Асимптотическое поведение решений системы дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае смены устойчивости положения равновесия тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

. -

АКАДЕМИЯ НАУК КИРГИЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Специализированный оовет Д 01.93.08

На правах рукописи

АНАРЕ4ЕЕЛ ШЖЛМАЛ МАМАТОЕНА

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНЫХ В СЛУЧАЕ СМЕНЫ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Бишнек-1993

АКАДЕМИЯ НАУК КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Специализированный совет Д 01.93.08

На правах рукописи

АНАРБАЕВА ГОТАМАЛ МАМАТОВНА

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РШНИЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕШЩИАЛЬШХ УРАВНЕНИЙ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ ПРИ ПРОИЗВОДНЫХ В СЛУЧАЕ СМЕНЫ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Бишкек-1993

уеЗотв выполнена в Институте математики АН 'Кыргызской Республики-ив Ошоком Государственном университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор С.Каримов

Официальные оппоненты: .доктор физико-математических наук, о.и.о. А.Аоанов, . кандидат физико-математических наук, о.и.о. А.Сраиидинов

Ведущая организация; Кыргыаокий гооунивероитет

Защите диссертации ооотоитоя " ЗД " 1993 г. в ¿¿. ча-

сов. на заоедании Спвциалиаировакного совета Д 01.93.08 по .при-, суждению ученых огепеней доктора и кандидата физико-математических наук в Институте математика АН Кыргызской Реапублики

. 0.диссертацией можно ознакомиться в научной библиотека АН {Ьртиэокой Республики

Автореферат разоолан " tC" CUW'i.ASjsj>J993 г.

( Отзывы на автореферат прооим присылать поадреоу: 720071, г.Еишкек^71, проспект Чуй, 266 "А", Институт математики АН КР, Специализированный совет Д 01.93.0В.

Ученый "секретарь . *

.Специализированного совета;.......

кандидат физико-матеиатичеокнх наук, старший ваучшй сотрудник С С.Искандеров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОМ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ, Многие актуальные задачи теории колеба-, няй, теории радиотехнических приборов, теории автоматического ■ регулирования, квантовой механики и др. сводятся к изучению систем обыкновенных.дифференциальных уравнений о малым параметром при отерших производных, а именно к сиотемам вида

у = рць. . : . ; ;

где, £?0 - малый параметр, X. й ^ соответственно-£и £ - мерные

' векторы. .. • • -...... ............

Асимптотики решений задачи .Коши и краевых задач дог систем обыкновенных дифференциальных уравнений.вида (1) изучалась во /: многих извастных работах Л.С.Понтрягина, А.Н.Тихонова, М.И.Има-налиева, А.Б.Васильевой, В.Ф.Шишкина, В.И.Рожкова и др.

Особенно большой интерес вызывает исследование,воимптотики решения сиотемы вида (I) в случае смены устойчивости положения

равновесия.......

В работе М.А.Шишковой*^ раосматривалаоь система:

(2)

о начальным уоловием:

'шииксва.М.А. Изучение решений, сиотемы дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае омены устойчивости Фокуса быстрых движений: да.*, канд.физ.-мат.наук. М., 1973.- 37 о.

]ХН)1 = 0(6), о)

где £>0 - малый параметр,

. Матрица два комплексно сопряженных роботвенш« .

анаяензя: 4 £ которые при , £ 1] меняются зна-

ки действительных частей. Для данной оиатеш изучается аощио-г тическое поведение решений,,доказывается, гчто-решение рассматриваемых, оиотём о начальным условием (З)оотаетоя ограниченным в

промежутке.У, 1], - ' - ..........- ..'.... ... ....

'Б 'рабом-С.Каримова2* обобщается результата работы1 * дан некоторых систем вида

гдо£>Р- малый, параметр, Л(~£}- квадратная матрица, нелинейная вектор функция. .

.....Матрица шеа^ две комшюкенр. сопряженных ообащщщщ^

значения: ~ И, =■ ^действительная чаоть которых

меняет зада® на сегменте 6] . Доказано, что решение. раосма-> уриваемых классов,риотем с начальным условием остается ограниченным в неуотойчавой области положения.равновесие.

Однако, многие вопрос?« в теории систем дифференциальны»! уравнений с малну параметром при старшей производной в олучае смены устойчивости положения равновесия еще на иоследованы. .■ В наотоящэй работе построена асимптотика и неучено аоишто-

^Каримов С. Асимптотика решений некоторых классов дифференциальных уравнений о малым параметром при производных в олучае смены устойчивости точки покоя в шгоокооти "йыцтрых движений" Дио... докт.фиэ.-мат,наук.- Ои, 1983.- ¿¿о о. ,

тическое поведение решения системы вида (4) в области неустойчивости положения равновесия. Причем системы, которые изучались П-2)

в являются частным случаем рассматриваемой системы.

ЦЕПЬ РАБОТН. Исследование поведения решений и построение асимптотики решений для некоторых сиотем типа (4) в области неуотойчивооти положения равновесия. . . '

МЕТОД' РАБОТЫ. Полученные результаты доказываются выходом в комплексную плоскость и использованием полярных координат... „..-'.. НАУЧНАЯ НОВИЗНА. С помощь» нового метода изучено асимято- . тическое поведение решений систем типа (4) в случав смены устойчивости положения равновеоия. ..........

.. .. Ооновным результатом исследования является то, что решение1 рассматриваемых систем о начальным условием остается ограниченным на конечном промежутке в области неустойчивости положения равновеоия. '

.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПАРКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАКШ. Результата диосертации носят.теоретический характер и могут найти применение в задачах теории катастроф и бифуркаций.

... АПРОБАЦИЯ РАКШ. Основные результаты докладывались и,обсуждались: нв Всесоюзной научной конференции "Асимптотические методы теории сингулярно-возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач" (Бишкек, 1991), на семинарах кафедры матанвлиза Ошокого гооуниверситете ,(1989-92); на семинаре Института математики АН Кыргызской Республики (1993). .. ,

ПУБЛИКАЦИИ;'". Ооновные результаты диссертации опубликованы в работах)}]- Щ , описок которых приведен в. конце автореферата. -. ,: . СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, четырех глав и описка литературы. Она содержит /¿¿^страниц машино-

пионого текста, включая библиографический список из •¿г'гЦюименований. Нумерация математических соотношений и формул производит-ря по главам и параграфом в видв(пл>^) > ГД0 ^- номер главы,

И - номер параграфа, К- - номер формулы в данном параграфе.

- ' >

Нумерация теорем аналогична.

' СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОНШЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ.

- Во'введении обоснована актуальность выбранного направления иооледовашш, дан краткий обзор литературы по теме диссертации

^и сформулированы основные результаты.

. _ . Целью диссертации является изучение асимптотики решений сингулярно возвдщашшх задач (4), где £><?- малый параметр,

, £. ) -аналитическая вектор-функция вида:

иА и- /<-«мми\ (*<•■'>

[Ш^л))' «,„

аналитические функции.. .

- Матрица имеет два комплексно сопряженных собственных ^значения: Действительная часть собственных значений меняет знаки на сегменте [й, Ь] ;

при -ЬеОдС)^ . ^А(Ь)>0} при ¿е

- О) при -Ь-С. Начальная задача ставится -в точке :

УМ и°(0\ = о(е): . . {Б) .

с

Из°' известно, что существует неооосЗая поотоявдая матрица ^

чае нарушения условий регулярности вырождения. Дио.., канд. фцз;-шт.наук,- /п'., 1974.-(ИЗ с.

C(é), которая матрицу A(t) преобразует к диогоналыюму виду. Поэтому, не нарушая общности, сразу будем рассматривать систему вида (4), где

л«/

Первая глава.состоит из трах параграфов. В § I.I. рассматривается оиотема (4) при te[-tji] о начальным условием:

I цЫ-О(е). • (6)

где

fl{€) ~ скау^ь-Ь; f+¿j ..

Собственные значения матрица Я(t) меняют знаки, на -сегмента

B'J: '

О J при ь е

&<ла\УО, при íe(Oji],

Яы(1)~0 , при t = о.

Имеет.место ?

ТЕОРЕМА I. Если ^¡¿1 - решение системы ■ (4), удовлетворяющее условии (6), то для него справедливы оценки:

= 0(£}; при (?)

1^1 - О (Ж)) при -¿еО/О/ (а)

О)

_ ао)

где ^С), I5, КД-" положительные постоянные, причем йяцзкэ

К 0ДЙНЕЦ9.

- 8 - .

. Утверждения (7) -(10) докавываотоя.переходом к системам в полярных координатах.в комплексной облаоти.

В § 1.2. раосматриваетоя система (4) при ЬЬ^Ъо^ о начальным .условием

}уЬ)1 - ОСе) ™

Справедлива

ТЕОРЕМА 2., Пуоть - решение системы (4) о начальным уоловием-(II). .

Тогда имеют ;место олЬдувдйе.оценки:- ,

при -и^с^ ^ОЩ ; ПРИ • С^^Г^О/

Где С^¡С^^Сч, ' -чположительные постоянные, причем С^

близка к Ьо- • . ■ " '' '

.' Здесь число ^ называется временем задержки течения интегральных кривых. ; •:'...•'

. Таким образом, решение на воем отрезке - £ ^ Ь0 остается близким и нулю, в После бнотро отходит на конвч- .

нов расстояние от нуля, ' '■.'.'■ -■

В §1.3. рассматривается задача (2), (3). С помощью перехода к оистемам. в полярных координатах, построена асимптотика реше-

оиотам (2) на отрезка

Вторая глава поовящвна исследованию и построению асимптотики решений оиотемн (4) при >&-О^Ли., ,

В § 2.1. рассматривается оиотемз (4) о начальным уоловиен

(к)

| f&)\ = 0(t), i е Лк^о).

Имеет мзофо

TEOPBW, Э. Пуоть рещениа оиотемн (4) о началывд /о-яовием (12), тогда справедливы оледувщиа оценка;

ltj(4))=0(t),, при

при К»**«^,

да Kt} Кц К>, К^, Я а - положительные помещена, К, близка к У? .

В § 2,2. построена асимптотик^ решений ойо^ймы (5) о ва-гальным условием

. 10 - '/ при £ £ ¿о} в ойцем случае Тогда справедлива

ТЕОРЕМА 4, Пуоть решение оиотемы (4) л ( Й = ' К-1л>.:.) о начальным уоловием (13) . Тогда имеют меото олвдупцив оценки: С

* ¡уш! ~ йрИ О 4 )Ц(и1-0СЩ при .; ъ,,

где , О*, - положительные поотоянШв^^, блиэ^

как

В.§ 3.{,' рассматривается аналогичный круг вопрооов для систем (4), -. «.¿о1;

. :5дэоь чиолйДЬШкак и в первой.главе наанвайтоя временем . задержки • течения интегральных кривых.'

В § 3.2. доказывается аналогичная теорема для систем (4), £ ? С*», "Ц] 'о'начальным уоловием:

при -и. ... ....

, В § 4.1, § 4.2. изучается асимптотическое поведение.решений оиотемы (4) при ¿с[в/Ш5"; с начальными условиями

в; I ^

При ' И. Т % к. »0,4, '

-л -

ПУБЛИКАЦИИ

I. Каримов С., Анарйаева Г.М. Исследование воимптотичес-цояо поведения решения системы двух дифференциальных' уравнений а малым параметром при производных в олучаа смены устойчивости путем перехода .¡к полярным-иоординатам. // Тез.докл. Всёоовз. конф. "Асимптотические.методы теории сингулярно-возмущенных уравнений и - некорректно поставленных задач", Бишкек, свнтЛЭЭ!.-Бшакек: Клим, 1991.-г С.58.., ..

,2». Анарбаева Г.М. Исследование асимптотического поведения решения дифференциальных уравнений о малым, параметром производных в олучае омвны устойчивости.// Научн.конф. математиков, поев.60-летию образованию Кыргосунивероитета: Тез.докл.- Бишкек, ^ 1993,- С. 7. ,