Управление в сингулярных эллиптических задачах с односторонними ограничениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

1 ' У *

МИНИСТЕРСТВО ПО ДЕЛАН НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЬ! И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ии.ЛЕНИНСКОГО КОМСОМОЛА

На правах рукописи УДК 517.972.5+517.997.5

Леонтьев Анатолий Николаевич

УПРАВЛЕНИЕ В СИНГУЛЯРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ С ОДНОСТОРОННИМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1992

Работа выполнена в Институте гидродинамики им.Ы. А.ЛавреН' тьева СО РАН.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук профессор А.Ц.Хлуднев.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.И.Налимов, кандидат физико-математических наук В.В.Алёхин.

Ведущая организация - Институт математики и механики УрО

РАН.

Защита состоится "ч " 1992 г. в ' э часов

на заседании специализированного Ьовета К 063.98.04 при Новосибирском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете им.Ленинского комсомола по адресу: 630090, г.Новосибирск - 90, ул.Пирогова, 2.

С диссертацией могно ознакомиться в библиотеке Новосибирскогс государственного университета.

Автореферат разослан сы'Л^шг г.

Учёный секретарь специализированного совета доктор физ.-мат. наук

Б.В.Капитонов

г>СССУ,ЙСКЛ-П

госу/;-; -

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многие физические процессы, в той числе контактное взаимодействие упругих и упруго-пластических тел, могут моделироваться с помощью вариационных неравенств и приводят к возникновение задач с односторонними ограничениями.

Классическая теория управления для задач с односторонними ограничениями опирается на свойство конической дифференцируе-мости отображения "управление - состояние", либо на свойство дифференцируемое™ этого отображения для штрафованной задачи. Комо было бы избежать рассмотрения этих свойств, сформулировав задачу управления как задачу о лагранаиане, однако, для оистем с односторонними ограничениями оставался открытым вопрос о существовании множителей Лаграняа.

Ряд моделей, например, модель Кармана больших прогибов 1ластин, модель упруго-пластической балки Тимошенко, для соторых имеет практический интерес рассмотрение контактных задач и управления в них, допускают кратные решения и не эхватывагтея классическими методами. В теории ге управления зингулярными системами односторонние ограничения не рассиатр-1вались.

Таким образом, возникает необходимость рассмотрения 'правления в задачах с односторонними ограничениями, допуска-)щих кратные решения и построения для них адекватных методов, 'читывающих как их односторонний, так и сингулярный характер.

Цель работы. Изучение оптимального управления в сингуляр-ых эллиптических задачах с односторонними ограничениями, получение результатов о разрешимости и формулировка необходи-ых условий оптимальности для конкретных моделей, описывающих правление процессом контактного взаимодействия для упругих и пруго-пластических тел.

Научная новизна. Все результаты диссертации является новыми и состоят в следуйщей:

- получены необходимые условия оптимальности в виде системы оптимальности для задачи управления множеством ограничений вариационного неравенства четвёртого порядка;

- доказано существование решения в задаче управления множеством ограничений для сингулярной системы, включающей нелинейное вариационное неравенство четвёртого порядка и описывающей контакт пластины Кармана; получена сингулярная система оптимальности и сформулированы необходимые условия оптимальности задачи управления;

- доказано существование множителей Лагранжа в задачах управления для вариационного неравенства второго порядка, а также для сингулярной системы вариационных неравенств, описывающей контакт упруго-пластической балки Тимошенко

в случае односторонних ограничений на моменты;

- доказано существование решения в задаче управления внешней нагрузкой для сингулярной системы вариационных неравенств, описывающей контакт упруго-пластической балки Тимошенко; получены необходимые условия оптимальности для задачи управления в виде сингулярной системы оптимальности как в случае односторонних, так и двухсторонних ограничений на моменты.

Методика исследования. Для доказательства существования решения задач управления используются прямые методы, основанные на априорных оценках решений. Для получения необходимых условий оптимальности применяются метод адаптированного штрафа и метод приращений.

Практическая и теоретическая ценность. В теоретическом отношении представленные в работе результаты продолжают развитие теории управления как для сингулярных задач, так и для задач с односторонними ограничениями. Практическая значимость обусловлена^ широким использованием рассматриваемых моделей в задачах механики твёрдого тела.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на ХХУП и ХХУШ Всесоюзных студенческих научных конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (г.Новосибирск, 1988, 1989 гг.), на XXII Региональной молодёжной конференции (г.Свердловск, 1991 г.), на научной школе-семинаре "Моделирование и исследование устойчивости физических процессов" (г.Киев, 1991 г.), на XXIII Региональной молодёжной конференции (г.Екатеринбург, 1992 г.), на конференции "Моделирование и исследование устойчивости процессов" (г.Киев, 1992 г.), на теоретическом семинаре Института гидродинамики им.М.А. Лаврентьева СО РАБ под руководством академика РАН Л.В.Овсянникова, на семинаре по математическим моделям механики сплошной среды в Институте гидродинамики им.М.А.Лаврентьева СО РАН под руководством член-корреспондента РАН В.Н.Монахова, на семинаре "Качественная теория дифференциальных уравнений" Института математики СО РАН под руководством профессора Т.И. Зеленяка, на семинаре лаборатории оптимального управления механическими системами Института механики АН Украины под руководством профессора В.Г.Литвинова.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из предисловия, введения, четырёх глав и списка литературы, включавшего 52 наименования. Объём диссертации - 118 страниц машинописного текста.

II. С0ДЕР1АНИЕ РАБОТЫ

В предисловии даётся общая характеристика работы, сформулированы основные результаты диссертации.

Во введении излагаются вопросы, касающиеся управления для сингулярных задач, а также для задач с односторонними ограничениями. Приведён обзор литературы.

В первой главе рассматривается задача управления вариационным неравенством, описывающим контакт пластины Кирхгоффа с жёстким штампом формы ^ . В качестве управления выбрано множество ограничений вариационного неравенства. Ищется оптимальная форма штампа, при которой прогиб W пластины как можно меньше отличается от заданного UJ^ :

(Atv*»,v«-w)>(fiw-w)j w e 7

где = tw e HtCO) 1 w ^Vf b&^.&cr2-,

ф - замкнутое выпуклое множество управлений:

Существование оптимальной пары "штамп - прогиб" доказано в работе А.И.Хлуднева*.

В § I рассматривается штрафованная задача:

е $ 7

^V, шь) = : № w*) +• \ I ? -

и адаптированная к ней: -L/w-f З^Сч" VeA

* Хлуднев A.M. Оптимальное управление вариационным неравенств вом в контактной задаче для пластин//Динамика сплошной среды. -Новое ибирск,1968.-Вып.87.-С.122-135.

Здесь рс(г)- функция штрафа: - - \ •

Доказывается, что при каждом фиксированном существует решение и)^ штрафованной и

адаптированной задач. Показано (Теорема I), что при £"->0

слабо в н1(0.) .

слабо в ,

где - произвольно выбранное решение штрафованной

С» "фг

задачи, и при 1^0 ^ ^ сильно в .

и; сильно в .

где|^,и;] - произвольно выбранное решение исходной задачи.

Таким образом, доказана возможность аппроксимации с по-моцьс решений приближённых задач лобого из решений исходной задачи управления.

В § 2 методом адаптированного штрафа получены необходимые условия оптимальности для задачи управления.

В адаптированной задаче функции ^ и не связаны никакими соотношениями, поэтому необходимые условия минимума этой задачи имеют вид:

"± |>яо«о,

Введя функциЕ сопряжённого состояния адаптированной задачи

необходимые условия можно записать в терминах системы оптимальности (Теорема 2).

Получены априорные оценки для р и показано, что

2.

при £ ->• О Г ? слаб° в •

Г £

Вместе с оценками сходимостей иг и ^ это позволяет выполнить предельный переход при £,£.-»0 в системе оптимальности адаптированной задачи, получив, % силу результатов § I об аппроксимации, систему оптимальности исходной задачи управления (Теорема 3):

' а.1« - | ^ , й,\/уГенио), ? е

?>о, (I о,

, ^р- 0 - Й-«а , ^ е ^ ^

Здесь обозначено: ^»У'Т^ (^Ч ,

Необходимые условия оптимальности (Теорема 4) для задачи

* о

управления заключаются в существовании Р и и таких,что для

* + ^ + л

функций ^ , Ш , ? , р и о выполнены соотношения системы

оптимальности.

Описанный способ получения необходимых условий оптимальности не требует привлечения свойств дифференцируемости отображения "управление - состояние" и используется в дальнейшем при изучении сингулярных задач. Кроме того, в следующей главе используются результаты, позволяющие переходить к пределу в системе оптимальности штрафованной задачи (Утверждения 1,2) -проблема, обусловленная наличием порога гладкости у решений вариационного неравенства высокого порядка.

б

Во второй главе рассмотрена задача управления системой, включающей нелинейное вариационное неравенство и допускающей кратные решения. Система описывает контакт пластины Кармана (модель деформаций с большими прогибами) с жёстким штампом формы .

Разрешимость контактной задачи (Теорема I) доказана автором в работе [I] с использованием аппарата операторов штрафа. Учитывая её сингулярный характер, в задаче управления формой штампа ищется тройка функций ^ , №, V } удовлетворяющих системе соотношений :

а^ + и)] = 0 , V е иг0(Я),

и минимизирующая функционал стоимости:

,«, М) = { N - *»* 1 ^ " ^11 111 ?11 ни)

на замкнутом выпуклом множестве управлений § :

$<=Нг(£), Vна Здесь , Уд - заданные функции из

0,\/] а ъл'\ъцг\а - 2_Эд,:У,ги + "

и,1 - функция вертикального прогиба пластины, V - функция напряжений. Краевые условия на и/ соответствуют жёсткому закреплению пластины на границе, на V - отсутствию горизонтальных усилий на

В § I доказано существование решения задачи

управления (Теорема 2) при следующих условиях на множество ^ :

3«еУСт <-Щу

В § 2 построены, штрафованная и адаптированная задачи упр-

С с

авления. Доказано, что каждая из них имеет решение {^ »>^"}

^ (Теорема 4), сходящиеся при Г б.-^О к произвольно

выбранной оптимальной тройке задачи управления (Теоремы 3,5).

В § 3 вводятся функции сопряжённого состояния адаптированной задачи ^ и ^ , получены их равномерные по Г и ь априорные оценки и сформулированы в терминах системы оптимальности необходимые условия оптимальности адаптированной задачи (Теорема б). ^

При дополнительных условиях на $ : \№ ^""(.О.)^ цД)

показано, что можно выполнить переход к пределу при >0 в системе оптимальности адаптированной задачи, получив систему оптимальности штрафованной задачи (Теорема 7), а затем при £.-^0 , получив сингулярную систему оптимальности и сформулировать необходимые условия оптимальности для исходной задачи управления (Теорема 8).

Необходимые условия оптимальности тройки } ^ , , \1 ]

заключаются в существовании Р , Ч и 0 таких, что для

* *- * ■*- 4т й

совокупности функций ^ , , V/ , ^ , ^ ,<^ИО выполняется соотношения сингулярной системы оптимальности:

а2\/ = о , ф е НоСО.),

В третьей главе приводится доказательство существования множителя Лагранха для задачи управления системой с односторонними ограничениями. Это позволяет сформулировать задачу управления как задачу о лагранжиане и применить для получения системы оптимальности метод приращений*.

Рассматривается задача управления правой частью U- вариационного неравенства:

lu-elTj 0

Здесь

- выпуклое замкнутое множество управлений, "U^с= ^(Д) . Предполагается выполненным условие: ^ ^^ •

В § I доказано существование функции |> е такой>

что оптимальная тройка^ , заДачи управления может быть

найдена как решение задачи о лагранжиане:

xCj.Mi р) <

где +

Это стало возможным после того как аналогичный факт был установлен для штрафованной задачи. По отношении к задаче управления функция р является множителем Лагранжа, релаксиругщим ограничение д.^ +■ "U- - О •

* Puel.J.-P. Some results on optimal control for unilateral problems//Contr.Partial Diff.Equat.:Proc.XFIP WG 7.2 Work. Conf.,Santiago de Compostela,July .6-9,1987,Lecture Notes in Control and Information Sciences.-1987.-V.114.-P.225-235.

В § 2 введены функции приращений Ъ , ТГ и ^. Для каждой тройки , '1Г1 существует "Ь такое, что V ^ , с < "Ь ^ t тройка ^ | удовлетворяет вариационному

неравенству.

В терминах функций приращений задача о лагранжиане имеет следующий вид (Лемма):

Здесь ^ = { ^ ,Ц-7^£\ С ? ^ С\ ^ ^ 0 3 ,

СГ 1 + ^4 >о 5 }

Как следствие отсюда получаем систему соотношений, являющуюся искомой системой оптимальности задачи управления:

- - % + I , \ е Н'С^Н^, ,

(Г МгеС^,

где ^-И6

Свойства Дифференцируемости отображения "управление - состояние" при этом способе получения системы оптимальности не используются.

В четвёртой главе изучается задача управления для системы вариационных неравенств, описывавших контакт упруго-пластической балки Тимошенко с жёстким штампом формы . Ищется оптимальная величина внешней нагрузки и,, при которой прогиб балки Ы как можно меньше отличается от заданного :

^хх + , Й - 1Л/) 4 О , 6 К^,

(Шхх +■ т. - т.-гк) ^ 01 т,\/т.£КС)

{ 2 (\л/, и»V

Здесь ,

е Н1сСо,ч), на С01 ^) 5,

кс = М^с на (о,Л) 5 г

заданная функция из Но(р,1), Н10(о,1) ."Цд - выпуклое замкнутое и ограниченное множество управлений, "1Г<э <= Н 1(0,1). Существование решения задачи о контакте доказано АХХлудневым и К.Хоффманом* при условии 3 т," и., (Л+х)т.Ч Кс , %>0.

В § I показан сингулярный характер задачи: при заданной нагрузке VI моменты м- определяются единственным образом, в то время как прогибы У находятся неоднозначно; доказано существование решения задачи управления - оптимальной тройки

(иД,^] (Теорема I).

В § 2 рассмотрены адаптированная и штрафованная задачи управления. Доказано, что их решения аппроксимируют решение исходной задачи управления. В случае, когда оптимальное управление и является строго внутренним по отношению к 1Гэ>

2. „ , 2.

* Khludnev A.M.,Hoffman K.-H. Variational inequalities in a contact elastoplastics problem for a bar//Advances in Mathematical Sciences and Applications,Gakkotosho,Tokio,1992.-V.1, №1.-P.127-136.

методом адаптированного штрафа получена сингулярная система оптимальности задачи управления и с её помошьг сформулированы необходимые условия оптимальности (Теорема 2).

3 § 3 рассмотрена модельная задача, в которой двухсторонние ограничения на моменты заменены односторонними: ^ О и допустимые управления является неположительными функциями. Задача сохраняет сингулярный характер. ^

Доказано существование множителей Лагранга р, Н0(р/1) и возможность переформулировки задачи управления как задачи о лагранжиане. Методом приращений получена сингулярная система оптимальности:

•*• * л * V *■ г * * \ Л

г^ + ^ + } = Y>o,w ^ (л, =

* * э * . . Э , г- л *

<

fx*. + \ +z = о , f eSw,Cz,w\)>o,Vm6Sm., (f + u , r-u) >o , u.)\fireU9)

L Ä tHlOvO, Ц,ГД ен-Чо,^,

где Sm и SyI определяются по аналогии с S^ § 2 Гл. III.

Необходимые условия оптимальности (Теорема 3) заключаются

в существовании функций р , о , [" и Z. таких, что для гл., * * * * * г J- -7

W , » Y * * Р ' Л * и выполняются соотношения

сингулярной системы оптимальности.

Автор выражает искреннюю благодарность профессору A.M. Хлудневу за постоянное внимание к работе и обсуждение результатов.