Использование квазистатического подхода в динамике стержневых систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

СИНИЛЬГЦИКОВА Галина Алекгандропна

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВАЗИСТАГИЧЕСКОГО ПОДХОД В ДИНАМИКЕ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

Специальность 01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

□ОЗ169124

АВТОРЕФЕРАТ днссер! ац1Ш на соискание ученой степени кандидата физико-математических па} к

! 5 МДП 2С03

Санкг-Петерб} рг 2008

003169124

САПКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На нравах рукописи

СИНИЛЫ1ЩКОВА Галина Александровна

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КВАЗИС1АТИЧЕСКОГО ПОДХОДА В ДИНАМИКЕ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

Специальность 01 02 04 — механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата фнзико-математическич наук

Санкт-Петербург 2008

Работа выполнена на кафедре теоретической и прикладной механики матема-тико-механичеекого факультета Сашст-Петербургского государственною университета

Научный руководит ель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-матема]ических наук, профессор ЗЕГЖДА Сергей Андреевич

чл -корр РАН, доктор физико-математических паук, профессор, ПЕТРОВ Юрий Викторович,

кандидат технических на} к, старший научный сотрудник РЫБАКИНА Оксана Григорьевна

Ведущая организации:

Ба;п пйский шоу даре ] венный юхнический универешет «Военмех»

Защита состоится "££ " сЛЖ£1сВ, 2008 г в /3 тасок на заседании дахерта!цюннеш сове! а Д 212 232 "50 но ¡ащшс доеторскич и кандидат скич диссертаций при Санкт-1 Ьяербурюком шсударс I вспноч ^ншкрешсте но адреС> / 198504,Санкт-Петербург. Старый Петергоф,Универсшхмскийпр, д 28, пуд -/¿Л?

С диссершшей можно ознакомиться в Научной библиотеке им М Горькою Санкт-Петербургского госчда^твегаюго университета но адрссл Санкт-Петербург, Универсш С1 екая набережная, д 7/9

Авгорефера! разослан

2008 г

11 о ученого секретаря диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор

К) М Даль

Общая характеристика рабои.! Акту<1лыюсн> 1С,мы диссертации. Работа посвящена разнишю квазистатического подхода к решению задач динамики доя балочных систем Этот подход основан на рассмотрении упругих систем, имеющих связи, например опоры, как свободных систем, на которые действуют реакции связей Данные реакции уравновешиваются силами инерции системы, которые соответствуют предположению, что система ямястся абсотготно твердой Величины реакции определяются при этом так, чтобы суммарные перемещения ючек системы, вызванные ее движением как абсолютно твердого тела и ее деформациями, удовлетворяли уравнениям связей Впервые такой подход был применен Г Герцем при решении задачи о соударении шаров Условие юго, что шары при соударении не проникают др} I в друга, является юлономнои связью Пола1ая, чю ее реакция, равная силе соударения, уравновешивается силами инерции пои у нательного движения шаров, Герц связал сближение шаров с силой соударения, г е свел задачу к системе с одной с степенью свободы

В работах С А Зегжды и ВII Вернкгора квазистатический подход Герца был обобщен и применен к широкому кругу задач динамики -упругих систем В настоящей работе новый вклад в квазисгатический подход основан на рассмотрении внутренних силовых факторов в характерных сечениях и реакций связей в качестве обобщенных лагранжевых координат Использование лих ьоординаг дало возможность в аналитической форме и притом достаточно точно наши первую собственную частоту и форму продольных и изшбных котебаний стержня переменного поперечного сечения Рассмотрен свободный стержень и стержень, один конец которого заделан Задача динамики развития трещины в юнком брусе при импульсном пагружении за счет введения из1 ибающего момента и перерезывающей силы в вершине трещины в качестве обобщенных лагранжевых координат значительно упростилась Эю позволило в рамках модели с тремя степенями свободы описать те основные аспекты развития трещины, которые наблюдаются в уникшшшх экспериментах, проводимых в СГ16ГУ иод руководством чл -корр РАН Ю В Петрова

Таким образом, тема диссертации явтяется актуальной

Цель работы. Основная цель работы заключается в том, чтобы продемонстрировать эффективность квазисгагического подхода к шдачам динамики упруг ич систем и показать целесообразность использования реакций связей и внутренних ситовых факторов как обобщенных лагранжевых координат

Метода исследовании. При достижении поставленной цели используется квазистатический подход, а также принцип освобождаемое™ от связей, гютпота системы собственных функций свободного стержня, универсальность уравнений Лагранжа второго рода

Нлучнаи повпзна. В диссертации получены следующие новые научные ре-зульт аты

• Показано, что, если свободный стержень переменного поперечного сечения мысленно разбить на две части и предположить, чю каждая из частей под действием сил, приложенных к ней со стороны друюи части, деформируется квазистатически, го при изгибных ко тебапиях система имеет че-

тыре степени свободы, а при продольных - две Полагая, что сечение, которым стержень разделяется на две части, является неподвижным, придем к рассмотрению консоли При изгибных колебаниях система имеет две степени свободы и обобщенными координатами являются величины, пропорциональные изгибающему моменту и перерезывающей силе в заделке Найденные приближенные значения первой частоты для консолей в виде клина и конуса больше точных соответственно на 0,1% и 0,2% При продольных колебаниях погрешность приближенного значения больше, чем при изгибных Так, для стержня в виде усеченного клина с заделанным концом приближенное значение первой частоты выше точного на 1,1%

• Построена квазистатическая модель динамики раскрытия трещины в тонком брусе при импульсном нагружении ее исходных берегов В нулевом приближении модель имеет три степени свободы Обобщенными лагран-жевыми координатами являются изгибающий момент и перерезывающая сига в вершине трещины, а также длина трещины

• Предложен алгоритм построения последующих приближений, основанный па добавлении к л им грсм координатам новых координат, позволяющих динамически учесть несколько первых форм колебаний свободного стержня Показано, что можно ограничиться моделью, имеющей шесть сгепеней свободы

• Показано, что раскрытие трещины носит ступенчатый характер

• Определена минимальная величина импульса, при котором начинает развиваться трещина

• Построена феноменологическая модель, позволяющая определить зависимость длины раскрытия грещины от импульса приложенной на1рузки

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер Развитые в ней методы могут быть применены при решении различных задач динамики балочных сисгем Материал, изложенный в диссертации, может быть использован при чтении специальных курсов по актуальным проблемам механики и механике деформируемого твердого тела

Апробация работы. Полученные в работе результаты были представлены автором наследующих конференциях [1, 2, 4, 5]

Международная конференция «Четвертые Окуневские чтения», Санкт-Петербург, 2004 г , Международная научно-техническая конференция «Вычислительная механика деформируемого твердого тела», Москва, 2006 г, Международная конференция но механике «Четвертые Поляховскис чтения», Санкт-Петербург, 2006 г

Результаты докладывались на семинарах кафедры теоретической и прикладной механики СПбГУ (2007 - 2008 гг), а также на семинаре Института проблем машиноведения РАН «Нестационарные задачи механики и физики» (2007 г), на секции теоретической механики в Доме Ученых им М Горького (2007 г)

Публикации. По теме диссертации имеется 6 публикаций [1-6], в том числе 1 статья в журнале, рекомендованном ВАК В совместной работе [6] соавтору принадлежит постановка задачи и метод решения, диссертанту принадлежит реализация предложенного метода и результаты расчетов

Структура и о01.см рлооми. Диссертационная работа сосшиг из введения, 1ре\ 1лав, заключения и описка лшературы, насчитывающего 57 наименований Число иллюстрации равно 19 Общий объем работы 86 страниц

Содержание днесер!ации Во »ведении обоснована актуальность темы диссертационной работы, приведена краткая исюрия квабистатическош подхода в динамике упру! их систем, дан обзор лшературы, сформулированы цели и задачи работы, а также результаты, выносимые на защшу

В первой главе рассматриваются изгибные колебания консоли переменного поперечного сечения - рис 1 (а) Координата « отсчитывается от свободного конца балки, / - диша консоли, А(х) и ./(х) - соответственно площадь и момент инерции поперечного сечения х, /) - прогиб сечеиня х л>

(1)

б)

Рис 1 Консоть переменного поперечного сечения а - расчетная схема, б - квазистатичсскос представтенис деформаций Условия заделки консоли эквивалентны наличию двух голономных связей

у\

'х=1 гЬ

Исполыуя принцип освобождаемое™ от связей, консоль будем рассматривать как свободную балку, к правому концу которой приложен изгибающий момент Л/(г) и перерезывающая сила <2(0 Свободная балка может, во-первых, перемещаться пос1упа1етьно вдоль оси у и поворачиваться вокруг оси, перпендикулярной плоскости ху, и, во-вгорыч, изгибаться - рис 1 (б) Будем считать, что изгиб балки носит квазистатичсский характер, т е происходит под действием сил инерции посту нательного и вращательного движения балки как абсолютно твердого тета, уравновешенных реакциями связей Интенсивность сил инерции такова

Здесь Е - модуль упрут ости, г = х/1,

-А/р) I1

МО

Л2(/):

.ОМ. МО

¡Л(г)(с-г)2с1г

-(1 -с)-Т

М.

^ Л(г)(с - г)2с!г \А{г)с1г

Изгибающий момент в сечении г=г/, вызванный действием сил инерции равен

где

Интегрируя уравнение у пруюй линии

получаем

У (2> 0 = >1 (0 + ф(0' (г ■~ 1) ■+ Л! (г )А, (г) + Л2 (Г >2 (г) (2)

Здесь

Эх

г -1

■ М-Г'ЛЙ *-12

Отметим, что функции /г*(г) таковы, что

= 0

¿г2

с! г1

= О, к =1,2

(3)

Первое слагаемое в формуле (2) соответствует поступательному перемещению свободного стержня как абсолютно твердого гела, а второе - его повороту на у юл ф вокруг правого конца Последние два слагаемые связаны с деформацией изгиба стержня Кривая прогиба, им соответствующая, как следует из формул (3), удовлетворяет условиям свободного конца при г=0 и заделки при х=1 Поэтому, если изгибающий момент М (г) и перерезывающая сила приложены к неподвижному концу стержня (у=0, (р=0), то в квазистатике будем иметь

>'(г,/) = у\,(г>1(г)+Л2(/)А2(г) (4)

Отсюда следует, что для консоли величины Л! и Л2 можно принять за обобщенные тагранжевы координаты

Отметим, что построенные функции к\(г) и И2(г), удовлетворяющие краевым условиям (3), можно рассматривать как удачно выбранные функции для консо'ш переменного ссчения, позволяющие при рассмотрении ее колебаний использован, меюд Рэлея-Ритца

Собственные частоты колебаний данной системы с двумя степенями свободы таковы

Здесь р - плошость материала, ш, - положительные корпи уравнения

= 0 , (5)

с, 2 - ю; ап с22 - а\ а 2

1,к = 1,2 (6)

/ > т ■

о о

Формы собственных колебаний, соответствующие частотам со,, как следует из выралхений (4) и (5), имеют вид

с]2 -со,2д12

./(г)

не ч;

_ 2 ^22 ¿7 22

Для апробации изложенною метода исполыовались точные решения для консоли в виде клина (Л(г) = г, J{z) = zъ) и конуса (Л(г) = г2 , Расчеты показали, что погрешность определения величины и>1 составляет для клина 0,1 %, а для конуса - 0,2% Расчеты проводились также для консолей с другими зависимостями /¡(г) и J(z)

Во второй главе внутренние силовые факторы в характерных сечениях стержня рассматриваются как обобщенные лагранжевы координаты Обоснование такою подхода дается в § 2 1 В§22 рассматриваются продольные колебания свободного стержня длины 21 - рис 2 Разобьем мысленно стержень на две части длины / (стержень 1 и стержень 2) и наложим на данную систему, состоящую из двух свободных стержней, голономную связь, соответствующую условию равеис[ва иродо 1ьиых перемещении в середине сгсржня (узле) Будем отсчитывав продольную координату х„ 1=1, 2, для каждой из половин от ее свободного конца

1>т 1 /'

<-21—,-)

Рис 2 Разбиение исходного стержня на стержни 1 и 2 при расчете продольных ко тебаний а - исходный стержень, б - стержень 1, в - стержень 2

Обозначим через Р растягивающее усилие в середине целого стержня (узле) и через и - перемещение узла вдоль оси х Полагая, что и первый, и второй стержень под действием силы Р деформируется квазистатически, смещение любого сечения обоих стержней сможем выразить через смещение узла и и силу Р Следовательно, величины и и Р могут рассматриваться как обобщенные лаграи-жевы координаты Данная система с двумя степенями свободы имеет нулевую

собственную часюту, соответствующею посту нагельному перемещению стержней как абсочюпю твердых тел, и ненулевую частоiy, вычисляемую по формуле

со ГЁ I с,,а2-

P = — J—, 00 = J—

/ V р \ аиа22 -а12

Здесь

11 a2(;)J lW 40 2W A(I)

zi

\Ak{z)dz J

о

=/и(г)ф1(г)-Л(г)ф2д22 =j(4(z) + yi2(z))ife,

о о

Собственная форма колебаний, соответствующая этой частоте, запишется в виде X(z)= Z(1)(z)0(l - z)-X{2){2 - z)G(-1 + z),

где + = ^ + 0(z)=\°'Z-\z = x/l

а„2 а2 2

Как показали расчеты, для стержня в виде клина (A(zl)/A(!) = z) величина 01=1,94, а для кону са (A(zl)/A(l) = z2) ®i=2,30 Для стержня постоянной толщины

71

га,= 1,58, т е при сравнении с точным решением -- ошибка составляет 0,7%

Для свободного стержня, симметричного относительно середины, когда Al(z)=A2(z), 0<z<l,

имеем

^^^} я=(7)

' а 0 1V- / о

Отметим, что частота р свободного стержня длины 21 равна в данном случае частоте р продольных колебаний стержня длины /, у которого конец х=0 свободен, а конец х=1 закреплен Решение этой задачи по методу Ритца при Al(z) = l + z приводится в книге И М Бабакова «Теория колебаний» Показано, что

ш = 1,794,

где все четыре цифры являююя верными По формуле (7) получаем

оз = 1,814,

I с noipeiiiHOCTb равна 1,1%

При рассмотрении изгибных колебаний свободного стержня он также разбивается на два стержня длины I - рис 4

8

Рис 4 Разбиение исходною несимметричного стержня на стержни 1 и 2 при расчете изгибных hoieCjHий а - исходный стержень, б - стержень 1, в - стсржень 2

Реакциями связей в данном случае являются из1 ибающий момент М и перерезывающая сила Q Смещение общего сечения данных стержней вдоль оспу обозначим черезуи d угол его поворота через ср (рис 4) Полагая, что каждый из стержней под действием момента А/ и силы О деформируется квазистатически, перемещение вдоть осп у сечения xk=zj к-го стержня, используя формул} (2), представим в виде

У<к)(ч,')= У.(О- (- 1)4(0'- 0+ У'» (**)-(- 1)'Л2(/)й2ЛгД (8)

Z* = = 1,2

Функции hlk{z) и hu(z) получим, заменяя в формулах, по которым находим соответственно функции /г,(г) и Л2(г), функции A(z) и j(z) на Ak{z) и Jk(z),

Из выражений (7) следует, что построенная модель свободного стержня имеет четыре степени свободы и обобщенными лагранжевыми координатами являются Ль Лг, У\ и ф Потенциальная энергия изгиба данной модели зависит от двух координат Aj и Л2, а кинетическая энергия - от всех четырех Поэтому система имеет две нулевые и две ненулевые частоты

Если стержень симметричен относительно середины, т е

А (*) = А (г) = A{z), 7,(z) = J2(z) = 7(z),

hn (г) = /■„(*) = ft, (z), hn{z).= ha(z) = h2(z), то первая ненулевая частота соответствует той форме прогиба, которая симметрична относшелыго середины При этом ср = 0 и Л2 = 0 При второй частотер2 форма нрошба антисимметрична (уу= 0, Л,=0) Частоты р\ и рг таковы

аш

Здесь скк коэффициенты, задаваемые выражениями (6), а Хк(?) - форма колебаний при частоте рк Имеем

i i

а® = \A{z)hl{z)dz, a¡¡ = ¡A(z) dz ,

o o

1 1

- ¡A{z)h2{z)(z-\)clz, ai? = jA(z){z-\fdz

o o

Расчегы проводились для стучля, когда Л(г) = z2", J(z) = z4" при теч значениях п, для которых известны точные значения са^ Вычисленные значения coi и со2 и ич относительные погрешности г, приведены в таблице 1

Таблица 1 Влияние параметра п на собственные час юты ®¡ и со.?, _____к - относительная погрешность__

п 0 0,25 0,5 0,75 1

(0, 5,59, f - 0,050/о 6 97, ь -- 0 24% 8,23, в = 0,34% 9,36, ь = 0 65% 10,33,е= 1,57%

<02 15,64, е = 1,44% 16,31 16,65 16,730 16,58

Для свободного стержня, несимметричного относительно середины, величины о^ и (£>2 являются корнями квадратного уравнения Явные выражения для ю2 и а>2 не выписывались Задача решалась численно в пакете «МаШетайса»

Расчеты проводились для случая, когда и первый, и второй стержень имеют форму усеченного конуса, т е когда Д (г,) = (с, + (1 - с, )2, У, (г,) = (с, + (1 - е, )г, У В частности, при ^ =0 5, с2 =0,1 потучаем ш, =7,48,ш2 =13,89

В конце второй главы рассматриваются изгибные колебания свободного стержня с сосредоточенными массами Используя аппарат 5-функций Дирака, эту задачу можно свести к предыдущей Сравнение с точным решением для осржня постоянного сечения с одной сосредоюченной массой на конце показываем что при любом соотношении между сосредоточенной массой и массой С1ержня погрешность определения первой частоты не превышает 0,05%

В трсгьеп главе рассматривается динамика развития трещины в тонком брусе ширины Ь и юнцины 2А- рис 5 В брусе имеется технологический надрез длины к берегам которого прикладывается импульсная нагрузка в виде давления, равномерно распределенного но всей гпощади берега Размеры Ь и ¡г предполагаются соизмеримыми друг с другом, а I» » И Толщиной технологического надреза по сравнению с толщиной бруса можно пренебречь С конца надреза начинает развиваться трещина

¿¿ргтттт

р( о

Рис 5 Расчетная схема нагружения берегов трещины в тонком брусе

Рис 6 Расчетная схема распространения трещины в брусе

Предположение о сохранении симметрии при развитии трещины позволяет ограничиться рассмотрением одного ее берега Он рассматривается как консоль, заделанная в вершине трещины Расчетная схема распространения трещины в бру се приведена па рис 6 Используя принцип освобождаемостн от связей, консоль переменной длины I(г) будем рассматривать как свободную балку, к правому концу которой причожен инибающии момент Л-/(/) и перерезывающая сила

ем

Прогиб берега трещины в нулевом (квазиыэтическом) приближении обозначим через у0(г,г) Из формулы (2) следует, что данный прогиб при учете то-I о, что консоль имеет постоянное поперечное сечение, представится в виде

Уо М = Л, (0/?, + , (9)

где

20

г г ._ + —

? 4

' , / N 1 г г' г5

Л,Ы =---+----

10 20 12 12 20

(10)

Из выражения (9) следует, что при любом хе [0,£(/)] прогиб однозначно

определяется в момент времени / заданием величин Л), Л2 и Ь Следовательно, в нулевом (квазистатическом) приближении они могут рассматриваться как обобщенные лагранжевы координаты, но при условии, что Ь > 0 Таким образом, данная модель ни в квазистатическом, ни в последующих приближениях не позволяет описать смыкание берегов трещины Полагается также, что расчеты ведутся, пока у(х,г)>0 (см рис 6)

Чтобы построить последующие приближения, позволяющие динамически учесть несколько первых собственных форм свободной балки, необходимо функции и /^(г), задаваемые выражениями (10), представить в виде ряда по собственным формам колебаний свободной балки

Прогиб свободной балки длины £(/) может быть представлен в виде

у(Х,1)=$о(/)+Ф(0(*-£(0)

1=1

Iде — балочные фу нкдии свободной балки А'Дг) = + яИХ^ + Д (со$"к+ с/тХ^)

' х ^

м

(И)

Л, =------~

сЪК1 -созК,

Здесь X, (г = 1, — возрастающая последовательность корней уравнения

chX, cosk, = 1

Первое слагаемое q0(t) в выражении (11) соответствует поступательному перемещению свободной балки как твердoiо тела, а второе — ее повороту, как твердою тела, вокруг конца х = lit) на угол <р Уравнения связей таковы

1 ~

dX

д V

= Ф+ If-Л'/(1) = 0- л = уЫ^ = 90 + 1>Л(') = 0, (12) 1-1 L- i-l

где АГ/(1)

ск

В квазистагической постановке задачи считается, что кинетическая энергия системы равна кинетической энергии свободной балки как абсолютно твердого тела заданной фиксированной длины ¿, т е принимается, что она зависит только от обобщенных скоростей </0 и <р

Потенциальную энергию изгиба представим в виде

п(13) I 0\ах ] I рькь

В уравнениях Лагранжа второго рода из-за наличия связей (12) появятся множители Лагранжа, равные соответственно изгибающему моменту М и перерезывающей силе () в заделке В квазист атаке кинетическая энергия не зависит ни от д,, ни от поэтому уравнения относитетьно этих координат таковы

дП , , Э/, _ Э/, _ ----+Л/—- + --= 0 '=1,

дд, дд, дд,

Отсюда

л/,®,ч =а/ (1) (14)

од, Л

Здес1> <;, — значение обобщенной координаты $ в квазистатике

Учитывая уравнения связей (12) и выражение (14), кривую прогиба в квази-сглике представим в виде

где

ЕЗ 2Х/ ЕЗ

Используя выражения (9), (11), (12), (15), прошб консоли в я-ом приближении можно представить в виде

где ¥1 (г) = А", (г) - Л', (1) - -V,' (1) (г -1) Величины!, ЛА, (¿ = 1,2), ц, 0=1, ,п), входящие в (16), рассматриваются как обобщенные лагранжевы координаты Кинс-шческую и потенциальную энергии вычисленную для прогиба (16) по технической теории балок, обозначим соответственно через 1„ и II,,

Давление, характеризующее импульсную нагр} зку приложенную к берегам трещины, - см рис 5, - задастся в виде

(17)

О, /, <(

Обобщенные си [ы, соответствующие нагрузке (17) таковы

Я А, (0 = ъмШЪ (0 = ьм,р{1Ш

1 = 1 ) где

о о

Постоянная Гриффшса у связана с рабоюи 5/3 которая затрачипаегся па раскрытие трещины на величину ЬЬ, соотношением

Ыу=-уЬ81

Таким образом, при раскрытии трещины (ь > о) система уравнении Лагранжа второго рода такова

'а эт. э/„ эр.

Л дЛк дАк <1 97 „ Э Т.

дА

д=1.2,

Л Эс/, aq¡

(18)

ЭР „ ^ -а^+бх-т л

£ эг„ _а7'„ [л э/, эл

До начала раскрытия трещины вместо последнего уравнения системы (18) ставится условие

Л -0 (19)

Данная укороченная система уравнений при решается при начальных ус-

ловиях

§,(0) = $(0) = Л*(0) = Л,(0), к --1,2,, =и Обобщенная реакция голонолшой связи (19) равна с обратным знаком той силе Ф, которая стремится раскрыть трещину Процесс раскрытия начнется тогда, когда сила Ф, вычисленная при найденных значениях </,= Ь =1.2,1 =1 ,п по формуле

достигнет значения уЪ Начиная с этого момента, следует переходить к интегрированию полной системы (18)

Условием прекращения раскрытия трещины является уменьшение величины 1. до нуля при Ь<0 Тогда вместо уравнения по координате Ь снова вводшся связь (19) Условие продолжения раскрытия трещины аналогично условию начала ее раскрытия, где вместо Ь^ подставляется длина трещины в момент окончания последнего раскрытия

Система (18) интегрировалась в безразмерных переменных При их введении использовалась величина М., равная значению изгибающего момента в вершине трещины, при котором в статике теряется равновесие (начинает развиваться трещина) Величина М, связана с постоянной Гриффитса у соотношением

М. = уЕЛ

Полагая

м.12 <?« =->

4£/

безразмерные переменные введем по формулам

ХР И Ь, д, (¡г.

Заметим, что при данных безразмерных переменных система (18) содержит всею два параметра, которые характеризуют внешнюю нагрузку

- и - На

Ртах Ртах — .[ г2

Е1д, \ р и

Более того, при т, «1, импульсное нагружение можно считать мгновенным, т е воздействие можно характеризовать одной величиной ртгхт,, которая характеризует импульс и может рассматриваться как инвариант

При малом (в сравнении с основными периодами собственных колебании берега трещины) времени действия нагрузки гтах воздействие можно считать импульсным При этом можно счит ать, что к концу воздействия берет движется по/

ступательно со скоростью V =—, где I = Г рОук -импульс воздействия Фор-

Р>> о

мально приравнивая кинетическую энергию поступательного движения берега трещины и работу у ЬЬ,, необходимую для раскрытия трещины на величину /.-, определяем характерное значение импульса

Г=^2урк

Для воздействия, заданного в виде (17), характерное значение ртах таково

, _ 21* Ртах ,

Значение максимальной длины раскрытия трещины можно приближенно определить, иотагая, что и момент максимальною раскрытия кинетическая энергия, сообщенная берегу при воздействии, полностью переходит в работу раскрытия трещины и потенциальную энерппо упругих деформаций берега Последнюю можно определить в предположении, что момент в вершине трещины при этом равен критическому А/», а кривая прогиба пропорциональна форме статиче-ско1 о про1 иба под действием постоянной нагрузки приложенной к у частку берега длиной /,»

Расчеты проводились пргг 0,5 < I < 2, I =///*, (2531< р^ <10124, т«=0,00548) Дгя образца со следующими значениями параметров Л—10 мм, ¿.=100 мм, р-1600 и/м\ £"=3000 МПа, 7=3000 Дж/\Г, это соответствует 77,5 М11а < рпих < 31 ОМПа, и=А 10^с При этом /"--310 Пас, ^'„=155 МПа Время воздействия импульса I, не менялось, а величина варьировалась в диапазоне от 0,5 р'тах до 2 р"яах

Графики зависимости длины трещины ст =///.» от времени т при разных значениях р^ дтя /2=0 гг и=3 приведены на рис 7-8 На каждом графике указана максимальная безразмерная длшга трещины атах Расчеты ггоказали что различия между значениями полученными в третьем и последующих приближениях не-иществешш Как видно из рис 7-8 нулерое приближение н счлюшюм 1ает правильное представление о процессе раскрытия трещины

4 о в 12 г е

гг-0 п 3

Рис 7 Зависимость пины трепцины а от времени г / = (>,75/

1 в 1 а 1 л 1 г

о х о г 1 5 о } з о о «1 1 о 1 Р о ? ко

п -0 ;1-3

Рис 8 Зависимость дтины трещины а от времени т /=/*

Решалась задача по определению минимального порогового значения импульса /лор, при котором имеет место сколь уiодно малое развитие трещины Установлено, что /1Вр = 0,3/* Расчеты показали, что раскрытие трещины начинается

не сразу после окончания действия импульсной нагрузки, а приблизительно при т«80г» Этот результат согласуется с эффектом запаздывания (см статью Ю В Петрова и др «Эффект запаздывания старта трещины при пороговых импульсных нагрузках» // Доклады Академии Наук 2000, т 375 №3 с 328-330)

Установлено также, что раскрытие трещины носит ступенчатый характер, те состоит из нескольких участков роста трещины (а'>0), разделенных участками, на которых длина трещины не меняется (а'=0) Следует отметить, что вывод о ступенчатом характере раскрытия трещины также подтверждается экспериментальными исследованиями, проводимыми на кафедре теории упругости СПбГУ

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации

Список работ по теме диссертации

1 Матвеева (Синилыцикова) Г А Динамика отслоения полубесконечной пластины при заданном законе возрастания прогиба ее свободного края // Международная конференция «Четвертые Оку невские чтения» 22 - 25 июня 2004 г, Санкт-Петербург Тезисы докладов - СПб Балт гос техн ун-1, 2004 — С 15

2 Матвеева (Синилыцикова) Г А Динамика отслоения полубесконечной пластины при заданном законе возрастания прогиба ее свободного края // Международной конференция «Четвертые Оку невские чтения» 22 - 25 июня 2004 г, Санкт-Петербург Материалы докладов -TI Теоретическая и прикладная механика - СПб Балт гос техн ун-т, 2005 -С 115-122

3 Синилыцикова ГА Использование реакций связей как обобщенных координат при моделировании колебаний упругих систем // Проблемы механики и управления Нелинейные динамические системы Межвузовский сборник научных трудов Выи 37 Перм гос ун-т - Пермь, 2005 - С 146-156

4 Синилыцикова ГА Использование квазистатического подхода в динамике стержневых систем // Международная научно-техническая конференция «Вычислительная механика деформируемого твердого тела» 31 января - 2 февраля 2006 г Москва Труды - Т 2 - M Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ), 2006 - С 383-386

5 Синилыцикова Г А Ударное расклинивание тонкого бруса// Международная конференции по механике «Четвертые Поляховские чтения» 7-10 февраля 2006 г, Санкт-Петербург Тезисы докладов - СПб Изд-во «ВВМ», 2006 -С 215

6 Зегжда С А , Синилыцикова Г А Развитие трещины в тонком брусе при импульсном нагружении // Вестн С -Петербург ун-та Сер 1 Вып 3 - 2007 - С 15-23

Подписано к печати 27 03 08 Формат 60 х90 1/>в Бумага офсетная Гарнитура Тайме Печать ризографичсская Печ л 1,0

Тираж 100 экз Заказ 4174_ _

Отпечатано в Отдете оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетскии пр , 26 Тел (812)428-4043

стр:

ВВЕДЕНИЕ 2

1 . ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ КАК ОБОБЩЕННЫХ

КООРДИНАТ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ КОЛЕБАНИЙ

СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ 10

1.1 Применение квазистатического подхода к задаче об изгибных. колебаниях консоли 11

1.2 Результаты расчетов 17

2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ КАК

ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ!

КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ^' 18

2.1 Об использовании внутренних силовых факторов как обобщенных координат при моделировании колебаний стержневых систем 18

2.2. Задача о продольных колебаниях свободного стержня 19

2.3 Применение квазистатического подхода к задаче об^ изгибных колебаниях свободного стержня, симметричного относительно серед ины -■; . 25

2.4 Применение квазистатического подхода к задаче об изгибных колебаниях несимметричного свободного стержням1 - 28

2.5. Задача об изгибных колебаниях свободного стержня с сосредоточенными массами 31

3. РАЗВИТИЕ ТРЕЩИНЫ В ТОНКОМ БРУСЕ ПРИ

ИМПУЛЬСНОМ НАГРУЖЕНИИ. 34

3:1. Постановка задачи 34

3.2. Определение прогиба консоли в квазистатическом приближении 36

3.3. Представление прогиба консоли и определение кинетической и потенциальной энергии в72-ом приближении 40

3.4. Определение обобщенных сил, соответствующих введенным координатам 45

3.5; Уравнения Лагранжа II рода и условия начала и прекращения развития трещиньг 47

3.6. Переход к,безразмерным переменным^ 53

3.7 Алгоритм решения ^ 57

3.8 Определение характерных значений импульса I и приближенной зависимости атах(Т) при импульсном нагружении 61

3.9 Результаты расчетов 68

Задачи динамики балок и балочных систем можно отнести к «классическим» задачам механики деформируемого твердого тела (МДТТ). К настоящему времени разработан целый ряд подходов к решению этих задач. Эти подходы можно условно отнести к одной из трех групп: точные методы (основанные, как правило, на разложении колебаний по собственным формам) [1, 6, 34, 41-43], приближенные методы, использующие априорно задаваемые формы колебаний, (например, основанные на предположении о подобии формы колебаний форме статического прогиба) [9, 41-42, 53, 57] и численные методы (методы конечных разностей и конечных элементов) [2, 46]. Тем не менее, эти задачи по-прежнему остаются актуальными. Сравнительная простота таких задач делает их идеальным полем для отработки новых, перспективных методов. После такой отработки эти методы могут быть применены для решения более сложных задач МДТТ, как это было с численными методами.

В данной работе для решения балочных задач используется квазистатический подход. Здесь под квазистатическим подходом понимается рассмотрение реальных упругих систем, имеющих связи, например опоры, как свободных систем, на которые действуют реакции связей. При этом предполагается, что эти реакции уравновешиваются силами инерции системы (последние определяются в предположении, что тело является абсолютно твердым). Тогда деформации системы соответствуют состоянию квазистатического равновесия реакций и сил инерции. Величины реакций определяются таким образом, чтобы суммарные перемещения точек системы, вызванные ее движением, как абсолютно твердого тела и ее деформациями, удовлетворяли уравнениям связей.

Такой подход впервые был применен Герцем [10, 12, 52] при решении задачи о соударении шаров (данной задаче эквивалентна также задача соударения шара с твердой стенкой). Шары при ударе деформируются, в пятне контакта возникает сила соударения. Эта сила уравновешивается силамиинерции поступательного движения соударяющихся тел. При этом деформации считаются такими, какими они были бы в статике под действием силы соударения и сил инерции.

В работах С.А. Зегжды и В.Н. Вернигора [6, 19] квазистатический подход Герца был обобщен и применен к широкому кругу задач динамики упругих систем. В [11, 15-16, 39, 57] данный подход был применен к различным задачам динамики балок. В работах [16, 39] было предложено консольную балку рассматривать как свободный стержень под действием изгибающего момента и перерезывающей силы в заделке, которые должны быть такими, чтобы элемент балки, соответствующий заделке, оставался неподвижным. Таким образом, в рассмотрение вводятся две голономные связи. Свободный стержень может поступательно перемещаться, поворачиваться и изгибаться. И деформация стержня под действием сил инерции поступательного и вращательного движения считается квазистатической.

Данная работа является развитием этого направления. Ее особенностью является рассмотрение внутренних силовых факторов и реакций связей в качестве обобщенных лагранжевых координат. Такой подход позволяет представить балки с разными схемами закрепления в виде систем с конечным (24) числом степеней свободы. Для проверки корректности такой замены был решен ряд задач динамики собственных продольных и изгибных колебаний балок переменного сечения. Сравнение полученных результатов (первой частоты и формы - для продольных колебаний и первых двух частот и форм -для изгибных) с имеющимися аналитическими решениями показало высокую точность предлагаемого подхода (относительная погрешность определения первой частоты, как правило, не превосходит 1%).

Разработанный подход стал основой для решения задачи о динамике раскрытия трещины в тонком брусе. Задачи о развитии трещины под действием динамической нагрузки, являются актуальными и представляют большой научный и практический интерес. В настоящее время механика развития трещин является одной из самых актуальных и быстро развивающихся областей механики деформируемого твердого тела. Вместе с тем, в большинстве работ [20-21, 28-30, 32, 38, 40, 44-45, 47-51, 55-56] развитие трещины рассматривается как квазистатический процесс, который определяется, с одной стороны, накоплением повреждений в материале (работой сил разрушения), а с другой стороны - напряженно-деформированным состоянием (НДС) в окрестности вершины трещины. При решении динамических задач обычно учитывается нестационарность НДС, обусловленная изменением внешней нагрузки, а также - колебаниями рассматриваемой системы. При этом динамические эффекты, связанные собственно с раскрытием трещины, как правило, не учитываются или учитываются приближенно.

Специфической областью теории разрушения, является модель «балочного» приближения [7-8, 13-17, 26-27, 38-39, 49]. В этих работах рассматриваются задачи о развитии трещины в плоскости симметрии балки или пластины. В экспериментах для выполнения этого, несколько искусственного условия применялись специальные меры, например, использовались технологические надрезы, либо использовались кристаллы из анизотропных материалов. В этих условиях при больших (по сравнению с толщиной) длинах трещины каждый из образующихся берегов трещины можно рассматривать как балку-консоль, для которой вершина трещины играет роль заделки. В реальных случаях условие симметрии трещины не выполняется, однако решение задачи в такой упрощенной постановке является весьма важным и актуальным, поскольку оно позволяет исследовать общие закономерности динамики разрушения.

Впервые задача в такой постановке решалась Дж. Гилманом [8]. Он проводил как экспериментальные, так и теоретические исследования. Для раскрытия трещины в кристалле использовался клин, вводимый в трещину. При проведении расчетов форма прогиба консоли (берега трещины) считалась совпадающей с формой статического прогиба.

В [13] решается задача раскрытия трещины в брусе под действием сосредоточенных сил, приложенных к свободным краям берегов трещины. Каждый из берегов трещинь1 рассматривается как балка-консоль переменной длины Ь, которая принимается за обобщенную лагранжеву координату. Как показано в [13], поскольку при развитии трещины к рассматриваемой механической системе (консольной балке) новые точки присоединяются при нулевой скорости, к такой системе могут применяться уравнения Лагранжа второго рода [25, 31]. В [13] решение (функция прогиба консоли) представлено в виде суммы бесконечного ряда по балочным функциям. В отличие от консолей постоянной длины, для которых решение по каждой форме может быть получено независимо от остальных; несмотря на ортогональность балочных функций, данная задача сводится к системе дифференциальных уравнений, число которых стремится к бесконечности. В случае, если характерное время нарастания нагрузки, вызывающее раскрытие трещины, соизмеримо с периодами собственных колебаний консоли или больше их, можно ограничиться несколькими первыми формами или квазистатическим приближением, как это и было сделано в [13]. В противном случае, например, при импульсном нагружении, задача становится трудноразрешимой.

Развитием подхода, предложенного в [13], является работа [7]. В ней решается задача о симметричном расщеплении бруса гладким клином. Первые п форм собственных колебаний консоли учитываются динамически, а остальные - квазистатически (кинетическая энергия по этим формам считается равной нулю). Суммарный прогиб по высшим формам выражается через прогибы по динамически учитываемым формам. Эти прогибы, а также координата клина и длина трещины рассматриваются как обобщенные лагранжевы координаты.

В работах В.Сысика [16, 39] задача решалась в двух постановках. В* первой, рассматривалось внедрение в трещину клина с заданной начальной скоростью. Движение берега (консоли) описывалось совокупностью балочных функций (совпадающих с функциями формы для консоли фиксированной длины). При этом первые п форм учитывались динамически, а остальные квазистатически (учитывалась только их потенциальная энергия, а кинетическая считалась равной нулю). Расчеты проводились для п= 1.

Вторая задача, которая решалась в [39] - раскрытие трещины под действием кратковременного импульса, приложенного ко всей внутренней поверхности трещины. Движение берега при этом представляется в виде совокупности поступательного перемещения и вращения балки, как свободного твердого тела и изгибных колебаний по собственным формам свободной балки. Как и в первой задаче, первые п форм учитывались динамически, а остальные -квазистатически. При этом на балку накладывались голономные связи, обеспечивающие выполнение условий заделки в вершине трещины (нулевые значения перемещения и угла поворота сечения). Записывались уравнения Ла-гранжа второго рода с неопределенными множителями Лагранжа.

Недостатком полученного решения является невозможность получения нулевого приближения (т.е. решения задачи в переменных «перемещение берега - угол поворота берега - длина трещины»), поскольку в данной постановке эти переменные не являются независимыми.

Экспериментальные исследования для случая симметричной трещины проводились на кафедре теории упругости Санкт-Петербургского государственного университета под руководством Ю.В. Петрова [4]. В этих экспериментах давление возрастает до своего максимума и падает до нуля за несколько микросекунд. Это время существенно меньше, чем время пробега волны по размеру берега трещины.

В данной работе рассматривается динамика раскрытия трещины при кратковременном (импульсном) нагружении ее берегов. При импульсном на-гружении возникают колебания по большому числу форм и неучет кинетической энергии высших форм приводит к значительным погрешностям. Вследствие малого времени воздействия к моменту его окончания кинетическая энергия консоли на несколько порядков превышает ее потенциальную энергию. Динамический учет большого числа форм связан с вычислительными трудностями (с увеличением номера формы резко увеличивается число зна)гчащих цифр, которые необходимо учитывать при вычислениях). Решить эту проблему позволяет обобщение квазистатического подхода на случай, когда деформация происходит под действием сил инерции, уравновешенных реакциями связей. Благодаря эффективному способу обезразмеривания переменных получена безразмерная система уравнений, не зависящая от числовых параметров (за исключением величин, характеризующих внешнюю нагрузку). Построенная математическая модель позволяет проанализировать результаты уникальных экспериментов, проводимых на кафедре теории упругости Санкт-Петербургского государственного университета под руководством Ю.В. Петрова [4]. Отмечен ступенчатый характер раскрытия трещины и задержка ее раскрытия после окончания действия импульсной нагрузки, что согласуется с результатами экспериментов.

Цель работы* заключается в том, чтобы продемонстрировать эффективность квазистатического подхода к задачам динамики упругих систем и показать целесообразность использования реакций связей и внутренних силовых факторов как обобщенных лагранжевых координат.

Основные результаты, выносимые на защиту: • Показано, что, если свободный стержень переменного поперечного сечения мысленно разбить на две части и предположить, что каждая из частей под действием сил, приложенных к ней со стороны другой части, деформируется квазистатически, то при изгибных колебаниях система имеет четыре степени свободы, а при продольных - две. Полагая, что сечение, которым стержень разделяется на две части, является неподвижным, придем к рассмотрению консоли. Система имеет две степени свободы. Обобщенными координатами являются величины, пропорциональные изгибающе-5 му моменту и перерезывающей силе в заделке. Найденные приближенныезначения первой частоты для консолей в виде клина и конуса больше точных соответственно на 0,1% и 0,2%. При продольных колебаниях погрешность приближенного значения больше, чем при изгибных. В частности,для стержня в виде усеченного f клина с.заделанным концом приближенное значение:первой частоты выше точного на 1,1%.• Построена квазистатическая модель динамики раскрытия трещины в тонком брусе при импульсном нагружении ее исходных берегов. В* нулевом приближении модель имеет три степени свободы. Обобщенными* лагран-жевыми координатами являются изгибающий момент и перерезывающая сила в вершине трещины, а также длина трещины.• Предложен алгоритмпостроения последующих приближений, основанный; на добавлении к этим трем координатам новых координат, позволяющих динамически учесть несколько первых форм колебаний свободного стержня. Показано, что можно ограничиться моделью, имеющей шесть степеней свободы.• Показано, что раскрытие трещины носит ступенчатый характер.• - Определена минимальная, величина импульса, при котором начинает развиваться трещина.• Построена феноменологическая модель, позволяющая определить зависимость длины раскрытия трещины от импульса приложенной нагрузки;Для всех. рассматриваемых задач получены системы алгебраических и дифференциальных уравнений,, для решения которых использовался пакет «Mathematica-5.2», а для решения задачи о развитии трещины была составлена программа на языке Fortran 95.

В первой главе квазистатический подход используется для. определения первых двух собственных частот и форм изгибных колебаний консольных балок переменного поперечного сечения. Составляются уравнения Лагранжа II рода, в которых обобщенными лагранжевыми координатами, как было сказано выше, являются реакции связей (опорные реакции). Полученные результаты сравниваются с точными решениями.

Во второй главе определяются первые собственные частоты и формы продольных и изгибных колебаний свободных стержней. Свободный стержень разбивается по длине на две равные части узловой точкой. Каждая изэтих двух частей рассматривается-как свободный стержень. Равенства перемещений узловой точки для первого и второго стержня рассматриваются как уравнения связей. Внутренние силовые факторы, равные при этом реакциям связей, принимаются за обобщенные лагранжевы координаты. Полученные результаты сравниваются с точными решениями.

В третьей главе исследуется задача о раскрытии трещины в тонком брусе при импульсном нагружении. Записывается система уравнений Ла-гранжа второго рода. Эффективный переход к безразмерным переменным позволяет исключить из системы все числовые параметры, за исключением величин, характеризующих импульсное нагружение. Описан алгоритм решения задачи. Приводятся результаты расчетов. Отмечен ступенчатый характер раскрытия трещины и задержка ее раскрытия после окончания действия импульсной нагрузки, что согласуется с результатами экспериментов.

Апробация работы. Полученные в работе результаты были представлены автором на следующих конференциях: Международная конференция «Четвертые Окуневские чтения», Санкт-Петербург, 2004 г. [23-24]; Международная научно-техническая конференция «Вычислительная- механика деформируемого твердого тела», Москва, 2006 г. [36]; Международная конференция по механике «Четвертые Поляховские чтения», Санкт-Петербург, 2006 г [37].

Результаты докладывались на семинарах кафедры теоретической и прикладной механики СПбГУ (2007 - 2008 гг.), а также на семинаре Института проблем машиноведения РАН «Нестационарные задачи механики и физики» (2007 г.), на секции теоретической механики в Доме Ученых им. М.Горького (2007 г.).

Публикации. По теме диссертации имеется 6 публикаций [17, 23-24, 3537], в том числе 1 статья в журнале, рекомендованном ВАК. В совместной работе [17] соавтору принадлежит постановка задачи и метод решения, автору принадлежит реализация предложенного метода и результаты расчетов.!Iч1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ КАК ОБОБЩЕННЫХ > КООРДИНАТ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ КОЛЕБАНИЙСТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМВ данной главе показывается целесообразность использования реакций связей упругих механических систем как обобщенных лагранжевых коордиIV нат. Сделать это удается благодаря применению квазистатического подхода крешению динамических задач теории упругости [12, 57]. В настоящей главе такой подход используется для расчета собственных колебаний балок переменного сечения. В соответствии с определением обобщенными лагранже-выми координатами называются параметры, однозначно определяющие положение механической системы [33]. Следовательно, в случае если переме-, щение любой точки тела может быть однозначно выражено через реакции' связи, последние могут рассматриваться в качестве обобщенных лагранжевых координат.

Одним из первых квазистатический подход к решению динамических задач теории упругости применил Г.Герц. Он рассмотрел задачу о соударении упругих тел [12, 52]. Силу соударения Р в этой задаче можно рассматривать как реакцию связи, не позволяющей телам проникать друг в друга. В каждый момент времени сила Р уравновешивается силами инерции поступательного движения соударяющихся тел. Если считать соударение продолжающимся сколь угодно долго по отношению к периоду первой основной формы колебаний каждого из соударяющихся тел, то можно принять, что тела при соударении деформируются квазистатически. Это предположение позволило Герцу выразить силу соударения Р через относительное смещение а центров масс упругих тел (местное смятие). Таким образом, в модели, построенной Герцем, и кинетическая, и потенциальная энергии деформации соударяющихся тел выражаются как через Р и Р, так и через а и ос. Поэтому сила Р в модели Герца, имеющей одну степень свободы, может быть выбрана в качестве лагранжевой координаты. Идея Герца о целесообразности квазистатического подхода к решению динамических задач теории упругости нашла свое развитие в работах В.Н. Вернигора, С.А. Зегжды и М.П. Юшкова [6, 12, 18,57].

Использование реакций опорных элементов в качестве обобщенных ла-гранжевых координат в сочетании с использованием квазистатического подхода позволило с достаточно высокой точностью определить первые две собственные частоты и формы изгибных колебаний консолей переменного поперечного сечения.

1.1 Применение квазистатического подхода к задаче об изгибных колебаниях консолиРассмотрим задачу о собственных изгибных колебаниях консоли переменного сечения - рис. 1.1. Координата х отсчитывается от свободного конца балки, / - длина консоли, А(рс) и Дх) - площадь и момент инерции поперечного сечения х соответственно, М и <2 — реакции связей, равные перерезывающей силе и изгибающему моменту в заделке, у(х, /) - прогиб сечения х консоли.

А о —j—;—►Г fym х Рис. 1.1. Консоль переменного поперечного сечения.

Условия заделки консоли эквивалентны наличию двух голономных связейдх „,Используя принцип освобождаемости от связей, консоль будем рассматривать как свободную балку, к правому концу которой приложен изгибающий момент M{t) и перерезывающая сила Q{t). Свободная балка может, во-первых, перемещаться поступательно вдоль оси у и поворачиваться вокругоси, перпендикулярной плоскости ху, и, во-вторых, изгибаться. Будем сначала считать, что изгиб балки носит квазистатический характер, т.е. происходит под действием сил инерции поступательного и вращательного движения балки как абсолютно твердого тела, уравновешенных реакциями связей. Интенсивность сил инерции выражается через значения Mit) и Q(i), и потому прогиб любого сечения консоли в квазистатике однозначно определяется заданием величин Mit) и Q{t). Следовательно, в квазистатике изгибающий момент Mit) и перерезывающую силу Qit) можно рассматривать как обобщенные лагранжевы координаты. Предположение о квазистатической деформации данной балки под действием сил реакций Q(t) и M(t) и сил инерции позволяет выразить и кинетическую, и потенциальную энергию деформацииконсоли через величины Q(t), Q, M{t),M, т.е. позволяет построить модель с двумя степенями свободы. Для удобства при решении рассматриваемой задачи за обобщенные координаты принимаются величины:Л ) Ej(l) ■ - ' EJ(1) ' Здесь Е - модуль упругости, J{J) - момент инерции поперечного сечения балки на заделанном конце, т.е. при х=1 (см. рис. 1.1).

Введем безразмерные переменные, полагая:40' 40где А(х) и /(х) - соответственно площадь и момент инерции поперечного сечения л:.

Положение центра масс консоли переменного поперечного сечения определяется по формуле1А(г)с1гг, = 1с = 1—,J A(z)dzУскорение wc поступательного движения балки таково:„.(,)- = МОМО (1Л)р / 40 ¡A{z)dz р /4Л(/) pi(z) dz о оЗдесь р - плотность материала.

Отметим, что построенные функции h\{z) и h2(z), удовлетворяющие краевым условиям (1.7), можно рассматривать как удачно выбранные функции для консоли переменного сечения, позволяющие при рассмотрении ее колебаний использовать метод Рэлея-Ритца.

Как следует из выражений (1.7) и (1.8), первая форма собственных колебаний, соответствующая частоте соь имеет видЗдесь C,=l, С2 —с22 ®1 а221.2 Результаты расчетовВ качестве апробации изложенного метода использовались точные решения для консоли в виде клина единичной толщины (A(z) = z, j(z) = z3) иконуса ( A{z) = z2, j{z) = z4 ). Значение первой собственной частоты для клина, определенное Кирхгофом [42], таково: (Di=5,315.

Приближенное значение, вычисленное по описанной выше методике при помощи пакета «Mathematica»: cöi=5,318.

Таким образом, данное значение величины coj всего на 0,07% выше точного.

Точное значение первой собственной частоты для конуса [42]: coi=8,719.

Приближенное значение, вычисленное по описанной выше методике при помощи пакета «Mathematica»: (öi=8,735.

Таким образом, расчетное значение величины coi для конуса выше точного на 0,2%. Более высокое, в сравнении с клином, значение погрешности, связано с тем, что у клина масса убывает пропорционально z, а у конуса — пропорционально z2. Для консоли постоянного сечения будем поэтому иметь достаточно большую точность. Действительно, в этом случае точное значение: cöi=3}51602 [34], а приближенное: ©1=3,51604, т.е. погрешность составляет 5,7-10"4 %.

2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ КАК ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ 2.1. Об использовании внутренних силовых факторов как обобщенных координат при моделировании колебаний стержневых системВ данной главе показывается целесообразность использования внутренних силовых факторов в характерных сечениях стержневых систем как обобщенных лагранжевых координат.

В соответствии с квазистатическим подходом механическая система разбивается на отдельные стержни (в общем случае один стержень исходной системы может быть разбит на несколько стержней). При разбиении системы в рассмотрение вводятся голономные связи, а внутренние силовые факторы (силы и моменты) в узлах стыковки стержней рассматриваются как реакции связей. Уравнения связей выражают условия равенства перемещений и углов поворота сечений соседних стержней. Далее для каждого из выделенных стержней, как для твердого тела, находящегося под действием реакций связей, записываются уравнения динамики. Они позволяют выразить поступательные и вращательные ускорения через реакции связей. По этим ускорениям можно определить распределение интенсивности сил инерции по длине стержня, а затем и внутренние силовые факторы (силы и моменты в сечении стержня), которые также будут выражаться через реакции связей. Интегрируя дифференциальные уравнения, описывающие продольные и поперечные перемещения, связанные с деформацией и вызванные внутренними силовыми факторами, выражаем эти перемещения через реакции связей и добавляем к ним перемещения системы как абсолютно твердого тела (если они существуют). Таким образом, кинетическая и потенциальная энергия системы однозначно выражаются через реакции связей (внутренние силовые факторы в узлах стыковки выделенных стержней) и перемещения всей системы как абсолютно твердого тела, а также производные от этих величин по времени.

Следовательно, эти величины могут рассматриваться как обобщенные ла-гранжевы координаты.

В настоящей главе рассматривается ряд задач динамики балок переменного сечения. Использование значений внутренних силовых факторов в характерных сечениях в качестве обобщенных лагранжевых координат в сочетании с изложенным подходом позволило с достаточно высокой точностью определить первые две собственные частоты и формы продольных и изгиб-ных колебаний системы.

Введем следующие обозначения: г, = хх/1, = х2/1 — безразмерные координаты (гх=2- г2); Ах(х,), А2(лг2) — площади поперечных сечений стержней 1 и 2 соответственно, = Ах{хх)/Ах{1) ; А2(г2)= А2(х2)/Ах(/) безразмерные площади поперечных сечений.

2.3 Применение квазистатического подхода к задаче об изгибных колебаниях свободного стержня, симметричного относительно серединыРассмотрим теперь изгибные колебания свободного симметричного стержня длины 21 - рис. 2.2. Как и в предыдущем примере разбиваем его на два стержня длины /.

2.4 Применение квазистатического подхода к задаче об изгнбных колебаниях несимметричного свободного стержняРассмотрим теперь несимметричный относительно середины стержень длины 21. Как и в предыдущих случаях, разбиваем его на два стержня длины / — рис.2.3. Снова будем отсчитывать продольную координату для каждой из половин от ее свободного конца. Теперь из-за несимметричности целого стержня придется рассматривать каждую его половину в отдельности, поэтому добавим к прежним следующие обозначения: ^(х,), У2 (х2) — моменты инерции поперечного сечения стержней 1 и 2 соответственно, J^(zl) = Jl{xl)/ J(l) J1(z1>)= J2{x■2)/ J(l) — безразмерные моменты инерции поперечного сечения.ООх.км м.

21Фfrм1 Sjyiw Х\ гп<—1--> стержень 1Х2<Ртстержень 2ОгРис. 2.3. Разбиение исходного несимметричного стержня на стержни 1 и 2 при расчете изгибных колебаний.

2.5. Задача об изгибных колебаниях свободного стержня с сосредоточенными массамиТеперь рассмотрим случай, когда на свободном стержне имеются сосредоточенные массы, жестко связанные с ним. Пусть в общем случае имеется щ масс ту, расположенных на стержне 1 в точках с координатами ху и п2 масс т2р расположенных на стержне 2 в точках с координатами Ху. — рис. 2.4.

М Мти Щп т21 Ш2пОт\\ Щп ОТЪПО 21 т2п ^21.-¿гРис. 2.4. Разбиение исходного стержня с сосредоточенными массами на стержни 1 и 2Будем рассматривать функции ^ 1(х() и Л2(х2) как обобщенные (содержащие 8-функции Дирака). Тогда имеем:>1 РЗдесь А0;(х;) - площадь поперечного сечения стержня без учета сосредоточенных масс, /-1,2. Тогда выражение для безразмерной площади поперечного сечения примет вид:.Мх,) & тч з( \Далее можно использовать формулы (2.15 - 2.20). В случае, если и сам целый стержень и сосредоточенные массы симметричны относительно центра, можно использовать формулы (2.9 - 2.13).

3. РАЗВИТИЕ ТРЕЩИНЫ В ТОНКОМ БРУСЕ ПРИ ИМПУЛЬСНОМ НАГРУЖЕНИИ3.1. Постановка задачиРассматривается динамика развития трещины в тонком брусе ширины b и толщины 2h. В брусе имеется технологический надрез длины L*, к берегам которого прикладывается импульсная нагрузка p(t)1 в виде давления, равномерно распределенная по всей площади берега. Размеры b и h считаем соизмеримыми друг с другом, а Ц » h. Толщиной технологического надреза посравнению с толщиной бруса можно пренебречь. С конца надреза начинает развиваться трещина. Расчетная схема нагружения приведена на рис.3.1.

Предположение о сохранении симметрии при развитии трещины позволяет ограничиться рассмотрением одного ее берега. Он рассматривается как консоль, заделанная в вершине трещины. Расчетная схема распространения трещины в брусе приведена на рис. 3.2.

Используя принцип освобождаемости от связей, консоль переменной длины L{t) будем рассматривать как свободную балку, к правому концу которой приложен изгибающий момент M{t) и перерезывающая сила 0{t). Свободная балка может, во-первых, перемещаться поступательно вдоль направления, перпендикулярного плоскости трещины, и поворачиваться вокруг оси, лежащей в плоскости берега трещины, и, во-вторых, изгибаться (см. рис.

3.2.). Исходное положение балки изображено сплошной линией, а пунктиром показано, как она изогнется под действием сил инерции ее поступательного и вращательного движения. Будем сначала считать, что изгиб балки носит квазистатический характер, т.е. происходит под действием сил инерции поступательного и вращательного движения балки как абсолютно твердого тела, уравновешенных реакциями связей. Интенсивность сил инерции выражается через значения M{t) и <2(0 > и потому прогиб любого сечения консоли в квазистатике однозначно определяется заданием величин M{t) и Q{t). Следовательно, в квазистатике перерезывающую силу 0{t), изгибающий моментM(i) и переменную длину балки L(t) можно рассматривать как обобщенные лагранжевы координаты. Заметим, что данная модель ни в квазистатическом, ни в последующих приближениях не позволяет описать смыкание берегов трещины, т.е. полагаем L > О. Также полагаем, что расчеты ведутся, пока 0 (см. рис.3.2).

Рис. 3.2. Расчетная схема распространения трещины в брусе: а - основные обозначения; б- принцип освобождаемости от связей.

При приложении статической нагрузки трещина начинает раскрываться тогда, когда изгибающий момент M(t) в ее вершине становится равен критическому значению [22]:M* = J2y.ЕЛ (3.1)Q Т-1 Г Ьк3Здесь Е — модуль упругости, J =--момент инерции поперечного сечения12балки, у - постоянная Гриффитса.

3.2. Определение прогиба консоли в квазистатическом приближенииПрогиб свободной балки длины b(t) может быть представлен в видеу(х, t) = д0 (г) + cp(iX* - L(t)) + £ q( {t)Xi( х ^/=1(3.2)где Xif x ^sMÙJ— балочные функции свободной балки [1, 34]:хА, =ShX; -SinX;L\t) chXi-cosXiЗдесь = l,.,oo) — возрастающая последовательность корней уравнения chXj cos Xi = l. Первое слагаемое в выражении (3.2) соответствует поступательному перемещению свободной балки, а второе — ее повороту вокруг конца х = L{t).

Отсюдадд{ дд1М = рЪЫ} — —рЫг1}д0, 0 =3 22 22 ф з:М(со2#(. = МЬ(3.6)(3.7)Здесь — значение обобщенной координаты в квазистатике.

Отметим, что, как показано в магистерской диссертации И.В.Мещерского [25] и (для более общего случая) в [31] для систем переменной массы, в случае, если новые массы присоединяются к системе при нулевой скорости, уравнения Лагранжа сохраняют обычный вид.

3.3. Представление прогиба консоли и определение кинетической и потенциальной энергии в «-ом приближенииИспользуя выражения (3.2), (3.3), (3.9), прогиб консоли в л-ом приближении представим в видеп< х ^/=1( х \(ш иг \X(3.13)Здесь У;.(г) = Х1.(г)-Х).(1)-Х/(1)(г-1). Величины Ь, Ак,к = 1,2, г = входящие в выражение (3.13), будем рассматривать как обобщенные лагранжевы координаты.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

I 1

В работе рассмотрено использование квазистатического подхода для различных задач динамики стержней. Решены задачи определения первых собственных частот и форм продольных и изгибных колебаний стержней переменного поперечного сечения при различных граничных условиях. Использование квазистатического подхода и введение внутренних силовых факторов и реакций связей в качестве обобщенных лагранжевых координат позволило при минимальном числе степеней свободы получить решение этих задач в аналитической форме с достаточно высокой точностью, о чем свидетельствует сопоставление результатов расчетов с известными точными и приближенными решениями.

В работе также исследована динамика раскрытия трещины в тонком брусе при импульсном силовом нагружении. Математическая модель динамики раскрытия трещины основана на последовательном уточнении квазистатического подхода посредством динамического учета п первых форм колебаний берега трещины как свободного стержня. Расчеты по построенной модели показали, что различия между зависимостями длины трещины от времени, полученными в третьем и последующих приближениях, несущественны. Таким образом, можно ограничиться моделью, имеющей шесть степеней свободы. Показано, что раскрытие трещины носит ступенчатый характер и начинается не сразу после окончания действия импульсной нагрузки, а с некоторой задержкой. Эти результаты согласуются с экспериментальными исследованиями. Определена минимальная величина импульса, при котором начинает развиваться трещина. Построена феноменологическая модель, позволяющая определить зависимость длины раскрытия трещины от импульса приложенной нагрузки.

1. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Наука, 1968. 559 с.

2. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. Пер: с англ. М.: Стройиздат, 1982.

3. Беляев Н.М. Труды по теории упругости и пластичности. М. 1957.

4. Березкин А.Н., Кривошеев С.И., Петров Ю.В., Уткин A.A. Эффект запаздывания старта трещины при пороговых импульсных нагрузках // Доклады Академии Наук. 2000; т.375. №3'. с. 328-330.

5. Бидерман B.JI. Теория удара. М. 1952.6: Вернигор В.Н, Михайлов A.JI. Модальный анализ механических колебаний упругих систем. Рыбинск 2001.

6. Георгиев И.Г. Динамика развития трещины в тонком брусе // Вестник молодых ученых. Серия: Прикладная математика и механика. СПб.: изд-во СПбГТУ, №4, 2000; С.92-101.

7. Гилман Дж.Дж. Скол, пластичность и вязкость кристаллов // Атомный механизм разрушения. М: Металлургиздат, 1963. С.220-253.

8. Дарков А.В:, Шпиро Г.С. Сопротивление материалов. М.: Высшая школа, 1975. 654 с.

9. Зегжда, С.А. Задача о соударении деформируемых тел//Прикладная механика. Вып.4. Л., 1979.

10. Зегжда С.А. Соударение кольца и балки // Колебания и устойчивость механических систем. Л., 1988.

11. Зегжда С.А. Соударение упругих тел. Изд-во СПбГУ. 1997, 316 с.

12. Зегжда С.А., Морозов Н.Ф., Семенов Б.Н. О «балочном» подходе в задачах распространения трещин // Механика твердого тела. №3.1999.

13. Зегжда С.А., Синилыцикова Г.А. Развитие трещины в тонком брусе при импульсном нагружении // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. Вып.З. — 2007.-С. 15-23.

14. Зегжда С.А., Солтаханов Ш.Х., Юшков М.П. Уравнения движения не-голономных систем и вариационные принципы механики. Новый класс задач управления. М.: Наука, 2005. 268 с.

15. Зегжда С.А., Юшков М.П. Применение уравнений Лагранжа первого рода при исследовании собственных колебаний вала с дисками // Механика твердого тела. N4,1999. с.31-35.

16. Карзов Г.П., Марголин Б.З., Швецова В.А. Физико-механическое моделирование процессов разрушения. СПб.: Политехника, 1993. 391 с.

17. Косторов Б.В., Никитин Л.В., Флитман Л.М. Механика хрупкого разрушения. // Изв. АН СССР. МТТ 1972. №2 с.60-68.

18. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М., Теоретическая физика т.7, М.: Наука. 1965. 204 с.

19. Мещерский И.В. Динамика точки переменной массы / Сб. И.В.Мещерский. Работы по механике тел переменной массы. М-Л. Гос-техиздат, 1949.

20. Михайлов А.М. Динамические задачи теории трещин в балочном при82ближении IIПМТФ. 1966. №5. С. 167-172.

21. Михайлов A.M. Обобщение балочного подхода к задачам теории развития трещин // ПМТФ.' 1969. №3. С. 171-175.

22. Молчанов А.Е. Никитин JI.B. Динамика трещин продольного сдвига после потери устойчивости // Изв. АН СССР. МТТ. 1972. №2. С.60-68.

23. Морозов Н.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике , разрушения. М.: Наука, 1980. 254 с.30: Морозов Н.Ф. Паукшто М.В. Дискретные и гибридные модели механики разрушения. СПб.: изд-во СПбГУ, 1995. 157 с.

24. Новоселов B.C. Аналитическая механика систем с переменными массами. Л.: ЛГУ, 1969.

25. Партон В.З., Борисковский В.Г. Динамика хрупкого разрушения. М.: Машиностроение, 1988. 239 с.

26. Поляхов H.H., Зежда С.А., Юшков М.П. Теоретическая механика. М.:Высш. шк. 2000. 592 с.

27. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник в трех томах. Т. 3. Под редакцией Биргера И.А. Пановко Я.Г. 1963. 736 с.

28. Синильщикова Г.А. Ударное расклинивание тонкого бруса// Международная конференции по механике «Четвертые Поляховские чтения». 710 февраля 2006 г., Санкт-Петербург: Тезисы докладов. СПб.: Изд-во «ВВМ», 2006.-С.215.

29. Слепян Л.И. Механика трещин. Л.Судостроение, 1990. 296 с.

30. Сысик В.П. Использование уравнений Лагранжа в теории удара и в динамике развития трещин. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. СПб. 2002.

31. Сиратори М., Миеси Т., Мацусита X. Вычислительная механика разрушения. М.: Мир, 1986. 334 с.

32. Тимошенко С.П. К вопросу о действии удара на балку // Изв. С.-Петербургского политех, ин-та. Т. 17. Вып.2. 1912.

33. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М., 1967.

34. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М. Машинострое- * • ние. 1975,170 с.

35. Хеллан К. Введение в механику разрушения. М.: Мир, 1988. 364 с.

36. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640 с.

37. Хечумов P.A., Кеплер X., Прокопьев В.И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. М.: Изд-во АСВ, 1994. 351с.

38. Шардин X. Исследование скорости разрушения // Атомарный механизм разрушения. М.: Металлургиздат, 1963. С. 297-330.

39. Achenback J.D., Bazant Z.R. Electrodynamics near-tip stress and* displaceiment fields for rapidly propagating cracks in anisotropic materials // Trans. ASME. Ser. E. Appl. Mech. 1975. V. 42. №1. P. 183-189.

40. Arakawa K., Takahashi K. Interlaminar fracture analysis of composite DCB specimens. // International Journal of Fracture 74, 1995.

41. Broberg K.B. The propagation of brittle crack //Ark. Fys. 1960. V. 18. №2. P.159-192.

42. Freund L.B., Clifton R. On the uniqueness of plane electrodynamics solution for running cracks // J. Elast. 1974. V.4. №4. P. 293-299.

43. Hertz H. Uber die berührung fester elastischer Korper//Zs. f. Math. (Crelle). 1881. Bd. 92.

44. Juschkov M.P. Anwendung der Lagrangeschen Gleichungen 1. An zur Untersuchung der nichtlinearen Querschwingungen von Balken mit unverschieblichen Lagern. //Technische Mechanik, Bd 18, HI, (1998), P.79-84.

45. Yoffe E.H. The moving Griffith's crack. // Phil. Mag. Ser. 7. V. 42, No. 330, pp.739-750,* 1951.

46. Viggo Tvergaard. Cleavage crack growth resistance due to plastic flow around a near-tip dislocation-free region. // J. Mech. Phys. Solids, Vol. 45, No. 6, pp. 1007-1023, 1997.