Динамические и волновые особенности процесса разрыва твердых тел при их квазистатическом нагружении

Казаринов, Никита Андреевич

Динамические и волновые особенности процесса разрыва твердых тел при их квазистатическом нагружении тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Казаринов, Никита Андреевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2014 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Динамические и волновые особенности процесса разрыва твердых тел при их квазистатическом нагружении»

Автореферат диссертации на тему "Динамические и волновые особенности процесса разрыва твердых тел при их квазистатическом нагружении"

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукопис^

КАЗАРИНОВ Никита Андреевич

Динамические и волновые особенности процесса разрыва твердых тел при их квазистатическом нагружении

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 С ' —М 7011

Санкт-Петербург 2014 ¿.<л}

0055500ил

005550002

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.

Научный руководитель:

член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор ПЕТРОВ Юрий Викторович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор, КРИВЦОВ Антон Мирославович (Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, заведующий кафедрой теоретической механики)

доктор физико-математических наук, профессор, ЛОМУНОВ Андрей Кириллович (Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет, профессор кафедры железобетонных, каменных и деревянных конструкций)

Ведущая организация:

ФГБОУ ВПО «Петербургский государственный университет путей сообщения императора Александра I»

Защита состоится "Ж " дЛ 2014 г. в /¿часов на заседании диссертационного совета Д212.232.30 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, г. Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 28, математико-механический факультет, ауд. 405.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9 и на сайте http://spbu.ru/science/disser/soiskatelyu-uchjonoj-81ерепМ;8-118Ь'(1е1аП8/14/97

Автореферат разослан "73 " ^ЛтА 2014 г.

оЛ^-/

Ученый секретарь диссертационного совета ¿У Кустова Е.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Реальные конструкции и конструкционные материалы зачастую работают при наличии дефектов в них. При этом для оценки безопасности системы инженеру необходимо понять, что произойдет с дефектом при действии на конструкцию той или иной нагрузки.

Классические подходы механики разрушения, основанные на известных критериях критического напряжения и критического коэффициента интенсивности напряжений, довольно точно описывают случаи статического, квазистатического нагружения конструкций. Однако реальная инженерная практика требует применения подходов и методов, которые могли бы предсказать поведение тел при динамическом приложении нагрузки, а также при динамическом поведении системы, вызванном квазистатическим нагружением. Так расчет строительной конструкции с трещиной на сейсмоустойчивость является распространенным примером практической инженерной задачи, в которой требуется предсказать поведение дефекта при динамическом воздействии. При этом во многих ситуациях изначально целостная структура становится дефектной в результате статического или квазистатического воздействия. Типичным примером может послужить динамическое распространение трещины в трубопроводе, которое было вызвано внезапным разрывом оболочки под действием статического внутреннего давления.

Благодаря существенному росту вычислительных мощностей современных компьютеров численное моделирование процессов разрушения играет все большую роль в исследовании конструкции с дефектами и трещинами на прочность. При этом нельзя забывать, что при моделировании разрушения любой численный метод необходимо снабдить адекватным критерием разрушения, необходимо сообщить компьютеру, при каких условиях происходит откол, рост трещины и т.д. Кроме того, любая численная схема должна проходить верификацию через сравнение результатов расчетов с модельными экспериментами и аналитическими решениями.

Именно экспериментальные данные, полученные для различных типов материалов, видов нагружения и форм образцов, обеспечивали эволюцию подходов к описанию и предсказанию разрушения. Зачастую противоречащие друг другу экспериментальные данные заставляли исследователей задуматься об адекватности исследуемых параметров и зависимостей в качестве характерных для процессов разрушения. Так рождались более общие концепции, содержащие в себе параметры с более глубоким физическим смыслом.

берега трещины. Стоит отметить, что для исследования и моделирования процессов при нагрузках разного типа применялся единый подход.

Актуальность темы заключается в необходимости разработки и верификации универсальных методик моделирования и предсказания разрушения тел при различных видах нагружения, а также в высокой научной значимости исследований моделей дискретных периодических структур.

Предметом исследования являются динамическое распространение трещин при различных типах нагружения, а также динамические эффекты разрушения в дискретных механических системах.

Цель работы — разработка методов моделирования динамического разрушения тел при различных типах нагружения с использованием сертифицированных программных продуктов, дополненных программной реализацией универсального критерия разрушения — критерия инкубационного времени, а также теоретическое исследование поведения дискретных периодических структур при определенных воздействиях.

В работе решаются следующие задачи:

1. Разработка эффективных методов моделирования динамического разрушения при различных видах воздействия с использованием метода конечных элементов и универсального критерия разрушения — критерия инкубационного времени.

2. Численное моделирование квазистатических экспериментов по определению инкубационного времени.

3. Теоретическое исследование эффекта разрушения периодической дискретной структуры после внезапного снятия статической нагрузки на примере цепочки линейных осцилляторов произвольной конечной длины.

Положения, выносимые на защиту:

• Возможность моделирования динамического движения трещин при различных видах нагружения с использованием унифицированного подхода, основанного на понятии инкубационного времени.

• Возможность определения инкубационного времени из квазистатических экспериментов над образцами с боковым надрезом. За инкубационное время принимается время, которое необходимо для полной релаксации напряжений в растянутом образце после прихода в рассматриваемую точку волны разгрузки, сгенерированной прорастающей трещиной.

• Возможность определения инкубационного времени при помощи численного моделирования квазистатических экспериментов над образцами с боковым надрезом.

• Существование эффекта превышения изначальных деформаций в цепочке из произвольного конечного числа одинаковых линейных осцилляторов при свободных колебаниях, вызванных снятием начальной статической нагрузки. Методы исследований.

Для проведения численного моделирования экспериментов по динамическому продвижению трещин использовался метод конечных элементов, реализованный в сертифицированном программном комплексе ANSYS MECHANICAL. Для контроля хода решения задачи и реализации структурно-временного подхода была написана управляющая программа на языке С++, связанная с ANSYS через набор процедур из ANSYS API. Необходимые для моделирования параметры были получены в ходе экспериментов с пластинками из ПММА с начальной трещиной, берега которой нагружались взрывом медной проволоки. При этом напряженное состояние вблизи вершины трещины исследовалось методом каустик с использованием высокоскоростной стрик-камеры.

Для теоретико-аналитического исследования задачи о колебаниях цепочки осцилляторов использовался широчайший спектр математических приемов и методов. Полное аналитическое решение избавило автора от необходимости использования каких-либо численных методов в данной задаче, однако, обработка результатов и построение графиков производились в пакетах MAPLE и MATLAB. Достоверность результатов.

Достоверность результатов моделирования проверяется через сравнение полученных характеристик движения трещины с экспериментальными данными из фундаментальных для данной области исследований работ Дж. Файнберга (1992). Эксперименты по определению инкубационного времени проводились по отработанным методикам, описанным в работе Смирнова и Судьенкова (2011) и с использованием широко распространенного в научной и инженерной практике метода каустик.

Решение системы дифференциальных уравнений, описывающих колебания цепочки осцилляторов было получено с использованием точных аналитических методов, существование динамического эффекта было доказано посредством применения теорем алгебры и теории квазипериодических функций. Научная новизна и практическая ценность.

инкубационного времени из квазистатических испытаний на растяжение образцов с трещиной является простой и дешевой альтернативой гораздо более дорогим испытаниям, в которых задействуется уникальное оборудование, способное создать кратковременные импульсы давления с контролируемыми характеристиками. Кроме того, в работе представлен метод определения инкубационного времени при помощи компьютерного моделирования. Такой подход доступен любому инженеру, не имеющему возможности проводить натурные испытания образцов материала. В работе был впервые описан динамический эффект, возникающий при снятии статической растягивающей нагрузки с дискретной периодической системы на примере цепочки одинаковых линейных осцилляторов. Существование эффекта было строго доказано математически. Данная особенность поведения дискретной периодической структуры может приводить к разрушению при свободных колебаниях рассматриваемой системы. Наличие описанного в работе эффекта может быть учтено при изучении кристаллических решеток, проектировании периодических структур, изучении нанообъектов.

Апробация работы. Результаты работы обсуждались на семинарах кафедры теории упругости Санкт-Петербургского государственного университета, а также на конференциях:

1. АРМ2012 International Summer School-Conference (Санкт-Петербург, июль 2012).

2. 12th Youth Symposium on Experimental Solids Mechanics (Бари, апрель 2013).

3. Семинар «Системы комплексной безопасности и физической защиты» (Санкт-Петербург, ноябрь 2013).

4. 3rd International Conference on mechatronics and Applied mechanics (Париж, декабрь 2013).

Публикации автора по теме диссертации представлены работами [1-7], в том числе статьи [1-4] в журналах рекомендованных ВАК РФ.

В работе 1 Петрову Ю.В. принадлежит постановка задачи и общее руководство исследованиями; Груздкову A.A. — разработка многих математических приемов, вывод формулы для констант; соискателю принадлежит математическая постановка задачи, формула для собственных чисел матрицы жесткости системы дифференциальных уравнений, описывающих колебания цепочки осцилляторов, а также формула для компонент собственных векторов данной матрицы. Также в работе 1 соискателем был математически доказан рассматриваемый динамический эффект разрушения при внезапном снятии статической нагрузки. В работах 2, 4 и 7 Петрову Ю.В. принадлежат постановка задачи, метаматематическая постановка задачи, трактовка некоторых результатов; Братову В.А. принадлежат многие идеи, лежащие в основе моделирования, и анализ экспериментов; соискателю принадлежит

код программы для пакета А^УЗ, а также код внешней управляющей программы на С++. В работе 3 Петрову Ю.В. принадлежит идея определения инкубационного времени через время релаксации напряжений и руководство исследованиями; Братову В.А. - методика применения критерия инкубационного времени; Федоровскому Г.Д. принадлежат экспериментальные данные; соискателю принадлежит реализация моделирования квазистатических экспериментов по нахождения инкубационного времени, а также сравнение с экспериментальными данными. В работе 5 Братову В.А. принадлежат постановки задач; соискателю принадлежит программный код, который реализует ряд задач по динамике трещин (в пластинках, в трубопроводах). В работе 6 Петрову Ю.В. принадлежит постановка задачи; Братову В.А. — визуализация процесса разрушения и анализ результатов; соискателю принадлежит разработка программного кода для пакета ЛЫЭУЗ, разработка внешнего управляющего модуля на С++, реализующего проверку критерия инкубационного времени.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 113 страницах машинописного текста, содержит 28 рисунков и список литературы из 119 наименований.

Работа выполнена при поддержке Санкт-Петербургского государственного университета (Мероприятие 3/14. Мероприятие 2/14). Российского фонда фундаментальных исследований (грант №14-01-00814') и лаборатории «Механика перспективных массивных наноматериалов для инновационных инженерных приложений» (дог. № 14.В25.31.0017 от 28.06.2013') СПбГУ.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В главе 1 приводится краткий обзор развития подходов к прогнозированию разрушения — от элементарных критериев критического напряжения и деформации до критерия минимального времени и структурно-временного подхода.

Отдельное внимание уделяется экспериментальным работам по динамике трещин, в которых исследуется зависимость коэффициента интенсивности напряжений от скорости движения трещины. Приводятся экспериментальные результаты, которые подтверждают существование данной зависимости, а также работы, в которых опровергается тезис о существовании и единственности зависимости между коэффициентом интенсивности и скоростью трещины. Примечательно, что эти два класса экспериментов отличаются типом нагружения. Так работы, в которых наблюдается характерная Г-образная зависимость между скоростью трещины и коэффициентом интенсивности, описывают эксперименты по квазистатическому нагружению образцов (Дэлли 1979; Росакис, Фрэнд 1983), а для работ, в которых существование зависимости а — К опровергается, характерно динамическое нагружение (Рави-Чандар, Кнаусс 1984).

В первой главе также приводятся основные аналитические результаты по динамике трещин - формулы для коэффициента интенсивности для трещины, движущейся с постоянной скоростью, напряжения на продолжении трещины, которая движется с произвольной скоростью, вычисление потока энергии в вершину трещины, при помощи которого устанавливается предельная скорость движения трещины.

Глава 2 посвящена исследованию эффекта динамического разрушения дискретной периодической структуры на примере цепочки из конечного числа линейных осцилляторов. Оказывается, что внезапное снятие статической нагрузки, приводящей к равномерной докритической деформации каждого элемента системы, может приводить к последующему динамическому разрушению всей системы.

Так при рассмотрении дискретного аналога упругого стержня — системы, представляющей собой цепь из одинаковых осцилляторов с одним закрепленным концом, — обнаруживается эффект, который не наблюдается в континуальном аналоге. Если в начальный момент времени цепь находилась в растянутом состоянии, причем расстояние между массами было близким к критическому, то в один из последующих моментов времени при совершении системой свободных колебаний произойдет разрыв какого-либо звена, то есть начальное растяжение будет превышено. Таким образом, предварительно растянутая цепочка из линейных осцилляторов может разрушаться при внезапном снятии статической нагрузки. Данный эффект отмечается для цепочки произвольной длины, но отсутствует в континуальных моделях.

Строгое математическое доказательство наличия эффекта разрушения цепочки после снятия статической нагрузки стало возможным благодаря тому, что задача о колебаниях цепи осцилляторов была решена аналитически. Были получены формулы для собственных частот колебаний, а также формулы для относительной деформации каждого из звеньев.

Эффект превышения начального растяжения при снятии статической докритической нагрузки проявляется уже для цепочки, состоящей всего из двух звеньев. Данный тезис доказывается простым решением системы дифференциальных уравнений, описывающей колебания двух связанных осцилляторов.

Зависимость относительной деформации первого звена от времени выглядит следующим образом:

V5 + 3 , ^ V5-3 , ч

Ul=^VTC0SKt)+^VrC°S(íÜ2t)S (1).

=г 1.17 cosOiO - 0.17 cos(ít)2t)

В (1) ы± и «2 — собственные частоты колебаний системы. После перехода к безразмерной системе уравнений и замены переменных условие целостности первого звена сводится к неравенству щ < 1. Благодаря тому факту, что отношение

собственных частот является иррациональным числом, которое можно приблизить подходящими дробями, оказалось возможным найти такой момент времени г*, когда сскСш^) = 1 и сое(со20 = —1 со сколь угодно большой точностью. Так при С* = 3.38 щ = 1.3 > 1, и, таким образом, нарушается условие целостности первого звена, что приводит к его разрушению. Стоит отметить, что отношение собственных частот системы из двух осцилляторов равно золотому сечению.

Далее рассматривается цепочка из произвольного конечного числа звеньев (рис. 1). Расстояние между массами в начальный момент времени равно некоторой критической величине I„ц, превышение которой приведет к разрушению звена.

Рисунок 1. Цепочка из произвольного конечного количества звеньев.

Как и в случае системы из двух осцилляторов для упрощения вычислений осуществляется переход к безразмерной системе дифференциальных уравнений. При этом искомыми функциями являются расстояния между соседними массами,

отнесенные к Система дифференциальных уравнений, описывающая изменения имеет вид 0 + ИУ = 0, где

-1

-1 -1

2 -1

-1 2/

/ил и2

,и =

(2).

\«п/

Начальные условия отражают равномерное начальное растяжение цепочки и нулевые начальные скорости масс:

(и*(* = 0) = 1 Ык(£ = 0) = 0 ке1""

При этом считается, что звено под номером к остается целым, если |ик({)| < 1.

(3).

Полное аналитическое решение задачи позволяет показать, что существует момент времени, в который произойдет нарушение условия целостности одного из звеньев. Существование такого момента времени продемонстрировано на примере первого звена.

Аналитическое решение задачи записывается в виде следующего ряда:

1/(0 = ^ С^собС^О (4).

У=1

Процесс нахождения точного решения естественным образом разбивается на 3 этапа:

1. Вывод формулы для собственных частот колебаний системы (¿¡¡. Собственные числа матрицы жесткости Т7 находятся из уравнения — ЛЕ) = 0, которое

приводит к рекуррентному соотношению. Формула для собственных частот колебаний системы:

М2) -1)\

= 2 я'п I

2. Вывод формулы для компонент собственных векторов матрицы жесткости. Компоненты собственных векторов также находятся из рекуррентных соотношений, которые весьма схожи с рекуррентными соотношениями для многочленов Чебышева. Оказывается, что компоненты собственных векторов можно представить в виде разности двух полиномов Чебышева второго порядка. Формула для компоненты с номером ( собственного вектора, соответствующего собственному числу с номером ) выглядит так:

Лг(Ы-1)(2/-1)\ СО _ С°Ч 4п + 2 ;

С051 4п + 2 )

3. Определение констант Су из начальных условий. Благодаря связи формулы для компонент собственных векторов с многочленами Чебышева второго рода удается свести матрицу системы линейных уравнений для констант к матрице Вандермонда. После этого система решается по формулам Крамера. Формула для константы с номером у.

Обратим внимание на первое звено, относительная деформация которого описывается функцией их(0 = Е"=1 СуСОБО^). В данной формуле коэффициенты являются знакопеременными, а их сумма равна единице. Значит, сумма положительных коэффициентов больше единицы. Поэтому если в какой-то момент времени Ь* все косинусы при отрицательных коэффициентах равны нулю, а при положительных -единице, то растяжение превзойдет начальный уровень и произойдет разрушение. По теореме Кронекера существует такое значение t', которое позволит удовлетворить указанные равенства со сколь угодной точностью. Отметим, что мы имеем возможность пользоваться данной теоремой благодаря тому факту, что частоты Шj — иррациональные числа.

Как показывают расчеты, проведенные для различного числа звеньев, превышение растяжения над начальным значением сохраняется, и его величина (примерно 54%) не

убывает с ростом п. Тем не менее, затухание возмущения, вызванного приходом волны, происходит быстрее с ростом п (рис. 2).

ч«

од

ln - 2001

Рисунок 2. Зависимость относительного удлинения первого звена цепочки от времени для

цепочки из 35 и 200 звеньев. Данный эффект напоминает явление Гиббса для частичных сумм рядов Фурье. Если в континуальном аналоге рассматриваемой задачи - задаче о продольных колебаниях стержня - ограничиться конечном числом слагаемых тригонометрического ряда, то вблизи точек разрыва будут наблюдаться «выбросы», причем превышение частичной суммы ряда над точным значением остается постоянным с ростом числа слагаемых -около 18%. При общей схожести двух эффектов стоит помнить, что эффект Гиббса -дефект расчетной схемы, а рассматриваемы эффект разрушения дискретной структуры может рассматриваться как реальное физическое явление.

Также во второй главе работы приводится решение для вынужденных колебаний цепи из произвольного количества осцилляторов. Данное решение было получено при помощи метода Дюамеля, в котором неоднородность системы дифференциальных уравнений сводится к неоднородности начальных условий. Это решение может быть полезно для изучения резонансных явлений в периодических дискретных структурах и нанообъектах.

Глава 3 работы посвящена исследованию динамического движения трещин при квазистатической нагрузке, а также определению инкубационного времени процесса разрушения при помощи компьютерного моделирования экспериментов по квазистатическому растяжению образцов.

Дня моделирования были выбраны эксперименты Дж. Файнберга (1992), в которых тонкие образцы из ПММА с боковым надрезом подвергаются квазистатическому растяжению, в результате которого происходит динамическое распространение трещины. При помощи токопроводящего напыления авторы данных экспериментальных работ имели возможность следить за положением вершины трещины и измерять скорость движения трещины. В работах Дж. Файнберга отмечается зависимость скорости трещины от ее длины, а также наличие предельной скорости трещины, которая оказалась значительно ниже теоретического предела (скорость волн Рэлея).

Моделирование экспериментов Дж. Файнберга производилось при помощи метода конечных элементов с использованием пакета АИЗУБ, дополненного внешней программой на С++, которая управляла ходом решения задачи. В качестве критерия разрушения использовался критерий инкубационного времени, предложенный в работах Ю.В. Петрова и Н.Ф. Морозова. (1994). В соответствии с данным подходом условие разрушения в точке х в момент времени Ь записывается следующим образом:

где т — инкубационное время, характерное для процесса разрушения на данном масштабном уровне, которое является константой материала и не зависит от вида нагружения и от геометрии образца; d — характерный размер зоны («process zone»), в которой происходит разрушение образца. Заметим, что d также является константой материала для данного материала и для определенного масштабного уровня; а(х, t) — напряжение в точке х в момент времени t, ас — критическое напряжение, полученное в статических экспериментах над образцами, размеры которых соотносятся с границами данного масштабного уровня, d не следует однозначно трактовать как некоторую геометрическую характеристику исследуемого материала (например, как межатомное расстояние), так как d является параметром масштабного соответствия, определяющим масштабный уровень, на котором рассматривается разрушение.

Воспользовавшись формулой d = 2К?с/лвс, мы можем вычислить характерный размер зоны разрушения или пространственный размер минимальной ячейки разрушения. В нашем случае d = 0.0002 м. При этом инкубационное время процесса разрушения на «микро» уровне, необходимое для осуществления моделирование находится экспериментально.

Эксперименты по определению инкубационного времени проводились по методике, описанной в работе Смирнова и Судьенкова (2011). В данных экспериментах образцы из ПММА с размерами, аналогичными размерам образцов в экспериментах Дж. Файнберга (1992), испытывались динамически при помощи взрыва медной проволоки, помещенной между берегами начальной трещины. Текущий коэффициент интенсивности напряжений регистрировался при помощи высокоскоростной стрик камеры. Таким образом, в данных испытаниях было известно время старта трещины t* и зависимость коэффициента интенсивности напряжений от времени K,(t). Воспользовавшись критерием старта трещины на основе инкубационного времени (9), можно определить инкубационное время т, считая, что (9) превращается в равенство в момент старта трещины.

(8),

t-т x-d

В ходе серии испытаний было получено среднее значение инкубационного времени, равное 1.5 микросекунды. Данное значение использовалось при моделировании.

Предполагалось, что во все моменты времени поля перемещений и напряжений определяются динамическими уравнениями линейной теории упругости:

/ди1 ЗиЛ

дополненными соответствующими граничными и начальными условиями: 11(Х,1 = 0)~(Х,1 = 0)=0 <П,)(ХЛ = 0)=^(ХД = 0) = 0

(Ю),

(11).

иу(Х е Г!, О = ГС

иу(Х 6Г2,С)=0-условие симметрии

ау(Х 6 Г3,0 = <?ху(.Х В Г2 и Г3, С) = 0

Здесь X - (хих2) = {х,у) и Л = (У1( И2) = [11 х, иу). V - скорость движения захватов растягивающей машины. В силу симметрии задачи моделировалась только половина пластины. При этом линия симметрии совпадает с траекторией продвижения трещины (см. рис. За). За начальный момент времени принимается момент старта движения захватов.

б)

СЛК* Е'СВМЮЛ

Рис. З.а) Схема моделирования экспериментов из работ Дж.Файнберга (1992); б) экспериментальная и расчетная зависимости скорости трещины от длины трещины

На рисунке 36 представлены экспериментальная и расчетная зависимости скорости трещины от длины трещины. Заметим, что наличие явной зависимости скорости трещины от длины трещины можно трактовать и как наличие зависимости между скоростью трещины и коэффициентом интенсивности напряжений. Как и в эксперименте, предельная скорость трещины оказалась значительно ниже теоретического предела, равного скорости волн Рэлея. При этом при моделировании экспериментов с динамическим нагружением были отмечены существенные изменения коэффициента интенсивности при постоянных скоростях движения трещины. Так при скорости 630 м/с К мог меняться в диапазоне 0.6 — 1.1 MPaVm, а при скоростях трещины порядка 400 м/с диапазон изменения составлял 0.7 - 1 MPaVm.

В главе 3 также приведены результаты моделирования квазистатических экспериментов по определению инкубационного времени. Данные эксперименты являются альтернативой сложным и дорогим экспериментам, в которых нагружение происходит динамически, и могут применяться в инженерной практике. Согласно классическому подходу к разрушению напряжения в определенной точке мгновенно релаксируют до нулевых значений после прихода в эту точку волны разгрузки, то есть, меняются согласно закону a(t) = Р — PH(t), где H(t) — ступенчатая функция Хэвисайда, а Р — начальное значение напряжений в рассматриваемой точке. Однако в реальности необходимо учитывать, для разрушения необходимо время, чтобы развиться с «микро» уровня на «макро» уровень. Другими словами, разрушение это не мгновенное событие, а процесс, занимающий некоторое время. Согласно данному предположению, зависимость напряжения в точке разрыва можно представить так: a(t) = Р — Pf(t), где f{t) — некоторая непрерывно возрастающая от 0 до 1 функция на интервале [0,7*]. Возвращаясь к классическому подходу, в котором подразумевается, что напряжения спадают до нуля мгновенно и следуют закону <r(t) = Р — PH(t), где Р = ас — критическое напряжение, можно вычислить время разрушения t', подставив формулу для cr(t) в критерий (8). Оказывается, что время до разрушения в точности равно инкубационному времени. При этом учитывая предположение о накоплении повреждений, можно заключить, что время, необходимое для полной релаксации напряжений Т равно времени до разрушения t*. Таким образом, мы приходим к следующему равенству Т = t* = т. Данное равенство демонстрирует теоретические предпосылки для метода измерения инкубационного времени из квазистатических тестов. Необходимо измерить время, за которое напряжения релаксируют до нуля в какой-либо точке образца в результате прихода волны разгрузки, вызванной разрушением образца. Так в работе Петрова, Федоровского и др. (2005) было найдено инкубационное время процесса разрушения на «макро» уровне для образцов из ПММА с длиной рабочей зоны 50 мм, шириной 10 мм и толщиной 5 мм. Оно оказалось равным 25 микросекундам, что практически совпадает с результатом, полученным при испытаниях на магнито-импульсной установке (Кривошеее, Петров 2004).

При моделировании данных экспериментов применялся программный комплекс АЖУ8, дополненный модулем на языке С++. Считалось, что при моделировании на краю образца имеется дефект, разрушение которого приводит к инициации макротрещины, проходящей через весь образец. Дефект разрушается при напряжениях меньше критических для ПММА. По мере продвижения трещины вертикальные напряжения в середине моделируемой области сохранялись в каждый момент времени. Разделение образца на 2 части означало конец процесса моделирования.

Благодаря естественной симметрии задачи моделировалась только половина образца. Трещина продвигалась по линии симметрии при помощи снятия закрепления с соответствующих узлов. В качестве критерия разрушения использовался критерий инкубационного времени (8), в котором й = 2К^/па*, а т бралось соответствующим «микро» уровню, то есть, 1.5 /«. Поведение материала, как и в случае моделирования экспериментов Дж. Файнберга, полагалось линейно упругим, граничные и начальные условия полностью идентичны формулам (11).

На рисунке 4 показана история вертикальных напряжений в середине моделируемой области. Время между моментом прихода волны разгрузки и моментом полной релаксации напряжений может быть установлено из рисунка 4. Оказалось, что данное время равно 25 ЦБ для очень медленного перемещения края образца. Таким образом, инкубационное время процесса разрушения на «макро» уровне, вычисленное с помощью компьютерного моделирования совпадает с экспериментальной величиной.

Рис. 4. История растягивающего напряжения в середине образца. Время релаксации напряжения с постоянной величины до нуля соответствует инкубационному времени.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Проведенные исследования позволяют сделать следующие выводы:

1. Исследован и математически доказан эффект разрушения периодической дискретной структуры на примере цепочки и произвольного конечного числа линейных осцилляторов. Данный эффект может быть учтен как при проектировании

ео

инженерных конструкций с периодическим строением, так и при исследовании нанообъектов.

2. Разработана методика моделирования динамического движения трещин при квазистатическом нагружении на основе критерия инкубационного времени. Для этого был разработан программный код для пакета ANSYS, дополненный внешней программой на С++. Данный подход позволяет моделировать эксперименты с широким диапазоном скоростей нагружения — от квазистатического растяжения до нагружения образцов взрывом.

3. Для успешного моделирования процесса движения трещины при квазистатическом нагружении были проведены эксперименты по определению инкубационного времени разрушения на «микро» уровне.

4. Проведено численное моделирование квазистатических экспериментов по определению икубационного времени. Данный результат может быть использован в инженерной практике для быстрого и простого определения инкубационного времени процесса разрушения.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в журналах, рекомендованных ВАК РФ:

X. Yu.V. Petrov, Л .A. Gruzdkov, N.A. Kazarinov Features of the dynamic fracture of one-dimensional linear chains // Doklady Physics, 2008, vol S3, No. 11, pp. S9S-S99

2. N.A. Kazarinov, V.A. Bratov, Yu.V. Petrov Simulation of Dynamic Crack Propagation under Quasi-Static Loading // Doklady Physics, 2014, vol. 454, No. 6, pp. 557-560

3. NA Kazarinov, V.A. Bratov, Yu.V. Petrov, G.D. Fedorovsky Evaluation of Fracture Incubation Time from Quasistatic Tensile Strength Experiment // Materials Physics and Mechanics, 2014, vol. 19, No. 1, pp. 16-24

4. N. Kazarinov, V. Bratov, Y. Petrov Simulation of Dynamic Crack propagation under Quasistatic Loading // Applied Mechanics and materials, vol. 532, pp. 337-341

Публикации в других изданиях:

5. В.А. Братов, Н.А. Казаринов Критерий инкубационного времени для численных расчетов динамики разрушения // сборник статей «Успехи механики сплошных сред», 2009, Владивосток, с. 151-159

6. Н.А. Казаринов, Ю.В. Петров, В.А. Братов Моделирование пробивания керамической пластины стальным цилиндрическим ударником // Тезисы Первого Международного научно-практического семинара «Системы комплексной безопасности и защиты», 2013, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, с. 12

7. N. Kazarinov, Y. Petrov, V. Bratov Simulation of Dynamic Crack Propagation under Quasi-Static Loading // Proceedings of YSESM 2013, 2013, Bari, POLITECNICO Dl BARI, https://www.dropbox.com/sh/rxfsd6n3x7440fij/6UVehofud2

Подписано к печати 11.04.14. Формат 60 х 84 Vio . Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,57. Тираж 100 экз. Заказ 6029.

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-4043, 428-6919

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Казаринов, Никита Андреевич, Санкт-Петербург

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

04201459671

о.-Г. ¿>6.

Казаринов Никита Андреевич

Динамические и волновые особенности процесса разрыва твердых тел при их квазистатическом нагружении

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -член-корр. РАН доктор физ.-мат. наук,

профессор Петров Ю.В.

Санкт-Петербург 2014

Оглавление

Введение.......................................................................................................................................................3

Глава 1. Динамическое распространение трещин при различном нагружении..................................12

Основы механики разрушения. Эволюция критериев разрушения..................................................12

Структурно-временной критерий разрушения...................................................................................21

Зависимость а — К как характеристика процесса разрушения. Экспериментальные данные......23

Некоторые теоретические исследования динамики трещин.............................................................41

Дискретные и конечноэлементные модели в динамическом разрушении......................................48

Глава 2. Особенности динамического разрушения периодических структур на примере цепочки линейных осцилляторов...........................................................................................................................54

Постановка задачи для одномерного осциллятора............................................................................55

Система из двух осцилляторов............................................................................................................56

Цепочка из произвольного конечного количества осцилляторов....................................................59

Определение собственных частот системы....................................................................................61

Определение компонент собственных векторов матрицы жесткости.........................................62

Вывод формулы для констант, обеспечивающих выполнение начальных условий...................65

Результаты вычислений для цепочек с разным количеством звеньев........................................67

Математическое доказательство существования эффекта. Теорема Кронекера.........................69

Анализ полученного решения для цепочки и задача о продольных колебаниях упругого стержня. Явление Гиббса.....................................................................................................................70

Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений методом Дюамеля...................74

Выводы...................................................................................................................................................80

Глава 3. Численное моделирование динамического продвижения трещины при квазистатическом нагружении................................................................................................................................................82

Определение инкубационного времени из динамических экспериментов над пластинками из ПММА....................................................................................................................................................85

Методика моделирования квазистатических экспериментов Дж. Файнберга................................87

Результаты моделирования экспериментов Дж. Файнберга.............................................................91

Определение инкубационного времени из квазистатических экспериментов................................92

Моделирование экспериментов по определению инкубационного времени..................................98

Выводы.................................................................................................................................................100

Заключение..............................................................................................................................................102

Список литературы.................................................................................................................................104

Введение

Классические подходы механики разрушения, основанные на известных критериях критического напряжения и критического коэффициента интенсивности напряжений, довольно точно описывают случаи статического, квазистатического нагружения конструкций. Однако реальная инженерная практика требует применения подходов и методов, которые могли бы предсказать поведение тел при динамическом приложении нагрузки, а также при динамическом поведении системы, вызванном квазистатическим нагружением. Так расчет строительной конструкции с трещиной на сейсьмоустойчивость является распространенным примером практической инженерной задачи, в которой требуется предсказать поведение дефекта при динамическом воздействии. При этом во многих ситуациях изначально целостная структура становится дефектной в результате статического или квазистатического воздействия. Типичным примером может послужить динамическое распространение трещины в трубопроводе, которое было вызвано внезапным разрывом оболочки под действием статического внутреннего давления [1].

должна проходить верификацию через сравнение результатов расчетов с модельными экспериментами и аналитическими решениями.

В данной работе уделено особое внимание исследованию динамического поведения различных систем (дискретных и континуальных) при статическом и квазистатическом нагружении. Также рассматривается динамические процессы и при явно динамическом нагружении таком, как, например, взрывное воздействие на берега трещины. Стоит отметить, что для исследования и моделирования процессов при нагрузках разного типа применялся единый подход.

В первой главе автором дается краткий обзор проблематики распространения трещин при различных типах нагружения образцов. Приводятся экспериментальные результаты как классические для области механики разрушения, так и относительно новые. Также обсуждаются основные аналитические решения для движущихся трещин и некоторые работы по численному моделированию разрушения.

Вторая глава посвящена одной из наиболее простых и одновременно одной из наиболее информативных моделей дискретных систем - цепочке из произвольного конечного числа линейных осцилляторов. В первой части главы рассматриваются свободные колебания системы, вызванные внезапным снятием статического равномерного растяжения всей цепочки

осцилляторов. При свободных колебаниях цепочки наблюдается динамический эффект, схожий с эффектом Гиббса из теории рядов Фурье. Полное аналитическое решение системы дифференциальных уравнений, описывающих систему, позволяет автору продемонстрировать наличие динамического эффекта, вызванного статическими начальными условиями. Во второй части данной главы приводится решение для системы, возмущаемой произвольным внешним воздействием.

В третьей главе описывается моделирование динамического роста трещин при квазистатическом растяжении образцов из органического стекла. Дается математическая постановка задачи, а также описывается техническая реализация решения задачи моделирования методом конечных элементов в программном комплексе А^УБ. Описывается реализация структурно-временного подхода (Петров, Морозов 1994) в моделировании при помощи отдельной программы на языке С++. При этом затрагивается вопрос о выборе ключевого для моделирования разрушения параметра - инкубационного времени. Автором описываются различные методы экспериментального определения инкубационного времени. Описывается эксперимент, из которого было найдено инкубационное время для решения поставленной задачи моделирования. Также приводится альтернативная методика нахождения инкубационного времени через квазистатические эксперименты над образцами с трещинами. Инкубационное время трактуется как время, за которое напряжения в точке образца спадают до нулевого значения после прихода в данную точку волны разгрузки, порожденной продвижением трещины через образец. Таким образом, испытания при квазистатическом нагружении позволяют получить параметры материала, характеризующие поведение данного материала при высокоскоростном воздействии. Описание данной методики сопровождается результатами численного моделирования методом конечных элементов, результаты которого хорошо согласуются с натурными испытаниями.

Предметом исследования являются динамическое распространение трещин при различных типах нагружения, а также динамические эффекты в дискретных механических системах.

Цель работы - разработка методов моделирования динамического разрушения тел при различных типах нагружения с использованием сертифицированных программных продуктов, дополненных программной реализацией универсального критерия разрушения - критерия инкубационного времени, а также теоретическое исследование поведения дискретных периодических структур при определенных воздействиях.

Положения, выносимые на защиту:

• Возможность определения инкубационного времени из квазистатических экспериментов над образцами с боковым надрезом. За инкубационное время принимается время, которое необходимо для полного спада напряжений в растянутом образце после прихода в рассматриваемую точку волны разгрузки, сгенерированной прорастающей трещиной.

• Существование эффекта превышения изначальных деформаций в цепочке из произвольного конечного числа одинаковых осцилляторов при свободных колебаниях, вызванных снятием начальной статической нагрузки.

Методы исследований.

Достоверность результатов моделирования проверяется через сравнение полученных характеристик движения трещины с экспериментальными данными из фундаментальных для данной области исследований работ [2,3]. Эксперименты по определению инкубационного времени проводились по отработанным методикам, описанным в работе [4] и с использованием

широко распространенного в научной и инженерной практике метода каустик.

Рассмотренная в работе методика определения инкубационного времени из статических экспериментов по растяжению образцов сравнивалась с более сложными экспериментами, в которых используется уникальное оборудование по созданию кратковременных импульсов давления. Решение системы дифференциальных уравнений, описывающих колебания цепочки осцилляторов было получено с использованием точных аналитических методов, существование динамического эффекта было доказано посредством применения теорем алгебры и теории квазипериодических функций. Научная новизна и практическая ценность.

В ходе исследования проблем динамики трещин при квазистатическом нагружении была разработана эффективная методика моделирования движения трещин с использованием стандартного сертифицированного программного обеспечения, дополненного управляющей программой на С++. Использование стандартных программных продуктов обеспечивает быстрое и легкое внедрение примененных в работе методов в инженерную практику. Описанный метод нахождения инкубационного времени из квазистатических испытаний на растяжение образцов с трещиной является простой и дешевой альтернативой гораздо более дорогим испытаниям, в которых задействуется уникальное оборудование, способное создать кратковременные импульсы давления с контролируемыми характеристиками. Кроме того, в работе представлен метод нахождения инкубационного времени при помощи компьютерного моделирования. Такой подход доступен любому инженеру, не имеющему возможности проводить натурные испытания образцов материала.

В работе был впервые описан динамический эффект, возникающий при

снятии статической растягивающей нагрузки с дискретной периодической

системы на примере цепочки одинаковых линейных осцилляторов.

Существование эффекта было строго доказано математически. Данная особенность поведения дискретной периодической структуры может приводить к разрушению при свободных колебаниях рассматриваемой системы. Наличие описанного в работе эффекта может быть учтено при изучении кристаллических решеток, проектировании периодических структур, изучении нанообъектов.

Публикации автора по теме диссертации. Основные результаты работы изложены в 7 научных публикациях,4 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

Публикации в журналах, рекомендованных ВАК РФ:

1. Yu.V. Petrov, А.А. Gruzdkov, N.A. Kazarinov Features of the dynamic fracture of one-dimensional linear chains // Doklady Physics, 2008, vol. 53, No. 11, pp. 595-599

2. N.A. Kazarinov, V.A. Bratov, Yu.V. Petrov Simulation of Dynamic Crack Propagation under Quasi-Static Loading // Doklady Physics, 2014, vol. 454, No. 6, pp. 557-560

3. N.A. Kazarinov, V.A. Bratov, Yu.V. Petrov, G.D. Fedorovsky Evaluation of Fracture Incubation Time from Quasistatic Tensile Strength Experiment // Materials Physics and Mechanics, 2014, vol. 19, No. 1, pp. 16-24

4. N. Kazarinov, V. Bratov, Y. Petrov Simulation of Dynamic Crack propagation under Quasistatic Loading // Applied Mechanics and materials, vol. 532, pp. 337-341

Публикации в других изданиях:

6. Н.А. Казаринов, Ю.В. Петров, В.А. Братов Моделирование пробивания керамической пластины стальным цилиндрическим ударником //

Тезисы Первого Международного научно-практического семинара «Системы комплексной безопасности и защиты», 2013, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, с. 12 7. N. Kazarinov, Y. Petrov, V. Bratov Simulation of Dynamic Crack Propagation under Quasi-Static Loading // Proceedings of YSESM 2013, 2013, Bari, POLITECNICO DI BARI, https://www.dropbox.com/sh/rxfsd6n3x7440fu/6UVehofud2

В работе 1 Петрову Ю.В. принадлежит постановка задачи и общее руководство исследованиями; Груздкову A.A. - разработка многих математических приемов, вывод формулы для констант; соискателю принадлежит математическая постановка задачи, формула для собственных чисел матрицы жесткости системы дифференциальных уравнений, описывающих колебания цепочки осцилляторов, а также формула для компонент собственных векторов данной матрицы. Также в работе 1 соискателем был математически доказан рассматриваемый динамический эффект разрушения при внезапном снятии статической нагрузки. В работах 2, 4 и 7 Петрову Ю.В. принадлежат постановка задачи, метаматематическая постановка задачи, трактовка некоторых результатов; Братову В. А. принадлежат многие идеи, лежащие в основе моделирования, и анализ экспериментов; соискателю принадлежит код программы для пакета ANSYS, а также код внешней управляющей программы на С++. В работе 3 П