О решениях уравнения типа Эмдена-Фаулера с сингулярной нелинейностью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. О задаче Коши для уравнения типа Эмдена-Фаулера с сингулярной нелинейностью.

§1.1.0 задаче Коши для уравнения у" + Р(х)ха>,<т =0.

§ 1.2. О задаче Коши для уравнения у" + хаув = 0.

§1.3. Вертикальные асимптоты.

§ 1.4. О задаче Коши для уравнения высокого порядка.

§1.5. Об уравнении у" + Р(х)ха уа |1пу|4=0.

Глава 2. Асимптотические свойства решений уравнения Эмдена

Фаулера на бесконечности.

§2.1. Асимптотика решений уравнения у" + хауа = 0.

§2.2. Асимптотика решений уравнения у" - хаусг = 0.

§2.3. Асимптотические свойства решений уравнения у" + к(х)у'+Р(х)у° = 0.

§2.4. Об уравнении ут + у" = 0, к>\.

Уравнение у" ± хауп = 0 хорошо известно в математике, астрофизике и в атомной физике. Впервые оно возникло в астрофизических исследованиях Эмдена [18]. В настоящее время это уравнение обычно называют уравнением Эмдена-Фаулера. Многомерный аналог этого уравнения Аи ± \х\аип = 0, где А - оператор Лапласа в N - мерном пространстве, так же принято называть уравнением Эмдена-Фаулера.

Такому уравнению посвящено большое число работ и монографий. Это внешне простое, но нетривиальное нелинейное уравнение. Хотя порядок его можно понизить, оно не решается в явном виде, однако поведение его решений можно весьма подробно описать.

Основные вопросы, которые изучались для уравнения Эмдена-Фаулера, - асимптотическое поведение решений при х —У +оо, колеблемость решений, продолжаемость решений на бесконечный промежуток, разрешимость краевых задач. Обзор реультатов по этим вопросам имеется в монографии Дж. Сансоне [13].

Большое влияние в теории уравнения Эмдена-Фаулера имела классическая монография Р. Беллмана [4], в которой уравнению Эмдена-Фаулера посвящена глава, содержащая историю вопроса и исследование асимптотического поведения его решений при х —> +оо.

Существенный вклад в теорию уравнения Эмдена-Фаулера внес F.V. Atkinson [16]. В монографии И.Т. Кигурадзе, Т.А. Чантурия [10] исследуется уравнение Эмдена-Фаулера и его аналог - уравнение высокого (больше второго) порядка у(т) ± хауп = 0. Список работ, посвященных уравнению типа Эмдена-Фаулера, очень широк. Упомянем работы И.В. Асташовой [1], В.А. Козлова [20], В.М. Евтухова [7], JI.A. Беклемишевой [3], Н.А. Изобова [8], Д.В. Изюмовой [9], Z. Nehari [21], J.S. Wong [23]. Во всех этих работах предполагалось п > 0.

Особо отметим работы А.Д. Брюно, изложенные в его монографии б]. А.Д. Брюно применяет новые методы, названные им "степенная геометрия", для исследования различных нелинейных задач, в том числе и для уравнения Эмдена-Фаулера. Его алгоритм позволяет найти возможные степенные асимптотики для решений уравнения Эмдена-Фаулера.

Основная цель настоящей работы - исследование уравнений Эмдена-Фаулера при п < 0. Такие уравнения встречаются в прикладных вопросах, например, R. Aris [15].

Изучаемые в представленной работе уравнения имеют вид с различными ограничениями на функцию Р(х). В качестве решения по определению считается положительная функция. Естественно при а < 0 возникает вопрос о существовании и единственности решений на (а, 6], удовлетворяющих данным Коши при х —Ь +а.

В §1.2 исследуется вопрос о существовании и единственности решений уравнений

Имеет место следующая теорема.

Теорема 1.5. Пусть а > —2, а < 0, xi > 0. Существует бесконечно много решений уравнения (0.2) на (0,a;i], удовлетворяющих условию у" + Р{х)уа =0, а = const < 0

0.1) у" + хауа = 0, у" - хауа = 0,

0.2) (0.3) удовлетворяющих условиям

2/(0) = Л > 0.

Более того, если а + а + 1 < 0, то у(х) = С(а,<т)жЛ(1 + о(1)), х +0,

С(а,<т) = а + 2)(а + 1 + сг)

1 а + 2 ' Л 1-сг

В случае а < —2 не существует решений уравнений (0.2), (0.3), таких, что lim у(х) = А. 0 < А < сю. ж-Ч-о ~~

Если а 4- а 4- 1 < 0, то уравнения (0.2), (0.3) не имеют решений, удовлетворяющих условиям lim у(х) = 0, у'{0) = Л > 0. В случае а + а + 1 > 0 существует решение уравнения (0.3) у = С(а,а)хх, где

Л = о+2 > Q 1 — а а + <т + 1)(а + 2)

I-*)2

Т^Ъ7

Показывается, что это единственное решение, такое, что lim ?/(*) = 0, у\0) = 0. х—>+и

Сформулируем еще несколько теорем о свойствах решений задачи Коши.

Теорема 1.6. Если у(х) - решение уравнения (0.3) при х > 0 и а + сг + 1 < 0, а + 2 > 0, то lim у(х) = А > 0.

Теорема 1.7. Если а + 1 < 0, то уравнение (0.3) не имеет положительных решений на (0,1], удовлетворяющих условиям lim у (а?) =0, у'(0) = 0. 5

Приведем ряд теорем о свойствах решений задачи Коши для уравнения (0.1).

Теорема 1.2. Если — 1 < а < 0, Р(х) < 0 - непрерывная при 0 < х < 1 функция, то существует единственное решение уравнения (0.1) на (0,1], такое, что limy(®)=0, у\ 0) = 0. х—

Ф Единственность доказывается с использованием асимптотической формулы решения при х —> +0, которая так же устанавливается.

В случае а < — 1 теорема 1.2 неверна. Теорема 1.4. Пусть Р{х) > 0 - непрерывна на 0 < х < 1. Если cr < —1, то существуют решения уравнения (0.1) на (0,1], такие, что lim у(х) = 0, lim y'ix) = +оо.

Х-++0 ' Ж-++0

В §1.3 рассматривается вопрос о существовании вертикальных асимптот у решений уравнений (0.2), (0.3).

Теорема 1.9. Если а + 2 < 0, то всякое решение уравнения (0.3), определенное на (0, h], имеет вид

У = а + 2)(1 + а + <т)

I-*)2 1

7 — 1 2+о

1 + о(1))ж1—, Ж-Я-О.

Отметим, что решений, определенных на (0, h], бесконечно много.

Теорема 1.10. Всякое решение уравнения (0.3), определенное на (0, h], при а + 2 = 0 имеет вид у~ (l-a)1^(-Inx)^(1 + о(1)), х -> +0.

Если а + 2 > 0, то х = 0 не может быть вертикальной асимптотой у решений уравнения (0.3).

Не существует вертикальных асимптот х — Ь = const > 0 у решений уравнений (0.2), (0.3).

В §1.4 изучаются решения уравнений вида у(п)(х) = Р(х)хауа(х), а< 0, п> 2, а = const (0.4)

Рассматривается задача limy(s) = 0, у'(0) = . = г/^(0) = 0,

X—>+и у<*+1>(0) = АЬ 2/(fe+2)(0) = A2,.2/(n-1)(0) = Anfc1, к> 0 (0.5)

Ai > 0, Аг,. , Anfe-i - любые постоянные. 1

Теорема 1.11. Пусть f \P(x)\xa+a(k+1Ux < оо. Тогда решение задачи о

0.4) - (0.5) существует и единственно на (0, h], где h - достаточно малая постоянная, зависящая от

Ai, А2,. ,Anfci, а,к,п,Р(х)

Теорема 1.12. Если Р(х) - непрерывная положительная функция на [0, /i], а + сг(п — 1) + 1 > 0, то существует решение уравнения (0.4), такое, что lim у(х) = 0, 2/'(0) = . = 2/(п-1)(0) = 0. яг—f+O

В этой теореме существенное значение имеет знак Р(х). Если Р(х) <0, то не существует решения с условиями

Km V(*) = 0, У'(0) = ••. = у^Н0) = 0. х—»-+о

Вторая глава посвящается изучению поведения решений уравнений (0.1)-(0.3) при х -> +оо. Рассмотрено уравнение Эмдена-Фаулера, возмущенное членом с производной первого порядка у" + к(х)у' + Р{х)у<т = О при х > xq >0. Найдены асимптотические формулы решений. Теорема 2.1. Если а + а + 1 > 0, то уравнение (0.2) не имеет положительных решений на [жо,+оо) ни при каких хо > 0. Теорема 2.2. При а + 2 > 0, а + 1 + сг < 0 всякое положительное решение уравнения (0.2) на [1,+оо) имеет один из асимптотических видов: у = С(а,сг)(1 + о(1))жЛ, у = Ах(1 + о(1)), где

С(а,а) = а + 2) (а + 1 + сг)

1 - *у 1

СТ-Г

Теорема 2.4. Если а + 2 < 0, то всякое положительное решение уравнения (0.2) удовлетворяет условиям lim у(х) = А > 0, lim у'(х) = О,

-»+оо ж—>-+оо либо lim у'(х) = В > 0.

Ж-++00

Рассмотрим случай а + 2 = 0. Теорема 2.10. Всякое решение уравнения у" + аГ V = О при х -> +оо имеет вид у(х) = Ах(1 + о(1)) или у(х) = С(1 + о(1)){\пх)^.

Теорема 2.13. Если 1 + а + а > 0, то всякое решение уравнения (0.3), определенное при x>xq — const > 0, имеет вид о + 2)(1 + а + аУ у( х) =

1 -*у 1 а~г 2+а

1 -f o(l))a;, ж +оо.

Теорема 2.14. Если а + <г + 1 < 0, а + 2 > 0, ст < 0, то всякое решение уравнения (0.3), продолжаемое на [1,оо); имеет вид у(х) = Ах( 1 + о(1)), А > 0, х~¥ +оо.

Теорема 2.15. Всякое решение уравнения (0.3) при а4-0" + 1 = О, о < О, продолжаемое на [1, оо); имеет вид у(х) = (1 — <г) ^х(1пх) ^(1 + о(1)), ж +оо.

В §2.4 наши исследования применены к изучению решений уравнения третьего порядка у'" + ук = 0, к > 1. Оно имеет решение, такое, что у(х) > 0, lim у(х) = 0, у' (ж) < 0, lim у'(х) = 0, у"(х) > О х—*+оо ж—*-{-оо lim у"(х) = 0. х->+оо

Доказано, что все такие решения описываются формулой у(х) = Ск(х + Т)\ где Л = = —Л(Л — 1)(Л — 2), Т - постоянная, зависящая от

1. Асташова И.В. Об асимптотическом поведении решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений // Доклады расширенных заседаний семинара ИПМ им. И.Н.Векуа. - Тбилиси.- 1985. - Т.1, N3. - С. 9-11.

2. Асташова И.В. Об асимптотическом поведении решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений // УМН. 1985 - Т.40, вып.5(245). - С. 197

3. Беклемишева JI.A. Об одном нелинейном дифференциальном уравнении второго порядка // Мат. сб. 1962. - Т. 56, N2. - С. 207-236.

4. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. Москва: Издательство иностранной литературы, 1954.

5. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. Москва: Наука, 1979. - 252 с.

6. Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. Москва: Наука, 1998. - 288 с.

7. Евтухов В.М. Об условиях неколеблемости одного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка // Математические заметки. 2000 - Т. 64, N2. - С. 201-210.

8. Изобов Н.А. Об уравнениях Эмдена-Фаулера с неограниченными бесконечно продолжимыми решениями // Математические заметки. -1984. Т. 35, N2. - С. 189-198.

9. Изюмова Д.В. Об условиях колеблемости и неколеблемости решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1966. - Т. 11, N12. - С. 572-586.

10. Кондратьев В.А., Самовол B.C. О некоторых асимптотических свойствах решений уравнений типа Эмдена-Фаулера // Дифференциальные уравнения. 1981. - Т. 17, N4. - С. 749-750.

11. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -Москва: ИЛ, 1954.

12. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Москва: Мир, 1970.

13. Aris R. The mathematical theory of diffusion and reaction in permeable catalysts. Oxford: Claredon press, 1975. - 444 p.

14. Atkinson F.V. On second-order non-linear oscillations // Pacif.J. Math. 1955. - V. 5, N1. - P. 643-647.

15. Caratheodory C. Vorlesungen uber Funktionen. Leipzig-Berlin: Teubner, 1918.

16. Emden R. Gaskugeln, Anwendungen der mechanischen Warmtheorie auf Kosmologie und meteorologische Probleme. Leipzig-Berlin: Teubner, 1907. - 497 p.

17. Fowler R.H. Further studies of Emden's and similar differential equations // Quart. Journ. Math. 1931. - V. 2, N2. - P. 259-288.

18. Kozlov V.A. On Kneser solutions of higher order ordinary differential equations. // Department of Mathematiics, University of Linkoping, s-581 83 Linkoping, Sweden, 1997.

19. Nehari Z. On a class of nonlinear second-order differential equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1960. - V. 95, N1. - P. 101-123.

20. Sansone G. Sulle soluzioni di Emden della equazione di Fowler, Rend. Sem. Mat. di Roma. 1940. - ser.5 - 163-176.

21. Wong J.S.W. Some stability conditions for x" + a(t)f(x) = 0 // SIAM J. Appl. Math. 1967. - V. 15, N4. - P. 889-892.

22. Wong J.S.W. On the generalized Emden-Fowler equation // SIAM Rev. 1975. - V. 17, N2. - P. 339-360.Публикации автора по теме диссертации.

23. Лысова Т.В. О решениях сингулярного уравнения типа Эмдена-Фаулера // Международная молодежная конференция "XXVII Гагаринские чтения". Тез. докл. Москва: РГТУ. - 2001. - Т.2.С. 39.

24. Лысова Т.В. О решениях нелинейного дифференциального уравнения второго порядка типа Эмдена-Фаулера // Научно-практическая конференция "Прикладные математические задачи в машиностроении и экономике". Тез. докл. Самара: СамГУ. - 2001.С. 38-39.

25. Лысова Т.В. Оценка решения сингулярного уравнения типа Эмдена-Фаулера на полуоси // "Понтрягинские чтения XIII". Тез. докл. школы. - Воронеж: ВГУ. - 2002. - С. 96.

26. Лысова Т.В. Оценка решения сингулярного уравнения типа Эмдена-Фаулера на полуоси // Международная молодежная конференция "XXVIII Гагаринские чтения". Тез. докл. Москва: РГТУ. - 2002. - Т.2. - С. 78.

27. Лысова Т.В. О задаче Коши для уравнения типа Эмдена-Фаулера с сингулярной нелинейностью // "МАТИ" РГТУ им. К.Э. Циолковского. - Москва, 2002. - 35 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 30.10.02, N1866-B2002.

28. Лысова Т.В. О поведении на бесконечности решений уравнения типа Эмдена-Фаулера с сингулярной нелинейностью // Международная молодежная конференция "XXIX Гагаринские чтения". Тез. докл. -Москва: РГТУ, 2003. Т.2. - С. 70 •

29. Лысова Т.В. Асимптотическое поведение на бесконечности решений уравнения типа Эмдена-Фаулера с сингулярной нелинейностью. //"Понтрягинские чтения XIV". Тез. докл. школы. - Воронеж: ВГУ, 2003. - С. 82-83.

30. Лысова Т.В. О решениях уравнения типа Эмдена-Фаулера с сингулярной нелинейностью // Дифференциальные уравнения. 2003. - Т. 39, N6.- С. 857.