Изучение движения квантовых частиц в атомных структурах при помощи численного решения уравнения Шрёдингера тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова

Научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д.В. Скобельцына

На правах рукописи

Савельев Василий Иванович

ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ КВАНТОВЫХ ЧАСТИЦ В АТОМНЫХ СТРУКТУРАХ ПРИ ПОМОЩИ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЁДИНГЕРА

Специальность: 01.04.04 - физическая электроника

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗ1606ВУ

Москва - 2007

003160669

Работа выполнена на кафедре общей и теоретической физики ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И Я Яковлева»

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Филиппов Геннадий Михайлович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Насонов Николай Николаевич

кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Похил Григорий Павлович

Ведущая организация

«МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭ Циолковского

Защита состоится « 01 » ноября 2007 г в 14 час на заседании диссертационного совета К 501 001 06 в НИИЯФ МГУ

Адрес 119991, г Москва, Ленинские горы, НИИЯФ МГУ, 19-й корпус, ауд 2-15

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИИЯФ МГУ Автореферат разослан « 28 » сентября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

О В Чуманова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Подавляющее большинство проблем квантовой механики, как правило, не имеет точных аналитических решений Часть таких задач решается или с использованием упрощенных математических моделей, не отражающих всю полноту проблемы, или с использованием медленно сходящихся рядов теории возмущений С развитием компьютерных методов научных исследований становится очевидным, что, применяя ЭВМ, мы способны решать значительно более широкий класс задач, чем это было возможно до сих пор при помощи аналитических или модельных методов расчета Неоспоримым преимуществом аналитических методов является то, что они позволяют получить общее решение задачи, но численные методы позволяют исследовать даже те проблемы, которые не могут быть описаны ни точными, ни приближенными аналитическими методами

В последнее время численные методы часто используются при решении квантовомеханических задач В большинстве случаев это стационарные задачи При решении эволюционных задач обычно применяются квазиклассическое приближение или метод молекулярной динамики Точное решение эволюционных задач обычно сопряжено с большими вычислительными затратами Тем не менее, бурно развивающиеся возможности вычислительных машин позволяют справляться с теми задачами, которые в недалеком прошлом находились за пределом возможностей ПЭВМ

Наиболее естественным и точным способом исследования эволюционных задач квантовой механики является решение нестационарного уравнения Шредингера, так как вычисление волновой функции дает максимально возможное полное описание квантовой системы

Целью диссертационной работы является исследование некоторых нерешенных проблем атомной физики на основе численного решения многомерного нестационарного уравнения Шредингера и развитие техники проведения расчетов такого типа

Направление и объект исследований. В данной диссертационной работе исследуются физические системы, состоящие

из частиц двух типов а) квантовых частиц, движение которых необходимо описывать на основе квантовой механики, б) частиц с относительно слабо выраженными квантовыми свойствами в рассматриваемой задаче

Так, в работе исследованы столкновения атома водорода и протона в области промежуточных энергий, когда относительная скорость тяжелых частиц соизмерима со скоростями электронов на боровских орбитах Описано основное состояние однократно ионизированной молекулы водорода, продемонстрирована возможность расчета многомерного туннельного эффекта и представлены различные подходы к изучению систем, состоящих из двух квантовых частиц

Научная новизна работы состоит в применении численных методов решения многомерного уравнения Шредингера в совокупности с другими численными методами к задачам физики атомных столкновений и физической электроники

Научная и практическая значимость работы. Полученные результаты свидетельствуют о применимости использованных в работе методов для исследования широкого круга задач квантовой физики и, в частности, физической электроники, и позволяют в полной мере использовать возможности современных ЭВМ для решения этих проблем

Достоверность результатов подтверждается согласием расчетных данных с экспериментальными данными для тех решенных в работе задач, для которых они известны, а также внутренней согласованностью и логической завершенностью применяемых математических моделей

Личный вклад автора заключается в развитии математических моделей, разработке и тестировании компьютерных программ, выполнении численного моделирования, анализе промежуточных и окончательных результатов

Основные положения, выносимые на защиту.

• Результаты исследования процессов рассеяния атома водорода на протоне Произведенная оценка сечения перезарядки при рассеянии хорошо согласуется с экспериментальными данными

• Получена и исследована осцилляционная зависимость сечения перезарядки при рассеянии протона на атоме водорода на угол 3°, находящаяся в хорошем согласии с экспериментальными данными

• Путем введения комплексного времени в нестационарное уравнение Шредингера рассчитана волновая функция основного состояния электрона в ионе , находящаяся в хорошем согласии с экспериментом

• Продемонстрирована возможность расчета многомерного туннельного эффекта

• Проанализированы некоторые подходы к исследованию систем, состоящих из двух квантовых частиц

Апробация работы. Основные результаты диссертации и

работа в целом докладывались на

• XXX Международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (г Москва, НИИЯФ МГУ, май 2000 г),

• Международной конференции по ядерной физике «Кластеры в ядерной физике» (г Санкт-Петербург, 2000 г),

• XXXII Международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (г Москва, НИИЯФ МГУ, май 2002 г),

• XVI Международной конференции «Взаимодействие ионов с поверхностью ВИП-2003» (г Звенигород, август 2003 г),

• XXXIV Международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (г Москва, НИИЯФ МГУ, май

2004 г),

• XXXV Международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (г. Москва, НИИЯФ МГУ, май

2005 г),

• XVII Международной конференции «Взаимодействие ионов с поверхностью ВИП-2005» (г Звенигород, август 2005 г)

• XXXVI Международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (г Москва, НИИЯФ МГУ, май 2006 г),

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 статей, в том числе 5 статей в академических журналах и 2 статьи в материалах конференций Полный список публикаций приведен в конце автореферата

Объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитированной литературы Диссертация содержит 87 страниц, 30 рисунков и список цитируемой литературы из 47 наименований

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, кратко сформулированы цели и существенные результаты, полученные в диссертации

В первой главе приведен краткий обзор аналитических методов изучения атомных столкновений Приведены критерии применимости широко распространенных методов и подходов Приведено краткое описание методов изучения квантовых систем, состоящих из небольшого числа частиц, и не поддающихся точному аналитическому описанию, в частности атомных столкновений в области промежуточных энергий Дан краткий обзор работ, отражающих современное состояние теоретических подходов и расчетных методов для исследования таких систем

Во второй главе рассмотрены использованные в работе методы изучения квантовых систем на основе численного решения нестационарного уравнения Шредингера

В разделе 2.1 рассмотрены непосредственно используемые в данной работе методы решения нестационарного уравнения Шрёдингера Для определенности рассмотрим эволюцию волновой

функции электрона в потенциальном поле U{x,y,z,t) Волновая функция определяется трехмерным нестационарным уравнением Шредингера

л<Мх,У,г,*) = _ ^w^y^+ufay^yvfay^.t), (2 1) ot 2 те

где х, у и z - пространственные координаты частицы, / - время, X¥(x,y,z,t) - волновая функция электрона, ll{x,y,z,t) -

потенциальная энергия электрона, Й= 1 055 10"34 Дж с - постоянная

Планка, те = 9 11 10~31 кг - масса электрона, Д - оператор Лапласа

Существует немало методов решения нестационарного уравнения Шредингера Все методы, так или иначе, используют сеточные значения волновой функции Y Поэтому введем сетку х, = хс + (i - nx/2)h, i = 0,nx,

yJ=ye + {j-n,/2}i, j = QjTy, 4 =zc + {k-nj2)h, i = 0,nz , /„ =vr, v = 0,l,2,. , где /гит- шаги сетки по пространственным координатам и времени соответственно, хс, ус и zc - центр сетки по пространственным координатам Значение какой-либо функции в узлах сетки (2 2) обозначается тремя пространственными индексами ук снизу и индексом времени к сверху, например

4>;k(x„yj,zk,tv) (2 3)

В работе в основном использовались следующие две разностные схемы

Разностная схема 1 Данный метод основан на последовательном приближении решения на следующем временном шаге по каждой координате1 •

2т

гП Фф =-П~(ахФ, + +ЛХ*)+

т 2mey х 1 у 1 2 ]! (2 4а)

1 Данная разностная схема разработана Самариным В В и впервые была опубликована в работе [1]

Л = (л ф + АХ + АХ,к )+

г 2т ^ х 11 у ф 2 ]к! (2 46)

р,2 / \ -V1 = - АЛ + Л.Ч7К (2 4в)

где - значение сеточной функции, аппроксимирующей значение

волновая функция электрона в точке с координатами (х1,у],кк)

момент времени Фук и Хук - временные вспомогательные

массивы, Л^, Л и Лг - разностные операторы, аппроксимирующие

вторые производные по декартовым координатам Например,

Ф , , - 2Ф , + Ф , ,

--(2 5)

Разности вида ——-— аппроксимируют частную производную по

Т

времени Данная схема аппроксимирует исходную дифференциальную задачу со вторым порядком по к и первым - по г В ходе расчета норма волновой функции

р = ¿Х^й3 * \\\^(х,у,2,ф(х,у,2,1у)скс1ус1г (2 6)

I

может незначительно изменяется Для «коррекции» нормы достаточно разделить на ~.[р , то есть произвести замену

х,к-(27)

ЫР

Исследование устойчивости разностной схемы (2 4) методом гармонического анализа [2, 3], показывает, что схема устойчива при

//<л/З78 (2 8)

для постоянного нулевого потенциала 11=0, где ¡л = гН/(к2те)

Исследование разностной схемы (2 4) при различных сг и £/ показывает, что более предпочтительным является значение <т= О При

этом для отрицательного потенциала V устойчивость разностной схемы улучшается, а для положительного существенно ухудшается

Разностная схема 2 Следующая разностная схема решения г-мерного нестационарного уравнения Шредингера предложена Александровым В А1 и модифицирована автором данной диссертационной работы

\т/к+1/2,0 _\т/и +2

л " " (2 9а)

-41 П2

Л -— =--

т 2т

+

+ ои;Х + (1 - ар:+1Х+[-4 ' (2 9б)

р 2 ^ р р /

где р - г-мерный индекс массива значений волновой функции, Л -разностный оператор г-мерного Лапласиана, Ач - разностный оператор Лапласа по д-й координате, А? - разностный оператор Лапласа по

всем координатам, кроме ц-к Уравнение (2 96) последовательно решается для всех = При этом, при ц = г величины не

вычисляются, так как величины Ч,р+1'г принимаются за конечный

результат и берутся в качестве значений волновой функции на V + 1 временном слое

Исследования устойчивости разностной схемы (2.9) показывают, что она менее устойчива для трехмерных задач и задач большей размерности, чем разностная схема (2 4)

В разделе 2.2 представлен подход к описанию систем с одной легкой частицей в поле тяжелых частиц. Решение многомерного нестационарного уравнения Шредингера является ресурсоемкой задачей Современный уровень развития широко распространенных вычислительных машин позволяет решать уравнения Шредингера с

1 Александров В А - к ф -м н , Чувашский государственный университет

им ИН Ульянова

приемлемой точностью и скоростью счета для размерности не более трех Данное обстоятельство не позволяет проводить чисто кватовомеханические исследования различных процессов в квантовых системах, состоящих из более чем одной частицы

Тем не менее, существует немало интересных задач, в которых одна из частиц имеет существенно меньшую массу по сравнению с другими частицами в изучаемой системе Довольно часто в таких системах представляется возможным описывать движение тяжелых частиц уравнениями классической физики, и лишь движение одной легкой частицы описывать с позиции квантовой механики Согласно [4] условием применимости классической физики является соотношение

^«1, (2 10) ах

где X = Xj2л (Л = 27th/р - дебройлевская длина волны частицы), а координата х направлена вдоль импульса частицы То есть дебройлевская длина волны должна слабо меняться на протяжении расстояний порядка ее самой Условия применимости данного подхода к конкретным системам должны специально оговариваться при их исследовании

Исходя из вышеизложенного, в данной работе для описания систем с одной «квантовой» частицей используется следующая система уравнений

%2

А — = -—АЧ + иах¥,

- 8t 2mq 4 (2 11)

m,t, =~VUlt где mq - масса «квантовой» частицы,

(2 12)

1

- потенциальная энергия «квантовой» частицы в поле других частиц, т1 — масса /-й тяжелой частицы,

j

— потенциальная энергия г-й частицы в поле других частиц

Для частиц, взаимодействующих по закону Кулона, выражения

для потенциалов (2 12) и (2 13) примут вид

(2 14)

г

' Ч

(215)

где и а,у - постоянные взаимодействия «квантовой» частицы с г-й частицей и г-й частицы с_/-й частицей соответственно

В третьей главе представлены основные результаты, полученные диссертантом

В разделе 3.1 проведен расчет столкновения атома водорода в основном состоянии с протоном Задача решена для начальной относительной скорости движения атома водорода и протона в интервале от ~0 5 до ~1 5 атомных единиц (а е) скорости Для данной системы применим подход, в котором эволюция состояния электрона описывается квантовомеханическими законами в поле двух «классических» частиц - протонов

Если рассматривать взаимное движение протона и электрона, то поперечный размер области локализации электрона составляет порядка 1 а е длины Как известно из задачи двух тел, область локализации протона при этом составляет величину порядка me|mv ,

то есть порядка 10~3 а е длины Соответственно, протон вполне можно считать классической частицей при изучении эволюции волновой функции электрона

Рассмотрим взаимное движение протонов Согласно [4], условие квазиклассичности движения протонов нарушается, если

у «1 а е., при |С/| ~ \Е\ (3 1)

Условие в данной задаче выполняется только для около

лобовых столкновений, когда расстояния между протонами порядка Ю-3 а е На таких близких расстояниях протоны находятся сравнительно короткое время. Учитывая также то, что для кулоновского рассеяния квантовая и классическая теории дают одинаковый результат для дифференциального сечения рассеяния, будем считать описание движения протонов законами классической физики в данной задаче допустимым

Для описания системы используется подход, представленный в разделе 2.2 (см. формулы (2.11) - (2.15)).

Вероятность нахождения электрона в связанном с к-м протоном состоянии с квантовыми числами п, I, т равна

(3.2)

Как показали расчеты, вероятность нахождения электрона на третьем и более высоких уровнях достаточно низка. В работе вычисляются нижние оценки вероятности нахождения электрона в связанном состоянии с 1-м и 2-м протонами по отдельности

(3.3)

Л-] (=0 т=~1

Большинство имеющихся в литературе экспериментальных результатов по исследуемым столкновениям содержат данные о вероятности или сечении перезарядки. Очевидно, нижняя оценка вероятности перезарядки равна

Рыф = Р2 ■ (3-4)

Верхнюю оценку вероятности перезарядки можно получить, полагая, что при исследуемых столкновениях вероятность ионизации равна нулю. Тогда максимальная вероятность перезарядки равна

Рассеяние атома водорода па протоне. Схема постановки задачи расчета рассеяния атома водорода в основном состоянии неподвижным (зафиксированным) протоном представлена на рис. 1.

|§Г х' К Р Кч2 (зафиксирован)

-10 а.с. f *

Рис. 1. Схема постановки задачи при расчете движения атома ¡юдорода в основном состоянии Н 1б в поле неподвижного протона

На рис. 2 представлены зависимости «вероятностей» нахождения электрона в основном состоянии в поле 1-го и 2-го

протонов от времени после начала счета (на рис 1 представлено состояние системы в нулевой момент времени) при различных прицельных параметрах Ъ

> *

—■— Рго/есп/е —•— Тагце!

6 8 10 12 14 16 18 20

16 16 20

Рис. 2. Зависимости «вероятностей» нахождения электрона в основном состоянии рЦ/д (кривая 1) и рЩЦ (кривая 2) в поле 1-го и 2-го протонов соответственно от времени при начальной скорости атома водорода V, = 1 а е и различных прицельных параметрах а) Ъ — 0, б) Ь = 0 1, в) Ъ = 2, г) Ъ — 5 а е

Вероятности нахождения электрона в других состояниях во всех случаях редко превышает 0 05 По приведенным зависимостям можно проследить распределение электронного облака между протонами Так, например, в случае лобового столкновения (рис 2 а)) наблюдается переход большей части электронного облака от 1-го протона ко 2-му протону, а затем обратный переход, тем самым электрон как бы совершает колебательные движения в протяженной потенциальной яме, образованной сблизившимися протонами Такие «колебательные» движения электронного облака особенно хорошо проявляются при малых прицельных параметрах, когда протяженная потенциальная яма между протонами достаточно глубока и область повышенной плотности электронного облака может быстро

перемещаться между протонами При дальнейшем увеличении прицельного параметра электронное облако за время взаимодействия успевает только перейти к протону-мишени, после чего бомбардирующий протон удаляется на значительное расстояние (см рис 2 б)) При движении с прицельным параметром 2 а е потенциальная энергия в области между протонами возрастает в достаточной степени для того, чтобы электронное облако только частично успело перейти к протону мишени (см рис 2 в)) При прицельном параметре 5 а е электронное облако претерпевает некоторое небольшое возмущение, а вероятность перезарядки при этом ничтожно мала (см рис 2 г))

На рис. 3 представлены графики зависимостей вероятностей нахождения электрона в различных состояниях после столкновения в зависимости от прицельного параметра Ь Видно, что зависимости вероятностей рк от прицельного параметра Ь имеют некий немонотонный, с чередующимися областями роста и спада при увеличении Ь, характер, который проявляется еще сильнее при малых относительных скоростях сталкивающихся частиц

10 09 08 07 06 05

а,

04 03 02 0 1 00

1Е-3 0 01 01 1

Ъ, ае

Рис. 3. Зависимости вероятностей р{д0 (кривая 1), рх (кривая 2), р^ (кривая 3), р2 (кривая 4) и р1+ р2 (кривая 5), от прицельного параметра Ъ при начальной скорости атома водорода V, = 1 а е (=25 кэВ) после столкновения

По данным, представленным на рис 3, можно оценить минимальное и максимальное сечения перезарядки ссе, путем вычисления интегралов

со

я-се,т1„ = 2 7t\p^mm{b)bdb, (3 6)

О

СО

^се.тах = 2л" |рсе,тах{Ъ)Ъ(1Ь , (3 7)

О

где рк тт = р2, /?се>тах = 1 - рх Непосредственные вычисления дают следующие оценки величин (3 6) и (3 7) для сечения перезарядки ^=444^=391 10"2V и crcemm=592^02 =5 20-10-2°M2

Результаты расчетов сечения перезарядки в диапазоне средних энергий от 10 до 50 кэВ представлены в таблице 1 и на рис 41 Из рисунка видно, что полученные результаты достаточно хорошо согласуются с экспериментальными данными Большой разброс в результатах для 50 кэВ энергии, скорее всего, обусловлен возрастающим сечением ионизации

Таблица 1. Сечение перезарядки атомарного водорода His на неподвижном протоне_

I кэВ 10 15 20 25 50

„ ! л-20 2 Осе, mm, 1U M 8 97 6 90 5 38 3 91 1 13

Ссе, max, 10 M 9 22 7 49 6 30 5 21 3 55

Наиболее успешные аналитические расчеты в указанном диапазоне энергий проведены Далгарно и Ядавом в приближении возмущенных стационарных состояний (ВСС) (см, например, в [5, с 587]) Результаты этих расчетов также приведены на рис 4

1 По поводу сравнения расчетных и экспериментальных данных, следует заметить, что в экспериментах протон-мишень находится в свободном состоянии Но если дело касается сечения перезарядки, то вследствие того, что основной вклад в сечение вносят прицельные расстояния, превышающие О 1 а е, когда падающая тяжелая частица проходит область взаимодействия практически по прямой линии, а протон-мишень приобретает незначительный импульс, то ошибки в сравнении не могут превышать 1%

1 10 Энергия, кэВ

Рис. 4. Сечение перезарядки в столкновении Н+ + Н —» Н + Н+ 1 — экспериментальные результаты, 2 — расчет Далгарно и Ядава (метод ВСС), 3 — расчет Бейтса и Далгарно (приближение б® высокой энергии), 4 - расчет (приближение <2(а) высокой энергии), 5 - расчет по формулам (3 6) и (3 7) Зависимости 1-4 приведены в монографии [5]

Рассеяние протона на атоме водорода Имеющиеся в литературе [5] данные указывают на наличие немонотонной колебательной зависимости сечения от энергии столкновения в диапазоне от 0 75 до 50 кэВ при фиксированном угле рассеяния Там же приведены экспериментальные данные по вероятности захвата рсе электрона протоном при рассеянии атомарным водородом Н 1в на угол 3° в лабораторной системе отсчета (рис 5)

Аналитические расчеты в данной области энергий провести затруднительно, поэтому численному анализу практически нет альтернативы.

Схема, поясняющая постановку задачи при расчете рассеяния протона на свободном атоме водорода в основном состоянии Н представлена на рис 6 Результаты расчетов приведены в таблице 2 и на рис 5 Они показывают хорошее согласие с экспериментальными данными. Большой разброс в результатах для 50 кэВ, скорее всего,

1.0

о.э 0.0 0.7 0.6 0.5 0.4 03 02 0.1

1 5 10 25 50 0

Энергия протока, юВ

100 200 1Л> , 10а сек/м

Рис. 5. Вероятность захвата рсс электрона протоном при рассеянии атомарным водородом в основном состоянии на угол 3° в лабораторной системе отсчета, 1 — экспериментальные данные; 2 — интерполяция экспериментальных данных; 3 - расчетные данные, Зависимости 1 и 2 приведены в монографии [5],

р

-Юа.е. Ш г

Рис 6. Схема постановки задачи при расчете рассеяния протона на атоме водорода в основном состоянии

Таблица 2. Вероятность захпата р^ электрона протоном при рассеянии на атоме волородам в основном состоянии па 3° в лабораторной системе отсчета.

Е, КЭБ 5.00 7,69 10.0 15.0 25.0 50.0

1/^, 10 8с/м 102.1 82.4 72.2 59.0 45.7 32.3

Рсе ¡тип 0.612 0.095 0.268 0,759 0.861 0.312

Рсс тах 0.614 0.129 0.318 0.814 0.931 0.580

В разделе 3.2 проведен расчет туннелирования. Для этого были взяты протон и атом водорода в основном состоянии. Разместим протон и атом водорода таким образом, чтобы для перехода электрона

от исходного протона к другому необходимо было преодолеть потенциальный барьер. В качестве начального состояния электрона возьмем основное состояние в атоме водорода. Расположим протон и атом водорода на расстоянии 9 а.е. Тогда величина потенциального барьера составляет 1/18 а.е. (начальная энергия электрона равна

переход осуществляется

-1/2 а.е.). Полный порядка 2.5-103 а.е. (около 6.05* 10~и с) (рис. 7).

за

время

ТЧте = С.ММО

• ыо I я

ТЧте - 250Л,00005

Типе - 2500,0000 по Жг

тм »«1 ■!.» .з» но 1® :»■ ■ Ш Щя ЯШ:: <,*>

1« щ

.1 ..

Рис. 7. Туннелирование электрона от одного протона к другому (расстояние между протонами 9 а.е.)

В разделе 3.3 произведен расчет по определению основного состояния иона Н; путем введения комплексного времени. Пусть электрон находится в стационарном потенциальном поле £/(г) и в начальный момент иремени ¿=0 описывается волновой функцией ^(г). Как известно, в этом случае нестационарная волновая функция системы определяется соотношением

¥;М = 2>^(г)ехр(-/£Д (3.8)

к

где ак = ||//*(г)//| (г Ь^г. Заменим действительное время 1 на комплексное г' = (1 - ¡а);, где а > 0. В результате получим

(3.9)

откуда следует, что при введении комплексного времени вес волновой

функции, соответствующей основному состоянию, экспоненциально возрастает.

Данное обстоятельство позволяет выделить волновую функцию Основного состояния из начальной смеси состояний, если производить вычисление волновой функции в течение достаточно длительного времени. Ввиду того, что при введении комплексного времени происходит постоянное уменьшение суммарной вероятности, необходимо постоянно корректировать норму волновой функции. Расчеты производились при фиксированном расстоянии между протонами согласно экспериментальному значению 2.003 а.е. [6, с. 175]. Вычисление волновой функции позволяет установить все свойства основного состояния молекулярного иона водорода. В частности, если добавить энергию взаимного отталкивания протонов 1 R к вычисленному значению энергии электрона —1.0937 а.е., то

получим значение -0.5937 а.е., что в пределах точности расчета хорошо согласуется с экспериментальным значением энергии молекулярного иона водорода -0.5974 а.е. (энергия Н*г получается вычитанием из энергии атома водорода энергии ионизации молекулярного иона водорода [6, с. 210]). Распределение квадрата модуля волновой функции основного состояния представлено на рис. 8.

1.50-

1.ПО""

-1.00--

-1.50"

Рис. S, Основное состояние Hi (расстояние между протонами 2 а.е.)

В разделе 3.4 представлены некоторые подходы к изучению двухэлектронных систем, обладающих определёнными симметриями Рассмотрим достаточно простой пример системы их двух частиц, не поддающейся точному аналитическому описанию Пусть две одинаковые бесспиновые частицы с массой т находятся в поле гармонического осциллятора U{x)-mco2x2! 2 Потенциал взаимодействия частиц равен Ul2 = aS{x2 -xj Гамильтониан системы имеет вид

уу ñ (д2 д2 ^ тсог [ 2 2\ <?( \

Й = ~ — . 2-+я 2 + — {x2+x22 +aS{x2-xí), (3 10) 2т[^дх1 дх2 j 2

где xi я х2- координаты 1-ой 2-ой частицы

В работе [7] показано, что система с гамильтонианом (3 10) имеет точное аналитическое решение лишь для нечетных относительно разности координат х2 - x¡ состояний Как видно, даже в весьма простых случаях, для решения двухчастичной задачи предпочтительно применение численных методов

В работе [8] показано, что учет симметрии относительно перестановки частиц и симметрии относительно инверсии координат для системы с гамильтонианом (3 10) позволяет уменьшить объем требуемой памяти почти в 4 раза В задачах большей размерности учет различных типов симметрии позволяет достичь еще большей экономии оперативной памяти ЭВМ [8]

На рис 9 представлены результаты численного решения выше

*1> а е х|5 а е

Рис 9. Волновые функции основного - а) и 1 -го возбужденного - б) состояний системы

сформулированной задачи с 5-образным отталкиванием с учетом симметрий системы Расчеты проводились при следующих значениях параметров т = 1, а = 1, со= 1 Постоянная Планка % полагалась равной единице, как это принято в атомной системе единиц

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В работе рассматривались физические системы, состоящие из частиц двух типов малого числа квантовых частиц, движение которых необходимо описывать на основе квантовой механики и частиц с относительно слабо выраженными квантовыми свойствами в рассматриваемой задаче Основными направлениями исследований в работе были некоторые задачи физики атомных столкновений и физической электроники

Исследованы процессы рассеяния атома водорода на протоне На основе визуализации плотности электронного облака качественно объяснены осцилляционные зависимости вероятности перезарядки от прицельного параметра и относительной скорости сталкивающихся частиц Качественно можно сказать, что от прицельного параметра зависит частота переходов области повышенной плотности электронного облака от одного протона к другому С другой стороны, конечное значение фазы колебаний зависит и от относительной скорости протонов, то есть от времени пролета через область колебательного движения электронного пакета Произведенная оценка сечения перезарядки при рассеянии атома водорода на протоне хорошо согласуется с экспериментальными данными

Получена и исследована осцилляционная зависимость сечения перезарядки при рассеянии протона на атоме водорода на угол 3°, находящаяся в хорошем согласии с экспериментальными данными

Путем введения комплексного времени в нестационарное уравнение Шредингера рассчитана волновая функция основного состояния электрона в ионе Щ Энергия полученного состояния находится в хорошем согласии с экспериментальным значением Введение комплексного времени в уравнение Шредингера позволяет получать волновые функции и возбужденных стационарных состояний

Продемонстрирована возможность расчета многомерного

туннельного эффекта

Приведены подходы к исследованию систем, состоящих из двух квантовых частиц Исследование двухчастичных систем на основе численного решения многомерного уравнения Шредингера является ресурсоемкой задачей В работе разработаны подходы, учитывающие различные типа симметрии задачи с целью уменьшения требований к объему оперативной памяти ЭВМ

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1 В В Самарин, В И Савельев II Поверхность, 2001, № 5, с 6

2 ПоттерД Вычислительные методы в физике М Мир, 1975

3 ФормалевВФ, РевизниковДЛ Численные методы - М ФИЗМАТЛИТ, 2004

4 Ландау ЛД, ЛифшицЕМ Теоретическая физика Учеб пособ для вузов В Ют Till Квантовая механика (нерелятивистская теория) - 5-е изд , стереот - М ФИЗМАТЛИТ, 2002

5 МоттН, МессиГ Теория атомных столкновений - М Мир, 1969

6 Радциг А А , Смирнов Б М Справочник по атомной и молекулярной физике М Атомиздат, 1980

7. ГМ Филиппов, В И Савельев // Материалы XVII Международной конференции по взаимодействию ионов с поверхностью, Т 1 М, 2005,с 154

8 В И Савельев II Поверхность, 2007, № 4, с 103

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 В В Самарин, В И Савельев Зарядовая асимметрия неупругих столкновений ионов с атомами в нестационарной квантовой модели // Поверхность, 2001, № 5, с 6-11

2 ГМ Филиппов, В И Савельев Численное исследование рассеяния атома в поле иона // Материалы XVI Международной конференции

по взаимодействию ионов с поверхностью, Т 1 М, 2003, с 295298

3 В И Савельев, Г М Филиппов Численное исследование рассеяния атома в поле иона // Поверхность, 2004, № 5, с 101-105

4 В И Савельев, ГМ Филиппов Расчеты процессов атомных столкновений при помощи численного решения нестационарного уравнения Шредингера // Поверхность, 2005, № 3, с 32-35

5 ГМ Филиппов, В И Савельев Исследование двухэлектронных атомных систем при помощи численного решения нестационарного уравнения Шредингера // Материалы XVII Международной конференции по взаимодействию ионов с поверхностью, Т 1 М , 2005,с 154-156

6 В И Савельев, ГМ Филиппов Оценки сечений перезарядки при помощи численного решения нестационарного уравнения Шредингера // Поверхность, 2006, № 4, с 47-50

7 В И Савельев Исследования двухэлектронных корреляций численным методом // Поверхность, 2007, № 4, с 103-106

Типография ордена "Знак Почета" издательства МГУ 119899, Москва, Ленинские горы Заказ № 541 Тираж 100 экз

7 <2

Введение.

1 Обзор литературы.

1.1 Обзор аналитических методов физики атомных столкновений.

1.2 Некоторые результаты аналитического подхода в физике атомных столкновений.

1.3 Некоторые численные методы решения нестационарного уравнения Шрёдингера.

1.3.1 Методы решения нестационарного уравнения Шрёдингера с использованием оператора эволюции.

1.3.2 Использование быстрого дискретного преобразования Фурье для решения нестационарного уравнения Шрёдингера.

2 Используемые в работе подходы.

2.1 Методы решения нестационарного уравнения Шрёдингера.

2.2 Описание систем с одной легкой частицей.

3 Результаты исследований.

3.1 Расчет столкновений протона и атомарного водорода.

3.1.1 Рассеяние атома водорода на протоне.

3.1.2 Рассеяние протона на атоме водорода.

3.2 Расчет туннелирования.

3.3 Определение основного состояния иона Щ путем введения комплексного времени.

3.4 Исследование двухэлектронных систем.

3.4.1 Простейший пример квантовой системы из двух частиц.

3.4.2 Учет свойств симметрии при исследовании двухчастичных квантовых систем.

Актуальность темы. Подавляющее большинство проблем квантовой механики, как правило, не имеет точных аналитических решений. Часть таких задач решается или с использованием упрощенных математических моделей, не отражающих всю полноту проблемы, или с использованием медленно сходящихся рядов теории возмущений. С развитием компьютерных методов научных исследований становится очевидным, что, применяя ЭВМ, мы способны решать значительно более широкий класс задач, чем это было возможно до сих пор при помощи аналитических или модельных методов расчета. Неоспоримым преимуществом аналитических методов является то, что они позволяют получить общее решение задачи, но численные методы позволяют исследовать даже те проблемы, которые не могут быть описаны ни точными, ни приближенными аналитическими методами.

В последнее время численные методы часто используются при решении квантовомеханических задач. В большинстве случаев это стационарные задачи. При решении эволюционных задач обычно применяются квазиклассическое приближение или метод молекулярной динамики. Точное решение эволюционных задач обычно сопряжено с большими вычислительными затратами. Тем не менее, бурно развивающиеся возможности вычислительных машин позволяют справляться с теми задачами, которые в недалеком прошлом находились за пределом возможностей ПЭВМ.

Наиболее естественным и точным способом исследования эволюционных задач квантовой механики является решение нестационарного уравнения Шрёдингера, так как вычисление волновой функции дает максимально возможное полное описание квантовой системы.

Целью диссертационной работы является исследование некоторых нерешенных проблем атомной физики на основе численного решения многомерного нестационарного уравнения Шрёдингера и развитие техники проведения расчетов такого типа.

Направление и объект исследований. В данной диссертационной работе исследуются физические системы, состоящие из двух типов частиц: а) квантовых частиц, движение которых необходимо описывать на основе квантовой механики; б) частиц с относительно слабо выраженными квантовыми свойствами в рассматриваемой задаче.

Так, в работе исследованы столкновения атома водорода и протона в области промежуточных энергий, когда относительная скорость тяжелых частиц соизмерима со скоростями электронов на боровских орбитах. Описано основное состояние однократно ионизированной молекулы водорода, продемонстрирована возможность расчета многомерного туннельного эффекта и представлены различные подходы к изучению систем, состоящих из двух квантовых частиц.

Научная новизна работы состоит в применении численных методов решения многомерного уравнения Шрёдингера в совокупности с другими численными методами к задачам физики атомных столкновений и физической электроники.

Научная и практическая значимость работы. Полученные результаты свидетельствуют о применимости использованных в работе методов для исследования широкого круга задач квантовой физики и, в частности, физической электроники, и позволяют в полной мере использовать возможности современных ЭВМ для решения этих проблем.

Достоверность результатов подтверждается согласием расчетных данных с экспериментальными данными для тех решенных в работе задач, для которых они известны, а также внутренней согласованностью и логической завершенностью применяемых математических моделей.

Личный вклад автора заключается в развитии математических моделей, разработке и тестировании компьютерных программ, выполнении численного моделирования, анализе промежуточных и окончательных результатов.

Основные положения, выносимые на защиту.

• Результаты исследования процессов рассеяния атома водорода на протоне. Произведенная оценка сечения перезарядки при рассеянии хорошо согласуется с экспериментальными данными.

• Получена и исследована осцилляционная зависимость сечения перезарядки при рассеянии протона на атоме водорода на угол 3°, находящаяся в хорошем согласии с экспериментальными данными.

• Путем введения комплексного времени в нестационарное уравнение Шрёдингера рассчитана волновая функция основного состояния электрона в ионе Hj, находящаяся в хорошем согласии с экспериментом.

• Продемонстрирована возможность расчета многомерного туннельного эффекта.

• Проанализированы некоторые подходы к исследованию систем, состоящих из двух квантовых частиц.

Апробация работы. Основные результаты диссертации и работа в целом докладывались на:

• XXX Международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (г. Москва, НИИЯФ МГУ, май 2000 г.);

• Международной конференции по ядерной физике «Кластеры в ядерной физике» (г. Санкт-Петербург, 2000 г.);

• XXXII Международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (г. Москва, НИИЯФ МГУ, май 2002 г.);

• XVI Международной конференции «Взаимодействие ионов с поверхностью. ВИП-2003» (г. Звенигород, август 2003 г.);

• XXXIV Международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (г. Москва, НИИЯФ МГУ, май 2004 г.);

• XXXV Международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (г. Москва, НИИЯФ МГУ, май 2005 г.);

• XVII Международной конференции «Взаимодействие ионов с поверхностью. ВИП-2005» (г. Звенигород, август 2005 г.);

• XXXVI Международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (г. Москва, НИИЯФ МГУ, май 2006 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 статей, в том числе 5 статей в академических журналах и 2 статьи в материалах конференций.

Содержание работы

Во введении кратко сформулированы цели и существенные результаты, полученные в диссертации.

В первой главе приведен краткий обзор аналитических методов изучения атомных столкновений. Приведены критерии применимости широко распространенных методов и подходов. Приведено краткое описание методов изучения квантовых систем, состоящих из небольшого числа частиц и не поддающихся точному аналитическому описанию, в частности атомных столкновений в области малых и средних энергий. Дан краткий обзор работ, отражающих современное состояние теоретических подходов и расчетных методов для исследования таких систем.

Во второй главе рассмотрены использованные в работе методы изучения квантовых систем на основе численного решения нестационарного уравнения Шрёдингера.

В третьей главе представлены основные результаты, полученные автором работы. В подразделе 3.1 представлены результаты исследований столкновений атома водорода и протона при относительной скорости частиц от -0.5 до ~ 1.5 атомных единиц1 (а.е.). В подразделе 3.2 приведены результаты расчета многомерного туннелирования. В подразделе 3.3 приведен один из способов определения стационарных состояний квантовой системы, основанный на решении нестационарного уравнения Шрёдингера путем введения комплексного времени. В подразделе 3.4 приведены результаты исследований двухчастичных квантовых систем при помощи численного решения уравнения Шрёдингера.

В заключении приведены и обобщены основные результаты, полученные в диссертационной работе.

1 В атомной системе единиц в качестве единиц измерения массы, длины и времени выбираются соответственно тее тее т. = 9.11 -10-31 кг,^- = 5.29-10-"м, дцд Т =2А2-Ю'1Т с, где гпе - масса электрона, £„=8.85-10 Ф-м - электрическая постоянная, /г = 1.055-10"34 Дж • с - постоянная Планка, е = 1.602-10"19 Кл - заряд электрона.

1 Обзор литературы

Заключение

В работе проведены исследования целого ряда задач физики атомных столкновений и физической электроники. Применяя численное решение многомерного нестационарного уравнения Шрёдингера для описания квантовомеханических систем, мы получаем волновую функцию квантовой частицы. Как известно, волновая функция содержит в себе наиболее полную информацию о частице. Это делает применение численного решения уравнения Шрёдингера достаточно привлекательным инструментом для исследования некоторых процессов. Кроме того, визуализация рассчитываемых процессов дает простое и наглядное объяснение многим процессам, происходящим в изучаемой системе.

В данной работе развиты подходы к изучению физических систем с малым числом квантовых частиц или систем, в которых квантовыми свойствами большинства частиц можно пренебречь. Основным направлением исследований в работе выбрана физика атомных столкновений и электроники.

Исследованы процессы рассеяния атома водорода на протоне. На основе визуализации плотности электронного облака качественно объяснены осцилляционные зависимости вероятности перезарядки от прицельного параметра и относительной скорости сталкивающихся частиц. Качественно можно сказать, что от прицельного параметра зависит частота переходов области повышенной плотности электронного облака от одного протона к другому, а от относительной скорости столкновений зависит время нахождения протонов на расстоянии, достаточно близком для быстрых переходов области повышенной плотности электронного облака между протонами, и, следовательно, и фаза этих переходов. Произведенная оценка сечения перезарядки при рассеянии атома водорода на протоне хорошо согласуется с экспериментальными данными.

Получена и исследована осцилляционная зависимость сечения перезарядки при рассеянии протона на атоме водорода на угол 3°, находящаяся в хорошем согласии с экспериментальными данными.

Путем введения комплексного времени в нестационарное уравнение Шрёдингера рассчитана волновая функция основного состояния электрона в ионе Н^. Энергия полученного состояния находится в хорошем согласии с экспериментальным значением. Введение комплексного времени позволяет получать волновые функции и возбужденных уровней стационарных состояний.

Показана возможность расчета многомерного туннельного эффекта.

Приведены подходы к исследованию систем, состоящих из двух квантовых частиц. Исследование двухчастичных систем на основе численного решения многомерного уравнения Шрёдингера является весьма ресурсоемкой задачей. В работе разработаны подходы, учитывающие различные типы симметрии задачи с целью уменьшения требований к объему оперативной памяти ЭВМ.

Для проведения расчетов задач с участием большего числа частиц, чем в данной работе, необходимо увеличить размеры сетки, что повлечет за собой резкое увеличение требований к скорости вычислений и объему оперативной памяти. В настоящее время большинство программ 32-х разрядные, что ограничивает объем доступной для проведения расчетов оперативной памяти 2ч-3 Гигабайтами. Появление новых 64-х разрядных процессоров данное ограничение снимает. К тому же многие разностные схемы, в частности, используемые в данной работе, легко поддаются распараллеливанию. Использование многопроцессорных 64-х разрядных архитектур с большими объемами оперативной памяти должно в будущем позволить значительно расширить круг задач квантовой механики, которые можно будет описать путем численного решения нестационарного многомерного уравнения Шрёдингера.

1. Н. Мотт, Г. Месси. Теория атомных столкновений. - М.: Мир, 1969.

2. Г. Месси, Е. Бархоп. Электронные и ионные столкновения. М.: Мир, 1958.

3. Р. Ньютон. Теория рассеяния волн и частиц. М.: Мир, 1969. 608 с.

4. А.Н. Базь., Я.Б. Зельдович, A.M. Переломов. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. М.: Нака, 1971.

5. Г.Ф. Друкарев. Столкновения электронов и атомов с молекулами. М.: Наука, 1978.

6. В.А. Квливидзе, С.С. Красильников. Введение в физику атомных столкновений. Изд-во Моск. ун-та, 1985. 224 с.

7. Е.Е. Никитин. Теория элементарных атомно-молекулярных процессов в газах. М.: Химия, 1970. 456 с.

8. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В Ют. Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория). -5-е изд., стереот. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

9. А.М.Переломов. Обобщенные когерентные состояния и их применение. //УФН, 1977. Т.123.С.23.

10. И.А. Малкин, В.И. Манько. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. -М.: Наука, 1979. 320 с.

11. М.О. Скажи, М.С. Зубайри. Квантовая оптика. М.: Физматлит, 2003. 512 с.

12. G.M. Filippov. II Journal of Physics A: Math. & Gen. V.33, 2000. P.L293. (Arxive LANL, quant-ph/0003011, 2000).

13. J. Lindhardll Kgl. Dan. Vid. Selsk. Mat-Fys. Medd., 1965. V. 34, no.14. P.l.

14. А.Ф. Тулшов // УФН. 1965. Т.87, в.4. С.585.

15. J.U.Andersen II Kgl. Dan. Vid. Selsk. Mat-Fys. Medd. , 1967. V.36, no.7. P.l.

16. Г.М. Филиппов II Вестник МГУ. Сер. физ.астрон. 1967. Т.6. С.75.

17. Л. Д. Ландау. Собрание трудов. Т. 1. М.: Наука, 1969.

18. L. Mayer // Phys.stat.sol.(b), 1971. V.44. Р.253.

19. P.Sigmund, К.В. Winterbon. II Nucl.Instr.& Meth., 1974. V. 119. P.541.

20. О.Б.ФирсовНЖЭТФ, 1959. T.36, в.5. С.1517.21. Ё.-Х. Оцуки. Взаимодействие заряженных частиц с твердыми телами. -М.: Мир, 1985.278 с.

21. M.C.Cross II Phys.Rev.B. 1977. V.15. Р.602.

22. Взаимодействие заряженных частиц с твердым телом. Сборник статей под ред. А.Грас-Марти, Г.М.Урбассека, Н.Р.Аристы, Ф. Флореса. М.: Высшая школа, 1984. 749 с.

23. Ю.В.Готт. Взаимодействие частиц с веществом в плазменных исследованиях. -М.: Атомиздат, 1978. 272 с.

24. М.А. Кумахов, Г.Ширмер. Атомные столкновения в кристаллах. М.: Атомиздат, 1980. 78 с.

25. Н.П. Калашников, В.С.Ремизович, М.И.Рязанов. Столкновения быстрых заряженных частиц в твердых телах. М.: Атомиздат, 1980. 272 с.

26. Н.П.Калашников. Когерентные взаимодействия заряженных частиц в кристаллах. -М.: Атомиздат, 1981. 224 с.

27. Э.С.Парилис, Л.М.Кишиневский, В.И.Матвеев, Б.Г.Краков. Оже-процессы при атомных столкновениях. Ташкент: ФАН, 1989. 240 с.

28. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М. Наука. 1971г. 552 с.

29. Формалев В. Ф.,Ревизников Д.Л. Численные методы. М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2004.-400 с.

30. Вержбщкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов. -М.: Высш. шк., 2002, 840 с.

31. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир. 1979.

32. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М., Наука, 1973.

33. N.Balakrishnan, C.Kalyanaraman, N.Sathyamurthy. II Physics Reports 280 (1997) 79-144.

34. Merle E. Riley, Burke Ritchie // Phys. Rev. A, V. 59, N. 5,3544, (1999).

35. B.B. Самарин, В.И. Савельев II Поверхность, 2001, № 5, с. 6.

36. ПоттерД. Вычислительные методы в физике. М.: Мир, 1975, с. 392.

37. В.И. Савельев, Г.М. Филиппов. Численное исследование рассеяния атома в поле иона // Поверхность, 2004, № 5, С. 101-105.

38. Г.М. Филиппов, В.И. Савельев. Численное исследование рассеяния атома в поле иона // Материалы XVI Международной конференции по взаимодействию ионов с поверхностью, Т.1.: М., 2003, С. 295-298.

39. В.И. Савельев, Г.М. Филиппов. Расчеты процессов атомных столкновений при помощи численного решения нестационарного уравнения Шрёдингера // Поверхность, 2005, № 3, С. 32-35.

40. В.И. Савельев, Г.М. Филиппов. Оценки сечений перезарядки при помощи численного решения нестационарного уравнения Шрёдингера // Поверхность, 2006, № 4, С. 47-50.

41. LockwoodG.J., EverhartE., Phys. Rev., 125, 567 (1962).

42. Л.Д. Ландау, Е.М.Лифшиц. Механика. Теоретическая физика. Том 1, -М.: «Наука», 1973, с. 70.

43. Радциг А.А., Смирнов ЕМ. Справочник по атомной и молекулярной физике. М.: Атомиздат, 1980.

44. В.И. Савельев. Исследования двухэлектронных корреляций численным методом // Поверхность, 2007, № 4, С. 103-106.