Об асимптотической оптимальности последовательностей квадратурных формул С. Л. Соболева в пространствах Lp (m) (a, b) тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение

Тематика диссертации.

Последовательности асимптотически оптимальных формул

О содержании диссертации.

1 Исследование асимптотической оптимальности в пространствах Lf(a,b)

1.1 Постановка задачи.

1.2 Нахождение обратной фукнции и ее производной для полинома Вернул ли степени 6.

1.3 Преобразование основного уравнения при т =

1.4 Вывод основной теоремы.

2 Исследование асимптотической оптимальности квадратурных формул С. JI. Соболева в пространствах L^[a,b]

2.1 Обратная функция и ее производная для полинома Бернулли степени 8.

2.2 Доказательство основной теоремы.

3 Обращение полинома Бернулли степени

4 Весовые кубатурные формулы, построенные с использованием метода Фейера суммирования рядов

4.1 Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических

4.2 Нормы функционала ошибок.

4.3 Асимптотическая оптимальность построенных кубатурных формул.

Тематика диссертации

Теория приближенного интегрирования является развитым разделом математического анализа. Наряду с другими авторами, ей посвящали свои исследования классики математики: И. Ньютон, J1. Эйлер, К. Гаусс, С. Н. Бернштейн, П. JI. Чебышев, С. JI. Соболев и другие. По данной тематике опубликован ряд монографий, в частности, [1-16].В этих книгах даны многочисленные ссылки на статьи, тематика которых пересекается с задачами, рассматриваемыми в настоящей диссертации. Пожалуй, наиболее полная библиография научной литературы подобного плана приводится в книге [16].

Исследование задач теории приближенного интегрирования ведется с точек зрения разных научных направлений. Наиболее важными из них являются: построение формул высокой степени точности; применение теоретико-вероятностных методов к вычислению интегралов и, так называемый, "функциональный" подход, связанный с исследованием оценок погрешностей интегрирования в классах суммируемых функций и линейных нормированных пространствах, включающих в себя интегрируемые функции.

Оценки погрешностей интегрирования, зависящие от квадратурной формулы и класса интегрируемых функций, например, если данный класс характеризуется наличием производной соответствующего порядка или модуля непрерывности, вообще говоря, давно известны.

Бурное развитие теории приближенного интегрирования в классах функций началось с середины 50-х годов XX века, начиная с работ С. М. Никольского [17, 18], Н. С. Бахвалова [19, 20], Н. М. Коробова [3] и других авторов.

Мощным стимулом к исследованиям в теории функциональных методов приближенного интегрирования стал выход работ С. JI. Соболева, посвященных решению задач, связанных с асимптотической оптимальностью решетчатых кубатурных формул в пространствах типа L™ [21-28]. Этому способствовало, в частности, то, что Соболев вскрыл связь важнейших проблем теории кубатурных формул с известными задачами других областей анализа: теорем вложения и продолжения функций, в том числе функций, заданных на решетках; геометрии чисел; аналитических функций многих действительных переменных; теории полигармонического уравнения; ряда задач теории специальных функций; теории обощенных функций; комбинаторной топологии. Результаты С. JI. Соболева, а также ряд результатов его учеников и соавторов были подробно изложены в монографиях [1, 16].

Не только Соболев и математики из его научной школы посвящали в последние годы свои исследования применению методов функционального анализа и теории функций к задачам приближенного интегрирования. Можно привести примеры работ таких авторов, как Н. П. Корнейчука [9, 29, 30] и его учеников, обзор работ которых приведен в книге [15], ряде трудов

И. В. Бойкова, например, в монографии [31]. Этот список может быть, конечно, увеличен.

Многие работы в функциональном направлении исследований задач теории приближенного интегрирования принадлежат ученикам С. JI. Соболева. Относительно подробная библиография их работ приводится в [16]. Упомянем о некоторых из них.

В монографии [8] и других своих работах М. Д. Рамазанов применил метод построения кубатурных формул, связанный с продолжением интегрируемых функций, заданных в произвольной ограниченной области с гладкой границей до периодических функций с некоторым п— мерным периодом и обосновал ряд вычислительных алгоритмов, построения кубатурных формул. Рамазанов продолжил исследования С. JI. Соболева и И. Бабушки [28], относящиеся к построению универсально асимптотически оптимальных формул, то есть формул, оптимальных одновременно в различных пространствах. Достаточно полный библиографический список работ М. Д. Рамазанова приведен в книге [16].

Стоит отметить, что несколько другой подход, который позволяет рассматривать задачи об универсальной асимптотической оптимальности в пространствах непериодических функций, был предложен в [32].

Ц. Б. Шойнжуров, в своих работах, в частности, в [34], обобщил теорию кубатурных формул Соболева для пространств типа W™, на классы функций, заданных на всем пространстве, нормы которых определяются через потенциалы Рисса.

Кубатурные формулы в пространствах, связанных с коэффициентами и преобразованием Фурье, исследовал Т. X. Шарипов [35].

Г. Н. Салихов вывел выражения норм функционалов ошибок функций, заданных на поверхности сферы для пространств типа Соболева [12].

М. В. Носков обобщил теорию С. J1. Соболева на развертывающиеся поверхности [36-38].

Вопросы, относящиеся к нахождению коэффициентов оптимальных решетчатых квадратурных формул исследовались X. М. Шадиметовым [39] и 3. Ж. Жамаловым [40].

Т. И. Хаитов [41], а позднее, JI. И. Дидур, совместно с В. И. Половин-киным [42, 43] изучали эрмитовы кубатурные формулы в пространствах Соболева.

О. В. Бесов [44] вывел асимптотические формулы функционалов ошибок кубатурных формул Соболева и родственных им формул для ряда линейных нормированных пространств. Метод, примененный Бесовым, отличен от предыдущих методов Соболева и Половинкина, относящихся к данным задачам.

Ученик О.В. Бесова Г. Г. Акопян [45] рассматривал задачи теории кубатурных формул при менее ограничительных, чем обычно предполагается, требованиях на границу области интегрирования.

Ряд исследований, связанных с теорией кубатурных формул в пространствах Соболева выполнил В. J1. Васкевич. Некоторые результаты этих исследований и библиографию можно найти в [16]. Укажем характерные особенности этих исследований. Они либо относятся к интегрированию бесконечно дифференцируемых функций, на рост производных которых наложены некоторые ограничения (например классов Жевре), либо к обобщенным эрмитовым формулам, то есть таким, порядки производных которых в узлах не ограничены. Им также получены интересные результаты, относящиеся к, так называемому, эффекту насыщения. Отметим, что вопросы, связанные с эффектом насыщения исследовались К. И. Бабенко и В. Н. Белых [46].

JI. В. Войтишек, В. И. Блинов [47-49]строили конкретные кубатурные процессы, основанные на формулах С.Л.Соболева. В частности, Блиновым были впервые составлены успешно работающие программы для вычисления кратных интегралов, основанные на теории кубатурных формул Соболева.

Большое количество работ, связанных с теорией кубатурных формул Соболева выполнил В. И. Половинкин (см. например [50]). Ряд его результатов будет использоваться при доказательстве теорем настоящей диссертации. Среди работ В. И. Половинкина можно выделить, в частности, решение проблемы Соболева о построении асимптотически оптимальных формул в классах и L^(En). (Случай L^i^En) был ранее исследован

С. JL Соболевым [1]).

В. И. Половинкин также исследовал весовые кубатурные формулы [51-53];асимптотически наилучшие формулы (то есть асимптотически оптимальные формулы), где меняются как узлы, так и коэффициенты [54, 55]; сходимость формул типа Соболева на конкретных функциях [56]. Он также подробно исследовал одномерный случай и получил ряд других результатов [61, 62, 63]. Отметим, что некоторые результаты Половинкина, относящиеся к одномерному случаю, были позднее другим способом получены в монографии [10]. В этой книге есть соответствующие ссылки на аналогичный результат Половинкина [62].

Ученица В. И. Половинкина, Н. А. Севостьянова исследовала квадратурные формулы Соболева в пространствах, связанных с дробными производными Римана-Лиувилля [67].

Настоящая диссертация по своей тематике относится к кругу научных работ, идейно связанных с работами С. Д. Соболева и его учеников по исследованию формул интегрирования в пространствах типа (Q), L^ (fi), в первую очередь, относящиеся к изучению асимптотически оптимальных последовательностей формул.

Последовательности асимптотически оптимальных формул

Пусть заданы квадратурные формулы а й=и а также последовательности таких функционалов. Всегда будем предполагать, что —оо<а<Ь<оо.

Квадратурные формулы (0.1) и функционалы (0.2) это одномерные случаи кубатурных формул

0.1) где h = — и соответствующие им функционалы ошибок lh п

0.2) где Q — ограниченная область, а хк = (ж*, • • • > xn)i k — 1>п и их функционалов ошибок

Формулы (0.3) — кубатурные формулы с узлами в кубических решетках. Отметим, что исследовались их обобщения на формулы с узлами в других невырожденных решетках [1].

При изложении результатов будет удобнее формулировать их не как результаты, относящиеся непосредственно к квадратурным формулам, а как результаты, относящиеся к функционалам ошибок (0.2).

Через а, Ъ) будем обозначать банаховы пространства, порожденные полунормами

Ь{™\а,Ъ)

I\f(m\x)\pdx

1 /р

В многомерном случае их аналогами будут пространства

1 /Р £ -±\(D°f)(x)\>dx jq \а\=т а

Через a,b) и будем обозначать пространства, сопряженные b) и соответственно.

Квадратурные формулы (0.1) будут исследоваться для линейных нормированных пространств

Условимся функционалы ошибок кубатурных (квадратурных) формул и порожденные ими функционалы из a, b) обозначать одинаково.

Везде на функционалы ошибок lh будут налагаться ограничения: lh(x),xk) =0, к = 0, .,m- 1.

0.5)

В многомерном случае, чтобы строить теорию кубатурных формул, необходимо предполагать, что рт > N, (0.6) а на области Г2 и их границы надо налолжить требования, достаточные, чтобы при выполнении условий (0.6) были верны теоремы вложения Соболева W(m\fl) в пространство непрерывных функций С (О). Эти условия описаны в [1, 2].

Будем, главным образом, исследовать одномерный случай, то есть, N = 1 и р > I.

Множество функционалов lh вида (0.4), удовлетворяющих (0.5) будем обозначать V™(VL) , а совокупности последовательностей функционалов = {lh)Zr с virm обозначим Vm(Q).

Положим: A™(h) = inf {||/|Ur(n)}lbvh (11)

Если последовательность lh вида (0.4) такова, что lHl4m)*(fl)/Ар№ то она называется асимптотически оптимальной. Соответствующие последовательности квадратурных и кубатурных формул будем называть асимптотически оптимальными.

Если выполняется равенство то формулы (0.3) называются оптимальными.

В одномерном случае Q = (а, Ь). Совокупность последовательностей {lh}, lh

G V™(a,b) далее будем обозначать Vm. Исследования последовательностей асимптотически оптимальных формул имеют определенные преимущества перед исследованиями оптимальных формул. В частности, можно отметить, что: а) построение асимптотически оптимальных формул обычно значительно проще, чем построение оптимальных формул. Например, в ряде случаев при N = 1 асимптотически оптимальными являются известные квадратурные формулы Грегори. б) в многомерном случае при построении последовательностей асимптотически оптимальных формул меньшую роль играет форма области, чем при построении оптимальных формул. в) в случае асимптотически оптимальных формул можно добиться того, чтобы все коэффициенты при узлах, не лежащих близко от границы области (в " пограничном слое") будут равны между собой и не зависят не только от параметра р, но и от параметра т.

О содержании диссертации

Данная диссертация состоит из 4 глав. Важнейшие результаты содержатся в главах 1 и 2 и посвящены решению задач о построении асимптотически оптимальных последовательностей квадратурных формул в пространствах 6) при значениях т — 6 и т — 8.

Перед изложением результатов работы, приведем несколько необходимых определений [63].

Определение 1. Последовательность j/'1] С Vm называется последовательностью функционалов с пограничным слоем, если найдутся натуральные числа d, t, К, t < d, и функционалы Щ, , I, равные 0 на многочленах степени ниже т, определенные равенствами

U) = }f(x)dx- £ Cjf(j)

0 3=~* a+dh t^fl = J №dx-Z%Qf(a + jh) a j=0 b. t+d (tf)= J f(x)dx-Z4nf(b-jh)

Ъ-dh i=° lh(x) = "ST *Z((X a)h~l - i) + l*{x) + /£(*), (0.7) i=d где все Cj , Cj0 , c^n - постоянные, такие, что \cj0\, \cjn\ < Kh

Определение 2. Число ae называется сопутствующим числом последовательности С Vm , если ae = lim [(Ь - a)-lh~m(lh(x), хт)\.

Определение 3. Последовательность функционалов с пограничным слоем называется последовательностью функционалов с регулярным пограничным слоем, если ее сопутствующее число равно 0.

Определение 3, по существу, является одномерным аналогом соответствующего определения С. Л. Соболева [1, с. 704].

Последовательности функционалов, удовлетворяющих определению 3, будем называть последовательностями функционалов Соболева, а соответствующие последовательности квадратурных формул будем называть последовательностями квадратурных формул Соболева.

В работах [57, 58] было показано, что последовательности функционалов с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимальны при р — 2.

Данный вопрос отражен и в книге [16]. Также последовательности формул с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимальны при т — нечетных в L^ {0) [60].

Для более глубокого изучения одномерного случая при т — четных, необходимо проводить исследования выражений, связанных с полиномами Бернулли. При этом будем опираться на результаты [60, 65].

В работах [62, 63] было установлено следующее утверждение. Если {lh} — последовательность функционалов с пограничным слоем, а ае — ее сопутствующее число, то при h —» 0

1Н\\ьГ(а,ь) = (Ь- а)^^\\Вт{х){-1Г + «|и,(0,1)Лт(1 + 0(h)), (0.8) где Вт(х) — многочлен Бернулли степени m, q = р(р — I)-1.

Минимизируя главные члены выражений норм функционалов ошибок квадратурных формул с пограничным слоем, мы, как показано в [65], тем самым, решаем задачу о минимизации (в рассматриваемом смысле) для произвольной последовательности квадратурных формул.

Известно, что среди последовательностей функционалов с пограничным слоем всегда есть асимптотически оптимальные и можно построить последовательности функционалов с пограничным слоем с любым сопутствующим числом ае.

Минимальное значение главный член правой части (0.8) принимает при единственном значении ае, если

Вт(х)(-1)т + ае|Ue(o,i) = хс inf {||£mM(-l)ro + A||ig(0,i)} (0.9)

При т — четном, условие (0.9), с учетом того, что Вт(х) = Вт( 1 — ж), можно записать так

Вт(х) - ае||^д(о,1) = - Л1к(о,|)}- (0.10)

Вид последовательностей, асимптотически оптимальных в классах L^(a,b) зависит от решения трансцендентного уравнения относительно эе = ae(s) 1 2

J |Вт(х) - ае|ssign(Bm(x) - зe)dx = 0, (0.11) о где Вт{х) - полином Бернулли степени га, s = q — 1, p,q G (l,oo), ^ + ^ = 1. Таким образом, задачи о построении асимптотически оптимальных последовательностей квадратурных формул тесно связаны с вопросом о наилучших приближениях полиномов Бернулли индексов к Bk(x) постоянными.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема ([60-66]). Последовательности формул с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимальны в Z^m)(a, 6), р £ (1, оо) тогда и только тогда, когда s = q — 1 удовлетворяет (0.11.

Как уже указывалось ранее [60, 62], квадратурные формулы с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимальны в пространствах b) при т — нечетных и всех р G (1, оо) , а также при га = 2, га = 4, если р = 2.

Отметим, что при т — 2 уравнение (0.11) исследовалось в несколько другом плане в [5, гл. 11, § 2], [69].

В [50, 64] было показано, что функции ae(s) непрерывны на [0,1] и при s —у 0, s —> оо имеют пределы, которые не совпадают между собой. Кроме того, эе — строго монотонная функция. Это значит, что разным р соответствуют, вообще говоря, разные последовательности асимптотически оптимальных формул, и, следовательно, нельзя ожидать, что эе = 0 в этих случаях при всех р будет решением уравнения (0.11) и формулы Соболева не могут образовывать асимптотически оптимальные последовательности при всех р.

В работах [68] был исследован также случай р = оо. Теория же случая р = 1 существенно отличается от случаев р Е (1, оо].

В главах 1 и 2 настоящей работы будет показано, что формулы Соболева при т = 6, т = 8 могут быть асимптотически оптимальными в L^n\a,b) только при р — 2. Аналогичные результаты были получены В. И. Половинкиным при т ~ 2 и т = 4 [65]. Даже доказательство случая т = 4 было технически сложным.

Описанным выше исследованиям трансцендентного уравнения (0.11) и их следствиям для теории квадратурных формул посвящены главы 1 и 2. В главе 1 исследуется случай т = 6, а в главе 2 — случай т = 8.

При доказательстве этих результатов использован метод из [65], основанный на обращении полиномов Бернулли.

Известно [5], что нахождение корней полиномов Бернулли четной степени 2т может быть сведено к обращению алгебраических полиномов соответствующей степени. При нахождении обратных функций для полиномов Бернулли при га = 6 и га = 8 используются известные [70] формулы Кардано и Феррари. Кроме того, для получения необходимых результатов в главах 1 и 2 пришлось выполнить ряд других технически громоздких преобразований, при выполнении которых использовалась вычислительная техника.

Сама задача обращения полиномов Бернулли представляет определенный математический интерес.

Глава 3 посвящена обращению полинома Бернулли степени 10. При этом большую помощь оказали научные материалы, изложенные в монографии Ф. Клейна [73].

Содержание главы 4, как и глав 1 и 2, связано с построением асимптотически оптимальных последовательностей кубатурных формул. В данном случае, речь идет о весовых решетчатых кубатурных формулах в пространствах периодических функций L^fo). Параметр т в главе 4 не обязательно целый, но, конечно, предполагается выполнение неравенства (0.6).

В работе [51] был предложен и обоснован метод построения асимптотически оптимальных последовательностей формул, связанных с вычислением частичных сумм Дирихле от весовых функций. В настоящей же работе эти результаты обобщаются на другие весовые кубатурные формулы, в построении которых участвуют многомерные аналоги частичных сумм Фейера весовых функций.

Несколько слов о приложениях. В приложении А представлена программа, которая реализует формулу конечных приращений Лагранжа. Данные вычисления необходимы для доказательства основного результа главы 1. Программа из приложения Б, вычисляет значения вспомогательной функции из главы 2 в точках решетки. Приложения В, Г и Д содержат вспомогательные вычисления для главы 3, выполненные в пакете Maple 5V Release на компьютере Intel Pentium II.

1. Соболев С. J1. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.

2. Соболев С. JI. Некоторые ирименнения функционального анализа в в математической физике. Новосибирск: Изд-во Сибирского отд. АН СССР, 1962.

3. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.

4. Stroud А. Н., Secrest D. Н. Gaussian quadrature formulas. New Jersey: Prentice-Hall, 1966.

5. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. // М.: Наука, 1967.

6. Stroud А. Н. Approximate calculation of multiple integrals. Englewood Chiffs, New Jersey: Prentice-Hall, 1971.

7. Бахвалов H. С. Численные методы. M.: Наука, 1973.

8. Рамазанов М. Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. Уфа: Изд-во Башкирского ун-та, 1973.

9. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1976.

10. Levin M., Girshovich J. Optimal quadrature formulas. BSB. B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1979.

11. Мысовских И. П. Интерполяционные кубатурные формулы. М: Наука, 1981.

12. С а лихов Г. Н. Кубатурные формулы для многомерных сфер. Ташкент, Фан, 1985.

13. Бабенко К. И. Основы численного аеализа. М: Наука, 1986.

14. Никольский С. М. Квадратурные формулы. М: Наука, 1988.

15. Корнейчук Н. П. О новых результатах по экстремальным задачам теории квадратур (Дополнение к книге Никольского С. М. "Квадратурные формулы"). М.: Наука, 1988.

16. Соболев С. JL, Васкевич В. J1. Кубатурные формулы. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996.

17. Никольский С. М. К вопросу об оценках приближений квадратурными формулами // УМН, 1950. № V, вып. 2(36). С. 165-177.

18. Никольский С. М. Квадратурные формулы // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1952. № 16. С. 181-196.

19. Бахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн. МГУ, 1959, № 4. С. 3-18.

20. Соболев С. J1. О формулах механических кубатур в п— мерном пространстве // ДАН СССР 137, № 3 (1961). С. 527-530.

21. Соболев С. JI. Различные типы сходимости кубатурных и квадратурных формул // ДАН СССР 146, № 1 (1962). С. 41-42.

22. Sobolev S. L. On cubature formulas, Studia Math. (Ser. Specjialna), Zesz. 1 (1963), p. 117-118.

23. Соболев С. JI. Об одном приеме вычисления коэффициентов для формул механических кубатур // ДАН СССР 150, № 6 (1963). С. 1238-1241.

24. Соболев С. JL Сходимость формул приближенного интегрирования на функциях из 4ТО) // ДАН СССР 162, № 6 (1965) С. 1259-1261.

25. Соболев С. JI. Кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем // ДАН СССР 163, № 3 (1965). С. 587-590.

26. Соболев С. J1. Различные типы сходимости кубатурных и квадратичных формул, ДАН СССР 146, № 1 (1962) С. 41-42.

27. Бабушка И., Соболев С. JI. Оптимизация численных методов // Apl. Mat. 1965, № 10, р. 96-129.

28. Корнейчук Н. П. Наилучшие кубатурные формулы для некоторых классов функций многих переменных // Мат. заметки, 1968, № 5. С. 565-576.

29. Корнейчук Н. П. Экстремальные значения функционалов и наилучшее приближение на классах периодических функций// Изв. АН СССР, 35 № 1, 1971. С. 93-124.

30. Бойков И. В. Пассивные и адаптивные алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. Часть 1. Пенза: изд-во Пензенского государственного техн. ун-та, 1995.

31. Половинкин В. И. Кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем и универсальная асимптотическая оптимальность // Оптимальные методы вычислений и их применение к обработке информации. Пенза: изд-во Пензенского политехи, ин-та, 1991. С. 36-41.

32. Шойнжуров Ц. Б. Некоторые вопросы теории кубатурных формул в пространстве W™ // Сиб. мат. журн. 1967. Т. 7, № 2. С. 433-446.

33. Шойнжуров Ц. Б. Асимптотически оптимальные кубатурные формулы с узлами в криволинейной решетке // Тр. семинрара ак. С. JI. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1976, № 1. С. 157-164.

34. Шарипов Т. X. Верхняя оценка нормы функционала ошибки кубатурных формул с регулярным в смысле Соболева пограничным слоем в пространствах //ДАН СССР. 1972. Т. 202, № 1. С. 51-53.

35. Носков М. В. Приближенное интегрирование функций, периодических по некоторым переменным // Тр. семинара акад. С. JI. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1982. № 1. С. 83-102.

36. Носков М. В. Асимптотически оптимальные кубатурные формулы на решетчатых поверхностях // Тр. семинара акад. С. JT. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1983. № 2. С. 103-112.

37. Половинкин В. И., Носков М. В. Асимптотические свойства декартовых произведений кубатурных формул // Функциональный анализ и математическая физика. Новосибирск: 1987. С. 39-56.

38. Шадиметов X. М. Оптимальные квадратурные формулы в L^ifl) иДокл. АН УзССР, 1983. № 3. С. 5-8.

39. Жамалов 3. Ж. Об одной экстремальной задаче квадратурных формул с заданием производных // Краевые задачи для дифференциальных уравнений. Ташкент: Фан, 1973.

40. Хаитов Т. И. Кубатурные формулы с заданием производных // Докл. АН ТаджССР, 1969. Т. 12, № 10.

41. Половинкин В. И., Дидур JI. И. Асимптотически оптимальные последовательности эрмитовых формул // Сиб. мат. журн., 1978. Т. 19, № 3. С. 663-669.

42. Дидур JI. И. Весовые эрмитовы кубатурные формулы на периодических функциях // Тр. семинара акад. С. J1. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1981. № 1. С. 52-70.

43. Бесов О. В. Межъячеечные усреднения и оценка ошибок кубатурных формул в пространствах С. JI. Соболева и их обобщениях // Тр. мат. ин-та АН СССР, 1977. Т. 143. С. 42-56.

44. Акопян Г. Г. Последовательности кубатурных формул с кубической решеткой для областей с вырожденными углами // Тр. семинара акад. С. Л. Соболева. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1978. № 1. С. 27-35.

45. Белых В. Н. Несколько слов к феномену ненасыщаемости численных методов на отрезке // Вопросы математического анализа (сборник научных трудов). Вып. 6. Красноярск, КГТУ, 2003. С. 16-29.

46. Блинов Н. И. Алгоритм для вычисления кратных интегралов от функций с особенностями // Алгоритмы и программы. Информ. бюл. / ВНТИЦентр. М., 1974 № 2.

47. Блинов Н. И. Приближенное вычисление двойных интегралов // Алгоритмы и программы. Информ. бюл. / ВНТИЦентр. М., 1974 № 3.

48. Блинов Н. И., Войтишек J1. В. Кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем для куба // Вопросы выч. и прикл. мат. Ташкент: ин-т кибернетики с ВЦ АН УзССР, 1970. Вып. 38. С. 8-15.

49. Половинкин В. И. О некоторых оптимизационных задачах теории приближенного интегрирования // Оптимизация численных методов, часть I. Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН, 2000. С. 146-150.

50. Половинкин В. И. Весовые кубатурные формулы в периодическом случае. Математические заметки, Т. 3, № 3, 1968. С. 319-326.

51. Половинкин В. И. Некоторые вопросы теории весовых кубатурных формул // Сиб. мат. журн., 1971. Т. 12, № 1. С. 177-196.

52. Половинкин В. И. Весовые кубатурные формулы, соответствующие интерполяционным операторам с пограничным слоем // Тр. семинараакад. С. JI. Соболева. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1982. № 1. С. 103-115.

53. Половинкин В. И. Асимптотически наилучшие последовательности кубатурных формул // Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16. № 6. С. 1255-1262.

54. Половинкин В. И. Асимптотически наилучшие кубатурные формулы // Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30. № 2. С. 151-160.

55. Половинкин В. И. Сходимость последовательностей квадратурных формул с пограничным слоем на конкретных функциях // Мат. анализ и смежные вопросы математики. Новосибирск: Наука, 1978. С. 183-191.

56. Половинкин В. И. Асимптотически оптимальные в L^IQ) кубатурные формулы // Вопросы выч. и прикл. мат. Ташкент: ин-т кибернетики с ВЦ АН УзССР, 1970. Вып. 38. С. 88-92.

57. Половинкин В. И. Кубатурные формулы в Ь(™]{П) // ДАН СССР, 1970. Т. 190. № 1. С. 42-44.

58. Половинкин В. И. Последовательности функционалов с пограничным слоем // Сиб. мат. журн., 1974. Т. 15, № 2. С. 413-429.

59. Половинкин В. И. Асимптотическая оптимальность последовательностей формул с регулярным пограничным слоем при нечетных т // Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16. № 2. С. 328-335.

60. Половинкин В. И. Асимптотически оптимальные последовательности квадратурных формул с пограничным слоем в L2(a,b) // Оптимальные методы вычислений и их применение. Пенза: изд-во Пензенского гос. техн. ун-та, 1996. Вып. 12. С. 78-83.

61. Половинкин В. И. Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем и последовательности типа Грегори // Квадратурные и кубатурные формулы. Решение функциональных уравнений. Методы вычислений. Л.: ЛГУ. 1981. Вып. 12. С. 7-25.

62. Половинкин В. И. Некоторые свойства одного функционального уравнения теории квадратурных формул // Квадратурные формулы и их приложения: сборник статей семинара-совещания. Красноярск, 1994. С. 79-89.

63. Половинкин В. И. Квадратурные формулы и приближение константами полиномов Бернулли // Актуальные проблемы информатики, прикладной математики и механики. Часть 1. Изд-во РАН Новосибирск -Красноярск 1996. С. 96-103.

64. Polovinkin V. I. Approximations of the Bernoulli polinomials by constants and approximations to theory of quadrature formulas // Siberian Advances in Mathematics, 1998. V. 8, N 2. P. 110-121.

65. Севостьянова H. А. Последовательности функционалов с пограничным слоем в пространствах функций с дробными производными // Вопросы мат. анализа. Вып. 2. Красноярск: КГТУ, 1997. С. 106-119.

66. Шатохина JI. В. Оптимизация двухпараметрических квадратурных формул для пространства L\a, Ъ] // Кубатурные формулы и их приложения (материалы V международного семинара-совещания 13-18 сентября 1999 года). Красноярск, 2000. С. 228-237.

67. Шайдаева Т. А. Наиболее точные квадратуры для некоторых классов функций. Диссертация, Ленингр. гос. ун-т, 1954.

68. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975.

69. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М:, Наука, 1989.

70. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа. М:, Высшая школа, 1982.

71. Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. М.: Наука, 1989.

72. Семушева А. Ю., Цих А. К. Продолжение исследований Меллина о решении алгебраических уравнений // Комплексный анализ и дифференциальные операторы: Сб. науч. трудов. Красноярск, изд-во КрасГУ, 2000. С. 134-146.

73. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1979.

74. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М.: Наука, 1968.

75. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции: формулы, графики, таблицы. М.: Наука, 1977.

76. Математическая энциклопедия в 5 томах. Том 1. М.: Советская энциклопедия, 1979.

77. Сидорова Т. В. Об асимптотической оптимальности квадратурных формул С. JI. Соболева в пространствах L^\a,b) // Кубатурные формулы и их приложения (материалы V международного семинара-совещания 13-18 сентября 1999 года). Красноярск, 2000. С. 176-187.

78. Сидорова Т. В. Об асимптотической оптимальности квадратурных формул С. JT. Соболева в пространствах L^(a,b) // Вопросы математического анализа: сборник научных статей. Вып. 4. Красноярск, 2001. С. 174-184.

79. Сидорова Т. В. Весовые кубатурные формулы, построенные с использованием метода Фейера суммирования рядов // Информатика и информационные технологии (сборник тезисов), Красноярск, КГТУ, 1998. С. 129-130.

80. Сидорова Т. В. Об асимптотической оптимальности квадратурных формул С. JI. Соболева в пространствах L^(a,b) // Кубатурные формулы и их приложения: сб. тезисов V международного семинара-совещания, Красноярск, КГТУ, 1999. С. 35.

81. Сидорова Т. В. Квадратурные формулы С. JI. Соболева в пространствах Lf{a,b) // ИНПРИМ-2000, Новосибирск, 2000. С. 45-47.

82. Сидорова Т. В. Об асимптотической оптимальности последовательностей квадратурных формул в пространствах L^(a,b) // Кубатурные формулы и их приложения: материалы VI международного семинара-совещания, Уфа, ИМВЦ УфНЦ РАН, 2001. С. 115-119.

83. Сидорова Т. В. Исследование одного уравнения теории квадратурных формул //II Всесибирский конгресс женщин-математиков: тезисы докладов, Красноярск, 2002. С. 205-206.

84. Sidorova Т. V. Investigation of asymptotically optimal Sobolev sequences of quadrature formulas // The international conference on computational mathematics: proceedings, part I. Novosibirsk, ICM&MG Publisher, 2002. P. 170-173.

85. Сидорова Т. В. Нахождение обратной функции для полинома Бернулли 10 степени // Вопросы математического анализа (сборник научных трудов). Вып. 6. Красноярск, КГТУ, 2003. С. 231-236.