Асимптотика решений некоторых классов дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае смены устойчивости точки покоя в плоскости "быстрых движений" тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ'УРАВНЕНИИ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНЫХ В СЛУЧАЕ СМЕНЫ УСТОЙЧИВОСТИ ФОКУСА В ОДНОЙ ТОЧКЕ ПЛОСКОСТИ БЫСТРЫХ ДВИЖЕНИЙ.

§ IЛ.Асимптотика решений одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае неустойчивости фокуса.

§ 1.2.Асимптотическое поведение решений одного класса систем дифференциальных уравнений с малым параметром при производных

§1.3. Асимптотика решений одного класса дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае смены устойчивости фокуса.

§ 1.4.Асимптотические оценки для решений одной системы дифференциальных: уравнений с малым параметром при производных в случае неустойчивости фокуса.

ГЛАВА 2. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИИ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНЫХ В СЛУЧАЕ СМЕНЫ УСТОЙЧИВОСТИ ФОКУСА В ДВУХ ТОЧКАХ ПЛОСКОСТИ БЫСТРЫХ

ДВИЖЕНИЙ.

§ 2.1.Исследование асимптотического проведения решений одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае смены устойчивости положения равновесия в двух точках плоскости быстрых движений.

§ 2.Асимптотика решений системы (2.1.4).

§ 2.3.Асимптотическое поведение решения одного класса дифференциальных уравнений с мальм параметром при производных в случае смены устойчивости фокуса в двух точках плоскости быстрых движений.

§ 2.4.Асимптотика решений системы (2.3.3).

ГЛАВА 3. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНОЙ И КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНЫХ.

§3.1. Асимптотика решений одного класса систем дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в критическом случае.

§3.2. Краевая задача для одного класса дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае частичной смены знаков действительных частей собственных чисел.

§3.3. Асимптотика решения краевой задачи.

ГЛАВА 4. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНЫХ В СЛУЧАЕ СМЕНЫ УСТОЙЧИВОСТИ ТОЧКИ ПОКОЯ В ПЛОСКОСТИ"БЫСТРЫХ ДВИЖЕНИЙ".

§4.1. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае смены устойчивости точки покоя в плоскости "быстрых движений".

§4.2. Асимптотика решений системы (4.1.5).

§4.3. Примеры.

ГЛАВА 5. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ В СЛУЧАЕ СМЕНЫ, УСТОЙЧИВОСТИ ФОКУСА.ф.

§5.1. Построение формального решения.

§5.2. Оценка остаточного члена.

Пусть дана следующая система дифференциальных уравнений где £ - малый положительный параметр^ ос и у соответственно—и £ - мерные векторы.

Некоторые авторы рассматривают неавтономную систему типа

I) ос = /Г^У.^Л а')

Системы такого типа встречаются во многих прикладных задачах. Например, в теории колебаний, теории радиотехнических приборов, теории автоматического регулирования, квантовой механике, гидродинамике и др.

Исследованию этой системы посвящены работы /1,3-7,9-21/, в которых изучается асимптотическое поведение решений системы (I) при . Обзор работ, посвященных исследованию системы дифференциальных уравнений с малым параметром при производных можно найти в £ 13-14/.

Известно, что при £ = 0 из (I) получается вырожденная система

У = 9с**) • (2)

Один из вопросов, связанных с системой (I) заключается в том, стремится ли решение системы (I), удовлетворяющее начальным условиям ус О-о; —~ э^о к решению вырожденной системы (2).

Впервые А.Н.Тихонов /У сформулировал условия, при которых решение системы (I), удовлетворяющее условиям (3), стремится к решению системы (2) при О .

Несомненно^А.Н.Тихонов первым положил начало исследованию систем с малым параметром при производной.

Л.С.Понтрягин и его ученики /I; 3-6/ значительно продвинули теорию системы с малым параметром при старшей производной в том смысле, что ими разработаны методы изучения системы (I), заключающиеся в следующем, а именно, вектор ос быстро меняется по сравнению с вектором у . Поэтому сначала рассматривается так называемая "система быстрых движений" некоторое устойчивое положение равновесия системы (4) в некоторой области изменения у . Подставляя (5) в

4) при фиксированном у . Пусть эс — </>(¥)

5) б) получаем систему

Пусть

У= (8) решение системы (7).

Допустим, что в интервале О решение (8) определено и положение равновесия (5) экспоненциально устойчиво, а при ¿=0 экспоненциальная устойчивость решения (5) теряется. Тогда точное решение

ЭСС+) = Ум), у&1 = у 06-) = ФС+) (9) вырожденной системы (2) является приближенным решением системы (I) с точностью до порядка <5 на всем интервале ~ , где ¿в - малое положительное число, не зависящее от 6 , если начальные значения системы (I) при отклоняются от начальных значений решения вырожденной системы (2) на величины порядка 8 . Получена асимптотика решения системы (I) при значениях / , включающих значение О , с точностью до величин порядков <5 3 и £

Каждое решение системы (4) с начальным значением в области притяжения стабильного решения быстро стремится к стабильному решению либо устойчивому положению равновесия, либо устойчивому предельному циклу. При медленном изменении у стабильное решение будет перемещаться в пространстве быстрых движений. Если устойчивость стабильного решения не нарушается, то рассматриваемое решение остается вблизи него. Если стабильное решение становится неустойчивым, то поведение решения системы (4) требует специального тонкого исследования.

А.Б.Васильева и её ученики [9-14| строили степенную асимптотику решений с любой степенью точности начальной задачи Коши и краевой задачи для системы

10) применяя метод пограничных функций, при выполнении определенных условий относительно правых частей (10). М.И.Иманалиев и его ученики

16-19] рассматривали систему интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной, которые строили степенную асимптотику решений начальной задачи Коши и краевых задач. Выяснены вопросы о влиянии интегральных членов и их особенность в теории сингулярно-возмущенных систем.

В работах С.А.Ломова и его учеников

20,52,53] изучена и построена асимптотика решения начальной задачи системы гэс = /¡(¿)х у- а &) (е* = №>*)) методом регуляризации сингулярно возмущенных задач (разработанным С.А.Ломовым) в предположении, что собственные значения Сс = /, /ъ) матрицы /4{£) удовлетворяют при каждом требованиям:

Кроме того

ДЛЯ всех "¿^Г^з^] при некотором ¿г"//?-^ /г]г

Здесь целые числа такие, что + -у- т^ ^ % .

В работе £15] рассматривается система и) об и где 0< S - малый параметр; x7"f — М- мерные вектор-функции; матрица и О

Пусть собственные значения C¿) (с=- М) матрицы ACtí Удовлетворяют условиям (é) - О Сс

Л (¿)<° С1 /^А ge A¿&) >°

Асимптотическое разложение решений начальной и краевой задачи в случае р= О строится по схеме в [ю] , а асимптотика начальной задачи в случае О и т — о построена в [ib], В работе [ib] при определенных требованиях строится асимптотика решения системы (II) с краевыми условиями axfp} s) = ах * о О/' [о (12) где ^ -т^ — С6 * - единичная матрица.

Может оказаться, однако, что критическое состояние будет иметь место не тождественно по £ , а для отдельных значений . В этом направлении имеется ряд работ А.А.Шишкина и В.И.Рожкова /33-34/ .

А.А.Шишкин и В.И.Рожков исследовали краевые задачи для системы вида лЬ = А Су, Ф,

Ыпг ^ для того случая, когда критическое состояние = 0 имеет место не тождественно, а для отдельных значений , и установили, что поведение решения при£->-*? определяется свойствами интегралов £ вЪ (Ш о

В частности, если речь идет о решении начальной задачи, то можно допустить обращение Л/ в нуль и даже смену знака и при этом предельный переход к вырожденному решению будет иметь место, пока интегралы (13) остаются отрицательными.

В указанных работах построена также асимптотическое разложение решения.

В работах /29-30/ одним итерационным способом строятся равномерные приближения к решениям системы (10), удовлетворяющие начальным условиям — &> && £) — О

В работе /2б/ рассматривается один конкретный случай системы (I) и изучается поведение решения этой системы вблизи положения равновесия, которое является фокусом, при этом фокус при переходе через "¿ = О теряет устойчивость. Но решение рассматриваемой системы уходит от неустойчивого фокуса не сразу, а в течение некоторого конечного времени остается еще вблизи него.

Следует отметить, что несмотря на полученные результаты в критическом случае не существует общих эффективных методов для изучения асимптотического поведения решений систем сингулярно-возмущенных уравнений в общем случае.

Проблема изучения асимптотики решений задачи Коши и краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной в случае смены устойчивости точки покоя в плоскости "быстрых движений", когда точка покоя является фокусом, до настоящего времени оставалась открытой, В данной работе впервые достаточно полно изучается именно этот вопрос. Существенным моментом настоящего исследования является то, что решение рассматриваемых классов систем с начальным условием остаётся ограниченным на конечном промежутке в области неустойчивости положения равновесия.

В данной работе разработан более общий метод изучения асимптотического поведения решений задачи Коши и краевых задач сингулярно возмущенных систем с малым параметром при производных в критическом случае. Этот метод мы будем называть "Метод рекуррентных функций? Новым моментом в этом методе является построение рекуррентно определяемых функций, которые являются асимптотикой с заданной степенью точности решений рассматриваемых систем уравнений.

Существенное содержание данной работы в основном составляет исследование поведения решений и построение асимптотики решений с любой степенью точности для некоторых систем типа (I) в случае неустойчивости положения равновесия.

Обычными методами, применяемыми при построении асимптотики системы (I), невозможно построить асимптотику для этих классов систем, включая значение ^ , при которых положение равновесия неустойчиво.

Здесь для построения асимптотики решения указанных классов систем разработан метод рекуррентных функций,

Суть метода рекуррентных функций выясним на примере работы [2£>] . Рассмотрим систему г /!&)$+ си) где

41)- *»-(' "<)■ = > У- *

Нетрудно проверить, что матрица имеет собственные числа

Л, а) =

Таким образом, собственные числа матрицы Дпри 1] меняют знаки действительных частей. Еще раз подчерк?-нем, что метод пограничных функций, который применяется при построении асимптотики решений сингулярно возмущенных систем, здесь применим только для значений /( £ - некоторое положительное число, близкое к нулю,но не зависящее от £ ), а для значений не применим, т.к. он использует спектр предельного оператора в граничных точках. Поэтому в главе 5 мы для получения главного члена асимптотики применим некоторую модификацию метода регуляризации (см. /~2о/ ), который использует спектр оператора на всем изучаемом множестве.

Для построения асимптотики решений системы (14), предполагая, что )[0£) есть решение системы (14), удовлетворяющее условию „

II и-0 Ц = ОСг), систему (14) представим в виде

Ц-=171е -]е сГг^Ч^и^е * с/Т ^ „ ? , Г?Н>-»С-т)

15) ит^е -/е ¿грунте о/г. где ^

Уравнения (15),(16) решаются методом последовательных приближений и доказывается, что первые приближения являются главными членами в асимптотическом разложении для решений №(•£) т.е. имеет место представление где

Т^Л м-1 "С*) имеют более высокий порядок, чем функции > при £ О ,

Т1а)=67е ~/е с/т-, г/; /

-/е ¿г*

Затем из уравнений (15),(16) относительно

V- щ иг^а) снова получаем систему интегральных уравнений. Получению систему также решим методом последовательных приближений и докажем справедливость следующего представления: ггма) =£ а) + где , - первые приближения в последователь

С*) ном приближении; функции имеют более высокий порядок, чем функции ^ О^К ^ ПРИ <£*->- О Продолжая этот процесс, получаем, что

77 . . \ ига) = 2Г &061 + ж с*), (18) к = / где с/ (•£)} иГ ££■) -неизвестные функции,которые имеют более высокий порядок,чем функции (•£)

Функции являются первыми приближениями в соответствующих последовательных приближениях, причем каждые последующие рекуррентно определяются через предыдущие. Представление (17),(18) имеет место для всех причем оно является равномерным относительно € 6 11 и 0<€ » где £0 - некоторое положительное число.

Доказательство равномерной сходимости асимптотики (17), (18) приводится в § 1.1 главы I. Все построения асимптотики для решений систем» рассмотренных в данной работе, являются равно« мерными относительно £ и €

Работа состоит из пяти глав.

1. ПонтрягинЛ.С. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных .-Из в.АН СССР,1957,т.21,№5,с.605-626.

2. ПонтрягинЛ.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:Наука,1970,с.331.

3. Мищенко Е.Ф. Асимптотическое вычисление периодических решений систем дифференциальных уравнений,содержащих малые параметры при производных.-Изв.АН СССР,1957,т.21,№5,с.627-654.

4. Мищенко Е.Ф., Р о з о в Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания.М.:Наука,1975, с.247.

5. Мищенко Е.Ф., Понтрягин Л.С. Вывод некоторых асимптотических оценок для решений дифференциальных уравнений с малым параметром при производных.-Изв.АН СССР,серия матем. 1959, т.23,№5,с.643-660.

6. МищенкоЕ.Ф. Асимптотические метода в теории релаксационных колебаний.-Автореф.докт.дисс.,М.,1958.

7. ТихоновА.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных.-Матем.сб.,1952,31(73), №3, с.575-586.

8. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной.М.:Наука,1974,с.319.

9. Васильева А.Б. О дифференциальных уравнениях, содержащих малые параметры.-Матем.сб.,1952,31(73),№3,с.587-644.

10. В асильева A.B., Бутузов В.Ф. Асимптотическое разложение решений сингулярно возмущенных уравнений.М.:Наука, 1973, с.272.

11. ВасильеваА.Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных.-УМН,1963,ХУШ,вып.3(Ш) с.15-86.

12. Васильева А. Б. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при старших производных.-Автореф.докт.дисс.М.,1961.

13. Васильева А.Б., В о л о с о в В.М. О работах А.Н.Тихонова и его учеников по обыкновенным дифференциальным уравнениям, содержащим малый параметр.-УМН,1967,XXII,вып.2(134), с.149-168.

14. Васильева А. Б. О развитии теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных за период 1966-1976 гг.-УМН,1976,XXXI,вып.6(192),с.102-122.

15. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических ,случаях.М.:Изд.МГУ,1978.с.106.

16. Иманалиев М.И. Асимптотические методы в теории сингулярно-возмущенных интегро-дифференциальных систем.Фрунае:

17. Иманалиев М.И. Колебания и устойчивость решений сингулярно-возмущенных интегро-дифференциальных систем.Фрунзе: Илим,1974, с.352.

18. ИманалиевМ. Методы решения нелинейных обратных задач и их приложение. Фрунзе: Илим, 1977,с.347.

19. ИманалиевМ. Обобщенные решения интегральных уравнений первого рода. Фрунзе: Илим, 1981, с.144.

20. Л о м о в С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений.М. :Наука, 1981, с.400.

21. Ф е щ е н к о С.Ф., Ш к и л ь Н.И., Николенко Л.Д. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений.Киев: Наукова думка,1966,с.251.

22. В а з о в В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений.М.:Мир,1968,с.464.

23. Еру г и нН.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений.Минск: Наука и техника, 1979,с.743.

24. Лаврентьев М.А., Ш а б а т Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973, с.736.

25. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.М.: Наука,1974,с.503.

26. Шишков М.А, Рассмотрение одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных.- ДАН СССР, 1973,т.209,№3,с.576-579.

27. Э р д е й и А. Асимптотические разложения.М.:Физматгиз,1962, с.127.

28. ЕвграфовМ.А. Асимптотические оценки и целые функции. М.:Наука,1979,с.320.

29. Б о г л а е в Ю.П., Жданов А.В.,С т е л ь м а х В.Г. Равномерные приближения к решениям некоторых сингулярно возмущенных нелинейных уравнений.-Дифференц.уравнения,1978,т.14, №3, с.395-406.

30. Бог лае вЮ.П. Равномерные приближения к решениям сингулярно-возмущенных задач.-Автореф.докт.дисс. ,1977.

31. Железцов H.A., Р о д ы г и н Л.В. К теории симметричного мультивибратора.-ДАН СССР,1951,т.81,№3,с.391-394.

32. Hva й ф.э.А.Х. Методы возмущений. М.:Мир,1976,с.455.

33. Шишкин А.А. Асимптотика решения некоторых задач для сингулярно-возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений в случае нарушения условий регулярности вырождения.-Автореф. канд.дисс.,1974.

34. Рожков В,й, Асимптотика решений некоторых систем с малым параметром при производных.-Дифференц,уравнения,1974,10:6, с.1037-1049.

35. ФлэттоЛ. иЛевинсонН. Прриодические решения сингулярно-возмущенных систем.-Математика (период.сб.пер.), 1958,2:2,с.61-68.

36. Иманалиев М.И., Каримов С. Асимптотическая теория одной системы дифференциальных уравнения с малым параметром при производных, там же, с.296-301.

37. Иманалиев М.И., Каримов С. Асимптотическая теория одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при производных. In : International Conference on Nonlinear Oscillations, Berlin, 1975.

38. Иманалие в М.И., К a p и м о в С. Асимптотическая теория одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при производных.- In ; Internationale Konferenz über nichtlineare Schwingungen, Band 1,1 Akademia-Verlang, Berlin,1977,ss.351-357.

39. Иманалиев М.И., Каримов С. Асимптотическая теория одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при производных.-В кн.Исследования по интегро-диф-ференциальным уравнениям.-Фрунзе:Илим,I977,с.96-116.

40. К а р и м о в С. Асимптотическое поведение решений одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае неустойчивости фокуса,там же, с.77-95.

41. КаримовС. Асимптотика решений одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае неусшойчивости фокуса,там же, с.405-412.

42. КаримовС. Асимптотика решений одного класса дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае смены устойчивости фокуса.-Труды Матем.ин-та АН СССР, 1980,т.147,с.57-64.

43. КаримовС. Асимптотика решений одного класса дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае неустойчивости фокуса. В кн.¡Исследования по интегро-диф-ференциальным уравнениям.Фрунзе:Илим,1979, с.190-208.

44. КаримовС. Асимптотика решений одного класса дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае неустойчивости фокуса.-Изв.АН Кирг.ССР,1979,№3,с.10-15.

45. КаримовС. Асимптотика решений краевой задачи для одного класса дифференциальных уравнений с малым параметром при производных.-В кн.:Интегро-дифференциальные уравнения и их приложения.Фрунзе: 1979, вып.II, с.59-66,

46. КаримовС. Асимптотика решений одного класса дифференциальных уравнений с малым параметром при производных.-Изв. АН Киргиз.ССР,1979,№1,с.17-23.

47. КаримовС. Равномерные приближения к решениям дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае смены устойчивости точки покоя в плоскости "быстрых движений" .-Дифференц.уравнения,1979,т.15,№10,с Л 911-I9I3.

48. Ломов С.А., Сафонов В.Ф. Метод регуляризации для систем со слабой нелинейностью в резонансном случае.- Матем. заметки.1979,25,№6,с.371-389.

49. Г у б и н Ю.П.,Л омов С.А., Сафонов В.Ф. Точечный резрнанс 389-396.срезрнанс в системе двух оцилляторов. ПММ,1982,т.46,№3, с.