О реализации неудерживающих связей в механических системах с вырождением в кинетической энергии тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Введение

1 Реализация неудерживающей связи в двумерном случае

1.1 Физическая модель реализации неудерживающей связи

1.2 Траектории с упругими отражениями.

1.3 Уравнения движения в окрестности границы.

1.4 Поведение траекторий в окрестности границы.

1.4.1 Случай положительной нормальной реакции

1.4.2 Случай отрицательной нормальной реакции

1.4.3 Случай движения из области с положительной нормальной реакцией в область с отрицательной реакцией

2 Реализация неудерживающей связи в многомерном случае

2.1 Постановка задачи.

2.2 Поведение траекторий системы в окрестности гиперповерхности вырождения.

2.2.1 Уравнения движения в окрестности гиперповерхности вырождения

2.2.2 Случай положительной нормальной реакции

2.2.3 Случай отрицательной нормальной реакции

2.2.4 Интерпретация результатов.

2.2.5 К вопросу об ослаблении условий инвариантности 2.3 Задача о движении двойного математического маятника

3 Исследование поведения траекторий системы в фиксированной окрестности границы с отрицательной реакцией

3.1 Уравнения движения в окрестности границы с отрицательной нормальной реакцией.

3.2 Существование траектории, проходящей вдоль границы с отрицательной нормальной реакцией.

Понятие связи является одним из основных понятий механики. Решая практически любую прикладную задачу мы сталкиваемся с этим понятием. Так, например, в задаче о движении точки по гладкой поверхности поверхность накладывает ограничения на перемещения точки. Или другой пример, при движении двух тел, связанных невесомой нерастяжимой нитью, нить не препятствует движению тел, если она не натянута, но в тоже время, не дает телам разойтись на расстояние большее своей длины.

Примеров, подобных приведенным, очень много. Именно поэтому большое количество работ посвящено системам со связями. Разработаны различные методы исследования таких систем.

Классический (формально-аксиоматический) метод изучения систем со связями основан на принципе Даламбера-Лагранжа, который выводится из принципа освобождаемости от связи и аксиомы об ее идеальности. Суть метода состоит в следующем [30].

Пусть q £ Rn — обобщенные координаты системы, Т — кинетическая энергия, F — обобщенные силы, действующие на систему. Поведение свободной системы описывается уравнениями Лагранжа dt dq dq У )

Предположим, что на систему наложена удерживающая связь f(q) =

0. Тогда поведение такой системы можно описать уравнениями d дТ дТ л дг F + N,

2) dt dq dq где N — реакция связи. Если связь идеальна, то N = Agrad/. С учетом уравнения связи можно понизить порядок системы (2). При этом, нормальная реакция связи однозначно определяется из системы (2).

В отличие от двусторонней связи односторонняя связь f(q) > 0 является более сложным объектом. Помимо участков движения, где связь напряжена, существуют участки движения, где связь ослаблена, а также участки движения, где происходит удар. Следует заметить, что задача о движении системы с односторонней связью не всегда разрешима [30]. В некоторых задачах законы динамики не позволяют определить поведение системы с односторонней связью.

В соответствии с классическим подходом для изучения поведения системы внутри области f(q) > 0 (связь ослаблена) используется система (1). Если связь напряжена, то она аналогична двусторонней связи f(q) — 0, и поведение траекторий описывается системой (2). При этом, если нормальная реакция связи положительна на участке движения по связи, то система остается на связи. Если нормальная реакция связи отрицательна, то система покидает связь.

Традиционным методом изучения систем с повторяющимися ударами (виброударных систем) является метод припасовывания [19, 23]. Движение разбивается на интервалы безударного движения и моменты, где происходит удар. Для учета соударений используется та или иная модель удара. По конечным значениям переменных на предыдущем интервале безударного движения определяются начальные значения на последующем интервале и решаются уравнения (1) с этими начальными значениями. "Сшивая" решения, полученные на разных интервалах времени, можно построить решение задачи для любого момента времени.

Применение классического подхода при решении некоторых задач приводит к парадоксам. Так, как показал Пенлеве [35], при наличии больших значений коэффициента кулоновского трения задача определения реакции может иметь несколько решений или не иметь их вовсе [39]. Может оказаться, что два тела, находясь в соприкосновении, производят отрицательное давление друг на друга. В задаче с касательными ударами классический подход тоже не дает удовлетворительного решения.

Одним из перспективных методов исследования систем со связями является конструктивный метод обоснования динамики систем со связями, основанный на анализе различных физических способов реализации связей. С физической точки зрения системы со связями могут рассматриваться как предельные задачи для свободных систем. Различные способы задания предельных переходов связаны с различными способами реализации [2, 30].

Так, связь /(<?) = 0 заменяется полем упругих сил с потенциальной энергией Vk = Kf2/2, где К — коэффициент упругости, а затем К устремляется к бесконечности. Оказывается, что движение такой системы стремится к движению системы с голономной связью. Теорема о реализации двусторонней голономной связи полем упругих сил, направленных к соответствующей поверхности, была впервые сформулирована Курантом и доказана его учениками в предположении о потенциальности силового поля [38]. В случае непотенциальных сил теорема о реализации связи упругими силами доказана В.В.Козловым и А.И.Нейштадтом [29].

Линейную неголономную связь можно реализовать силами вязкого трения. Эта идея впервые обсуждалась в работе К.Каратеодори.

А.В.Карапетян [25] и В.Н.Бренделев [9] доказали, что уравнения движения неголономной системы могут быть получены из уравнений движения освобожденной от связи системы, на которую помимо исходных сил действуют соответствующем образом выбранные диссипативные силы, коэффициент диссипации которых стремится к бесконечности. Также линейная неголономная связь может быть реализована присоединенными массами и силами вязкого трения [2, 26]. При этом получаются другие модели неголономных систем: вакономная механика. В работе [26] получено семейство внутренне непротиворечивых математических моделей движения, каждая из которых является синтезом традиционной неголономной механики и вакономной механики. При соответствующем выборе предельного перехода предельная система описывает поведение системы с неголономной связью. В работе И.В.Новожилова [34] линейная неголономная связь реализуется за счет сил кулонова трения.

Возможность реализации голономной связи силами вязкого трения и корректность различных предельных моделей обсуждается в [34].

Аналогичные модели реализации можно ввести и для неудерживаю-щих связей [28]. Так, в работе [27] указан физический способ реализации удара с трением, основанный на введении поля упругих и диссипативных сил с большим коэффициентом жесткости и трения.

В работе [22] рассматриваются семейства движений системы твердых тел, включающие соударения с произвольной малой начальной скоростью сближения. А.П.Ивановым предложено решение задачи о касательном ударе, основанное на введении вязко-упругой среды, и разрешено противоречие, возникающее при классическом подходе к решению задачи о касательном ударе. Различные режимы безударных движений изучены в работе [21]. Получены условия существования безударных движений, выяснена их связь с особенностями дифференциальных уравнений.

Вопросу движения системы по связи и гладкого схода со связи посвящены работы [13, 15]. В работе [14] для системы с односторонней связью рассмотрены различные критерии движения по связи и ее схода со связи.

Среди других методов изучения систем со связями следует отметить метод негладких замен В.Ф.Журавлева [18, 19], который позволяет исключить идеальную неудерживающую связь и провести исследование системы во всем конфигурационном пространстве с помощью функции Рауса. Негладкая замена избавляет от необходимости рассматривать движение по кускам и дает возможность применять асимптотические методы к системам с ударами. Но метод негладких замен, в общем случае, не позволяет построить регулярные уравнения Лагранжа, и соответственно, применять аппарат гамильтоновой механики.

В работе [24] путем введения вспомогательной системы показана возможность перехода к гамильтоновой форме уравнений движения систем с идеальной неудерживающей связью, что позволяет применять для их исследования методы гамильтоновой механики. При этом, возможные трудности, связанные с неаналитичностью функции Гамильтона, разрешены А.П.Маркеевым. В работе [32] указан один из возможных алгоритмов использования КАМ-^геории и теории периодических движений Пуанкаре. А.П.Ивановым показана возможность распространения методов теории устойчивости гамильтоновых систем на системы с идеальными неудерживающими связями [20].

В данной диссертационной работе рассмотрен один из способов реализации неудерживающих связей, а именно реализация неудерживающих связей путем введения в кинетическую энергию малого параметра так, что кинетическая энергия системы вырождается на некотором многообразии в конфигурационном пространстве, когда параметр равен нулю. Реализация связей в случае вырождения кинетической энергии на некотором многообразии впервые была рассмотрена Дираком [2, 16] для целей квантовой механики, при этом, изучалось поведение траекторий на этом многообразии, что соответствует реализации удерживающей связи. Механику Дирака можно интерпретировать как механику малых масс, когда предельный переход происходит в кинетической энергии. Так, например, когда массы одной или нескольких частиц системы малы (порядка £2), часто оказывается, что кинетическая энергия системы вырождена при £ — 0 на некотором многообразии в пространстве обобщенных координат. В настоящей работе изучено поведение системы в окрестности многообразия вырождения при стремлении малого параметра к нулю.

Диссертация состоит из трех глав. В главе 1 рассматривается задача о движении точки по гладкой двумерной поверхности Ее в пространстве R3 с координатами (x,y,z), симметричной относительно плоскости ху и зависящей от параметра е таким образом, что координата z любой точки поверхности порядка е. На точку действует сила с потенциальной энергией V(x,y, z). При е — 0 поверхность схлопывается в область П в плоскости ху. Исследуется поведение траекторий системы при £ —> 0.

Задача о движении точки по поверхности при е —> 0 переходит в задачу о движении точки внутри области П с гладкой границей А. Назовем эту задачу предельной. Предельную систему можно рассматривать как систему с неудерживающей связью.

В §1.2 изучено поведение траекторий предельной системы, подходящих к границе под ненулевым углом. Показано, что при попадании траектории системы с неудерживающей связью на границу происходит упругий удар: касательная составляющая скорости не меняется, а нормальная составляющая (в евклидовой метрике на плоскости ху) меняет знак.

Далее изучено поведение траекторий, начавшихся в малой окрестности границы (§1.3 - §1.4). Энергия системы фиксирована. Исследование поведения системы связано с функцией, которая имеет механический смысл нормальной реакции связи при движении вдоль границы Л с заданной энергией:

N(t) = k(r)v2 - Fn, где переменная т является длиной дуги вдоль Л, к(т) — кривизна кривой Л, v — скорость движения вдоль кривой Л, a Fn — нормальная составляющая силы.

Приведем механическую интерпретацию полученных результатов.

1) Если на некотором участке границы нормальная реакция положительна и система начинает движение по связи, то она не сойдет со связи, до тех пор пока не выйдет в область с отрицательной нормальной реакцией. Если граница является замкнутой кривой, нормальная реакция положительна в каждой точке границы и система начинает движение по связи, то система никогда не покинет связь. Доказательство этих утверждений основывается на использовании теории адиабатических инвариантов.

Для классических систем с идеальной неудерживающей связью данные утверждения вытекают из принципа Даламбера-Лагранжа.

2) Если на некотором участке границы нормальная реакция отрицательна, то почти все траектории предельной системы, касательные связи, покидают связь, но существует единственная траектория заданной энергии, соединяющая две произвольные точки данного участка границы и проходящая вдоль нее.

3) При движении системы из области границы с положительной нормальной реакцией в область, где реакция отрицательна, почти все траектории предельной системы покидают связь, но часть траекторий остается на границе (семейство этих траекторий является одно-параметрическим) .

Таким образом, для случая движения вдоль участка границы с положительной нормальной реакцией выполняются классические аксиомы теории систем с неудерживающей связью. В случае отрицательной реакции эти аксиомы для рассматриваемой системы, вообще говоря, не выполняются, хотя выполняются для большинства траекторий предельной системы. Следует отметить, что предельная система не является детерминированной: начальные условия не задают однозначно движение системы.

Глава 2 посвящена обобщению предыдущей задачи на многомерный случай. Рассмотрена задача о движении системы точек, стесненных стационарными идеальными голономными связями. Предполагается, что массы одной или нескольких точек малы (порядка в2), так что при е = 0 кинетическая энергия вырождена на некотором многообразии Л в конфигурационном пространстве. Введем обобщенные координаты х — (xi,.,xn) в некоторой области в конфигурационном пространстве системы Е С R3JV. Без ограничения общности можно считать, что Л = {хп = 0}. Предполагается, что потенциальная и кинетическая энергии четны по координате хп. В § 2.2.5 показано, что условие четности можно ослабить.

В § 2.2 изучено поведение траекторий в малой окрестности многообразия Л. Поведение системы зависит от знака функции N(x,x), где х = (xi,. ,zni). Если на систему наложить связь х\ — 0, и рассмотреть предельные (при е = 0) уравнения Лагранжа с неопределенным множителем, то функция N является неопределенным множителем Лагранжа, следовательно, пропорциональна нормальной реакции к гиперповерхности А = {хп = 0} при движении системы по этой гиперповерхности. В дальнейшем, N будем называть нормальной реакцией связи.

В случае положительной нормальной реакции связи, поведение предельной системы соответствует классическому представлению об идеальных неудерживающих связях: траектории, начавшиеся в малой окрестности Ое многообразия вырождения А = {хп 0>Ря„ — 0} в фазовом пространстве размера е по координате хп и е1 по импульсу рХп. не покидают эту окрестность. Если нормальная реакция отрицательна в некоторой области многообразия А в фазовом пространстве, то почти все траектории покидают малую окрестность Qe многообразия А в фазовом пространстве, но существует единственная траектория, соединяющая любые две точки из малой окрестности данной области многообразия А в конфигурационном пространстве и проходящая вдоль многообразия А.

Применение полученных результатов к конкретной механической системе дано в § 2.3. Рассматривается задача о движении двойного математического маятника в случае, когда масса точки, ближайшей к точке подвеса, мала (порядка в2). Исследуется поведение этой системы при е^О.

В главе 3 в задаче о движении точки внутри двумерной области с границей доказаны существование и единственность траектории заданной энергии, соединяющей любые две точки Х\ и X2 из малой фиксированной (не зависящей от е) окрестности участка границы с отрицательной нормальной реакцией, расстояние между которыми не меньше некоторой не зависящей от е постоянной р. Данная траектория содержит участок движения вдоль границы. В отличие от теоремы главы 1 точки Х\ и X2 необязательно лежат на границе при е —> 0.

Результаты, представленные в диссертации, докладывались на научных семинарах кафедры теоретической механики и мехатроники МГУ и содержатся в работах автора [44, 45].

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974. 431 с.

2. Арнольд В.И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. В кн. Совр. пробл. мат. Фундаментальные направления. Т. 3. М.: Наука, 1978. 304 с.

3. Аппель П. Теоретическая механика. М.: Изд-во физ-мат. лит-ры, 1960. Т. 1, Т. 2.

4. Биркгоф Д. Динамические системы. Ижевск: Изд-во Удм. ун-^га, 1999. 408 с.

5. Bolotin S., Negrini P. A Variational Criterion for Nonintegrability.// Russ. Jour, of Math. Physics. 1998. V. 5. №4. pp. 415-436.

6. Bolotin S., MacKay R. Multibump orbits near the anti-integrable limit for Lagrangian systems.// Nonlinearity 10(1997) 1015-1029.

7. Bolotin S.V. Infinite number of homoclinic orbits to hyperbolic invariant tori of hamiltonian systems.// Regular and Chaotic Dynamics. 2000. V. 5. №2. pp. 139-156.

8. Bolotin S.V., Treschev D.V. Remarks on the definition of hyperbolic tori of hamiltonian systems.// Regular and Chaotic Dynamics. 2000. V. 5. №4. pp. 1-12.

9. Бренделев В.Н. О реализации связей в неголономной механике. // ПММ. 1981. Т. 45. Вып. 3. Стр. 481-487.

10. Буров А.А. О несуществовании дополнительного интеграла в задаче о тяжелом двузвенном плоском маятнике.// ПММ. 1986. Т. 50. Вып. 1. Стр. 168-171.

11. Васильева А.Б.,Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

12. Васильева А.Б.,Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990. 208 с.

13. Дерябин М.В. О реализации неудерживающих связей.// ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 6. Стр. 136-140.

14. Дерябин М.В. Общие принципы динамики и теория односторонних связей.// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. 1998. №1. Стр. 53-59.

15. Дерябин М.В., Козлов В.В. К теории систем с односторонними связями.// ПММ. 1995. Т. 59. Вып. 4. Стр. 531-539.

16. Дирак П. Лекции по квантовой механике. Ижевск: Ижевская респ. тип., 1998. 148 с.

17. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия.

18. Журавлев В.Ф. Механика систем с односторонними связями. Успехи механики. 1989. №2. Стр. 37-69

19. Журавлев В.Ф., Фуфаев М.А. Механика систем с неудерживающими связями. М.: Наука, 1993. 240 с.

20. Иванов А.П. Об устойчивости систем с неудерживающими связями.// ПММ. 1984. Т. 48. Вып. 5. Стр. 725-732.

21. Иванов А.П. О безударных движениях в системах с неудерживающими связями.// ПММ. 1992. Т. 56. Вып. 1. Стр. 3-15.

22. Иванов А.П. О динамике систем в окрестности касательного удара.// ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 3. Стр. 63-70.

23. Иванов А.П. Динамика систем с механическими соударениями. М. 1997. 366 с.

24. Иванов А.П., Маркеев А.П. О динамике систем с односторонними связями.// ПММ. 1984. Т. 48. Вып. 4. Стр. 632-636.

25. Карапетян А.В. О реализации неголономных связей силами вязкого трения и устойчивость кельтских камней. // ПММ. 1981. Т. 45. Вып. 1. Стр. 42-51.

26. Козлов В.В. Реализация неинтегрируемых связей в классической механике. // Докл. АН СССР. 1983. 272. №3. Стр. 550-554.

27. Козлов В.В. Об ударе с трением.// Изв. АН СССР. МТТ. 1989. № 6. Стр. 54-60.

28. Козлов В.В. Конструктивный метод обоснования теории систем с неудерживающими связями.// ПММ. 1988. Т. 52. Вып. 6. Стр. 883894.

29. Козлов В.В., Нейштадт А.И. О реализации голономных связей.// ПММ. 1990. Т. 54. Вып. 5. Стр. 858-861.

30. Козлов В.В., Трещев Д.В. Биллиарды: Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: Изд-во МГУ, 1991.

31. Lebovitz R, Neishtadt A. Slow evolution in Perturbed Hamiltonian systems.// Studies in Applied Math., 92, 127-144 (1994).

32. Маркеев А.П. О качественном анализе систем с идеальной неудер-живающей связью.// ПММ. 1992. Т. 53. Вып. 6. Стр. 867-872.

33. Моауро В., Негрини П. Хаотические траектории двойного математического маятника.// ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 5. Стр. 892-895.

34. Новожилов И.В. Фракционный анализ. М.: Изд-во МГУ, 1995. 223 с.

35. Пэнлеве П. Лекции о трении. М.: Гостехиздат, 1954. 316 с.

36. Палис Ж., Ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем. М.: Мир, 1986. 301 с.

37. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967. 667 с.

38. Rubin Н., Ungar P. Motion Undera Strong Constraining Force.// Communs. Pure and Appl. Math. 1957. V. 10. №1. pp. 65-87.

39. Самсонов В.А. Очерки о механике: Некоторые задачи, явления и парадоксы. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. 80 с.

40. Уиттекер Э.Т. Аналитическая динамика. Ижевск: Изд-во Удм. унта, 1999. 588 с.

41. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983. 352 с.

42. Fenichel N. Perisistence and smoothness of invariant manifolds for flows.// Indiana Univ. Math. J., 21, 193-226 (1971).

43. Шильников JI.П. О задаче Пуанкаре-Биркгофа.// Мат. сб. 1967. Т. 74. №3. Стр. 378-397.

44. Шахова Т.В. Об одном способе реализации неудерживающих связей.// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. 2000. №2. Стр. 30-35.

45. Попова Т.В. О реализации связей в системах с вырождением в кинетической энергии.// Рукопись депонирована в ВИНИТИ. 23.01.2001. № 197-В01.