Приближенное интегрирование функций в пространствах дробных производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Р Г В О Д На правах рукописи

Севастьянова Нэлли Александровна

ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВАХ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

01.01.01. - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск 1997 г.

Работа выполнена в Красноярском государственном техническом университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор Половинкин В.И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Маергойз Л.С. доктор физико-математических наук, профессор Носков М.В.

Ведущая организация: Пензенский государственный

технический университет

Защита состоится % ^ ЗРЛ_ 1992 г. в час

на заседании диссертационного совета Д.064.61.02 в Красноярском государственном университете по адресу: 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.

Автореферат разослан " ^ " _1997 г

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук«

Бабенышев С.В.

Содержание работы

Глава 1. Введение. Данная глава состоит из двух параграфов. В §1.1 формулируются цели исследований и излагается краткое содержание диссертации. В §1.2 приводятся важнейшие обозначения и необходимые предварительные сведения.

Глава 2 посвящается изучению последовательностей функционалов ошибок усложненных квадратурных формул. Данная глава содержит 3 параграфа. В §2.1 и §2.2 исследуются усложненные квадратурные формулы в пространствах Щ(а,Ь), в §2.3 - в пространствах (L°(o, 6)) .

Через I"+(Lp) обозначим линейное многообразие функций, иред-ставпмых на отрезке [я, Ь] в виде

f(x) = /(«) + f'(a)(x - а) + ... + - 4°]+

а

где х > a, [q] - целая часть числа а, Г гамма функция Эйлс-ра, /(")(:£■') - левостороипяя дробная производная Римана-Лиувплля, j^(x) £ Lp(a, h). Полунорма

ll/HW)=l|/(a)|Up(a,4)= (j \fia)(x)\4x

определяет на банахово пространство, которое обозначается

через Lp(a, Ь).

Рассмотрим усложненные квадратурные формулы ..

п-1 т-1

/

/(х)йа;, ^Е Е hcjf(hxj + Ы + а), 1=0 ;=и

где к = (Ь — а)п \ 0 < < .хг < :.. < хп < 1. Соответствующие им функционалы ошибок будут иметь вид

» «— 1 т— 1 '

о'\ /) = / -ЕЕ +ы+<*)■ « ¿=0^0

Функционал принадлежит к сопряженному для Ь) пространству Ьр*(а, 6), если ар > 1 и

(1!'(х),х$) — 0 при 5 = 0,1,..., [а].

Следующий ниже результат доказывается в §2.1 для случая а £ (р~',1) и н §2.2 для а> 1. "'

Теорема 1. Пусть {/''} - последовательность функционалов вида (1). Тогда при Н —> 0

\\1%г(а,ь) = {Ь-аУ^Вар(1 + о(1)), (2)

где постоянная В™ зависит только от аир.

Доказательство теоремы 1 основано на разложениях выражений норм функционалов ошибок в ряды, исследовании полученных рядов, их преобразованиях.

В §2.1 при оценках рядов используется теорема Лагранжа о среднем. В §2.2 находятся функции:,

а

1 + ^л> -1

(3)

т-1 .

а—1

ФаМН^-А)-1^ 1 + ^

разложение в ряды которых п дальнейшие преобразования позволяют полупить главный член нормы функционалов ошибок, кон-стапту Щ из формулы (2), в явном виде

в; =

т-1 ¿=0

(4)

1,(0,1)

где функции иа(А) и и"(А) определяются из равенств 1

.«(А) =

=

Г(а)

(2 - А)" Г(а)

Т 7—ГГТГ77—ТТ X

[а]! Г ({а})

хй«-АрС'(г,А)

¿=2

1 ' , /„ , л \\a-l

Г(а)

(*,• - А)"" + + 1 - А)" +_

Н!Г({а}) ^

Здесь {«} - дробная часть числа а, а функции С{г, А) и С'(г, А) опр еде л яютс я со отношени ями

= ¿(-1)4^),

(5)

Г=1

(1-{а})(2-{а})-...-(г-{а})

Сг(/''Л) ([а] + 1)([а] + 2) •... • ([а] + г)(М + г + 1) (г - А)-1'

ОС

1У{г,\) =

Г=1

4(г, А).

(1-{а})(2-{а})-...-(г-{а»_

([а] + 1)(М + 2) -...•([<*] + г) (¿-А)-!'

Теорему 1 можно обобщить па случай f(x) £ Ь):. При этом

в формулах (2) и (4) надо полагать д = 1 и

В §2.3 оценка (2) распространяется на случай /(ж) £ (■££(«, Ь)) , где (Ьр(а,Ь))4_ - цространства функций с правосторонними дробными производными Римана-Лпувилля.

Глава 3 посвящается исследованию последовательностей функционалов ошибок квадратурных формул с пограничным слоем. Данная глава состоит из 3 параграфов. В первых двух параграфах исследуются квадратурные формулы с пограничным слоем в пространствах Ьр(а,Ь), в §3.1 при а € (р-1,1), в §3.2 при а > 1; в §3.3 - в пространствах (¿^(«,?>)) .

В данной главе так же, как в главе 2, вывод результатов основан на методе, связанном с разложением норм функционалов ошибок квадратурных формул в ряды.

При этом используются специальные функции: Фф', А), определенная формулой (3), и

разложение в ряды которых и дальнейшие преобразования дают возможность получить главный член норм функционалов ошибок в явном виде.

Последовательности функционалов {/''}, каждый из которых

определяется из равенства

ъ

где Сд, с'{,..., с^ - постоянные, называется последовательностью с пограничным слоем, если существуют натуральные числа (I и /, < (1) и функционалы (г = Л + 1,..., п — Л — 1), а также

постоянная К > 0 такие, что

а) (1*(х),х')=0, (ф),х°)=0, (/?(:г),х-') = 0

при 5 = 0,1,..., [а];

п — ({— 1

б) = х;

г=(1

) {II [) = /

В/

а'

Ь

1+Л

¿¿и

а+г/1 "1 где с!-п - постоянные = 0,1,,.., Ь + удовлетворяющие оценкам

141 < Кк, 141 < КН.

Сопутствующим функционалом последовательности функционалов с пограничным слоем {/''} называется функционал I, определенный равенством

\ Ш

(*,/)= / Д^х-Е^дл

о '=-*

где

О ='?(«)■

Сопутствующим числом последовательности функционалов с по-

Последовательпости функционалов с пограничным слоем, сопутствующие функционалы и сопутствующие числа, а также последовательности типа Грегори былп введены ранее В.И. Половинки-ным. К последовательностям функционалов с пограничным слоем относятся и последовательности функционалов с регулярным пограничным слоем, введенные С.Л. Соболевым.

Теорема 5. Пусть {/л} последовательность функционалов с пограничным слоем. Тогда при Н —► 0

граничныад .слоем {/л} называется число ее:

(6)

где постоянная Пр зависит только от аир.

Константа В™ из (6) представима в виде

¿+1

где функции аа(Х) и А) определены соотношениями

аа(А) =

Г(а)

и

Здесь функция С(г, А) определена формулой (5), а В'{г, А) определяется из соотношений

оо

А) = £(-1)^(г\А),

уи \\ = (11-М)(2-М)-...-(г-М) ' ; ([а] + 1)(М + 2).....([а] + г) (г - А)Г-1'

Теорему 2 можно обобщить на случай /(х) £

В §3.3 оценка (б) распространяется на функции из пространств (ЬаР(а,Ь))ь_.

В главе 4 исследуется задача асимптотической оптимизации последовательностей квадратурных формул. Данная глава содержит 3 параграфа.

В §4.1 изучаются последовательиостп с равными сопутствующими числами.

Теорема 7. Если последовательности функционалов с пограничным слоем и {¿2} имеют равные сопутствующие числа а;, то при Н —> О

В §4.2 исследуются последовательности функционалов с различными сопутствующими числами. Показано, что главный член норм функционалов ошибок, константа О* из формулы (6), непрерывно зависит от сопутствующего числа ж, которое характеризует асимптотику значений сопутствующих функционалов на многочлепах степени [а] + 1.

Теорема 9. Константа .0™ предст.авима в виде

о; = \\\у>(\) + *уа(\)\\ь,{иь (9)

где функции И/а(Л) и Уа(А) определены соотношениями

1+И

ЩХ)

(ю) (и)

Здесь функции «"(А) и Щ{А) определены формулами (7) и (8) соответственно. Через 5(0,1,2,..., [а] + 1) обозначен определитель Вандермонда:

0 1 2 . 1 + [а]

(Ы С = 0 1 22 ! • (1 + Н)2

0 1 2и _ . (1 + [а])М

0 1 2[а]+1 . (1 + [а])М+1

1

= В(0,1,2,...,1 + [а])^0.

Функция определяется из равенства

^•([а]) = (_1)0-+1)+1 ¿е±с} + (_1)У+1)+^с1сЬС^ + ..

¿1

1

гЫ

[а] +1 ; 1

где С* (к = 1,2,..., [ог] + 2, = 0,1,..., [а] + 1) - матрицы, полученные из С вычеркиванием + 1 )-го столбца и к-той ст.роки.

Соответствующую константу можно получить для пространства {Ь'>{а,Ь))1г .

В §4.3 рассматривается вопрос асимптотической оптимизации последовательностей квадратурных формул с пограничным слоем.

Наименьшее ее в формуле (9) находится единственным образом. По данному аз строятся последовательности квадратурных формул

асимптотически оптимальные среди последовательностей с погра-пичным слоем в смысле величины нормы функционалов ошибок в

Последовательность функционалов {рк} называется асимптотически оптимальной в Ьр(а, Ь), р € (1, оо) среди последовательностей функционалов с пограничным слоем, если для любой последовательности с пограничным слоем выполняется неравенство

Показано, в частности, что за асимптотически оптимальную последовательность можно взять последовательность типа Грегори.

Последовательность функционалов, каждый из которых определяется равенством

ь

(Л/)=У/(*)<&-

а

С I п—/—1 N

-Л] 2>;/(а + Ы) + Д-/(Ь - Ы)} + £ /(« + Ы) I, ^ ¿=0 , ¿=«+1 '

где ад, «1, ■ • •, о(, Д), /3],..., /3« - действительные числа, п — г/, I] + 1,...; г] - натуральное число; £ < г//2; и выполнены условия

(//'(х),.-Г*) = 0 при * =0,1,...,[«], называется последовательностью типа Грегори.

Теорема 11. При любых р £ (1,оо) и а. > р'1 в пространствах Ь°(а,Ь) и (Хр(а, 6))6_ существуют последовательности типа Грегори, асимптотически оптимальные среди последовательностей функционалов с пограничным слоем.

При аз .= О последовательность функционалов с пограничным слоем является последовательностью функционалов с регулярным пограничным слоем. Для таких последовательностей имеем

Аналогичная формула выводится для пространств (Ь£(а, 6))^ .

Устанавливается также, что для пространств ¿^(а, Ь) главный член нормы функционалов ошибок квадратурных формул с пограничным слоем достигает своего минимума при

' ' * Н^МШДО,!) '

где

1

(И'га(А),К"(А)) = J И'°(А)Уа(А)сгА, о

а функции И'4* (А) и Уа(А) определены соответственно равенствами (10) и (И):

Статьи автора по теме диссертации

1. Усложненные квадратурные формулы в пространствах функций, имеющих дробные производные // Оптимальные методы вычислений и их применение к обработке информации: Меж-вуз. сб. науч. тр. - Пенза: из-во Пенз. политех, ии-та, 1992 -Вып.11. - С. 86-95 (совместно с Половинкиным В.И.)

2. Усложненные квадратурные формулы в пространствах функций с дробными производными / Красноярск, 1993. - 18 с. Деп. в ВИНИТИ. 12.11.93. N 2803-В93.

3. Усложненные квадратурные формулы в пространствах функций с дробными производными Римана-Лиувилля / Тезисы докладов II семинара-совещания "Кубатурные формулы и их приложения". Красноярск: изд. КрПИ, 1993. С. 37.

4. Решетчатые квадратурные формулы в пространствах функций с дробнымп производными // Сб. статей "Кубатурные формулы и пх приложения" - Красноярск: изд. КрПИ, 1994. С. 123-130.

5. Последовательности функционалов с пограничным слоем для функций с дробнымп производными / Тезисы докладов III семинара-совещания "Кубатурные формулы и их приложения". Красноярск, Уфа: изд. КрПИ и ИМВЦ УНЦ РАН, 1995. С. 27.

6. Последовательности функционалов с пограничным слоем для функций, имеющих дробные производные // Сб. статей "Кубатурные формулы и их приложения" - Уфа: изд. ИМВЦ УНЦ РАН, 1996. С. 90-104.

7. Последовательности функционалов с пограничным слоем в пространствах Римана-Лиувилля / Красноярск, 1997. - 35 с. Деп. в ВИНИТИ. . 10.04.97.. N 1161-В97.

Тираж 100 экз. Заказ 682 РИЦ КГУ