Использование статического решения в расчетах интенсивного динамического нагружения упругих конструкций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

1. • ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ "ИССЛЕДОВАНИЯ ' НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТОНКОСТЕННЫХ УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ их ИНТЕНСИВНОМ ДИНАМИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ.

1.1. Развитие теории удара и импульсного нагружения упругих элементов конструкций.

1.2. Постановка задачи на импульсное нагружение стержневой и оболочечной конструкций.

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ ТОНКОСТЕННЫХ УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ.

2.1. Разрешающие линейные уравнения динамики стержней.

2.2. Разрешающие линейные уравнения динамики оболочек вращения.

2.3. Уравнения динамики присоединенных сосредоточенных масс

2.4. Формулировка начально-краевых задач

3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ, ЗАДАЧ ДИНАМИКИ

3.1. Определение собственных частот и форм собственных колебаний на основе метода конечных элементов.

3.2. Классический метод расчета параметров напряженно-деформированного состояния конструкции при действии вынуждающей нагрузки

3.3. Квазистатический метод расчета параметров напряженно-деформированного состояния конструкции при действии возмущающей нагрузки.

4. АЛГОРИТМ И ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ РАСЧЕТА

ИМПУЛЬСНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

4.1. Построение разрешающих систем алгебраических уравнений математического обеспечения расчетов разветвленных конструкций.

4.2. Структура и описание программы

4.3. Исследование точности и сходимости алгоритма. Анализ основных типов погрешностей .'.

5. РЕШЕНИЕ ТЕСТОВЫХ И ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ПРИ ИНТЕНСИВНОМ НАГРУЖЕНИИ КОНСТРУКЦИЙ.

5.1. Сравнительный анализ методов определения динамических параметров напряженно-деформированного состояния для упругих элементов конструкций.

5.2. Расчет параметров напряженно-деформированного состояния для оболочек вращения

5.3. Расчет параметров напряженно-деформированного состояния для стержневых систем.

В современной инженерной практике большое количество расчетов стержневых и оболочечных систем связано с решением динамических задач. К настоящему времени весьма тщательно исследованы задачи, связанные с колебательными процессами в отдельных элементах конструкций, разработаны методики определения их частот и форм собственных колебаний. Использование современной вычислительной техники позволяет представлять результаты решения полной задачи динамики для различных элементов конструкций на всех ее этапах.

Однако, несмотря на достигнутые успехи, остается актуальной проблема определения напряженно-деформированного состояния систем конструктивных элементов сложной геометрической формы при их интенсивном динамическом нагружении, поскольку сложно учесть влияние всех возмущающих внешних факторов при полном учете взаимосвязей элементов между собой. Поэтому при решении задач динамики исследуемых объектов разрабатываются комплексные подходы. Суть комплексного подхода заключается в независимом описании математических моделей для отдельных конструктивных элементов и описании условий стыковки моделей согласно конструктивной схеме. Так, аналогом условия стыковки математических моделей в методе конечных элементов является ансамблирование элементов.

Большинство работ по динамике стержневых и оболочечных систем, как на основе аналитических, так и численных методов, посвящено исследованию собственных колебаний. Однако наибольший интерес представляют работы, в которых рассматриваются вопросы собственно динамического расчета, то есть вопросы определения динамических напряжений и перемещений в упругих элементах. Решение таких задач является более сложным и имеет ряд дополнительных трудностей, связанных при численной реализации с проблемами памяти ЭВМ и сходимости решения.

Существующие методы и алгоритмы расчета, как правило, ориентированы на узкий крут конкретных задач. Поэтому задача исследования НДС как элементов конструкций, так и разветвленных тонкостенных конструкций при их интенсивном динамическом нагружении актуальна и в прикладном плане, и с точки зрения создания аппарата методического и математического обеспечения решения указанного круга задач. Судя как по известной литературе, так и по инженерной практике, элементы таких комплексных исследований содержат в себе существенные аспекты научной новизны. При проведении исследований в этой области большое внимание уделяется разработке методов расчета отдельных элементов конструкций при их интенсивном динамическом нагружении.

Поскольку при моделировании расчетных схем отдельных элементов конструкций сложно учесть влияние всех возмущающих внешних факторов, в настоящей работе особое внимание уделено расчету комплексов конструктивных элементов. При этом в качестве импульсного нагружения рассматривается нагрузка силового характера.

Дальнейшее развитие методов расчета напряженно-деформированного состояния тонкостенных элементов конструкций при их импульсном нагружении может быть направлено в области кинематического характера внешнего возмущения, а также в области состояния геометрической и физической нелинейности элементов конструкций при их интенсивном динамическом нагружении.

В связи с решением в настоящей диссертации задач динамики упругих элементов конструкций в процессе силового импульсного нагружения рассматривается случай, когда длительность импульса нагружения соизмерима с периодами собственных колебаний конструктивных элементов по основному тону, то есть, когда импульс не является мгновенным. Это приводит к необходимости рассматривать состояние системы не только при свободных колебаниях после импульса, но и в течение его действия, когда имеет место сложение вынужденного движения системы и ее собственных колебаний.

Задача определения динамических напряжений и перемещений при воздействии на стержневую или оболочечную систему импульса нагружения конечной длительности решается методом собственных функций. Принципиально проблема состоит в достижении сходимости рядов или в ее улучшении в разложениях всех компонентов решения и разложениях внешней нагрузки по формам собственных колебаний.

В данной работе реализован метод выделения квазистатического решения, что существенно повышает точность расчетов стержневых и оболочечных систем при наименьшем числе форм собственных колебаний.

Впервые в численной постановке метод выделения квазистатического решения был применен Валовым В.М. [28] при исследовании напряженно-деформированного состояния оболочек вращения, подверженных действию электромагнитного импульса. Им отмечалось, что при определении максимальных напряжений квазистатическое решение само по себе дает удовлетворительную точность. При этом характер распределения напряжений и перемещений по длине меридиана оболочки для квазистатического и динамического решений качественно близки.

В настоящей работе метод выделения квазистатического решения при расчете конструкций на импульсное нагружение, а также алгоритм решения задачи динамики в целом впервые обобщены, как составные части единого математического обеспечения исследования НДС разветвленных тонкостенных конструкций при их интенсивном динамическом нагружении.

Для расчета системы конструктивных элементов требуется обобщенная постановка задачи с максимальным учетом всех ее особенностей. Такой постановке лучше всего отвечает векторно-матричная формализация задачи, при которой значительно сокращаются выводы соотношений и упрощаются математические выкладки при описание алгоритма решения, как на простых, так и на сложных моделях конструктивных элементов. Поэтому, представляется естественным оформление математических моделей стержневых и оболочечных систем, а также методов решения задачи динамики в векторно-матричном виде, что и сделано в настоящей работе.

В основу описания напряженно-деформированного состояния стержней и оболочек вращения положены гипотезы Кирхгофа-Лява и Тимошенко.

При решении динамической задачи используется метод разделения переменных, а также производится дискретизация стержневой или оболочечной систем методом конечного элемента. Для расчета характеристик элементов используется линейная система разрешающих дифференциальных уравнений, решение которой строится на основе метода начального параметра.

Численная реализация метода выделения квазистатического решения осуществлена для различных форм импульсного нагружения - постоянного, возрастающего, убывающего, синусоидального и квадрата синуса. Эффективность нового метода показана при временах действия импульсной нагрузки, сравнимой с частотой первого тона колебаний стержневой или оболочечной конструкций, а также в случаях, когда импульс существенно длиннее или короче периода колебаний по основному тону.

Задача динамики полностью решается численно, включая расчет временной функции, что позволяет использовать в ней любые граничные и начальные условия. При этом программа протестирована на аналитических решениях, на что отдельно указывается в каждой главе.

Необходимо отметить, что задачи динамической устойчивости в настоящей работе не рассматриваются, хотя динамическую устойчивость необходимо учитывать при высоко интенсивном нагружении. То есть следует осторожно относиться к результатам расчета при большой амплитуде внешней нагрузки.

Диссертация состоит из пяти глав, выводов по диссертации, четырех приложений и списка литературы.

В первой главе представлен обзор литературы, посвященный развитию методов расчета упругих элементов конструкций при их интенсивном нагружении, начинал от элементарных методов, суть которых сводится к исследованию процессов соударения двух тел простой геометрии, и заканчивая методами расчета напряженно-деформированного состояния конструктивных элементов сложной геометрии. Кроме этого, формулируется постановка рассматриваемой в настоящей работе задачи по определению напряженно-деформированного состояния разветвленных стержневых и обол очечных систем при их импульсном нагружении.

Во второй главе описаны математические модели для стержней замкнутого кругового профиля на основании гипотез Тимошенко и для - тонкостенных оболочек вращения на основании гипотез Кирхгофа-Лява.

При вычислении напряженного состояния стержней очень часто оказывается необходимым учитывать в реальных стержневых системах влияние присоединенных масс. Поэтому к модели динамического деформирования стержней добавляются дополнительные уравнения движения масс и связи обобщенных перемещений на концах стержней, описанные во второй главе.

Для возможности численного исследования математических моделей динамического деформирования упругих конструкций формулируются векгорно-матричные соотношения начально-краевых задач. Эти соотношения используются для численного расчета напряженно-деформированного состояния элементов конструкции при их импульсном нагружении.

Описанию численных методов расчета нестационарных задач динамики посвящена третья глава. На основании обзора научной литературы выявлено, что существует два основных метода определения полного динамического решения при импульсном нагружении тонкостенных элементов конструкций. Первый, классический, метод основан на разложении решения в ряд по формам собственных колебаний. Второй, менеее известный и менее разработанный, метод основан на выделении квазистатической составляющей. В свою очередь, для расчета разветвленных тонкостенных элементов конструкции, подробно освещен метод конечных элементов.

В четвертой главе изложены алгоритмы разработанного программного модуля, с помощью которого можно вычислять параметры напряженно-деформированного состояния стержневых и оболочечных элементов конструкций и их систем при интенсивном импульсном нагружении.

Поскольку решение задачи динамики осуществляется на основе метода конечных элементов, то на параметры дискретизации упругих элементов необходимо накладывать некоторые ограничения. Об этих ограничениях свидетельствует проведенное исследование по сравнению найденных программой значений с известными значениями собственных частот и форм собственных колебаний при различных параметрах дискретизации упругих элементов конструкции.

В пятой главе представлены тестовые и практические результаты расчетов для полной задачи динамики. На тестовых задачах проведен сравнительный анализ классического и квазистатического решений полной задачи динамики при импульсном нагружении оболочечных и стержневых элементов конструкций.

В конце диссертации кратко сформулированы основные ее выводы и результаты.

В приложении 1 представлен вывод матрицы преобразования базисов для стержней кругового поперечного сечения.

В приложении 2 выведен коэффициент сдвига сечения кругового стержня, который учитывается в математической модели стержня в случае отказа от гипотезы плоских сечений.

В приложении 3 представлена разрешающая система уравнений динамического деформирования пространственного криволинейного стержня, полученная на основании гипотезы Тимошенко с учетом коэффициента сдвига и разрешающая система уравнений динамического деформирования тонких оболочек вращения, составленная на основании гипотезы Кирхгофа-Лява.

В приложении 4 приведено тестирование алгоритма поиска полного решения задачи динамики квазистатическим методом. Тест проведен, на брусе в уравнениях математической физики.

В приложении 5 приведены результаты решений задач динамики для составной и разветвленной оболочек вращения, полученные с помощью разработанного программного комплекса.

Основные результаты, представленные в диссертации, были доложены на семинарах и конференциях. г

На защиту выносится метод, алгоритм и программный комплекс расчета напряженно-деформированного состояния тонкостенных элементов конструкций, стержневых систем сложной геометрии, составных разветвленных многослойных упругих осесимметричных физически и конструктивно ортотропных оболочечных конструкций при динамических силовых нагрузках импульсного характера.

Реализованный в программном продукте квазистатический метод решения динамических задач позволяет с необходимой точностью производить расчеты напряженно-деформированного состояния и прочности проектируемых конструкций с учетом конструктивных особенностей при реальных условиях нагружения, а также при переменных вдоль осевого направления и неосесимметричных в окружном направлении нагрузках.

Разработанный программный модуль может быть использован, как основной структурный элемент:

- для расчетов тонкостенных конструкций сложной структуры на малоцикловую прочность при ударно-импульсных нагружениях;

- для ускоренных (форсированных) испытаний реальных конструкций новой техники.

1. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТОНКОСТЕННЫХ УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ ИХ ИНТЕНСИВНОМ ДИНАМИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ.

В настоящее время известно большое количество теорий, связанных с исследованиями методов определения напряженно-деформированного состояния упругих элементов конструкций при их интенсивном динамическом нагружении.

Изучение интенсивного динамического нагружения начиналось с исследования процессов, происходящих при ударном взаимодействии твердых тел. Затем делались попытки описать внутреннее состояние материала при соударении упругих тел. Результатом продолжительного углубленного изучения физики ударного процесса было формулирование различных теорий для частных конструктивных объектов, позволяющих достаточно достоверно определять их прочность и долговечность. По этим методам можно решать задачи и об импульсном нагружении упругих элементов конструкций. Различие ударного и импульсного нагружения сказывается в характере внешнего нагружения на отдельный элемент конструкции. Об этих различиях будет сказано в разделе 1.1.

Особо следует отметить, что основным критерием применимости той или иной теории ударного или импульсного нагружения является критерий скорости нагружения. В настоящей работе рассматриваются импульсные воздействия, скорости изменения которых существенно меньше скорости распространения возмущений от них в материале упругих элементов. Именно для таких импульсных воздействий и представлена постановка задачи в разделе 1.2 для стержневых и оболочечных систем.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ.

1. В работе рассмотрена имеющая важное практическое значение задача по расчету тонкостенных упругих элементов конструкций при действии импульсных нагрузок высокой интенсивности.

2. Проведенный анализ обзора литературы показал, что использование классического метода разложения по формам собственных колебаний для задач импульсных нагружений упругих элементов' конструкций приводит к медленно сходящимся рядам. В таких условиях численная реализации этого метода либо сопровождается неустранимыми погрешностями, либо связана с существенным увеличением трудоемкости решения. Одним из путей выхода из этой ситуации является разработка новых методик расчета параметров НДС упругих элементов конструкций при их импульсном нагружении. В связи с этим:

2.1. Разработана методика расчета задач динамики о вынужденных колебаниях упругих элементов конструкций при их импульсном нагружении, в которой реализован квазистатический метод.

2.2. На основе известных аналитических решений с помощью комплекса Mathcad 6.0 PLUS проведено исследование классического и квазистатического методов расчета параметров напряженно-деформированного состояния упругих конструктивных элементов при их импульсном нагружении. Исследование показало, что при действии импульсов длительностью более 0.01 периода собственных колебаний по основному тону решение динамической задачи квазистатическим методом менее трудоемко, чем решение этой же задачи классическим методом, а положение фронта волны удовлетворительно описывается квазистатическим методом даже при одной учитываемой форме колебаний.

2.3. Разработан алгоритм решения задач динамики квазистатическим методом.

2.4. Разработан программный модуль, реализующий алгоритм решения задач динамики квазистатическим методом.

3. Использованная в разработанном программном модуле, векторно-матричная формализация начально-краевых задач при решении задач динамики упругих элементов конструкций при их импульсном нагружении позволила с помощью единого алгоритма рассчитывать как стержни, так и оболочки вращения. Это указывает на возможность адаптирования разработанной программы под различные математические модели упругих элементов конструкций.

4. Реализованный в вычислительном'модуле метод конечных элементов позволяет рассчитывать не только отдельные конструктивные элементы, но и разветвленные стержневые системы и составные оболочки вращения.

5. Программный модуль протестирован на геометрически элементарных упругих конструктивных элементах при различных интенсивностях и временных формах импульса нагружения. Полученные результаты путем сравнения нашли подтверждение с имеющимися или найденными точными решениями.

6. Решен ряд прикладных задач динамики разветвленных упругих элементов конструкций при их силовом импульсном нагружении, а именно:

- трубопровода энергетической установки;

- силовой рамы двигателя.

Результаты расчетов показали преимущество квазистатического метода перед классическим при решении динамических задач об импульсном нагружении упругих элементов конструкций, так как именно с его помощью достигается достаточно быстро сходящееся решение по параметрам НДС.

7. Разработанная в диссертации методика решения полных динамических задач об импульсном нагружении разветвленных тонкостенных упругих элементов конструкций с выделением квазистатической составляющей и созданный на ее основе вычислительный программный модуль внедрены в РКК «Энергия» им. С.П. Королева и реализованы в практической деятельности корпорации, о чем свидетельствует акт внедрения.

1. Айнола Л.Я., Нигул У.К. Волновые процессы деформации упругих плит и оболочек. 1. Изв. АН Эст. ССР, сер. физ.-матем. и техн. наук, 1965. Т. 14, № 1.С. 3-63.

2. Александров A.B., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности: М.: Высшая школа, 1990. - 400 с.

3. Александров Е.В., Соколинский В.Б. Прикладная теория и расчетударных систем. -М.: Наука, 1969. 199 с.

4. Алфутов H.A., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов: М.: Машиностроение, 1984. -263 с.

5. Амбарцумян С.А. К общей теории анизотропных оболочек. II Прикладная математика и механика. 1958. Т. 22. Вып. 2. С. 227-237.

6. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974.-446 с.

7. Аронсон А.Я. Об одном варианте построения обобщенной теории стержней. II Динамика и прочность упругих и гидроупругих систем. -М.: Наука, 1975.

8. Баженов В.Г., Батанин М.А. Исследование упругопластических процессов деформации круглых пластин при импульсном нагружении с учетом больших прогибов. II Прикладная механика. 1978. Т. 34. Вып. 3. С. 74-78.

9. Баженов В.Г., Кибец А.И. Численное моделирование трехмерных задач нестационарного деформирования упругоппастических конструкций ■методом конечных элементов. //Изв. РАН. МТТ. 1994. № 1. С.52-57.

10. Батуев Г.С. , Голубков Ю.В. и др. Инженерные методы исследований ударных процессов. -М.: Машиностроение, 1977. -240 с.

11. Бердичевский В.Л. Вариационные методы построения моделей оболочек. //ПММ. 1972. Т. 36. Вып. 5. С. 788-804.

12. Бердичевский В.Л. Об уравнениях, описывающих поперечные колебания тонких упругих пластин. II Изв. АН СССР, МТТ. 1972/ № 6. С. 152-155.

13. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. -М.: Наука, 1983. -427 с.

14. Бердичевский В.Л., Квашина С.С. Об уравнениях, описывающих поперечные колебания упругих стержней. // Прикладная математика и механика. Вып. 1. 1976. С. 120-135.

15. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Физматгиз, 1960. Т. 2. -620 с.

16. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1977. - 458 с.

17. Бидерман В.Л. Прикладная теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1972.-416 с.

18. Бидерман В.Л. Теория удара. -М.: Машиностроение, 1952. 76 с.

19. Биргер И.А. Круглые пластинки и оболочки вращения. М.: Оборонгиз, 1961.-367 с.

20. Биргер И.А. Расчет на прочность деталей машин: Справочник. М.: Машиностроение, 1993. - 640 с.

21. Болотин В.В., Байченко Г.А. Исследование прощелкивания упругих оболочек под действием динамических нагрузок. II Расчеты на прочность. № 5, 1960.

22. Болотин В.В. О изгибе плит, состоящих из большого числа слоев. // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1964. № 1. С. 61-66.

23. Болотин В.В. Плоская задача теории упругости для деталей из армированных материалов. II Расчеты на 'прочность. М.: Машиностроение, 1966. Вып. 12. С. 3-31.

24. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций.- М.: Машиностроение, 1980, 375 с.

25. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.: ГИТТЛ, 1964. - 523 с.

26. Вазов В.Р., Форсайт Г.Е. Разностные методы решения дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1963. - 487 с.

27. Валов В.М. Напряженно-деформированное состояние оболочек вращенияпеременной толщины при действии импульсного давления. М.: МВТУ, 1974. - 165 с.

28. Векуа И.Н. Об одном варианте теории тонких пологих оболочек. -Новосибирск, 1964.

29. Векуа И.Н. Теория тонких и пологих оболочек переменной толщины. -Новосибирск, 1964.

30. Власенко В.М., Феоктистов В.И. Удар. Теория. Практика.- Владивосток: Изд-во Дальневосточного ун-та, 1987. 158 с.

31. Воробьев Ю.С. Теория закрученных стержней. Киев: Наукова думка, 1983. -188 с.

32. Воробьев Ю.С. Исследования колебаний систем элементов турбоагрегатов. Киев: Наукова думка, 1978. - 135 с.

33. Воронов В.И. и др. Фокусирующие устройства для нейтринных экспериментов. // Труды IV Международной конференции по ускорителям. -М.: 1964. С. 70-93.

34. Гаврюшин С.С., Коровайцев A.B. Методы расчета элементов конструкций на ЭВМ. М.: Изд-во Всесоюз. заоч. политехи, ин-та, 1991.-160 с.

35. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. - 428 с.

36. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1973.

37. Голубев О.Б. Обобщение теории тонких криволинейных стержней. II Труды J IHM № 226. Л.: Машиностроение, 1963.

38. Гольденвейзер А.JI. Построение приближенной теории изгиба пластинки методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости. II ПММ, 1962. Т. 26. Вып. 4. С. 668-686.

39. Грудев И.Д. Колебания криволинейных стержней. М.: МФТИ, 1972,- 342 с.

40. Гуляев В'.И., Никитин С.К. Волновые процессы в упругой цилиндрической оболочке переменной толщины. II Прикладная механика, 1875. Т. II. Вып. 4. С. 37-41.

41. Девятериков С.А. Анализ пружинных механизмов и разработка методов их проектирования при динамическом нагружении с инерционным соударением витков. Ижевск: 1992. - 196 с.

42. Джанелидзе Г.Ю. Теория тонких криволинейных стержней обладающих в поперечном сечении недеформируемым контуром. II Прикладная математика и механика. № 1, 1944. С. 47-59.

43. Динамика и прочность машин II сборник статей, под ред. Светлицкого В.А. М.: МВТУ, №332, 1980. - 161 с.

44. Елесин A.B. Численное моделирование нелинейного деформирования композитных оболочечных конструкций вращения при неосесимметричных импульсных и ударных воздействиях. Н.-Новгород, 1996. - 194 с.

45. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.

46. Илюхин A.A. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. Киев: Наукова думка, 1979. - 216 с.

47. Каплунов Ю.Д. Высокочастотные напряженно-деформированные состояния малой изменяемости в упругих тонких оболочках. II МТТ. 1990. №5. С. 147-157.

48. Каплунов Ю.Д. Распространение нестационарных упругих волн в оболочке общего очертания. II МТТ. 1992. № 6. С. 156-167.

49. Каплунов Ю.Д., Кириллова И.В., Коссович Л.Ю. Асимптотическое интегрирование динамических уравнений теории упругости для случаятонких оболочек. П Прикладная математика и механика, 1993. Т. 57. Вып. 1. С. 83-91.

50. Карпачев А.Ю. Вариационный подход к анализу стержневой модели трубопроводов систем автоматики. /УМежвуз. сб. науч. тр./ ВЗМИ. М.:1. V,1986. С. 14-24.

51. Кильчевский H.A. Обобщение современной теории оболочек. II ПММ, 1939. Т. 2. Вып. 4. С. 427-438.

52. Кильчевский H.A. Основы аналитической механики оболочек, ч. 1.- Киев: Изд-во АН УССР, 1963. 354 с.

53. Кильчевский H.A. Теория нестационарных динамических процессов в оболочках. //Прикладная механика. 1968. Т. 4. Вып. 3. С. 1-18.

54. Кильчевский H.A. Динамическое контактное сжатие твердых тел.- Киев: Наукова думка, 1969. 320 с.

55. Кильчевский H.A. Теория соударения твердых тел. Киев: Наукова думка, 1969.-246 с.

56. Кирхгоф Т. Механика. М.: Изд-во АН СССР, 1962. - 402 с.

57. Кобелев В.Н., Потопахин В.А. Динамика многослойных оболочек.- Ростов н/Д.: изд-во Ростовского ун-та, 1985. 159 с.

58. Колебания. Устойчивость. Прочность.! Под ред. Биргера И.А. в 3-х томах.- М.: Машиностроение, 1968.

59. Колозезный А.Э. Упругопластическое НДС конструкций, подверженных ударным силовым воздействиям. М.: МФТИ, 1994. - 91' с.

60. Котенко Е.Э. Динамика гибких стержней при сложном пространственном ' движении. Киев: 1990. - 177 с.

61. Кошляков Н.С. Дифференциальные уравнения математической физики.- М.: Физматгиз, 1962. 767 с.

62. Крылов А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. - 368 с.

63. Кукуджайов В.Н., Кондауров В.И. Численное решение неодномерных задач динамики твердого тела. II Проблемы динамики упругопластических сред. М.: Мир, 1975. С. 39-84.f

64. Лахе А .Я., Нигул У. К. Алгоритм метода характеристик для анализа нелинейных одномерных волновых. процессах деформаций конических и цилиндрических оболочек. II ПММ, 1971. Т. 35, № 4.

65. Лиходед А.И. О сходимости метода разложения по собственным формам колебаний в задачах динамического нагружения. // Изв. АН СССР, МТТ, № 1. 1986. С. 180-188.

66. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: ГИФМЛ, 1961. - 824 с.

67. Лурье А.И. О малых деформациях криволинейных стержней. II Труды ЛПИ. №3,-Л.: 1941.

68. Ляв А. Математическая теория упругости. М.: Гостехиздат, 1935.- 674 с.

69. Малышев Б.М. Экспериментальное подтверждение теории Сен-Венана. // Изв. АН СССР. МТТ. 1967, №5. С. 174-180.

70. Метод конечных элементов в механике твердых тел. / Под общ. ред. A.C. Сахарова и И. Альтенбаха. Киев: Вища школа. Головное изд-во, 1982.

71. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.-512 с.

72. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966.- 432 с.

73. Мяченков В.И., Мальцев В.П. Методы и алгоритмы расчета пространственных конструкций на ЭВМ ЕС. М.: Машиностроение, 1984.- 277 с.

74. Николаев А.П. Применение метода конечных элементов к расчету оболочек вращения с ветвящимся меридианом. //Строительная механика и расчет сооружений. 1988, №3. С. 14-17.

75. Николаи Е.Л. К задаче об упругой линии двоякой кривизны. II Труды по механике. М.: ОГИЗ, 1955. С. 45-277.

76. Новожилов В.В. Теория упругости. Д.: Судпромгиз, 1958. - 370 с.

77. Новожилов В.В., Слепян Л.И. О принципе Сен-Венана в динамикегстержней. II Прикладная математика и механика, 1965. Т. 29, № 2. С. 261-281.

78. Новожилов В.В., Финкелыптейн Р.М. О погрешности гипотез Кирхгофа-Лява в теории оболочек. IIПММ, 1943. Т. 7. № 5. С. 331-340.

79. Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. М.: Высшая школа, 1985.-392 с.

80. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976.-464 с.

81. Панов Д.Ю. Численное решение квазилинейных гиперболических систем дифференциальных уравнений в частных производных. М.: Гостехиздат, 1957.-216 с.

82. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. М.: Наука, 1991.-255 с.

83. Пановко Я.Г., Губанова И.Н. Устойчивость и колебания упругих систем. -М.: Наука, 1967.-329 с.

84. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. Л.: Машиностроение, 1976. - 320 с.

85. Полищук Д.Ф. Разработка обобщенной теории цилиндрических пружин для проектирования и эксплуатации механизмов при статическом и динамическом нагружениях. Челябинск: ЧПИ, 1983. - 417 с.

86. Пономарев С.Д. и др. Расчеты на прочность в машиностроении. Т.З.- М.: Машиностроение , 1959. 1116 с.

87. Понятовский В.В. Асимптотическая теория изгиба кривого бруса. // Исследования по упругости и пластичности. 1973, №9. С. 341-359.1. V/

88. Попов Е.П. Нелинейные задачи' статики тонких стержней. М.: Гостехиздат, 1948. - 178 с.

89. Рахматуллин Х.А., Демьянов Ю.А Прочность при интенсивныхгдинамических нагрузках. М.: Физматгиз, 1961. - 399 с.

90. Риз П.М. Деформации стержней закрученных и слабо изогнутых в ненапряженном состоянии. II Труды ЦАГИ № 471. М.: 1940. С. 37-43.

91. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин.- Рига: Зинатне, 1988. 284 с.

92. Рикардс Р.Б., Снисаренко В.И. Деформирование при ударе балок из гибридных композитов. II Механика композитных материалов. 1985, № 1. С. 97-103.

93. Рихтмаер Р.Д., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач.- М.: Мир, 1972.-418 с.

94. Рихтмаер Р.Д. Разностные методы решения краевых задач. М.: ИЛ, 1960.

95. Рождественский Б.Л., Яненко Н.И. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1978. - 687 с.

96. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. М.: Наука, 1992.-423 с.

97. Светлицкий В.А. Механика гибких стержней и нитей. М.: Машиностроение, 1978. - 226 с.

98. Светлицкий В.А. Механика стержней. 4.1,2. М.: Машиностроение, 1987.

99. Светлицкий В.А. Механика трубопроводов и шлангов. М.: Машиностроение, 1982. - 279 с.

100. Светлицкий В.А. Случайные колебания механических систем. М.: Машиностроение, 1976. - 215 с.

101. Седов JI.И. Математические методы построения новых моделей сплошных сред. II Успехи математических наук, 1965, т. 20, № 5.

102. Такэда. О коэффициенте восстановления. // Р.Ж. Механика. 1956. Реферат № 1282. С. 362-363.

103. Тимошенко С.П., Янг Д.Ч., Уивер У. Колебания в инженерном деле.- М.: Машиностроение, 1985.-471 с.

104. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М.: Физматгиз, 1962.- 536 с.

105. Филлипов А.П., Кохманюк С.С., Воробьев Ю.С. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций. Киев: Наукова Думка, 1974. - 176 с.

106. Хвингий М.В. Вибрация пружин. М.: Машиностроение, 1969. - 295 с.

107. Шорр Б.Ф. Изгибно-крутильные колебания закрученных компрессорных лопаток. II Прочность и динамика авиационных двигателей. Вып. 1. 1964. С. 15-27.

108. Штаерман И.Я. О применении метода асимптотического интегрирования к расчету упругих оболочек. II Изв. КПИ, 1924. Т. 1. Вып. 2.