Устойчивость и стабилизация неголономных систем, уравнения движения которых представлены в квазикоординатах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи Лебедев Дмитрий Анатольевич

Устойчивость и стабилизация неголономных систем, уравнения движения которых представлены в квазикоординатах

Специальность 01.02.01 — теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва

2008 003456164

003456164

Работа выполнена на кафедре прикладной механики и управления механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.М. Морозов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.Е. Павловский кандидат физико-математических наук, вне. В.М. Буданов

Ведущая организация: Московский энергетический институт

(технический университет)

Защита состоится 19 декабря 2008 года в 16 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.22 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, Главное Здание МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан 19 ноября 2008 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, доцент

В.А. Прошкин

Актуальность темы. Неголономные системы служат механическими моделями многих технических объектов, в частности, разнообразных колесных экипажей. Одними из наиболее интересных и бурно развивающихся в настоящее время объектов являются мобильные колесные роботы, исследованию которых посвящена обширная литература. Рабочими режимами этих объектов соответствуют стационарные движения неголономных систем.Поэтому выделение таких движений, а также исследование их устойчивости и возможностей стабилизации представляют собой важную и актуальную задачу.

При исследовании неголономных систем используются уравнения движения в различных формах (Чаплыгина, Воронца, Аппеля, Больцмана-Гамеля, Маджи и др.). Новая лаконичная форма этих уравнений предложена в работе Я.В. Татаринова. Матричная форма уравнений неголономной механики, удобная для применения пакетов символьных вычислений, приведена в работе Ю.Г. Мартыненко.

Исследование стационарных движений неголономных систем, их устойчивости и возможностей стабилизации проводилось, главным образом, на основании уравнений, записанных в обобщенных координатах (уравнения Чаплыгина, Воронца).

В же время известно, что использование квазискоростей позволяет значительно упростить выражение для кинетической энергии системы по сравнению с ее выражением через обобщенные скорости. Поэтому и уравнения движения неголономной системы в квазикоординатах (уравнения Эйлера-Лагранжа) оказываются более простыми, чем уравнения в обобщенных координатах. В связи с этим представляет интерес провести исследование стационарных движений неголономных систем на основании уравнений движения в форме Эйлера-Лагранжа.

Цель работы.. Диссертация посвящена вопросам исследования стацио-

нарных движений неголономных механических систем, уравнения движения которых представлены в квазикоординатах. В качестве примера подробно рассмотрена задача о движении одноколесного робота по горизонтальной плоскости без проскальзывания.

Научная новизна. Все основные результаты, полученные в работе, являются новыми, ранее неизвестными. Введено новое определение циклических координат для уравнений движения неголономных систем в форме Эйлера-Лагранжа. Определено многообразие стационарных движений, исследованы вопросы их устойчивости и возможностей стабилизации. Подробно исследованы стационарные движения новой модели одноколесного робота.

Достоверность результатов. Все результаты диссертационной работы строго обоснованы, они базируются на утверждениях теоретической механики, теории устойчивости и управления.

Используемые методы. В работе используются методы аналитической механики, теории критических случаев устойчивости движения и линейной теории управления.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при решении задач устойчивости и стабилизации объектов, механическими моделями которых являются неголономные системы. Результаты, полученные при исследовании рассмотренной модели одноколесного робота, могут использоваться при разработке конкретных моделей колесных роботов.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:

• - Научная школа-конференция "Мобильные роботы и мехатронные системы", Москва, 2004, 2006 гг.

• - Международный научно-технический семинар "Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации", МАИ Алушта, 2004 - 2008 гг.

• - IASTED. Automation, control, and information technology, Novosibirsk, 2005.

• - 2-я международная научная конференция "Аналитическая теория автоматического управления и ее приложения", Саратов, 2005 г.

• - Научная конференция Ломоносовские чтения, МГУ, 2006.

• - Международная конференция "Пятые окуневские чтения", Санкт-Петербург, июнь 2006 г.

• - Конференция, посвященная 300-летию со дня рождения Леонарда Эйлера, "Классические задачи динамики твердого тела", Донецк, 2007.

• - X Международная научная конференции "Устойчивость, управление и динамика твердого тела". Донецк. 2008.

• - Семинар по аналитической механике и устойчивости движения имени В.В. Румянцева, МГУ, октябрь 2008 г.

• - Семинар кафедры прикладной механики и управления механико-математического факультета МГУ, июнь 2007 г., ноябрь 2008 г.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы изложены в пятнадцати печатных работах, одна из которых опубликована в журнале, входящем в перечень ВАК. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 99 наименований. Общий объем диссертации - 122 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описана предметная область и цель настоящей диссертации, дан краткий обзор работ, посвященных различным формам уравнений него-лономных систем, исследованиям устойчивости и стабилизации их стационарных движений, а также работ, касающихся динамики одноколесных роботов. Во введении, кроме того, приведено краткое содержание диссертации.

В первой главе диссертации рассматривается задача о стационарных движениях неголономной механической системы, уравнения движения которой представлены в квазикоординатах.

В разделе 1.1 выписаны уравнения движения неголономной системы в форме Эйлера-Лагранжа.

d дТ А А гдТ дТ п . , 1

П

Qs= bskWk (s= 1'--->n) k=l+1

В этих выражениях Т - кинетическая энергия системы, выраженная через квазискорости Wi, 7[s - трехиндексные символы Больцмана, 7ts - дифференциалы квазикоординат, Р3 - обобщенные силы, отнесенные к квазикоординатам, bsk - элементы матрицы перехода от квазискоростей к обобщенным скоростям. Во второй группе равенств суммирование по к идет от l + 1 до п, поскольку квазискорости Wi = 0, (г = 1,..., I) в силу неголономных связей.

Вводится определение циклических координат, соответствующее определению, данному A.B. Карапетяном для уравнений движения, записанных в обобщенных координатах. При этом оказался очень существенным выбор матрицы перехода от обобщенных скоростей к квазискоростям. Сформулированы рекомендации по выбору этой матрицы, который, по крайней мере, не уменьшает число существующих в системе циклических координат.

В разделе 1.2 определено многообразие стационарных движений неголо-номных систем, определяемое равенствами

Qi(t) = q,о, ft = 0, г = I + 1,...,к; wa(t) = wa0 = ыа, а = к + I,... ,п.

(1)

Рассмотрены различные условия существования этих движений.

В разделе 1.3 составлены уравнения возмущенного движения в окрестности стационарного движения, выбранного в качестве невозмущенного. Вводя отклонения

xi = Qi ~ Яю, Zi = Wi, ya = wa - i = l + l,...,Jc; a = k + l,...,n

и учитывая равенства, связывающие переменные х и z:

к

¿i = bikZk i+i

выпишем в матричной форме уравнения возмущенного движения, выделив" линейные члены:

Wux + Wny + Vi± + KlX + PxV = X{x,x,y) W2\x + W22y + V2x + K2x + P2y = Y(x, x, y)

X, Y- вектор-функции, содержащие члены порядка выше первого по введенным переменным.

Если система обладает п — к- мерным многообразием стационарных движений, то линеаризованная система (2) имеет п — к нулевых корней и п — к линейных интегралов. Исключив с помощью этих интегралов возмущения циклических скоростей, получим редуцированную систему относительно возмущений только позиционных координат. Сформулирована и доказана следующая теорема:

Теорема. Если неголономная система имеет многообразие стационарных движений размерности, равной числу циклических координат, то всякое стационарное движение (1), принадлежащее указанному многообразию, устойчиво (неустойчиво), когда все корни характеристического уравнения редуцированной системы имеют отрицательные действительные части (хотя бы один корень с положительной действительной частью). Всякое возмущенное движение, достаточно близкое к невозмущенному, при выполнении условий устойчивости, стремится при í —> оо к одному из возможных стационарных движений, принадлежащих указанному многообразию.

В разделе 1.4 рассмотрена задача стабилизации стационарных движений, решение которой включает в себя следующие этапы: анализ управляемости линеаризованной системы, анализ ее наблюдаемости, а также построение алгоритмов стабилизации. Приведены общие критерии управляемости и наблюдаемости и выделены некоторые частные случаи, когда, например, управляющие силы действуют только по циклическим координатам.

В главе 2 рассматривается одна модель одноколесного экипажа, для которой выписаны уравнения движения в форме уравнений Эйлера-Лагранжа.

В разделе 2.1 описывается модель одноколесного экипажа, которая представляет собой совокупность четырех твердых тел: диска, который катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания, твердого тела (маятника), соединенного с диском цилиндрическим шарниром в его центре, кольца -твердого тела, вращающегося относительно оси, лежащей в плоскости диска, и ротора - симметричного твердого тела, вращающегося относительно оси, закрепленной в кольце. Центр масс кольца находится в плоскости диска и принадлежит прямой, которая содержит центры масс диска и тела. Ось вращения ротора находится в плоскости, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр, а центр масс ротора не совпадает с центром кольца. Движение данной модели описывается восемью обобщенными коор-

Рис. 1. Одноколесный робот.

динатами: X и У - горизонтальные координаты центра диска, ф, 0, ¡р - углы Эйлера, задающие положение диска относительно неподвижной системы, х -угол между линией наибольшего ската диска и прямой, содержащей центры масс диска и тела (осью тела), и - угол отклонения оси ротора от плоскости диска, а - угол поворота ротора.

В разделе 2.2 для рассматриваемой модели одноколесного робота вводятся квазискорости, с помощью которых выписывается выражения для кинетической энергии и обобщенных сил, отнесенных к квазикоординатам. Матрица,

с помощью которой вводятся квазискорости имеет вид:

^10 0 — asin(?/>)sin(0) 0 acos(ip) a cos {ф) cos (в) 0 0 10 acos(ip)sin(0) 0 asin(^) о sin (гр) cos (в) 0

0 0 1 ООО ООО ООО ООО ООО

0

1 О О О О

О

о

0

1 о о

о о о

cos (0) sin (в) О

w

-(

g=l XYxOvipipa

W\ W2 IVZ Wn №5 ®6 Щ w% w = a- q

r-

После введения квазискоростей были выписань^ уравнения движения в форме уравнений Эйлера-Лагранжа.

В третьей главе определено многообразие стационарных движений рассматриваемой модели одноколесного экипажа, и исследована устойчивость некоторых стационарных движений этой модели.

В разделе 3.1 на основе введенного определения циклических координат установлено, что координаты Xi v являются позиционными, а координаты <р, ip, а - циклическими. При отсутствии управляющих сил,уравнения движения системы допускают частные решения, соответствующие (1)

X = Хо, «>з = 0, в = во, w4 = 0, v = щ, -шь = 0, г»6 = w, w7 = ft,ws = flr

(3)

, которые описывают стационарные движения системы. Необходимым условием существования стационарных движений является выполнение равенства

sin(xo) = О, которое означает, что линия, проходящая через центры масс диска, маятника и кольца (линия тела), должна совпадать с линией наибольшего ската диска. При выполнении равенства sin(xo) = 0 из пяти нетривиальных уравнений стационарных движений останутся только два, которые связывают пять параметров, определяющих эти движения моноцикла. Таким образом размерность многообразия стационарных движений равна трем и совпадает с количеством циклических координат.

Выли рассмотрены некоторые наиболее интересные виды стационарных движений.

1. Прямолинейное качение вертикального диска ( центры масс тел системы принадлежат плоскости диска )

7Г

sin(xo) = 0, во = -, sin(i/0) =0, We = UJ, w7 = 0, w8 = ftr

2. Верчение системы вокруг вертикали ( центры масс тел системы принадлежат вертикальной прямой проходящей через точку касания диска и плоскости )

7Г

sin(xo) = 0, во = -, sin(fo) = 0, W6 = 0, »7 = ft, т = ftr

3. Равновесие (вертикальный диск стоит, центры масс системы лежат на вертикальной прямой, проходящей через точку касания диска и плоскости

7Г

sin(xo) =0, во = -, sin(i/0) =0, w6 = 0, w7 = 0, w& = ftr

4. Движение при котором центр диска описывает окружность ( линия наибольшего ската диска описывает коническую поверхность )

sin(xo) = 0, во = const, Vo = const, We = ш, wj = w% = ilr

угловая старость качения диска nul spe^ 0j tim,jng

Рис 2 Рис 3

Далее в третьей главе проведено исследование устойчивости стационарных движений.

Для прямолинейного качения получены необходимые и достаточные условия устойчивости с помощью проверки условий Гурвица, когда на систему действуют диссипативные силы в оси кольца, что не нарушает уравнений стационарных движений. На рисунке 2 изображена темная область выполнения необходимых и достаточных условий устойчивости прямолинейного качения, в том случае когда тело находится в нижнем положении и центр масс ротора ниже центра кольца.

Для стационарного движения верчение получены необходимые условия устойчивости. Область выполнения этих условий изображена на рисунке 3 темным цветом.

В четвертой главе рассматривается задача стабилизации некоторых стационарных движений одноколесного робота при помощи управляющих моментов, действующих по осям диска, кольца и ротора.

В разделе 4.1 показано, что линеаризованная система уравнений движения всегда имеет линейный интеграл, не зависящий от управления, при помощи которого система редуцируется к системе меньшего порядка. Для ре-

Рис. 2.

.аудированной системы проведен анализ управляемости и показано, что для управляемости достаточно двух управляющих моментов, действующих по осям диска и ротора.

В разделе 4.2 установлена наблюдаемость системы по измерениям угловой скорости диска относительно маятника, углу отклонения кольца от плоскости диска и угловой скорости вращения ротора в окрестности прямолинейного качения и движения, при котором центр диска описывает окружность.

В разделе 4.3 построен закон стабилизации прямолинейного качения в виде линейной обратной связи по состоянию системы, который минимизирует квадратичный функционал.

В разделе 4.4 проведено математическое моделирование уравнений движения исходной системы, когда параметры принадлежат области устойчивости и начальных условиях, близких к условиям прямолинейного качения. Резуль-

11

Рис. 3. Затухание под действием диссипативных сил

таты моделирования представлены на рисунке 2 (в отсутствии диссипативных сил в оси кольца), а на рисунке 3 представлены результаты, когда на систему действуют диссипативные силы.

Решение линейной системы, замкнутой стабилизирующим управлением представлено на рисунке 4.

Рис. 4. Стабилизация прямолинейного качения (маятник вверху)

В заключении приведены основные результаты диссертации.

1. Введено новое определение циклических координат для уравнений движения неголономных механических систем, представленных в форме уравнений Эйлера-Лагранжа. Предложены рекомендации по выбору матрицы перехода от обобщенных скоростей к квазискоростям, при котором число существующих в системе циклических координат не уменьшается.

2. Определено многообразие стационарных движений неголономной системы. Сформулирована и доказана теорема об устойчивости стационарных движений.

3. В задаче стабилизации стационарных движений получены критерии управляемости и наблюдаемости, основанные на редукции системы.

4. Составлены уравнения движения и определены стационарные движения одной модели одноколесного робота, состоящего из четырех твердых тел, движущегося по горизонтальной плоскости без проскальзывания.

5. Получены условия устойчивости некоторых стационарных движений одноколесного робота.

6. Исследованы управляемость и наблюдаемость в окрестности стационарных движений одноколесного робота и построен алгоритм оптимальной стабилизации одного из стационарных движений системы.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Балашов (Лебедев) Д.А. Стационарные движения одноколесного робота и их устойчивость. // Мат. науч. шк. конф. "Мобильные ро-боты и мехатронные системы", М.: Изд-во Моск. ун-та., 2004 г. С. 124-133.

2. Д.А Балашов (Лебедев), В.И.Каленова, А.А.Кожанов, В.M Морозов. Об особенностях различных моделей одноколесных роботов. // В сб. Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации. Труды XIII международного научно-технического семинара. 2004, 4.1, Изд-во МГУ, С.5-6.

3. В.М. Морозов, В.И Каленова, М.А. Салмина, Д.А. Балашов (Лебедев) Мобильные колесные роботы. Устойчивость и стабилизация стационарных движений. J/ В dô. Трудов Международной школы-семинара "Адаптивные роботы-2004". Москва - Санкт-Петербург. Международная лаборатория "Сенсбрика". С.91-92

4. Морозов В.М., Кожанов А.А., Балашов (Лебедев) Д.А. Стабилизация стационарных движений различных моделей одноколесных экипажей. // 2-я международная научная конференция "Аналитическая теория автоматического управления и ее приложения", Саратов, 2005 г. С. 69-70.

5. V.M. Morozov, V.I. Kalenova, М.А. Salmina, A.A. Kozhanov, D.A. Balashov (Lebedev) Problems of stability and stabilization of non-holonomic mechanical systems.//Proc. IASTED. Automation, control, and information technology, Novosibirsk, 2005. P. 282-287.

6. Балашов (Лебедев) Д.А., Каленова В.И., Кожанов А.А., Морозов В.М., Плотникова Л.А. Моделирование динамики и управления движением

колесных экипажей. // XIV международный научно-технический семинар "Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации", МАИ Алушта, 2005 г. С.86.

7. Каленова В.И., Кожанов A.A., Лебедев Д.А., Морозов В.М. Моделирование движения колесных экипажей и вопросы стабилизации // Международная конференция "Пятые Окуневсние чтения". Санкт-Петербург: Тезисы докладов / Балт. Гос. Техн. Ун.-т. - СПб., 2006. - С.16-17.

8. Лебедев Д.А. Устойчивость, стабилизация и моделирование динамики одной модели одноколесного экипажа.//ХУ международный научно-технический семинар "Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации", МАИ Алушта, 2006 г. С.39

9. Лебедев Д.А. Устойчивость и стабилизация одной модели одно-колесного экипажа.// М.: Изд-во Моск. ун-та., Тезисы докладов научной школы конферейции Ломоносовские чтения, 2006. С. 103-104.

10. Лебедев Д.А. О математическом моделировании движения одно-колесного робота.// Мат. науч. шк. конф. "Мобильные роботы и мехатронные системы", М.: Изд-во Моск. ун-та., 2006 г. С. 68-75.

11. Лебедев Д.А. Моделирование динамики одноколесного робота. // XVI международный научно-технический семинар "Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации", МАИ Алушта, 2007 г. С. 266-267.

12. Морозов В.М., Каленова В.И., Салмина М.А., Лебедев Д.А. Стационарные движения неголономных механических систем. Устойчивость и стабилизация. Конференция, посвященная 300-летию со дня рождения

Леонарда Эйлера "Классические задачи динамики твердого тела", Донецк, 2007. С. 57-58.

13. Лебедев Д.А. Об устойчивости и стабилизации движения одноколесного робота. Вести. Моск. Ун.-та. Сер. 1, математика, механика. 2008 г. №3. С. 67-70.

14. Лебедев Д.А., Морозов В.М. Исследование устойчивости стационарных движений колесных экипажей при помощи теорем Кельвина-Четае-ва. //XVII международный научно-технический семинар "Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации", МАИ Алушта, 2008 г. С.256-257.

15. Морозов В.М., Лебедев Д.А. Устойчивость и стабилизация стационарных движений одноколесного po6oTa.//10th International Conference "Stability, control and rigid bodies dynamics", Donetsk, 2008. C. 70-71.

Подписано в печать 17.11.2008 Формат 60x88 1/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 75 экз. Заказ № 797 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

0.1. Введение.

1. Анализ устойчивости и стабилизации стационарных движений неголономных механических систем при использовании уравнений Эйлера-Л агранжа

1.1. "Уравнения Эйлера-Лагранжа.

1.2. Стационарные движения.

1.3. Исследование устойчивости стационарных движений

1.4. Задача стабилизации.

2. Уравнения движения одноколесного робота

2.1. Описание модели

2.2. Уравнения движения.

3. Устойчивость стационарных движений одноколесного робота.

3.1. Стационарные движения.

3.2. Устойчивость прямолинейного качения.

3.3. Устойчивость верчения.

3.4. Устойчивость равновесия.

3.5. Устойчивость движения, при котором центр диска описывает окружность

4. Стабилизация стационарных движений одноколесного робота и моделирование решений уравнений движения

4.1. Управляемость системы в окрестности стационарных движений.

4.1.а Управляемость системы в окрестности прямолинейного качения

4.1.Ь. Управляемость системы в окрестности стационарного движения верчение

4.1 Управляемьстемы в окрни положения равновя.

4.1.с1. Управляемость системы в окрестности движения при котором центр диска описывает окружность.

4.2. Наблюдаемость системы в окрестности стационарных движений.

4.3. Алгоритмы стабилизации стационарных движений

4.4. Математическое моделирование.

Теория движения неголономных механических систем всегда интересовала ученых. Эти системы являются механическими моделями многих технических объектов, в частности, разнообразных колесных экипажей. Одними из наиболее интересных и бурно развивающихся в настоящее время мехатрон-ных систем являются мобильные колесные роботы, исследованию движения которых посвящена обширная литература (ее краткий обзор см. ниже).

Классическими задачами неголономной механики являются задачи о качении твердого тела или системы тел по твердой поверхности. Современное состояние этого вопроса изложено в работе А.П. Маркеева [45], в которой имеется подробная библиография по этой тематике. Динамике качения тел посвящена также монография [9].

При исследовании неголономных систем используются уравнения движения в различных формах. Если рассмотрение ведется в обобщенных координатах, то уравнения движения -это уравнения Чаплыгина и Воронца [13, 71]; если используются кинематические характеристики, отличные от обобщенных скоростей (квазискорости), то уравнения движения - это уравнения Больц-мана-Гамеля, которые последним названы уравнениями Эйлера-Лагранжа [42], Маджи [18]; если уравнения записаны через энергию ускорений - это уравнения Аппеля [73]. Применяются также уравнения Лагранжа с неопределенными множителями [34]. Описание всех этих форм уравнений движения неголономных систем, а также их сопоставление содержатся в работе Я.В. Татаринова [70]. Там же предложена лаконичная новая форма уравнений движения. Матричные формы уравнений неголономной механики, удобные для применения пакетов символьных вычислений, приведены в работе Ю.Г. Мартыненко [50].

При исследовании стационарных движений неголономных систем, их устойчивости и возможностей стабилизации используются, главным образом, уравнения в обобщенных координатах (уравнения Воронца и уравнения Чаплыгина) [19, 21, 22, 26-33]. При этом под стационарным движением понимается такое движение, при котором позиционные координаты и скорости циклических координат сохраняют начальные значения, а сами циклические координаты меняются линейно со временем. Однако, если для голономных консервативных систем циклическими называются такие координаты, от которых не зависит функция Лагранжа системы, то для неголономных систем имеется несколько различных определений циклических координат [33]. Дело в том, что наличие циклических координат в голономной системе обеспечивает существование циклических интегралов и стационарных движений. В то время как при исследовании конкретных неголономных систем, как правило, оказывается, что уравнения движения не имеют циклических интегралов, но допускают стационарные решения. Поэтому для неголономных систем при отыскании стационарных движений предпочтительнее пользоваться определением [15, 16]: координата называется циклической, если в уравнения движения системы, составленные с учетом неголономных связей, она явно не входит, а входит только ее ускорение и, возможно, скорость. Однако, такое определение настолько широко, что размерность многообразия стационарных движений неголономных систем с циклическими в смысле этого определения координатами в общем случае равна единице и никак не связана (как это было для голономных систем) с числом циклических координат. На основе этого определения в [29, 33] было дано другое определение циклических координат неголономных систем, уравнения движения которых написаны в форме уравнений Воронца, которое обеспечивает существование многообразия стационарных движений, размерность которого не меньше суммы числа циклических координат и числа неголономных связей общего вида.

Основными рабочими режимами движения технических объектов, описываемых неголономными системами, служат те или иные установившиеся движения ( стационарные, периодические и т.д.) Поэтому определение таких движений, а также исследование их устойчивости и стабилизации представляет важную и актуальную задачу. Подробный обзор современных исследований стационарных движений неголономных систем приведен в обзорах A.B. Карапетяна и В.В. Румянцева [33, 68], а также в статьях [31, 32].

Как известно [42], использование квазикоординат позволяет значительно упростить выражение для кинетической энергии системы по сравнению с ее выражением через обобщенные скорости. Поэтому и уравнения движения неголономной системы в форме Эйлера-Лагранжа оказываются более простыми , чем уравнения Воронца или Чаплыгина, записанные в обобщенных координатах.

В связи с этим представляет интерес ввести определение циклических координат и стационарных движений неголономной системы, когда уравнения движения представлены в форме Эйлера-Лагранжа. Это и делается в этой работе.

В первой главе диссертации рассматривается задаче о стационарных движениях неголономной механической системы, уравнения движения которой представлены в форме уравнений Эйлера-Лагранжа.

Вводится определение циклических координат, соответствующее определению, данному A.B. Карапетяном [27, 30, 33] для уравнений движения, записанных в обобщенных координатах. При этом оказался очень существенным выбор матрицы перехода от обобщенных скоростей к квазискоростям. На примере рассмотрения уравнений движения диска, катящегося по горизонтальной плоскости без проскальзывания, показано, что тот или иной выбор указанной матрицы перехода приводит к различному числу циклических координат в системе, несмотря на то, что обобщенные координаты в обоих случаях одни и те же. Сформулированы рекомендации по выбору матрицы перехода от обобщенных скоростей к квазискоростям, который по крайней мере, не уменьшает число существующих в системе циклических координат.

После принятия определения циклических координат для уравнений него-лономных систем в форме уравнений Эйлера-Лагранжа были выписаны уравнения стационарных движений, в число которых входят кроме собственно уравнений Эйлера-Лагранжа еще и соотношения связывающие обобщенные скорости с квазискоростями. Приведены различные условия на уравнения стационарных движений, при выполнении которых показано существование векторного интеграла размерности равной числу циклических координат. Аналогичные условия, определяющие класс систем, для уравнений движения него-лономных систем в форме уравнений Воронца в обобщенных координатах содержатся в [21, 26].

Для исследования устойчивости решения в окрестности какой-либо точки многообразия стационарных движений система уравнений записывается в линейном приближении. Однако, использование квазикоординат вносит свои особенности, а именно, при выписывании линеаризованной системы в виде уравнений второго порядка следует учитывать связь позиционных квазискоростей с позиционными обобщенными скоростями. Показано, что при выполнении определенных условий существует многообразие стационарных движений, размерности, равной числу циклических координат, при этом в линеаризованной системе будет такое же количество нулевых корней и линейных интегралов. Это соответствует особенному критическому случаю нескольких нулевых корней и для которого справедлива теорема Ляпунова-Малкина [43, 44]. Для этого случая доказана теорема об устойчивости, которая аналогична теореме доказанной ранее [21, 30] для неголономных систем, уравнения движения которых представлены в форме уравнений Чаплыгина.

Для стабилизации стационарных движений неголономной механической системы ставится задача стабилизации, основанная на линейной теории управления, которая включает в себя:

1. выяснение принципиальных возможностей стабилизации, которое сводится к исследованию управляемости системы;

2. определение рационального состава измерительной информации о состоянии системы, необходимой для построения стабилизирующего управления, которое сводится к анализу наблюдаемости;

3. построение самого алгоритма стабилизации, например, в виде линейной обратной связи по состоянию.

Для линеаризованной системы, содержащей управления и измерения, и выписанной в виде матричных уравнений второго порядка, сформулированы критерии управляемости и наблюдаемости. Эти критерии основаны на критериях управляемости и наблюдаемости для систем второго порядка сформулированных в [86], а впоследствии модифицированных для более широкого класса систем в [26].

Рассмотрен частный случай, при котором управляющие силы действуют только по циклическим координатам. Для этого случая доказан более простой критерий управляемости, который позволяет исследовать управляемость редуцированной системы, уравнения которой содержат только возмущения позиционных координат.

Как уже отмечалось, одними из наиболее распространенных объектов, механическими моделями которых служат неголономные системы, являются разнообразные колесные экипажи. Работ, посвященных этим объектам очень много. Отметим только некоторые из этих работ, близких по подходам и методам к задачам, рассматриваемым в диссертации. Это работы Е.А. Девянина В.М. Буданова [10], A.B. Карапетяна, В.И. Каленовой, В.М. Морозова, В.М. Буданова и М.А. Салминой [11, 19, 32], Д.Е. Охоцимского, Ю.Г.Мартыненко,

A.M. Формальского, В.Е.Павловского [47, 49, 52, 63-65], Jl.Г. Лобаса [41].

Особое место среди колесных экипажей занимают одноколесные экипажи (моноцикл, юницикл). Интерес к одноколесным экипажам существует давно. Еще у Леонардо да Винчи встречается эскиз моноцикла. На рубеже девятнадцатого и двадцатого веков появилось несколько проектов одноколесных экипажей, некоторые из этих моделей пытались реализовать в металле. В последнее время возрос интерес к одноколесникам, как в России, так и в других странах мира. Это можно объяснить преимуществами моноциклов перед другими моделями колесных экипажей: повышенная проходимость, отсутствие боковой и продольной качки.

Моноцикл представляет собой интересный как с теоретической, так и с прикладной точки зрения, объект исследования.

Исследования по созданию одноколесного робота проводятся в России, США, Китае, Японии [52, 75, 81-83, 91-94, 97-99].

В статье [81] содержится обзор публикаций, посвященных моноциклам. Далее проведем обзор публикаций в иностранной литературе, посвященной одноколесным экипажам. В публикации [83] рассматривается модель, состоящая из колеса и тела, которая может двигаться горизонтально в вертикальной плоскости. В этой работе исследуется вопросы стабилизации прямолинейного качения с помощью создаваемого в оси колеса момента по наблюдению, которое снимается видеокамерой, закрепленной на теле. Описаны результаты эксперимента, в ходе которого показана эффективность управления, основанного на теории Н^ .

В [75, 95] рассматривается модель одноколесного робота Gyrover, для которой исследуется задача построения управления и гироскопической стабилизации. Предложено три закона управления, целью которых является стабилизация равновесия, передвижения из одной точки до другой и прямолинейного качения.

В публикации [97-99] рассматривается модель состоящая из диска, маятника, который может вращаться относительно твердого тела, сохраняющего постоянное положение относительно линии наибольшего ската диска, и ротора, который вращается относительно твердого тела. В этой работе проводится моделирование динамики и изучаются вопросы управления в виде линейной обратной связи.

В Институте механики МГУ сконструирован робот с гироскопической системой стабилизации "Гироколесо-[46-49, 51, 52, 87, 88]. Этот робот состоит из колеса, платформы, вращающейся относительно колеса и ротора, вращающегося относительно кожуха, который в свою очередь может поворачиваться относительно платформы. Для этой модели робота проведено исследование управляемости и наблюдаемости в окрестности стационарных движений.

Цикл работ по исследованию различных моделей одноколесных экипажей проведен в Институте механики МГУ под руководством В.М. Морозова [4-7, 21. 25, 55-60]. В [21, 25] была рассмотрена модель одноколесного велосипеда: диск, который катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания, твердое тело, которое может вращаться относительно оси диска, и ротора, вращающегося относительно твердого тела. В этих работах указаны стационарные движения данной механической системы, получены необходимые условия устойчивости стационарных движений и исследованы возможности их стабилизации при помощи тех или иных управляющих сил.

В работах [57, 58, 60] исследованы более сложные модели одноколесных экипажей.

Вторая - четвертая главы диссертации посвящены исследованию еще одной, более сложной модели моноцикла. Это исследование проведено в духе указанных выше работ.

В данной работе рассматривается модель одноколесного робота, состоящая из четырех твердых тел: диска, который катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания, твердого тела (маятника), соединенного с диском цилиндрическим шарниром в его центре, кольца - твердого тела, вращающегося относительно оси, лежащей в плоскости диска, и ротора - симметричного твердого тела,вращающегося относительно оси, закрепленной в кольце. Преимуществом этой модели одноколесного экипажа является наличие кольца, что позволяет ввести диссипацию не нарушая уравнений стационарных движений, а также расширяет возможности для введения управления и получения информации о текущих значениях фазовых переменных.

Для указанной модели моноцикла во второй главе написаны уравнения движения в форме уравнений Эйлера-Лагранжа. Согласно определению, данному в первой главе, в системе имеется три циклических и три позиционных координаты.

В третьей главе выписаны уравнения стационарных движений системы. Сформулировано необходимое условие существования этих движений. При выполнении этого условия из пяти нетривиальных уравнений остается два, которые связывают пять параметров, определяющих вид стационарного движения. Таким образом размерность многообразия стационарных движений равна трем, что совпадает с числом циклических координат. Далее в третьей главе выделены наиболее интересные виды стационарных движений, и исследуется устойчивость этих движений одноколесного экипажа. Для прямолинейного качения, верчения и движения, при котором центр диска описывает окружность, получены необходимые условия устойчивости. Для системы с диссипацией получены необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости прямолинейного качения. •

В четвертой главе исследуется управляемость и наблюдаемость линейной системы в окрестности стационарных движений, построено оптимальное управление и проведено математическое моделирование решений системы.

В разделе 4.1 исследуется управляемость линеаризованной системы. Введено три управляющих момента в осях диска, кольца и ротора. Для каждого из указанных выше стационарных^движений, а также для равновесия, в линеаризованной системе найден интеграл, не зависящий от управления. С помощью найденного интеграла в окрестности каждого из рассматриваемых стационарных движений линеаризованная система была редуцирована. Исследование управляемости редуцированной системы проведено при помощи критерия, сформулированного в первой главе, позволило указать необходимый минимум управляющих воздействий, при котором редуцированная система управляема.

В разделе 4.2 установлена наблюдаемость системы по измерениям угловой скорости диска относительно маятника, углу отклонения кольца от плоскости диска и угловой скорости вращения ротора в окрестности прямолинейного качения и движения, при котором центр диска описывает окружность.

В разделе 4.3 построен закон стабилизации прямолинейного качения в виде линейной обратной связи по состоянию системы, который минимизирует квадратичный функционал.

В разделе 4.4 проведено математическое моделирование уравнений движения исходной системы, когда параметры принадлежат области устойчивости и начальных условиях близких к условиям прямолинейного качения. Кроме того получено численное решение линейной системы, замкнутой стабилизирующим управлением.

Проведено математическое моделирование решений исходной системы уравнений без управляющих сил и с управлением в виде линейной обратной связи, а также при действии на систему диссипативных сил.

Заключение

1. Введено новое определение циклических координат для уравнений движения неголономных механических систем, представленных в форме уравнений Эйлера-Лагранжа. Предложены рекомендации по выбору матрицы перехода от обобщенных скоростей к квазискоростям, при котором число существующих в системе циклических координат не уменьшается.

2. Определено многообразие стационарных движений неголономной системы. Сформулирована и доказана теорема об устойчивости стационарных движений.

3. В задаче стабилизации стационарных движений получены. критерии управляемости и наблюдаемости, основанные на редукции системы.

4. Составлены уравнения движения и определены стационарные движения одной модели одноколесного робота, состоящего из четырех твердых тел, движущегося по горизонтальной плоскости без проскальзывания.

5. Получены условия устойчивости некоторых стационарных движений одноколесного робота.

6. Исследованы управляемость и наблюдаемость в окрестности стационарных движений одноколесного робота и построен алгоритм оптимальной стабилизации одного из стационарных движений системы.

1. Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С., Тихомиров В.М. Оптимальное управление движением. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 376 с.

2. Атанс М., Фалб П.Л. Оптимальное управление. Пер. с анг. М., «Машиностроение», 1968, 764с.

3. Афанасьев В.Н., Колмановский В.В., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высш. шк., 1989. 447 с.

4. Балашов (Лебедев) Д.А. Стационарные движения одноколесного робота и их устойчивость. // Мат. науч. шк. конф. "Мобильные роботы и мехатронные системы", М.: Изд-во Моск. ун-та., 2004 г. С. 124-133.

5. Бахвалов Н.С., Жидков H.H., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. 600с.

6. Борисов A.B., Мамаев И.С. и др. Неголономные механические системы. Интегрируемость. Хаос. Странные атракторы. М.; Ижевск: ИКИ. 2002. 328с.

7. Буданов В.М., Девянин Е.А. О движении колесных роботов. // ПММ. 2003. Т. 67. Вып. 2. С. 244-255.

8. Буданов В.М., Каленова В.И., Карапетян A.B., Морозов В.М., Салмина М.А. О неголономных моделях трехколесных роботов. // Материалы. Научной школы-конф. "Мобильные роботы и мехатронные системы"М.: изд-во Моск.ун-та. 2006. С. 54-60.

9. Бутенин Н.В., Фуфаев H.A. Введение в аналитическую механику. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991.- 256с.

10. Воронец П.В. Уравнения движения твердого тела, катящегося по горизонтальной плоскости. Киев. Тип. Имп. Ун-та Св. Владимира, 1903. 152 с.

11. Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики. М.: МГУ, 2000. 720с.

12. Емельянова И.С. Фуфаев H.A. Об устойчивости стационарных движений. В сб.: Теория колебаний, прикл. мат. и кибернет. Горький, 1974, 3-9

13. Емельянова И.С. К определению циклических координат и стационарных движений механических систем. В сб.: Динамика систем. Вып. 3. Горький, 1974, 117-130

14. Емельянова И. С. Об устойчивости стационарных движений и состояний равновесия неголономных механических систем. В сб.: Вопр. прикл. мат. и мех. Вып. 4. Чебоксары, 1975, 149 158

15. Зегжда С.А., Солтаханов Ш.Х., Юшков М.П. Уравнения движения неголономных систем и вариационные принципы механики. Новый класс задач управления. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 272с.

16. Каленова В.И., Карапетян A.B., Морозов В.М., Салмина М.А. Неголо-номные механические системы и стабилизация движений // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. Т. 11, вып. 7, с. 117-158.

17. Каленова В.И., Морозов В.М. К вопросу об устойчивости стационарных движений неголономных систем Чаплыгина // ПММ. 2002. Т. 66. Вып. 2. С. 192-199.

18. Каленова В.И., Морозов В.М. Об устойчивости установившихся движений неголономных механических систем с циклическими координатами. // ПММ. 2004. Т. 68. Вып. 2. С. 195-205.

19. Каленова В.И., Морозов В.М., Салмина М.А. К задаче стабилизации установившихся движений систем с циклическими координатами // ПММ. 1989. Т. 53. Вып. 5. С. 707-714.

20. Каленова В.И., Морозов В.М., Салмина М.А. Управляемость и наблюдаемость в задаче стабилизации механических систем с циклическими координатами // ПММ. 1992. Т. 56. Вып. 6. С. 959-967.

21. Каленова В.И., Морозов В.М., Шевелева Е.Н. Устойчивость и стабилизация движения одноколесного велосипеда // МТТ. 2001. Вып. 4. С. 49-58.

22. Каленова В.И., Морозов В.М., Шевелева E.H. Управляемость и наблюдаемость в задаче стабилизации установившихся движений неголономных систем с циклическими координатами // ПММ. 2001. Т. 65. Вып. 6. С. 915-924.

23. Карапетян A.B. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдиториал УРСС, 1998. 165 с.

24. Карапетян A.B. Некоторые задачи устойчивости движения неголономных систем. В сб.: Теория устойчивости и ее приложения. Новосибирск, 1979, 184 190

25. Карапетян A.B. К вопросу об устойчивости стационарных движений неголономных систем. // ПММ. 1980. Т. 44. Вып. 3. с. 418-426.

26. Карапетян A.B. Об устойчивости стационарных движений неголономных систем Чаплыгина // ПММ. 1978. Т. 42. Вып. 5. с. 801-807.

27. Карапетян A.B., Кулешов A.C. Стационарные движения неголономных систем //В книге: Неголономные механические системы. Интегрируемость. Хаос. Странные атракторы. М.; Ижевск: ИКИ. 2002. с. 247-295.

28. Карапетян A.B., Морозов В.М., Каленова В.И., Салмина М.А. Устойчивость и стабилизация мехатронных систем. // Материалы. Научной школы-конф. "Мобильные роботы и мехатронные системы"М.: изд-во Моск.ун-та. 2005. ч. 1. С. 61-81.

29. Карапетян A.B., Румянцев В.В. Устойчивость консервативных и диссипативных систем // Итоги науки и техники. Сер. Общая механика. Т. 6. М.: ВИНИТИ, 1983. 132с.

30. Лагранж Ж.Л. Аналитическая механика. М.;Л.: ГИТТЛ. 1950. Т.1. -594 е.; Т.2. - 440 с.

31. Лебедев Д.А. Моделирование динрмики одноколесного робота. // XVI международный научно-технический семинар "Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации", МАИ Алушта, 2007 г. С. 266-267.

32. Лебедев Д.А. Устойчивость и стабилизация одной модели одноколесного экипажа.// М.: Изд-во Моск. ун-та., Тезисы докладов научной школы конференции Ломоносовские чтения, 2006. С. 103-104.

33. Лебедев Д.А. О математическом моделировании движения одноколесного робота.// Мат. науч. шк. конф. "Мобильные роботы и мехатронные системы", М.: Изд-во Моск. ун-та., 2006 г. С. 68-75.

34. Лебедев Д.А. Об устойчивости и стабилизации движения одноколесного робота. Вестн. Моск. Ун.-та. Сер. 1, математика. Механика. 2008 г. №3. С. 67-70.

35. Лобас Л.Г. Неголономные модели колесных экипажей. Киев: Наукова думка, 1986. 231 с.

36. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз., 1961.

37. Ляпунов A.M. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения // Собр. соч. М.; JL: Изд-во АН СССР, 1956. Т. 2. С. 272-331

38. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 530с.

39. Маркеев А.П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М.: Наука, 1992, 336с.

40. Мартыненко Ю.Г., Формальский A.M. К теории управления моноциклом. // ПММ. 2005. Т. 69 Вып. 4. С. 569-583.

41. Мартыненко Ю.Г. Новые задачи управления и динамики мобильных роботов. В сб. Математика. Механика. Информатика. Труды конференции, посвященной 10-летию РФФИ. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - с.73-115.

42. Мартыненко Ю.Г. Устойчивость неуправляемых движений одноколесного мобильного робота с маховичной системой стабилизации. В сб.: Проблемы механики современных машин. Матер, межд. конф. Улан-Удэ. 2000. т. 1, с. 96-101.

43. Мартыненко Ю.Г. Управление движением мобильных колесных роботов // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. Т. 11, вып. 8, с. 29-80.

44. Мартыненко Ю.Г. О матричной форме уравнений неголономной механики // Сб. научно-методических статей по теоретической механике. Вып. 23. М.: Изд-во Моск. ун-та., 2000.'с. 9-15.

45. Мартыненко Ю.Г., Кобрин А.И., Ленский A.B. Декомпозиция задачи управления мобильным одноколесным роботом с невозмущаемой гиро-стабилизированной платформой. Доклады РАН. 2002. т. 386, № 6, с. 767-769.

46. Мартыненко Ю.Г., Формалъский A.M. Проблемы управления неустойчивыми системами. // Успехи механики. 2005. - Т. 3, №2. - с. 71-135.

47. Матюхин В. И. Универсальные законы управления механическими системами- М.: МАКСПресс. 2001. 252 с.

48. Матюхин В.И. Стабилизация механических систем с неголономными связями. ПММ, 1999, Т. 63, вып. 5, с. 725-735.

49. Морозов В.М., Кожанов A.A. Стационарные движения одноколесного экипажа и их устойчивость //М.: Изд-во Моск. ун.-та., Мобильные роботы и мехатронные системы: Материалы научной школы-конференции,2002. с. 132-141.

50. Морозов В.М., Лебедев Д.А. Устойчивость и стабилизация стационарных движений одноколесного po6oTa.//10th International Conference "Stability, control and rigid bodies dynamics", Donetsk, 2008. C. 70-71.

51. Морозов B.M., Назаренко А.Ю. Об одной модели одноколесного экипажа. //М.: Изд-во Моск. ун.-та.,Мобильные роботы и мехатронные системы: Материалы научной школы-конференции, 2001. с.227-237.

52. Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Динамика неголономных систем. М.: Наука, 1967.

53. Охоцимский Д.Е., Мартынеико Ю.Г. Новые задачи динамики и управления движением мобильных колесных роботов. //Успехи механики.2003. Т. 2, т. - с. 3-47.

54. Охоцимский Д.Е., Павловский В.Е. Проблемы динамики и управления мобильных колесных роботов. // Материалы. Научной школы-конф.

55. Мобильные роботы и мехатронные системы"М.: изд-во Моск.ун-та. 2005. ч. 1. С. 31-52.

56. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М. Наука.: Главная редакция физико-математической литературы, 1978. 552 с.

57. Румянцев В.В. Об устойчивости движения неголономпых систем // ПММ. 1967. Т. 34 Вып. 3. С. 260-271.

58. Румянцев В.В., Карапетян A.B. Устойчивость движения неголономных систем. // Итоги науки и техники. Сер. Общая механика. Т. 6. М.: ВИНИТИ, 1976. с. 5-42.

59. Суслонов В.М., Вячков A.B., Иванов В.Н. Уравнения динамики систем твердых тел в избыточных координатах // Вестн. Пермского ун-та. Математика. 1994. Вып. 1. с. 185-192.

60. Татаринов Я.В. Уравнения классической механики в лаконичных формах М.: Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2005. 88с.

61. Чаплыгин С.А. Исследования по динамике неголономных систем. М.; JI.: Гостехтеоретиздат, 1949. - 112 с.

62. Четаев Н.Г. Устойчивость движения и работы по аналитической механике. М.: Издательство академии наук СССР, 1962. 535с.

63. Appel P. Developpement sur une forme nouvelle des equations de la Dynamique // J. math, pures et appl. 1900. T. VI. Fase. I P. 5-40.

64. Arnold W.F., Laub A.J. Generalized Eigenproblem Algorithms and Software for Algebraic Riccati Equations, Proceedings of the IEEE , Vol. 72, Dec. 1984, pp. 1746-1754.

65. H. Benjamin Brown Jn.; Yangsheng Xu A single-wheel, gyroscopically stabilized robot //Proc. of the IEEE International Conference on Robotics and Automation Minneapolis. Minnesota April 1996. p. 3558-3661.

66. Bloch A.M., Reyhanolglu M., McClamroch N.H. Control and Stabilization of Nonholonomic Dynamic System. // IEEE Trans. AC-37 n. 11 1992. p. 1746-1757.

67. Bloch A.M. Stability of Nonholonomic Control Systems. Automática. V. 28. n. 2. 1992. p. 431-435.

68. Bloch A.M., Krishnaprasad P.S., Marsden J.E., Murray R. Nonholonomic Mechanic Systems with Symmetry. Arch.Rat. mech. An., 136, 1996, p. 21-99.

69. Bloch A.M., McClamroch N.H. Control and Stabilization of Nonholonomic Chapligin Dynamic Systems. Proc. IEEE Conf. Decision Control. 1991. Brighton, UK. p. 1127-1132.

70. Byachkov A.B., Suslonov V.M. Maggis's equations interms of quasi-coordinates // Regular and chaotic dynamics. 2002. V. 7, num. 3. p. 269-280.

71. Cardini S.B. A history of the monocycle stability and control from inside the wheel. // Control system magazine, IEEE. 2006. v. 26, n. 5 p. 22-26

72. A. De Luca, G. Oriolo Modeling and control of nonholonomic mechanicalsystems, //in "Kinematic and dynamics of multi-body systems"GISM Courses add Lectures № 360., Spr. ver. 1995. pp. 277-332

73. Fumiaki Takemori, Yoshifumi Okuyama Stabilizing control of a monocycle based on H^ control theory // Proc. of the Asian Control Conf. Tokyo, 1994, P.560-568, 569-576.

74. Hautus M.L.J. Controlability and observability conditions of linear autonomus system // Proc. Kon. Ned. Akad. Wetensch. Ser. A. 1969. V. 72. P. 443-448.

75. Karapetyan A.V., Kuleshov A.S. Steady motions of nonholonomic systems // Regular and Chaotic Dynamics. 2002. V. 7. №1.

76. Laub A.J., Arnold W.F. Controllability and observability criteria for multivariable linear second-order models // IEEE Trans. Automat. Control. 1984. V. AC-29. n2. P. 163-165.

77. Martynenko Yu.G., Kobrin A.I., Lensky A. V. Stablization of single-wheeled mobile robot with an unpertubed platform. In: Proc. Intern. Colloquium on Autonomous and Mobile Systems. Magdeburg, Germany, Frauhofer IRB Verlag, June 2002, p. 78-82.

78. V.M. Morozov, V.I. Kalenova, M.A. Salmina, A A Kozhanov, D.A. Balashov (Lebedev) Problems of stability and stabilization of nonholonomic mechanical systems.//Proc. IASTED. Automation, control, and information technology, Novosibirsk, 2005. P. 282-287.

79. Sage A.P., White C.C. Optimum Systems Control, 2nd ed., Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1977.

80. Z. Sheng, K. Yamafuji Stability and Motion Control of a Unicycle (1st Report: Dynamics of a Human Riding Unicycle and Its Modeling by Link Mechanisms) // Journal of Robotics and Mechatronics, Vol.6, No.2 pp. 175-182, 1994

81. Sheng Z., Yamafuji K., Ulanov S. Study on the stability and motion control of a unicycle 4th reports: Fuzzi gain schedule PD controller for managing nonlinearity of system // JSME Intern. Journal. Ser. C.1996. V. 39. No. 3. P. 569-576.

82. Takayuki Tanaka, Hisanobu Suzuki,Kazuo Tanaka Principle of Stable Running of an Unicycle Robot // Journal of Robotics and Mechatronics, Vol.14, No.l pp. 37-45, 2002

83. Xu Y., Au K. W. Stabilization and path following of a singlewheel robot. IEEE Trans, on Mechatronics, 2004, v. 9, no. 2, p. 407-415.

84. Yongsheng Ou., Yangsheng Xu Gyroscopically stabilized robot: balance and tracking. // International Journal of advanced robotic systems, vol. 1 (2004), ISSN 1729-8806, pp. 23-32.

85. Zenkov D. V., Bloch A.M., Marsden J.E. The energy-momentum method for the stability of nonholonomic systems // Dynamics and Stability of Systems. 1998. V. 13. p. 123-166.

86. Zenkov D.V., Bloch A.M., Leonard N.E., Marsden J.E. Matching and Stabilization of the Unicycle with Rider.// Proc. IFAC, 2000.

87. Zenkov D.V., Bloch A.M., Marsden J.E. Stabilization of the Unicycle with Rider. // Proc. CDC 38, 1999, 3470-3471.

88. Zenkov D.V., Bloch A.M., Marsden J.E. The Luapunov-Malkin Theorem and Stabilization of the Unicycle with Rider. // Systems and Control Letters 45, 2002, p. 293-302.