Исследование квазистатического поведения одномерных тел

Гриценко, Александр Владимирович

Исследование квазистатического поведения одномерных тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Гриценко, Александр Владимирович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Воронеж МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Исследование квазистатического поведения одномерных тел»

Автореферат диссертации на тему "Исследование квазистатического поведения одномерных тел"

ИИ4Ь08062

Гриценко Александр Владимирович

Исследование квазистатического поведения одномерных тел

специальность: 01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 6 СЕН 20Ю

Воронеж-2010

004608062

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Шашкин Александр Иванович

Официальные оппоненты. доктор физико-математических наук,

профессор Мяснянкин Юрий Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор Сумин Александр Иванович

Ведущая организация: Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Воронежский государственный архитектурно-строительный университет»

Защита диссертации состоится «/£"» сентября 2010 года в 15 час. на заседании диссертационного совета Д 212.038.24 в конференц-зале Государственного образовательного-учреждения высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет» по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская площадь, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Воронежский государственный университет».

Автореферат разослан «$» августа 2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Махортов С. Д.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Исследование поведения изучаемого объекта, находящегося под внешним воздействием, обычно проводится для некоторых частных случаев изменения внешних воздействий во времени. Например, предполагается, что за счет медленности изменения во времени этих воздействий можно достичь сколь угодно медленного изменения во времени исследуемого процесса, т.е. предполагается непрерывная зависимость скорости изменения характеристики, описывающей поведение рассматриваемого объекта, от скорости изменения внешних нагрузок.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с планом научно-исследовательских работ кафедры Математического и прикладного анализа Воронежского государственного университета в рамках темы «Разработка математических моделей и эффективных аналитических и численных методов решения статических и динамических задач механики деформируемых сред сложной структуры» (код по ГАСНТИ 30.19.23,30.19.29).

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является развитие методов исследования существования квазистатического процесса для одномерных тел при независимых внешних воздействиях. Определение областей квазистатического поведения некоторых дискретных стержневых систем и систем с распределенными параметрами при комбинированном нагружении. Для достижения указанной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи.

1. Определение условия существования квазистатического процесса деформируемой консервативной системы, описываемого решением обыкновен-

ного дифференциального уравнения или вариационной задачи при любых начальных условиях.

2. Установление областей, в пределах которых решения, описывающие поведение стержневых систем с потенциальным воздействием в рамках статики, имеют физический смысл.

3. Определение ограничений, накладываемых на параметры внешних воздействий для неконсервативных систем, при нарушении которых квазистатическое деформирование невозможно.

Объект исследования - квазистатического поведения одномерных тел при медленном изменении независимых внешних воздействиях. Научная новизна состоит в том, что

■ показано, что в случае потенциального внешнего воздействия условия существования квазистатического процесса совпадают с условиями теоремы о неявных функциях;

■ все исследования проводились для независимых параметров внешних воздействий;

■ при изучении учитывались начальные прогибы стержней и неоднородности материала.

Практическое значение. Полученные результаты могут быть использованы при проведении исследований математических моделей одномерных деформированных твердых тел, расчете различных стержневых систем, а также при конструировании зданий и строительных сооружений.

Область исследования - содержание диссертации соответствует п. 1. «Законы деформирования, повреждения и разрушения материалов, в том числе природных, искусственных и вновь создаваемых» специальности 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела Паспорта специальностей ВАК РФ.

Достоверность. Полученные условия существования квазистатического процесса являются следствием частного случая известной классической теоремы функционального анализа. Достоверность полученных автором результатов подтверждается использованием апробированных моделей механики сплошных сред и сопоставлением этих результатов с уже известными.

Апробация. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на

• V Всероссийской конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара, 2008;

• Международной конференции по Математической теории управления и механике. Суздаль, 2009;

• Международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики». Воронеж, 2009;

• ежегодных отчетных научных конференциях ВГУ. Воронеж, 2007-2010;

• научных семинарах кафедры теоретической и прикладной механики ВГУ, 2007-2010.

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в работах [1-7]. Работа [1] - из списка изданий, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Работа содержит 113 страниц машинописного текста.

Содержание работы Во введении дан краткий обзор работ, касающихся темы диссертации, обоснована ее актуальность, сформулированы цели и задачи исследования, изложено краткое содержание по главам.

(1)

при начальных условиях

У/(0) = уг° (2)

где р(г) - функция, характеризующее внешнее воздействие. Решения задачи (1), (2) искалось в виде

w = v + ^7,'•;', (1<>}<>в) (3)

где статическая составляющая является одним из 5 решений системы уравнений статики, а динамическая составляющая V является, решением системы дифференциальных уравнений, полученной в результате подстановки (3) в (1) и (2), т.е.

/ ■ I ¿г!

у = + (5)

ар

= -г[1}(р(0)) (6)

Определение. Будем говорить, что при ре И существует квазистатический процесс, описываемый системой уравнений (1), если для любого е>0, любых р° б Д р1 ей и любых мР существует соответствующее решение уравнения статики, такая функция г(1) и величина , что из условий

г^) = р° при (7)

р(г) = г(1) при (>10 (8)

Нт г(0 = р1 (9)

следует, что

[у(7;|<в при (10)

В этом определении то решение уравнения статики названо «соответствующим», в область притяжения которого попадает точка (р°,мР). Используя это определение, получено утверждение:

Если р° е Д- р1 е £> и область Б не содержит особых точек системы — - <Мпри всех (1 < у <л^, а тривиальноереше-

уравнении статики, т.е. ние системы уравнений

др

v = Frv + /7r^,c/) (11)

при соответствующем асимптотически устойчиво при всех сей, то квазистатический процесс в смысле определения (7)-(10) существует.

Таким образом, условие существования квазистатического процесса при

изменении внешнего воздействия от р° до р1 сводится к исследованию попадания в этот интервал статически особых точек, при условии, что тривиальное решение системы уравнений (1) асимптотически устойчиво.

Показано, что для случая потенциального внешнего воздействия граница области существования квазистатического поведения совпадает с границей непрерывной зависимости решения от исходных данных. Для неконсерватиных систем условия теоремы о неявных функциях будут определять лишь только верхнюю границу.

Во второй главе применяются полученные результаты в задачах исследования квазистатического поведения дискретных систем.

В первом параграфе рассмотрено поведение жесткого стержня длины I, закрепленного одним концом при помощи вязкоупругой связи с опорой, а на другом нагруженного сосредоточенной силой Р (рис. 1).

Уравнение, описывающее поведение стержня имеет вид

— q + — M(q,q)~a(sinqcosl + cosqsinX) = 0, (12)

k k

Pi , dM(0,0) _

где I - момент инерции стержня, а = —, к--. Оно допускаетреше-

к oq

ние q = h-^ = const, определяющее при а = const положение равновесия стержня и являющееся решением уравнения статики.

Рассматривались два случая (12): физически линейная (M(q,0) = kq) и физически нелинейная (M(q,0)-kq-kc}(q2 -c2q5)) модели. Получено, что для

определения области существования квазистатического процесса hf^ в смысле приведенного определения достаточно найти статически особые точки и

исключить эти значения из диапазона изменения параметров внешнего воздействия.

В последующих параграфах изучается поведение стержневых систем, нагруженных только следящей силой или совместно с сосредоточенной силой постоянного направления.

Рассмотрим проблему квазистатического поведения системы (рис.2), состоящей из двух одинаковых жестких стержней массы т и длины соединенных между собой и с опорой при помощи вязкоупругих связей М1 и М2 соответственно. Она находится под действием потенциальной силы р\ и следящей р2

Рис.2

Ограничимся случаями, когда ^ и Хз достаточно малы, чтобы обеспечить выполнение условий sin q\~q\, sin qi~qi. Исследование существования квазистатического процесса проводилось на основе линейной математической модели, имеющей следующий вид:

^ = 2c¡2 ~44i) + kají(q¡ cosX¡ + sinÁ¡) +

+ka2¿((q,-q2)cosk2 + sin X2 ) + 2b2( q2-q1)-2b¡q¡, (13)

{h + ~ q 2 ] = ka2¿ sin X2-2k(q2-q¡)-2b2(q2-q¡), где

а^Р1о = 1,2);к = дМ>(0'0) = дМ1(°-0);

к 8q¡ dq2

, 8M¡(0,0) , dM2(0,0)

b¡ =-; b2 —-.

dq¡ dq2

Система уравнений (13) при a,-=const допускает решение g^A^const, являющееся решением системы уравнений статики.

В результате проведенных исследований получены условия, накладываемые на параметры внешних сил, определяющие границу области существования квазистатического а

р=о Рис. 3

процесса деформирования рассматриваемой стержневой системы

2(36 + 24п/32-2х-5у)---—(2(п + 1)-пх)>0,

8п + 1

2(36 + 24пР2-2х~5у)--^(2(п + 1)-пх)>4(8" + 1)2(2-Х), (14) 8п + 1 2(п + 1)-пх

2-х>0, где а1 ссм Я; = х, а2 соя X? = у.

Для частных случаев: 1). и» 1, р=0 и (3^0; 2). ¡3=0 и и=100 эта область имеет следующий вид (рис. 3).

За пределами границы (заштрихованная область) решения уравнений (13) «З^й^сопзг, не имеют физического смысла.

В третьей главе рассматривается проблема квазистатического деформирования стержневых систем с распределенными параметрами.

В первом параграфе на основе теоремы о неявных функциях получены условия существования квазистатического процесса при потенциальном внешнем воздействии в смысле приведенного выше определения.

Пусть поведение исследуемого объекта в рамках статики описывается решением обыкновенного дифференциального уравнения

Ф^/(х),х,и,и'.....и(я)) = 0 хф.Ь] (15)

с граничными (начальными) условиями вида

Р;(/(а),/(Ь),а,Ь,р1,...,рг„д1,...,дп,Х1,...,Хе) = 0 (Ы 1,2,...,п) (16)

где pj =u^J~1\a);qj =и^~!\ь) (] = 1,2,...,п), функция / (х) характеризует

рассматриваемый объект и внешнее воздействие на него.

Пусть при /(х) = /о(х) и А,- = 110 задача (15), (16) допускает решение

и = и0(х) (17)

Это решение будет иметь физический смысл, если выполняется критерий 1: Пусть функция Ф и в задаче (15), (16) обладают следующими свойствами:

1. непрерывны при / = /0; и = и0; А,- = Х10 /(а) = ¡0 (а); /(Ь) = /0 (Ь); р}=и(0*~1)(а); Ч]=и(0]Ч)(Ь) (] = 1,2.....п).

2. и0(х) - решение задачи (15), (16) при /(х) = /д(х), А,- = Х10;

, „ , 8Ф дЕ Щ 8Ф дЩ

3. Частные производные —тгг/ —-; —-; —; -1—; -— не-

ди(1) дР] дЧ] д/ д/(а) д/(Ь)

прерывны при / = /0; и = и0; А,- = Хю /(а) = /0(а); /(Ь) = /0(Ь);

Р]=и(0 1}(а): Ч] = ''(Ъ) (} = 1.....П)и функция

лична от нуля при х е .

4. Тривиальное решение задачи (18), (19), единственно.

дФ ди<»>

f=fo и=и0

от-

Эи ди'^ ди(п)

= О

и=и0 f=fo

dFs

dF,

dFt

dF,

rl +- rn +----Sn

dpl 8pn 8qj dqn

P=Po Я=Чо f=fo

= 0

(18)

(19)

rj=C(j~1)(a);sj^Cu~1J(b)

Тогда

1) существуют £>0, S>Ou <p(f,x) такие, что Ф^/,х,(р,(р',...,j = О

пРи I/ ~fo\<S' Ik " иО II < £ где• например, ||/ - /01| =

= max [|/(х)-fo(x)\ + \f'(x)~ /¿fx/], т.е. решение уравнения (15) хе[а,Ь]

u = (p(f,x) непрерывно зависит от f при f(x)~ fg(x);

2) производные - в окрестности точки (fo.^o) существуют и огра-

dXj

ничены.

Таким образом, если выполняются эти условия, то квазистатический процесс, описываемый функцией (11), существует в смысле сформулированного выше определения при любых f(x) и X в окрестности точки (foJ-o) ■

Аналогичные результаты будут и в случае, когда и(х) - вектор.

На основе этих требований во втором параграфе этой главы проанализирована проблема квазистатического изгиба упругих стержней при комбинированном нагружении.

Рассмотрим консольный стержень, находящийся под воздействием двух продольных сил, как показано на рис. 4

В безразмерных переменных его ось описывается решением следующих уравнений

и" Г

[¡ + (и')2]3/2 [1 + (Г)2]

ш + а]и = 0

хв[0,а]

-13/2

[1+(102] [1ЧП2]

с граничными условиями

и(0)=и'(1)=0

+ {а! + а2)и-а2и(а) = 0 хе[а,1]

(20)

(21)

й х , / Р,£2 Р212 ,

где и = = = = функция /(х) характе-

ризует форму оси стержня в свободном состоянии. При /(х) = 0 задача (20), (21) допускает решение

и(х) = и0(х,Р) = 0 (22)

Поскольку внешние силы в данном случае - потенциальные, то для проведения анализа существования квазистатического деформирования стержня вида, близкого к (22), достаточно выполнения условий критерия 1. В результате были получены следующие соотношения

1) Л^т1,а1ёт12(1-а)=Л2 (а,>0; а2>0); (а,>0; а2<0; а7 +а2 < 0); (23)

2) г12(еЪа +е1*(2~а)Ум1а = г11(еЪа-еЪ(2-а)у,(а,>0; ос2<0; а, + а2 <0);(24)

3)г1,Шт1|а1вт12(1-а)=Л2 (а,<0; а2>0; а; + а2 >0)\ (25)

4) гл[е^а-е^(2-а))Лща = ц2 +е^(2~а>\, (26)

(а,<0; а2>0; а1+а2<0 )(а,<0; а2<0) 10

Рис. 5

Для случая а=0,5 на основе (23)-(26) получен график зависимости между величинами СС| и а2 (рис. 5). Он определяет границу области, в пределах которой возможно осуществление деформирования стержня вида, близкого к (22) при /(х)~0. При пересечении траекторией нагружения статически особой кривой происходит смена вида квазистатического процесса. Для определения поведения необходимо изучить другие решения исходной нелинейной задачи при /(х) = 0 и провести их анализ.

Далее был рассмотрен изгиб стержней на основе линейной модели.

Пусть шарнирно закрепленный по концам стержень, находящийся на упругом основании, деформируется под действием продольной силы Р и моментов М\ и , приложенных на концах (рис. 6).

Т.

^ р

где х = -

и1

и = ~: а-

(27)

с£4 М-

с =-; т.- - —-: с - коэффициент жесткости

Е1 Е1 *

Рис.6

В безразмерных переменных его ось описывается решением следующей задачи:

и™(х)-/у(х)+аи'{х)+си(х)-сЛх)=0 и(0)=к(1)=0; и'Щ-Г'Щ-т,; и'{\уГ{\)=т2

ре2

Е1

основания; /(х) - функция, характеризующая ось стержня в свободном состоянии (начальное несовершенство).

Предположим, что приДх)=/о(х) и с=с0 задача (27) допускает решение

и-щ(х,а,с) (28) Применяя полученные выше условия (т. 2), найдено соотношение, которое задает статически особую кривую, соответствующую (28)

к ж На рис.7 представлен график (29). Эта же кривая будет определять

Рис.7

границу применимости линейной модели статики (27).

Если же величина внешней нагрузки Р и коэффициента жесткости с0 таковы, что соответствующая им точка на плоскости рис. 7 лежит за предела-

ми графика, то следует рассматривать задачу определения деформированного состояния стержня в нелинейной постановке.

В пятом параграфе исследуется квазистатическое поведение стержня с частично распределенными параметрами (рис. 8)

Рис. 8

В линейной постановке уравнение, описывающее поведение стержня, имеет вид (aj + а2 > 0)

u" + a2u = f" + a2u(l,t)-(l-x )[а2и'(1, t) + y}u(l,t) +

+pu'(l,t)]-y2u'(l,t)-pu'(l,t) (30)

u(0,t) = u'(0,t) = 0

где f(x) - функция, характеризующая ось стержня в свободном состоянии (начальное несовершенство), причем f(0) = f'(0) = 0 ; штрихом обозначено дифференцирование по х, а точкой - по г; а2 = щ + а2; р, =

= x-xt; й = = =

Г Is Г t

При Pi = const и f-fo(x) задача (30) допускает решение и = и0(х,р1,р2), являющееся решением задачи статики. Применяя условия критерия 1 , получаем уравнение статически особой кривой:

(31)

/ а2

к = — ~-cos а

а.

Но так как в данной задаче есть следящая сила, то (31) будет давать лишь верхнюю границу области квазистатики. Согласно теореме (стр. 6), проведено исследование асимптотической устойчивости. Поскольку

а > 0; у] > 0; у2>0; 0 > 0, то в результате были получены следующие соотношения (при достаточно малых р и у2)

, А 1 «2Ш2СО$а-а2^¡эта-g¡2 ....

к>-соэа, а < 3,4, к>—Ц--, Ь1 , (32)

а g¡sina + g¡ -а g2 где g¡ = зта-асоза; g2=2-2cosa~asina.

Участки графиков функций, определяющие границу существования квазистатического процесса, изображены на рис. 9 сплошными линиями, а остальные штриховыми.

В четвертой главе рассматривается проблема исследования квазистатического поведения, описываемого решением вариационной задачи.

В первом параграфе получены условия, на основе которых можно находить область существования квазистатического процесса, соответствующего решению вариационной задачи, при потенциальном внешнем воздействии.

Пусть поведение механической системы описывается решением вариационной задачи вида

дч[и(х)] = Ф(х, /(х )Л,и,и',.„ и(п) )с1х = 0 (33)

с граничными условиями

Ща),АЪ), Р\,-,Рп, Ч\.....Чп)=0 (/=1,2.....от; т< 2л), (34)

где р^и®(а)\ д]=и&(Ь) (/=0,1,...,и); функция Дх) и параметр А характеризуют рассматриваемый объект и внешнее воздействие на него.

Предположим, что приДх)=/0(д:) и А = Хд задача (33),(34) допускает решение

и-щ(х) (35)

Требования, при которых (35) будет описывать поведение рассматриваемой системы, содержатся в следующем критерии 2:

Пусть функции Ф и ^ (¡~ 1,2,...,т)в задаче (33), (34) обладают следующими свойствами:

1. непрерывны при / = /0;и = и0; /(а) = /0(а); Pj = р]0; /(Ь) = /0(Ь);

Ч]=Ч]о (],к,1 = 0,1,...,п);

2. ип(х) -решение задачи (33), (34) при /(х)=/п(х);

дЕ д^ ВФ дФ

3. частные производные Ф ¡к) /,), ———, — непрерывны при

" " 8Рк дЯк 3/ дХ / = /0;и = и0; /(а) = /0(а); р] = р]0; ¡(Ъ) = /0(Ь); qj

(),к,1-0,1,...,п) и функция Фи(к)иа>\/=/п при хе[а,Ь] ;

и=и0

4. вариационная задача

Ъ п

8*2[С(х)] = д\ X Ф^иО)\/=//к>С{и& = 0

а к, 1-0 и=и0

п Г ^ ™ \

dFj 8F: —~гь+—~sk

' 1 л Л л Л

ЫО\дРк дЯк

f=fo Р=Ро 9=9(7

= 0 (i=l,2.....т)

(36)

(37)

где rj=^(a); Sj=Ç^>(b), имеет только тривиальное решение. Тогда

1) существуют €>0, Ô>Ou <p(f,x) такие, что Ъ

ô^0(x,f(x),X,(p,(p',..,qfn^)dx = O при ||/-/0[| < ô, < Е, где, напри-

меР> ||/"/о||= = тах \\f(x)-f0(x)\ + \f'(x)-fô(x)\\, т.е.решение xefa.bj

уравнения (15) и = <p(f,x)непрерывно зависит от f при f(x) = fo(x);

2) производные —- в окрестности точки (/q.Xq) существуют и огра-

8Xj

ничены.

Утверждение критерия справедливо и для случая, когда в функционал входят несколько функций, т.е.Дх) - вектор.

В качестве примера во втором параграфе рассмотрена проблема осуществления квазистатического поведения консольного стержня при изгибе внешними силами, как показано на рис. 10

Жх)

ттглгтгттттхттпттттш

Д. # г П

Рис. 10.

Согласно принципу возможных перемещений функция и(х), описывающая

форму оси изогнутого стержня, является решением следующей вариационной задачи

д(П-А) = 0, (38)

где Л = — 2

^EI(u')dx, A=^\^[\q(Z)dZ](u')2cos(p + qusin}\ck +

1 '

— Pjcosfij | (и')2dx + Pju(cij Jsin/Uj

Пусть при Xj = Xjq, (p = (p0,q(x)-q0(x) функция

u=u0(x,pj)

(39)

является точкой экстремума функционала Ф = Я-А, т.е. является решением задачи (38). Для того, чтобы существовал квазистатический процесс, соответствующий (39), достаточно выполнения условий критерия 2. В случае однородного стержня постоянного сечения при q(x) = qo =const и т= 1 найденное соотношение имеет вид

2 2 7 2

768aj cos Xjq +113а2 cos Х10 --534aIa2Cos(p0cosX1Q - 34560a1cosX10 - (40) -U940a2cosg>0 + 80640 = 0 Оно определяет границу области существования квазистатического процесса, соответст-

вующего (39). Для частных случаев, когда Xjq = <р0

■■0 (1) и Х10=щ=- (2)

получены следующие графики (40) (рис. 11).

Основные результаты и выводы по работе

1. Получено, что условие существования квазистатического процесса деформирования (в смысле сформулированного определения) при изменении внешнего воздействия в некоторых пределах сводится к исследованию попадания в этот интервал статически особых точек при условии асимптотической устойчивости тривиального решения уравнения (11).

2. Показано, что при потенциальном внешнем воздействии исследование существования квазистатического процесса деформирования сводится к исследованию непрерывной зависимости решения от характеристик объекта. Если внешние силы непотенциальны, то условия непрерывной зависимости будут определять верхнюю границу области существования квазистатического поведения.

достаточными для исследования квазистатического процесса при потенциальном внешнем воздействии.

4. Применяя найденные критерии, определены области существования квазистатического процесса, соответствующего некоторым решениям поставленных задач деформирования дискретных систем и систем с распределенными параметрами, находящихся под действием сил фиксированного направления. При пересечении траекторией нагружения полученных линий происходит смена квазистатического процесса на другой, описываемый некоторым решением исходной нелинейной задачи. В случае линейных моделей эти кривые ограничивают область применения уравнений статики.

5. Показано, что особые значения внешних воздействий, определенные на основе статического критерия и в результате изучения асимптотической устойчивости решения уравнения (11) при потенциальных силах одинаковы.

6. При исследовании поведения стержневых систем, находящихся под действием следящих сил, в пространстве параметров внешних нагрузок найдена область, за пределами которой квазистатическое деформирование невозможно.

7. В работах [1-7] опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежат следующие результаты, получены аналитические и численные решения рассматриваемых задач.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Гриценко А. В. Об исследование квазистатического изгиба консольного стержня при комбинированном внешнем воздействии / A.B. Гриценко. // Вестник ВГУ. Серия Математика. Физика. - 2010. - №1. - С. 94-96.

2. Гриценко А. В. Квазистатическое деформирование упругого стержня при продольном изгибе / Н. В. Минаева, А. И. Шашкин, A.B. Гриценко. // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. - 2008. - №12. - С. 21-25.

3. Гриценко А. В. Об исследовании квазистатического поведения деформируемых систем и адекватности решений уравнений статики / Н. В. Минаева, А. И. Шашкин, A.B. Гриценко. // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. - 2009. - №3. - С. 17-21.

4. Гриценко А. В. Квазистатическое деформирование стержневой системы при комбинированном нагружении / A.B. Гриценко. // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение.-2009.- №3,-С. 9-11.

5. Гриценко А. В. Анализ некоторых проблем математического моделирования / Н. В. Минаева, А. И. Шашкин, A.B. Гриценко. // Тр. V Всероссийской конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи». - Самара. - 2008. - С.115-117.

6. Гриценко А. В. Квазистатическое деформирование стержня на упругом основании [Текст] / Н. В. Минаева, А. И. Шашкин, A.B. Гриценко. // Сб. тр. Международ. Конф. «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики». - Воронеж. - 2009. - С. 136-137.

7. Гриценко А. В. Квазистатическое поведение консольного стержня с частично распределенными параметрами [Текст] / Н. В. Минаева, А. И. Шашкин, A.B. Гриценко. // Сб. тезисов Международной конференции по Математической теории управления и механике». - Суздаль. - 2009. - С. 164.

Подписано в печать 09.08.2010 г. Формат 60 х 84/16 . Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,0 Тираж 120 экз. Заказ №1836

Отпечатано в типографии Воронежский ЦНТИ - филиал ФГУ «РЭА» Минэнерго России 394730, г. Воронеж, пр. Революции, 30

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Гриценко, Александр Владимирович

Введение.

Глава I. Исследование квазистатического процесса, описываемого решением обыкновенного дифференциального уравнения.

§ 1. Условия существования квазистатического процесса деформируемой механической системы.

§2. Выводы.

Глава II. Деформирование жестких стержней.

§ 1. Квазистатическое поведение дискретной стержневой системы.

§2. О квазистатическом поведении жесткого стержня под действием потенциальной силы.

§3. Деформирование стержневой системы под действием следящей силы.

§4. Исследование поведения стержневой системы при комбинированном нагружении.

§5. Выводы.

Глава III. Изгиб упругих стержней с учетом начального прогиба при комбинированном нагружении.

§ 1. Исследование квазистатического процесса для системы с распределенными параметрами.

§2. Квазистатическое деформирование упругого стержня при продольном изгибе.

§3. Исследование изгиба упругих стержней в рамках линейной статики.

§4. Продольный изгиб стержня с частично распределенными параметрами.

§5. Выводы.

Глава IV. Исследование квазистатического поведения стрежней на основе вариационной задачи.

§ 1. Условия существования квазистатического процесса, соответствующего решению вариационной задачи для функционала интегрального вида, зависящего от функции одной переменной.

§2. Исследование изгиба стержня на основе решения вариационной задачи.

§3. Выводы.

Введение диссертация по механике, на тему "Исследование квазистатического поведения одномерных тел"

Настоящая работа посвящена изучению квазистатического поведения одномерных тел при медленном изменении внешнего воздействия, т.е. исследованию возможности осуществления квазистатического процесса. Фундаментальные основы этого направления содержатся в трудах по исследованию устойчивости в задачах МСС на основе различных статических критериев. Исследование подобных проблем было начато еще в XVIII веке JI. Эйлером и продол: жено Ж.Л. Лагранжем, Г. Кирхгофом и другими крупными математиками и механиками. В конце XIX - начале XX века развитие промышленности послужило поводом усиленной разработке практических аспектов теории упругой устойчивости. К указанному периоду относятся работы С.Ф. Ясинского [67], И.Г. Бубнова, С.П. Тимошенко [56]. Исследованием криволинейных стержней занимались E.JI. Николаи [49], А.Н. Динник [26], Г.Ю. Джанелидзе [25] и др. В ряде работ подробно изучались пространственные формы потери устойчивости с учетом поведения нагрузки в процессе потери устойчивости (А.А. Петропавловский, В.В. Холчев и др.). В работах В.З. Власова разработана общая теория тонкостенных прямолинейных стержней, подробно изучены изгибно-крутильные формы потери устойчивости и т.д. Его работы были продолжены И.Ф. Образцовым, В.И. Реутом, В.В. Мещеряковым и др. Исследования, связанные с деформацией стержней после потери устойчивости содержатся в работах Е.П. Попова [51], в которых введена классификация форм равновесия гибких стержней, имеющих первоначально прямую или круговую оси и предложены эффективные методы отыскания этих форм. Применение динамического подхода также связано с трудами Г. Циглера [64], В.В. Болотииа[9], А.И. Лурье, М.Я. Леонова и др. В работах К.Н. Гопака, В.И. Феодосьева [60] проведен анализ задачи и действии следящей силы на свободный стержень, к которым статическая постановка не применима. А.А. Ильюшин отвел значительное место в [33] задачам об устойчивости стержней за пределами упругости. Вопросы об устойчивости различных конструкций рассмотрены в книге К. Бицено и Р. Граммеля

6]. В [13] отражены основные методы, которые имеют наибольшее практическое значение. Развитие исследований в этом направлении связано именами Алимжанова М.Т., Аннина Б.Д., Быковцева Г.И., Вольмира А.С., Гузя А.Н., Ершова JI.B., Ивлева Д.Д., Ильюшина А.А., Ишлинского А.Ю., Качанова JI.M., Клюшникова В.Д., Работ-нова Ю. Н., Спорыхина А.Н., Циглера Г., Шашкина А.И. и др. Также к работам по этой тематике можно отнести некоторые результаты теории катастроф (Гилмор Р., Голубицкий М. и др.), в которых исследование непрерывности зависимости от исходных данных проводится для автономных градиентных динамических систем на основе анализа свойств потенциальной функции. В приведенных работах внешнее воздействие или одно или на некоторой стадии решения вводится параметр нагружения, связывающий независимые до этого внешние воздействия. В связи с этим актуальным представляется дальнейшее развитие методов исследования существования квазистатического состояния различных механических систем.

Цель работы. Развитие методов исследования существования квазистатического процесса для одномерных тел при независимых внешних воздействиях. Определение областей квазистатического поведения некоторых дискретных стержневых систем и систем с распределенными параметрами при комбинированном нагружении.

Достижение указанной цели осуществляется посредством решения следующих задач:

1. Сформулировать условия, на основе которых возможно квазистатическое деформирование стержневых систем при комбинированном нагружении. В качестве математических моделей соответствующего процесса рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения и вариационная задача для функционала интегрального вида.

2. Провести анализ полученных условий для случая консервативных и неконсервативных систем.

3. Используя полученные результаты, в пространстве параметров внешних воздействий найти области существования квазистатического поведения жестких и упругих стержней под действием нагрузок фиксированного направления, следящей силы и их комбинации.

Научная новизна состоит в том, что показано, что в случае потенциального внешнего воздействия условия существования квазистатического процесса совпадают с условиями теоремы о неявных функциях; все исследования проводились для независимых параметров внешних воздействий; при изучении учитывались начальные прогибы стержней и неоднородности материала.

На защиту выносятся:

• условия существования квазистатического процесса деформируемой консервативной системы, описываемого решением обыкновенного дифференциального уравнения или вариационной задачи при любых начальных условиях;

• области, полученные в результате исследования, в пределах которых решения, описывающие поведение стержневых систем с потенциальным воздействием в рамках статики, имеют физический смысл;

• ограничения, накладываемые на параметры внешних воздействий для неконсервативных систем, при нарушении которых квазистатическое деформирование невозможно.

Практическое значение. Полученные результаты могут быть использованы при проведении исследований на основе математических моделей одномерных деформированных твердых тел, расчете различных стержневых систем, а также при конструировании зданий, строительных сооружений.

Апробация. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на

• Международной конференции по Математической теории управления и механике. Суздаль, 2009;

• ежегодных отчетных научных конференциях ВГУ. Воронеж, 2007-2009;

• научных семинарах кафедры теоретической и прикладной механики ВГУ, 2007-2009.

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в работах [18-23].

Кратко остановимся на вопросах, рассматриваемых в диссертационной работе и ее структуре.

В первой главе рассматривается проблема исследования существования квазистатического процесса, описываемого решением системы дифференциальных уравнений, записанной в матричной форме, приведено соответствующее определение. Показано, что разбиение характеристики поведения объекта на статическую и динамическую составляющие позволяет получить достаточное условие существования квазистатического процесса, которое совпало с условием устойчивости.

Во второй главе проведено исследование проблемы существования квазистатического процесса для дискретных систем на основе математической модели, т.е. системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Проведен анализ способов изучения квазистатического поведения консервативных и неконсервативных систем (потенциальные и непотенциальные внешние силы). Отмечено, что в том случае, когда на деформируемую систему действуют только силы постоянного направления, исследование области существования квазистатического процесса можно проводить в рамках статики. На основе приведенных математического определения и теоремы, показано, что из выполнения условий теоремы о неявных функциях для задачи статики находится верхняя граница области существования квазистатического процесса. Она будет и нижней для сил постоянного направления. Рассмотрены несколько примеров поведения дискретных стержневых систем.

В третьей главе получено, что выполнение условий теоремы о неявных функциях для задач статики является условием возможности квазистатического поведения системы с распределенными параметрами. Сформулированы теоремы о неявных функциях для задач статики в виде обыкновенных дифференциальных уравнений и в виде вариационной задачи для функционала интегрального вида, зависящего от функции одной переменной. Используя эти результаты, найдены области существования квазистатического поведения упругих стержней. Рассматривался только один вид квазистатического процесса, который начинается из положения покоя при отсутствии внешних сил. Для сил постоянного направления исследования проводились на основе математических моделей в виде дифференциальных уравнений и вариационных задач.

Рассмотрен квазистатический продольный изгиб консольного невесомого стержня с сосредоточенной на конце массой, находящийся под действием двух сил, одна из которых - следящая.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

§ 3. Выводы

В четвертой главе получены следующие основные результаты:

1. Получены условия, которые можно использовать при нахождении области существования квазистатического процесса, соответствующего решению вариационной задачи, при потенциальном внешнем воздействии на систему.

2. Для однородного консольного стержня постоянного сечения, находящегося под действием распределенной нагрузки и сосредоточенных сил, в пространстве параметров внешних воздействий найдена статически особая кривая, определяющая границу области квазистатического процесса.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении перечислим основные результаты и выводы, полученные в работе:

1. Получено, что условие существования квазистатического процесса в смысле сформулированного определения при изменении внешнего воздействия в некоторых пределах сводится к исследованию попадания в этот интервал статически особых точек при условии асимптотической устойчивости тривиального решения уравнения (8).

2. Показано, что при потенциальном внешнем воздействии исследование существования квазистатического процесса сводится к исследованию непрерывной зависимости решения от характеристик объекта. Если внешние силы непотенциальны, то условия непрерывной зависимости будут определять верхнюю границу области существования квазистатического поведения.

3. В случае, когда изучение поведения стержневой системы проводится на основе математической модели в виде обыкновенного дифференциального уравнения или вариационной задачи получены условия, которые являются достаточными для исследования квазистатического процесса при потенциальном внешнем воздействии.

4. Применяя эти критерии, найдены области существования квазистатического процесса, соответствующего некоторым решениям поставленных задач деформирования дискретных систем и систем с распределенными параметрами, находящихся под действием сил фиксированного направления. При пересечении траекторией нагружения полученных линий происходит смена квазистатического процесса на другой, описываемый некоторым решением исходной нелинейной задачи. В случае линейных моделей эти кривые ограничивают область применения уравнений статики.

5. Показано, что особые значения внешних воздействий, определенные на основе статического критерия и в результате изучения асимптотической устойчивости решения уравнения (8) при потенциальных силах одинаковы.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Гриценко, Александр Владимирович, Воронеж

1. Абгарян, К. А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем / К. А. Абгарян. - М. : Наука, 1973. -431 с.

2. Абовский, Н. 77. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек / Н. П. Абовский, Н. П. Андреев, А.П. Деруга. М.: Наука, 1978. - 542 с.

3. Алимжанов, М. Т. Проблемы устойчивости равновесия в задачах геомеханики / М. Т. Алимжанов. // Успехи механики. -1990. Т. 13, №3.-С. 21-57.

4. Броуде Б М. Об устойчивости стержней, сжатых с двухосным эксцентриситетом / Б. М. Броуде. Сб. Расчет пространств, констр. - Вып. 4. - 1959. - С. 31-50.

5. Безухое, Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести / Н.И. Безухов. М. : Высш. школа, 1961. - 244 с.

6. Бицено, К.Б. Техническая динамика / К.Б. Бицено, Р. Граммель. -Л. : Гостехиздат, 1950.-256 с.

7. Блейх, Ф. Устойчивость металлических конструкций / Ф. Блейх. М. : Физматгиз, 1959. - 544 с.

8. Барченкова, Н.А. Анализ состояний консольного стержня, описываемого линейной моделью / Н.А. Барченкова, Н.В. Минаева. // Сб.: Современные методы статического и динамического расчета сооружений и конструкций. Вып.5. - Воронеж: ВГА-СА. - 2000. - С.42-47.

9. Болотин, В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости / В.В. Болотин. М. : ГИФМЛ, 1961. - 339 с.

10. Болотин, В.В. Статистические методы в строительной механике / В.В. Болотин. М. : Изд-во «Литература по строительству», 1965. - 279 с.

11. Быковцев, Г.И. Применение метода возмущений к теории кручения упругопластических стержней / Г.И. Быковцев, Ю.Д. Цветков. // ПММ. 1961. - Т. 45. - №5. - С. 932-939.

12. Васидзу, К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности / К. Васидзу. М. : Мир, 1987. - 542 с.

13. Вольмир, А.С. Устойчивость упругих систем / А.С. Вольмир. -М.: Физматгиз, 1963. 880 с.

14. Геккелер, КВ. Статика упругого тела / И.В. Геккелер. М. : Гостехтеориздат, 1934. - 287 с.

15. Гилмор, Р. Прикладная теория катастроф / Р. Гилмор. М.: Мир, 1984.-Т. 1,2.-635 с.

16. Горбенко, О.Д. О состояниях системы с распределенными параметрами / О.Д. Горбенко, Н.В. Минаева. М. - 1999. - 8с. -Деп. в ВИНИТИ 08.12.99, № 3638-В99.

17. Грин, А. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды / А. Грин, Дж. Адкинс. М.: Мир, 1965. - 456 с.

18. Гриценко А. В. Об исследование квазистатического изгиба консольного стержня при комбинированном внешнем воздействии / А.В. Гриценко. // Вестник ВГУ. Серия Математика. Физика. -2010.- №1.-С. 94-96.

19. Гриценко А. В. Квазистатическое деформирование упругого стержня при продольном изгибе / Н. В. Минаева, А. И. Шаш-кин, А.В. Гриценко. // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2008. -№12. - С. 21-25.

20. Гриценко А. В. Об исследовании квазистатического поведения деформируемых систем и адекватности решений уравнений статики / Н. В. Минаева, А. И. Шашкин, А.В. Гриценко. // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2009. - №3. - С. 17-21.

21. Гриценко А. В. Квазистатическое деформирование стержневой системы при комбинированном нагружении / А.В. Гриценко. // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2009. - №3. - С. 9-11.

22. Гриценко А. В. Квазистатическое деформирование стержня на упругом основании / Н. В. Минаева, А. И. Шашкин, А.В. Гриценко. // Сб. тр. Международ. Конф. «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики». Воронеж. -2009.-С. 136-137.

23. Гузь, А.Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел / А.Н. Гузь. Киев: Наукова думка, 1971. - 276 с.

24. Джанелидзе Г Ю. Об устойчивости стержня под действием следящей силы / Г.Ю. Джанелидзе. Труды Ленинград, политех. ин-та. 1958. - № 2.

25. Динник, А Н. Продольный изгиб / А.Н. Динник. М.: ОН-ТИ, 1936.

26. Ермаков, СМ. Статистическое моделирование / С.М. Ермаков, А.П. Михайлов. М.: Наука, 1982. - 296 с.

27. Ершов, JI.B. Об устойчивости полосы при сжатии / JI.B. Ершов, Д.Д. Ивлев. // ДАН СССР. 1961. - Т.138. - № 5. - С. 10471049.

28. Ершов, JI.B. Об устойчивости полосы при сжатии / JI.B. Ершов, А.А. Калужин. // Изв. АН СССР. Механика. 1965. - № 4. - С. 104-110.

29. Ивлев, Д. Д. Приближённое решение задач теории малых упру-гопластических деформаций / Д. Д. Ивлев. // Докл. АН СССР. -1957.-т. 113.-№3.

30. Ивлев, Д. Д. Теория предельного состояния и идеальной пластичности / Д. Д. Ивлев. Воронеж: Вор. гос. ун-т, 2005. - 357 с.

31. Ивлев, Д. Д. Метод возмущений в теории упругопластических деформаций / Д. Д. Ивлев., JI.B. Ершов. М. : Наука, 1978. -208 с.

32. Ильюшин, А.А. Пластичность / А.А. Ильюшин. М.: Гостехиз-дат, 1948.-376 с.

33. Ишлинский, А.Ю. Рассмотрение вопросов об устойчивости равновесия упругих тел с точки зрения математической теории упругости / А.Ю. Ишлинский. // Укр. матем. журнал. Т. 6. - №2. - 1954.-С. 140-146.

34. Каудерер, Г. Нелинейная механика / Г. Каудерер. М. : ИЛ, 1961.

35. Качанов, Л.М. Пластическое кручение круглых стержней переменного диаметра / Л.М. Качанов. // ПММ. 1948. - Т. 12. -Вып. 4.

36. Коддингтон, Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон. М.: Изд-во иностр. лит., 1958. - 476 с.

37. Койтер, В. Общие теоремы в теории упругопластических сред /В. Койтер. М.: ИЛ, 1961.

38. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. М. : Наука, 1976. -542 с.

39. Корноухое, Н В. Прочность и устойчивость стержневых систем / Н. В. Корноухов. — М. : Стройиздат, 1949. 360 с.

40. Ланцош, К. Вариационные принципы механики / К. Лан-цош. М.: Мир, 1965. - 408 с.

41. Лебедев, А.Н. Моделирование в научно-технических исследованиях / А.Н. Лебедев. М.: Изд-во «Радио и связь», 1989. -223 с.

42. Линдстедт, А. Мемуары С-Петербургской академии наук / А. Линдстедт. Т. XXXI. - 1883. - №4.

43. Лионе, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе. М.: Мир, 1972. - 588 с.

44. Ляпунов, A.M. Общая задача об устойчивости движения / A.M. Ляпунов. 1892.

45. Малкин, И.Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний / И.Г. Малкин. Гостехиздат, 1949.

46. Минаев, В.А. О квазистатическом поведении и предельных состояниях деформируемых тел /В.А. Минаев, А. И. Шашкин. // Сб. тр. междунар. школы-семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики». Воронеж.- 2007. - С. 243-245.

47. Минаева, H. В. Адекватность математических моделей деформируемых тел / Н. В. Минаева. М. : Научная книга, 2006. -236 с.

48. Наймарк, М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк. М.: Наука, 1968. - 526 с.

49. Николаи, Е.А. Труды по механике / Е.А. Николаи. М.: Гостехиздат, 1955. - 536 с.

50. Пановко, Я.Г. Устойчивость и колебания упругих систем / Я.Г. Пановко, И.И. Губанова. М.: Наука, 1979. - 384 с.

51. Попов, Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней / Е.П. Попов. Л.: ОГИЗ, 1948. - 172 с.

52. Пуанкаре, А. Новые методы небесной механики. Избранные труды в 3-х томах / А. Пуанкаре. Т.1. - М.: Наука, 1971. -772с.

53. Работное, Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю.Н. Работнов. М.: Наука, 1979. - 744 с.

54. Самарский, А.А. Математическое моделирование / А.А. Самарский, А.П. Михайлов. М.: Наука, 1997. - 316 с.

55. Спорыхин, А.Н. Метод возмущений в задачах устойчивости сложных сред / А.Н. Спорыхин. Воронеж, 1997. -360 с.

56. Тимошенко, С.П. История науки о сопротивлении материалов / С.П. Тимошенко. М: Гостехтеориздат, 1957. - 536 с.

57. Тихонов, А.Н. Вводные лекции по прикладной математике / А.Н. Тихонов, Д.П. Костомаров. М.: Наука, 1984. - 190 с.

58. Толоконников, JI.A. Механика деформируемого твердого тела / JI.A. Толоконников. М.: Высшая школа, 1979.

59. Томпсон, А. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике / А. Томпсон. М. : ИЛ, 1975. - 156 с.

60. Феодосъев В И. Об одной задаче устойчивости // В.И. Феодось-ев ПММ. - 1965. - Т.29. - Вып. 2. - С. 391-392.

61. Феппелъ, А. Сила и деформация / А. Феппель, Л. Феппель. // М.ЮНТИ. 1936. Т. 2. 408с.

62. Филоненко-Бородич, М.М. Теория упругости / М.М. Филонен-ко-Бородич. М.: Физматгиз, 1959. - 364 с.

63. Фихтпенголъц, Г.М. Основы математического анализа / Г.М. Фихтенгольц. М.: Изд-во техн.-теор. лит., 1956. - Т. 1,2. -464 с.

64. Циглер, Г. Основы теории устойчивости конструкций / Г. Циг-лер. М.: Мир, 1971. - 192 с.1. Q ^

65. Цурпал, И.А. Расчет элементов конструкций из нелинейно-упругих материалов / И.А. Цурпал. Киев: Техшка, 1976.

66. Эльсгольц, Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эльсгольц. М.: Наука, 1969. - 424 с.

67. Ясинский, Ф С. Избранные работы по устойчивости сжатых стержней. / Ф. С Ясинский. -М. : Гостехиздат, 1952.

68. Poincare, Н. Sur le probleme des trois corps et les equations de la dynamiques / H. Poincare. Acta Mathematica.-1. 13 - 1890.

69. Poincare, H. Sur methodes nouvelles de la mecanique celeste / H. Poincare. Vol. I. - ch. 3. - Dover, New York. - 1892.