Асимптотические свойства решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малой нелинейностью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

¡1^_

'' ; На правах рукописи

КРЫЖЕВИЧ Сергей Геннадьевич

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С МАЛОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2000

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.

Научный руководитель: член-корреспондент

Российской Академии наук,

доктор физико-математических наук,

профессор Плисс Виктор Александрович.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Леонов Геннадии Алексеевич,

кандидат физико-математических наук, доцент Токарев Сергей Петрович.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

архитектурно-строительный университет.

Защита состоится " ,"?0 " Исаорд_2000 г. в II °часов на за

седанпн диссертационного совета Д 063.57.30 по защите диссерта цпй на соискание ученой степени доктора фнзико-математнческго наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Петродворец, Библиотечная пл. д.2, математико-механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им М. Горького Санкт-Петербургского государственного ушшерспте та.

Автореферат разослан " ДО Оу-Г^яо^ 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат технических наук Сушков Ю. А.

6/6-А/ ¿03

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Задача об условной устойчивости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений по первому приближению, рассматриваемая в настоящей работе, является одной из классических проблем теории обыкновенных дифференциальных уравнении, исследовавшихся еще Ляпуновым и Пуанкаре. В частности, А. М. Ляпунов [1] рассмотрел системы, аналитические по фазовым переменным, в случае, когда линейная часть является правильной. В 20-е годы О. Перрон [2] исследовал ситуацию, когда линейная часть исходной системы гиперболична, а нелинейное возмущение удовлетворяет в некоторой окрестности нуля условию Липшица по фазовым переменным с достаточно малой константой. Важный результат был установлен Д. М. Гробманом [3] в 1952 году. Было показано, что положение равновесия дифференциальной системы с правильной линейной частью условно устойчиво по первому приближению, если нелинейное возмущение удовлетворяет условию Липшица по фазовым переменным, но на этот раз соответствующая «константа» экспоненциально стремится к нулю при возрастании времени, причем скорость этого убывания больше коэффициента неправильности линейной части.

Вскоре после этого были получены необходимые и достаточные условия грубости линейной системы при малых в метрике С1 возмущениях. Было показано, что свойствами грубости обладают линейные системы, приводимые некоторым ляпуновским преобразованием к блочно-диагональному виду с такими интегрально разделенными блоками, что верхний и нижний показатели каждого блока совпадают [4, теорема 15.2.1]. Обратный результат был получен В. М. Миллпонщнковьш [5], а также Б. Ф. Быловым н Н. А. Пзобовым [6]. Многочисленные работы посвящены вопросам подвижности характеристических показателей негрубых линейных систем при линейных возмущениях, удовлетворяющих различным специальным условиям. В частности, Н. А. Изобов [7,8] определил точные границы подвижности старшего и младшего показателей линейной системы при экспоненциально малых линейных возмущениях н при нелинейных возмущениях с нелинейностями порядка

малости выше первого. Были установлены условия, достаточные (В. М. Миллионщиков [9,10]) и необходимые (А. М. Нурматов [11]) для сохранения спектра линейной системы при таких возмущениях. Однако до последнего времени оставались нерешенными задачи об условной устойчивости и асимптотическом поведении решений неанатштических систем с негрубой линейной частью. Также был открытым важный в теоретическом смысле вопрос о возможности связать воедино утверждения теорем Ляпунова и Перрона. Кроме того, оставалось неясным, можно ли привести критерий условной устойчивости по первому приближению, аналогичный утверждению об асимптотической устойчивости по первому приближению, доказанному Н. А. Пзобовым [8].

Цель работы. Введение классификации линейных систем и возмущений, позволяющей описывать поведение решений линейных неоднородных и нелинейных (возмущенных) систем. Формулировка и доказательство новых теорем об асимптотических свойствах решений дифференциальных систем.

Методы. Автором вводится и используется новый метод последовательных приближений, обобщающий тот, при помощи которого доказана теорема Перрона, и сходящийся при более общих предположениях. Этот метод также может быть применен для численного нахождения решений нелинейных систем. Кроме того, использован ряд классических методов теории линейных систем, качественной теории дифференциальных уравнений, а также различные методы доказательства существования ограниченных решений у линейных неоднородных систем, предложенные В. М. Миллион-щиковым, В. А. Плпссом [12] и другими авторами.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Выделим следующие основные.

1. Доказан ряд теорем о зависимости показателей линейных неоднородных систем от свойств матриц коэффициентов и не-однородностей. Для этого введены новые классы так называемых слабо гиперболичных систем, включающие в себя гиперболичные и правильные системы. Исследованы свойства

таких систем, приведен ряд примеров.

2. С использованием построенной теории слабо гиперболичных систем доказаны теоремы об условной устойчивости нулевого решения нелинейной системы по первому приближению в зависимости от свойств линейной части и нелинейности, обобщающие теоремы Ляпунова, Перрона и Гробмана.

3. Обобщены классические теоремы о поведении решений нелинейных систем, начинающихся вне устойчивых поверхностей.

4. Решена задача, обратная к той, о которой шла речь в пункте 2, то есть получены условия на линейную систему, необходимые для условной устойчивости нулевых решений возмущенных систем с нелннейностями порядка малости, большего единицы, по первому приближению.

5. Получены необходимые и достаточные условия сохранения спектра линейной системы при экспоненциально малых возмущениях.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Введена классификация линейных однородных систем в зависимости от поведения решений систем, получающихся из данной при добавлении различных неод-нородностей. Приведен новый метод последовательных приближений для отыскания решения нелинейных систем. Выяснены условия его сходимости. Доказаны теоремы об условной устойчивости нулевых решении нелинейных систем по первому приближению, обобщающие классические результаты и устанавливающие связь между утверждениями теорем Ляпунова и Перрона. При достаточно общих предположениях на линейную часть и нелинейное возмущение дифференциальной системы исследовано асимптотическое поведение решений, проходящих через окрестность начала координат. Доказан ряд новых теорем о неустойчивости и условной неустойчивости по первому приближению. Показана эффективность применения полученных в диссертационной работе результатов по сравнению с известными ранее.

Апробация работы. Основные результаты были изложены на следующих конференциях и семинарах.

1) Вторая международная научно-практическая конференция "Дифференциальные уравнения и их применения" (Санкт - Петербург, 1998).

2) Третья ассамблея молодых ученых и специалистов (Санкт -Петербург, 1998).

3) XXVII летняя школа-семинар "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем" (Санкт - Петербург, 1999).

4) Городской семинар по дифференциальным уравнениям проф. В. А.Плисса (Санкт - Петербург, 1999).

5) Третья международная научно-практическая конференция "Дифференциальные уравнения и их применения" (Санкт - Петербург, 2000).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1 - 7], приведенных в конце автореферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация содержит 120 страниц машинописного текста и состоит из введения, трех глав, разделенных на 13 параграфов, заключения и списка литературы из 62 наименований.

Краткое содержание работы

Постановка задачи.

Рассматривается линейная система

х = А{г)х, (1)

где х € К", а А(Ь) — матрица, определенная и кусочно-непрерывная при

Обозначим символом || ■ || некоторую векторную норму в и соответствующую ей матричную норму. Рассмотрим Ф(£) — некоторую фундаментальную матрицу системы (1), и Ф(£, т) — матрицу Коши этой системы. Кроме того, введем в рассмотрение для

измеримой вектор-функции д(£) неоднородную систему

х = А Ц)х + д^). Также рассмотрим систему

х

(3)

получаемую из (1) добавлением возмущения /(¿..г), удовлетворяющего следующим условиям:

1. отображение / непрерывно в цилиндре II = [¿о,+оо) х и, где и — некоторая окрестность начала координат в М";

2. /(¿,0) = 0 для любого t >

3. отображение / удовлетворяет условию Липшица по х в области определения, а именно существует такая положительная константа Ь1 что Ц/^.г']) — /(1,х->)\\ ^ Щх\ — л,'2|[ для любых

2 е и, t > о.

Фиксируем числа А > 0 п е ^ 0.

Определение. Система (1) называется слабо гиперболичной с константами Л и е. если существует такое число С > 0, что для любой вектор-функции #(£), удовлетворяющей при почти всех I ^ to оценке [|/у(^)|| ^ ехр(—А(1+£■)£). соответствующая система (2) имеет решение <р(Ь), для которого ||<<з(£)|| ^ Сехр(—Л/").

Обозначим класс систем, слабо гиперболичных с константами Л н с через И7//(Л, е). Отметим, что для любых чисел и таких, что -^1,2 > 0 и £])2 ^ 0 таких, что Л1 ^ А2 и А1 (1 + вх) ^ А2(1 + £2) имеет место включение И^Д^Ах, С \УН{А2, £'_>)■

Примеры слабо гиперболичных систем.

В главе 1 доказывается ряд утверждений, показывающих связь слабой гиперболичности линейных систем с такими хорошо изученными их свойствами, как гиперболичность и правильность.

Теорема 1. Если система (1) гиперболична, то существует такое число Ао > 0, что для любого А Е (0, Ао) эта система принадлежит классу IVII(А, 0).

Теорема 2. Если гробмановский коэффициент неправильности системы (1) равен п. то для любых Л > 0 и t > 0, удовлетворяющих неравенству As > ст, эта система принадлежит классу 1 VH(\,s).

Теорема 3. Пусть система (1) принадлежит классу \VH(X,s) и пусть невырожденная матричная функция L(t) такова, что

1) L{t) еСЧ^о.+оо)),

2) ||L(i)|| < Ci exp(ai) и ||L_1(0II < С2 exp(/3t) для некоторых Ci,2G К таких, что Cii2 > 0 и -q ^ ¡3 < Л.

Тогда система у = B{t)rj с матрицей коэффициентов

Показано, что если система (1) является блочно диагональной, причем каждый блок представляет собой систему класса \УН(\. г), то и сама система (1) также принадлежит классу \УН(А, е).

Теоремы об условной устойчивости по первому приближению.

Основными результатами диссертации являются теоремы, приведенные в главе 2.

Определение. Пусть II — некоторая окрестность начала координат в К", а > 1 — вещественное число, Дг — наибольшее натуральное число, строго меньшее а, а возмущение / в системе (3) кроме приведенных выше условий удовлетворяет еще и следующим:

1) / £ Сх и для любого мультииндекса I такого, что |/| ^ N,

B{t) = L~l{t)A(t)L(t) - L~l(t)L(t), получаемая из (1) заменой

х = L(t)y,

принадлежит классу ТГ-ЩАх,^), где Xi = А — /3,

(4)

А(1+е) + а £l= А - /3 +

£i =

+ 1.

2) существует такое число Ь > О, что для любого мультииндекса I такого, что |/| = Аг, при ^ ^ ¿о выполнено условие Гельдера: для любых X | ■> € II

В этом случае будем говорить, что отображение / имеет порядок малости а по х в окрестности 17.

Теорема 4. Пусть Л, е н о — положительные числа, а система (1) принадлежит классу \УН(Х, е). Рассмотрим систему (3), определенную в области О = : t ^ t0, ||ж|| < Для которой выполнены следующие условия:

1) отображение / имеет порядок малости не менее 1 + е по х в некоторой окрестности II начала координат в М";

2) если А1,...,А„ — характеристические показатели системы (1), то для некоторого 1 ^ к ^ п справедливо неравенство:

(если к = п, то полагаем А„+1 = +оо).

Если системы (1) и (3) удовлетворяют перечисленным выше условиям, а М — наибольшее целое число, строго меньшее 1 + е, то существует С1 — гладкое и взаимно однозначное отобралсение

2. если Ф(£) = ..., Аг„(£)) — нормальная фундаментальная матрица системы (1) такая, что характеристические показатели вектор-функций Л'х (/),..., Хп(Ь) равны А1,..., А„ соответственно, а / — матрица Якоби отображения g в начале координат, то 3 = (Л^о),.... Хк^0))\

3. для любого х0 такого, что ¡|ж0|| < <т и существует у0, для которого

Аг ^ ... < \к < -А < Аа.+1 ^ ... < А

71

(5)

хо = <7(2/о),

(6)

решение системы (3) с начальными данными x(io) = ^о имеет при t —> +00 характеристический показатель, не превосходящий —Л.

Изучена также ситуация, когда нелинейное возмущение удовлетворяет условию Липшица по фазовым переменным. Получен следующий результат, обобщающий теоремы Перрона и Гробмана.

Теорема 5. Пусть Л > 0, е ^ 0, система (1) принадлежит классу WH(X, е), и число к таково, что спектр этой системы удовлетворяет неравенству (5). Предположим, что существует такое I > 0, что выполнено условие

||/(t,a;i) -Д*,а-2)|| < /exp(-Aei)||*i - .r2|| (7)

для любых (i,^!^) € fi.

Существует такое число /о > 0, что если / £ (0, /0), то найдется непрерывное отображение h некоторой окрестности нуля из Ш.к в IR" такое, что:

1. /г(0) - 0;

2. ||/i(yi) — /г.(г/2)11 ^ Dl\\yi — У21| для любых из области определения h, причел: константа D зависит только от свойств системы (1);

3. если J = (Xi(t0),... ,Xk(t0)) (см. условие теоремы 4), то для любого о такого, что |[х0|| < а, для которого существует Уо €Е такое, что

хо = 9 {У о) = Jyo + h(y0), (8)

решение системы (3) с начальными данными x(t0) = х0 имеет характеристический показатель, не превосходящий —Л.

Теорема 6. Пусть система (1) приводится обобщенной ляпу-новской заменой (4) к виду у — diag(Z?i(i),Bo(t))y = B(t)y, причем существует кусочно-непрерывная функция B.(t), определенная на

луче [i0,+oo) и такая, что

t

lim sup - / R(t) cIt = -A < 0, i-+ + oo t J

10

являющаяся для систем

yi=5x(i)i/i (9)

и у■> = B2(t)y2 верхней и нижней функцией соответственно. Пусть система (9) имеет порядок к. Тогда для любого е > 0 и любого отображения /, плюющего порядок малости 1 + е, существует отображение g некоторой окрестности нуля из Шк в Мп, для которого справедливы утверждения пунктов 1-3 теоремы 4. Если отображение / вместо упомянутого выше условия малости удовлетворяет соотношению (7), то существует непрерывное отображение h некоторой окрестности нуля из Жк в Rn, для которого справедливы утверждения пунктов 1-3 теоремы 5.

В последнем параграфе главы 2 исследуются свойства решений системы (3), удовлетворяющей условиям теоремы 4 (теоремы 5), с начальными данными х(t0) = xq, для которых не выполнены соотношения (6) (соотношения (8)).

Определение. Пусть система (3) удовлетворяет условиям теоремы 4 или условиям теоремы 5. Пусть g(t\,y) — отображение, существующее в силу теоремы 4 или теоремы 5. если заменить в их условиях to на t\. Обозначим через x(t,ta,xо) решение системы (3) с начальными данными x(to) = хп. Определим устойчивое многообразие системы (3) по формуле

TFs(A,e) = {^о е М" : Зу0, h > t0 : x(tut0,y0) = у0)> ■

Теорема 7. Пусть для системы (3) выполнены условия теоремы 4. Тогда существуют числа ß, 5 > 0 такие, что любое решение гp(t) системы (3), начинающееся при t = to в Us ~ 6 - окрестности начала координат в Шп и вне поверхности TFs(A,c), не удовлетворяет при некотором t ^ to оценке ||V'(i)ll < ß cxp(-Xt) или не продолжимо на луч |>0,+оо).

Теорема 8. Пусть для системы (3) выполнены условия теоремы 5. Тогда существует число 5 > 0 такое, что для любого решения системы (3), начинающегося при £ = ¿о в {7<5 вне поверхности ТУ5(Л,е) и продолжимого на луч [£0,+ос), функция ехр(А£)

не ограничена при £ ^

Критерии условной неустойчивости.

В главе 3 изучаются задачи, обратные к тем, что рассмотрены в главе 2. В первом ее параграфе приведены теоремы, которые можно объединить в следующее утверждение.

Теорема 9. Для того, чтобы при любом выборе равномерно С1-гладкой по х вектор-функции /, удовлетворяющей условиям

1. /м) = о,

2.

нулевое решение соответствующей системы (3) было устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы нейтральный верхний показатель системы (1) был отрицателен.

В параграфе 2 этой главы получен следующий результат.

Теорема 10. Пусть система (1) имеет ограниченную матрицу коэффициентов и пусть для некоторого числа / £ {0,... , п} существует такая матричная функция (^(Ь), что ||ф(£)|| ^ Сехр(—ст£) для некоторых С, а > 0 и при этом пространство решений системы х = (А(Ь) + стремящихся к нулю при £ —> +оо, имеет размерность I. Тогда существуют такое число а > 0 и такое нелинейное возмущение /(¿, ж), имеющее порядок малости, равный 1 + а, по х, что множество (¿о) начальных данных при £ = ¿о для соответствующей системы (3), которым соответствуют решения, стремящиеся к нулю при £ —> +оо, имеет размерность /.

Из результатов, полученных А. М. Нурматовым [11], и теоремы 10 вытекает следующее утверждение.

Теорема 11. Пусть к £ {0,... , и}, и пусть число А удовлетворяет соотношениям (5). Тогда для того, чтобы при любом выборе отображения /, имеющего порядок малости больше 1, существовало отображение д, удовлетворяющее условиям 1-3, приведенным в

теореме 5, необходимо, чтобы система (1) удовлетворяла следующим требованиям.

I. Данная система приводится обобщенно ляпуновским преобразованием к блочно-треугольному виду у = tliag(Z?i (£), B2(t))y, причем показатели систем

"1=ВЛ\!П 11 (10)

y2 = B2(t)y2 к '

равны Aj,.... Ад. н ..., Хп соответственно.

II. Верхний показатель Изобова [G,7] первой из систем (10) не превосходит числа —А.

III. Блоки Bi(t) и B2(t) экспоненциально разделены, то есть для всякого числа а > 0 существует такая постоянная Та > f0, что для любых bi(t) 6 diag.Bi(i) и bj(t) 6 diagB2(t) при всех t ^ s ^ выполнено неравенство

t

У(Мг)-Ь,-(т))Лг >-<rt.

Литература

1. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.: Наука. 195G. Т.2, 47G с.

2. Perron О. Uber Stabiliat und asymptotisches Verhalten der Integrale von Differentialgleichungssystemen // Math. Z., 1929. S. 129 - 160.

3. Гробман Д. M. Характеристические показатели систем, близких к линейным // Мат. сб., 1952. Т.30, № 1, с. 121 - 166.

4. Былое Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.: Наука. 1966, 576 с.

5. Миллионщиков В. М. Грубые свойства линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1969. Т.5, № 10, с. 1775 - 1784.

6. Вылов Б. Ф., Изобов H.A. Необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей линейной системы // Дифференц. уравнения. 1969. Т.5, Л'г 10, с. 1794 -1803.

7. Изобов Н. А. Экспоненциальные показатели линейных систем и их вычисление // ДАН БССР. 1982. Т.26, № 1, с. 5 - 8.

8. Изобов H.A. Экспоненциальные показатели и устойчивость по первому приближению // Весщ Акадэмп Навук БССР. 1982. Сер. ф1з-мат. навук. № 6, с. 389 - 392.

9. Миллионщиков В. М. Линейные системы, обобщенно приводимые к упорядоченно-диагональному виду // Дифференц. уравнения. 1993. Т.29, № 11, с. 2020.

10. Миллионщиков В. М. О вспомогательных показателях и экспоненциально инвариантных системах // Дифференц. уравнения. 1995. Т.31, № 11. с. 1932.

11. Нурматов А. М. Необходимые условия устойчивости характеристических показателей Ляпунова линейных дифференциальных систем при экспоненциально убывающих возмущениях // Дифференц. уравнения. 1989. Т.25, № 3, с. 335 - 336.

12. Плисс В. А. Равномерно ограниченные решения линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1977. Т.13, № 5, с. 883 - 891.

Публикации автора по теме диссертации

1. Крыжевич С. Г. Обобщение теоремы Ляпунова об условной устойчивости на случай неаналитичности // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 1998. Сер 1, Вып. 4. с. 32 - 38.

2. Крыжевич С. Г. Об условной устойчивости неаналитическнх систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Вторая научно - практическая конференция «Дифференциальные уравнения и их применения». С.-Петерб., тезисы, 1998. с. 126 -127.

3. Крыжевич С. Г. О достаточных условиях сходимости метода последовательных приближений // Третья Санкт-Петербургская ассамблея молодых ученых и специалистов. С.-Петерб., тезисы, 1998. с. 56.

4. Крыжевич С. Г. Свойства систем, обобщенно приводимых к гиперболичным на семействе отрезков // Сб. «Нелинейные динамические системы». Вып. 2, 1999. с. 119 - 126.

5. Крыжевич С. Г. Интегральная разделенность и условная устойчивость решений обыкновенных дифференциальных систем по первому приближению // Вестник молодых ученых, Сер. Прикладная математика и механика. 2000. Л- 3, с. 34 - 49.

6. Крыжевич С. Г. Условная устойчивость систем обыкновенных дифференцпа1ьных уравнений и полугпперболнческие системы // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, № 1, с. 39 - 47.

7. Крыжевич С. Г. On the conditional unstability // Третья научно - практическая конференция «Дифференциальные уравнения и их применения». С.-Петерб., тезисы, 2000. с. 62.

ЛР № 040815 от 22.05.97.

Подписано к печати 04. 10. 2000 г. Формат бумаги 60X90 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1554. Отпечатано в отделе оперативной полпграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика. 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр. 2.

Введение.

1 Определение, свойства и некоторые примеры слабо гиперболичных и полугиперболичных систем

1.1 Полугиперболичные системы.

1.2 Линейные неоднородные системы, имеющие экспоненциально убывающее решение.

1.3 Примеры слабо гиперболичных систем.

1.4 Свойства систем, обобщенно приводимых к гиперболичным на некотором семействе отрезков.

2 Условная устойчивость нулевых решений систем со слабо гиперболичной линейной частью

2.1 Зависимость условной устойчивости от порядка малости нелинейного возмущения.

2.2 Некоторые следствия теоремы 2.1.

2.3 О возмущениях, липшицевых по фазовым переменным

2.4 Условная устойчивость и обобщенная приводимость

2.5 Поведение решений возмущенной системы, начинающихся вне устойчивого многообразия.

3 Некоторые необходимые и достаточные условия сохранения характеристических показателей

3.1 Связь между центральными показателями линейных систем и устойчивостью нулевых решений возмущенных систем

3.2 Критерий условной неустойчивости.

3.3 Условия упорядоченной диагонализуемости линейных систем.

3.4 О сохранении некратных показателей при экспоненциально малых возмущениях.

Проблема условной устойчивости по первому приближению является одной из основных в качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты, полученные в этой области, имеют широкое применение при решении практических задач.

Сформулируем основную задачу, решаемую в настоящей работе. Рассматриваются линейная система размерности п с кусочно-непрерывной при t ^ t0 матрицей коэффициентов и нелинейная гладкая по х вектор - функция /(£,#), обращающаяся в 0 при х = 0. Выясняется, каким условиям должны удовлетворять система (0.1) и возмущение /, чтобы пространству размерности к, состоящему из всех решений системы (0.1) с характеристическими показателями, меньшими некоторого заданного числа а, соответствовало к - мерное многообразие начальных данных, определяющих решения системы имеющие характеристические показатели, меньшие некоторого числа ¡3.

Основополагающие результаты в этой области были получены Ляпуновым [26] и Перроном [62]. A.M. Ляпунов в своей знаменитой диссертационой работе доказал теорему об условной устойчивости нулевого решения системы (0.2) в случае, когда система (0.1) является правильной, а функция f(t,x) при любых t ^ to удовлетворяет условию , 0) = 0 и равномерно аналитична по х в цилиндре х = A(t)x

0.1) х = A(t)x + f(t, ж),

0.2)

Я = [t0, со) х U С R х R' П где 11 — некоторая окрестность нуля в М.п. Автору в работе [21] удалось ослабить последнее требование.

О. Перроном был получен результат об условной устойчивости нулевого решения системы (0.2) в случае, когда система (0.1) гиперболична, а возмущение / удовлетворяет в некоторой окрестности нуля в К™ условию Липшица для достаточно малой положительной константы /. (Здесь и далее символ || • || обозначает некоторую векторную норму в М.п и соответствующую ей матричную норму.)

Важные результаты, связанные с рассматриваемой задачей, были получены Б. Ф. Быловым [6, 7], Р. Э. Виноградом [6, 9], Д. М. Гробма-ном [6, 10], Н. А.Изобовым [5, 7], [14] — [20], В.М.Миллионщико-вым [28] — [38], А. М.Нурматовым [42], В.А.Плиссом [46] — [49], Р.А.Прохоровой [50], А.С.Фурсовым [56] — [59] и другими авторами.

Целью данной работы является формулировка и доказательство ряда новых критериев условной устойчивости по первому приближению, обобщающих приведенные выше.

В главе 1 вводятся классы так назваемых слабо гиперболических линейных систем \\ГН(А,£), определенные при А > 0 и е ^ 0. Система (0.1) считается принадлежащей классу \¥Н(А, г), если существует такое число К > 0, что если вектор - функция д{1) при £ ^ £0 Удовлетворяет оценке

0.3) <ехр(-А(1+е)*) то система х = А(Ь)х + д(г)

0.4) имеет решение ср^) такое, что

И*)||<*ехр(-А*).

Кроме того, введены более узкие классы 8Н(Л,е) линейных систем, для которых упомянутое выше решение (р{£) может быть найдено по конкретным формулам (1.17).

Главным результатом диссертации является теорема 4.1, обобщающая теоремы Ляпунова, Перрона и Гробмана, а также позволяющая рассмотреть ряд малоисследованных проблем, связанных с условной устойчивостью про первому приближению. В частности, результаты вышеупомянутой теоремы применимы в ситуации, когда матрица коэффициентов системы (0.1) неограничена, или, например, в случае, когда коэффициент неправильности системы (0.1) велик, но возмущение /(¿,ж) в системе (0.2) имеет достаточно высокий порядок малости по х в окрестности нуля.

Утверждение теоремы 4.1 сводится к следующему. Если линейная часть (0.1) системы (0.2) принадлежит классу \¥Н(А,е), а возмущение /(¿, х) удовлетворяет некоторому условию малости по х, также зависящему от А и £, то нулевое решение системы (0.2) условно устойчиво по первому приближению.

При доказательстве этой теоремы использован новый вариант метода последовательных приближений, сходимость которого обеспечивается тем, что система (0.1) принадлежит классу \¥Н(А,г).

В главе 1 приведены результаты, показывающие, что введенные классы слабо гиперболичных систем достаточно широки, и обосновывающие тем самым практическую ценность теоремы 4.1. Исследовано, как меняются константы А и е слабой гиперболичности системы (0.1) при линейных преобразованиях фазовых координат. Приведен ряд результатов о существовании у линейных неоднородных систем ограниченных решений и решений с неположительным характеристическим показателем. Показано, каким образом, используя данные теоремы, можно привести необходимые и достаточные условия слабой гиперболичности линейной системы. Решена задача В.М. Миллионщикова [36].

В параграфе 3 главы 1 выяснено, что в классы ШН(А, е) входят системы, приводимые к гиперболическим на каждом из отрезков семейства, дающего в объединении луч [¿о, сю)

Утверждения теорем 1.2, 1.6 и 2.4 показывают связь между константами слабой гиперболичности системы (0.1) и ее коэффициентом неправильности.

Теоретическую ценность полученных результатов иллюстрирует теорема 2.7. С использованием свойств классов 8Н(А,г) доказывается предельный случай теоремы Былова-Винограда [б, теорема 15.2.1]. Выяснено, что если в условии интегральной разделенности [6, с.208, формула (15.4)] положить соответствующую константу а равной нулю и допустить в условии самой теоремы обобщенные ля-пуновские преобразования вместо ляпуновских, то при возмущениях порядка малости выше первого утверждение об условной устойчивости нулевого решения остается справедливым.

Исследовано поведение решений, начинающихся вне устойчивых поверхностей. Методами, близкими к тем, что используются при изучении свойств решений систем с гиперболической линейной частью, получаются результаты о свойствах решений систем со слабо гиперболической линейной частью, начинающихся вне устойчивой поверхности ]У8, близкие к теореме 2.2 из книги [45].

В первом параграфе главы 3 доказывается необходимость условий устойчивости решений нелинейных систем по первому приближению, предложенных Б. Ф. Быловым, Р. Э. Виноградом, Д. М. Гроб-маном и В. В. Немыцким в книге [6]. Основной результат этого параграфа представляет собой обобщение известной теоремы В. М. Миллионщикова о достижимости центральных показателей, приведенной в работе [29].

В параграфе 2 этой главы изучается задача о сохранении спектра линейной системы при добавлении линейного возмущения с экспоненциально убывающей по норме матрицей коэффициентов. Показано, что для того, чтобы для систем (0.2) с фиксированной линейной частью и произвольными возмущениями порядка малости выше 1 было справедливо утверждение теоремы об условной устойчивости по первому приближению необходимо, чтобы при добавлении экспоненциально убывающих линейных возмущений количество ее отрицательных показателей не уменьшалось. Таким образом, требования, изложенные в статье [42], также являются необходимыми и для условной устойчивости нулевых решений систем вида (0.2).

Исследованы достаточные условия сохранения характеристических показателей линейной системы, полученные В.М. Миллионщи-ковым. В частности, получен критерий принадлежности линейной системы классу GROD [34] в зависимости от свойств ее фундаментальной матрицы. Показано, что в случае, когда все характеристические показатели линейной системы имеют кратность 1, необходимые условия сохранения спектра, полученные A.M. Нурматовым, и достаточные условия Миллионщикова совпадают.

Итак, в работе получены следующие основные результаты.

Пусть линейная однородная система такова, что при добавлении любой экспоненциально убывающей неоднородности полученная система имеет экспоненциально убывающее решение. Тогда для любой нелинейной системы, имеющей данную своей линейной частью, с нелинейностью, удовлетворяющей некоторому условию малости по х, локальное многообразие начальных данных, которым соответствуют экспоненциально убывающие решения, может быть найдено с помощью метода последовательных приближений, обобщающего тот, что используется при доказательстве теоремы Перрона.

С помощью этого метода последовательных приближений для нелинейных систем, обладающих приведенными выше свойствами, доказана теорема об условной устойчивости по первому приближению. Исследовано поведение решений, начинающихся вне устойчивого многообразия.

Выяснено, что этот результат обобщает теоремы Ляпунова, Перрона и Гробмана и дает критерий условной устойчивости по первому приближению для нелинейных систем в зависимости от малости их нелинейной части. Одним из следствий этой теоремы является утверждение, обобщающее теорему Былова-Винограда.

Кроме того, в данной работе изучается, какие именно линейные системы обладают упомянутым выше свойством. В частности, как оказывается, для этого достаточно гиперболичности, либо правильности, или гиперболичности на семействе отрезков, либо обобщенной приводимости к одному из указанных выше классов линейных систем. Также приведены условия, необходимые для условной устойчивости по первому приближению и приведен критерий сохранения спектра линейной системы при экспоненциально убывающих возмущениях в общем случае.

Заключение

Сформулируем основной результат диссертационной работы полученный в главе 2, в виде одной теоремы, обобщающей теоремы 2.1, 2.3, 2.10, 2.12 и следствие 2.1.

Теорема 4.1. Пусть А > 0, е ^ 0, II — некоторая окрестность начала координат в Мп, а система (0.1) слабо гиперболична с константами А и е. Предположим, что возмущение /(£,#), определенное в цилиндре Н = [£о5°°) х и, таково, что

1. /(£,0) = 0 для любого £ ^ £0;

2. для некоторого а ^ 1 выполнено: а. /(£,ж) принадлежит классу См по х в области Н для любого целого числа М такого, что 0 М < а; б. для любого мулътииндекса т, удовлетворяющего условию \т\ < а, выполнено: яН / в. если мулътииндекс т таков, что \т\ — М < а М 1, то д\т\х д\т\* Цг)\\хг - х2 а-М. ?

3. существуют такие числа /3 ^ 0 и I > 0, что Ь(Ь) ^ /ехр(—(ЗЬ) при достаточно больших

Пусть справедливо неравенство Л

Если системы (0.1) и (0.2) удовлетворяют перечисленным выше условиям, то при достаточно малых I в случае, когда (4.1) обращается в равенство, и при любых I в противном случае справедливо следующее утверждение об условной устойчивости системы (0.2).

Существует См - гладкое и взаимно однозначное отображение д некоторой окрестности нуля из в К" такое, что выполнены следующие условия.

1. д(0) = 0.

2. Если Ф(£) = (Х[(£),., Хп(£)) — нормальная фундаментальная система решений (0.1) такая, что характеристические показатели вектор - функций Х\(£),.,Хп(£) равны Ах,., Лп соответственно, а а > 1, то ] = (Х^о),., Х^(£0)) — матрица Якоби отображения д в точке 0. Если

У. = 1, то для функции Ь(у) — д(у) — Ту справедливо условие Липшица причем константа И определяется исключительно свойствами системы (0.1).

3. Для любого .то, для которого существует уо Е такое, что х0 = д(у0), (4.2) решение системы (0.2) с начальными данными а(*о) = % (4.3) имеет при I —>■ +оо характеристический показатель, не превосходящий —А.

4- Существуют а > 0 и 7 > 0 такие, что для любого удовлетворяющего условию ||т0|| < сг, и такого, что равенство (4.2) не выполнено ни для какого уо, решение соответствующей задачи Коши для уравнения (0.2) с начальными данными (4.3) не удовлетворяет ни при каком I ^ оценке х(£)|| < 7ехр(—А£).

Замечание Доказательство данной теоремы в случае, когда (4.1) не обращается в равенство, аналогично доказательству теоремы 2.1, а в противном случае — доказательству теоремы 2.3. Справедливость утверждения пункта 4 этой теоремы доказывается тем же способом, что и теорема 2.10.

Автор благодарит своего научного руководителя В.А. Плисса за постановку задач и внимание к работе.

1. Адрианова Л. Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных уравнений. С.Пб.: Изд. С.-Петербургского университета, 1992., 240 стр.

2. Агафонов А.Г. О точках непрерывности показателей Ляпунова неоднородного уравнения // Успехи мат. наук. 1994. Т.49, Вып.4. С.93.

3. Барабанов А.Е. О свойствах старших <т-показателей // Дифферент уравнения. 1982. Т.18, №5. с.739-744.

4. Басов В.П. О структуре решения правильной системы // Вестн. Ленингр. ун-та. 1952. №12. с.3-8.

5. Батан С.Н., Изобов H.A. О неустойчивости характеристических показателей линейных дифференциальных систем при перронов-ских возмущениях // Дифференц. уравнения 1996. Т.32, №10. с.1341-1347.

6. Былое Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложение к вопросам устойчивости. М.: Наука. 1966. 576 стр.

7. Былое Б.Ф., Изобов H.A. Необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей линейной системы // Дифференц. уравнения. 1969. Т.5, №10. с.1794 1803.

8. Ветохин А.H. К одной задаче В.М. Миллионщикова // Дифферент уравнения. 1997. Т.ЗЗ, №11. с.1575.

9. Виноград Р.Э. Новое доказательство теоремы Перрона и некоторые свойства правильных систем // Успехи мат. наук. 1954. Т.9, Вып.2. с.129 136.

10. Гробман Д.М. Характеристические показатели систем, близких к линейным // Мат. сб. 1952. Т.ЗО, №1. с.121 166.

11. Далецкий Ю.А., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука. 1970. 534 стр.

12. Иванов Б.Ф. Частотный критерий ограниченности решений одного класса линейных систем // Дифференц. уравнения 1997. Т.ЗЗ, №5. с.704 705.

13. Иванов Б.Ф. Частотный критерий гладкости по параметрам решений одного класса линейных систем // Дифференц. уравнения 1997. Т.ЗЗ, №7. с.1001.

14. Изобов H.A. О старшем показателе системы с экспоненциальными возмущениями // Дифференц. уравнения 1969. Т.5, №7. с.1186-1192.

15. Изобов H.A. К теории показателей Ляпунова линейных и квазилинейных дифференциальных систем // Матем. заметки. 1980. Т.28, №3. с.459-476.

16. Изобов H.A. Экспоненциальные показатели линейных систем и их вычисление // ДАН БССР. 1982. Т.26, №1. с.5-8.

17. Изобов H.A. Экспоненциальные показатели и устойчивость по первому приближению // Весщ Акадэмп Навук БССР. 1982. Сер. ф1з.-мат. навук, №6. с.9-16.

18. Изобов H.A. Верхняя граница показателей Ляпунова дифференциальных систем с возмущениями высшего порядка // ДАН БССР. 1982. Т.26, №5. с.389-392.

19. Изобов H.A. О младшем показателе двумерной линейной системы с перроновским возмущением // Дифференц. уравнения 1997. Т.ЗЗ, №5. с.623 631.

20. Изобов H.A., Степанович О.П. О свойствах коэффициента неправильности линейных систем // Дифференц. уравнения 1990. Т.26, №11. с.1899-1905.

21. Крыжевич С.Г. Обобщение теоремы Ляпунова об условной устойчивости на случай неаналитичности // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 1998. Сер.1, Вып.4, с.32-38.

22. Крыжевич С.Г. Об условной устойчивости неаналитических систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Вторая международная конференция «Дифференциальные уравнения и их применения». С.-Петербург. Тезисы. 1998. с.126.

23. Крыжевич С.Г. О достаточных условиях сходимости метода последовательных приближений // Третья Санкт-Петербургская ассамблея молодых ученых и специалистов. Тезисы. 1998. С.56.

24. Крыжевич С.Г. Условная устойчивость систем обыкновенных дифференциальных уравнений и полугиперболические системы // Дифференц. уравнения. 2000. Т.36, Ж, с.39-47.

25. Крыжевич С.Г. Интегральная разделенность и условная устойчивость решений обыкновенных дифференциальных систем по первому приближению // Вестник молодых ученых. 2000. Сер. Прикладная математика и механика. №3. с.34-49.

26. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М., Наука, 1956. Т.2, 474 стр.

27. Мазаник С.А. Об асимптотической эквивалентности при возмущении диагональной системы // Дифференц. уравнения. 1994. Т.ЗО. №4. с.728.

28. Миллионщиков В.М. Доказательство достижимости центральных показателей линейных систем // Сибирский математический журнал. 1969. Т.10, №1 с.99-104.

29. Миллионщиков В.М. Грубые свойства линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1969. Т.5, №10. с.1775-1784.

30. Миллионщиков В.М. Вариант теоремы об условной устойчивости по первому приближению // Дифференц. уравнения. 1987. Т.23, №6. с.1097-1098.

31. Миллионщиков В.М. Две задачи о показателях Ляпунова линейных неоднородных систем // Дифференц. уравнения. 1992. Т.28, №6. с.1085 1086.

32. Миллионщиков В.М. Линейные системы, обобщенно приводимые к упорядочение-диагональному виду // Дифференц. уравнения. 1993. Т.29, №11. с.2020.

33. Миллионщиков В.М. Соотношение между двумя классами линейных дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. 1994. Т.ЗО, №6. с.1093-1094.

34. Миллионщиков В.М. О вспомогательных показателях n экспоненциально инвариантных системах // Дифференц. уравнения. 1995. Т.31, №11. с.1932.

35. Миллионщиков В.М. О вспомогательных показателях и условной устойчивости по первому приближению // Дифференц. уравнения. 1995. Т.31, №11. с.1933.

36. Миллионщиков В.М. Нерешенная задача о классах линейных систем // Дифференц. уравнения. 1995. Т.31, №11. с.1935.

37. Миллионщиков В.М. О системах Ляпунова Перрона и степенных вспомогательных показателях // Дифференц. уравнения. 1998. Т.34, №6. с.856.

38. Миллионщиков В.М. Плотность систем Ляпунова Перрона в пространстве гладких линейных расширений динамических систем // Успехи мат. наук. 1998. Т.53, Вып.4. с.145-146.

39. Морозов О.И. Некоторые достаточные условия полуустойчивости сверху показателей Ляпунова линейных систем I // Дифференц. уравнения. 1992. Т.28, №8. с.1312-1317.

40. Морозов О.И. Некоторые достаточные условия полуустойчивости сверху показателей Ляпунова линейных систем II // Дифференц. уравнения. 1992. Т.28, №8. с.1724-1732.

41. Морозов О.И. Некоторые достаточные условия полуустойчивости сверху показателей Ляпунова линейных систем III // Дифференц. уравнения. 1992. Т.28, №8. с.2049-2053.

42. Hyp матов A.M. Необходимые условия устойчивости характеристических показателей Ляпунова линейных дифференциальныхсистем при экспоненциально убывающих возмущениях // Дифферент уравнения. 1989. Т.25, №3. с.335-336.

43. Нурматов A.M. Необходимые условия устойчивости характеристических показателей Ляпунова линейных дифференциальных систем при экспоненциально убывающих возмущениях // Деп. в ВИНИТИ 12.03.87, №1811-В 87.

44. Панфилов П.Г. О почти периодическом решении линейной сингулярно возмущенной системы // Дифференц. уравнения 1997. Т.ЗЗ, №4. с.563.

45. Плисс В.А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1977, 304 стр.

46. Плисс В.А. Равномерно ограниченные решения линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1977. Т.13, №5. с.883-891.

47. Плисс В.А. Множества линейных систем дифференциальных уравнений с равномерно ограниченными решениями // Дифференц. уравнения. 1980. Т.16, №9. с.1599-1616.

48. Плисс В.А. Об устойчивости произвольной системы по отношению к малым в смысле С1 возмущениям // Дифференц. уравнения. 1980. Т.16, №10. с.1891-1892.

49. Плисс В.А. Связь между различными условиями структурной устойчивости // Дифференц. уравнения. 1981. Т.17, №5. с.828-835.

50. Прохорова P.A. Грубость LP дихотомий // Дифференц. уравнения. 1999. Т.35, т. с.856-857.

51. Рахимбердиев М.И. Об экспоненциальной разделенности систем линейных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. 1994. Т.49, Вып.4. с.141.

52. Сергеев И.Н. Точные верхние границы подвижности показателей Ляпунова системы дифференциальных уравнений и поведение показателей при возмущениях, стремящихся к нулю на бесконечности // Дифференц. уравнения. 1980. Т.16, №3. с.438-448.

53. Феклин В.Г. О показателях роста линейных неоднородных систем // Дифференц. уравнения. 1996. Т.32, №6. с.852.

54. Феклин В.Г. О характеристических векторах решений линейных неоднородных систем // Дифференц. уравнения. 1997. Т.33, №6. с.850.

55. Феклин В.Г. О точности оценки характеристических векторов решений линейных неоднородных систем // Дифференц. уравнения. 1997. Т.ЗЗ, №6. с.857.

56. Фурсов A.C. Критерий существования решения с малым ростом у линейной неоднородной системы // Дифференц. уравнения. 1993. Т.29, №11. с.2011-2012.

57. Фурсов A.C. Об одном характеристическом свойстве правильных систем // Дифференц. уравнения. 1994. Т.30, №6. с.1096.

58. Фурсов A.C. Оценки наименьшего показателя некоторого класса линейных неоднородных систем // Дифференц. уравнения. 1995. Т.31, т. с.1598 1599.

59. Фурсов A.C. Обобщенно дихотомические системы // Успехи мат. наук. 1995. Т.50, Вып.4. с.96.

60. Эдварде Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1969, 1072 стр.

61. Kryzhevich S. G. Asymptotic characteristics of motions for the systems with small nonlinearity // Proceedings of the XXVII Summer School Nonlinear Oscillations in Mechanical Systems, held in Saint-Petersburg, September, 1-8, 1999.

62. Perron 0. Uber Stabiiitat und asymptotisches Verhalten der Integrale von Differentialgleichungssystemen // Math. Z., 29, 1929. 129— 160.