Характеристические показатели и векторы линейных систем Гробмановскими возмущениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ в од

АКАДЕМИЯ НАУК БЕЛАРУСИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

Степанович Ольга Павловна

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ И ВЕКТОРЫ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ГРОВМАНОВСКИМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических паук

ЫННСК -1993

Работа выполнена в 'Институте математики Alt Беларуси

Научный руководитель: член-корреспондент All Беларуси

ИЗОБОВ Николай Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических;

наук, профессор

МИЛЛИОНЩИКОВ Владимир Михаилович

кандидат физико-математических наук, доцент

ВЕРЕМЕНШ Валентин Валентинович

Ведущая организация: Институт теоретической к прикладной математики 1!зциом»льнсй All Республшси Казахстан

Защита диссертации состоится " 5 " октября 1§93 г. » часоп на заседании специализированного совета Д 006.19-02 по

приоуадешда ученой степени доктора фиэико - математических

*

наук в Институте математики Академии наук Беларуси (220072, г.Минск, ул.Сурганова, 11, к.79 )•

О диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математик! Академии наук Беларуси.

Автореферат разослан " "_ 1993 года.

Ученый секретарь специализированного совета «^чу с.И.Гайдук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность телы. Одной из основных задач асимптотической теории линейных дифференциальных систем и теории устойчивости является исследование поведения показателей при различных возмущениях коэффициентов. Основополагающие результаты в этой области принадлежат В.М.Миллионщикову, Б.Ф.Былову, Р.Э.Винограду, Ю.С.Богданову, Д.М.Гробману, Н.Х.Розову, М.И.Рахимбердиеву, Е.Л.Тонкову и др.

Хорошо известно, что совокупности характеристических показателей исходной системы

£ = А(г)Х, X € Ип, { г О, (1А)

с кусочно-непрерывными ограниченными коэффициентам!! и возмущенной (1А+0) совпадают, если выполнено условие Д.М.Гробмана (11: показатель Ляпунова кусочно-непрерывных возмущений а(°) строго меньше коэффициента неправильности Гробмана системы (1А), взятого со знаком "минус". Аналогичный результат получен Ю.С. Богдановым [23 для коэффициента неправильности Ляпунова. Оставался открытым вопрос о поведении показателей возмущенных систем (1А4,„) в критическом случае так называемых гробмановских возмущений <?(°) (показатель Ляпунова которых не превосходит коэффициента неправильности Гробмана, взятого с противоположным знаком).

Настоящая диссертация и посвящена исследованию влияния этих гробмановских возмущений и их естественных обобщений на поведение

1. Гробман Д.Ы. Характеристические показатели систем, близких к линейным. - Мат. сб. - 1952. - Т. 30, № 1. - С. 121-166.

2. Богданов Ю.С. Характеристические числа систем линейных" дифференциальных уравнения . - Мат. сб. - 1357. - Т. 4-1, .4 4. - С.

характеристических показателей Ляпунова и характеристических векторов Хоанг Хыу Дыонга [3] линейных систем.

Цель работы. Изучение поведения характеристических показателей и характеристических векторов линейных систем при гробманов-ских возмущениях.

Методы исследования. В работе используется метод поворотов В.М.Миллионщикова 14] и другие методы теории характеристических показателей Ляпунова.

Научная новизна. В диссертации построен класс линейных систем (имеющих несовпадающие коэффициент неправильности Гробмана и угловую неправильность) с инвариантными относительно гробмановдких возмущений характеристическими показателями, содержащий, в частности, все диагональные системы. Доказана полнота этого класса во всем множества линейных систем, т.е. установлено существование систем с совпадающими характеристиками неправильности и неустойчивыми характерней, вескими показателями; получены условия инвариантности характеристических векторов линейных систем относительно обобщенных гробмановских возмущений; доказана неинвариантность характеристических векторов в классе как угодно малых расширешй! обобщенных гробмановских возмущений.

Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер, однако ее результаты могут найти применение в решении задач теории устойчивости..

3. Хоанг Хыу Дыонг. Теория характеристических векторов и ее приложение к изучению асимптотического поведения решений дифференциальных систем. - Дифференц.уравнения. - 1967. - Т. 3, I 3. - С. 446-467.

4. Миллионщиков В.М. Доказательство достижимости центральных показателей линейных систем.- Сиб. мат. журн. - 1969. - Т. 10, а 1. - С. 99-104.

Апробация. Результаты диссертации докладывались и обсуждались па семинаре по качественной теории дафференцизлышх уравнений в Московском университете, на Республиканской конференции молодых ученых и специалистов "Применение информатики и вычислительной техники при pemeinoi народнохозяйственных задач" (Минск, 1939 г.), на Республиканских ь .учных чтениях по обыкновенным дифференциальным уравнениям (Минск, 1990 г.), а также на семинаре лаборатории теории устойчивости Института математики All Республики Беларусь.

Публикаций. Основные результаты диссертации опубликованы в семи работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объел диссертации. Работа выполнена на 107 страницах машинописного текста и состоит из введения и трех глав, включающих в себя 9 параграфов. Список литературы содержит ■ 22 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Будем обозначать: через ШЗ показатель Ляпунова кусочно-непрерывной на положительной полуоси вектор-функции или матрицы

Г(о); через C[0>O)j -множество кусочно-непрерывных и ограниченных на полуоси t г 0 квадратных матриц А(«). Пусть далее KJt) = = Ix^t), ..., xjt)] - нормальная упорядоченная система решений линейной системы ( 1 ) с показателями X, = X (А) = Х[г ], й = 1,

л k k k

...,п, составляющими упорядоченную Xtfijs... s ^JA) совокупность 1(A) системы ( 1А). Введем в рассмотрение коэффициент неправильности Д.М.Гробмаиа Ш о J А > я пах (\к + ц^) линейной системы

k

(1Л), где - характеристический показатель й-ой строки матрицы

Из работы Д.М.Гробмана СИ известно, что совокупности Х(А) и \(АН2) характеристических показателей соответственно исходной ( 1А) и возмущенной ( 1 ) систем совпадают для всякой матрицы О е С°0 удовлетворяющей условию

Х[«] < -о (А), (2)

г

называемому ниже условием Гробмана.

В первых двух главах диссертации исследуется остававшийся открытым вопрос о поведении характеристических показателей исходной системы ( 1А) при возмущении ее коэффициентов матрицей ОС?.), для которой выполнено более слабое условие

хсдз £ -а (А). (а)

г

Матрицы возмущений (¡(г), 0 <= С°о со свойством ( 3 ) будем называть гроблатвсюш. бозлущентт. В третьей главе результаты, полученные в предыдущих главах, обобщаются при изучении поведения характеристических векторов Хоанга Хыу Дыонга [33 линейных систем с возмущениями, аналогичными гробмановским.

В первой главе диссертации, состоящей из трех параграфов, доказывается инвариантность характеристических, показателей неправильных по Ляпунову линейных диагональных систем относительно гробмановских возмущений их коэффициентов и устанавливается неустойчивость характеристических показателей этих систем произвольного порядка при возмущениях, мало отличающихся от гробмановских. В частности, в первом параграфе этой главы вводятся необходимые обозначения для первой главы и доказывается

Теорема 1.1. Совокупности Х(А) и \(А + <з; характеристических показателей исходной диагональной ( 1А) и возмущенной ( 1л+0) сис-

тем совпадают, если выполнено условие

XiQl * -а (А) < 0. (4)

Г

В следующих двух параграфах показывается, что полученное условие ( 4 ) совпадения характеристических показателей уже ослабить нельзя.

Во втором параграфе первой главы с помощью метода поворотов В.М. Миллионщи^ова t4] доказываются две леммы о неустойчивости характеристических показателей некоторых двумерных и трехмерных систем при возмущениях, мало отличающихся от гробмановских:

Jlexta 1.1. Для любых чисел X с R и а > 0 существует двумерная диагональная система А = AJt)x, А^ е С°0 ю), с характеристическими показателями = Ь2(АЯ) = X и коэффициентом неправильности oJAz) - о такая, что для шЗого б е (0,а) найдется матрица В$ е

е c[OlC0; второго порядка, для которой. XtJS5l s б-cr и двумерная система

5 = AJt)y + Bs(t)y, t * О, имеет характеристические показатели

Х^Л + Bs) = X + 6(д-1Г1(~в)3~\ е = const г 2, t = 1,2.

Лелла 1.2. Для любых чисел" Хе R л а > 0 существует трехмерная диагональная система

**A3(t)X, AaeC°0fO>). tiO,

с характеристическими показателями Х/4,.) = X, t = 1,2,3, и коэффициентом неправильности a (AJ = с такая, что для любого 5 «(О,а)

г 3

существует матрица G^ третьего порядке, для которой XtC.ls

s 5 ~ о и система

Ь = + свту. у е и3, I * о. имеет характерстические показатели Щ + <у = х - щге-гг1, + с5) = х + вг'-^е-и'1,

0 = сопз* г 2, { = 2,3.

Заметим, что в монографии [5, с.4-15-4-17] обнаружена неустойчивость лишь старшего показателя 15, с. 162] двумерной диагональной системы с коэффициентом неправильности а (А)=2\х(А) = 21А) > > 0 при возмущениях с матрицей яа), удовлетворяющей условию Х[<3]£ & 6 - о (А), 5 > 0.

Г

Используя результаты и построения лемм 1.1 и 1.2, устанавливается существование диагональной системы произвольного порядка, все характеристические показатели которой . неустойчивы при возму-щешях, мало отличающихся от гробмановских:

Теорела 1.2. Для любых чисел а > О, л4<...<л , д & .1, и больших 1 натуральных ^.....п существует диагональная система ( 1^) размерности га = рч «* п1+...+пч с характеристическими показателями

Х^А) = лк, { = Рк,1+1»....Р11. й = 1,...,<?. ро = 0, и коэффициентом неправильности ог(А) = о такая, что для любого с > 0 найдется матрица 0£ <= С°о ^ порядка п, для которой X С С3е 3 ^ -о + ей характеристические показатели Х^Д+зр системы ( 1А+0 ) с этой Qt(t) все различны и \{(А^е) * X (А) при всех {,/ = 1.....га.

5. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. - Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. -М., "Наука", 1966 - 576 с.

Во второй главе диссертации, включающей три параграфа, выводится новая формула вычисления коэффициента неправильности Гробма-на и неравенство, связывающее этот коэффициент с определяемым в первом параграфе главы значением угловой неправильности линейной системы; при равенстве значений коэффициента неправильности Гроб-мана и угловой неправильности некоторых линейных систем обнаружена неустойчивость их характеристических показателей в классе гробма-новских возмущений; получено основное условие инвариантности характеристических показателей общих линейных систем относительно гробмановских возмущений.

В первом параграфе второй главы новую формулу вычисления коэффициента неправильности Гробмана И] линейной системы ( 1 ) по

ее решениям xy(t), i ~ 1.....п, из нормальной по Ляпунову системы

решений XJt) = lx,(t),...tx (t)] и синусам углов ajt) е ("О,л/21

Al г» I

между вектором x^t) и линейным пространством остальных п-1 векторов системы X (t) дает

Лелю. 2.1. Для коэффициента неправильности а (А) системы

Г*

(1Д) справедливо представлеше

с (А) = тх Шг,] + X M/llX,!lsin О,]}.

** I

Определение 2.1. Число <¡0(Á), определяемое формулой СJ A) m war XCa~l] г О,

It k

называется угловой неправильностью системы (1А).

В этом же первом параграфе второй главы устанавливается связь между коэффициентом неправильности <¡r(A) и угловой неправильностью

<jQfА) линейной системы dA):

a JA) s а (А) (5)

О Г

В последующих двух параграфах исследуется поведение характеристических показателей исходной системы (.1 ) относительно гроб-

ыановских возмущений, учитывая полученное неравенство (5).

Во втором параграфе второй главы неустойчивость характеристических показателей достаточно общих линейных систем ( 1А) в классе гробмановских возмущений при выполнении равенства а (А) = с0(А) обнаруживает

Теорем 2.1. Для любых чисел 2 s п е N, Xt s...« Хп, о е е £Х4и <i > 0. существуют n-мерная система ( с характеристическими показателями Хх(А) = XJf i = 1и коэффициентом неправильности с (А) = о и удовлетворяющая условию

Г

и (Jit,) и ss const х t-a Miil. i * 0,

матрица Q(t) n-го порядка такие, что возмущенная система ( 1 ) с эаой матр1щей Q(t) ^меет одним из свою характеристических показателей число а.

Замечание, Показатель Ляпунова X[Q] построенной матрицы (К») равен -ог(А).

Следствие 2.1. Для любых чисел натуральных bis n-1 € N и вещественных X Xn, а с (Xh, x^J и а > О существуют п-мер-

ная система ( 1А) с характеристическими показателями XfCA) = Xt, t = 1,...,п, и коэффициентом неправильности с (А) = с и удовлетворяющая условию

iiQC t) и ■ s const x exp l-o (АЮ, t s 0,

г

матрица Q(t) n-vo порядка такие, что возмущенная система ( 1 ) с этой матрицей имеет характеристические показатели \{(А + Q) = i * ft, X (А 4 Q) = в.

я

В третьем параграфе второй главы основное условие инвариантности характеристических показателей линейных систем относительно гробмановских возмущений устанавливает

Теорела 2.2. Совокупности ХШ и \(A+Q) характеристических показателей систем ( 1д) и ( совпадают, если выполнено

основное условие

XIQ] * -о (А) < -9 JA). (6)

Г О

Замечание. Для диагональной системы ( 1А) углы \(t) = я/2, й = 1,..., п, t г О, и поэтому условие (6) естественно включает в себя условие (4) теоремы 1.1.

В третьей главе диссертации рассматриваются характеристические векторы Хоанга Хыу Дыонга лилейных систем с возмущениями,аналогичны),ш гробмановским, и их малыми распгарешшш. В этой главе, состоящей из трех параграфов, получено обобщенное условие совпадения характеристических векторов общих линейных систем и соответствующих возмущенных систем; доказывается нешшариантность характеристических векторов некоторых линейных систем в классе как угодно малых расширений обобщенных гробмановских возмущений и устанавливаются условия инвариантности характеристических векторов линейных систем со всеми совпадающим,либо всеми различными характеристическими векторами относительно обобщенных гробмановских возмущений.

В ее первом параграфе вводятся необходимые для изложения понятия и устанавливается условие, являющееся аналогом условия Гроб-мана ( 2 ), совпадения характера!гаческих векторов общей линейной системы ( 1 ) н ее возмущенной системы (

В этой главе рассматривается линейная система ( 1J с упорядоченной совокупностью a™f4J';< ... ^ а*(А) конечных характеристических векторов Хоанга Хыу Дыонга [31 'а™( А) с R"*1, т е N. Наполним, что характеристическим вектором ш-го порядка вектор-функции x(t) называется вектор атШ » f/30,...,praJ е R"*1 с компонентами

ß0 я ХШ.

1 . .я t -ß. -ß, ,

ß ш ш -Tjfj In ux(t)e 0 t 1 ... (lnk_at) k"ln, k

к = 1,....я,

где Inj: и In ink_,t. T-% t « t, в предположении существования конечных чисел ß0,...,ßn.

Всюду в третьей главе: ет обозначает вектор (0,1,...,1)cRm4'1; система XitMift ],...,£ ftj) является, без нарушения общности,

AI п

нормальной £31 упорядоченной системой решений системы ( 1 ) с характеристическими векторами а"^] = а™(А) своих столбцов—реше-

Л»

ний xl(t); строки xl(t) обратной матрицы Х~1а) имеют также ко-

/w

нечные характеристические векторы ат[х1].

Вектор ст(А) « Сс0.....oj е Rn*1, определяемый формулой С31

о"(А) ш шаг | «"iXj) + VlXj] j £ О,

будем называть характеристически* векторол неправильности.. По определению, первая компонента cQ вектора от(А) совпадает с коэффициентом неправильности о(А) Д.М.Гробмана. Условие совпадения характеристических векторов исходной и возмущенной систем, являющееся- аналогом условия Гробмана ( 2 ), доставляет

Теорем 3.1. Если оЧСЛ 4 -оп(А) ~ е", то совокупности характеристических векторов из пространства И""'1 систем ( 1А) и ( 1 ) совпадают.

Возмущения коэффициентов системы ( 1 ) матрицей Я с С0 ,

А [о,то.)

удовлетворяющей ослабленному, по сравнению с условием теоремы 3.1, неравенству

«■[в] + еп ^ -о"(А), (7)

назовем обобщеншш гроблтобсюиш бсшдаеишш.

В следущих двух параграфах изучается влияние тагах возмущений и сколь угодно малых их расширений на поведение характеристических векторов исходной системы < 1А).

Во втором параграфе третьей главы установлено, что в классе возмущешшх систем (1 „) со сколь угодно малыми расширениями обоб-

А+О

щетшх гробмаповских возмущений ( 7 ) тлеются систеш с характеристическими векторами, отличными от характеристических векторов исходной системы ( 1л):

Теорем 3.2. Для произвольного числа е > 0, всякого числа т е

6 N. любых П-1 е К векторов ^ = (Р10* ••'">(! 1я) е И"*1.* - 2.....п,

и вектора ат = (а0,...,о ) * 0 существуют п-мерная система ( 1д) с характеристическими векторами

» о^(А) = Ра, а^СА) = Д, ДЛЯ е = З.....П,

вектором неправильности от(А) = от и удовлетворяющая условию

«"[£?] = -0ю - ет + е", е* ■ (0.....0,с) € Н"*1.

кусочно-непрерывная Пхгг-матрица аа) та:сиэ, что система ( 1.. „)

имеет характеристические векторы

«.•(А^а) = а*(А), I =2.....а.

V

Замечание. В случае характеристических показателей, являющихся векторами нулевого порядка, 1« неинвариантность для диагональных систем при возмущениях, мало отличающихся от гробмановских (см. неравенство (3) ) , установлена теоремой 1.2.

В третьем параграфе последней главы получены условия инвариантности характеристических векторов исходной системы (1А) со всеми совпадающими, либо со всеми различными характеристическими векторами относительно обобщенных гробмановских возмущений ( 7 ).

Лехла 3.1. Для характеристического вектора неправильности от(А) системы ( 1А) справедливо представление

0*(А) = ЮХ Сат1Х ) + а"И / «X И З1п а 1), 1

где х1 = xi(t) - 1~й столбец-решение нормальной системы а

«(= а1а) € СО,к/2] - угол' между вектором и пространством

остальных п - 1 векторов из. системы

Определение 3.1. Вектор - (5о,...,0в) с В"*1, вычисляемый по формуле

р*(А) ш шг «"Са^З, к

называется беюпорол угловой неправильности системы ( 1А).

Из неравенств, полученных при доказательстве леммы 2.1, следует справедливость оценки

А) * (8)

Рассматриваемый далее класс систем { 1А) ограничивается системами, нормы решений которых с течением времени относительно медленно изменяются (точно формулируемое достаточно общее условие А этого содержится в третьем параграфе последней главы диссертации; оно автоматически выполняется для характеристических показателей). Для. таких систем доказана

Теорет З.З.Если система ( 1 ) имеет все совпадающие, либо все различные (ш-1)-мерные характеристические векторы а*(А), I =

= 1.....п, выполнены неравенство а"Ч<3] + ея * -оа(А) ■* -о*(А) и

условие А, то совокупности характеристических векторов из пространства 1Г*1 систем ( 1А) и ( 1 ) совпадают.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Доказательство инвариантности характеристических показателей диагональных систем относительно экспоненциально убывающих гробмановских возмущений и неустойчивости их при возмущениях, мало отличающихся от гробмановских.

2. Построение полного класса общих линейных систем с инвариантными относительно гробмановских возмущений характеристическими показателями.

3. Получение условий совпадения характеристических векторов исходной и возмущенной линейных систем при обобщенных гробмановских возмущениях.

4. Доказательство неинвариантности характеристических векторов В Кл¿с се к»к уГСдно

»о тот расширений обобщенных гробмановских

возмущений.

Основные результата диссертанта: опубликованы в работах:

1.. Изобов И.Л., Степанович О.П. Об инвариантности характеристических показателей линейных систем при экспоненциально убывающих возмущениях. - Arch. Math. - 1990. - V. 26,,» 2-3. - P. 107-114.

2. Изобов H.A., Степанович О.П. Od экспоненциально убывающих возмущениях, сохраняющих характеристические показатели линейной диагональной системы. - Дифференц. уравнешш. - 1990. - Т. 26, й 6. - С. 934-943.

3. Изобов H.A., Степанович О.П. О свойствах коэффициента неправильности линейных систем. - Щференц. уравнения. - 1990. - Т. 26, Je 11. - С. 1899-1906.

4. Изобов H.A., Степанович О П. О совпадении характеристических совокупностей линейных систем: 0 семинаре по качественной теории дифференц. уравнений в Моск. ун-те. - Дифференц. уравнения. - 1990. - Т. 26, В 12. - С. 2182.

5. Степанович О.П. О неулучшаемости коэффициента неправильности Гробмана-Богдановз. - Применение информатики и • вычислительной техники при решении народнохозяйственных задач: Респ. конф.молодых ученых и спец., 4-7 мая 1989 - Ми., 1989. - С. 16.

6. Степанович О.П, Об инвариантности характеристических показателей и степеней диагональных систем с экспоненциально-стенешш-ми возмущениями: Респ. науч. чтения по обыкновенным дифференц. уравнениям. 4-5 дек. 1990 - Мн., 1990. - С. 94-95.

7. Степанович О.П. О сохранении характеристических векторов линейной системы при возмущении ее коэффициентов. - Дифференц. уравнения. - 1991. - Т. 27, #11. - С. 1990-1994.