Интерполяция и ортогонализация для систем целочисленных сдвигов функции Гаусса

Журавлев, Михаил Васильевич

Интерполяция и ортогонализация для систем целочисленных сдвигов функции Гаусса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Журавлев, Михаил Васильевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Воронеж МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Интерполяция и ортогонализация для систем целочисленных сдвигов функции Гаусса»

Автореферат диссертации на тему "Интерполяция и ортогонализация для систем целочисленных сдвигов функции Гаусса"

48595

На правах рукописи

ЖУРАВЛЕВ МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ

ДЛЯ СИСТЕМ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ

СДВИГОВ ФУНКЦИИ ГАУССА

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 О НОЯ 2011

Воронеж — 2011

4859511

Работа выполнена в Воронежском государственном университете.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник Новиков Игорь Яковлевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Овчинников Владимир Иванович,

доктор физико-математических наук, Терехин Павел Александрович.

Ведущая организация:

Самарский государственный университет

Защита состоится 6 декабря 2011 г. в 15.10 на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 335.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.038.22, доктор физико-математических наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы диссертации. В последнее время широко используются методы обработки данных, основанные на всплеск-преобразованиях. Термин "всплеск" появился в 1980-х, хотя первый всплеск был сконструирован А. Хааром еще в 1909 году. Всплески позволяют анализировать функции, частотные характеристики которых изменяются во времени. Всплеск-анализ может быть охарактеризован как альтернатива классическому анализу Фурье. Теория всплесков, так же как и анализ Фурье, имеет две важные части: непрерывное всплесковое преобразование и всплесковые ряды. Всплеск-ряды активно используются при сжатии данных, в том числе видео- и аудио-информации, применяются в цифровой обработке изображения, обработке сигналов и анализе

Всплеск-системы получаются посредством кратных сжатий и равномерных сдвигов одной фиксированной функции. Системы равномерных сдвигов функций широко используются помимо теории всплесков в таких классических областях математики, как теория функций вещественного и комплексного переменного, теория ортогональных рядов; при изучении преобразования Фурье и других интегральных преобразований, в функциональном анализе. В качестве примеров можно указать базисные сплайны, описанные в работах Ю.С. Завьялова, Б.И. Квасова, В.Л. Мирошниченко, С.Б. Стечкина, Ю.Н. Субботина, Н.И. Черных, Ч. Чуй; дискретные ортогональные и биортогональные всплески, исследованные И. Добеши, С. Малла, И. Мейером, И.Я. Новиковым, К.И.Осколковым, В.Ю. Протасовым, М.А. Скопиной.

В последние годы большое распространение в прикладных задачах получили системы целочисленных сдвигов функции Гаусса

данных.

которые будем обозначать следующим образом tpk(x)=expl--

В работах по квантовой оптике, таких авторов как Э. Вольф, Р. Глау-бер, Л. Мандель, A.M. Переломов, используются когерентные состояния, представляющие собой функции вида

ф(х) = ехр(-(Х~а^~гЬх^ , а,6еК.

с фиксированным параметром а.

В квантовой вычислительной химии (П. Гилл, Ф. Йенсен) произведения сдвигов функции Гаусса на многочлены невысоких степеней лежат в основе расчетов сложных молекул . Особенно популярной эта тематика стала после появления пакета прикладных программ "Gaussian" . Его основные авторы У. Кон и Д. Попл отмечены Нобелевской премией по химии за 1998 год.

В цикле работ В.Л. Вендланда, В. Карлина, В.Г. Мазьи, Г. Шмидта показано, что системы сдвигов функции Гаусса могут быть применены для аппроксимации различных потенциалов, а также для решения линейных и нелинейных граничных задач математической физики. Предельное поведение таких систем при стремлении параметра а к бесконечности описано в работах Н. Шивакумара. Различные аспекты интерполяции с помощью системы сдвигов функции Гаусса изучались в работах С.Ф. Бойса, К. Калкатерры.

Семейства функций, используемые во всех перечисленных выше задачах, оказываются неортогональными. Актуальными являются следующие задачи: оценка устойчивости разложения по этим функциям; изучение констант Рисса для систем сдвигов функции Гаусса и отвечающей ей функции Лагранжа; ортогонализация с сохранением структуры сдвигов;

предельное поведение функции, являющейся результатом ортогонализа-ции целочисленных сдвигов функции Гаусса.

Цель работы. Изучение неортогональных систем целочисленных сдвигов функции Гаусса. Основные задачи работы состояли: в получении явных выражений для констант Рисса, в исследовании зависимости этих констант от параметра сг, в реализации процедуры ортогонализации для системы сдвигов функции Гаусса, в вычислении коэффициентов функции Лагранжа с помощью дискретного преобразования Фурье.

Методика исследований. В работе используются методы теории функций, линейного функционального анализа, теории всплесков и теории специальных функций.

Научная новизна и значимость полученных результатов. Следующие результаты, полученные в работе, являются новыми.

1. Получены явные выражения для констант Рисса в случае систем целочисленных сдвигов функции Гаусса и полученной при интерполяции функции Лагранжа.

2. Показано, что при стремлении значения параметра а к бесконечности отношение верхней и нижней констант Рисса для случая функции Лагранжа не стремится к единице, хотя система сдвигов переходит в пределе к ортонормированной системе.

3. Предложен способ приближенного вычисления коэффициентов функции Лагранжа с помощью дискретного преобразования Фурье.

4. Для функции Гаусса реализован процесс ортогонализации с сохранением структуры сдвигов. Показано, что при стремлении значения параметра а к бесконечности полученная при ортогонализации функция стремится в среднеквадратичной норме к функции отсчетов

. sin а:

stnc(x) =-.

Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет тео-

ретический характер. Результаты диссертации теоретически обосновывают свойства неортогональных систем целочисленных сдвигов функции Гаусса. Предлагаемые в работе методы могут быть использованы и для других систем сдвигов, порожденных функциями, отличными от функции Гаусса.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на международной конференции "Всплески и приложения" в г.Санкт-Петербурге в 2009г., на международной конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" в г. Казань в 2011 г., в Воронежской зимней математической школе в 2011 г., а также на семинарах Воронежского государственного университета в 2010 - 2011 гг.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах автора [1] — [4] . Из совместных публикаций [1], [4] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работа [2] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 80 наименований. Общий объем диссертации 83 стр.

Краткое содержание диссертации.

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследования, определены научная новизна и практическая значимость.

Нумерация приводимых ниже теорем и определений совпадает с их нумерацией в диссертации.

Первая глава является вводной. Здесь приводятся основные определения, необходимые формулы и излагаются результаты, используемые в работе.

Приводятся результаты В.Г. Мазьи и Г. Шмитда о функции Лагранжа, построенной по системе целочисленных сдвигов функции Гаус-

са

<Pk(x) = ехр ^ j , fceZ.

Определение 1.1. Функция g(x), являющаяся линейной комбинацией <fik(x),

оо

9(х) = J2 dk ipk(x),

А*=—со

называется функцией Лагранжа (узловой функцией), если для нее выполнена система равенств g{m) = 8Qm, те Z, где 50т - символ Кро-некера.

Определение 1.2. Ряд Фурье

оо

G(t) = £ dk e~ikt

k=—оо

называется символом или маской бесконечной последовательности {dkjkez ■

Обозначим через Ф(г) маску, построенную по значениям функции р(х) в целых узлах, т.е.

оо

т = vU) e~ijt■

j = — OQ

Приведем результат, который во второй главе играет важную роль в исследовании коэффициентов dk .

Теорема 1.З.1 Справедлива формула

* оо

тгт-

ф<" .

к=—ао

где

1 Approximate approximations. / V. Maz'ya, G. Schmidt. // AMS Mathematical Surveys and Monographs. - 2007.- vol.141. - 350 p.

г=—оо 4 '

= (2тг<т2)1- Е (4г + 1)-ехр(-2тг2(72-(2г + 0.5)2).

Система сдвигов функций Гаусса является неортогональной в 1,2 (М). Важными характеристиками таких систем являются константы Рисса.

Определение 1.3. Функции щ{х) образуют систему Рисса с положительными константами А и В , если для любого с £ £2 выполнена двусторонняя оценка

А\\41 <

Ск ук(х)

< В\\с\\1 ,

Ь2

II2 ^

к= — оо

где нормы задаются обычным образом:

оо />0О

ЦсЩ = Е Iе*!2' и/Щ = /

, 7 — ОО

оо

Наибольшая из величин Л называется нижней константой Рисса, наименьшая величина В - верхней константой Рисса.

Во многих результатах диссертации существенную роль играет хорошо известный факт из теории всплесков.

Теорема 1.5. Пусть (р £ ¿2 (К). Для того чтобы система функций 1р(х — п), п € Ъ являлась системой Рисса с постоянными Л, В, необходимо и достаточно, чтобы для почти всех £ 6 ® выполнялось равенство

А <2тг <р(£ + 27Г&)|2 < В.

Применение данного соотношения к функции Гаусса приводит к одной из специальных функций, а именно, третьей тета-функции Якоби

оо /

к——оо

Данную функцию можно также представить в других формах с помощью произведения Якоби

оо

и тета-преобразования Пуассона

1 00 / 1.2 \ 1 V—> I I* \ 2 ikt

£ exp (-a(t + тгк)2) = -= Y. ехР ( - V ) е"

fc=-oО fc=—00

Кроме того, в первой главе приводятся сведения о фундаментальных сплайнах, ортогонализации с сохранением структуры сдвига и дискретном преобразовании Фурье.

В первом и втором параграфах второй главы выводятся формулы для констант Рисса. В случае целочисленных сдвигов функции Гаусса константы Рисса находятся явно с помощью тета-функции Якоби.

Теорема 2.1. Система функций

ipk{x) = exp ) ' к е 2

является системой Рисса с константами: А = От/жвз(|;91), В = стл/тгвз (0;gi),

В случае системы сдвигов функции Лагранжа, справедлива следующая

Теорема 2.2. Система функций ди{х) = д(х—к), к е Z. является системой Рисса с константами:

А= min ß=max

0<?<2тг 0<£<2л-

где 2л- -периодическая непрерывная функция Ра(£) имеет вид

РАО -

Е ехр(-<72(£ + 2тг/)2)

/= — оо

£ ехр(-£ (£ + 2жк)1)

l = — ОО ;

Основное внимание уделено поведению отношения верхней и нижней констант с ростом параметра а. Показано, что в случае системы сдвигов функции Гаусса отношение констант Рисса очень быстро растет. Например, при а = 2 отношение этих констант имеет порядок 1016 , а уже при а = 5 получается величина порядка 10106 . Таким образом данная система является неустойчивой.

Для случая системы сдвигов, порожденных функцией Лагранжа, доказано, что при стремлении значения параметра а к бесконечности отношение верхней и нижней констант Рисса не стремится к единице, хотя из работ S.D. Riemenschneider, Th. Shclumprecht и N. Sivakumar известно,

что

где функция отсчетов

д(х) sinc{itx),

, ч sin -КХ

smc (jrx) - -

тгх

порождает ортонормированную систему целочисленных сдвигов.

Теорема 2.3. Пусть величины А = А{а) и В = В (а) заданы формулами из теоремы 2.2. Тогда

~Ш~А(а) < L Нш В(а) = 1, lim > 2.

°"-'00 2 О—оо сг=*5с А{а) -

Данная теорема подтверждается численными расчетами. В таблице приведены значения констант Рисса, рассчитанные при разных значениях

параметра а . Значения констант Рисса А и В для системы целочисленных сдвигов функции Лагранжа уже при а > 2 фактически стабилизируются, т.е. обе константы Рисса практически не зависят от параметра а . Таким образом, данная система целочисленных сдвигов является устойчивой.

а Функции Гаусса Функции Лагранжа

А В В/А А В В/А

0.2 0.353 0.356 1.01 0.353 0.356 1.008

0.4 0.415 1.009 2.43 0.498 0.852 1.711

0.6 0.130 2.262 17.46 0.499 0.997 1.998

1.0 6.450 • Ю-4 6.283 9.67 • 103 0.499 0.999 2

2.0 3.597-Ю-16 25.132 6.98 • 1016 0.500 1.000 2

3.0 2.996- НГ37 56.548 1.88 • 1038 0.500 1.000 2

4.0 5.276 ■ Ю-67 100.53 1.91 • 1068 0.500 1.000 2

5.0 2.184- Ю"105 157.08 7.19- Ю106 0.500 1.000 2

Третий параграф второй главы посвящен получению оценок, позволяющих определить количество слагаемых в бесконечных рядах для вычисления коэффициентов функции Лагранжа с заданной точностью с > 0 . Перейдем к конечномерному аналогу формулы (*) из теоремы 1.3, заменив бесконечную сумму конечной с индексом г, меняющимся от |fc|

до ' max

А 1 V-", „г ( (г + 0.5>2 - fc^

Для выбора значения гтах необходимо оценить величину dk — dk ■ Лемма 2.1. Пусть е > 0 . Если

ехр ^--—2-J < е,

то справедлива оценка

Также в этом параграфе устанавливается связь между ростом коэффициентов при возрастании параметра а и минимальным значением тета-функции Якоби.

В четвертом параграфе показано, что коэффициенты функции Лагранжа могут быть вычислены не только по формуле В.Г. Мазьи, но и с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ). В работе используется один из вариантов ДПФ: косинусное дискретное преобразование с четным числом узлов. Обозначим

лк —

где

* _ ^ / <?!«о+£ с со5 {щ)+9м{_1)к

3 = 1

7Г

Ь=зК з — о, » = -•

Относительная погрешность такого метода нахождения коэффициентов функции Лагранжа в сравнение с явными формулами, представленными В.Г. Мазьей, находилась по формуле

4-¿к

бк =

¿к

В результате относительные погрешности дк при п = 2000 являются величинами порядка Ю-11 — 10~18 , причем сами коэффициенты (1к достигают порядков Ю50 — Ю100 .

В третьей главе рассматривается процедура ортогонализации системы целочисленных сдвигов функции Гаусса. Опишем данную процедуру, следуя монографии К. Чуй 2 . Пусть функция /(аг) £ /^(К) 11 ее

2Введение в вэйвлеты. / Ч. Чуй. - М. : Мир, 2001. - 412 с.

целочисленные сдвиги образуют систему Рисса. Если задать функцию ь<(х) в образах Фурье формулой

№

( \ 1/2 ' 2ТГ Е +

\ к=~оо 1

то система функций у(х — к) является ортонормированным семейством, а переход от ¡р(х) к у(х) обычно называют процедурой ортонормализации с сохранением структуры сдвига.

В параграфе 3.1 дана реализация процедуры ортонормализации для системы сдвигов функции Гаусса.

Теорема 3.1. Пусть последовательность {с^кег £ Ь , функция у(х) имеет вид

(х-к)2'

''(х) = Е °к ехр ( ~~

X 2(72

к= —оо

оо

а соответствующая ей маска V(t) = Е ck elkt ■ Пусть выполнено

к=—оо

равенство

где &3(z,q) - тета-фунщия Якоби. Тогда система функций v(x — т), т £ 7,, будет ортонормированной в Ь2(К).

В следующих двух параграфах изучается предельное поведение полученных при ортонормализации функций в случае стремления параметра а к бесконечности. Как и в случае функции Лагранжа, пределом оказывается функция отсчетов

. , ч sinx

Sinei X) =-.

Поточечная сходимость образов Фурье доказывается в параграфе 3.2, сходимость в Ь-2{Щ показана в параграфе 3.3. Приведем оба эти результата.

Теорема 3.2. Пусть да(£) и - преобразование Фурье для

д(х) и у(х), соответственно. Тогда для всех £ € К имеют место следующие предельные соотношения:

О, при |£| > 7г. Теорема 3.3. Справедливы равенства:

^пп I\9а(х) - зтс{7Г1)||£а(к) = О, Дт - зтс(ъх)\\ыщ = О

В заключении кратно сформулированы основные результаты исследования.

1, при |£| < 7г; при |£| = тг;

1, при |£| < 7г;

Публикации автора по теме диссертации

1. Журавлев М.В. О вычислительных особенностях интерполяции с помощью целочисленных сдвигов гауссовых функций / М.В. Журавлев, JI.A. Минин, С.М. Ситник // Научные ведомости Белгородского государственного университета. N 13 (68) - 2009. Выпуск 17/2. - С. 89-99.

2. Журавлев М.В. О константах Рисса для систем целочисленных сдвигов функции Гаусса / М.В. Журавлев // Научные ведомости Белгородского государственного университета. N 5(100) - 2011. Выпуск 22. - С. 39-46.

3. Журавлев М.В. Об ортогонализации системы целочисленных сдвигов функции Гаусса / М.В. Журавлев // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы : сб. науч. Тр. / Казань, гос. ун-т. - 2011. -Т.43. - С. 139-141.

4. Jacobi theta-functions and systems of integral shifts of Gaussian functions / M.V. Zhuravlev, E.A. Kiselev, L.A. Minin, S.M. Sitnik // Springer Science+Business Media, Inc.: Journal of Mathematical Science. - 2011. - vol. 173, N 2. - P. 131-140.

Работа [2] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК

РФ.

Подписано в печать 25.10.11. Формат 60*84 '/,„. Усл. исч. л. 0.93. Тираж 100 экз. Заказ 1325.

Отпечатано с готового оригинал-макета в тингарафии Издатсльско-полифафичсского центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Журавлев, Михаил Васильевич

Введение

1 Основные понятия, обозначения и факты об интерполяции и ортогонализации систем целочисленных сдвигов

1.1 Преобразование Фурье, формула Пуассона и тета-функция Якоби.

1.2 Интерполяция и дискретное преобразование Фурье

1.3 Фундаментальные сплайны и ортогонализация с сохранением структуры сдвигов.

2 Константы Рисса и интерполяция

2.1 Константы Рисса для системы сдвигов функции Гаусса

2.2 Константы Рисса для системы сдвигов функции Лагранжа

2.3 О коэффициентах рядов, представляющих функцию Лагранжа, в зависимости от параметра а.

2.4 О приближенном нахождении коэффициентов рядов, представляющих функцию Лагранжа,-при помощи дискретного преобразования Фурье.

3 Ортогонализация

3.1 Ортонормализация для системы сдвигов функции Гаусса

3.2 Поточечная асимптотика образа Фурье функции Лагранжа по параметру сг.

3.3 Асимптотика поведения функции Лагранжа в среднеквадратичной норме.

Введение диссертация по математике, на тему "Интерполяция и ортогонализация для систем целочисленных сдвигов функции Гаусса"

Актуальность темы диссертации. В последнее время широко используются методы обработки данных, основанные на всплеск-преобразованиях. Термин "всплеск" появился в 1980-х, хотя первый всплеск был сконструирован А. Хааром еще в 1909 году [63]. Всплески позволяют анализировать функции, частотные характеристики которых изменяются во времени. Всплеск-анализ может быть охарактеризован как альтернатива классическому анализу Фурье [11]. Теория всплесков, так же как и анализ Фурье, имеет две важные части: непрерывное всплесковое преобразование и всплесковые ряды. Всплеск-ряды активно используются при сжатии данных, в том числе видео- и аудиоинформации, применяются в цифровой обработке изображения, обработке сигналов и анализе данных [22].

Всплеск-системы получаются посредством кратных сжатий и равномерных сдвигов одной фиксированной функции. Системы равномерных сдвигов функций широко используются помимо теории всплесков в таких классических областях математики, как теория функций вещественного и комплексного переменного, теория ортогональных рядов; при изучении преобразования Фурье и других интегральных преобразований, в функциональном анализе. В качестве примеров можно указать базисные сплайны ([14], [55]), дискретные ортогональные и биортогональные всплески ([22], [30]).

В последние годы большое распространение в прикладных задачах получили системы целочисленных сдвигов функции Гаусса р(х) — ехр

2сг2 которые будем обозначать следующим образом рк(х) - ехр ~ kf 2сг2 к G Z.

В квантовой оптике ([24], [36], [61]) используются когерентные состояния, представляющие собой функции вида с фиксированным параметром а.

В квантовой вычислительной химии ([62], [64]) произведения сдвигов функции Гаусса на многочлены невысоких степеней лежат в основе расчетов сложных молекул . Особенно популярной эта тематика стала после появления пакета прикладных программ " Gaussian". Его основные авторы У. Кон и Д. Попл отмечены Нобелевской премией по химии за 1998 год.

В цикле работ В.Г. Мазьи, Г. Шмидта и других авторов ([65] - [68]) показано, что системы сдвигов функции Гаусса могут быть применены для аппроксимации различных потенциалов, а также для решения линейных и нелинейных граничных задач математической физики. Предельное поведение таких систем при стремлении параметра о к бесконечности описано в работах ([70], [72]). Различные аспекты интерполяции с помощью системы сдвигов функции Гаусса изучаются в работах ([57], [59]).

Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации теоретически обосновывают свойства неортогональных систем целочисленных сдвигов функции Гаусса. Предлагаемые в работе методы могут быть использованы и для других систем сдвигов, порожденных функциями, отличными от функции Гаусса.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и - обсуждались на международной конференции "Всплески и приложения" в г.Санкт-Петербурге в 2009 г., на международной конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" в г. Казань в 2011 г., в Воронежской зимней математической школе в 2011 г., а также на семинарах Воронежского государственного университета в 2010 - 2011 гг.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах автора [77] - [80]. Из совместных публикаций [77], [80] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работа [78] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК РФ.

Заключение диссертации по теме "Математический анализ"

Основные результаты диссертации.

4. Для функции Гаусса реализован процесс ортогонализации с сохранением структуры сдвигов. Показано, что при стремлении значения параметра о к бесконечности полученная при ортогонализации функция стремится в среднеквадратичной норме к функции отсчетов.

Заключение

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Журавлев, Михаил Васильевич, Воронеж

1. Акиндинова Е.В. Дискретное преобразование Фурье и ортогональные системы циклических сдвигов / Е.В. Акиндинова, А.И. Барсукова, Л.А. Минин // Вестник Воронежского государственного университета. Сер. Физика. Математика. — 2005. — № 1. — С. 145-148.

2. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и прим,еры применения / Н.М. Астафьева // Успехи физических наук. — 1996. — Т. 166, № 11. С. 1145-1170.

3. Бари Н.К. Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве / Н.К. Бари. // Уч. зап. МГУ. — 1951. — Т. 4, № 148. — С. 69-107.

4. Бари Н.К. Тригонометрические ряды / Н.К. Бари. — М. : Физматлит, 1961. 937 с.

5. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. // Учеб. пособие. — М. : Наука, Физматлит, 1987. — 600 с.

6. Власова Б.А. Ряды: учеб. для вузов / Б.А. Власова. — М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. 616 с.

7. Воробьев В.И. Теория и практика вейвлет-преобразований / В.И. Воробьев, В.Г. Грибунин. СПб. : ВУС, 1999. - 203 с.

8. Гаспер Дж. Базисные гипергеометрические ряды / Дж. Гаспер, М. Рахман. М. : Мир, 1993. — 349 с.

9. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей / А.О. Гельфонд. — М. : Наука, 1967. — 367 с.

10. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения / Дж. Деммель. — М. : Мир, 2001. — 430 с.

11. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам / И. Добеши. — Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. — 464 с.

12. Дьяконов В.П. MATLAB. Обработка сигналов и изобраэюений. Специальный справочник / В.П. Дьяконов, И.В. Абраменкова. — СПб. : Питер, 2002. — 608 с.

13. Жуков А.И. Метод Фурье в вычислительной математике / А.И. Жуков. — М. : Наука, Физматлит, 1992. — 176 с.

14. Завьялов Ю.С. Методы сплайн-функций / Ю.С. Завьялов, Б.И. Квасов, B.JI. Мирошниченко. — М. : Наука, 1980. — 352 с.

15. Карслоу Г. Теплопроводность твердых тел / Г. Карслоу, Д. Егер. — М. : Наука, 1964. 488 с.

16. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел / Э.М. Карташов. — М. : Высшая школа. — 550 с.

17. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа (изд. пятое) / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин. — М. : Наука, 1981. 544 с.

18. Кострикин А.И. Линейная алгебра и геометрия / А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. — М. : Наука, 1986. — 304 с.

19. Котельников В.А. О пропускной способности Иэфира,"и проволоки в элекросвязи / В.А. Котельников. // УФН. — 2006. — Т. 176, № 7. — С. 762-770.

20. Лебедева Е.А. Экспоненциально убывающие всплески, имеющие равномерно убывающие константы неопределенности по параметру, определяющему гладкость / Е.А. Лебедева // Сибирский мат. жур. 2008. - Т. 49, № 3. — С. 574-591

21. Леонтьев В.Л. Ортогональные финитные функции и численные методы / В.Л. Леонтьев. — Ульяновск : УлГУ, 2003. — 178 с.

22. Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов / С. Ма/ша. — М. : Мир, 2005. 671 с.

23. Мамфорд Д. Лекции о гпета-функциях / Д. Мамфорд. — М. : Мир, 1988. 448 с.

24. Мандель Л. Оптическая когерентность и квантовая оптика / Л. Мандель, Э. Вольф. — М. : Физматлит, 2000. — 896 с.

25. Минин Л.А. О неравенствах для тета-функций Якоби / Л.А. Минин, С.М. Ситник // Труды участников международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Абрау-Дюрсо. — Ростов-на-Дону : Южный Федеральный университет. — 2008. С. 124-126.

26. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии / Ф. Наттерер. — М. : Мир, 1990. — 288 с.

27. Новиков И.Я. Основные конструкции всплесков / И.Я. Новиков, C.B. Стечкии // Фундаментальная и прикладная математика. — 1997. Т. 3, № 4. — С. 999-1028.

28. Новиков И.Я. Основы теории всплесков / И.Я. Новиков, С.Б. Стеч-кин // Успехи матем. наук. — 1998. — Т. 53, № 6. — С. 53-128.

29. Новиков И.Я. Теория всплесков / И.Я. Новиков, В.Ю. Протасов, М.А. Скопина. — М. : Физматлит, 2005. — 616 с.

30. Нуссбаумер Г. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток / Г. Нуссбаумер. — М. : Радио и связь, 1985. 248 с.

31. Овчинников В.И. Интерполяция в симметрично-нормированных идеалах операторов, действующих в различных гильбертовых пространствах / В.И. Овчинников // Функциональный анализ и его приложения. — 1994. Т. 28, № 3. — С. 80-82.

32. Овчинников В. И. Некоммутативные пространства В МО, когерентная ядерность и ограничннные расширения матриц / В.И. Овчинников // Доклады академии наук. — 1998. — Т. 363, N- 1. — С. 17-19.

33. Переломов A.M. Замечание о полноте системы когерентных состояний / A.M. Переломов // ТМФ. — 1971. — Т. 6, № 2. — С. 213-224.

34. Переломов A.M. Когерентные состояния и тэта-функции / A.M. Переломов // Функ. анал. и его приложения. — 1972. — Т. 6, вып. 4. С.-47-57.

35. Переломов A.M. Обобщенные когерентные состояния и их применения / A.M. Переломов. — М. : Наука, 1987. — 272 с.

36. Рвачев В.А. Неклассические методы приближений в краевых задачах / В.Л. Рвачев, В.А. Рвачев. — Киев : Наукова Думка, 1979. — 196 с.

37. Рвачев В.JI. Финитные решения функционально-дифференциальных уравнений и их приложения / В.Л. Рвачев // УМН. — 1990. — Т. 45, № 1. С. 87-120.

38. Рябенький B.C. Введение в вычислительную математику: Учеб. пособие / B.C. Рябенький — М. : Физматлит, 2000. — 296 с.

39. Самарский A.A. Методы решения сеточных уравнений / A.A. Самарский, Е.С. Николаев. — М. : Наука, 1978. — 592 с.

40. Ситник С.М. Обобщения неравенств Коши-Буняковского методом средних значений и их приложения / С.М. Ситник // Черноземный альманах научных исследований. Серия "Фундаментальная математика". 2005. - № 1 (1). - С. 3-42.

41. Ситник С.М. Уточнения и обобщения классических неравенств / С.М. Ситник; Под ред. Коробейника Ю.Ф., Кусраева А.Г //В книге: Исследования по математическому анализу. Серия : Математический Форум. Владикавказ : ВНЦ РАН. - 2009. - Т. 3. - С. 221-266.

42. Смоленцев Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB / Н.К. Смоленцев. — М. : Изд-во ДМК пресс, 2005. — 304 с.

43. Снеддон И. Преобразование Фурье / И. Снеддон. — М. : Иностранная литература, 1955. — 667 с.

44. Справочник по специальным функциям / Под. ред. М. Абрамовица, И. Стиган. — М. : Наука, 1979. — 831 с.

45. Терехин П.А. Банаховы фреймы в задаче аффинного синтеза / П.А. Терехин // Матем. сборник. 2009. - Т. 200, № 9. - С. 127-146.

46. Терехин П.А. О компонентах суммируемых функций по элементам семейст.в функций-всплесков / П.А. Терехин // Изв. вузов. Матем. — 2008. Т. 52, № 2. - С. 53-59.

47. Терехин П.А. О сходимости биортогоналъных рядов по системе сжатий и сдвигов функции в пространстве Z-p0,1] / П.А. Терехин // Матем. заметки. 2008. - Т. 83, № 5. — С. 722-740.

48. Терехин П.А. Проекционные характеристики бесселевых систем / П.А. Терехин // Изв. Саратовского ун-та. Сер. матем., мех., ин-форм. 2009. - Т. 9, № 1. - С. 44-51.

49. Терехин П.А. Условия базисности систем сжатий и сдвигов функций в пространстве Lp0,1] / П.А. Терехин // Изв. Саратовского ун-та. Сер. матем., мех., информ. — 2007. — Т. 7, № 1. — С. 39-44.

50. Треногин В.А. Функциональный анализ: Учебник / В.А. Трено-гин. — 3-е изд., испр. — М. : Физматлит, 2002. — 488 с.

51. Уиттекер Э.Т. Курс Анализа. Часть вторая: трансцендентные функции / Э.Т. Уиттекер, Дж.Н. Ватсон. — М. : ГИФМЛ, 1963. — 516 с.

52. Фадеев Л.Д. Математическая физика. Энциклопедия / Гл. редактор Л.Д. Фадеев. — М. : Большая Российская энциклопедия, 1998. — 691 с.

53. Чуй Ч. Введение в вэйвлеты / Ч. Чуй. — М. : Мир, 2001. — 412 с.

54. Andrews G.E. Special functions / G.E. Andrews, R. Askey, R. Roy — Cambridge University Press, 1999. — 664 p.

55. Ascensi G. On approximations by shifts of the Gaussian function / G. Ascensi // arXiv:0812.0476v 1 math.CA]. 2008. — 8 p.

56. Boys S.F. Electronic Wave Functions. I. A General Method of Calculation for the Stationary States of Any Molecular System / S.F. Boys // Proc.R.Soc.Lond.A. 1950. - P. 542-554

57. Calcaterra C. Approximating with Gaussians / C. Calcaterra, A. Boldt // arXiv: 0805.3795vl math.CA]. 2008. - 17 p.

58. Chu E. Discrete and continuous Fourier transforms analysis, applications and algorithms / E. Chu // Taylor and Francis Group, LLC Chapman k Hall, 2008. — 400 p.

59. Gazeau V.P. Coherent States in Quantum Physics / V.P. Gazeau. -WILEY-VCH Verlay GmbH & Co.KGaA, Weinlieim, 2009. 358 p.

60. Gill P. The Prism Algorithm for Two-Electron Integrals / P.Gill, J.Pople // Internationa journal of quantum chemistry. — 1991. — V. 40. — P. 153-772

61. Haar A. Sur Theorie de orthogonalen Funktionensysteme / A. Haar // Math. Ann. 1910. - V. 69. - P. 331-371.

62. Jensen F. Introduction to Computational Chemistry / F. Jensen John Wiley and Sons Ltd, Baffins Lane, Chichester, West Sussex P019 1UD, England,11999. - 430 p.

63. Maz'ya V. Approximate approximations / V. Maz'ya, G. Schmidt // AMS Mathematical Surveys and Monographs. — 2007. — V. 141. — 350 p.

64. Maz'ya V. On approximate approximations using Gaussian kernels / V. Maz'ya, G. Schmidt // IMA J. Num. Anal. 1996. - V. 16. -P. 13-29.

65. Maz'ya V. On the computation of multi-dimensional single layer harmonic potentials via approximate approximations / V. Maz'ya, G. Schmidt, W.L. Wendland // Carcolo. 2003. - V. 40, № 1. -P. 33-53.

66. Maz'ya V. Semi-analytic time-marching algorithms for semi-linear parabolic equations / V. Maz'ya, V. Karlin // BIT. — 1994. — V. 34. -P. 129-147.

67. Phillips G.M. Interpolation and Approximation by Polynomials / G.M. Phillips — Verlag—Springe, New York, 2003. — 312 p.

68. Riemenschneider S.D. Gaussian radial-basis functions: a survey / S.D. Riemenschneider, N. Sivakumar //J. Analysis. — 2000. — V. 8. — P. 157-178.

69. Schweinler H.C. Orthogonalization methods / H.C. Schweinler, E.P. Wigner //J. Math. Phys. 1970. - P. 1693-1694.

70. Shclumprecht Th. On the sapling and recovery of bandlimited functions via scattered translates of the Gaussian / Th. Shclumprecht, N. Sivakumar // arXiv:0803.4344vl math.CA]. 2008. — 29 p.

71. Strang G. The discrete cosine transform / G. Strang // SIAM Review, Issue 1. 1999. - V. 41. - P. 135-147.

72. Stromberg J.O. A modifed Franklin system and higher order spline systems on Rn as unconditional bases for Hardy spaces / J.O. Stromberg // Conf. in honor of A. Zygmund, Wadsworth. Beckner et al. - 1981. - V. 2. - P. 475-493.

73. Unser M. Sampling-50 Years After Shannon / M. Unser. // Proceedings of the IEEE. 2000. - V. 88, №. 4. - P. 569-587.

74. Whittaker E.T. On the functions which are represented by the expansion of interpolating theory / E.T. Whittaker //in Proc R. So C.Edinburgh. — 1915. V. 35. - P. 181-194.

75. Журавлев М.В. О константах Рисса для, систем целочисленных сдвигов функции Гаусса / М.В. Журавлев // Научные ведомости Белгородского государственного университета. — 2011. — № 5 (100). — вып. 22. — С. 39-46.

76. Журавлев М.В. Об ортогонализации системы целочисленных сдвигов функции Гаусса /М.В. Журавлев // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы : сб. науч. тр. — Казань : Изд-во Казанского мат. общ-ва. — 2011. — Т. 43. — С. 139-141.

77. Jacobi theta-functions and systems of integral shifts of Gaussian functions / M.V. Zhuravlev, E.A. Kiselev, L.A. Minin, S.M. Sitnik // Springer Science+Business Media, Inc.: Journal of Mathematical Science. 2011. - V. 173, № 2. - P. 131-140.V