Исследование устойчивости систем с односторонним ограничением тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи

Отставное Евгений Игоревич

Исследование устойчивости систем с односторонним ограничением

Специальность: 01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва 2009

003470662

Работа выполнена на кафедре теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель: Чл.-корр. РАН, доктор физико-

математических наук, профессор В:В. Белецкий

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических

наук, профессор И.И. Косенко Кандидат физико-математических наук, доцент А.В. Родников

Ведущая организация: Вычислительный центр

им. А. А. Дородницына РАН

Защита состоится 5 июня 2009 года в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д 501.001.22 по механике при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу 119991, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 5 мая 2009 года.

Учёный секретарь

диссертационного совета Д 501.001.22

доцент

В.А. Прошкин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Механические системы с неудерживающими связями являются важным разделом современной аналитической механики. Развитие соответствующих методов и их обобщение для упрощения работы с конкретными системами является важной и актуальной задачей. В диссертации рассматриваются примеры систем, -» которых возникают неудерживающие связи различных видов, и строится общая теория, обобщающая алгоритмы исследования динамики механических систем с неудерживающими связями, с помощью которых доказываются теоремы об устойчивости по Ляпунову неподвижных точек.

Цель работы. Исследование устойчивости в механических системах с неудерживающими связями путём построения более общих моделей и их иллюстрация на конкретных примерах.

Научная новизна. Все основные результаты, полученные в работе, являются новыми, ранее не известными. Они основываются на классических утверждениях механики и теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Следует отметить, что для механических систем вводится абстрактная модель систем с односторонними ограничениями, при своём применении в механике не требующая приведения уравнений связей к простому виду. Неудерживающие голономные и неинтегрируемые дифференциальные типы связей в механике естественно возникают как случаи при общем рассмотрении.

Достоверность результатов. Все результаты диссертационной работы строго обоснованы и доказываются с помощью утверждений теоретической механики, теории систем обыкновенных дифференциальных уравнений и линейной алгебры.

Используемые методы. В работе используются методы аналитической механики, математического анализа, алгебры. Они применяются к рассматриваемым системам.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы доя исследования устойчивости положений равновесия в произвольных механических системах, если те возникают из-за наличия неудерживающих связей.

г

Апробация работы и публикации. Результаты, представленные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на следующих научных семинарах:

- Семинар по динамике относительного движения кафедры теоретической механики и мехатроники МГУ под руководством чл.-корр. РАН

.В.В. Белецкого, проф. Ю.Ф. Голубева, доц,-К.Е. Якимовой, доц. Е.В. Мелкумовой, 2008 г.;

- Семинар по аналитической механике и устойчивости движения имени В.В. Румянцева кафедры теоретической механики и мехатроники МГУ под руководством чл.-корр. РАН В.В. Белецкого, проф. A.B. Карапетя-на, 2008 г.;

- Семинар отдела механики ВЦ РАН под руководством проф. С.Я. Степанова, 2008 г.;

Публикации. Основные результаты диссертационной работы изложены в печатных работах, список которых приведён в конце автореферата.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы из 65 наименований. Общий объём диссертации -121 страница.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении описана предметная область, цель диссертации, дан обзор работ по вопросам механики систем с неудерживающими связями и их примерам в реальности, по вопросам исследования устойчивости в таких и родственных системах, а также приведено краткое содержание диссертации.

В главе 1 для развития общих методов исследования подобных систем представлена задача по нахождению условий, при которых система, состоящая из двух произвольных твёрдых тел, не требует фиксирования частей друг относительно друга, но при этом её динамика не приводит к соударению тел или их разлёта на слишком большое расстояние. Это можно назвать устойчивостью по Лагранжу движений, удовлетворяющих найденным условиям. Задача ставится в рамках небесной механики, но, разумеется, может применяться и в динамике космического полёта. Ещё один аспект - это задача о невыходе на границу не-

удерживающей голономной связи, задаваемой как условие касания поверхностей тел.

В качестве модели будут рассматриваться взаимно-гравитирующие твёрдые тела 7\, Т2 с центрами масс Q, С2, массами ml, m2 и центральными тензорами инерции J и А соответственно. Пусть (е1,е2, e3j, (а,р,у) - правые тройки, задающие вмороженные оси C^q и С2аРу первого и второго тел. Внешние силы отсутствуют.

Можно показать, что динамика системы описывается уравнениями:

г + ai х г = v

, ч ди

ц(у + (О X V) = —

ди „ ди ди ди 7 о) + ü) х Juí — ах —+Вх—+ ух —+гх —

да г др ду дг

к0 + шхк0 = о n = CA-1CT(K0-J(a-íirxv) а = (Í2 — ш) х а Р = (fl - ы) х р у = (ÍÍ - а>) х у I С = [а р у]

в которых введены обозначения:

r=C1C2, v = О), íl - абсолютные угловые скорости первого и второго тел,

m,m2

ц = m приведенная масса системы.

U = /т хт2 [г-р0С+Ср0[ ^(P^Cp^pgdpg - силовая функция гравитационного

взаимодействия тел, К0= Jtú + ASI + цг X ^ = к- кинетический момент системы относительно её центра масс.

Все производные в (0.1) записаны в осях, вмороженных в первое тело. Тогда Л = СТАС - центральный тензор инерции второго тела в своих главных осях. Уравнения (0.1) замкнуты, но для завершения описания нужно ещё опре-

делить ориентацию первого тела в абсолютном пространстве. Это делается путём интегрирования уравнений Пуассона

после решения (0.1).

В качестве демонстрации относительно несложно можно получить условия относительного равновесия системы — оба тела вращаются как твёрдое целое вокруг их совместной главной центральной оси инерции. Непосредственное нахождение таких решений затруднено общим видом силовой функции и.

Для грубого качественного описания динамики рассматриваемой системы предлагается найти условия, при которых тела вечно остаются на конечном расстоянии друг от друга и не сталкиваются. БсЬеегея была предложена методика исследования и получена оценка, существенно и независимо использующая модуль вектора Ка. В работе происходит отказ от его непосредственного использования как независимого параметра.

Методика нахождения необходимых и достаточных условий восходит к классической работе С. Смейла. В силу сложного устройства полного потенциала взаимодействия тел получены приближённые оценки границ области возможности движения (ОВД), с помощью исследования которых получены следующие результаты:

Утверждение 1. Пусть значения безразмерного квадрата кинетического момента к2 и безразмерной суммы главных центральных моментов инерции тел Г таковы, что при некотором х > 1 выполнены условия

(0.2)

1) К2=1С^

1) К

Тогда существует промежуток значений безразмерной энергии х 6 [Хи Хг] < 0, при которых все движения системы, начавшиеся на расстояниях между центрами масс, достаточно близкими к х (или больших х), будут ограниченными и бесстолкновительными.

Утверждение 2. Пусть значения параметров к2 ит* таковы, что при некотором х > 1 выполнены условия:

Тогда существует промежуток значений безразмерной энергии [%*, 0) < 0, при которых движения системы, начавшиеся на расстояниях не меньших х, будут ограниченными и бесстолкновительными.

Утверждение 1 может иметь место только при значении 1* безразмерной суммы максимальных из главных центральных моментов инерции тел из

интервала [о,^ ~ ^о) / А) ~ 5.126. Утверждение 2 может работать при

любых значениях Г, но оно требует больших величин кинетического момента системы для обеспечения бесстолкновительности, нежели утверждение 1. Заметим, что безразмерный квадрат кинетического момента уже вычисляется с помощью соотношений в условиях утверждений.

Глава 2 посвящена развитию теории, необходимой для исследования подобных ситуаций в системах с нежёсткой фиксацией частей.

Давая конструктивное определение решения системы с односторонним ограничением, обобщающее наиболее робастные способы получения решений в динамике систем с ударами, можно построить с его помощью отображение по-следования, позволяющее исследовать устойчивость неподвижной точки системы, возникающей на ограничении (если таковая существует). Исследование

1) К'

.2 _ 2«Чх2): х-1

2) к2 >

.2 ^ С-+*2)3

- 2х(х-1)2

(относительных) равновесий важно, так как их практическое применение как правило является наиболее простым и надёжным с инженерной точки зрения.

Системой ОДУ с односторонним ограничением (или просто системой) будем называть четвёрку (X, г, S, R), состоящую из:

1) Системы-обыкновенных дифференциальных уравнений х = Х(х) = / + Ах+ +- (Вх,х) -I— ,х 6 R", называемой свободной системой.

2) Скалярного неравенства г (г) = (с,х~) + ~(Ux,x) + ■•■ > 0, называемого односторонним дифферетрюлъным ограничением (или просто ограничением),

3) отображения 5: Яп -> К",

4) вектор-функции называемой реакцией ограничения.

Рассмотрим систему в окрестности начала координат и значения f = Х(0),

с = (л:). Существенно различаются 3 случая: (с,/) > 0, (с,/) = 0, (с,/) < 0.

Первый из них влечёт уход решения от ограничения и в рассмотрение не входит. Два оставшихся предполагают существенные различия в определении и свойствах рассматриваемых решений.

При (с,/) < 0 решение системы х(х0, t), отвечающее начальным условиям х0, определим конструктивно:

a) Если (пока) r(x(x0, t)) > 0, то решение строится с помощью свободной системы пока не выполнено Ь).

b) Если r(x(x0, t*)) = 0, г: = j^X(x(x0, t*)) < 0 и существует е > 0, что для

всех t £ (t*, t* + е) справедливо f < 0, то происходит переход от а) к с), либо решение строится с помощью с) в случае, если t* = 0. Этот переход называется выходом на ограничение.

c) Если (пока) г(х) = 0, то решение сроится с помощью системы на ограничении х = Х(х) + R(x) пока не выполнено d). Функция R(x) выбирается

таким образом, чтобы обеспечить сохранение равенства г = 0 для системы на ограничении, d) Если r(x(x0, t")) = 0, г > 0 и существует £ > 0, что для всех t е

(t**, t" + г) справедливо г > 0, то происходит переход от с) к а), либо решение строится с помощью а) в случае, если t" = 0. Этот переход называется сходом с ограничения.

Можно показать, что механические системы с односторонними дифференциальными связями описываются подобным образом.

Допустим, что R(0) = —Х(0) = f, тогда, учитывая, что г(0) = 0 и г(0) = (с,/) < 0, х(0, t) = 0 является стационарным решением системы на ограничении и всей системы в целом.

Теорема 1. Для системы с односторонним ограничением в случае (c,f) <0 при 0) = — Х(0) устойчивость решения х(0, t) = 0 определяется только исследованием его устойчивости как решения системы на ограничении

Похожее утверждение для механических систем с неупругим выходом на границу односторонней голономной связи получалось А.П. Ивановым, когда внешняя сила приводит к падению фазовой точки на связь недалеко от положения равновесия и далее точка остаётся на связи, так как нормальная составляющая импульса теряется при ударе. Вывод об устойчивости также можно сделать, рассматривая систему на связи. Однако, это сходство внешнее. Можно показать, что механическим системам с голономными односторонними связями, чьё поведение исследуется по полному набору переменных (координат и скоростей), соответствует случай (c,f) = 0. Также, в рассматриваемом выше определении не происходит скачков решения при выходе на границу связи. Эта ситуация является типичной для механических систем с односторонними неголоном-ными связями, исследование которых может проводиться с помощью полученного результата.

При (с,/) = 0 решение системы х(х0, Ь), отвечающее начальным условиям х0, строится следующим образом:

a) Если (пока) г(х(х0,£•)) > 0, то решение строится с помощью свободной системы, пока не выполнены Ь) или с)

b) Если г(х(х0, С*)) = 0, г = 0 и существует е > 0, что для всех С €

+ е) вдоль решения свободной системы справедливо г < 0, то происходит переход от а) к <1), либо решение строится с помощью с)) в случае, если £:* = 0. Этот переход называется выходом на ограничение.

c) Если г(х(х0,*:*)) = 0, г < 0, то происходит удар: х~ = х(х0, Г) —» х+ = Б(х~), причём г(х+) = 0,г(х+) 1> 0. Еслиг(х+) = 0 и для решения свободной системы с начальными условиями х+ справедливо Ь), то происходит переход к с1), иначе решение продолжается с помощью а).

с!) Если (пока) г(х) = 0, то решение строится с помощью системы на ограничении х = Х(х) + Д (х) пока не выполнено е) е) Если г(х(_х0,1**)) = 0, г > 0 и существует £ > 0, что для всех

С 6 (£**, £** + с) вдоль решения свободной системы справедливо г > 0, то происходит переход от с!) к а), называемый сходом с ограничения.

Этот случай покрывает механические системы с односторонними голо-номными связями.

Рассмотрим условие общности - векторы с и АТс + Uf линейно независимы, условие касания - (с,/) = 0,условие возвращаемости - =

(АТс + и/,О<0.

При их выполнении в окрестности начала координат можно построить отображение последования, сопоставляющее ближайшие по времени моменты схода с

ограничения.Рассматривается Р = б(е — 2/ттгтггтг) - ограничение его

дифференциала на гиперплоскость (с,/) = 0 (б-матрица Грама скалярного произведения).

Теорема 2. Пусть для системы ОДУ с односторонним ограничением выполнены условия, указанные выше. Если все собственные значения оператора Р строго меньше единицы по абсолютной величине и 0 - устойчивая по Ляпунову неподвижная точка системы на ограничении, то решение х(0, Ь) н О системы устойчиво по Ляпунову. Если существует хотя бы одно собственное значение оператора Р, большее по модулю, чем единица, и соответствующее собственное подпространство не касается многообразия г (х) = 0, либо 0 - неустойчивая по Ляпунову неподвижная точка системы на ограничении, то решение х(0, £) = О системы неустойчиво по Ляпунову.

В случае, когда некоторые из собственных значений оператора Р равны по модулю единице, ситуация усложняется. Пусть —Иг - действительные, а 1?1( ..., дк, -0к - комплексные собственные значения оператора Р, I + 2к = п — 1. Записывая 1?у в виде Р/е"^, <р] Ф 0, можно представить матрицу ограничения дифференциала отображения Пуанкаре (строго говоря, сколь угодно близкого) в новом базисе:

определяемую формулами (по повторяющимся на разных уровнях индексам предполагается суммирование):

Г, = ьЬ + ьШз + дГЬъ + лГЧч, + оСЫП

= Р](Л]С°*<Р] + ^ч^шфу) + + Вр'Ъ^ + С™т}рг)ч + о(|И|2)

Ч+у+1 = Р}{-Ч]51П<р, + Т];+хСОВ(р}) + + В^уг]р + С^17]рт]ч + о(|И|2),

р= О ... й о ... о

О ... 0 ... о \ 0 ... О о ... вк/

Рассмотрим ограничение отображения Пуанкаре на границу связи Р: г ->

= 1..Л, р, <7 = 1.. к = 1,3,5,. .2к — 1

Без потери общности будем считать, что |ц,[ = 1,/ = 1..1 < I, |ру| = 1,у = 1.. к < к, и допустим, что соответствующие им жордановы клетки имеют единичный размер, а остальные собственные значения строго меньше единицы по абсолютной величине.

Рассмотрим функции

М£0) = + д?р(ит,р + 1 = 1-Л.

= 51дп(р)(т]}со5<р] + т?;+151гцр,-)) (Л/Ч*?* + ВУр^т]р + С/%77<,)< N,+10) = 51дп{р]{-т]^т(р1 + (Л/^^ + В^^щ + С/Д^).

; = 1,3,5, ...2к-1.

Теорема 3. Пусть выполнены условия общности, касания и возвращаемости. Если нулевое решение системы на ограничении устойчиво, и все вышеуказанные функции отрицательно определены при & Ф 0, т/усоя^- + т0 и —?7у51Л9>у + 7?;+1со51)9у 0 соответственно, то решение х(0, С) = 0 системы устойчиво по Ляпунову. Если среди этих функций существует хотя бы одна положительно определённая при ^ ^ 0 функция Мг, причём соответствующее ей собственное подпространство линейной части отображения исследования в нуле не касается многообразия г(х) = 0, то нулевое решение системы неустойчиво по Ляпунову.

Можно показать, что условия теорем 1 и 2 нельзя ослабить в части требований к расположению собственных подпространств при формулировке условий неустойчивости.

Глава 3 посвящена рассмотрению механических примеров, для исследования которых применяются результаты главы 2.

Условия (с,/) < О (или г(дг(г))|х=0 < 0) в механике имеют простой смысл - активные силы должны стремиться "прижать" систему к границе односторонней связи (дифференциальной и голономной соответственно).

В первой части показывается, что всегда при числе степеней свободы большем единицы в системах с неудерживающей голономной связью для положений равновесия на ней будут существовать собственные значения дифференциала отображения последования равные по модулю (и просто равные) единице, что делает неприменимой теорему 2 в части исследования устойчивости. Результаты главы 2 остаются справедливыми, то есть имеется качественное описание характера движения системы в окрестности положения равновесия, но полного исследования устойчивости неподвижной точки вообще говоря сделать не удаётся. Ситуацию с исследованием устойчивости систем рассматриваемого типа спасают результаты А.П. Иванова, а в качестве вывода можно сказать, что метод функций Ляпунова оказывается более эффективным для исследования устойчивости положений равновесия механических систем с односторонними голоном-ными связями, когда имеет место интеграл энергии или Якоби. Если же не удаётся построить функцию Ляпунова, то можно попытаться применить теорему 3 главы 2 для исследования устойчивости.

Примером систем с односторонней голономной связью служит модельная задача о космическом лифте. Идея "космического лифта" восходит к К.Э Циолковскому и неоднократно обсуждалась в научной и технической литературе. Смысл её в том, что на экваторе Земли строится башня или закрепляется трос так, что вершина башни или свободный конец троса находится на геостационарной орбите (т.е. на расстоянии 42270 км. от центра Земли). Тогда, добравшись с Земли до вершины этой конструкции, оказываемся, с малыми затратами энергии - уже в свободном космическом полёте. Благодаря развитию в последние годы нанотехнологий и перспективам их дальнейшего совершенствования (углеродные нанотрубки), проблема создания космического лифта уже не кажется технически безнадёжной.

Ещё одним случаем, в котором возникает аналогичная модель, является двухмодульная космическая станция, состоящая из массивной главной части к которой с помощью троса крепится лёгкий модуль или зонд, чьим влиянием на основную часть станции пренебрегают.

Система моделируется равномерно вращающимся шаром, к экватору которого одним концом прикреплена безмассовая нерастяжимая нить. На другом конце находится материальная точка. Наиболее интересными с практической точки зрения являются положения системы, когда центр шара, точка крепления нити и материальная точка на её конце находятся на одной прямой. Находятся условия натянутости связи.

Опираясь на результаты А.П. Иванова можно показать, что при нахождении материальной точки дальше геостационарной орбиты такие относительные равновесия будут устойчивыми.

Вторая часть содержит простые иллюстративные примеры систем с односторонним дифференциальным ограничением.

Устойчивость по скоростям кругового движения одностороннего конька Чаплыгина. По гладкой плоскости, скользит диск с "односторонним коньком". Направление конька в абсолютных осях задаётся вектором т, а нормаль к нему вектором п = (соз<р,вт<р). Эти векторы вместе образуют систему координат,

г

■и

х

вмороженную в диск. Скорость центра масс конька (диска) представим во вмороженных осях в полярных координатах в виде v = (cosan + sinar)v. Влияние одностороннего конька по определению выражается наличием односторонней дифференциальной связи г = (v, п) = vcosa > 0.

Используя теорию главы 2, можно показать, что решение v = v0, ф = ф0, а — ±| системы на ограничении устойчиво по Ляпунову по переменным v, ф, а. Вместе с теоремой 1 главы 2 это даёт устойчивость по скоростям кругового движения диска с односторонним коньком, аналогичного решению задачи о коньке Чаплыгина даже в силу возмущений приводящих к сходу со связи, если выполнены условия ф0 < 0 при а = п¡2 или ф0 > 0 при а = — п¡^ Оба из них означают, что диск пытается ориентироваться так, чтобы вектор скорости был направлен в запрещённую область и, тем самым, "прижимается" к границе связи.

Стационарный режим генератора с ограничением скорости вращения его ротора. Рассмотрим систему ОДУ:

Г = -(г + k(o)i d> = jki2

К такой форме приводятся уравнения, описывающие при малых токах генератор последовательного возбуждения без внешнего момента, приложенного к валу.

Введём постоянные величины о)0 = — г/к и ¿0. Поддержание первой из них обеспечивает сохранение постоянной величины тока i0 в системе. Допустим, что на систему наложено ограничение а> > w0 и выполнено условие к < 0 (равносильное (с, f) < 0 в общей теории главы 2). Тоща теорема 1 главы 2 обеспечивает устойчивость решения oj0(t) = —г/к , £(t) н i0 системы с односторонним ограничением.

Третья часть отводится исследованию обобщения задачи Суслова, также являющей собой пример системы с односторонней дифференциальной

связью в случае (с,/) < 0. Рассматривается динамически невырожденное твёрдое тело, точка О которого зафиксирована в абсолютном пространстве. Внешние силы отсутствуют, либо не создают момента относительно точки О. Пусть а) - вектор угловой скорости, а е - орт, вмороженный в тело. На тело наложена односторонняя дифференциальная связь, если не забывать про угловое положение тела) (со, е) > 0.

Для её реализации используется обобщённая схема Вагнера с заменой ко-лёсиков с острой кромкой (эквивалентных в данном случае конькам Чаплыгина) на аналогично закреплённые односторонние коньки , лежащие в одной плоскости, вмороженной в тело и проходящей через неподвижную точку. Их допустимые для скольжения стороны расположим центрально-симметрично относительно последней. Этим обеспечивается требуемая возможность вращения только в одну сторону.

Решается задача поиска и исследования устойчивости неподвижных точек системы (стационарных движений твёрдого тела) по компонентам угловой скорости. Поведение угловых координат не исследуются. Если классические неподвижные точки уравнений Эйлера попали в область (со, е) > 0, то их устойчивость определяется классическими результатами. Отдельно исследуется начало координат а) = 0. Можно показать, что а) = 0 всегда является устойчивой по Ляпунову неподвижной точкой системы.

Случай шарового тензора инерции тривиален - каждая точка фазового пространства является устойчивой по Ляпунову неподвижной точкой системы.

Для динамически-симметричного твёрдого тела существуют:

• классические, попавшие в допустимую область, неустойчивые стационарные движения в главной плоскости эллипсоида инерции. Последняя перпендикулярна оси динамической симметрии.

• устойчивые стационарные движения, отвечающие вращению вокруг оси динамической симметрии, лежащей в плоскости, ограничивающей связь.

• новые устойчивые стационарные движения, заполняющие первую и третью четверти границы связи (в подходящих координатах и при соответствующей нумерации осей).

В общем случае несимметричного тела сохраняются классические стационарные вращения вокруг главных осей эллипсоида инерции, к которым прибавляются семейства равновесий, если граница связи является главной плоскостью границы связи. Последние устроены аналогично новым неподвижным точкам случая симметричного тела. Если же плоскость (со, е) = О не является главной для эллипсоида инерции, то можно указать условие, когда на ней возникает однопараметрическое семейство неподвижных точек, чья устойчивость исследуется с помощью теоремы 1 главы 2.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Белецкий В.В., Иванов М.Б., Отставнов Е.И.Модельная задача о космическом лифте. // Космич. Исслед. 2005, Т.43, Вып. 2.

2. Отставнов Е.И. Уравнения движения и условия существования системы двойного астероида // Космич. Исслед. 2008, Т.46, Вып. 2.

Подписано в печать 29. О^, 0$ Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. /,0 Тираж экз. Заказ ¿£/

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имениМ. В. Ломоносова

Введение.

Глава 1. Условия бесстолкновительного движения двойного астероида.

1. Уравнения движения и условия существования системы двойного астероида.

Глава 2. Исследование устойчивости равновесий систем с односторонним ограничением по первым приближениям.

1 .Определение системы ОДУ с односторонним ограничением, её решений и условий устойчивости неподвижных точек.

Глава 3. Исследование устойчивости равновесий механических систем с односторонними голономными и дифференциальными связями по первому и второму приближению.

1.Общие соображения.-Модельная задача о космическом лифте как пример системы с (с,/) = 0.

2. Иллюстративные примеры систем с односторонними дифференциальными связями.

3. Задача о движении твёрдого тела с неподвижной точкой, на которое наложена односторонняя дифференциальная связь.

Диссертация посвящена исследованию систем с ограничениями на значения фазовых переменных или с неудерживающими связями (в механических терминах). Это необходимо для изучения систем, состоящих из нескольких твёрдых тел, чьё взаимное расположение ограничено тем или иным образом. В работе рассматривается задача двух взаимно-гравитирующих твёрдых тел, и строится теория, позволяющая исследовать устойчивость состояний, возникающих из-за наличия односторонних связей в механике или ограничений общего вида для соответствующих образом определённых систем дифференциальных уравнений с неравенствами. Полученные теоретические результаты поясняются в иллюстративных примерах.

Для системы двойного астероида найдены достаточные условия на величину механической энергии и кинетического момента, обеспечивающие вечное бесстолкновительное движение тел на конечном расстоянии друг от друга.

Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений общего вида с неравенством, ограничивающим допустимую для динамики область фазового пространства, получены условия (не)устойчивости неподвижных точек, возникающих из-за наличия неравенства. Эти и родственные результаты применяются для исследования механических систем с неудерживающими связями.

Небесномеханические системы из нескольких твёрдых тел активно исследуются в современной механике. Наиболее точный анализ возможен в случае систем вида "тело-точка", которые позволяют точно (численно) находить как возможные стационарные движения (D.J. Scheeres [14]), так и статистические характеристики типа плотности выпадения частиц на тело (пересечение орбиты точки и поверхности тела), как это было сделано в работе О.О. Василько-вой[37]. Такие задачи представляют интерес для исследования процесса формирования астероидов, но не всегда пригодны для изучения динамики конкретных систем.

Большинство известных автору современных работ, посвященных системам двойных астероидов, используют численное моделирование, опирающееся либо на экспериментальные данные (D.J. Scheeres и др.[9]), либо на авторские представления о типичности рассматриваемых тел. Тела могут приближаться многогранниками (DJ. Scheeres, E.G. Fahnestock [11]), либо иметь симметрии (W.S. Кооп и др. [13]). Эффективными оказываются модели, задаваемые телами относительно простой формы - эллипсоидами и сферами. Они появляются при желании аналитически исследовать динамику систем многих притягивающихся твёрдых тел (В.В.Белецкий, A.B. Родников [33], [4], В.В.Белецкий [23]), либо динамику в окрестности таких систем (F. Gabern и др. [12], В.В. Белецкий [25]). Отдельно стоит упомянуть работы (В.В. Видякин [38]), где налагаемые на тела требования симметрии являются относительно слабыми, но находятся только решения, соответствующие классическим для случая точечных тел. Представления потенциала в таких ситуациях, полученные ещё Г.Н. Дубошиным [42], успешно применяются для численного моделирования (О.О. Василькова [37]). К сожалению, численное интегрирование уравнений не позволяет проводить качественный анализ систем общего вида.

В силу аналитической сложности получать общие результаты в полной задаче двух твёрдых тел произвольного вида представляется затруднительным (сложности имеют место уже для одного тела в поле ньютоновского центра [22] - предельный случай задачи двух твёрдых тел состоящей из очень массивного однородного шара и тела произвольной формы). Современные теоретические исследования, открытые книгой Г.Н. Дубошина [42] оперируют модельными системами тел простой формы. В общем случае до сих пор проводился лишь грубый качественный анализ. В полной постановке для изолированной системы двух твёрдых тел условия бесстолкновительности рассматривались в работах D.J. Scheeres[18], [19], в которых, однако, энергия и кинетический момент системы выступали как независимые параметры, которые приходилось подбирать. Ниже пороговые значения параметров будут явно вычисляться с использованием величины моментов инерции тел системы, что позволит сформулировать пригодные к практическому применению условия обеспечения сохранности системы, то есть устойчивости по Лагранжу некоторого класса её движений.

Допустим, что по тем или иным причинам нельзя ограничить взаимное расположение тел без постороннего вмешательства. Традиционным способом ограничения относительного движения является создание лёгких, но жёстких пространственных конструкций, удерживающих вместе части системы. Модельные задачи, открывающие эти исследования рассматривают базовую модель - две материальные точки, соединённые невесомым нерастяжимым стержнем и называемые гантелью, находящейся в гравитационном поле. Эти модели являются также дальнейшим упрощением, вводимым при описании твёрдых тел сложной формы (В.В. Белецкий [27], [32]). Даже классическая задача трёх тел (В.И. Арнольд и др.[20], А.П. Маркеев [51]) может быть обобщена для случаев подобного рода (WJ. Robinson [15], B.B. Белецкий [27]). Они допускают, например, исследование возмущений, вносимых атмосферой (В.В. Белецкий, М.Л. Пивоваров [31]), а также интересные инженерные применения (A.B. Родников [16], [17], М.А. Муницина [52]) для работы на околопланетной орбите.

Второй тип систем - с нежёстким закреплением частей. Характерной чертой в этом случае является малая масса удерживающих механизмов, имеющих при этом большую жёсткость на растяжение. Перспективные применения подобных конструкций рассматривались в (Белецкий В.В. [26], Белецкий В.В. Левин Е.М. [29]). Для их моделирования удобно применять теорию систем с односторонними связями и ударами (А.П. Иванов [43], В.В. Козлов, Д,В. Трещёв [46], В. Brogliato [6]). В частности, для них строятся методики исследования устойчивости. В книге [46] рассмотрен вопрос о реализации связей подобного рода, и конструкции, применяемые для их построения, эффективно используются для изучения модельных систем, таких, например, как биллиард Биркгофа. В книге [43] излагаются вопросы об импульсивном движении, возникающем при наличии односторонних связей, приводятся авторские обобщения метода функций Ляпунова для исследования устойчивости положений равновесия и периодических движений систем с односторонними связями. В целом представляется, что существуют два основных способа определения решений - с помощью вариационных принципов ([46], В.В. Румянцев [60]) либо конструктивно [43]. Последний будет применяться ниже, так как он наиболее удобен для исследования конкретных систем. Существуют также два основных подхода для исследования устойчивости - прямой метод Ляпунова (использовался для исследования систем с импульсами у D. Bainov и др. в [1], [2], [3], разработан А.П. Ивановым для механических систем [43], [44]) и метод точечных отображений (С.П. Горбиков [41]).

При формальном описании можно по-разному определять поведение системы, когда "включается" ограничение. Простейший и уже традиционный путь - зафиксировать моменты скачков, как это сделано в [54], [53] А.Д. Мышкисом, и в [58] H.A. Перестюком и A.M. Самойленко. Он не подходит, однако, для механических систем с неудерживающими связями (см, напр. С.Н. Березинская и др. [34]). Введение дополнительной функции, которая будет использоваться для изменения векторного поля, определяющего систему при "включённой реакции" отличает предлагаемый ниже подход от используемого в [40],[39]. Выстраиваемая в работе теория допускает скачки фазовых переменных и работает для систем произвольной конечной размерности, что отличает работу от близкой по духу [45], где системы двумерны и при выходе на связь система к ней "прилипает". В отличие от [45] нерегулярные точки границы связи и неподвижные точки системы, попавшие на связь, не исследовались в работе, так как в случае общего положения они изолированы и такие ситуации пропадают при малой деформации границы связи. Единообразное описание позволяет отталкиваться от общей базы при описании систем, механическими аналогами которых являются системы с неудерживающими голономными и неголономными (в терминах [34]) связями. Полученные теоремы близки по смыслу к теоремам Ляпунова об исследовании устойчивости положения равновесия по первому приближению (см. Н.Г. Четаев [65]). Для демонстрации взяты примеры, близкие к рассматриваемым в работах С.Н. Березинской и др. [34], И.И.Косенко и С.Я. Степанова [48], книги Ю.И. Неймарка и H.A. Фуфаева [56].

Рассмотрим кратко основные моменты.

Последние исследования космического пространства показали наличие большого количества систем естественных космических тел, которые состоят из нескольких близко расположенных элементов - системы астероидов, состоящие из двух и более тел. Из последних результатов интересно открытие тройной системы Сильвия-Ром-Ремул [10].

Астероид 243 Ида со спутником Дактиль

Астероид Сильвия со спутниками Рем и Ромул (анимация NASA).

Наблюдения показывают, что элементы таких систем находятся на конечном расстоянии друг от друга и соударения в них, как правило, отсутствуют.

Полное рассмотрение подобных задач очень трудоёмко и выходит за рамки классической механики. Однако представляется возможным использовать подобные идеи в рукотворных конструкциях и исследовать соответствующие модели в рамках динамики космического полёта. Элементы системы при этом можно моделировать с помощью абсолютно твёрдых тел. Разделение системы на независимые модули упрощает её монтаж и ремонт, а также может способствовать повышению безопасности эксплуатации подобных систем, когда, например, источник энергии космической станции может представлять угрозу при аварии. В последнем случае его удаление сильно упрощается из-за отсутствия непосредственного контакта с остальными модулями станции.

В главе 1 для развития общих методов исследования подобных систем представлена задача по нахождению условий, при которых система, состоящая из двух произвольных твёрдых тел, не требует фиксирования частей друг относительно друга, но при этом её динамика не приводит к соударению тел или их разлёта на слишком большое расстояние. Это можно назвать устойчивостью по

Лагранжу движений, удовлетворяющих найденным условиям. Задача ставится в рамках небесной механики, но, разумеется, может применяться и в динамике космического полёта [57]. Ещё один аспект - это задача о невыходе на границу неудерживающей голономной связи, задаваемой как условие касания поверхностей тел.

В качестве модели будут рассматриваться взаимно-гравитирующие твёрдые тела Тг, Т2 с центрами масс Сх, С2, массами mlf m2 и центральными тензорами инерции J и Л соответственно. Пусть (elt е2, е3), (а, /?, у) - правые тройки, задающие вмороженные оси С&щ и С2сфу первого и второго тел. Внешние силы отсутствуют.

Можно показать, что динамика системы описывается уравнениями:

Г + СО X г = V [l(v + СО X V) = dU дг y . , , du , п du , du , du со + сох/со = ах — + рх — + ух — + ГХ — да г 90 ду дг k0 + (úXK0 = Q п = CA^^ÍKq — /со — ¡лг X v) а = (fí - со) х а р = (Í2 - со) х р у = (Í2 - со) х у

С = [а Р у]

0.1) в которых введены обозначения: r=C1C2, v = со, íi - абсолютные угловые скорости первого и второго тел,

771,7712 и =-приведенная масса системы.

7711+7712

U = /TlxT2 |r-p°G+Cp°| " силовая функция гравитационного dr взаимодействия тел, К0 = /со + Aíí + \ir х — = к- кинетический момент системы относительно ее центра масс.

Все производные в (0.1) записаны в осях, вмороженных в первое тело. Тогда А = СтАС - центральный тензор инерции второго тела в своих главных осях. Уравнения (0.1) замкнуты, но для завершения описания нужно ещё определить ориентацию первого тела в абсолютном пространстве. Это делается путём интегрирования уравнений Пуассона

Гйег (а) X £?•> 1

5=«хе2 (0.2) йез о) х е3 после решения (0.1).

Уравнения (0.1) проще стандартных, получаемых из общих теорем динамики, если ставится задача поиска относительных равновесий. Теорема об изменении кинетического момента второго тела заменена более простым уравнением для вектора Ко. Это приводит к существенному усложнению соотношений, описывающих изменение ориентации второго тела относительно первого, и не позволяет говорить об упрощении при наличии динамики в связанных осях. Но выведенные уравнения имеют одно заметное преимущество: общие теоремы динамики, выписанные для каждого из тел, требуют одновременного отслеживания ориентации двух реперов, а не одного, как сделано выше. Усложнение в формулах Пуассона спасает от рассмотрения локальных производных в двух подвижных системах отсчёта, либо от нескольких соотношений с использованием непостоянных матриц при записи в абсолютных осях.

Г.Н. Дубошин в книге [42] получил уравнения движения системы многих твёрдых тел. Их скалярный вид удобен для применения методов усреднения или при наличии симметрии, тогда как рассматриваемые в данной главе больше подходят для качественных оценок из-за компактности их векторной записи. В уравнениях из [42] для случая двух твёрдых тел также присутствуют выражения теорем об изменении кинетического момента каждого из тел.

В качестве демонстрации относительно несложно можно получить условия относительного равновесия системы - оба тела вращаются как твёрдое целое вокруг их совместной главной центральной оси инерции. Непосредственное нахождение таких решений затруднено общим видом силовой функции U.

Для грубого качественного описания динамики рассматриваемой системы предлагается найти условия, при которых тела вечно остаются на конечном расстоянии друг от друга и не сталкиваютсяГВ работе [18] была предложена методика исследования и получена оценка, существенно и независимо использующая модуль вектора К0. Ниже мы откажемся от его повсеместного использования и найдём правило вычисления порогового значения для величины кинетического момента системы, необходимой для существования системы двойного астероида.

Методика нахождения необходимых и достаточных условий, предложенная в [18] и развиваемая ниже, восходит к классической работе С. Смейла [61]. В силу сложного устройства полного потенциала взаимодействия тел предлагается получить приближённые оценки границ области возможности движения (ОВД).

Как известно, в случае наличия у механической системы интеграла (энергии) вида Т + V = h = const, где Т - положительно - определённая квадратичная функция скоростей, ОВД определяется условием V < h. Используя дополнительные первые интегралы, можно установить нижнюю границу значений функции Т, считая координаты заданными параметрами. Это позволяет уточнить, где именно могут быть движения системы, при её нахождении на совместном уровне интегралов.

Потенциал взаимодействия задан интегралом, что затрудняет аналити-чес кое исследование. Вводятся две оценки потенциальной энергии- снизу И, < V и сверху V < V*. Выполнение неравенства V* < к влечёт V < к и гарантирует наличие движения в рассматриваемой точке конфигурационного многообразия. Неравенство V* > к напротив, обеспечивает V > к и обеспечивает невозможность движения с заданной энергией. Комбинируя эти условия можно оценивать положение границ ОВД.

Используя интеграл кинетической энергии для оценки снизу, предыдущие рассуждения в рассматриваемой задаче приводят к системе неравенств.

1 к^ 1 6+1 - 2(**+62)2

Здесь 5- безразмерное расстояние между центрами масс тел, к2 - безразмерный квадрат кинетического момента системы, Г - безразмерная сумма максимальных главных центральных моментов инерции тел, % - безразмерная механическая энергия системы. В них использованы оценки потенциальной энергии сверху и снизу соответственно. Получены следующие результаты:

Утверждение 1. Пусть значения параметров к2и 1* таковы, что при некотором х > 1 выполнены условия

1) оч а*+*2)3

2) К* > —--—.

Тогда существует промежуток значений безразмерной энергии х 6 [Х11Х2] < при которых все движения системы, начавшиеся на расстояниях между центрами масс, достаточно близкими к х (или больших х), будут ограниченными и бесстолкновительными.

Утверждение 2. Пусть значения параметров к2 и Г таковы, что при некотором х > 1 выполнены условия:

1) к

2 2(Г+х2)

Х-1

2) к2 >

2 > (Г+х2)3

2х(х-1)2'

Тогда существует промежуток значений безразмерной энергии [%*, 0) < 0, при которых движения системы, начавшиеся на расстояниях не меньших х, будут ограниченными и бесстолкновительными.

Утверждение 1 может иметь место только при значении 1* безразмерной суммы максимальных из главных центральных моментов инерции тел из интервала |о,^ — ^о)- Утверждение 2 может работать при любых значениях Г, но оно требует больших величин кинетического момента системы для обеспечения бесстолкновительности, нежели утверждение 1.

Глава 2 посвящена развитию теории, необходимой для исследования подобных ситуаций в системах с нежёсткой фиксацией частей.

Давая конструктивное определение решения системы с односторонним ограничением, обобщающее наиболее робастные способы получения решений в динамике систем с ударами, можно построить с его помощью отображение по-следования, позволяющее исследовать устойчивость неподвижной точки системы, возникающей на ограничении (если таковая существует). Исследование (относительных) равновесий важно, так как их практическое применение как правило является наиболее простым и надёжным с инженерной точки зрения.

Системой ОДУ с односторонним ограничением (или просто системой) будем называть четвёрку (X, г, 5, Я), состоящую из:

1) Системы обыкновенных дифференциальных уравнений х = Х(х) = / +

1 >/ Ах + + - (Вх, х) + •••, х £ называемой свободной системой.

2) Скалярного неравенства г(х) = (с, х) +- {их, х) Н— >0, называемого односторонним дифференциальным ограничением (или просто ограничением),

3) отображения Яп -> Я™,

4) вектор-функции называемой реакцией ограничений.

Отметим разницу между данным определением и вводимыми ранее. Фазовые координаты решения будут терпеть разрыв при выполнении г(х) = 0. Значение дт момента времени никак не привязано к значению фазовых переменных - — = 0.

Это не позволяет выделить в расширенном фазовом пространстве поверхность, где происходит изменение динамики с помощью уравнения вида Ь = т(х) либо просто зафиксировать моменты скачков, как это сделано в [54], [53], [58]. Введение функции И(х), которая будет использоваться для изменения векторного поля, определяющего систему при г(х) — 0 отличает предлагаемый подход от используемого в [40],[39].

Рассмотрим систему в окрестности начала координат и значения f = Х(0), дг с = — (х). Существенно различаются 3 случая: (с,/) > 0, (с,/) = 0, (с,/) < 0.

Первый из них влечёт уход решения от ограничения и в рассмотрение не входит. Два оставшихся предполагают существенные различия в определении и свойствах рассматриваемых решений.

При (с,/) < 0 решение системы х(х0, С), отвечающее начальным условиям х0, определим конструктивно: a) Если (пока) г(х(х0,£)) > 0, то решение строится с помощью свободной системы пока не выполнено Ь). b) Если г(х(х0, £*)) = 0,г\ — Х(х(х0, £*)) < 0 и существует £ > 0, что для всех Ь 6 Ь* + £) справедливо г < 0, то происходит переход от а) к с), либо решение строится с помощью с) в случае, если £:* = 0. Этот переход называется выходом на ограничение. c) Если (пока) г{х) = 0, то решение сроится с помощью системы на ограничении х = Х(х) + К(х) пока не выполнено ё). Функция выбирается таким образом, чтобы обеспечить сохранение равенства г — 0 для системы на ограничении, d) Если r(x(xQ, t**)) = 0,г>0и существует е > 0, что для всех t Е t**, t** + s) справедливо г > 0, то происходит переход от с) к а), либо решение строится с помощью а) в случае, если t** = 0. Этот переход называется сходом с ограничения.

Можно показать, что механические системы с односторонними дифференциальными связями (односторонними неголономными по [34]) описываются подобным образом.

Допустим, что Д(0) = — Х(0) = /, тогда, учитывая, что г(0) = 0 и г(0) = (с,/) < 0, х(0, t) = 0 является стационарным решением системы на ограничении и всей системы в целом.

Теорема 1. Для системы с односторонним ограничением в случае (с,/) < 0 при R(0) — — Х(0) устойчивость решения х(0, t) = 0 определяется только исследованием его устойчивости как решения системы на ограничении

В книге [43] доказывается похожее утверждение для механических систем с не- ^ упругим выходом на границу односторонней голономной связи, когда внешняя сила приводит к падению фазовой точки на связь недалеко от положения равновесия и далее точка остаётся на связи, так как нормальная составляющая импульса теряется при ударе. Вывод об устойчивости также можно сделать, рассматривая систему на связи. Однако, это сходство чисто внешнее. Как будет показано ниже, механическим системам с голономными односторонними связями, чьё поведение исследуется по полному набору переменных (координат и скоростей), соответствует случай (с,/) = 0, не исследованный до настоящего момента. Также, в рассматриваемом выше определении не происходит скачков решения при выходе на границу связи. Эта ситуация является типичной для механических систем с односторонними неголономными связями [34], исследование которых может проводиться с помощью полученного результата.

При (с,/) = 0 решение системы х(х0, £), отвечающее начальным условиям х0, строится следующим образом: a) Если (пока) г(х(х0, £)) > 0, то решение строится с помощью свободной системы, пока не выполнены Ь) или с) b) Если г(х(х0, £*)) = 0, г = 0 и существует г > О, что для всех £ 6 £* + е) вдоль решения свободной системы справедливо г < 0, то происходит переход от а) к ё), либо решение строится с помощью с!) в случае, если £* = 0. Этот переход называется выходом на ограничение. c) Если г(х(х0, £*)) = 0, г < 0, то происходит удар: x — Х(Хд, £*) x — 5(х~), причём г(х+) = 0,г(х+) > 0. Если г(х+) = 0 и для решения свободной системы с начальными условиями х+ справедливо Ь), то происходит переход к с1), иначе решение продолжается с помощью а). с!) Если (пока) г(х) = 0, то решение строится с помощью системы на ограничении х = Х(х) 4- /?(х) пока не выполнено е) Если г(х(х0, £**)) = 0, г > 0 и существует е > 0, что для всех £ е (£**, £** + е) вдоль решения свободной системы справедливо г > 0, то происходит переход от ё) к а), называемый сходом с ограничения.

Этот случай покрывает механические системы с односторонними голо-номными связями.

Рассмотрим условие общности - векторы с и АТ с + £// линейно независимы, условием касания - (с,/) = 0, условием возвращаемости - г|^(х)(0) = САтс + (//,/) < 0.

При их выполнении в окрестности начала координат можно построить отображение последования, сопоставляющее ближайшие по времени моменты схода с ограничения. Рассматривается Р - ограничение его дифференциала на гиперплоскость (с,/) = 0.

Теорема 2. Пусть для системы ОДУ с односторонним ограничением выполнены условия, указанные выше. Если все собственные значения оператора Р строго меньше единицы по абсолютной величине и 0 - устойчивая по Ляпунову неподвижная точка системы на ограничении, то решение х(0, Ь) = 0 системы устойчиво по Ляпунову. Если существует хотя бы одно собственное значение оператора Р, большее по модулю, чем единица, и соответствующее собственное подпространство не касается многообразия г(х) = 0, либо 0 - неустойчивая по Ляпунову неподвижная точка системы на ограничении, то решение х(0, £) = 0 системы неустойчиво по Ляпунову.

В случае, когда некоторые из собственных значений оператора Р равны по модулю единице, ситуация усложняется. Пусть ¡и2,. [¿I - действительные, а дг,., дк, дк - комплексные собственные значения оператора Р, I + 2к = п — 1. Записывая д] в виде р^е1(р}, <р -} Ф 0, можно представить матрицу ограничения дифференциала отображения Пуанкаре (строго говоря, сколь угодно близкого [49]) в новом базисе: определяемую формулами (по повторяющимся на разных уровнях индексам предполагается суммирование): т 1 - о о . о \

• .

• .

• • • .

О . К о . о

0 . 0 . о

• Ч : 1 :

0 0 . Вк/

Рассмотрим ограничение отображения Пуанкаре на границу связи Р: г -> г+,

Г i = Mi + brtvts + дГЫр + h^Wd + o(\\z\n Pj(VjCOS(pj + 7ij+1sin<pj) + A]s$v$s + Bjv$vT]v + Cjqr)vT)q + o(||z||2) V+J+1 = Pj{-T}j Sirup J + T}j+1COS(Pj) + Aj^vfs + Bj^v7]v + Cf^rjpTlq + 0(||z||2), i, v, s = 1. I, p, q = 1.k,j = 1,3,5,.2k —1

Без потери общности будем считать, что |щ| = 1, i = 1. I < I, \pj\ = l,j =

1. к < к, и допустим, что соответствующие им жордановы клетки имеют единичный размер, а остальные собственные значения строго меньше единицы по абсолютной величине.

Рассмотрим функции

Mt(z) = sign(Mi)(bfs^s + gjptvr]p + ft{%7jq), i = l.l,

Nj(z) = sign (pfyjcoscpj + r}j+1sin(pj)) (Ajs^s + Bjp$vr)p + Cfqт]рщ), ty+iCO = sign {pj{-r]jSin(pj + 7]j+1cos(pjj) (AJ^^ + B^vr/p + Cf^r)^, j = 1,3,5,. 2k - 1.

Теорема 3. Пусть выполнены условия общности, касания и возвращаемости. Если нулевое решение системы на ограничении устойчиво, и все вышеуказанные функции отрицательно определены при Ф 0, T]jCOS(pj + tJj+is^n(Pj ^ 0 и —rjjSincpj + rjj+1cos(pj Ф 0 соответственно, то решение х(0, t) = 0 системы устойчиво по Ляпунову. Если среди этих функций существует хотя бы одна положительно определённая при Ф 0 функция Mh причём соответствующее ей собственное подпространство линейной части отображения последования в нуле не касается многообразия г(х) = 0, то нулевое решение системы неустойчиво по Ляпунову.

Можно показать, что условия теорем 1 и 2 нельзя ослабить в части требований к расположению собственных подпространств при формулировке условий неустойчивости.

Глава 3 посвящена рассмотрению механических примеров, для исследования которых применяются результаты главы 2.

Условия (с,/) < 0 и г(х(£))|ЛГ=0 < 0 в механике имеют простой смысл - активные силы должны стремиться "прижать" систему к границе односторонней связи (дифференциальной и голономной соответственно).

В первой части показывается, что всегда при числе степеней свободы большем единицы в системах с неудерживающей голономной связью для положений равновесия на ней будут существовать собственные значения дифференциала отображения по следования равные по модулю (и просто равные) единице, что делает неприменимой теорему 2 в части исследования устойчивости. Результаты главы 2 остаются справедливыми, то есть имеется качественное описание характера движения системы в окрестности положения равновесия, но полного исследования устойчивости неподвижной точки вообще говоря сделать не удаётся. Ситуацию с исследованием устойчивости систем рассматриваемого типа спасают результаты А.П. Иванова, представленные [43], а в качестве вывода можно сказать, что метод функций Ляпунова оказывается более эффективным для исследования устойчивости положений равновесия механических систем с односторонними голономными связями, когда имеет место интеграл энергии или Якоби. Если же не удаётся построить функцию Ляпунова для использования результатов [43], то можно попытаться применить теорему 3 главы 2 для исследования устойчивости.

Примером систем с односторонней голономной связью служит модельная задача о космическом лифте [28]. Идея "космического лифта" восходит к К.Э Циолковскому и неоднократно обсуждалась в научной и технической литературе [8], [9],[30], [59]. Смысл её в том, что на экваторе Земли строится башня [64] или закрепляется трос так, что вершина башни или свободный конец троса находится на геостационарной орбите (т.е. на расстоянии 42270 км. от центра Земли). Тогда, добравшись с Земли (на "электровозе" [21]) до вершины этой конструкции, оказываемся, с малыми затратами энергии - уже в свободном космическом полёте. Благодаря развитию в последние годы нанотехнологий и перспективам их дальнейшего совершенствования (углеродные нанотрубки) [55], проблема создания космического лифта уже не кажется технически безнадёжной.

Ещё одним случаем, в котором возникает аналогичная модель, является двухмодульная космическая станция, состоящая из массивной главной части к которой с помощью троса крепится лёгкий модуль или зонд, чьим влиянием на основную часть станции пренебрегают.

Система моделируется равномерно вращающимся шаром, к экватору которого одним концом прикреплена безмассовая нерастяжимая нить. На другом конце находится материальная точка. Наиболее интересными с практической точки зрения являются положения системы, когда центр шара, точка крепления нити и материальная точка на её конце находятся на одной прямой. Находятся условия натянутости связи (традиционные - активные силы стремятся растянуть нить, см., например, [7]). г а т X

Опираясь на результаты [43] можно показать, что при нахождении материальной точки дальше геостационарной орбиты такие относительные равновесия будут устойчивыми.

Вторая часть содержит простые иллюстративные примеры систем с односторонним дифференциальным ограничением.

Устойчивость по скоростям кругового движения одностороннего конька Чаплыгина. Рассматривается задача, поставленная в [34]. По гладкой плоскости, скользит диск с "односторонним коньком".

Направление конька задаётся вектором т, а нормаль к нему вектором п = (coscp, sincp). Эти векторы вместе образуют систему координат, вмороженную в диск. Скорость центра масс конька (диска) представим во вмороженных осях в полярных координатах в виде v = (cosan + sinax)v. Влияние одностороннего конька по определению выражается наличием односторонней дифференциальной связи г = (у, ti) = veos а > 0.

Используя теорию главы 2, можно показать, что решение v = v0, ф = ф0, а = ± ^ системы на ограничении (модели механической системы с неудерживающей дифференциальной связью) устойчиво по Ляпунову по переменным V, ф, а. Вместе с теоремой 1 главы 2 это даёт устойчивость по скоростям кругового движения диска с односторонним коньком, аналогичного решению задачи о У о коньке Чаплыгина даже в силу возмущений приводящих к сходу со связи, если выполнены условия ф0 < О при а = п¡2 или Фо > О ПРИ а — ~ П¡2' из них означают, что диск пытается ориентироваться так, чтобы вектор скорости был направлен в запрещённую область и, тем самым, "прижимается" к границе связи.

Стационарный режим генератора с ограничением скорости вращения его ротора. Рассмотрим систему ОДУ:

V = —(г + /саз) I 6) — у/а'2

К такой форме приводятся уравнения, описывающие при малых токах генератор последовательного возбуждения [56] без внешнего момента, приложенного к валу.

Введём постоянные величины <х>0 = —г/к и ¿0. Поддержание первой из них обеспечивает сохранение постоянной величины тока г0 в системе. Допустим, что на систему наложено ограничение а) > со0 и выполнено условие к < 0 (равносильное (с, /) < 0 в общей теории главы 2). Тогда теорема 1 главы 2 обеспечивает устойчивость решения СО = —, = ¿0 системы с односторонним ограничением.

Третья часть отводится исследованию обобщения задачи Суслова, также являющей собой пример системы с односторонней дифференциальной связью в случае (с,/) < 0.

Рассматривается динамически невырожденное твёрдое тело, точка О которого зафиксирована в абсолютном пространстве. Внешние силы отсутствуют, либо не создают момента относительно точки О. Пусть о) - вектор угловой скорости, а е - орт, вмороженный в тело. На тело наложена односторонняя дифференциальная связь (идеальная односторонняя неголономная, согласно терминологии [34], если не забывать про угловое положение тела) (а), е) > 0.

Для её реализации используется обобщённая схема Вагнера [36] с заменой колёсиков с острой кромкой (эквивалентных в данном случае конькам Чаплыгина) на аналогично закреплённые односторонние коньки [34], лежащие в одной плоскости, вмороженной в тело и проходящей через неподвижную точку. Их допустимые для скольжения стороны расположим центрально-симметрично относительно последней. Этим обеспечивается требуемая возможность вращения только в одну сторону.

Решается задача поиска и исследования устойчивости неподвижных точек системы (стационарных движений твёрдого тела) по компонентам угловой скорости. Поведение угловых координат не исследуются. Если классические неподвижные точки уравнений Эйлера попали в область (со, е) > 0, то их устойчивость определяется классическими результатами. Отдельно исследуется начало координат ¿0 = 0. Можно показать, что со = 0 всегда является устойчивой по Ляпунову неподвижной точкой системы.

Случай шарового тензора инерции тривиален - каждая точка фазового пространства является устойчивой по Ляпунову неподвижной точкой системы.

Для динамически-симметричного твёрдого тела существуют:

• классические, попавшие в допустимую область, неустойчивые стационарные движения в главной плоскости эллипсоида инерции. Последняя перпендикулярна оси динамической симметрии.

• устойчивые стационарные движения, отвечающие вращению вокруг оси динамической симметрии, лежащей в плоскости, ограничивающей связь.

• новые устойчивые стационарные движения, заполняющие первую и третью четверти границы связи (в подходящих координатах и при соответствующей нумерации осей).

В общем случае несимметричного тела сохраняются классические стационарные вращения вокруг главных осей эллипсоида инерции, к которым прибавляются семейства равновесий, если граница связи является главной плоскостью границы связи. Последние устроены аналогично новым неподвижным точкам случая симметричного тела. Если же плоскость (о), е) = О не является главной для эллипсоида инерции, то можно указать условие, когда на ней возникает однопараметрическое семейство неподвижных точек, чья устойчивость исследуется с помощью теоремы 1 главы 2.

Заключение.

В данной работе рассмотрен ряд задач, посвященных исследованию механических систем, состоящих из нескольких тел, с гибким закреплением частей друг относительно друга и общая теория, включающая подобные системы. Доказан ряд теорем, которые могут применяться в исследовании систем с односторонними связями, а также выяснены условия их применимости в механических задачах.

В главе 1 рассмотрена изолированная механическая система, состоящая из двух взаимно - гравитирующих твёрдых тел произвольной формы. Найдены такие условия на величину кинетического момента и энергии системы, которые гарантируют вечное нахождение тел на конечном расстоянии друг от друга при отсутствии соударений, то есть устойчивость системы по Лагранжу.

В главе 2 определяются понятия системы ОДУ с односторонним ограничением и её решения для двух принципиально различных ситуаций, в которых векторное поле свободной системы касается либо трансверсально пересекает ограничение в рассматриваемой точке. Также формулируются и доказываются теоремы об устойчивости положений равновесия, возникающих из-за наличия ограничения для каждого случая.

В главе 3 рассматривается возможность применения результатов главы 2 в механике. В частности, показано, что наименее затратный в плане усилий вариант - теорема 3 - исследования устойчивости по первому приближению для случая касания векторным полем ОДУ ограничения не даёт достаточных условий устойчивости в механических системах с односторонними голономными связями, если число степеней свободы больше единицы. Как пример применения ранее известных результатов для сравнения приводится исследование относительных равновесий в модельной задаче о космическом лифте.

Новые результаты демонстрируются в задачах об устойчивости типичных движений одностороннего конька Чаплыгина и генератора с храповиком на вале ротора. Подробно исследуется обобщение задачи Суслова о движении твёрдого тела с неподвижной точкой, на которое наложена идеальная односторонняя дифференциальная связь. Для него находятся все стационарные движения, при которых угловая скорость постоянна и проводится исследование их устойчивости методами главы 2.

1. Bainov D. Kulev G. Application of Lyapunov's direct method to the investigation of the global stability of the solutions of systems with impulse effect.// Applicable Anal. 1988 vol. 26, №4, p.255-270.

2. Bainov D. Kulev G. On the asymptotic stability os systems with impulses by the direct method of Lyapunov.// J.Math. Anal and Appl. 1989 vol 140, №2, p.324-340.

3. Bainov D.D., Simeonov P.S. Stability with respect to part of the variables in systems with impulse effect.// J.Math. Anal. And Appl. 1987, vol.124 №2 p.547-560.

4. Bellerose J., Scheeres D J. Stability of equilibrium points in the restricted full three-body problem. Acta Astronáutica 60, 2007, p. 141-152.

5. Brogliato B. Nonsmooth Impact Mechanics. Springer-Verlag London Limited, 1996.

6. Burov A., Troger H. On relative equilibria of a tethered system with variable tether length. ZAMM 2001. Vol. 81. Suppl. 4. P. 815-816.

7. Clarke A. The fountains of paradise. Ballantine Books, 1978 (Кларк А. Фонтаны рая// Техника-молодёжи. 1980. №1-12)

8. D.J. Scheeres et al. Dynamical configuration of binary near-earth asteroid (66391) 1999 KW4. Science 314, 2006. p. 1280-1283.

9. F. Marchis, P. Descamps, D. Hestroffer, J. Berthier ; Discovery of the first triple asteroidal system 87 Sylvia. Nature, 2005

10. Fahnestock E.G., Scheeres D J. Simulation of the full two rigid body problem using polyhedral mutual potential and potential derivatives approach. Celestial mechanics and Dynamical Astronomy №96, 2006, p. 317-339.

11. Gabern F., Koon W.S., Marsden J.E. Spacecraft dynamics near a binary asteroid. Discrete and continuous dynamical systems. Supplement volume 2005, p. 297 306.

12. Koon W.S., Marsden J., Ross S. Geometric Mechanics and the dynamics of asteroid pairs. Annals New York Academy of Sciences 1017: 1-28(2004).

13. Lara M., Scheeres D.J. Stability bounds for three-dimensional motion close to asteroids. AAS02 Space Flight Mechanics Meeting San Antonio, Texas, January 2731,2002.

14. Robinson W.J. The restricted problem of three bodies with rigid dumb-bell satellite. Celestial mechanics 8 1973 p.323-330

15. Rodnikov A.V. Equilibrium positions of a weight on a cable fixed to a dumbbell-shaped space station moving along a circular geocentric orbit. Cosmic Research, 2006, Vol. 44, № l, p. 58-68.

16. Rodnikov A.V. The algorithms for capture of the space garbage using "leier constraint". Regular and chaotic dynamics, V.ll, №4, 2006, p.483-489.

17. Scheeres D. J. Stability of Binary Asteroids// Icarus. 2002. V.159 N 2. P.271-283.

18. Scheeres D.J. Stability in the full two-body problem. Celestial mechanics and Dynamical Astronomy №83, 2002, p. 155-169.

19. Арнольд В.И., Козлов B.B., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: УРСС, 2002.

20. Арцутанов Ю.Н. В космос на электровозе //Комсомольская правда. 31 июля 1960г.

21. Белецкий B.B. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука. 1965.

22. Белецкий В.В. Модельная задача динамики двойного астероида. Труды IX Международной Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением". Иркутск, 2007, том 1.

23. Белецкий В.В. Новикова Е.Т. Об относительном движении связки двух тел на орбите //Космич. Исслед. 1969. Т.7. Вып 3.

24. Белецкий В.В. Об одной задаче А.Ю. Ишлинского. ПММ Том 67, Вып. 4, 2003.

25. Белецкий В.В. Об относительном движении связки двух тел на орбите. П // Космич. Исслед. 1969. Т.7. Вып. 6.

26. Белецкий В.В. Обобщенная ограниченная круговая задача трех тел как модель динамики двойных астероидов./ЯСосмические исследования, 2007, т.45, № 56 стр.435-442.

27. Белецкий В.В., Иванов М.Б., Отставное Е.И.Модельная задача о космическом лифте. // Космич. Исслед. 2005, Т.43, Вып. 2.

28. Белецкий В.В., Левин Е.М. Динамика космических тросовых систем. М.:Наука, 1990.

29. Белецкий В.В., Левин Е.М. Тысяча и один вариант "космического лифта"

30. Техника молодёжи. 1990, №10.

31. Белецкий В.В., Пивоваров М.Л. О Влиянии атмосферы на относительное движение гантелеобразного спутника. ПММ, Т. 64, Вып. 5, 2000г, стр. 721-731.

32. Белецкий В.В., Родников A.B. Об устойчивости треугольных точек либрации в обобщенной ограниченной круговой задаче трех тел.//Космические исследования, 2008, т.46, № 1.

33. Березинская С.Н., Кугушев Е.И„ Сорокина О.В. О движении механических систем с односторонними связями // Вестн. Моск. Ун-та, cepl. Мат., мех., 2005, №3, 18-24с.

34. Борисов A.B. Мамаев И.С. Гамильтонизация неголономных систем РХД.

35. Вагнер Г.В. Геометрическая интерпретация движения неголономных динамических систем. Труды семинара по векторному и тензорному анализу, 1941 Вып. 5, с.301-327.

36. Василькова О.О. Движение спутника в близкой окрестности астероида; Дис. .канд. ф.-м. наук; 01.03.01, С.-П. 2006.

37. Видякин В.В. Поступательно-вращательное движение абсолютно твёрдых тел. Учеб. пособие. Архангельск. Изд-во Помор, междунар. пед. ун-та. им. М.В. Ломоносова, 1995.

38. Горбиков С.П. Локальные особенности динамических систем с ударными взаимодействиями. // Мат. Заметки т.64 вып.4. 1998г. стр. 531-542.

39. Горбиков С.П. Особенности строения фазового пространства динамических систем с ударными взаимодействиями.// Изв. АН СССР МТТ 1987г. №3, стр. 23-26.

40. Горбиков С.П. Установившиеся движения осциллятора без вязкого трения с предварительным натягом и неподвижным ограничителем.// Изв. АН СССР, МТТ №2 1990г., стр. 44-50.

41. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука 1968.

42. Иванов А.П. Динамика систем с механическими соударениями. М.: "Международная программа образования" 1997.

43. Иванов А.П. Об устойчивости в системах с неудерживающими связями. ПММ. 1984. Т. 48, вып. 5. С. 725-732.

44. Иванов А.П. Об устойчивости положений равновесия в динамической системе с односторонней связью. Тез. докл. X международный семинар им. Е.С. Пятницкого. М. 2008г.

45. Козлов В.В., Трещёв Д.В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: Изд-во МГУ, 1991.

46. Колмогоров А.Н. Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. Изд. 4-е, испр. М.:Наука 1976.

47. Косенко И.И. Степанов С .Я. Устойчивость положений относительного равновесия орбитальной связки с учётом ударных взаимодействий. Неограниченная задача. // Известия РАН. Механика твердого тела. 2006. № 4. С. 86-96.

48. Кострикин А.И. Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М.:Изд-во МГУ, 1980.

49. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М. Гос. Изд-во техн.-теоретической лит-ры. 1950.

50. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.:Наука 1978.

51. Муницина М.А. Двухтросовая система "гантель-груз" в центральном гравитационном поле; Дис. .канд. ф.-м. наук; 01.02.01, М., 2007.

52. Мышкис А.Д. Устойчивость решений дифференциальных уравнений при обобщённых импульсных возмущениях.//Автоматика и телемеханика 2007г. №10, стр. 125-133.

53. Мышкис А.Д., Самойленко A.M. Система с толчками в заданные моменты времени.//Мат. Сборник. Т.74 вып 2., 1967г. стр. 202-208.

54. Нанотехнологии в ближайшем десятилетии. Прогноз направлений исследований / Под ред. М.К. Роко, P.C. Уильямсона и П. Аливисатоса. М.: Мир, 2002.

55. Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Динамика неголономных систем. М.: Наука. 1967.

56. Отставнов Е.И. Уравнения движения и условия существования системы двойного астероида // Космич. Исслед. 2008, Т.46, Вып 2.

57. Перестюк H.A. Самойленко A.M. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. Киев, 1987г.

58. Поляков Г.Г. Собр. Трудов. Т.1. Привязные спутники, космические лифты и кольца. Астрахань. Из-во Астраханского университета, 1999.

59. Румянцев В.В. О вариационных принципах для систем с неудерживающи-ми связями. ПММ 2006. Т. 70. Вып. 6. С. 902-914.

60. Смейл С., "Топология и механика", УМН, 27:2(164) (1972), 77-133

61. Справочник "Элементы механизмов" /Под ред. A.J1. Леймера. Государственное издательство оборонной промышленности, Москва 1944.

62. Суслов Г.К. Теоретическая механика. М., Гостехиздат, МЛ, 1946.

63. Циолковский К.Э. Путь к звёздам. М.: Изд-во АН СССР, 1961.

64. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. 4-е изд. испр. М.:Наука. 1990.