Об устойчивости периодических движений некоторых неголономных систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

КОСКОЗСКИЙ ОРДЕНА ЛЕШША.ОРЛЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЭийИ И ОРЛЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО Э1Ш1ЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 111'ЕНИ Н. В.ЛОИОНОСОВА

1Э(ЛНЖО-!1МВиТКЧЕШ1Й ОАКУЛМЕТ

Р Г б 00

На правах рукописи

- 1 МАИ 1993

ЗЕЖОЗ Лштрий Валерьевич

УДК 531.01

05 УСТОЙЧИВОСТИ ГЕРИОШ^СКИХ ЛВИХЕНИЙ НЕКОТОРЫХ НЕГОЛОНОШУХ СИСТЕМ

Специальность 01.02.01 — теоретическая иехаяика

Автореферат

диссертации на соискавнэ ученой степени кандидата

фазико-иатеыатнческнх наук

Москва — 1993

Работа выполнена иа кафедра теоретической шханшш ыеяанюсо-матеиатического факультета Мооковсхого государственного университета ни. М.В.Ломоносова.

Научны® руководитель ~ доктор физико-математических

наук, профессор Ю. А. Архангельский Официальные оппоненты — доктор физико-иатеиатаческиа

наук, профессор А.П.Маркеов — кандидат физико-математических наук, доцент И. И.Косенка Ведущая организация — Вычислительный центр ' РАН

Защита диссертации состоится _ /2- МврТЪ- 1993 г. в /6 чао, на заседании специализированного Совета Д.033. 03.01 (И 1 по механике) при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, " "

С диссертацией мокко ознакомиться в библиотеке иакашко-иагематического факультета ИГУ.

Ученый секретарь специализированного Совета доктор физихо-иатематнческих наук

Д.В. Тредев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теин. Вопросы качественного анализа в динамике стали первостепенными после обнаружения А. Пуанкаре типичности неинтегрируемости динамических систем. Исследование свойств периодических движений приобрело при этом особое значение.

В диссертации обсуждаются вопросы существования и устойчивости периодических решений слабо неголономных систем, исследуется устойчивость стационарных движений однородного тяжелого шара по поверхности вращения, а также влияние вязкого трения на характер этих стационарных движений.

Цель работы. Изучение свойств периодических движений неголоношшх систем.

Научная новизна. Получены условия существования и исследована устойчивость периодических решений слабо неголономных систем. Установлено, что в слабо неголономных системах могут быть асимптотически устойчивые нестационарные периодические траектории, что препятствует наличию абсолютно непрерывной инвариантной меры. Показана достаточность полученных Раусом условий устойчивости стационарных движений однородного тяжелого шара по абсолютно шероховатой поверхности вращения. Доказано, что в окрестности■ устойчивых стационарных движений интегральные многообразия являются торами, а решения — обмотками этих торов. Исследованы свойства отношения частот. Найдено бесконечное семейство нестационарных периодических решений, расположенных вблизи от устойчивых стационарных периодических решений. Исследовано влияние вязкого трения на характер движения шара по поверхности вращения.

Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при исследовании негамильтоновых возмущений гамильтоновых систем и поведения траекторий динамических систем вблизи стационарных решений. В диссертации найдены новые периодические решения в задаче о движении шара по поверхности вращения.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на заседаниях семинара "Динамические системы классической механики" под руководством В.В.Козлова и C.B.Болотина.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, перечисленных в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 69 страницах и состоит из введения, трех глав, разбитых на 1.3 параграфов, я заключения. Библиография содержит 33 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дав обзор работ, относящихся к тела диоовртадиа, и изложены основные результаты диссертация.

Основной результат главы 1 — доказательство существования орбитально устойчивых (причем по части переменных — асишпо-тическиЗ периодических решений у слабо неголономной оистемы на трехмерном торе Т®, задаваемой лагранжианом I » ♦

и связью «С*>,>*>,•»• V а,е С"-

Уравнения движения рассматриваемой системы в переменных /,» р,, J в , ?а записываются в виде системы

уравнений "нормального" вида:

и.Ле.е),

«У =

Р = и,«). ¿в= "»С/); (1)

Они имеют интеграл анергии

яв«> - с;« ■ (о,/,* одэ®.

Частоты , ыа, входящие в уравнения двиаэния рассматриваемой неголономной системы, ыогут быть вычислены о помощью интеграла энергии //0= Н(1 ^,<р,0) невозмущенно.. системы: ыСП ■ дН^/д!.

При с « 0 система С1) имеет первые интегралы 1 «1°, Л = -Г5, которые "иумеруют" инвариантные торы, заполненные условно-периодическими движениями с частотами » , 1 » 1,...,п. Все решения невозмущенной, системы, лежащие на инвариантном торе I = I0, J ■ Л* , будут периодическими с одним и тем же периодом Г, если частоты = ы1С/°) удовлетворяют соотношениям к|ы® +. + к1«0 >0с целыми числами к|, 1 = 1,... ,п - 1. Лра этоа векторы к1 = Ск^.... пространства 251 предполагаются лннейно-

независимыми, а * 0.

Условия существования периодически* решений возмущенной системы уравнений нормального айда и свойства этих решений содержатся & теоремах 1—4.

Творена 1. Пусть тор I = I", J = невозмущенной системы состоит из Г-периодкческих траекторий и

1. 7,с/°,/,./зв) =0, = о,

ЗС7',?)

2. ее!

* О, 3. det|

С /0, . Г3° 3 I К 0.

зс/.р'э

Тогда при малых е * 0 существует периодическое решение возмущенной системы с периодом Т, аналитически зависящее от я и при с - 0 совпадающее о решением 1=1°, J = , р = + р° невозмущенной системы.

Через (3°, |3' здесь и нижа обозначены точки .....1,0) €

и -Ч.....по

Тп, с/3,...../3^) 6 Г-', а через 7'П°,./,0а)

периодического решения отг. = о,

средние значения от вектор-функций С/( времени.

Характеристические показатели а возмущенной системы являются корнями уравнения |Х - е"уЕ| где X — матрица монодромия. Полагая а = Хс, рассмотрим уравнение ССХ.сЗ = гГ(ап«1,|Х - есаЕ\ = 0.

Теорена 2. Пусть при 1=1°, Л = /3 = /3° выполнены

условия- теоремы 1 и ^.....\а+»п-« — Раэ7Шчньге ненулевые корни

уравнения ССХ,0) = 0. Тогда характеристические показатели а,, о4,... ,ап+ап_а периодического решения возмущенной системы могут бьгть разяожеры в сходящиеся ряды по степеням с: а( = с + ... . Два других характеристических показателя равны нули.

Если частоты ш выражаются через интеграл энергии невоэмущенной системы: о = дН^д!, то -справедлива

Теорена 3. Пусть при I = 1°, J = , /3 = /3° выполнены

окаймленный гессиан

дН

условия теоремы 1, частоты а> равны дН^/д! и

П =

д! _

д!

81

функции Но по переменным I отличен от нуля. Тогда т. + Еп. - 2 характеристических показателя периодического решения возмущенной системы отличны от нуля.

Теорема 3 аналогична теореме 2, но ее условия проверять легче.

Теорена 4. Пусть при 1=1°, J = ^, /3 = /3° выполнены условия теоремы 1, о = дИ^/д! и окаймленный гессиан й отличен от нуля. Тогда в случае общего положения существуют такие значения I и (¥ , что при 1 - 1°, 7 = /, ¡3 = /з1 также выполнены условия теоремы 1. Рождающееся периодическое решение будет отлично от исходного.

Следствие. Если решение, рождаодееся из / = , J - , Р = ь>°1 + (3°, устойчиво, то решение, рождающееся из / = /а, J = ^ , р = +/3', будет неустойчиво.

Теоремы 1—4, описывающие свойства периодических решений возмущенной системы дифференциальных уравнений нормального вида (1), аналогичны результатам Пуанкаре о периодических решениях возмущенных гамильтоновых систем, близких к интегрируемым. Основное отличие состоит в том, что для уравнений (1) невозможна топологическая оценка числа периодических решений возмущенной системы.

Исследование знаков действительных частей характеристических показателей, необходимое для анализа устойчивости периодических траекторий, проведено для значений и = 1, п = 2. Показано, что три характеристических показателя имеют отрицательные действительные части, если е > 0 и выполнены неравенства

дд (37 37 дд

< о, П > 0, 0 —±- — < О,

дJ 3/31 . дJ дрк

или если с < 0 и выполнены неравенства

дд 37 37, бд

— > О, П > О, А —Ь — > 0. ЗJ э/э1 эJ а/?1

Периодическое движение при этой устоРливо, а если возмущения на меняют постоянную энергии, то оно асимптотически устойчиво.

Следуг'чие две теоремы характеризуют свойства инвариантной

меры.

Тоорена 5. Если система дифференциальных уравнений к = ГШ имеет Г-периодическое решение у и интегральный инвариант с непрерывкой плотностью УС хО, то либо суша характеристических показателей решения у равна нулю, либо УС*) в точках решения у равна нулю.

Следствие 1. Если сумма характеристических показателей решения у не равна нулю, то система уравнений х - Г(дО не имеет инвариантной мера о непрерывной положительной плотностью,

Следствие 2. Пусть система С13 имеет периодическое решение при малых с * 0. Если др/си * О, то возмущенная система не гизет инвариантной иерц с непрерывной плотностав.

Согласно теореме Крылова — Боголюбова, у любой динамической системы с компактным фазовым пространством существует инвариантная мера.. Но часто эта мера сосредоточена на инвариантных ьзюгествах ;яъ"сй размерности. Справедлива

Теорена 6. Если действительные части всех, кроме одного, характеристических показателей Г-периодического решения у системы дифференциальных уравнений к = ГС*Э с инвариантной мерой ^ отрицательны, тс в некоторой окрестности решения у мэра сосредоточена на у.

Следствие. Если действительные части характеристических показателей периодического решения у возмущенной системы уравнений С13 отрицательны, то на уровне энергии, содержащем решение у, не существует абсолютно непрерывной инвариантной меры.

Утверждения теоремы 6 и следствия справедливы танго и в том случае, если действительные части характеристических показателей периодического решения положительны. »

Результаты перечисленных теорем исполь'&ваны для исследования периодических решений слабо кеголоношоЗ спстеш. Условия теоремы 1 сводятся к следуюпуш:

аДи°,Ар0) = 0, ^аП0,^./3°Э + * 0,

гс<а,аа>,^а + /&3

зи,13,3

Непротиворечивость этих условий подтверждена примером слабо неголономкой системы, кмевдей при е & 0 не иенее двух иевыроздешшх периодических решений, одно из которых асимптотически устойчиво, а другое неустойчиво.

Показано, что нзоэнергетическая невыроаденнооть имеет, место я а сбаем случае, я. следовательно, для слабо негалономньа систем справедливо заключение теоремы 3.

В последнем параграфа главы исследованы периодические по части переменных решения систем Чаплыгина, близких к шггаграруеиш.

рассмотрена система Чаляыпша с двуия степенями свободы:

I = ц " Сг,у), й = а* + Ьу,

а = аоС(?3 + еа^дЗ ... , Ь = ЬвС<?) + е^С?) + ... ,

* 0.

в

схЗладавтая при с = 0 приводящем множителем В этом случае

уравнения, описывающие изменение позиционных координат у, могут быть записаны в форме Чаплыгина:

^аЕ/ай - а£/а* = д^аЕ/ау) - аГ/ау = -*5;

£С = £.($,<?,а* + йу,«),

5 = #./#5 саа/ау - аь/а*) = 5а+ с5(+ ... .

При е = 0 после замены времени йг = /Ш, получается гамильтонова система. В предположения, что она вполне интегрируема, уравнения движения возмущенной системы записаны в переменных действие-угол:

^г = е/и,р) + ... , ^ = шСП * ед<.1,р) * ... .

Периодическим решениям этих уравнений отвечает движения системы Чаплыгина, периодические по позиционным координатам. Показано, что свойства этих решений аналогичны свойствам периодических решений слабо неголономних систем. Основные отличия таковы:

1. Периоды решений возмущенной и невозмущенной систем будут, вообще говоря, различны, поскольку замена времени различается для разных траекторий.

2. Характеристические показатели раскладываются в ряды по Уё. Два показателя всегда равны нулю, а два других в первом приближении по V? либо чисто мнимые, либо действительные и имеют разный знак. Поэтому первое приближение С по -»75 позволяет доказывать только неустойчивость.

Во второй главе диссертации исследована устойчивость стационарных движений однородного тяжелого шара по абсолютно шероховатой поверхности вращения. Раусом были получены условия устойчивости этих движений в линейном приближении, которое не позволяет получить достаточные условия устойчивости, так как спектр матрицы линеаризованных уравнений движения чисто мнимый. Основные результаты главы состоят'в доказательстве достаточности условий Рауса и в исследовании топологии' интегральных многообразий в окрестности устойчивых периодических движений шара.

Множество Э всех возможных положений центра шара является поверхностью вращения с вертикальной осью I. Положение центра шара О на 5 характеризуется географическими координатами & и р. Широта равна углу между внутренней нормалью к поверхности Б я плоскостью, ортогональной к прямой I. Долгота <р — это угол, образованный двумя проходящими через I плоскостями, одна из которых фиксирована, а другая содержит точку 0.

Фазовое пространство задачи имеет структуру прямого произведения ТвхБ'Су) х®, где у характеризует вращение шара вокруг нормали к поверхности 5. В силу симметрии угол у не входит ж правые части уравнения движения.

В качестве координат в пятимерном редуцированном фазовом пространстве ТБуХ задачи Рауса выбраны р, в, и, и = аг, где а, и я г — радиус шара, горизонтальная составляющая скорости центра вара а нормальная составлявшая угловой скорости вара соответственно.

Уравнения движения записаны в переменных <р, V, и:

сКсСММ и* 2ии> 5

-+ -*-со5в- —

сН Ь СЮ 7ЬСМ 7

. сшиб г .

и--* - -

Ы&) 1

. сСЮи»

ш « а&--С08&, С 2)

6СМ

• __и

* " ШГ ■

Здесь ЬСМ и еСМ обозначают расстояние от точки О до оси I и радиус кривизны меридиана поверхности 5. Стационарный периодическим движениям

О = а, ? = «I, г = п

шара соответствует положения равновесия

& = а, & = 0, и = ЬСсОи, и = ш (3)

отделившихся уравнения С23, при этом а, и и т. удовлетворяет условии

7Ъ(аЗшаз1па = 2шсоъа - Здссва.

Если положение равновесия СЗ) устойчиво, то соответствувщее стационарное периодическое движение будет орбитально устойчиво.

уравнения (2) иыеьт три независимых первых интеграла: интеграл энергии и два интеграла вида

ц = к и СМ + к и СМ, « » к и СМ ♦ к и СМ,

II ж 2 ' II в а '

задаваемых общий решением системы линейных дифференциальных уравнений

- ССМ51П» „ _ ?ы/7 ¿и - и . сСМсозУ).,

т —шж~ и 2и,/7> ш - I1 ьиг г-

В случае движения шара по сфере и по параболоиду вращения первые интегралы выражаются через элементарные функции и найдены Раусом.

Существование первых интегралов позволило свести задачу об устойчивости стационарных движений к решении более простой задачи об устойчивости положения равновесия системы с одной степенью свободы.

Теорена 2. Стационарное периодическое решение & = а, и = т, (> : и! будет устойчиво по отношению к переменным 0-, ё, и, ш, если ЬСаЭ * 0 и выполнено необходимое условие устойчивости Рауса.

В последнем параграфе второй главы исследована топология интегральных многообразий в окрестности устойчивых стационарных движений. Доказана

Теорена 3. Интегральные многообразия задачи Рауса в окрестности устойчивого стационарного движения являются двумерными торами. На этих торах существуют угловые координаты х, у, в которых уравнения движения записываются в виде * = со|Г у = ы^.

Показано, что в случае общего положения отношение частот непостоянно. Следовательно, в окрестности устойчивого стационарного движения существует бесконечно много периодических нестационарных движений.

В третьей главе исследовано влияние вязкого трения на характер движения шара. Эта задача представляет интерес, так как неголономные связи в задаче о качении твердого тела по абсолютно шероховатой поверхности могут быть реализованы силами вязкого трения в точке контакта при стремлении коэффициента диссипации к бесконечности. Аналогичное исследование в задаче о движении твердого тела по горизонтальной плоскости проведено в работах А. В. Каралетяна.

Рассмотрено два варианта:

1. В точке контакта присутствует вязкое трение верчения, а шар движется без проскальзывания;

2. Шар движется с проскальзыванием, ь точке контакта приложены сила вязкого трения и момент сил вязкого трения верчения.

В первом случае при д = 0 стационарные движения возможны только по экватору & = 0, а при р > 0 — только по параллелям & = а, лежащим ниже экватора. Во втором случае стационарные движения возможны лишь при д = 0. Центр шара движется по экватору поверхности 5, а шар катится без проскальзывания. В обоих случаях семейство стационарных движений получается однопараметрическое, а матрица линеаризованных уравнений движения имеет одно нулевое собственное число.

Показано, что в задаче о качения вара без проскальзывания устойчивость стационарного движения по параллели & = а определяется только геометрией поверхности 5: движение устойчиво относительно перегнанных и, г а асимптотически устойчиво по

г, если радиус кривизны меридиана в точке а больше радиуса кривизны параллели. В противоположной случае стационарное движение будет неустойчиво.

Б задача о движении шара о проскальзыванием стационарныэ движения по экватору & =» 0 будут устойчивы как при сСО) > ЬСО), так а при сСО) < ЬСО), если а последней случао частота вращения вара будет достаточно велика:

7с ШХ + 7Д/2) „а > -2- .

СХ + 5Л/2Н& - с )

О О

Устойчивость стационарных движений шара по переменным г как при движении с проскальзыванием, так и при движении без проскальзывания, будет асимптотическая.

В заключение автор выражает глубсхуа благодарность профессорам Ю.А.Архангельске^ и В.В.Козлову за 'тогочислегашэ обсуждения и егоишшз к работе. Ч.

ОПУБШШШШЕ РАБОТН ПО ТЕ15Е ДИССЕРТАЦЭД

1.Ээнков Д. В. Об асимптотической устойчивости периодических реиенпй уравнений неголоношой шхаеткЯ/'/Вэстн. Мост. ун-та. Матеы. Нехан. 1989. 11 3. 46—50. 2.Эашсов Д. В. Об одной задаче Рауса/УВестя. Моск. ун-та. Матш.

Механ. 1891. Н 3. 87-89. З.Ээнков Д. В. К задаче о движении шара по поверхяоста вращения //Вести. Моск. ун-та. Матеи. Махав. 1891. Н 4. 94 —53.

Подписано к печати 20.01.03, Заказ К 74-3 . Объем 0.73 п. я. Тираж 100 экз.

Типография.НГТУ