Использование уравнений Лагранжа в теории удара и в динамике развития трещин тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ГЛАВА 1 - СОУДАРЕНИЕ УПРУГИХ ТЕЛ СОСТОЯЩИХ ИЗ ЭЛЕМЕНТОВ.

§1. Применение уравнений Лагранжа с множителями при расчете собственных частот и форм упругих тел состоящих из элементов.

01. Определение собственных частот и форм систем состоящих из упругих тел.

02. Применение метода в теории плоских рам. Связь с классическими методами теории плоских рам.

03. Определение собственных частот и форм кольца с массой классическим методом.

04. Расчета собственных форм и собственных частот кольца с массой на основе уравнений Лагранжа с множителями.

§2. Совместный учет локальных и общих деформаций тела при ударе.

01. Методика совместного учета локальных деформаций по теории Герца и общих деформаций по теории Кирхгофа-Лява.

02. Прямой центральный удар кольца с массой по упругому полупространству.

03 Нахождение приведенных масс кольца с массой непосредственно из системы уравнений Лагранжа. Использованием динамической податливости в точке удара.

§3. Рассмотрение процесса соударения как системы с неудерживающими связями. Повторные удары.

01. Особенности численного решения уравнений с неудерживающими связями.

02. Расчет силы соударения и коэффициентов восстановления для кольца с массой с учетом повторных ударов.

ГЛАВА 2 - ИСПОЛЬЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ О РАЗВИТИЕ ТРЕЩИНЫ В ТОНКОМ БРУСЕ.

§1. О возможности применения уравнений Лагранжа II рода к механическим системам переменного состава.

§2. Балочная динамическая модель развития внутренней трещины.

01. Рассмотрение длины трещины как обобщенной Лагранжевой координаты.

03. Численное решение задачи о развитии внутренней трещины.

§3. Решение задачи о развитии трещины при ударном внедрении клина.

01. Постановка задачи. Выбор Лагранжевых координат. Получение выражений для кинетической и потенциальной энергии.

02. Рассмотрение связи между клином и балкой как голономной неудерживающей связи.

03. Поведение системы до начала раскрытия трещины.

04. Условие начала раскрытие трещины. Уравнение, описывающее раскрытие трещины.

05. Единая система дифференциальных уравнений, описывающая поведение системы как до, так и после начала развития трещины.

06. Переход от бесконечной системы уравнений к п-ному приближению. Квазистатический учет высших форм в системе уравнений Лагранжа.

07. Использование уравнения связи при исключении из системы уравнений множителя Лагранжа. Замена голономной связи упругой связью.

08. Описание математической модели задачи об ударном внедрении клина. Приведение к безразмерным переменным. Замечание о неудерживающем характере связи.

09. Переход к безразмерным переменным. Численное решение уравнений.

ГЛАВА 3. УДАРНОЕ РАСКЛИНИВАНИЕ ТОНКОГО БРУСА.

§1. Постановка задачи.

§2. Квазистатический учет всех форм изгибных колебаний.

§3. Теорема Кастилиано, как следствие уравнений Лагранжа второго рода.

§4. Динамический учет п форм изгибных колебаний и квазистатический учет высших форм изгибных колебаний.

§5. Условие начала расклинивания.

§4. Результаты численных расчетов численное решение.

Исследования поведения упругих систем под действием динамических нагрузок, а также при ударе и задача о развитии трещин представляют большой интерес. Наряду с использованием при этом численных методов и экспериментальными исследованиями, важным является разработка и апробация новых аналитических методов, основанных на использовании уравнений Лагранжа с множителями.

Проблема соударения упругих тел, как с точки зрения квазистатической теории удара, так и с точки зрения динамической теории, достаточно широко рассматривается в литературе. Подробный обзор аналитических методов, применяемых в теории удара, а также обширный спектр решенных задач, содержится в монографии С.А. Зегжды «Соударение упругих тел». [21]. Определить по квазистатической теории то, как протекает соударение шаров во времени, т.е. найти силу соударения как функцию времени, удалось Г. Герцу[10,17,4]. Теория Герца относится не только к случаю соударения шаров, но и к случаю прямого, центрального удара двух тел, ограниченных в окрестности точки контакта поверхностями второго порядка, при этом квазистатически учитываются только местные деформации. При решении задачи о соударении одномерных или двумерных упругих тел используется не только квазистатическая теория Герца, но и динамическая теория, учитывающая общие деформации тел. Сочетание квазистатического подхода к местным деформациям и динамического к общим, позволило получить новые результаты, а также оценить границы применимости обоих методов. Идея одновременного учета местных деформаций и упругих колебаний в соударяющихся телах, предложенная Дж.Сирсом [6], получила широкое распространение. В дальнейшем она была разработана С.П. Тимошенко [35] применительно к поперечному удару шара по балке. В.Л. Бидерман [11] обобщил теорию С.П. Тимошенко на случай удара шара по одномерной или двумерной упругой системе.

При решении задачи об ударе по упругой системе, состоящей из элементов необходимо сначала найти собственные частоты и формы этой системы. Метод их определения, предложенный С.А. Зегждой и М.П. Юшковым, заключается в представлении движения системы в виде рядов по собственным формам элементов системы. Уравнения, выражающие связь между элементами системы рассматриваются как голономные связи. В такой постановке задачи оказывается возможным применение уравнений Лагранжа II рода с множителями. При этом уравнение для определения собственных частот получается из уравнений связей. Метод разработан на кафедре теоретической и прикладной механики математико-механического факультета СПбГУ и опубликован в работах [5,8,24].

Литература, посвященная распространению трещин в упругох-рупких материалах, ограничивается анализом условий страгивания трещин или их стационарного распространения. Задача о нестационарном росте трещин изучена значительно хуже, т.к. даже при наиболее простой постановке, когда заданы скорость и направление движения трещины, определение сопутствующего напряженного состояния связано с серьезными математическими трудностями[7,2,25,29,3,1]. Поэтому при исследовании динамических задач механики трещин широко используются упрощенные модели, в частности, так называемая модель «балочного приближения», которая применяется как для изучения условий старта трещин [15] , так и для анализа задач о её распространении [27,28,32]. При этом система с бесконечным числом степеней свободы моделируется, как правило, системой с одной стез пенью свободы. Наиболее последовательный анализ динамических задач механики трещин на основе «балочной» модели был осуществлен в [27,28].

Следует отметить, что задача о динамическом развитии трещины является крайне сложной, т.к. исследуемый объект имеет изменяющийся во времени размер из-за роста трещины. В системах с изменяющимся размером затруднено применение классических методов из-за переменности области интегрирования, которая сама входит в задачу как одно из неизвестных. Методика рассмотрения длины трещины как обобщенной Лагранжевой координаты, а условий отсутствия прогиба и угла поворота в вершине трещины в виде двух голо-номных связей, и запись прогиба берега трещины в виде ряда по балочным функциям свободной балки, позволяет применить уравнения Лагранжа с множителями к анализу динамики такой системы. В предлагаемой методике динамически учитывается заданное число степеней свободы и квазистатически прогиб по высшим формам. При этом введение квазистатического прогиба позволяет исключить неизвестные реакции связей из полученных уравнений Лагранжа, что является принципиальным при решении подобных задач.

Цель работы заключается в демонстрации эффективности использования уравнений Лагранжа при решении динамических задачи о соударении упругих тел, а также в разработке методики применения уравнений к динамике систем переменного состава, в частности, к динамике развития трещины.

Основные результаты, выносимые на защиту:

• Рассмотрено применение уравнений Лагранжа с множителями для нахождения собственных частот и собственных форм систем, состоящих из произвольного количества одномерных и двумерных тел.

• Решена задача об определении собственных частот и собственных форм кольца с массой. Исследован процесс соударения кольца с массой об упругое полупространство. Учтены повторные удары.

• Определены условия, при которых уравнения Лагранжа могут быть применены к системам переменного состава.

• Построена балочная динамическая модель развития трещины внутри бруса.

• Показано, что квазистатический учет высших собственных форм, позволяет голономную связь заменить упругой связью.

• Решена задача о развитии трещины при ударном внедрении клина в тонкий брус.

• Исследован процесс расклинивания тонкого бруса под действием импульса давления приложенного к берегам трещины.

В работе использованы и уточнены современные аналитические методы, разработанные на кафедре теоретической и прикладной механики математико-механического факультета СПбГУ. Для всех задач получены системы дифференциальных или интегральных уравнений, с последующим решением их на ЭВМ. Компьютер использовался также для особо сложных аналитических вычислений.

В первой главе приводится методика расчета собственных форм и собственных частот путем разложения в ряд по собственным формам исходных элементов. Дается сравнительный анализ данного метода с классическим методом математической физики на примере кольца с массой. Обсуждается методика совместного учета локальных деформаций по теории Герца и общих деформаций по теории Кирхгофа- Лява. Решается задача о соударении кольца с массой по упругому полупространству. Рассматриваются особенности численного решения уравнений с неудерживающими связями. Показан механизм возникновения повторных ударов. Приведены результаты расчета силы соударения и коэффициента восстановления с учетом повторных ударов.

Во второй главе обосновывается возможность применения уравнений Лагранжа II рода к механическим системам переменного состава. Длина трещины рассматривается как обобщенная Лагранжева координата. Приведено решение задачи о развитии внутренней трещины в балочной модели. Решена задача о развитии трещины при ударном внедрении клина. Применена методика квазистатического учета высших форм и замены голономной связи между клином и трещиной упругой связью. Выполнены численные расчеты для указанных задач.

В третьей главе приводится решение задачи о расклинивании трещины под действием импульса давления приложенного к берегам трещины. Обсуждается необходимость рассмотрения берега трещины как свободной балки с двумя наложенными связями. Применен квазистатический учет высших форм. Получено соотношение между прогибом по высшим формам и реакциями связей, что позволило исключить реакции связей и ввести потенциальную энергию, учитывающую деформацию по высшим формам. Получено динамическое условие начала расклинивания и показана его корреляция со статическим условием. Выполнены численные расчеты, найдено критическое значение величины максимального давления.

Заключение

Таким образом, были рассмотрены следующие теоретические вопросы: применение уравнений Лагранжа с множителями для нахождения собственных частот и собственных форм систем, состоящих из произвольного количества одномерных и двумерных тел; квазистатический учет высших собственных форм и замена голономной связи упругой связью; анализ систем с неудерживающими связями и учет повторных ударов; динамика развития трещин.

Указанные методики проиллюстрированы при решении следующих практических задач: определены собственные частоты и собственные формы кольца с массой; рассмотрен удар кольца с массой по упругому полупространству; построена динамическая модель развития трещины внутри бруса; решена задача о развитии трещины при ударном внедрении клина в тонкий брус; рассмотрено расклинивание тонкого бруса под действием импульса давления приложенного к берегам трещины.

Результаты, полученные в работе, демонстрируют эффективность предложенных методик, основанных на применении аппарата уравнений Лагранжа II рода с множителями, в применении к широкому спектру задач теории упругости, включая сложные области, такие как динамика развития трещин.

1. Achenback J.D., Bazant Z.R. Electrodynamics near-tip Stress and displacement fields for rapidly propagating cracks in anisotropic materials // Trans. ASME. Ser. E. Appl. Mech. 1975. Y. 42. № 1. P. 183-189

2. Broberg K.B. The Propagation of Brittle Crack //Ark. Fys. 1960. У. 18. №2. P.159-192.

3. Freund L.B., Clifton R. On the uniqueness of plane electrodynamics solution for running cracks // J. Elast 1974 V.4. №4. P. 293-299.

4. Herty H. Uber die beriihrung fester elastischer K6rper//Zs. f. Math. (Crelle). 1881. Bd. 92.

5. Juschkov M.P. Anwendung der Lagrangeschen Gleichungen 1. Art zur Untersuchung der nichlinearen Querschwingungen von Balken mit unverschie-blichen Lagern. //Technische Mechanik, Bd 18, HI, (1998), P.79-84

6. Sears J.E. On the longitudinal impact of metal rods with rounded ends. // Proc. Cambrige Phil. Soc. 1908. Vol. 14.

7. Yoffe E.H. The moving Griffith's crack. // Phil. Mag. Ser. 7. 1951. У 42. N330. P.739-750.

8. Yushkov M.P., Zegzhda S.A. A New Method of Vibration Analysis of Elastic Systems, Based on the Lagrange Equations of the First Kind//Technische Mechanik, Bd 18, H2, (1998), P.153-160

9. Бабаков И.М. Теория колебаний. M. :Гостехиздат, 1958. 628с

10. Беляев Н.М. Труды по теории упругости и пластичноси. М., 1957

11. Бидерман B.JI. Теория удара. М. 1952.

12. Вернигор В.Н, Михайлов A.J1. Модальный анализ механических колебаний упругих систем. Рыбинск 2001.

13. Вернигор В.Н. Определение собственных частот и эквивалентных масс упругого тела по его динамической податливости. // Вестник ЛГУ. Сер.1, 1990, вып. 4

14. Георгиев И.Г. Динамика развития трещины в тонком брусе//Вестник молодых ученых. №4, 2000 С.92-101

15. Гилман Дж.Дж. Скол, пластичность и вязкость кристаллов // Атомный16