Численное исследование динамического нагружения конденсированной среды с полиморфными фазовыми переходами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

1 ВВЕДЕНИЕ.

1.1 Изучаемые физические процессы и цели работы.

1.2 Практические приложения изучаемых процессов.

1.3 Обзор работ по изучению ударноволнового деформирования и разрушения твердых сред.

1.3.1 Экспериментальные исследования.

1.3.2 Численное моделирование.

1.3.3 Традиционные численные методы интегрирования уравнений движения среды со свободными поверхностями.

2 ЯВЛЕНИЯ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ПРИ ИМПУЛЬСНОМ НАГРУЖЕНИИ КОНДЕНСИРОВАННОЙ СРЕДЫ,

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ.

2.1 Способы динамического нагружения твердых сред.

2.1.1 Воздействие ударной нагрузки на образец.

2.1.2 Взаимодействие детонационной волны с металлом при контактном взрыве.

2.2 Фазовые превращения среды и их влияние на распространение возмущений.

2.2.1 Фазовые превращения.

2.2.2 Ударные волны разрежения.

2.2.3 Расщепление ударных волн сжатия.

2.3 Упругопластичность среды и ее влияние на распространение возмущений.

2.4 Режимы отражения ударных волн от плоскости симметрии

2.5 Разрушение

2.6 Математическая модель.

2.6.1 Основные уравнения.

2.6.2 Уравнение состояния.

2.6.3 Граничные условия.

2.6.4 Начальные условия.

2.6.5 Учет нарушения сплошности среды.

3 ЧИСЛЕННАЯ СХЕМА.

3.1 Введение.

3.1.1 Характерные особенности задачи и требования к методу моделирования.

3.2 Сравнение некоторых схем.

3.3 Численная схема для решения уравнений на треугольной сетке.

3.3.1 Эйлеров этап.

3.3.2 Лагранжев этап.

3.3.3 Устойчивость.

3.3.4 Реализация граничных условий на нагружаемой и свободной поверхностях.

3.4 Расчетная сетка.

3.4.1 Начальная сетка.

3.4.2 Адаптация.

3.5 Тестирование алгоритма.

3.5.1 Соударение двух плоских пластин.

3.5.2 Распад разрыва поля давления.

3.5.3 Распад цилиндрического разрыва.

3.5.4 Сужающийся сверхзвуковой поток идеального газа.

3.5.5 Сходимость решения по расчетным сеткам.

4 РЕЗУЛЬТАТЫ.

4.1 Одномерные задачи.

4.1.1 Натружение взрывом.

4.1.2 Нагружение ударом.

4.2 Исследование косого взаимодействия ударных волн.

4.2.1 Постановка задачи и известные экспериментальные данные.

4.2.2 Тестовая задача: нерегулярное взаимодействие ударных волн в алюминии.

4.2.3 Регулярные режимы взаимодействия волн в железе.

4.2.4 Нерегулярные режимы взаимодействия волн в железе.

4.2.5 Давление на оси симметрии.

4.3 Схождение конической волны.

4.4 Исследование взаимодействия двух синхронных взрывных импульсов.

1.1 Изучаемые физические процессы и цели работы.

Настоящая работа посвящена численному исследованию динамического (ударного и взрывного) нагружения конденсированной среды, способной претерпевать полиморфные фазовые переходы. Прежде всего поясним, какие среды имеются в виду. Многие твердые вещества могут при разных условиях пребывать в различных кристаллических модификациях. При некоторых значениях давлений и температур, связанных определенной зависимостью, возможны переходы из одной модификации в другую. Эти переходы сопровождаются изменением объема. Они являются фазовыми переходами первого рода и называются полиморфными превращениями вещества. Например, полиморфное превращение а-железа в е-железо, графит —> алмаз, превращения в минералах, в ионных кристаллах, сульфиде кадмия, кварце, нитриде бора и т.д.

Процессы, происходящие в твердом теле под действием быстро изменяющейся нагрузки, фундаментальным образом отличаются от имеющих место в статическом или квазистатическом случае. При квазистатической деформации в любой момент времени мы имеем статическое равновесие, т.е. сумма сил, действующих на любой элемент тела, близка к нулю. Когда же деформация передается снаружи с очень большой скоростью, одна часть тела сжата, в то время как другая еще не почувствовала этой нагрузки. Таким образом, в то время как квазистатическая деформация может рассматриваться как последовательность состояний равновесия динамическая обычно включает в себя распространение волн. Поэтому динамическая деформация конденсированной среды является предметом изучения гидродинамики.

Рассмотрим общую схему процессов, происходящих при динамическом нагружении взрывом или ударом. При взрыве заряда конденсированного взрывчатого вещества на поверхности образца материала образующаяся детонационная волна, воздействуя на образец, формирует в нем импульс, состоящий из ударно-волнового сжатия и затем постепенной разгрузки, вызванной разлетом продуктов детонации. По образцу распространяется ударная волна сжатия и волны разрежения. При соударении ударника с образцом со скоростью удара, сравнимой со скоростью звука в рассматриваемой среде, в мишени и ударнике формируются ударные импульсы по форме близкие к прямоугольным. Генерируемые в момент соударения скачки сжатия движутся от контактной поверхности в толщу мишени и ударника. Основными параметрами, влияющими на характер соударения двух тел или взрывного нагружения тела, являются скорость соударения или мощность взрыва и геометрия тел. Изменением плотности и массы накладного заряда, также как и скорости ударника можно варьировать давления, достигаемые при нагружении образца. При рассматриваемых в данной работе скоростях соударения (порядка 1 км/с), а также при взрывном нагружении возникающие в образце давления намного превышают упругие и прочностные характеристики материала, но еще не происходит плавления материала в ударных волнах.

Поверхность образца, к которой приложена взрывная нагрузка назовем нагружаемой, поверхность соударения ударника с мишенью - контактной, а границу образца с окружающей воздушной средой - свободной поверхностью. Волны сжатия взаимодействуют со свободными границами образцов, образуя вторичные волны разрежения, распространяющиеся внутрь. Течение характеризуется развитой волновой структурой и сильно деформирующимися свободными поверхностями.

Взаимодействие первичных и вторичных волн разрежения в толще материала вызывает растягивающие напряжения, превышающие порог прочности, и приводит к разрушению образца. Разрушение, обусловленное взаимодействием волн разрежения, называется отколом.

При определенных условиях рассмариваемые среды в ударных волнах и волнах разрежения претерпевают фазовые переходы, что, в свою очередь, оказывает существенное влияние на распространение этих волн и, в частности, приводит к расщеплению фронтов ударных волн и к образованию ударных волн разрежения. Такая структура течения является причиной разнообразия форм разрушения: многоволновая структура взаимодействующих импульсов является причиной множественных отколов, а при взаимодействии ударных волн разрежения формируются тонкие области с большими растягивающими напряжениями и откольные поверхности получаются гладкими.

Интересным случаем является нагружение материала, способного претерпевать фазовые переходы, несколькими пространственно разнесенными взрывами или ударами. При этом в образце формируется сложная нестационарная картина взаимодействия волн, включающая в себя регулярное и маховское взаимодействие, и вызывающая образование нескольких областей разрушения с гладкими и шероховатыми поверхностями. Исследование такого нагружения и является целью данной работы.

Таким образом, при динамическом наружении твердых сред проявляется множество упомянутых физических процессов. Аналитическое исследование этих явлений возможно лишь в некоторых идеализированных ситуациях, например, когда интенсивность ударных волн мала. Экспериментальный подход дорог и трудоемок, кроме того он не дает полной информации о процессе, так как ни один из существующих экспериментальных методов не позволяет определить все параметры, характеризующие состояние среды в каждой точке течения. Поэтому численное моделирование представляется эффективным методом, дающим исчерпывающую информацию о течении и позволяющим исследовать влияние различных процессов на течение в целом, а также взаимосвязь этих процессов. Кроме того, вычислительный эксперимент постоянно дешевеет по сравнению с физическим и является более мобильным благодаря легкости смены параметров задачи, таких как геометрические параметры образца, материал, начальные условия и т.п. Вместе с тем, необходимо давать себе отчет о корректности используемой модели и метода расчета, что требует дополнительных усилий по тестированию метода на системе специально подобранных модельных задач, содержащих наиболее существенные черты изучаемых процессов. Построению адекватного инструмента для численного моделирования ударноволнового деформирования конденсированной среды с полиморфными фазовыми переходами посвящена большая часть настоящей работы.

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Рассмотрены основные физические явления, происходящие в конденсированной среде, способной претерпевать полиморфные фазовые переходы в ударных волнах, под воздействием ударных и взрывных нагрузок.

2. Сформулирована математическая модель импульсного нагружения конденсированной среды, учитывающая полиморфные фазовые переходы и образование областей нарушения сплошности при взаимодействии волн разрежения.

3. Получено аналитическое решение задачи о регулярном взаимодействии ударных волн в среде с полиморфными фазовыми переходами. Определены критические углы перехода от регулярного взаимодействия к маховскому в зависимости от интенсивности взаимодействующих волн для железа.

4. Создан эффективный алгоритм расчета течений сжимаемой жидкости со свободными поверхностями с сильно нелинейным уравнением состояния. Он основан на численной схеме с ограниченной вариацией повышенного порядка точности и методе конечных объемов в приложении к подвижной (лагранжевой) неструктурированной адаптивной расчетной сетке.

5. Классифицированы и подробно описаны различные случаи распространения волн и формирования разрушения в плоском образце Исследовано влияние задаваемой откольной прочности на результаты расчета. Исследовано влияние задаваемой откольной прочности на результаты расчета.

6. Получены подробные автомодельные волновые картины при различных режимах регулярного и слабого маховского взаимодействия ударных волн в железе, которые реализуются в зависимости от интенсивности сталкивающихся волн, определен рост относительного давления на оси симметрии за отраженными волнами в различных случаях.

7. Исследованы нестационарные волновые картины течения при взаимодействии двух взрывных импульсов в железе. Объяснен и проиллюстрирован эффект образования области нарушения сплошности на оси симметрии при синхронном взрыве двух зарядов ВВ на поверхности железного образца.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

1. Дерибас А.А. Физика упрочнения и сварки взрывом. -Новосибирск: Наука, 1980г.

2. Shiramoto К., Kira A. et al. A new explosive welding technique method using reflected underwater shock wave.// in Impact Engineering and Application, 2001 Elsevier Science Ltd., p.923.

3. Новиков С.А., Дивнов И.И., Иванов Г.И. Исследование разрушения стали, алюминия и меди при взрывном нагружении //Физика металлов и металловедение, 1966,т.21, вып.4, с.609-612

4. Михайлов Н.П. Способ взрывного разрезания твердых материалов и устройство для его применения. Патент РФ №2119398 от 30.05.97 г.

5. Альтшулер Л.В. и др. Развитие в России динамических методов исследований высоких давлений // Успехи физических наук.- 1999.- №3.- т.169

6. Трунин Р.Ф. Ударные адиабаты металлов / В сб. ударные волны и экстремальные состояния вещества, под ред. В.Е.Фортова и др.,М. Наука, 2000

7. Калиткин Н.Н. Широкодиапазонные ударные адиабаты / В сб. ударные волны и экстремальные состояния вещества, под ред. В.Е.Фортова и др.,М. Наука, 2000

8. Bancroft D., Peterson E.L., Minshall S. // Journal of applied physics,1956, Vol.27, p.291-298

9. Ментешов E.B., Ратников В.П., Рыбаков А.П. и др. Действие взрыва листового заряда ВВ на алюминиевую пластину // ФГВ, 1967, т.З, №2

10. Рыбаков А.П., Ментешов Е.В., Шавков В.П. Действие взрыва листового заряда ВВ на металлические пластины // ФГВ, 1968, т.4, №1

11. Рыбаков А.П.Отколы в стали при нагружении с помощью взрыва листового заряда ВВ и удара пластиной // ПМТФ, 1977,№1,с. 151-154

12. Молодец A.M. Измерение откольной прочности трех сталей.- В сб.: Детонация.Критические явления. Черноголовка, 1978

13. Канель Г.И., Щербань В.В.// ФГВ, 1980, №4, с.93-103

14. Ананьин А.В., Дремин А.Н., Канель Г.И. Полиморфное превращение железа в ударной волне. // Физика горения и взрыва, 1981, №3, с.93-102

15. Б.М.Бучер, JI.M. Баркер, Д.Е.Мансон и др. Влияние предыстории напряженного состояния на нестационарный откол в металлах //Ракетная техника и космонавтика, 1964, №6.

16. Канель ТЖ.// ФГВ, 1982, №3, с.77-84

17. Канель Г.И.,Разоренов С.В. Ударноволновое нагружение металлов. Движение поверхности образца. Препринт. Черноголовка, ОИХФ АН СССР, 1989

18. Глузман В.Д., Канель Г.И., Лоскутов В.Ф. и др. // Проблемы прочности, 1985, №8, с.52

19. Альтшулер Л.В., Тарасов Д.М., Сперанская М.П. // Физика металлов и металловедение. 1962, т. 13,№с.738.

20. Альтшулер Л.В. // Успехи физических наук, 1965, т.85, №2 с.197

21. Новиков С.А., Дивнов И.И., Иванов А.Г.// Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1964, т.47, с.814

22. Иванов А.Г., Новиков С.А.// Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1961, т.40 с.1880

23. Иванов А.Г., Новиков С.А., Тарасов Ю.М., Откольные явления в железе и стали, вызванные взаимодействием ударных волн разрежения // Физика твердого тела.-1962,- Т.4, вып. 1,- С. 249-260

24. Зельдович Я.В., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Наука, 1966.

25. Аптуков В.Н. Проникание: механические аспекты и математическое моделирование// Проблемы прочности, 1990, № 2, с.60-68

26. Yoshie S. and Usui Т. Experimental and numerical study on high velocity impact against steel plate. // in Impact Engineering and Application, 2001 Elsevier Science Ltd., p.351

27. Феоктистова E.A.// Доклады АН СССР, 1961, т.136, с.1325

28. Dunne В.В. Mach reflection of detonation waves in condenced high explosives II //Physics of fluids, 1964, v.7, №10, pp.1707-1712

29. Буравова C.H., Дремин A.H., Якушев В.В. Исследование распространения и взаимодействия тройных ударных конфигураций в жидком ВВ // ФГВ, 1967, т.З, №2, с.188-196

30. Альтшулер Л.В., Кормер С.Б., Баканова А.А. и др. Нерегулярные режимы косого столкновения ударных волн в твердых телах.// Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1961, т.41, вып.511, с.1382-1393

31. Neal Т. Mach waves and reflected rarefactions in aluminium // Journal of applied physics, 1975, V.46, №6

32. Курант P., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны, Изд-во Иностр. Литер., 1950

33. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред,

34. Sternberg J., Triple-shock-wave interactions.//Phis, of fluids, 1959, v.2, №2, p.179

35. Гудерлей К.Г. Теория околозвуковых течений, М., Иностранная литература, 1960

36. Заславский Б.И., Сафаров Р.А. О маховском отражении слабых ударных волн от жесткой стенки // ПМТФ, 1973, №5, с.26-33

37. Дулов В.Г. О движении тройной конфигурации ударных волн с образованием следа за точкой ветвления // ПМТФ, 1973, №6, с.67-75

38. Шиндяпин Г.П. Маховское отражение и взаимодействие слабых ударных волн в условиях парадокса Неймана // Изв. РАН, МЖГ, 1996, №2, с.183-190

39. Васильев Е.И. Четырехволновая схема слабого маховского взаимодействия ударных волн в условиях парадокса Неймана // Изв. РАН, МЖГ, 1999, №3, с.183-190

40. Sandeman R.J. A simple physical theory of weak Mach reflection over plane surfaces // Shock waves, 2000, V.10, pp.103-112

41. Colella P., Henderson L.F. The von Neumann paradox for the diffraction of weak shock waves // Journal of fluid mechanics, 1990, V.213, april, pp.71-95

42. Fowles G.R. and Isbell W.M. Method for Huhoniot equation-of-state measurments at extreme pressures // Journal of applied physics, 1965, V.36, №4, p.1377-1379

43. Ададуров Г.А., Дремин A.H., Канель Г.И., Першин С.В. Определение параметров ударных волн в веществе при его сохранении в цилиндрических ампулах // Физика горения и взрыва, т.3,№2, 1967, с.282-285

44. Бацанов С.С., Доронин Г.С., Ступников В.П., О специфике ударного сжатия вещества в цилиндрических ампулах // Инженерно-физический журнал, т.13, №4, 1967, с.542

45. Дремин А.Н., Канель Г.И., Глузман В.Д. Экспериментальное исследование профилей давления при нерегулярном отражении конусообразной ударной волны в плексигласовых цилиндрах // Физика горения и взрыва, т.8,№1, 1972, с.104-108

46. Канель Г.И. Исследование волновых взаимодействий и явлений откола при взрывном нагружении конденсированных сред, Автореферат канд. дисс., Черноголовка, 1972

47. В.И. Зельдович, Н.П.Пурыгин и др. Воздействие мощной импульсной нагрузки на массивные металлические диски// Химическая физика, 1995, т.14,№2-3,с.112-116

48. Литвинов Б.В., Лебедев М.А., Лебедев Д.М. Симметрия инициирования сходящегося взрыва и картина разрушения откольного образца.// Химическая физика, 1999, т. 18, то, с.18-21

49. Жуков А.В., Корнеев А.И.,Симоненко В.Г. Численное моделирование фазовых переходов в ударных волнах // Известия АН СССР, Механика твердого тела, 1984, №4, с.138-143

50. Белов Н.Н., Жуков А.В., Симоненко В.Г. Математическое моделирование полиморфных фазовых переходов в волнах напряжения // Новые методы в физике и механике деформируемого твердого тела: Труды Междунар. конф. -Томск: Изд-во ТГУ, 1990, с.257-264.

51. Белов Н.Н., Демидов В.Н., Ефремова Л.В. и др. Компьютерное моделирование динамики высокоскоростного удара и сопутствующих физических явлений // Известия высших учебных заведений. Физика., 1992, №8, с.5-48.

52. Белов Н.Н, Афанасьева С.А. и др. Компьютерное моделирование динамики высокоскоростного удара // Труды математического института имени В.А.Стеклова. Совр.методы механики сплошных сред, Сб. статей. Наука, 1998, т.223, с. 144-148

53. Ломов И.Н., Кондауров В.И. Применение метода Годунова на неструктурированных сетках для решения задач сплошной среды // Вопросы атомной науки и техники, 1997, вып.1, с.28

54. Ломов И.Н. Моделирование динамических процессов в конденсированных средах с учетом реальных термомеханических свойств. Автореферат канд. дисс., Москва 1997

55. Ахмадеев Н.Х.,Нигматулин Р.И.Моделирование откольного разрушения при ударном деформировании. Анализ схемы мгновенного откола//ПМТФ, 1981,№3 с.120-128

56. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред.-М.:Наука, 1987

57. Глушак Б.Л., Новиков С.А., Трунин И.Р. Математическое моделирование откольного разрушения урана // Вопросы атомной науки и техники, серия Математическое моделирование физических процессов, 1995, вып.1-2, с.19-24

58. Глушак Б.Л., Куропатенко В.Ф., Новиков С.А., Исследование прочности материалов при динамических нагрузках. Новосибирск, 1992.

59. Куропатенко В.Ф. Математическое моделирование неустановившихся движений сред с равновесными фазовыми переходами// Вопросы атомной науки и техники, серия Методики и программы численного решения задач матеметической физики, 1979, вып. 4(6), с.3-12

60. Ни A.JI., Фортова Т.Н., Шкадинский К.Г. и др. Численное моделирование взаимодействия высокоскоростных ударников с конденсированными преградами, препринт ИХФ АН СССР, Черноголовка, 1989

61. Chung D.-T., Hwang С. et al. A study on the dynamic brittle fracture simulation. // in Impact Engineering and Application, 2001 Elsevier Science Ltd.,

62. Иванов В.Д., Петров И.Б. и др. Сеточно-характеристический метод расчета динамического деформирования на нерегулярных сетках.// Математическое моделирование,1999, Т.11, №7,с.118-127

63. Аптуков В.Н., Поздеев А.А.// ДАН СССР, 1986, т.286 №1 с.103-106

64. Гриднева В.А., Немирович-Данченко М.М. Томск, 1983, Деп. в ВИНИТИ 05.05.83, №3258-83

65. Гулидов А.И., Фомин В.М., Шабалин И.И. в сб. Численные методы решения задач упругости и пластичности (Материалы YII Всесоюзной конференции), Новосибирск, 1982, с.182-192

66. Волчков Ю.М., Иванов Г.В., Кургузов В.Д. Алгоритм расщепления плоской задачи динамики упругого деформирования с учетом хрупкого разрушения // Динамика сплошной среды, Норвосибирск, 1983, вып.61, с.36-48

67. Куропатенко В.Ф. Уравнения состояния в математических моделях механики и физики // Математическое моделирование 1992, №12 стр.112-136.

68. Рини Т. Численное моделирование явлений при высокоскоростном ударе // Высокоскоростные ударные явления, М.: Мир, 1973

69. Фонарев А.В. Влияние параметров цилиндрического бойка на напряженно-деформированное состояние преграды при высокоскоростном ударе / / Моделирование процессов деформирования и разрушения твердых тел, Свердловск, 1987, с.55-59

70. Горельский В.А., Зелепугин С.А., Радченко А.В. Чесленное исследование задач ударноволнового взаимодействия твердых тел при наличии нескольких контактных границ // Химическая физика, 2000, т.19, №1, с.54-57

71. Кондауров В.И., Никитин Л.В. Теоретические основы реологии геоматериалов, М.: Наука, 1990

72. М.В.Хабибуллин. Деп. в ВИНИТИ 19.04.89, №2563, Томск, 1988.

73. К.Флетчер. Вычислительные методы в динамике жидкостей. М., Мир, 1991.

74. J.E.Welch, F.H.Harlow, J.P.Shannon. The MAC method. Los-Alamos Scientific Laboratory Report, LA-3425, 1965.

75. Численные методы в механике жидкостей. Мир, 1973.

76. Л.В.Ефремова, А.И.Корнеев, В.Г.Трушков. Механика деформируемого твердого тела., Томск, Изд-во ТГУ, стр. 64-69, 1987.

77. В.А.Гриднева, А.И.Корнеев, В.Г.Симоненко. Изв. АН СССР, МТТ, 1977, №1, стр. 146-157.

78. D.L.Book, J.-P.Boris, K.Hain. J.Comp.Phys., v.18, №3, pp.24-32, 1975.

79. М.Л.Уилкинс. Вычислительные методы в гидродинамике. М., Мир, 1967, стр. 212263.

80. В.Van Leer. Towards the ultimate conservative difference scheme. IV. A new approach to numerical convection. J. of Сотр. Phys., v.23, № 3, p.276-299, 1977.

81. A.Harten. A high resolution scheme for the computation of weak solutions of hyperbolic conservation laws. J. of Сотр. Phys., v.49, p.357-393, 1983.

82. С.А.Ильин, Е.В.Тимофеев. Сравнение квазимонотонных разностных схем сквозного счета. Линейный перенос возмущений. Препринт ФТИ 1550, Л., 1991.

83. С.А.Ильин, Е.В.Тимофеев. Сравнение некоторых квазимонотонных разностных схем сквозного счета. Нестационарные задачи газовой динамики. Препринт ФТИ 1611, СПб., 1993.

84. Cameron I.J. Current code status in modelling shock physics problems. //Химическая физика, т.19, 2000, №2

85. Баум Ф.А., Орленко Ф.П., Станюкович К.П. и др. Физика взрыва. М.: Наука, 1975.

86. Альтшулер Л.В., Жученко B.C., Левин А.Д. Детонация конденсированных взрывчатых веществ /в сб. Ударные волны и экстремальные состояния вещества под ред. В.Е. Фортова и др., М.:Наука, 2000.

87. Brown J.M., McQueen R.G.// J. Geophys. Res.,1986, V.91, №B7, pp.7485-7494.

88. Кормер С.В., Урлин В.Д., Попова Л.Т., Интерполяционное уравнение состояния и его приложение к описанию экспериментальных данных по ударному сжатию металлов. // ФТТ, №3, т.223, с. 2131-2140

89. Л.В.Альтшулер, С.Е.Брусникин, Уравнения состояния сжатых и нагретых металлов. // ТВТ, т.27, №1, 1989, с.40.

90. Н.Х.Ахмадеев, Динамическое разрушение твердых тел в волнах напряжений. -Уфа, 1988.

91. Гильманов А.Н., Кулачкова Н.А. Метод TVD на адаптивно-встраивающихся сетках в задачах сверхзвуковой гидродинамики// Вопросы атомной науки и техники, 1995, вып. 1-2, с.72-78

92. F.Fursenko, D.Sharov. Efficient Algorithms for Navier-Stokes Equations. Proc. of the 2nd European Computational Fluid Dynamics Conf., Stuttgart, Germany, 1994, c.24-32

93. П.А.Войнович, Д.М.Шаров. Неструктурированные сетки в методе конечных объемов расчета разрывных течений газа. Нестационарная локальная адаптация. Препринт ФТИ 1547, Л., 1991.

94. А.В.Чижов. Численное исследование высокоскоростного взаимодействия капли жидкости с преградой. Канд. дисс., СП6ГТУ,1998.

95. M.S.Sahota. Delaunay tetrahedralization in 3-D. Free lagrangian multimaterial code. Proc. of the Free-Lagrangian Conf., Jackson Lake Lodge, Moran, WY, USA, 1990, pp.130-138.

96. C.L. Lawson. Generation of a triangular grid with application to contour plotting. Technical Report 299, CalTech, 1972

97. Л.Г.Лойцянский. Механика жидкости и газа. Наука, 1987.

98. Е.А.Ноткина, А.В.Чижов, А.А.Шмидт. Моделирование разрушения упруго-пластических материалов, допускающих фазовый переход //Письма в ЖТФ.-1998. т.24, вып. 18. - С.89-91.1. РОССИЙСКАЯ БИБЛТШТМб