Устойчивость и закритическое поведение упругих систем с односторонными связями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ пгг УНИВЕРСИТЕТ

Р Г 5 ОД

г Л1 1 5 ДЕК . .

Г 5 ОД

На правах рукописи

5 Дин Ь—

Холмогоров Дмитрий Витальевич

УСТОЙЧИВОСТЬ И ЗАКРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ УПРУГИХ СИСТЕМ С ОДНОСТОРОННИМИ СВЯЗЯМИ

01.02.04 — Механика деформируемого твердого тола

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 1996

Работа выполнена о Сыктывкарском государственном университете Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Евгений Ильич

Михайловский

Научный консультант:

кандидат физико-математических наук, доцент Владимир Николаевич Тарасов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Геннадий Алексеевич Леонов,

доктор физико-математических наук, профессор Геннадий Иванович Мельников

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Защита состоится " О "ОвСй^Р-? 1996 г. б " /У" часов на заседании Диссертационного совета К 063.57.13 по защите диссертаций по соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., 2.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская набережная, д. 7/9.

Автореферат разослан " У " 1996 года.

Ученый секретарь Диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, доцент

М.А. Нарбут

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы

В последнее Бремя повысился интерес к так называемым конструктивно нелинейным задачам теории стержней, пластин и оболочек. К таким задачам, прежде всего, относятся контактные задачи с неизвестной областью контакта, задачи устойчивости упругих систем с односторонними ограничениями на перемещения, задачи расчета тел, армированных нерастяжнмыми нитями. Инженерная востребованность к решению таких задач была всегда, однако используемый математический аппарат и технические средства вычислений не позволяли получать решение наиболее интересных задач. Интенсивное развитие вычислительной техники, методов оптимизации и новые фундаментальные результаты, полученные в области выпуклого и невыпуклого анализа открыли дополнительные возможности в исследовании обсуждаемой проблемы.

Трудности, возникающие при решении задач устойчивости и исследования закрптического поведения конструкций при наличии односторонних связей пли ограничений на прогибы связаны с изучением точек бифуркации негладких уравнений и обусловлены тем, что уравнения в окрестности точки равновесия не могут быть линеаризованы, поэтому эти уравнения обладают нелинейностью как существенным свойством.

На практике наибольший интерес представляет критическое значение нагрузки, соответствующее потере устойчивости основного состояния. Поскольку рассматриваемые (в вариационной постановке) задачи являются многоэкстремальными, то для отыскания критических значений они требуют применения методов глобальной оптимизации, которые являются довольно "дорогими" в вычислительном отношении. Применение же эффективных локальных методов не дает гарантии попадания в точку глобального минимума и требует перебора большого количества начальных приближений. Применительно к конструктивно нелинейным задачам устойчивости конструкций с односторонними связями возможность использования локальных методов (для отыскания глобального экстремума), как представляется, заслуживает особого внимания. Например, из механических соображений ясно, что "слабые" односторонние связи не должны сильно изменять хорошо известные свойства соответствующей линейной системы. Именно в таком аспекте в данной работе изучается возмож-

кость применения локальных методов для отыскания критических нагрузок.

Цель работы

Целыо настоящей 1>аботы является исследование устойчивости и закрнтнческого поведения упругих систем с односторонними связями, разработка численных методов решения таких задач.

Научная новизна

Предложен новый метод поиска обобщенных собственных чисел положительно однородного оператора, сходящийся к некоторому (не обязательно минимальному) собственному числу.

Для поиска .минимального собственного числа в конечномерном пространстве предлагается новый метод, основанный на идентификации условной положительности квадратичных форм на конусах.

С помощью данных методов чнеленно решены новые задачи об устойчивости колец с растяжкам» одностороннего действия н об устойчивости продольно сжатого стержня на границе двух упругих сред, решение которых в известной автору литературе не встречалось.

Получено аналитическое решение нелинейной задачи о плоском изгибе продольно сжатого стержня при жестких ограничениях на прогиб, обобщающее известное решение данной задачи в линейной постановке В.И. Феодосьева.

Чнеленно решена задача определения пространственных форм сжатого и скрученного стержня в цилиндрической полости с упруго податливыми стенками. В отличие от решения, приведенного в монографии К.Ф. Черныха1, в диссертации учитывается влияние крутящего момента н не используется предположение о малости углов поворота.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Локальный метод поиска (какого-либо) собственного числа положительно однородного оператора [3] применительно к проблеме устойчивости конструкций с односторонними ограничениями на перемещения.

2. Метод поиска минимального собственного числа (соответствующего в задачах устойчивости значению критической нагрузки)

'Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости о машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, Ленинградское отделение, 1986. 336 с.

положительно однородного оператора, основанный на идентификации условной положительности квадратичных форм на конусах [5].

3. Численное решение комплекса задач на устойчивость круговых колец с растяжками одностороннего действия (упруго податливые центральные н диаметральные растяжки, абсолютно жесткие, произвольно расположенные растяжки) [1].

4. Решение задачи об устойчивости продольно сжатого стержня на границе двух упругих сред [5].

5. Аналитическое решение задачи о закрптпческом поведении продольно сжатого стержня при абсолютно жестких ограничениях на прогиб (плоский изгиб) [2].

G. Численное решение задачи о закрптпческом поведении сжатого и скрученного стержня в цилиндрической полости с упруго податливыми стенками [4].

Общая методика исследования

В основе исследования лежат линейная и нелинейная теории упругих стержней, численные методы решения краевых и вариационных задач теории упругости, операторных урапненнй, а также методы решения задач конечномерной оптимизации: квадратичного (выпуклого п невыпуклого) и нелинейного программирования.

Практическая ценность

Исследования по устойчивости упругих систем с односторонними связями выполнялись по проекту "Деформация, прочность и устойчивость макротел с односторонними связями в условиях влияния температурных полей" (грант 1991 г. от Конкурсного Центра фундаментального естествознания при Санкт-Петербургском государственном университете).

Апробация работы и публикации

Отдельные результаты диссертации докладывались на Всесоюзном симпозиума по нелинейной теории упругости (1983, Ленинград), III Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости (1989, Сыктывкар), II Международной конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук" (1994, Москва).

В целом диссертация обсуждалась на научном семинаре кафедры математического моделирования и кибернетики математического факультета Сыктывкарского государственного университета и на семн-

наре кафедры теории упругости и пластичности механико- математического факультета Нижегородского университета.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] -

[5].

Структура работы

Диссертация состоит из введения, двух разделов, двух приложений и списка литературы. Разделы разбиты на подразделы, пункты и подпункты; рисунки, таблицы и графики включены в основной текст и приводятся сразу после соответствующих ссылок. Работа снабжена аннотированным оглавлением. Такая структура диссертации, по мнению автора, должна способствовать более ясному восприятию полученных результатов.

Основное содержание диссертации изложено на 139 страницах, включая 16 таблиц и 33 рисунка. Библиография содержит 70 наименований. Общий обьем работы, с учетом приложений и списка литературы составляет 160 страниц.

Краткое содержание работы

Во введении приводится краткий обзор основных подходов к исследованию устойчивости и закритического поведения упругих систем. Теоретические предпосылки к рассмотрению вопросов устойчивости заложены еще в работах Л. Эйлера, Лагранжа, A.M. Ляпунова. Огромное число авторов в разное время занималось и занимается проблемами устойчивости упругих систем: Е.Л. Николаи, С.П. Тимошенко,В.В. Болотин, A.C. Вольмир, Г. Циглер, А. Ляв, A.M. Гуськов, В.И. Феодосьев, Я.Г. Пановко, A.B. Погорелов, П.М. Оги-балов, С.Н. Кан, И.Г. Терегулов, A.B. Кармншнн, A.A. Илыошин, H.A. Аламяэ, В.И. Мяченков, Ю.Н. Работнов, В. Флюгге, В.Т. Кой-тер, Х.М. Муштари, В.В. Кабанов, Э.И. Грнголюк, А.Н. Гузь, К.З. Галимов и др.

В первом разделе диссертации, посвященном изучению влияния односторонних связей на устойчивость упругих систем используется энергетический подход, базирующийся на концепции упругой бифуркационной устойчивости, изложенной в монографии В.В. Новожилова2.

Следует отметить, что влияние односторонних связей на устой-

211опожило1) В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостехиздат, 1948. 211 с.

чнвость конструкций до настоящего времени изучено недостаточно. Отдельные задачи на чту тему обсуждаются в монографиях П. Па-нагиотопулоса, А. Куфнора и С. Фучика.

Во втором разделе изучение закритнческого поведения стержня d цилиндрической полости базируется на нелинейной теории упругих стержней, вопросы которой рассматриваются в работах Е.П. Попова, В.А. Светлнцкого, Ю.Б. Шулькпна, О.Б. Голубева. А. Лява, A.M. Гуськова, В.В. Новожилова, К.Ф. Черныха, Е.П. Михайловского и др.

Интерес исследователей к данной задаче обусловлен, во - первых, ее непосредственной связью с практикой бурения. II именно в этом аспекте она рассматривается в некоторых работах В.Н. Алексеева, Н.Ф. Лебедева, К.Ф. Черныха, E.IL Михайловского. Во - вторых, интерес к исследованию стержня поддерживается и в связи с широко распространенной практикой использования стержней и стержневых систем, например, в качестве подкрепляющих элементов конструкций, ребер жесткости и т.д. II в - третьих, в сил}' своей "простоты" и содержательности данная задача считается классической и дальнейшее ее исследование представляет самостоятельный теоретический интерес.

Во втором разделе развиваются результаты, полученные в работах Е.Л. Николаи, В.II. Феодосьева, К.Ф. Черныха, Е.И. Михайловского.

В разделе 1. изучается влияние односторонних связей на устойчивость упругих систем: кольца, сжатого равномерным гидростатическим давлением и подкрепленного растяжками одностороннего действия3; продольно сжатого стержня, расположенного на границе двух упругих сред.

Рассматриваются кольца с тремя типами растяжек:

1) упру го податливые центральные растяжки характеризуются тем, что один конец каждой растяжки прикреплен к неподвижному центру кольца, а другой - к некоторой произвольной точке кольца;

2) упру го податливые диаметральные растяжки соединяют диаметрально противоположные точки кольца;

3) абсолютно жесткие растяжки, каждая из которых крепится

3Растяжки можно предстаплять себе как гибкие нити, работающие только на растяжение.

к двум произвольно расположенным точкам кольца.

Кольцо с такого типа подкреплениями может рассматриваться как модель космической антенны, деформирующейся »следствии перепада температур и инерционных механических нагрузок, а растяжки - как конструктивные элементы антенн, вводимых для повышения устойчивости последних. Поводом для рассмотрения задачи

устойчивости кольца с растяжками послужпла статья H.A. Корелина

л

II др.

Задача об устойчивости стержня на границе двух упругих сред исследуется при трех видах однородных граничных условий (шарнирное опнранпе. жесткое защемление и смешанные граничные условия).

В подразделе 1.1 приводится постановка задач устойчивости.

Рассмотрим, для примера, задачу об устойчивости продольно сжатого стержня на границе двух упругих сред. Предположим, что однородный стержень длины I подвергается сжатию продольной силой Р. Пусть стержень находится на границе раздела двух упругих сред с жесткостямп c(s) и /j(s)(a- продольная координата стержня), реагирующих на боковое давление стержня как винклеровские основания.

В квадратичном приближении функционал полной энергии стержня может быть записан в виде

1 W

J0(w) = - / (EIw"2 + c(s}wl + b(s)wi - Pw*)ds ,

* Ja

где w(s) - прогиб стержня, EI - жесткость стержня при изгибе, w+(s) = max{0, w(s)} , u'_(s) = mm{0,u>(s)} .

Считая для определенности, что стержень жестко защемлен, сформулируем задачу на устойчивость: найти такие значения параметра Р (или минимальное при поиске критической нагрузки), при которых вариационная проблема

J0(w) -* ex.tr , (1)

w(0) = w(l) =0 ,w'(0) = w'(l) = 0 (1)'

имеет нетривиальное решение.

4Кореями H.A., Медэмариашпили Э.В., Тарасов В.Н. Устойчивость цилиндрических стержнепых конструкций при нагружении центральными силами. //Деп. в ВИНИТИ 2Э.02.88, N4230 - В88, 22 с.

Функционал энергии (1) является положительно однородным, т.е. ,/0(/«)) = при любых 1 > 0. Поэтому экстремальные задачи

для функционалов 7ц(/и;) н /«(«') при однородных граничных условиях эквивалентны. В задаче (1)-(1)' решение может быть найдено с точностью до положительной константы, следовательно, с учетом положительной однородности функционала (1), можно потребовать выполнения условия

= ь га

Тогда задача (1)-(1)' эквивалентна вариационной проблеме

= о / (Е1п'"'г + Ф)«'+ + Ь(*)н'!)Л» - рх/Г (3) 2 ./о

при условии (2) и сформулированных выше граничных условнях{1)'.

Последняя задача относится к классу задач нзопернметрнческого типа. Применяя к ней правило множителей Лагранжа (н обозначая соответствующий множитель Лагранжа через Р). получим уравнение

Е1и,1У + ф)и.+ + = -Р/с" , (4)

которое является также уравнением Эйлера для функционала полной энергии. Задачу на устойчивость можно переформулировать так: найти значение параметра Р , при котором краевая задача (4).(1)' имеет нетривиальное решение.

Особенностью сформулированной задачи является нелинейность, обусловленная срезкой функции и>(в) , т.е. нужно уметь находить "собственные" функции негладких операторов.

Краевую задачу (4),(1)' можно переписать в более общем виде - в форме операторного уравнения (для уравнения (4) .4 = (I1/({а4 , <2 = —(^/(¿в2 - операторы дифференцирования)

Аи + Си+ + Вн_ = А <2«. (5)

Рассмотрим уравнение (5), где Л, <5 — операторы, действующие в некотором гильбертовом пространстве Я; С, В - операторы умножения на неотрицательную функцию; и+ = шах{0, и} , и_ = тш{0, и} -срезки элемента « £ Я . Задача на устойчивость формулируется как задача на собственные значення для уравнения (5): найти числа А , при которых уравнение (5) имеет нетривиальное решение.

К уравнению (5) могут быть сведены многие другие задачи устойчивости конструкций с односторонними связями: осссимметричная задача устойчивости продольно сжатой цилиндрической оболочки с упругим наполнителем [3]; задача об устойчивости продольно сжатой цилиндрической оболочки, подкрепленной абсолютно жесткими (внешними н/нлн внутренними) кольцами [1]; а также рассматриваемые в диссертации задачи об устойчивости кольца с растяжками. Заметим, однако, что если некоторые подкрепляющие конструкцию элементы являются абсолютно жесткими, то при формулировке задачи используются также неравенства5.

В подразделе 1.2 для решения задачи (5) предложен и обоснован локальный метод поиска обобщенных собственных чисел положительно однородного оператора, являющийся обобщением на бесконечномерный случай алгоритма, рассматриваемого в [3]. При формулировке и доказательстве сходимости метода используются сведения из функционального анализа, приведенные в приложении 1.

Кратко изложим суть данного метода. Рассматривается функциональное гильбертово пространство Н с элементами, определенными на некоторой области ii С R" с кусочно-гладкой границей. Предполагается, что пространство Н ограниченно вкладывается в Ьг(^) ; операторы А, Q определены на плотном множестве гильбертова пространства Н , переводят элементы этого множества в элементы и ограничены; оператор А является положительно определенным, а оператор Q - положительный и компактный.

Рассмотрим экстремальную задачу

/(«) min , М = {u 6 Я | д(и) = 1} , (6)

где функционалы /(и) и д{и) имеют вид

/(") ~\< > < Си+,и > < Ви_,и > ,

9(и) = \ < Qu,u > -

(здесь <-,•>- скалярное произведение в Ьг(й)).

Далее показано, что задача (С) разрешима и существует обратное отображение F~l(u), где F(u) = f'(n) =Au + Cu+ + Bu~- градиент функционала f.

'Например задача об устойчивости кольца с абсолютно жесткими растяжками.

Пусть теперь е - решение (0). По правилу множителей Лагранжа найдется число А такое, что выполнены соотношения

/'(и) = АОи , д(у) = 1 .

(7)

Иначе говоря, V является также и нетривиальным решением уравнения (5). Если и ф 0- решение (5), то полагая V = «/у ?("), получим решение (7). Будем такие точки также называть стационарными.

Сформулируем метод последовательных приближений для поиска стационарных точек.

Пусть и о £ М , Ао £ В' - некоторое начальное приближение. Предположим, что уже найдена точка щ. £ М и число А/..

• Найдем точку 7г;.+1 £ Мь = {" 6 Я | | < >= 1} такую.

что

Решение последней задачи существует и единственно, так как - точка минимума сильно выпуклого функционала на выпуклом множестве Мк.

По правилу множителей Лагранжа найдется 1 : /'(«£+1) = = А . Нетрудно увидеть, что Хк+\ = /(«¿+1) •

• Следующее приближение строится по правилу

Доказано, что последовательность {?«*} сходится к некоторому решению уравнений (7) - элементу и'. Иначе говоря, метод дает какое - ннбудь, не обязательно минимальное собственное число А* = /(и*) уравнения (5) (и именно поэтому он назван локальным). К минимальному собственному числу алгоритм будет сходится при наличии достаточно хорошего начального приближения щ .

Таким образом, метод сводится к решению задач минимизации (8) в некотором бесконечномерном гильбертовом пространстве, эквивалентных системам нелинейных уравнений вида

Предложены две расчетные схемы применения локального ме-

/(«ьи) = >»>" /('<) •

(8)

Г(и) = А<2щ. | < Ящ,и >= 1

(9)

тода.

Расчетная схема 1. При практической реализации предложенного алгоритма экстремальная задача (8) сводится к конечномерной посредством применения проекционных методов (в работе используются метод сеток и метод рядов Фурье).

Далее показано, что в результате ряда преобразований и введения новых переменных, полученная задача конечномерной оптимизации может быть сведена к задаче выпуклого квадратичного программирования. Существенно отметить, что последняя может быть решена за конечное число шагов. II в этом заключается главное достоинство рассматриваемой схемы (методы решения задач квадратичного программирования хорошо разработаны).

В работе для решения задач выпуклого квадратичного программирования применяется один из вариантов "квадратичного" симплекс метода (приведенный в приложении 2), сходящийся за конечное число шагов.

Расчетная схема 2. Первое уравнение системы (7) записывается в виде Р{и) = Ро(и)+Г\(и). В механике .Р0 часто представляет собой линейный дифференциальный оператор некоторой краевой задачи, а обратному оператору соответствует функция Грина.

Поскольку существует, система (7) эквивалентна следующей

Ги^ЛАд^-ед) ,

\|<<2иь«>=1 ' 1

Решение последней интерпретируется как поиск корня скалярного уравнения

где «(А) удовлетворяет первому уравнению системы (10) при фиксированном А .

Корень уравнения (¿(А) = 0 определяется (после локализации) методом секущих. А для отыскания г£(А) из первого уравнения системы (10) используется итерационная схема Ричардсона

«,„+1 = (1 - г)ит + Т(У - Го-'^Кп)), 0 < г < 1 , (11)

где ь — AF(f1Qll^: - известная функция.

Ключевым элементом расчетной схемы 2 является эффективная реализация итерационного процесса (11), для чего необходим подбор

оптимального значения г . Для обеспечения сходимости итерационной схемы (11) и увеличения скорости сходимости используется автоматический выбор и регулировка шага г.

Достоинством расчетной схемы 2 является простота реализации и экономичное использование ресурсов вычислительной системы (по сравнению с расчетной схемой 1). Кроме того, операторы F0~'(и) (т.е. функции Грина) для многих краевых задач, возникающих в теории стержней, пластнн и оболочек, хорошо известны. Их применение существенно увеличивает точность и эффективность производимых расчетов и в полной мере позволяет использовать информацию о данной конкретной механической системе.

Выбор расчетной схемы обусловлен спецификой рассматриваемых задач и, в частности, конкретным видом граничных условий. Расчетная схема 2 применялась в случае условий периодичности.

В подразделе 1.3 предметом исследования являются методы поиска минимального собственного числа А для уравнения (5) в R" :

Ах + Сх+ + Вх- = \Qx . (12)

Здесь Л, Q - симметричные, строго положительно определенные матрицы; С, В диагональные матрицы, с неотрицательными диагональными элементами с,-, 6,, г £ 1 : п.

Показано, что задача (12) эквивалентна экстремальной проблеме

f(x) min , М = {х 6 Rn I g{x) = 1} , (13)

где функции f(x) и д(х) имеют вид

/(•г') = ^ < > < Сх+,х > < Вх„,х > ,

ffW = \< Qx,* > ■

При решения полной проблемы на собственные значения для матричного уравнения (12) используется метод полного перебора вариантов. Показано, что метод в общем случае сводится к решению 2" стандартных задач на собственные значения для матриц Ах = \Qx , где А симметрическая, строго положительно определенная матрица.

В работе приводится пример, из которого следует, что применение метода полного перебора в пространстве большой размерности в

общем случае нецелесообразно. Однако, метод может быть применен (и применялся) в тех частных случаях, когда число различных положительных компонент матриц С и В значительно меньше размерности пространства п . Кроме того, метод может быть использован для тестирования других методов в пространствах небольшой размерности. Например, полный перебор применялся для тестирования локального метода в задаче об устойчивости кольца с центральными растяжками.

Для поиска минимального собственного числа А* уравнения (12) (или решения задачи (13)) предложено две расчетные схемы (3 и 4) метода, основанного на идентификации условной положительности квадратичных форм на конусах.

Расчетная схема 3. строится на использовании свойств функции V'(A,ar) = f(x) - Хд(х) , при А < А* для V.r € Rn , ||.r|| ф 0 .

Показано, что поиск минимального собственного числа А* сводится к отысканию корня функции

min0(Ä,x), (14)

zedk

где К - это симплекс в Г)п , содержащий начало координат как внутреннюю точку; OK - граница множества К .

Для нахождения корня обосновано применение некоторого итерационного процесса, сходящего к А* слева, на каждом шаге которого необходимо решать задачу минимизации (14) при фиксированном А. Показано также, что последняя может быть сведена к п + 1 задаче невыпуклого сепарабельного программирования. Здесь существенно отметить, что для задач невыпуклого сепарабельного и, в частности, квадратичного программирования известны эффективные методы их решения - разновидности методов "ветвей и границ"6.

Расчетная схема 4 основана на использовании свойств функции

^>2(Л) = min ф{Х,х), (15)

х€(1

где П £ R" - выпуклое, замкнутое, ограниченное множество, внутренней точкой которого является начало координат.

6Сухарев Р.Г. Глобальный экстремум и методы его отыскания / В кн.: Математические методы в исследовании операций. М.: Изд-ао МГУ, 1983. 193 с.

Показано, что Л* является наибольшим положительным корнем функции ■■рг(^) ■ Для определения Л* обосновано применение комбинированного метода секущих - хорд.

Основная трудность здесь заключается в решении задачи (15) при фиксированном А. Показано, что при соответствующем выборе множества П вычисление значения сводится к решению задачи (в общем случае) невыпуклого сепарабельного программирования.

Таким образом, расчетная схема 4 заключается в реализации метода секущих - хорд (сходящегося к А* справа), на.каждом шаге которого необходимо решить лишь одну задачу невыпуклого сепарабельного программирования. И в этом отношении расчетная схема 4 (по сравнению с расчетной схемой 3) более экономична.

Для решения задач невыпуклого сепарабельного программирования применяется вариант метода ветвей и границ, приведенный в приложении 2.

В подразделе 1.4 решены задачи об устойчивости кольца с тремя типами растяжек.

В пункте 1.4-1 выводится формула для потенциальной энергии кольца, подвергаемого сжатию равномерным гидростатическим давлением Р, и строится соответствующий квадратичный функционал энергии; выводится формула для величины удлинения растяжек при деформировании кольца.

В пункте 1.4-2 рассматривается случай упругих центральных растяжек. Предполагается, что один конец каждой растяжки жесткости су,7 £ 1 : М прикреплен к неподвижному центру кольца, другой - к точке кольца, соответствующей центральному углу х) = .

Задача на устойчивость формулируется как задача поиска значений Р, при которых вариационная проблема

= V' + »)>** - | 2 V2 -

о

(16)

при условиях периодичности

V) = и>'*'(2?г) ,¿£0:3

(16)'

имеет нетривиальное решение (здесь ft радиус кольца, В - жесткость кольца при изгибе, ui(i>) - радиальное перемещение точек кольца).

Для решения задачи (16)-(16)' применяется расчетная схема 2 локального метода, причем для обращения оператора Fo (здесь в качестве оператора F0 выступает дифференциальный оператор (</2/rM2 + I)2 при граничных условиях периодичности) используется следующая функция Грина:

Следует отметить, что оператор ((P/dO'2 + I)2 является лишь положительным, но не положительно определенным (как это требуется при применении локального метода). С механической точки зрения последнее соответствует тому, что указанный оператор содержит в себе перемещение кольца как жесткого целого. Поэтому, для обеспечения применимости локального метода в представлении (17) для функции Грина отсутствуют гармоники при к = 0,1 (соответствующие перемещению кольца как жесткого целого).

Расчеты проведены для кольца с "равномерно" расположенными растяжками, имеющими одинаковую жесткость с; = с = const .

Предло?кен способ выбора начального приближения и методика проведения численного эксперимента (схема движения по параметру жесткости с ), обеспечившие построение критического значения нагрузки при использовании локального метода.

В таблице 1 приведены значения безразмерного параметра PR3/В в зависимости от параметра, характеризующего жесткость растяжек cR2/B при М— 3 (напомним, что Р = ЗВ/Я3 - критическая сила для неподкрепленного кольца).

Таблица 1

/»ft3/В 3.752 4.119 4.318 4.440 4.522 4.579 4.622 4.655 4.682 4.703

cIi2/B 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Достоверность этих результатов проверена сопоставлением с данными, полученными при решении исходной задачи методом полного перебора вариантов.

Установлено, что при равномерном расположении растяжек одинаковой жесткости имеет место ассимптотнка критической силы при больших значениях жесткости растяжек с , при этом форма потерн устойчивости кольца стабилизируется.

В пункте 1.4-3 рассматривается случай упругих растяжек одинаковой жесткости с = const, соединяющих диаметрально противоположные точки кольца. Предполагается, что число растяжек настолько велико, что их можно считать непрерывно распределенными по кольцу.

Задача на устойчивость сводится к отысканию значений Р , при которых вариационная проблема

В Г2'' Р Г'ы ■>

■/('") = 27^ I {w" + w)4° ~ 2 I ~

с Г2*

+ м / И*') + «•(»> - - (18)

ЬН 7у «>

при условиях периодичности (16)' имеет нетривиальное решение.

Для решения задачи (18) применяется расчетная схема 2 локального метода (с использованием функции Грина (17)), а также расчетная схема 3 метода поиска минимального собственного числа.

Следует отметить, что при реализации последней функция tw(i?) аппроксимируется частичной суммой ряда Фурье

п

w(t>) = X* sin(fc-f l)t? , k=1

где отсутствует гармоника при к = 0, соответствующая перемещению кольца как жесткого целого.

Численный эксперимент проведен по схеме движения по параметру жесткости растяжек с, в результате которого исследована зависимость критического давления от жесткости растяжек. Численно определено значение безразмерного параметра с = сЕ?/В и 30 :

1) при cR2/B < с значение критического давления может быть вычислено по приближенной формуле Р = 3B/R* -f c/GR , причем •ш(ч?) = a sin(2i? + r}g), а > 0 - соответствующая форма потери устойчивости кольца;

2) при cR2/B > Ъ Р = 8B/R3 , = a sin(3z? + , а > 0 .

Последнее объясняется тем, что функция w*(i9) обладает свойством i i'*(i?) + ir* (0 — тг) = 0.

В пункте 1-4-4 рассматривается случай, когда кольцо подкреплено нерастяжтшымн, произвольно расположенными нитями.

Отличие данного случая от предыдущих заключается в том, что при формулировке вариационной проблемы используются неравенства: требуется найти минимальное значение нормального давления Р, при котром вариационная задача

-|г Г (w" + ruf (Id + ~ Г w'(v - w)dO - min , (19) Шл J0 2 Jo u,v

при ограничениях

(W'2j + «и) sin Y + (i-2í - Vi j) cos < 0, j £ 1 : M (19)'

и условиях периодичности имеет нетривиальное решение. Здесь v(i)) - тангенциальное перемещение точек кольца; u>¡j , v¡j , i = 1,2 - соответственно радиальное и тангенциальное перемещение точек крепления j - ой растяжки.

Для решення задачи (19)-(19)' применяется расчетная схема 4 метода поиска минимального собственного числа, причем функция v(í>) аппроксимируется частичной суммой ряда Фурье

и

i>(tf) = ^(х* sin Ы + yt cos Ы) ,

i=2

a w({)) определяется из условия несжимаемости оси кольца w = —v' .

Расчеты проведены для случая, когда растя?кки расположены по сторонам правильного М - угольника ( М = 3,4,..., 10 ) и в случае, когда кольцо подкреплено растяжками, расположенными в виде правильной пятиконечной звезда.

Таблица 2

м 3 4 5 6 7 8 9 10

р/р/в 4.32 3.00 4.57 5.27 6.28 6.50 7.26 7.37

Таблица 3

п 4 5 6 7 8 9 10

РВ3/В 10.94 8.03 8.03 6.32 6.31 6.28 6.28

Результаты расчетов приведены в таблице 2. В таблице 3 приводится зависимость безразмерного параметра РЯ^/В от числа гармоник п (при М = 7), из которой видно, что, начиная с п = 9 , число гармоник не влияет на решение задачи.

На рис. 1 а) изображена форма потерн устойчивости кольца при Л/ = 7 (пунктиром показаны неработающие растяжки); на рис. 1 Ь) - форма потерн устойчивости кольца, подкрепленного правильной пятиконечной звездой.

В подразделе 1.5 численно решена задача об устойчивости продольно сжатого стержня на границе двух упругих сред (см. также задачу (1)-(1)'):

Е1ю'у + ф>+ 4- Ь(в)и>_ = -Ри>" , (20)

ш(0) = и>(1) = 0 , ш'(0) = и>'(1) = 0 . (20)'

Рассматривается три типа однородных граничных условий: шарнирное опиранне, жесткая заделка и смешанные граничные условия.

Для решения задачи (20)-(20)' применяется локальный метод поиска стационарных точек (расчетная схема 1) и метод поиска минимального собственного числа (расчетная схема 4). Приводится обоснование применимости локального метода. При переходе к задаче конечномерной оптимизации используется метод сеток.

Приводятся результаты тестирования локального метода для случая, когда одна из сред практически является "абсолютно" жесткой (при этом она моделируется однородно упругой средой с достаточно большим коэффициентом жесткости). В качестве эталонного

использовалось аналитическое решение7. Тестирование показало как количественное совпадение критических значений силы, так и качественное соответствие форм потерн устойчивости стержня. При этом установлено, что локальный метод сходится к точке глобального минимума, если в качестве начального приближения использовать формы потерн устойчивости, соответствующие критической нагрузке для стержня в однородно упругой среде.

Численно исследовано влияние граничных условий на устойчивость стержня на границе раздела двух однородно упругих сред с жесткостямн Ь и с. В таблице 4 указаны значения безразмерного параметра Р* = РР/Е1ж2 , характеризующего критическую нагрузку для жестко защемленного стержня при различных значениях жесткости одной из упругих сред, причем к\ — с1А/Е1 тг4, = б^/ЕЛУ*. Значения приведены при ¿1=4.

Таблица 4

¡4 18 90 150 270 450 810

р* 11.740 12.939 13.102 13.233 13.321 13.386

На рис. 2 изображена эволюция форм прогиба жестко защемленного стержня при движении по параметру жесткости Ь .

к\ = 18

к\ = 90

7.2 К2 = 150

= 270

к\ = 450

ку = 810

7Г 5

Рис. 2

Приводятся результаты численных экспериментов для трех типов однородных граничных условий.

тХолоно|| Л.Л. Минимальные формы потери устойчивости стержня на границе жесткой и упругой сред // Вестник Сыктывкарского ун-та, Сер. 1., вып. 1., 1995. С. 217-233.

В разделе. 2. изучается закритнческое поведение стержня в цилиндрической полости с абсолютно жесткими и упруго податливыми стенками.

В подразделе 2.1 приводятся основные соотношения нелинейной теории тонких упругих стержней, используемые в следующих подразделах.

В подразделе 2.2 на базе вариационного подхода аналитически решена нелинейная задача о плоском изгибе продольно сжатого стержня в цилиндрической полости с абсолютно жесткими стенками [2] (см. рис. 3). Рис. 3

В предположении существования участка полного прилегания решение исходной вариационной проблемы получено в виде гладкой склейки криволинейных участков на концах стержня и прямолинейного участка в средней части. Для криволинейного участка получены следующие основные формулы:

А ^ Я Л

S-U •у;

~ 1 /'

Х/\

10/ /

/ / nv,-! / //

R /У-

Р

кш(ф) = у cossin-р- ^2£(т,г/>) - Р( т,ф) +

+2£(m,|)-F(m,|)| + 2 (cos3/2sin^cos*/;, (21) кг(ф) = (cos |)3/2 [2Е(т,ф) ~ F(m, ф) + 2F(m, - F(m, £)' -

0 , То ■ 7о ■ 7о , —I \jcos — sin — sin — cos ф , 2 2 4

*ДЫ = 2 ^/cos | sin | [2Е(т, - F(m, £)] ,

/То тг

ks = Wcos — [F(m, Ф) + F(m, -)],

(22)

(23)

(24)

где F(m,0) , Е(т,ф) - неполные эллиптические интегралы первого и второго рода ( m2 = sin2 (70/4)), к2 = P/EI.

Показано, что из найденных формул, посредством линеаризации может быть получено известное решение В.И. Феодосьева. Приводится простое доказательство существования участка полного спрямления. Дан анализ нелинейного решения8. На основе сопоставления линейного и нелинейного решений сделан вывод о пределах применимости в расчетах линейной теории.

Также приводится численное решение задачи, основанное на сведении исходной вариационной проблемы к задаче нелинейного программирования, к которой применяется метод е - наискорейшего спуска. При переходе к задаче нелинейного программирования для прогиба стержня использовалось полиномиальное представление с тригонометрическими добавками, интегралы вычислялись по квадратурной формуле Гаусса. Численное решение используется для изучения закрптнческого поведения стержня и, в частности, для проверки механизма образования многоволновой формы при увеличении нагрузки, также предложенного В.II. Феодосьевым.

В подразделе 2.3 численно решена нелинейная задача о пространственном изгибе продольно сжатого силой Р н скрученного осевым моментом К стержня в цилиндрической полости с упруго податливыми стенками.

Рассматривается жестко защемленный тонкий упругий стержень кругового поперечного сечения с несжимаемой центральной осью. В качестве разрешающей системы дифференциальных уравнений берутся уравнения равновесия в форме Кирхгофа, закон Гука, геометрические соотношения в двух вариантах: линеаризованные в форме Клебша и нелинейные. Для описания силы реакции, возникающей в местах контакта стержня с упруго податливой стенкой полости, используется модель винклеровского основания.

Исходная система сводится к нелинейной двухточечной краевой задаче на перемещения «1, щ, определяющие форму проекции кривой (оси стержня) на плоскость, ортогональную оси цилиндрической полости. Краевая задача (предварительно преобразованная при помощи функции Грина в систему нелинейных функциональных уравнений) решается итерационным методом с применением схемы Ричардсона.

Приводятся результаты тестирования расчетной схемы на извест-

'Установлено, в частности, что в закрптической области, в зависимости от длины стержня и радиуса цилиндрической полости возможны либо одна, либо две формы криволинейного участка стержня от шарнирко опертого конца до первой точки касания.

ном решении - винтовой линии, которая реализуется при отсутствии ограничений в случае, когда Р = Он к концам стержня приложены пары (моменты которых равны А' ). В связи с этим описывается применение схемы в случае неоднородных граничных условий и режим автоматической регулировки шага, обеспечивающий сходимость итерационной процедуры.

«2 и2 «2 h

к=тмкр J «| /\=80 Mhp J »1 С к=тмкр

Рис. 4

Численно исследована эволюция пространственных форм оси стержня в цилиндрической полости при нагруженнн продольной силой и крутящим моментом. На рис. 4 изображены формы стержня при некоторых значениях крутящего момента К и фиксированном значении продольной силы Р = 1.1 • Ptp . Здесь Ptp , Ah,, ~ критические значения силы и крутящего момента, при которых происходит потеря устойчивости прямолинейной формы равновесия стержня.

При увеличении крутящего момента стержень постепенно "закручивается", а при К = 160 • Мкр принимает форму, которая приближенно описывается следующими уравнениями:

«l(s) = -4()COS • s2(s - t)2 u2(s) = Ло sin ~~ • s2(s ~ 02

Здесь s - продольная координата стержня, t - его длина, Ло > 0 -некоторый нормирующий множитель.

В приложении 1 приводятся сведения из функционального анализа, используемые в разделе 1.

В приложении 2 описаны некоторые методы решения экстремальных задач: метод решения задачи выпуклого квадратичного программирования, метод ветвей и границ для решения задачи невыпуклого сепарабельного программирования, метод е - наискорейшего спуска для решения задачи нелинейного программирования.

Публикации

1. Герасим М.Л., Холмогоров Д.В. Некото1)ые задачи устойчивости упругих систем с односторонним подкреплением //Труды Второй Мелсдународной научно - технической конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук" в 7-ми т./ под ред. II.Б. Федорова, К.С. Колесникова, А.О. Карпова. Т.2. 4.2. Симпозиум "Теоретическая и прикладная механика". -М.: Техносфера - Ннформ. 1994. С. В-12 - В-15.

2. Михайловский Е.И., Тарасов В.Н., Холмогоров Д.В. Закритнче-ское поведение продольно сжатого стержня с жесткими ограничениями на прогиб // ПММ, 1985. Т. 49, вып. 1. С. 15G 160.

3. Тарасов В.Н., Холмогоров Д.В. Устойчивость конструкций с односторонними связями // В сб. Автоклавы: Расчет и проектирование, опыт эксплуатации. Материалы Всесоюзного семинара "Автоматизация инженерных расчетов при проектировании автоклавов". /Под ред. проф. E.II. Михайловского, Сыктывкарский ун-т. Сыктывкар, 1992. С. 198 - 214.

4. Холмогоров Д.В. О форме изгиба продольно-сжатого и скрученного стержня в цилиндрической полости с упругоподатлнвыми стенками // Тез. докл. III Всссоюз. конф. по нелинейной теории упругости (посвящ. памяти акад. В.В. Новожилова), 1989. С. 175-176.

5. Холмогоров Д.В. Устойчивость стержня на границе двух упругих сред // Вестник Сыктывкарского ун-та, Сер. 1., вып. 1., 1995. С. 205-216.