Анализ движения автомобиля на основе решения неголономной задачи с неудерживающими связями

Нездеров, Александр Александрович

Анализ движения автомобиля на основе решения неголономной задачи с неудерживающими связями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Нездеров, Александр Александрович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Анализ движения автомобиля на основе решения неголономной задачи с неудерживающими связями»

Автореферат диссертации на тему "Анализ движения автомобиля на основе решения неголономной задачи с неудерживающими связями"

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

НЕЗДЕРОВ Александр Александрович

АНАЛИЗ ДВИЖЕНИЯ АВТОМОБИЛЯ НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ НЕГОЛОНОМНОЙ ЗАДАЧИ С НЕУДЕРЖИВАЮЩИМИ СВЯЗЯМИ

Специальность 01.02.01 - Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1 7 № 2012

2012

005044175

Работа выполнена на кафедре теоретической и прикладной механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор ЮШКОВ Михаил Петрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор ЛЕСТЕВ Александр Михайлович (Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения)

кандидат физико-математических наук, доцент ЕРШОВ Виктор Иванович (Тутаевский филиал ФГБОУ ВПО «РГАТА имени П.А. Соловьева»)

Ведущая организация: Балтийский государственный технический университет «Военмех» им. Д.Ф. Устинова

Защита состоится 31 мая 2012 г. в 16 часов на заседании совета Д 212.232.30 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., д. 28, ауд. 405.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, С.-Петербург, Университетская набережная, д. 7/9.

Автореферат разослан "......"...........................2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор

Е.В. Кустова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы и ее цель. Предлагаемая работа посвящена созданию математической модели движения автомобиля как механической системы с освобождающими связями. Решение различных проблем, связанных с эксплуатацией автомобиля, является актуальной задачей. В том числе, весьма существенными являются вопросы, связанные с его поведением в аварийных ситуациях, возникающих именно при освобождении от связей. Решение данных проблем, основанное на методах аналитической механики, имеет важное практическое значение, поэтому тема диссертации актуальна.

Научная новизна. Для создания математической модели движения автомобиля в сложных условиях на основе применения методов аналитической механики требуется изложение основ этой научной дисциплины. В работе дается авторская методическая разработка основных положений аналитической механики в свете подхода к этому вопросу, изложенному в монографии С.А. Зегжды, Ш.Х. Солтаханова, М.П.Юшкова «Неголономная механика. Теория и приложения» (М.: Наука. 2009. 344 с). При этом большое внимание уделяется вопросам трактовки понятия возможного перемещения в неголономных системах. На основе критического анализа научной переписки между ведущими учеными Советского Союза H.H. Поляховым и В.В.Румянцевым проводится исследование единства и взаимосвязи вариационных принципов механики. Изложенный материал используется для исследования математических моделей движения автомобиля в продольном движении при его разгоне с учетом возможности пробуксовки ведущих колес и для изучения аварийной ситуации при боковом движении автомобиля с учетом возможности его заноса.

Результаты, выносимые на защиту:

1. Исследована взаимосвязь и установлено единство дифференциальных вариационных принципов механики. Показано, что определение возможных перемещений в соответствии с постулатами Четаева эквивалентно определению возможных скоростей по Журдепу. Доказана справедливость утверждения Н.Н.Поляхова, согласно которому принципы «более низшего порядка» получаются как следствие из принципов «более высокого порядка».

2. Впервые в научный оборот введена научная переписка H.H. Поляхова и В.В.Румянцева. Эта переписка позволяет проследить за тем, как устанавливалась векторная структура реакций неголономных связей, как формулировалось понятие идеальности неголономных связей, как выяснялась иерархия дифференциальных вариационных принципов механики. Переписка помогает исследовать взаимосвязь и единство дифференциальных вариационных принципов механики.

3. Исследовано продольное движение автомобиля при разгоне с учетом возможности пробуксовки ведущих колес на основе решения голономной задачи с освобождающей связью. Изучен процесс освобождения от связи и ее восстановление, сопровождающееся ударом. Рассмотрены движения переднеприводных и заднеприводных автомобилей.

4. Изучено движение автомобиля на повороте с возможностью его заноса как неголономной задачи с освобождающими связями. Рассмотрены случаи освобождения от связей и их восстановления. Исследовано движение переднеприводных и заднеприводных автомобилей.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным приме-

пением к решению поставленных задач классических методов аналитической механики, математического анализа, теории дифференциальных уравнений и дифференциальной геометрии. Результаты, относящиеся к решению конкретных задач, согласуются с выводами других авторов и с экспериментальными данными.

Теоретическое и практическое значение. Рассмотрены некоторые вопросы аналитической механики и исследованы на основе методов аналитической механики математические модели продольного движения автомобиля при его разгоне с возможностью учета пробуксовки ведущих колес и его бокового движения с возможностью учета его заноса. Эти модачи основаны на изучении движения механической системы при учете возможности освобождения от связей, наложенных на ее движение.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на международной научпой конференции «7.Magdeburger Maschincnbau-Tage» (2005 г.), па международных научных конференциях по механике «Четвертые Поляховские чтения» (2006 г.), «Пятые Поляховские чтения» (2009 г.), «Шестые Поляховские чтения», (2012 г.), на международной конференция «Седьмые Окуневские чтения» (2011 г.), на заседании секции теоретической механики им. H.H. Поляхова Санкт-Петербургского Дома ученых РАН (2007 г.), на заседании кафедры теоретической и прикладной механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета (2006, 2011гг.).

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 15 научных публикациях. Среди научных работ [1-3], опубликованных в рекомендованном ВАК'ом журнале, статья [2] выполнена без соавторов. В совместных работах [1,3], выполненных в соавторстве с М.П. Юшковым, основные результаты получены автором, соавтору принадлежит постановка рассматриваемых задач. В работах [7, 9] М.П. Юшкову принадлежит постановка задачи, в работе [6] Е.М. Носова проводила часть численных расчетов, в работах [14, 15) А.Б.Бячков участвовал в постановке задачи, а С.А. Панова и Ю.А. Белоусов провели некоторые численные расчеты.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из краткой характеристики работы, введения, трех частей, заключения и списка литературы. Число иллюстраций равно 50. Общий объем работы составляет 174 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении кратко излагаются основные этапы развития неголономной механики и основные вопросы изучения движения автомобиля, приводится краткий обзор соответствующей литературы. Подчеркивается, что многие вопросы исследования движения автомобиля совпадают с современными задачами изучения движения мобильных роботов.

В части I предлагается авторская методическая разработка основных положений неголономной механики. Для описания несвободного движения системы материальных точек вводится понятие изображающей точки по Герцу. При наложении идеальных голономных связей выведены уравнения Лагранжа второго рода и первого рода для криволинейных координат. Подчеркивается, что распространением этих уравнений для описания движения механической системы с s степенями свободы фактически вводится дополнительный постулат физики. Итак, считаем, что движение подобпой свободной механической системы описывается уравнениями Лаграпжа

второго рода (М - масса всей системы):

¿ат зг_ __ (0) (1) (2) _

Лдд" + + ~

м ,, м .„.т М (1.1)

= у 900 + Мдоа Я + у ЭотЧ Ч = у Яаач V,

ст,г = м, а,/3 = М, Q0 = t, 9° = 1.

Введем в рассмотрение абстрактное многообразие V всех мыслимых положений изучаемой механической системы, которые она может иметь в данный момент времени Зафиксируем некоторую точку с координатами д", <7 = 1,8, этого многообразия. Предположим, что старые и новые координаты этой точки выражаются друг через друга по формулам

= 9" (г,?.), «? = №<?), Р,<7=М. (1-2)

Пусть Т (д, V) является касательным пространством к абстрактному многообразию V. Это пространство состоит из касательных векторов

5у = <5<г"е„ = <5д?е;, р,а = М, (1.3)

эвклидову структуру в нем можно ввести, используя инвариантность относительно систем отсчета квадрата длины вектора (1.3):

(бу)2 = 9,т8д'6дт =д'с.т.5д?5д1', <т,т,о%т' = М- (1.4)

В формуле (1.4) коэффициенты д„т и д*„.т, являются элементами положительно определенной квадратичной формы

В свою очередь инвариантность элементарной работы позволяет ее записать в виде

5А = Я„6д" = Я'р5д!:. (1.5)

Если здесь коэффициенты <5„ и С^'^ рассматривать как ковариантные компоненты вектора

у = <э„е* = д;е;, (1.6)

то элементарную работу (1.5) можно переписать в виде 6А = У'<5у. Векторы е„, е*, и е", е? (ст,р = 1, я) в формулах (1.3) и (1.6) можно рассматривать как векторы взаимных базисов в касательном пространстве Т(<г,\') при использовании криволинейных координат (1.2).

В результате получаем возможность представить уравнения Лагранжа второго рода (1.1) в касательном пространстве Т(<?, V) в виде одного векторного уравнения

МЫ = V, = (д„Г + Г„,а/} ГдОу = (¡Г + Г^ «Р^К ,

1 (ддт/3 ддта ддаЛ __ — (1.7)

При наложении на движение механической системы голономных или неголономных связей согласно принципу освобождае.мости от связей получим векторное уравнение

ЛЛУ = У + В.. (1.8)

Рис. 1.1. Разложение ускорения системы при наличии неголономной связи

Для выявления структуры реакции связей R записываются линейные неголономные связи второго порядка

4x(t,q,q,fi=a?"(t,q,q)r + <ft"(t,q,q) = 0, 1 = я-к, х=1,~к. (1.9)

Для построения теории движения неголономных систем в рассмотрение вводятся векторы

W = q°e,, Y = Y-MT'aß^qßelr. (1.10)

Уравпения связей (1.9) формируют "if-пространство" размерности к с базисом

я,/;* ___

е!+" = V V = Sr- е", х=\ ,к, <т = 1 ,s. (1.11)

aq"

Обобщенный оператор V" был введен H.H. Поляховьш.

Показывается, что при выборе реакции из условия ее минимальности по величине реакция идеальных связей представляется следующим образом:

Ъ. = , x=ljc. (1.12)

Тогда уравнение Ньютона принимает вид

AfW = Y + А„е1+Х. (1.13)

Формулы (1.12) и (1.13) для случая s = 2 и к = 1 поясняются рисунком 1.1.

Из уравпения (1.13) получены обобщенные уравнения Маджи и обобщенные уравнения Лагранжа первого рода для неголономных связей второго порядка. При него-лономных связях первого порядка они соответственно принимают вид классических уравпепий Маджи и уравнений Лагранжа второго рода с множителями. С использованием этих уравнений выведены принципы Даламбера-Лагранжа, Суслова-Журдена и Гаусса.

Большое внимание в работе уделено обсуждению единства и взаимосвязи дифференциальных вариационных принципоы механики. В этом большую помощь оказала научная переписка ведущих ученых Советского Союза в области аналитической механики Н.Н.Поляхова и В.В.Румянцева, сохранившаяся в архиве H.H.Поляхова.

Согласно взглядам H.H. Поляхова, опиравшегося на вариирование по Журдеиу, можно считать наиболее общим принципом неголономной механики принцип Гаусса, справедливый и для линейных неголономных связей второго порядка. Из него

как следствие получаются принципы «более низкого порядка» Суслова-Журдена и Даламбера-Лагранжа.

При историческом пути развития вариационных принципов, справедливость которого отстаивал В.В. Румянцев, их формулирование требовало аксиоматического определения «возможных перемещений». Показано, что эта аксиоматика фактически совпадает с понятием возможных скоростей и возможных ускорений.

В диссертации подчеркивается, что оба подхода оказались справедливыми, в определенном смысле эквивалентными, плодотворными и удачно дополняющими друг друга.

В части II разрабатываются две модели движения автомобиля, основанные на применении методов аналитической механики, при этом материал разбит па две главы.

В главе 1 рассматривается продольное движение автомобиля с ускорением как движение голономной системы с освобождающей связью. Учитывается возможность проскальзывания ведущих колес. Колеса считаются абсолютно твердыми недефор-мируемыми. На рис. II.1 представлена расчетная схема для переднеприводного автомобиля. Он состоит из корпуса на рессорах с амортизаторами, в которых учитываются силы вязкого сопротивления, и переднего (1) и заднего (2) двойных колес. М, М\, М? - массы корпуса, передних и задних колес; J, J1, ^ - их моменты инерции относительно центров масс; X: XI > Хг ~ коэффициенты сил вязкого сопротивления, действующих соответственно на корпус и в амортизаторах; а, С2 - коэффициенты жесткости пружин передних и задних колес; к", А:"ин - статический и динамический коэффициенты силы трения Кулона для ведущих передних колес; г1, Г2 - коэффициенты трения качения для передних и задних колес; Л2 - радиусы соответствующих колес.

На ведущие колеса со стороны двигателя действует движущий момент 0ДВ, задаваемый как функция времени. Условие качения без скольжения можно записать в виде дифференциальной линейной связи первого порядка

¿ = (2.1)

Связь (2.1) является неудерживающей, автомобиль освобождается от нее, когда наступает проскальзывание ведущих колес, при этом вместо условия (2.1) начинает

выполняться неравенство ф\ > ¿/П1. При разгоне автомобиля противоположного знака в нем быть не может, поэтому связь оказывается односторонней. Проскальзывание возникает при достижении силой горизонтальной реакции дороги на ведущие колеса автомобиля некоторого «предельного» значения, связанного со статической силой трения Кулона.

Пусть связь (2.1) выполняется. Система уравнений Лагранжа второго рода при движении переднеприводного автомобиля без проскальзывания:

му(0 = -(с1 + с2)у(<) + (с212 - С!£!)¥>(*) -

- (XI + ХгЖ4) + (Х2^2 - Х\1л)Ф(1) , ]ф[г) = 0ДВ - - с2ь2)у{г) - (с!ь\ + с2ь\)ф) -

- (хА - Х2Ь2)Ш - (х\Ц + хЛ1Ш) ■

Первое слагаемое правой части третьего уравнения системы (2.2) описывает влияние движущего момента на корпус. Учет влияния этого момента имеет принципиальное значение, к сожалению, в ряде исследований его не учитывают.

При движении с проскальзыванием необходимо введение новой «самостоятельной» обобщенной координаты <^1, характеризующей угол поворота ведущих передних колес. Система уравнений Лагранжа второго рода приобретает вид:

+ йг ~С1кГ)у(г) ~ (с+^ ~

- (*'*?" - ¥)т - (Х1"Г£1 + ф{г)' Му{<) = ~(С1 + С2)у({] + (С2^2 - С^)^) -

- (XI + ХгЖг) + (Х2^2 - хЛЖО, Щг) = {с2ь - с1^1)у(г) - + с2^)р(г) +

+ (Х2^2 - хАЖ<) - + Х2Ь1)¥>(<) + 0ДВ ,

■ШО = бдв - (м, + (п + +

+ с,(г, + ьг'юш + + xi(г, + кгп 1)(у + ич>) ■

(2.3)

Запишем динамическое условие отсутствия проскальзывания:

вдв -rlN1-Jl— = FRi < kfNiRi. (2.4)

Системой уравнений (2.2) можно пользоваться до тех пор, пока найденные из нее величины N\ их удовлетворяют неравенству (2.4). Если в некоторый момент времени ii неравенство (2.4) нарушилось, и проскальзывание передних колес началось, то следует перейти к интегрированию системы (2.3). Теперь на ведущие колеса действует динамическая сила трения Кулона kf"Ni. Наложенная на ведущие колеса неголономная связь является неудерживающей и односторонней. Поэтому если при интегрировании системы (2.3) в некоторый момент времени t2 выполнится равенство ф\ = x/Ri, то это будет означать окончание проскальзывания ведущих колес и восстановление связи (2.1). Начиная с момента времени t2 следует перейти к интегрированию системы дифференциальных уравнений (2.2).

Пример решения задачи. Рассмотрим разгон гипотетического переднеприводного легкового автомобиля. Пусть рассматриваемый промежуток времени равен 50 секундам. В начальный момент времени (¿о = 0) автомобиль неподвижен и начинает разгоняться под действием движущего момента, заданного в Н-м (время t измеряется в секундах):

(7Г t

750sin—, 37,

37т (2'5)

750sin—, i >37, 40

М = 955 кг; J = 1394.2 кг-м2; х = Ю Н-с-м'1; Lx = 1.17 м; Ь2 = 1.307 м; Mi = М2 = 14 кг; J, = 21.52 кг-м2; J2 = 1.076 кг-м2; Ri = R2 = 0.392 м; Cl = с2 = 20000 Н/м; Xl = Х2 = Ю00 Н-с-мГ1; п = г2 = 0.0024 м; к? = 0.3; ftf" = 0.25; д = 9.8 м/с2.

Учитываются переходы от системы (2.2) к системе (2.3), а затем снова к системе (2.2). Они поясняются с помощью рис. II.2, на котором сплошной линией показаны статическая FTC* = k"Nt и динамическая F™" = fcf""Ni силы трения Кулона, а штрихованной лшшей - движущая сила трения

От момента времени t0 = 0 до t\ = 14.004 с движущая сила трения возрастает, однако неравенство (2.4) выполняется. Поэтому ведется интегрирование системы (2.2). Начиная с момента времени 11 наступает движение с проскальзыванием. Оно описывается системой (2.3), начальные данные для которой находятся из значений функций, являвшихся решением системы (2.2) при ti = 14.004 с. При интегрировании системы (2.3) определяется момент времени t2 = 38.747 с, когда мгновенно накладывается связь (2.1), и наступает возобновление движения без проскальзывания. Оно описывается системой (2.2), начальные данные для которой находятся из значений функций, являвшихся решением системы (2.3) при t2 = 38.747 с. Дальнейшая проверка условия (2.4) позволяет сделать вывод о том, что при законе изменения движущего момента (2.5) вплоть до 50-й секунды нового проскальзывания ведущих колес не возникает.

о 10 20 30 40 50

Рис. II.2. Силы, действующие на ведущие колеса автомобиля

Переход при = 38.747 с от системы (2.3) к системе (2.2), обусловленный мгновенным наложением связи (2.1), сопровождается скачком ускорения, который связан с уменьшением величины силы сцепления ведущих колес с дорогой скачком от значения до величины ^д,,. Данный скачок силы сцепления ведущих колес с дорогой является интересной особенностью разгона автомобиля при наличии проскальзывания ведущих колес.

Показано, что с точки зрения характеристик разгона заднеприводный автомобиль имеет преимущество по сравнению переднеприводпым.

В ГЛАВЕ 2 рассматривается боковое движение автомобиля на повороте при учете возможности заноса его осей. Движение в горизонтальной плоскости будем изучать относительно неподвижной системы координат (см. рис. II.3). Положение автомобиля будем задавать обобщенными координатами q1 = (р, д2 = 93 = Vс- Угол 9 является заданной функцией времени в = 0(4).

Рис. II.3. Схема движения автомобиля на повороте На движение автомобиля наложены две неголономные связи ipl = — ¿c sin V + f¡c cos tp - hp = 0, ip2 = + 0) + J]cCos(ip + 0) + i^cosS = 0,

(2.7)

(2.8)

выражающие отсутствие боковых скольжений задней и передней осей экипажа. Экипаж приводится в движение силой -Fi(í), действующей вдоль его продольной оси Сх, учитывается сила сопротивления F2(vq), действующая в противоположную сторону скорости Ve центра масс С корпуса.

При выполнении связей (2.7) и (2.8) уравнение Маджи имеет вид

J*ф + 329 + M2l\{~kcsin ip + rjccos tp) - FJi sin 9+

+ [МЧс - M2/i(<¿sin V + Ф2 eos v) - Fx(t) cos(</j + 9) + F2(uc)íc/"c)]x

X [?1 eos tp eos 9 +l2 cos(tp + 0)]/sin 9+ (2.9)

+ [Afije + Мгк(Ф cosy- ф2 sin tp) - Fi(t)sm(<p + в) + F2{vc)fic/vc)]x x [íi sin tp eos 9 + /2sin(ip + 9)}/sm9 = 0.

Если заданы начальные условия и аналитические представления функций F\(t), Fi(vc), то после численного интегрирования нелинейной системы дифференциальных уравнений (2.7), (2.8), (2.9) найдем закон движения автомобиля <р = ¡p(t), = £c(t)i Vc = Vc(t)- Теперь из второй группы уравпепий Маджи

Al = [Affe - M2h(tpsmip + ф2 costp) - í\(í)cos(^ + 9)+F2(vc)Zc/vc)]x

X cos (tp + 9)/sin 9-—[Afije + МгЦф cas tp - ф2 sin tp) - F^t) sin(p + 9)+F2(vc)r¡c/«c)]x

x eos tpj sin0,

(2.10)

(2.11)

Л2 = [M'^c - М21\(Ф sin tp + ф2 costp) - F¡(t)cos(tp + e)+F2(vc)tc/vc)}x

x sin(i/> + 0)/sin(?--[M'ijc + М21\(фcos<p — <¿2sin<p) - Fj(í)sin(^ + 9)+F2[vc)ric/vc)]x

x sin tp/ sin в,

после подстановки в них полученного закона движения автомобиля найдем закон изменения обобщенных реакций A¡ = A¡(t), i = 1,2. Эти функции позволяют исследовать возможность выполнения неголономных связей (2.7), (2.8). Если силы реакций окажутся больше сил, обеспечиваемых силами трения Кулона, то эти связи не будут выполняться, и автомобиль начнет скользить вдоль осей, на которых укреплены колеса.

В работе рассмотрен принципиально важный вопрос о связи обобщенной реакции неголономной связи с силой реакции и показано, что обобщенная реакция А равна проекции силы реакции связи R на направление вектора, вдоль которого связью запрещено боковое движение. Для векторов реакций связей получены формулы

RB = A,j, Ял = Л2 (-i sin 9 cos 9), (2.12)

где í и j являются ортами системы Сху. При нарушении неголономных связей возникающие при этом силы трения могут быть представлены в виде

R^ = -A7sign(<^)j, R^ = —A2psign(<p2)(—i sin 0 + j cos 9).

Рассмотрим теперь движение автомобиля на повороте с неудерживающи-

ми связями. Динамическими условиями выполнения кинематических связей (2.7),

(2.8) являются требования, чтобы силы взаимодействия колес с дорогой не превосходили соответствующих сил трения Кулона. Для ведомых задних колес это выражается неравенством

|Л!|< = (2.13)

При рассмотрении ведущих передних колес следует учесть, что величина силы взаимодействия этих колес с дорогой Рд определяется векторной суммой движущей силы Гх и боковой реакции Ид, задаваемой формулой (2.12) (см. рис. Н.4,а). Для отсутствия бокового скольжения передней оси должно выполняться условие:

= х/(^)2 + (Л2)2 < ^2тр = МЬ. (2.14)

В формулах (2.13) и (2.14) ки к2 - силы трения и коэффициенты трения

между соответствующими колесами и дорогой, Л^, ЛГ2 - нормальные давления на оси. При ^ > р связь становится неудерживающей и имеем

(^л)2 = ее (к2М2)2 = (*\)2 + (Л?)» . (2.15)

Рис. II.4. Силы, действующие на передние ведущие колеса (а).

Пояснение возможных типов движения автомобиля (б)

Возможные типы движения автомобиля. На рис. 11.4,6 в фазовом пространстве переменных qa,q",<j = 1,3, условно изображены две гиперповерхности. Первая соответствует связи (2.7), а вторая - связи (2.8). При движении без проскальзывания (1-ый тип движения) точка фазового пространства находится на жирной линии I, при П-ом типе движения заносит заднюю ось атомобиля, при Ш-ем типе движения заносит переднюю ось, при IV-ом типе - заносит обе оси, и изображающая точка находится вне гиперповерхностей. Из каждого типа движения изображающая точка может перейти в любой другой тип движения. Область G\ иллюстрирует мгновенную остановку заднего моста и его движение в обратную сторону при П-ом типе движения, а область G2 - возможность восстановления связи (р1 = 0 и возобновление 1-го типа движения.

В качестве примера приведем уравнения движения для Ill-го типа движения:

J'ip + J26 + M2h (-fe sin ip + ijc cos íp)-Fili sin в - Ат2р1г cos в+

+[M'rjc + M2li(фcos <р-ф2 sin <p)-Fí(t) sin(<p + в) + F2(vc)f¡c/vc)- (2.16)

—A^ cos(<p + 0)] x/2/cosp = 0, 12

(2.17)

(2.18)

M'lc - M2/i(y5sin <¿5 + ф2 cos<p)-F\(t) cos(v3 + в) + F2(vc)Íchc)+ +Л7 sin(<p + в) + tg(v> + б)[М*т}с + (<pcos ip - ф2 sinip)--Fi(í) sin(¡p + e)+F2(vc)r¡c/vc) ~ Aj"cos(<¿ + в)] = O, Ai = [M'ijc + M2li(<peos tp - i¿2sin^)-

—F\(¿) sin(v? + 0) + F2(vc)fic/vc) - AlPcos{<p + 0)]/cos(<¿>). Для получения закона движения автомобиля необходимо интегрировать совместно уравнение связи (2.7) и уравнения (2.16) и (2.17), а выражение (2.18) дает обобщенную реакцию единственной оставшейся связи. Если при полученном значении Ai выполняется динамическое условие (2.13) осуществления связи (2.7), то продолжается Ш-ий тип движения. Если же условие (2.13) нарушится, то автомобиль перейдет к IV-му типу движения. Одновременно с проверкой неравенства (2.13) следует непрерывно следить за тем, не начнется ли выполнение связи ¡р2 = 0, после чего автомобиль переходит к 1-му типу движения.

Приведем расчет движения конкретного автомобиля на повороте. Рассмотрим движение гипотетического легкового малолитражного заднеприводного автомобиля, имеющего Mi = 1000 кг; М2 = 110 кг; Ji = 1500 кг-м2; J2 = 30 гсг-л«2;

= 1.2 м; 12 = 1-2 м; = 0.4; к2тр = 0.4 при силовых характеристиках

F2(vc) = k2vc Я; к2 = 100 Нс-лС1. Вначале автомобиль движется прямолинейно в течение восьми секунд, причем iр = тт/6, F\{t) = 2001. После восьми секунд водитель начинает поворачивать руль автомобиля на угол в = тт(t — 8)/8, при этом F,(í) = 1600. По графикам рис. II.5 видно, что при ít = 9.5147, 9(ti) = 0.5948 нарушается условие выполнения связи (2.8). Поэтому при 8 < t < 9.5147 автомобиль совершает 1-ый тип движения, а после ti = 9.5147 переходит к Ш-му типу движения.

2400

Рис. II.5. Возникновение Ш-го типа движения

После наступления Ш-го типа движения водитель пытается устранить боковой занос, полагая Fi = 0 и задавая закон в = -10(i-ii) + #i. Как видно из рис. II.6, при этом движении сила Fa не превышает силу трения в промежутке времени 9.5147 < t < 13, т. е. динамическое условие осуществления связи (2.7) выполняется. Согласно рис. II.6 при ¿2 = 9.8415 начинает выполняться условие ц? = 0, при этом величина реакции связи |Л2|, как показывают вычисления, становится близкой к силе трения колес с дорогой, и передний мост перестает совершать боковые движения. Пусть теперь при t2 < t < 14 движущая сила изменяется по закону Ft = 200(i —i2)/(2 —f2). В этом случае выполняются динамические условия выполнения связей, и автомобиль совершает 1-ый тип движения. На рис. 11.7 представлены графики функций на всем промежутке времени исследования движения автомобиля.

Рис. II.6. Возвращение к 1-му типу движения

Показано, что с точки зрения безопасности движения на повороте переднеприводной автомобиль предпочтительнее.

В конце главы 2 обсуждается рациональный выбор квазискоростей.

8 10 12 14

Чс

Часть III диссертации содержит приложения, касающиеся некоторых вопросов, изложенных в предыдущем материале диссертации.

Приложение Л посвящено нахождению ковариантных компонент вектора реакции при использовании базисов исходной криволинейной системы координат q = (q\...,q°).

В Приложении В дается краткий критический анализ недостаточно известных и недостаточно оценепных по их научному значению трудов норвежского учепого Л. Юнсена. Л. Юнсен получил целый ряд первостепенных результатов в неголоном-ной механике: он независимо от других авторов и одним из первых написал условия типа Четаева, записал «расширенную» форму принципа Даламбера-Лагранжа, получил основные формы уравнений движения материальных систем при наличии нелинейных неголономных связей. Для нас особенно интересно выделение Л. Юнсеном бесконечно-малого элемента плоскости, перпендикулярного единичной нормали п, задаваемой уравнением нелинейной неголономной связи. H.H. Поляхов завершил

идею Л.Юнссиа относительно вектора п и ввел в рассмотрение обобщенный оператор Гамильтона.

В Приложении С рассматривается научная переписка между H.H. Поляховым и В.В. Румянцевым. Приводятся отсканированные письма этих ученых, сохранившиеся в архиве H.H. Поляхова. Критический анализ переписки позволил исследовать в части I единство и взаимосвязь дифференциальных вариационных принципов механики.

В Приложении D изучается возможность плавного изменения между значениями статического и динамического коэффициентов трения при учете начала и окончания пробуксовки ведущих колес автомобиля. Это позволяет устранить скачок сцепной силы в начале этапа проскальзывания ведущих колес автомобиля. В то же время скачок силы при окончании проскальзывания сохраняется, что имеет принципиальное значение, так как связано с восстановлением связи, сопровождаемым ударом.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в представленной работе дается авторская версия некоторых вопросов неголономной механики, базирующаяся на подходе, изложенном в монографии С.А. Зегжда, Ш.Х. Солтаханов, М.П. Юшков «Неголономпая механика. Теория и приложения» (М.: Наука. 2009. 344 с). Приводится подробный вывод вариационных дифференциальных принципов механики и исследуется их взаимосвязь и единство. Здесь большую роль играет научная переписка H.H. Поляхова и В.В. Румянцева, сохранившаяся в архиве H.H. Поляхова. Эта переписка впервые вводится в научный оборот. Дается критический обзор мало известных работ Л. Юнсена по неголономной механике и прослеживстся их влияние на создание H.H. Поляховым обобщенного оператора Гамильтона, имеющего принципиальное значение для описания реакции неголономных связей. В первой части работы получены дифференциальные уравнения движения и выражения реакций связей, наложенных на систему. Они активно используются в дальнейшем при изучении движения автомобиля. Здесь изучаются две математические модели, описывающие продольное и боковое движения автомобиля. Обе они предполагают возможность освобождения от связей, наложенных па движение автомобиля. В результате этого при разгоне автомобиля у ведущих колес удается найти начало и окончание проскальзывания, а при движении на повороте -возможность заноса или передней, или задней, или обеих осей одновременно. Составлены программы для каждой из моделей и приведены результаты расчетов.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОТРАЖЕНО В ОПУБЛИКОВАННЫХ НАУЧНЫХ РАБОТАХ АВТОРА

В журнале, рекомендованном ВАК'ом:

[1] Нездеров A.A., Юшков М.П. Продольное движение автомобиля с ускорением // Вести. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2006. Вып. 2. С. 118-124.

[2] Нездеров A.A. Движение переднеприводного автомобиля на повороте // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2007. Вып. 2. С. 134-139.

[3] Нездеров A.A., Юшков М.П. Взаимосвязь и единство дифференциальных вариационных принципов механики // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2010. Сер.1. Вып.1. С.112-126.

В научных работах:

[4] Nezderov A.A. Car straight-line motion with acceleration // 7. Magdeburger Maschinenbau-Tage. Magdeburg, 11-12. Oktober 2005. Tagunsband. P. 169-176.

[5] Нездеров A.A. О движении автомобиля па повороте // Тезисы докладов Международной научной конференции по механике "Четвертые Подяховские чтения". СПб, 7—10 февраля 2006 г. СПб: Издательство "ВВМ". 2006. С. 68.

[6] Нездеров A.A., Носова Е.М. К вопросу о движении автомобиля на повороте // Тезисы докладов Международной конференции "Пятые Окуневские чтения". СПб, 26—30 июня 2006. С. 23.

[7] Нездеров A.A., Юшков М.П. О взаимосвязи принципа Суслова-Журдена и обобщенного принципа Даламбера-Лагранжа // Междунар. научн. конференция по механике "Пятые Поляховские чтения", С.-Петербург, 3-6 февраля 2009 г. СПб: ООО "Пантон". 2009. С.52.

[8] Нездеров A.A. О работах Л. Юнсена до иеголономной механике // Пятые Поляховские чтения: Избранные труды Международной научной конференции по механике. С.-Петербург, Россия, 3-6 февраля 2009 г. СПб: НИИХ СПбГУ. 2009. С.423-428.

[9] Нездеров A.A., Юшков М.П. О переписке H.H.Поляхова и В.В.Румянцева относительно понятия возможных перемещений при нелинейных неголономных связях // Пятые Поляховские чтения: Избранные труды Международной научной конференции по механике. С.-Петербург, Россия, 3-6 февраля 2009 г. СПб: НИИХ СПбГУ. 2009. С.429-436.

[10] Нездеров A.A. Продольное движение автомобиля с ускорением как пример движения голономной системы с освобождающей связью // В монографии: С.А. Зегжда, Щ.Х. Солтаханов, М.П. Юшков. Неголономная механика. Теория и приложения. М.: Наука. 2009. С. 43-52.

[11] Нездеров A.A. Движение автомобиля на повороте как неголономная задача с неудерживающими связями //В монографии: С.А.Зегжда, Ш.Х.Солтаханов, М.П.Юшков. Неголономная механика. Теория и приложения. М.: Наука. 2009. С. 272-289.

[12] Nezderov A.A. Longitudinal accelerated motion of a car as an example of motion of a holonomic system with a nonretaining constraint // В монографии: Sh.Kh. Soltakhanov, M.P.Yushkov, S.A. Zegzhda. Mechanics of non-holonomic systems. A New Class of control systems. Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag. 2009. S. 15-24.

[13] Nezderov A.A. The turning movement of a car as a nonholonomic problem with non-retaining constraints // В монографии: Sh.Kh.Soltakhanov, M.P.Yushkov, S.A.Zegzhda. Mechanics of non-holonomic systems. A New Class of control systems. Berlin-Heidelberg: SpringerVerlag. 2009. S. 245-262.

[14] Бячков А.Б., Нездеров A.A., Панова С.А. О возможности безударного описания сцеппой силы при разгоне автомобиля // Междунар. конференция "Седьмые Окуневские чтения", 20-24 июня 2011 г., С.-Петерб., Россия. Материалы докладов // Балт. гос. техн. уп-т. СПб. 2011. С. 39.

[15] Белоусов Ю.А., Бячков А.Б., Нездеров A.A. Учет плавного изменения силы трения Кулона при исследовании разгона автомобиля с проскальзыванием // Междунар. научн. конференция по механике "Шестые Поляховские чтения", 31 января - 3 февраля 2012 г. С.-Петерб., Россия. Тезисы докладов. СПб.: ООО "Пантон". 2012. С.ЗО.

Подписано в печать 20.04.2012 Формат 60x84-^Цифровая Печ. л. 1.0

_Тираж 100 экз._Заказ 21/04_печать_

Отпечатано в типографии «Фалкон Принт» (197101, г. Санкт-Петербург, ул. Большая Пушкарская, д. 54, офис 2)

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Нездеров, Александр Александрович, Санкт-Петербург

61 12-1/927

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Нездеров Александр Александрович

АНАЛИЗ ДВИЖЕНИЯ АВТОМОБИЛЯ НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ НЕГОЛОНОМНОЙ ЗАДАЧИ С НЕУДЕРЖИВАЮЩИМИ СВЯЗЯМИ

01.02.01 — Теоретическая механика

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: докт. физ.-мат. наук, проф. Юшков Михаил Петрович

Санкт-Петербург 2012

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Научная новизна. Для создания математической модели движения автомобиля в сложных условиях на основе применения методов аналитической механики требуется изложение основ этой научной дисциплины. В работе дается авторская методическая разработка основных положений аналитической механики в свете подхода к этому вопросу, изложенному в монографии С.А. Зегжды, Ш.Х. Солтаханова, М.П. Юшкова «Неголономная механика. Теория и приложения» (М.: Наука. 2009. 344 с). При этом большое внимание уделяется вопросам трактовки понятия возможного перемещения в неголономных системах. Для более детального понимания этого вопроса большое значение имеет научная переписка между ведущими учеными Советского Союза H.H.Поляховым и В.В.Румянцевым, сохранившаяся в архиве H.H. Поляхова. Приводится критический анализ этой переписки и на ее основе проводится исследование единства и взаимосвязи вариационных принципов механики. Изложенный материал используется для создания математических моделей движения автомобиля в продольном движении при его разгоне с учетом возможности пробуксовки ведущих колес и для изучения аварийной ситуации при боковом движении автомобиля с учетом возможности его заноса.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением к решению поставленных задач классических методов аналитической механики, математического анализа, теории дифференциальных уравнений и дифференциальной геометрии. Результаты, относящиеся к решению конкретных задач, согласуются с выводами других авторов и с экспериментальными данными.

Теоретическое и практическое значение. Исследованы некоторые вопросы аналитической механики и созданы на основе методов аналитической механики математические модели продольного движения автомобиля при его разгоне с возможностью учета пробуксовки ведущих колес и его бокового движения с возможностью учета его заноса. Эти модели основаны на изучении движения механической системы при учете возможности освобождения от связей, наложенных на ее движение.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на международной научной конференции «7.Magdeburger Maschinenbau-Tage» (2005 г.), на международных научных конференциях по механике «Четвертые Поляховские чтения» (2006 г.), «Пятые Поляховские чтения» (2009 г.), «Шестые Поляховские чтения», (2012 г.), на международной конференция «Седьмые Окуневские чтения» (2011 г.), на заседании секции теоретической механики им. H.H. Поляхова Санкт-Петербургского Дома ученых РАН (2007 г.), на заседании кафедры теоретической и прикладной механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета (2006, 2011гг.).

Объем, структура и краткое содержание диссертации. Диссертационная работа состоит из краткой характеристики работы, введения, трех частей, заключения и списка литературы. Число иллюстраций равно 50. Общий объем работы составляет 174 страницы.

В части I диссертации рассматривается движение системы материальных точек, стесненное неголономными связями, с помощью введения понятия изображающей точки по Герцу, поясняется векторная структура реакции неголономных связей, предложенная H.H. Поляховым, приведены уравнения Маджи и уравнения Лагран-жа второго рода с множителями и соответствующие обобщенные уравнения. Отмечается, что распространение этих уравнений, созданных для системы материальных точек, на случай движения механических систем произвольной структуры с конечным числом степеней свободы фактически является дополнительным постулатом физики. Объясняется оправданность подобного перехода. Приводится векторная запись

уравнений Лагранжа свободной механической системы в касательном пространстве к многообразию всех мыслимых положений ситемы, которые она может иметь в данный момент времени. Показывается, что линейные неголономные связи второго порядка разбивают касательное пространство на прямую сумму двух подпространств. В одном из них находится реакция идеальных неголономных связей, а в другом удается записать уравнения движения системы без множителей Лагранжа. Приводится вывод дифференциальных вариационных принципов механики. Для изучения их взаимосвязи и единства активно используется научная переписка H.H. Поляхова и В.В. Румянцева, сохранившаяся в архиве H.H. Поляхова. Она посвящена обсуждению понятия возможного перемещения и связи принципов между собой. Указанная переписка впервые вводится в научный оборот.

Часть II диссертации посвящена собственно изучению движения автомобиля при возможности освобождения от связей, наложенных на его движение. Эта часть разбита на две главы. В первой главе изучается продольное движение автомобиля при его разгоне. Приводятся динамические условия освобождения от связи и ее восстановления. Определены скачки сцепной силы и ускорений в начале и в конце проскальзывания ведущих колес. Вторая глава посвящена исследованию движения автомобиля на повороте в аварийной ситуации, сопровождающейся его заносом. Это обусловлено возможностью освобождения от неголономных связей, наложенных на движение автомобиля. В обоих типах движения рассматриваются пререднепривод-ные и заднеприводные автомобили. Составлены программы расчета таких движений и приводятся результаты расчетов движения автомобиля.

В части III собраны приложения, касающиеся дополнительных вопросов, связанных с исследованиями, проведенными в предыдущих частях диссертации. Здесь еще раз исследуется вопрос о выборе реакции неголономных связей на основе требования ее минимальности по модулю, при этом обращается внимание на случай, когда связь играет роль программы движения. Дается подробный критический анализ работ норвежского ученого Л. Юнсена, посвященных актуальным для его времени вопросам неголономной механики. Эти работы, опубликованные в норвежских журналах, были недостаточно оценены по достоинству современниками, исключением являлся Г. Гамель. Подробнее, чем в части I, разбирается научная переписка между H.H. Поляховым и В.В. Румянцевым, приводятся соответствующие отсканированные письма, сохранившиеся в архиве H.H. Поляхова. В последнем кратком приложении рассматривается возможность изучения плавного перехода между значениями стати-

ческого и динамического значений коэффициентов трения. В этом случае пропадает скачок в начале проскальзывания ведущих колес автомобиля. В то же время, скачок в конце этапа проскальзывания сохраняется. Это имеет принципиальное значение, ибо связано с восстановлением связи, наложенной на ведущие колеса. Более того, скачок силы даже увеличивается, так как это связано с приближением величины динамического коэффициента трения к его статическому значению при стремлении скорости нижней точки колеса к нулю, что характеризует восстановление связи.

В Заключении формулируются основные научные результаты, выносимые на защиту. Приводится список научных работ автора, отражающих основное содержание диссертации. Список содержит 15 наименований, среди них имеются 3 статьи, опубликованные в рекомендованном ВАК'ом журнале.

Список основной литературы содержит 102 пункта, отражающих 167 наименований научных статей и монографий.

ВВЕДЕНИЕ

Предлагаемая диссертация посвящена изучению движения автомобиля как него-лономной механической системы с освобождающими связями. Поэтому естественно начать Введение с краткого описания развития некоторых вопросов неголономной механики.

Крупные ученые-механики, начиная с И. Ньютона, Л. Эйлера, И. Бернулли, Я. Бернулли, Ж. Даламбера, Ж. Лагранжа, С. Пуассона, занимались задачами о качении твердых тел без проскальзывания, являющихся характерными для движения систем с неголономными связями. Обычно они пользовались теоремами механики и уравнениями Лагранжа второго рода с множителями, записанными для линейных идеальных неголономных связей. Но на рубеже XIX-XX веков появилась тенденция пытаться решать такие типично неголономные задачи с помощью хорошо разработанного аппарата голономной механики. Самой знаменитой ошибкой такого рода стала статья Е. Линделёфа [86], в которой он для решения задачи о перекатывании тела, ограниченного поверхностью вращения, предлагает использовать принцип Гамильтона или уравнения Лагранжа второго рода. Эти уравнения он применяет после записи кинетической энергии, в которой учтены два уравнения связей. Естественно, что полученная таким образом система дифференциальных уравнений оказалась проще истинной и могла быть решена в квадратурах. Аналогичные ошибки допускал и ряд других ученых (напр., К.Нейман, Э.Кречини, Г. Схоутен, П. Моленбрук, Д. Кортевег). Даже один из основателей неголономной механики Л. Больцман не избежал этой участи.

Первыми ошибку Е. Линделёфа заметили Ж. Адамар, А. Фиркандт и С. А. Чаплыгин. Последний сразу же уведомил об этом Е. Линделёфа и 25 октября 1895 г. сделал об этом доклад на заседании отделения физических наук Общества любителей естествознания, антропологии и этнографии. В нем он впервые приводит свои уравнения движения неголономных систем, не содержащие множителей Лагранжа. Через два года он нашел правильное решение задачи Линделёфа и опубликовал результаты в статье [56]. Хотя уравнения Чаплыгина описывают движение лишь определенного

класса механических систем, так называемых «систем Чаплыгина», но практически этот класс охватывал все изучавшиеся системы того времени.

Следует отметить, что фактически одновременно с С.А. Чаплыгиным уравнения без множителей Лагранжа для линейных неголономных связей предложил и Г. Маджи [88]. Именно с помощью этих уравнений в данной диссертации проводится анализ бокового движения автомобиля. Позже уравнения Маджи А. Пшеборский [96] и Г. Гамель [76, 1938 г.]. распространили и на нелинейные неголономные связи.

Работа С.А.Чаплыгина [56] вызвала большой интерес, и, в результате, было предложено большое количество видов уравнений движения неголономных систем без множителей Лагранжа (П. Аппель [62], Л. Больцман [63], Г. Гамель [76, 1904 г.], В.С.Новоселов [36], H.H.Поляхов [44], Ф.Удвадиа и Р.Калаба [99] и др.). Весьма удобной для практического использования явилась матричная форма записи уравнений движения неголономных систем, примененная, напр., в работах [28, 64].

Большое внимание уделялось соответствующим вариационным дифференциальным принципам механики. Желая распространить принцип Даламбера-Лагранжа, справедливый для голономных систем, на неголономные системы, многие авторы стремились дать определение возможных перемещений для неголономных систем. Здесь следует отметить, прежде всего, работы П. Аппеля [61], Дж. Гиббса [74], Г. Гамеля [76, 1904, 1938 гг.], Л. Маурера [89], Л. Юнсена [80]. Одним из первых аксиоматическое определение возможных перемещений для неголономных связей дал Н.Г. Четаев [58]. Связи, подпадающие под это определение, получили название «связей типа Четаева». Наряду с подобным подходом Г.К. Суслов [52] и Ф. Журден [81] предложили формулировку вариационного принципа неголономной механики, основанного на применении понятия возможных скоростей системы. Самым же общим принципом механики оказался принцип Гаусса [73], справедливый и для неголономных связей второго порядка. Обсуждению взаимосвязи и единства дифференциальных вариационных принципов механики были посвящены работы Н.Г. Четаева [58], Н.Н.Поляхова [44], В.В.Румянцева [50] и ряда других авторов. Для более детального обсуждения этого вопроса весьма полезна научная переписка между В.В.Румянцевым и H.H.Поляховым, сохранившаяся в архиве Н.Н.Поляхова и приведенная в части III данной диссертации.

Описание с единых позиций движения голономных и неголономных систем, в том числе и со связями высокого порядка, изложено в монографии С.А. Зегжды, Ш.Х. Солтаханова и М.П. Юшкова [12].

Одним из наиболее удачных и практически важных объектов, изучаемых классической неголономной механикой, является автомобиль. Эта механическая система оказывается необычайно сложной для исследования, поэтому при изучении движения автомобиля возникает целый ряд разнообразных задач. Остановимся на обсуждении некоторых из них.

Видимо, первой работой, посвященной автомобилю, была статья Н.Е. Жуковского [10]. Один из наиболее полных подходов к изучению движения автомобиля как механической системы с конечным числом степеней свободы был разработан Е.А. Чудаковым [59]. Среди известных учебников для машиностроительных вузов можно назвать книги A.M. Гуревича, Е.М.Сорокина, Г.А.Смирнова [7, 51]. Движению автомобилей как неголономных систем посвящены, напр., монографии В.Ф. Журавлева, H.A. Фуфаева, Ю.И. Неймарка, С.А. Зегжды, Ш.Х. Солтаханова, М.П.Юшкова, A.A.Мартынюка, Л.Г. Лобаса, Н.В.Никитиной [11, 12, 23, 34].

Обычно при изучении движения автомобиля рассматривают различные самостоятельные задачи — колебания отдельных масс автомобиля относительно дороги, что имеет большое значение и для виброзащиты [20, 75], движение вдоль криволинейного пути при изучении курсовой устойчивости экипажа [53, 65], рассмотрение прямолинейного движения автомобиля [31], что может представлять интерес при изучении тяговой динамики экипажа или его топливной экономичности. По отношению к подобным задачам представляет особый интерес рассмотрение пространственной модели движения автомобиля как твердого тела [32], позволяющей найти взаимосвязь между моделями, перечисленными выше. С этой целью P.A. Мусарский и H.A. Фуфаев [32] используют метод квазикоординат и за квазискорости принимают проекции скорости центра масс на направления продольного и поперечного движения корпуса и проекции угловой скорости вращения экипажа на главные центральные оси инерции. Предложенная модель позволяет найти условия получения из нее упрощенных моделей и выявляет некоторые дополнительные динамические эффекты и общие закономерности движения.

Помимо этого, большое внимание уделяется и целому ряду отдельных технических задач. Изучению рационального выбора подвески автомобиля посвящены работы [20, 87]; изучение движения многоколесных машин проведено в работах [6, 101], при этом большое внимание уделяется поведению системы на повороте; в статье [21] приводится математическая модель, описывающая плоское движение специального многоосного транспортного средства, включая его вибрацию, колебания неподрессо-

ренных масс и контейнера, работу пневмогидравлической подвески и амортизаторов контейнера, силовое взаимодействие вращающейся шины с твердыми основаниями и грунтом; в работах [1, 82] рассматривается движение автомобиля с прицепом; нелинейные задачи, связанные с конечным значением крутильной жесткости рулевого управления и возникающие для возмущенного движения автомобиля при изменении параметров системы в фазовом пространстве, рассмотрены в статьях [24].

Большое внимание всегда уделялось исследованию управляемости и устойчивости автомобиля и влиянию на них его конструктивных параметров. В этом отношении энциклопедические данные собраны в монографии директора Высшей школы автомобильных инженеров Кренфилда (Великобритания) Д.Р. Эллиса [60]. В ней приведены методы расчетов и конкретные примеры движений автомобиля, полученные с помощью аналоговых вычислительных машин. Книга отражает и работы Корнель-ской авиационной лаборатории, имеющие большое научное значение. Современные работы относительно характеристики устойчивости, управляемости и путевой устойчивости трансп�