являются примеры задержки сгорания топлива в камере жидкостного ракетного двигателя как причине неустойчивости горения /36 /, запаздывающая обратная связь является принципиальным звеном в системах автоматического регулирования (А.А.Красовский, Г.С.Поспелов В работе А.Н.Дюкалова и др. / при рассмотрении магистральных свойств оптимальных траекторий подчеркивается необходимость проведения дополнительных исследований в случае учета запаздываний. Поэтому "автоматический" перенос на задачи с последействием методов, ориентированных на обычные системы, недопустим. Таким образом, представляется актуальной разработка методов декомпозиции для задач с последействием.

Целью настоящей работы является обоснование возможности использования для решения блочно-сенарабельных задач оптимального управления со смешанными ограничениями и запаздывающими аргументами как в фазовых координатах, так и в управлениях универсального метода декомпозиции - путем введения агрегированных переменных, развитого В.И.Цурковым /. Исследуется также возможный подход к проблеме понижения размерности некоторого класса систем с запаздываниями, основанный на предложенном в /4 / методе редукции для линейно-квадратичных задач оптимального управления. Заметим, что схемы итеративного агрегирования, на которых базируется указанный метод, впервые применялись для специальных блочных задач линейного программирования В.Г.Медницким / 3J / и Й.А.Вателем, Ю.А.Флеровым j 39 /.

Метод декомпозиции путем введения агрегированных перемен -ных, разработанный В.И.Дурковым /з- ? /, основан на принципах двойственности для экстремальных задач. В настоящей работе также предполагаются выполненными условия, обеспечивающие справедливость теорем двойственности. Как и в /3-7 /, используется техника А.М.Тер-Крикорова сведения задач оптимального управления к задачам выпуклого программирования в банаховых пространствах /40, /» конкретизированная на случай запаздывающих аргумен -тов. Следует заметить, что условия, гарантирующие выполнение соотношений двойственности для оптимизационных задач, могли бы быть взяты иными - принятыми, например, в работах Б.Ш.Мордухо-вича, А.М.Сасонкина f 4г / для систем нейтрального типа или А.И.Дюкалова /43,44 / для обычных систем.

Везде далее предполагается управляемость всех рассматриваемых систем и существование оптимальных управлений. Соответст -вующие условия для запаздываний по состоянию можно найти в jfS, 4^ /, а для систем с запаздываниями и параболическими уравнениями - в / J6 /.

Содержательная часть настоящей работы состоит из трех глав и трех приложений.

В первой главе дается обоснование применения метода декомпозиции путем агрегирования переменных к решению блочно-сепарабельных задач оптимального управления с запаздываниями в фазовых координатах и управлениях. Рассматриваются задачи с непрерывным (§ I.I - 1.2) и дискретным (§ 1.3) временем. Исследование линейных (§ I.I) и выпуклых (§§ 1.2 - 1.3) задач проводится по традиционной для метода /з- / схеме. После введения агрегированных управлений как суммы переменных из разных блоков и фиксированных весов агрегирования решается координирующая задача Она получается в результате подстановки в исходную управляющих переменных, выраженных через макроуправления и веса агрегирования. Решив Л и сопряженную ей, формулируют и решают независимые блочные задачи. Функционалы последних формируются с помощью оптимальных значений двойственных переменных, соответствующих связывающим ограничениям агрегированной задачи. Из блочных и дезагрегированных решений выводится выражение для критерия оптимальности. Если значение этого выражения равно нулю, то дезагрегированное решение оптимально для исходной задачи (теоремы 1,3 §§ I.I - 1.3). В противном случае строятся новые веса агрегирования и осуществляется переход к следующей итерации. Если на верхнем уровне помимо решения пары сопряженных задач в агрегированных переменных проверяется критерий оптимальности и назначаются новые веса, а на нижнем - решаются независимые блочные задачи, то одна итерация метода декомпозиции представляется одним замкнутым циклом на рисунке I.

Блочные задачи

Рис. I.

Сравним эту схему с соответствующей из работы М.Месаровича, Д.Мако, И.Такахары /стр.110/. Между ними имеется принципиальное отличие: в то время как в результате декомпозиции путем агрегирования решением исходной задачи оказывается дезагрегированное (верхнего уровня), стратегии координации в 14? J направлены на получение в качестве решений блочных. Существенно различна в этих подходах роль связывающих ограничений. Б j 4? f они подвергаются декомпозиции, при этом вводятся некие функции взаимодействия каждой подсистемы с остальными. В / 3-? / разложения связывающих ограничений не предпринимаются.

На протяжении всей первой главы настоящей работы сопряженные задачи выписываются с учетом результатов работ В теоремах 2, параграфов I.I - 1.3 устанавливается монотонность по функционалу итеративного процесса решения. При этом используются теоремы двойственности Куна-Таккера и теоремы о маргинальных значениях в параметрическом программировании. Их справедливость обеспечивается выполнением условий из работ А.М.Тер-Кри-корова / 40 / и Е.Г.Голынтейна Е.С.Левитина /. Поскольку результаты I 40 /по доказательству соотношений двойственности и справедливости принципа максимума Понтрягина в нормальной форме (без мер) относились к задачам оптимального управления со смешанными ограничениями без отклонений аргументов, в прило -жении I доказываются соответствующие теоремы для линейных и выпуклых задач в случав запаздываний. После необходимого теоретического обоснования применения метода декомпозиции для систем с запаздываниями (§§ I.I - 1.3) в заключительной части первой главы, § 1.4, конструкции и возможности подхода демонстрируются за ряде примеров. Первый из них интересен тем, что допускает аналитическое исследование всех построений метода разложения. Второй пример можно рассматривать как системную постановку оптимизации процессов в химико-технологических объектах из /SO /. В уравнения состояния как фазовые, так и управляющие переменные входят с запаздываниями по времени. Последний пример обладает некоторой спецификой, позволяющей свести его к решению последовательности систем линейных алгебраических уравнений с помощью конструкций из / 4 /. В § 1.4 исследуется эффективность применения методов редукции или агрегирования переменных в зависимости от значений параметров задачи (числа подсистем и количества значений запаздываний). Результаты сравниваются с соответствующими у В.И.Цуркова для систем без запаздываний. Устанавливается, что введение запаздывающих аргументов усложняет задачи настолько, что обойтись без их декомпозиции не представляется возможным.

Вторая глава посвящена исследованию разложения в управлении системами с распределенными параметрами и запаздываниями на примере систем, описываемых уравнениями в частных производных параболического типа. В § 2.1 метод декомпозиции применяется к задачам с распределенными управлениями типа рассмотренных '/laSaSa^n, Jeo в / £0,00 / для одномерных систем. Решения начально-краевых блочных задач понимаются в слабом смысле /fi /. Известны начальные значения управлений и фазовых переменных; граничные условия - нулевые. Функционал представляет собой сумму интегралов для подсистем по пространственным областям при фиксированном конечном времени. Выводится критерий оптимальности дезагрегированного управления. Доказательство монотонной сходимости по функционалу итеративного процесса решения завершает § 2.1.

Многомерная задача оптимального управления с запаздываниями для систем с частными производными параболического типа и граничными управлениями исследуется в § 2.2. Она возникает при рассмотрении процесса нагрева J пластинок системой нагревателей в условиях ограниченных общих ресурсов на нагревание. Соответствующую модель для J = I можно найти в книге А.Г.Бутковского /. Там указывается на задержку при передаче тепла, обусловленную скоростью теплопереноса. В силу этого в модель процесса граничное управление входит с запаздывающим аргументом. Аналогичная блочная задача, но без отклонений , исследовалась В.И.Цурковым в /<з-5 /. при условии одинаковых физических свойств пластин удалось провести редукцию исходной системы к системам меньших размерностей, причем в отличие от итеративной декомпозиции на основе агрегирования удается сведение к системам линейных алгебраических уравнений небольшой размерности. В § 2.2 устанавливается, что указанный подход применим и для систем с запаздываниями.

В третьей главе настоящей работы рассматриваются два конкретных примера использования метода декомпозиции путем агрегирования к оптимальному управлению линейными системами с запаздывающими управлениями и квадратичными функционалами, содержащими: интегральные (§ 3.1) и терминальные (§ 3.2) по фазовым переменным слагаемые. Следует отметить, что вторая задача возникает при аппроксимации конечным числом членов ряда Фурье решения задачи о нагреве систем пластинок с запаздывающим граничным управлением, как это предложено в книге А.И.Егорова /«$"«* / в отсутствии запаздываний. Проведение построений метода декомпозиции и подробное исследование аналитического вида получаемых промежуточных задач - агрегированной и блочных - положены в основу алгоритмов и реализующих их АЛГОЛ-программ.

Обсуждаются результаты численных экспериментов на ЭВМ БЭСМ-6 с транслятором АЛГОЛ-Дубна, в том числе - влияние на конечный результат исходных весов агрегирования. В § 3.1 выясняется, что непосредственное использование принципа максимума приводит к двухточечной краевой задаче с опережающими и запаздывающими аргументами, решение которой соряжено со значительными шрудностями. Задача же из § 3.2 сводится, если отказаться от ее декомпозиции, к системе линейных алгебраических уравнений большой размерности. Для рассматриваемых конкретных значений параметров решение последней в реальном времени невозможно ввиду ограниченной оперативной памяти ЭВМ. Блок-схемы программ приводятся: для § 3.1 - в приложении 2, для задачи из § 3.2 - в приложении 3.

Основные итоги работы подведены в заключении.

-У5

Результаты настоящей работы докладывались и обсуждались на ХХУП, XXУШ научных конференциях МФТИ (Долгопрудный, 198I, 1982), совещании "Теория и практика использования методов агрегирования в планирований и управлении" (Казань, 1982 г.)» семинаре лаборатории организации и проектирования больших систем ВЦ АН СССР. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях I 46 I.

Выражаю глубокую благодарность за научное руководство доктору физико-математических наук В.И.Дуркову и члену-корреспонденту АН СССР Г.С.Поспелову за постоянное внимание к работе.

Основные результаты настоящей работы следующие:

1. Доказана возможность применения итеративного метода декомпозиции на основании агрегирования переменных из разных блоков к блочно-сепарабельным задачам оптимального управления с запаздывающими аргументами в фазовых и управляющих переменных. При этом рассмотрены линейные и выпуклые задачи с непрерывным и дискретнцм временем, а также - системы с распределенными параметрами, описываемые уравнениями в частных производных параболического типа.

2. При обосновании метода разложения установлен критерий оптимальности промежуточных дезагрегированных решений, доказана локальная монотонность по функционалу итеративного процесса в простом и вырожденном случаях, из которой выводится сходимость итеративного процесса.

3. Для линейных систем, описываемых дифференциально-разностными уравнениями и квадратичными по фазовым переменным терминальными слагаемыми в функционале окончательное решение сводится к системам линейных алгебраических уравнений больших порядков. Установлена специфика этих систем и осуществлено сведение их к решению систем алгебраических уравнений небольших размерностей.

4. Рассмотрены иерархические задачи оптимального управления с распределенными параметрами и подсистемами, описываемыми параболическими уравнениями. Последние являются моделями оптимального нагрева тел, в которых учитывается инерция в передаче тепла. В зависимости от значений параметров исследована эффективность методов ее решения - либо с помощью итеративной декомпозиции, либо на основании методики понижения размерности в линейных системах алгебраических уравнений.

5. Обоснована эффективность использования метода декомпозиции путем агрегирования переменных для блочно-сепарабельных задач оптимального управления с запаздывающими аргументами.

6. На основании итеративного метода декомпозиции для задач оптимального управления с запаздываниями разработаны алгоритмы, которые реализованы в виде программ для ЭВМ. Их эффективность подтверждена конкретными примерами.

В настоящей работе исследовалась декомпозиция блочных задач оптимального управления с постоянными запаздываниями по времени. Полученные результаты могут быть обобщены и на случай распределенных или переменных / €s / запаздываний.

Подчеркнем также, что использование метода декомпозиции путем агрегирования управлений предполагается в сочетании с известными методами решения задач оптимального управления с запаздывающими аргументами. Эффективность этих методов только возрастет, если применять их не непосредственно к многомерным исходным задачам, а к более простым промежуточным (блочным или в агрегированных переменных).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Поспелов Г.С., Ириков В.А. Программно-целевое планирование и управление. - М.: Сов.радио, 1976, 440 с.

2. Поспелов Г.С., Вен В.Л., Солодов В.М., Шафранский В.В., Эрлих А.И. Проблемы программно-целевого планирования и управления. М.: Наука, 1981, 461 с.

3. Цурков В.И. Декомпозиция в задачах большой размерности. -М.: Наука, 1981, 352 с.

4. Цурков В.И. Оптимизация многомерных систем с распределенными параметрами. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1981, Ш 5, с.13 - 21.

5. Цурков В.И. Разложение в задачах управления системами с уравнениями параболического типа. Прикл. матем. и мех., 1981, т.45, Ш I, с. 137 - 144.

6. Цурков В.И. Декомпозиция в управлении системами с распределенными параметрами гиперболического типа. Автоматика и телемеханика, 1981, № 3, с.14-26.

7. Цурков В.И. Разложение на основе агрегирования управлений в динамическом программировании . IBM и МФ, 1981, т.21,4.

8. Дюкалов А.И., Иванов Ю.И., Мохов В.И., Сычев П.П. Оптимальный экономический план с учетом запаздываний. Автоматика и телемеханика, 1979, № II, с.119-133.

9. Гурецкий X. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием. М.: Машиностроение, 1974, 327 с.

10. Колмановский В.В., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Hayка, 1981, 448 с.

11. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. 2-е изд. - М.: Наука, 1972, -352 с.

12. Зверкин A.M., Каменский Г.А., Норкин С.Б., Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. -4.1, УМН, 1962, т.17, № 2, с.77 164.

13. Зверкин A.M., Каменский Г.А., Норкин С.Б., Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. -Ч.П в кн. Труды семинара по теории диф.уравнений с отклоняющимся аргументом, 1963, вып.2, с.3-49.

14. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. Гостехиздат, 1959.

15. Халанай А. Системы с запаздыванием. Результаты и проблемы. В кн. Сборник переводов "Математика" - М.: 1966, т.Ю, вып. 5, с. 85 - 102.

16. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В.: Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969 - 396 с.

17. Харатишвили Г.Л. Принцип максимума в теории оптимальных процессов с запаздыванием ДАН СССР, 1961, т.136, № I,с.

18. Харатишвили Г.Л. Принцип максимума в экстремальных задачах с запаздываниями. Труды ТГУ, 1968, т.128, с.149 - 156.

19. Ожиганова И.А. К теории оптимального регулирования систем с запаздыванием: Тр. семинара по теории диф.уравн. с откл.арг. Вып. 2, 1963, с. 136-145.

20. Габасов Р., Чуракова С.В. Необходимые условия оптимальности в системах с запаздыванием. Автоматика и телемеханика, 1968, т.29, te I.

21. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип макеимума для оптимизации систем с последействием. ДАН СССР, 1970, т.194,1. N° 5.

22. Фам Хыу Шак. Об оптимальном управлении дискретными процессами. Автоматика и телемеханика, 1968, № 8.

23. Фам Хыу Шак. Об оптимальном управлении дискретными системами с запаздыванием. А и Т, 1970, № 7.

24. Канте Кабине. Необходимые и достаточные условия оптимальности процессо с распределенными параметрами и с отклоняющимся аргументом. В кн. Сборник научных работ аспирантов ун-та дружбы народов им. П.Лумумбы. - М., 1968, вып. I, с.З -20.

25. Дегтярев Г.Л., Сиразетдинов Т.К. Оптимальное управление одномерными процессами с запаздывающими аргументами.

26. А и Т, 1970, №> I, с. 36-44.

27. Цуцунава Т.С. Оптимальные процессы с запаздыванием для систем дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического типа. Автореф. дисс. канд. физтмат.наук. Тбилисси, 1969.

28. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971, 508 с.

29. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Мордухович Б.Ш. Методы оптимального управления. Приложение. Существование оптимальных управлений. В сб. "Современные проблемы математики", т.6 (Итоги науки и техники). - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1976, с.133-261.-J50

30. Габасов P., Кириллова Ф.М. Математическая теория оптимального управления. В кн. "Итоги науки и техники". ВИНИТИ. "Мат.анализ" - М.: ВИНИТИ, 1979, т.16, с.55 - 97.

31. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. 2-е изд. перераб. и доп. - М.: Наука, 1971, 296 с.

32. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977, - 480 с.

33. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967, 548 с.

34. Бусленко Н.П., Осетинский Н.И. О динамических системах с последействием. Кибернетика, 1972, Ш 5.

35. Малашенко Ю.Е. Задачи линейного динамического программирования с запаздываниями. ЖВМ и МФ, 1972, т.12, № 6, с.1572 -1578.

36. Крокко Л., Чжен Синь-И. Теория неустойчивости горения в жидкостных реактивных двигателях. М.: ИЛ, 1958 - 351 с.

37. Красовский А.А., Поспелов Г.С. Основы автоматики и технической кибернетики. М.-Л., 1962.

38. Медницкий В.Г. Об оптимальности агрегирования в блочной задаче линейного программирования. В кн.: Математические методы решения экономических задач. - М.: Наука, 1972, вып. 3, с.3-17.

39. Ватель И.А., Флеров Ю.А. Модель годового планирования в отрасли. В кн.: Программный метод управления. - М.: ВЦ АН СССР, 1976, вып. 3, с.41-60.

40. Тер-Крикоров A.M. Оптимальное управление и математическая экономика. М.: Наука, 1977, 216 с.

41. Тер-Крикоров A.M. Об одной задаче оптимального управления со смешанными ограничениями для систем с распределенными параметрами. ЖВМ и МФ, 1981, т.21, № 3, с.561 - 571.

42. Дюкалов А.Н. Признак оптимальности в линейных динамических задачах оптимального управления со смешанными ограничениями. ЖВМ и МФ, 1976, т.16, № 14, с.856-873.

43. Дюкалов А.Н., Илютович А.Е. Признак оптимальности в нелинейных задачах оптимального управления со смешанными ограничениями. Автоматика и телемеханика, 1977, № 5, с.II - 20.

44. Габасов Р., Чуракова С.В. О существовании оптимальных управлений в системах с запаздыванием. Дифференциальные уравнения, 1967, т.З, № 12.

45. Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем. М.: Мир, 1973, - 344 с.

46. Голыптейн Е.Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения. М.: Наука, 1971, 352 с.

47. Левитин Е.С. О дифференцируемости по параметру оптимального значения параметрических задач математического программирования. Кибернетика, 1976, № I, с.44 - 59.

48. Янушевский Р.Т. Управление объектами с запаздыванием.-М.: Наука, 1978 416 с.

49. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973, 407 с.

50. Бутковский А.Г. Теория оптимального управлений системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965, - 439 с.

51. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978, 464 с.

52. Некоторые вопросы математической теории оптимального управления. Тбилисский университет, 1975, 186 с.

53. Иванилов Ю.П., Пропой А.И. Задачи динамического программирования. ЖВМ и МФ, 1972, т.12, № 3, с.571 - 581.

54. Моисеев И.Н. Элементы теории оптимальных систем . -М.: Наука, 1975 , 526 с.

55. Первозванский А.А. Математические модели в управлении производством. М.: Наука, 1975, 615 с.

56. Поспелов Г.С., Подузов А.А. Проблемы управления в экономико-математических моделях. Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, 1967, № 5.

57. Тер-Крикоров A.M. Исследование уравнений динамического баланса с запаздыванием. В кн.: Исследование операций, М.:

58. ВЦ АН СССР, 1972, вып. 3, с.58-63.

59. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. М.: Наука, 1973,- 255 с.

60. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. М.: Наука, 1973.

61. Бутковский А.Г. Управление системами с распределенными параметрами. (Обзор) Автоматика и телемеханика, 1979, № II, с.16 - 65.

62. Тимофеев В.И. Некоторые задачи оптимального управления детерминированными и стохастическими системами с запаздыванием. Автореф. дисс. канд. техн. наук, Казань, 1970.

63. Лионе Ж.Д. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972,414 с.

64. Солодов А.В., Солодова Е.А. Системы с переменным запаздыванием. М.: Наука, 1980, 384 с.гшг Л/пе - ^ Mwtp a^E -z^Ec'a&Ec&uj,2/. Л 9, VE. /)■ <?7- 09.

65. Jufo/Ж/паЕ EbuEzdE qf -zst^t <Mu£Ep& JQeEtyd. - y. Eft. Jfo^ Effi&e., v. зо,p. £27-635.74. Я ^гао&ел* jfrz ^^ ък^Еieee ham, ОкЕ. ас-/4, <гзо-гз775. <%tzaUu£a 77., EfeEz/na£ ^ ^/jEemdwiEt Ea^d. IEEE Jz&ttd. 7%?иЕгоЕ,

66. E&E&, v. ОЕ- Е4, р. £37-247.feea'feicd &pttE-z&EE&zd fez tE^/u?srU&zg -ifyfE&mj -t&t'EE та&уоЕЬ 7c/ne aZeEa^d. /I#e£&E. £-/*aE1.foie/zEu/. /&/7 - Ekfe^ 7&7S.

67. Ле&мя/г и/. M ф£/угя£ e^E^Efez sCtnuzA- -E^jEesHd Л&ъ-л^ Et/rz& t&Etz^g.

68. E/iE. , E07Z, if. 7S, p. £7,

69. OEeiaE ^ P, ETk/a/ip // stee f.E jfa. faa^va/ie Рг&ЕЕ&к fez -fysEzmj ^ш'ЕЕ EEeEa^j. IEEE Jvzud. tfaE&m. 8mE-z<?E, /&7/t гг. Oe -/?. E

70. ФеЕ^иъ^ C. jfo Ec/zmn fitcadfcaYte e&uE10E /с?? EmecEtEa^ tEtjfteb^sE&vtj:г/. 3, p. /6г.pa/iuAirfc <еп. Е/. уМгее- ^Еа^г dzj-t^n qf- /гяпЕг/г&яуъ

71. С&иЕге?Е Лу^Е&щ аыЕб Есте ЕлЕ.^/ Е&абЕъ&Е,1. V- Л/, /?. 7S3- 76г.$Е. / Л/и'Ее tEc/fe^stce ^oiEWi/n&jfi&n. qffin ^d^z itEEfi ak&u/. tPz&e. If/? С -fy/np-;

72. Eaic/tEz^, /<777- Ehfeza'/ E6>7<?.-/ssлг. ЖяМъ (?./., On ^ Auction tficme -cfefag' Ж? . IEEE JUZM4.

73. Otdem. Gwdiaf, ir. /7, />. /54- /05.з. £ш>т Г. -ZZa^me^za? foz dz/a^etf/

74. С&я^ъг?/? ^tff&ttj. 'Zfycpt., г/. <г/,1. О. <?з1. I mi ^ foz^ ^ёАе^ J$.defeat e&ntz&f mataJ/kd. j/n?.if. 1/6,/). <?£<?.

75. Лш/га^. 40с., Je-zted в, г/. <г/, 36.jtc/ng -tf&e.,4еъсед SJ гг. гО, si/з,/). 3/S-343.

76. М- Jeo вгяж/г £а секуча,a^zc&srz, fob fane 'Z&tffvce/kt/gf •а&Л'гшз, ^1.. ^ у-//56.у'Tlafa/asi Л. </v srt&smeyz^ б^х&Жрил finif- /1/4, f>. S6S- 6/3.01. -Utuy /? ^ c. tfe&^ua ^ fcmi etftt^jk/P-Ud й^кр&г'/^

77. SJ/?A/ j Ош?^, г/. /3, л/г, f.ce^-^pi

78. Федько O.C. Агрегирование переменных в задачах оптимального управления с запаздываниями. В кн.: Теория и практика использования методов агрегирования в планировании и управлении: материалы совещания, Казань, 1982, с. 70-73.

79. S3. Федько О.С. Декомпозиция в задачах дискретного оптимального управления с запаздываниями. Москва, 1982. - 10 с. -Редколлегия журнала "Известия АН СССР. Техническая кибернетика". Деп. в ВИНИТИ 28 июня 1982, № 3348-82.

80. Федько О.С. Разложение в задачах управления системами с распределенными параметрами и запаздываниями. Москва, 1983. - 22 с. - Редколлегия журнала "Известия АН СССР. Техническая кибернетика". Деп. в ВИНИТИ, 6 июля 1983 г., № 3708-83

81. Федько О.С. Разложение в задачах оптимального управления с запаздываниями. В кн.: Математические методы управления и обработки информации: Труды МФТИ, Долгопрудный, 1983, с. 108 - 112.

82. Федько О.С. Декомпозиция в задачах оптимального управления с запаздываниями. Докл. АН УССР,серия "А", № 12, 1983, с. 51-54.