Асимптотическое поведение решений уравнений типа Эмдена-Фаулера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

□034

На правах рукописи УДК 517.956.2

Сурначёв Михаил Дмитриевич

Асимптотическое поведение решений

уравнений типа эмдена-фаулера

Специальность: 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 7 С^'"-3

Москва - 2009

003476636

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.А. Кондратьев.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

. . А. И. Назаров,

кандидат физико-математических наук Е. И. Галахов.

Ведущая организация: Российский Университет

Дружбы Народов.

Защита диссертации состоится " 2 " октября 2009 г. в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан " 2 " сентября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Эта работа посвящена изучению асимптотического поведения на бесконечности решений полулинейных эллиптических уравнений второго порядка. Модельным примером служит уравнение

Ли = I х\р\и\а~1и.

Изучается случай, когда а > 1.

Уравнения такого типа носят название уравнений типа Эмдена-Фаулера и встречаются в задачах астрофизики1'2'3, ядерной физики4'5,6, математической биологии7,8, теории горения9'10'11 и иных областях математической физики.

Исследование асимптотического поведения решений уравнений типа Эмдена-Фаулера велось большим числом авторов. Достаточно подробно был исследован случай асимптотического поведения решений в цилиндрических областях12-16. Ряд работ посвящён пове-

1Eddington A.S., The internal constitution of stars. Cambridge, 1926.

2S. Chandrasekhar, Principles of stellar dynamics. London:Constable, 1960.

3S. Chandrasekhar, An Introduction to the Study of Stellar Structure. Dover Publ. Inc., 1967.

4E.Hffle, Some aspects of the Thomas-Fermi equation. Jl. Analyse Math. 23 (1970), p. 147171.

5A. Sommerfeld, Asymptotische integration der Differentialgleichung des Thomas-Fennishen atom. Z. für Phys. 78, 1932, p. 283-308.

6R. Benguria, H. Brezis and E.H. Lieb, The Thomas-Fermi-von Weizsäcker theory of atoms and molecules. Comm. Math. Phys. 79, 1980, p. 167-180.

7A.Okubo and S.A. Levin, Diffusion and ecological problems: Modem Prospectives. Springer, New York(2001).

8J.D. Murray, Mathematical Biology. Springer, Berlin(1993).

'Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Махвиладзе Г.Н., Математическая теория горения и взрыва. М., Наука, 1980, 500 стр.

10Худаев С.И., Пороговые явления в нелинейных уравнениях. М.: Физматлит, 2003, 272 стр.

иДанилов В.Г., Волосов К.А., Маслов В.П., Математическое моделирование процессов тепло-массопереноса, M.: Наука, 1987, 351 стр.

12Егоров Ю.В., Кондратьев В.А., Олейник O.A., Асимптотические свойства решений эл-липтическихи параболических систем в цилиндрических областях, Мат. Сб., 1998, т. 189, N. 3, стр. 45-68.

13 Кондратьев В.А., О решениях нелинейных эллиптических уравнений в цилиндрических областях, Фунд. и прикл. матем., 1996, т.2, Вып.З, стр. 863-874.

14 Кондратьев В.А., Олейник O.A., О поведении на бесконечности решений одного класса нелинейных эллиптических уравнений в цилиндрической области. Докл. РАН, 1995, т. 341, N. 4, стр. 446-449.

15 Kondratiev V.A., Veron L., Asymptotic behaviour of solutions of some nonlinear parabolic or elliptic equations. Asymptotic Analysis, 1997, v. 14, p. 117-156.

дению решений в окрестности выколотой точки17-21. Большое внимание уделялось поведению решений на границе области22-27. Вопросам асимптотического поведения решений в окрестности бесконечности были посвящены работы 28'29.

При этом даже для простейшего случая Au = [и^^и главный член асимптотики решения получен не для всех значений и.

Наиболее подробно был исследован случай, когда оператор в главной части либо является оператором Лапласа, либо имеет дивергентную структуру. Случай оператора недивергентной структуры является более сложным и был исследован сравнительно мало. В работе30 были получены оценки решений. В работе31 были исследованы решения, имеющие точечную особенность, и изучена их асимптотика. В работе32 была получена асимптотика решений, стремящих-

16 Oleinik О.А., Some Asymptotic Problems in the Theory of Partial Differential Equations, 1996, Cambridge Univ. Press, 213 pp.

17Кондратьев B.A., Никишкин B-A., Изолированные особенности уравнений типа Эмдена-Фаулера. Диф. Ур., 1993, т. 29, N. 6, стр. 1025-1038.

18 H. Brezis, L. Véron, Removable singularities for some nonlinear elliptic equations. Arch. Rational Mech. Anal. 75 (1980/81), no. 1, p. 1-6.

19 J.L. Vazquez, L. Veron, Isolated singularities of some semilinear elliptic equations. J. Differential Equations 60 (1985), no. 3, p. 301-321.

20 L. Veron, Singular solutions of some nonlinear elliptic equations. Nonlinear Anal. 6 (1981), no. 3, p. 225-242.

21 Кондратьев B.A., Ландис E.M., О качественных свойствах решений одного нелинейного уравнения второго порядка. Мат. Сб., 1988, т. 135, N. 3, стр. 346-359.

"Кондратьев В.А., О решениях слабонелинейных эллиптических уравнений в окрестности конической точки границы. Диф. Ур., 1993, т. 29, N. 2., стр. 298-305.

23 Kondraticv V.A., Nikishkin V.A., On positive solutions of singular boundary value problems for the equation Au = u\ Russian J. Math. Phys. 1 (1993), no. 1, p. 131-135.

24 A. Gmira, L. Veron, Boundary singularities of solutions of some nonlinear elliptic equations. Duke Math. J., 1991, v. 64, N. 2, p. 271-324.

25 M. Marcus, L. Veron, The boundary trace of positive solutions of semilinear elliptic equations: the subcritical case. Arch. Rational Mech. Anal., 1998, v. 144, N. 3, p. 201-231.

26 L. Veron, Semilinear elliptic equations with uniform blow-up on the boundary. J. Anal. Math. 29 (1992), p. 231-250.

27 M. Marcus, L. Veron, The boundary trace of positive solutions of semilinear elliptic equations: the supercritical case. J. Math. Pures Appl. (9) 77 (1998), no. 5, p. 481—524.

28L. Veron, Comportement asymptotique des solutions d'équations elliptique semi-linearies dans R". Ann. Mat. Рига Appl., 1981, v. 127, p. 25-50.

29X.-Y. Chen, M. Matano, L. Veron, Anisotropic singularities of solutions of nonlinear elliptic equations in R2. J. Fund. Anal., 1989, v. 83, N. 1, p. 50-97.

30Кондратьев B.A., Ландис E.M., О качественных свойствах решений одного нелинейного уравнения второго порядка. Мат. Сб., 1988, т. 135, N. 3, стр. 346-359.

31Кондратьев В.А., Никишкин В.А., О положительных решениях одного полулинейного уравнения, Тр. сем. им. И.Г. Петровского, 1995, Вып. 18, стр. 157-169.

32Кондратьев В.А., Никишкин В.А., Об асимптотике вблизи границы решения сингулярной краевой задачи для полулинейного эллиптического уравнения. Диф. Ур., 1990, т. 26, N.

ся к бесконечности при приближении к границе гладкой области. В работе33 было исследовано поведение решений, стремящихся к бесконечности при приближении к конической точке границы области или ребру. В серии работ и монографии А. Конькова34 были получены оценки для решений широкого класса эллиптических уравнений второго порядка с линейной или квазилинейной главной частью и нелинейностью в правой части общего вида. В кандидатской диссертации А. Миразая был получен результат об убывании к нулю на бесконечности решений Lu = |x|J'|ii|<J-1u,p > —2, с недивергентным оператором L.

Подробный обзор результатов по поведению решений эллиптических уравнений типа Эмдена-Фаулера и их параболических аналогов содержится в книге JI. Верона35.

Цель работы. В известной работе Л. Верона28, посвящённой исследованию асимптотического поведения на бесконечности решений Ди = ¡и^^и во внешности единичного шара в Rn при п > 3, была доказана следующая альтернатива:

1. Пусть а > Тогда существует конечный предел

С = lim \х\(1)

X—»00

2. Пусть а — Тогда существует предел

С = lim jx|n-2 (In Iz))1^ u(x), (2)

X—>00

причём С G {0, ±Ci(a,n)}.

3. Пусть < а < или 1 < а < и и знакопостоян-

^ n—I n—z Н—2

на в некоторой окрестности бесконечности. Тогда существует предел С — 1ш1г_*оо ^¡^«(ж), причём С € {0, ±62(0", тг)}.

3, стр. 465-468.

33Кондратьев В.А., Никшпкин В.А., Об асимптотике вблизи кусочно-гладкой границы сингулярных решений полулинейных эллиптических уравнений, Мат. Заметки, 1994, т. 56, Вып. 1, стр. 50-56.

34Коньков A.A., Поведение решений квазилинейных эллиптических неравенств. Совр. Ма-тем. Фундам. Напр. 7, 2004, стр. 3-158.

35L. Veron, Singularities of solutions of second order quasilinear equations. Pitman Research Notes, vol. 353, Longman, Harlow, 1996. viii+377 pp.

Значения Ci, С'2 даны, указана скорость сходимости к пределу. Показатель а = Ост — ¿2 называется "критическим".

Целью настоящей работы является изучение асимптотического поведения в окрестности бесконечности решений уравнения

Lu = £ = \х\*\иГ\ (3)

где матрица {а,;} имеет измеримые коэффициенты и удовлетворяет условию равномерной эллиптичности. В большинстве случаев предполагается, что а^(х) —> öij при х —► оо. Ищутся условия на коэффициенты уравнения, при которых повторяются результаты, полученные JI. Вероном. Рассматривается случай, когда в (1) или (2) имеет место С — 0. Ищутся младшие члены асимптотического разложения. Для сферически-симметричного решения Ли = Izplul"-1« изучается асимптотический ряд.

Методы исследования. В работе используются методы качественной теории эллиптических уравнений. При помощи метода суб- и суперрешений получаются априорные оценки на решения. Далее задача рассматривается как линейная с правой частью убывающей на бесконечности как \х\~а. Для получения асимптотического представления решения используется метод весовых пространств В.А. Кондратьева36. Для доказательства существования решений используется принцип Лерэ-Шаудера. При исследовании случая критического показателя о задача сводится к исследованию дифференциальных уравнений в проекциях на пространства сферических гармоник. Далее используются методы асимптотического анализа и теории возмущений для решений обыкновенных дифференциальных уравнений37. Методы исследования применимы также к изучению асимптотического поведения решений полулинейных уравнений в окрестности проколотой точки, в цилиндрических и конических областях.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новы-

звКондратьев В.А., Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками. Труды ММО, 16, стр. 209-292.

37Беллман Р., Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1954.

ми и заключаются в следующем. Для полулинейного эллиптического уравнения типа Эмдена-Фаулера с нелинейным членом, соответствующим поглощению, (уравнения (3))

1. Получены оценки решений при максимально слабых предположениях о скорости стабилизации коэффициентов;

2. Получено асимптотическое представление решений, когда а > (Тег и коэффициенты эллиптического оператора L стремятся на бесконечности к коэффициентам оператора Лапласа со скоростью 0(|х|-а), а > 0;

3. Изучена асимптотика положительных решений;

4. Получен асимптотический ряд для радиальных решений в случае, когда главная часть уравнения есть оператор Лапласа;

5. Найдены младшие члены асимптотического разложения для положительных решений при а — <7СТ.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть применены при исследованиях в области качественной теории эллиптических уравнений.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

- Семинар кафедры дифференциальных уравнений "Уравнения с частными производными" под руководством профессора Рад-кевича Е.В., профессора Кондратьева В.А., неоднократно, 20052008 г.;

- Семинар „Глобальная теория нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных" под руководством профессора В.А. Кондратьева и член-корреспондента РАН С.И. Похо-жаева, неоднократно, 2008-2009 г.;

- Конференция им. И.Г. Петровского "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы Москва, 2007 г.;

- Nonlinear Analysis and Geometric PDE, Tsaghkadzor,Armenia, June 2008;

- Семинар им. В.И. Смирнова по математической физике (ПО-МИ РАН) под руководством профессора Г. А. Серёгина и профессора H.H. Уральцевой в апреле 2009 года;

- Семинар отдела математической физики в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН под руководством д.ф.-м.н. Гущина А.К., д.ф.-м.н. Михайлова В.П. в марте 2009 года;

- Семинар по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям под руководством профессора Скуба-чевского A.J1. в РУДН в декабре 2008 года;

- All-Wales mathematical colloquim, Gregynog,Wales, UK, May 2008;

- Международная научная конференция "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования г. Воронеж, декабрь 2005 г;

- XXXIII Международная молодежная научная конференция "Га-гаринские чтения" (Москва, апрель 2007 г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 6 работах, список которых приведен в конце автореферата. Центральный результат работы в полной общности опубликован в [1]. Короткая заметка [3] содержит схематичное доказательство этого результата в модельном случае. В статье [2] априорные оценки решений, используемые в данной работе, получены для решений широкого класса эллиптических неравенств.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из шести глав и списка цитированной литературы. Глава 1 вводная. Общий объём текста - 128 страниц. Список литературы содержит 111 наименований.

Содержание диссертации

Глава 1. Во внешности компакта К в Шп, п > 3, рассматривается полулинейное эллиптическое уравнение второго порядка в недивергентной форме

(4)

i,j=1 1 3

Здесь

а = const > 1, р = const > —2.

Под решением уравнения (4) в области О понимается функция из класса удовлетворятся этому уравнению почти всюду (п.в.)

в il. Коэффициенты а^(х) полагаются измеримыми ограниченными функциями, удовлетворяющими условию равномерной эллиптичности: найдутся такие положительные константы щ и z^, что для всех

(6>--.,еп)еквих = (11,...>хп) eiî

n tj'=i

Будем считать, что а^ = a,j¡. Предполагается, что а^(х) стабилизируются на бесконечности к коэффициентам оператора Лапласа

п

ф(г) := sup \a,ij(x) — 5ц\ — о(1) при г —> со. (5) 1

Асимптотические свойства решений уравнения (4) при этом изучаются в соответствии с различными значениями параметров (<т, р, п) и скоростью стабилизации в (5).

В большинстве случаев требуется выполнение либо условия Дини на бесконечности:

"+0°Ф(г)

I

■ dr < +оо, (6)

г

либо "непрерывности коэффициентов по Гёльдёру" на бесконечности:

Ф(г) < Chr~a, (7)

где а > 0, Сн > 0 — постоянные.

Модельным уравнением служит

Ли = [х^и^и. (8)

Введём некоторые обозначения. Через S обозначим единичную сферу в R71. Через Ад обозначается оператор Лапласа-Бельтрами на S. Пусть {/3j}£L0 — собственные числа Ад. Как известно, ßj = —j(n — 2+j). Обозначим через &к пространство собственных функций Ад на S, соответствующих собственному значению ßk- Для к — 0,1,2,... обозначим

ejfc = (2-n-fc)(l-a)-2-p.

Ключевую роль в теории уравнений рассматриваемого вида играет параметр

п + р

Ост = -

п — 2

Это значение показателя а называется "критическим". В случае а = (7er понадобятся величины

1

I 2 — п \ acr ~1

dk = n-2 + 2k, Ссг =

1-а,

(гсгСГ1_ (п+р)(п — 2)

dk (2 + р)(п-2 + 2к)' Для случая 1 < ст < сгсг обозначается

1

<г-1

Также введём следующие константы:

1-а -о- ) ' 1-а

Как видно, три области параметра а : а > оСГ) а = а а-, а < <тст отвечают значениям А < О, А = О, А > 0, соответственно.

Для оператора Ь, коэффициенты которого удовлетворяют условию (7)("непрерывны по Гёльдеру на бесконечности") вводятся аналоги гармонических полиномов. Через 'Р[г2~п~тЩ, Ф 6 &т, обозначается решение Ьи — 0 в некоторой окрестности бесконечности,

такое что \р\г2~п-тЩ - г2'п~тФ| = 0(r2~n~m"Т) при х -+ оо для всех 7 < а.

Через Z обозначается набор параметров vi, 1/2, а, сг, р, п, С^. Перейдём к формулировкам теорем.

Теорема 1. Пусть и — решение уравнения (4) в Ш.п\Вр. 1 ) Для хеШп\ В2Р выполняется

м*)| < С[х\&,

где С зависит только от

2) Если р = —2, то для х & R" \ В%р выполняется

1

1-»

|и(а:)| < С (inМ

где С зависит только от п, er, vi.

3) Если коэффициенты уравнения удовлетворяют условиям (5), (6), то для хеЖп\ В2Р выполняется

где С зависит только от п,р, а,

4) Если а = ая- и коэффициенты уравнения удовлетворяют условиям (5), (6), то для х G R" \ В2Р выполняется

Каг)| < С\х\2~п ^ exp QH ^-ds^j ,

где С зависит только от п,р, er, i>i, и от exp ^^-dsj.

Доказательству этих оценок посвящена Секция 2.1 Главы 2. В пунктах 1 и 2 никаких условий на стабилизацию коэффициентов не накладывается. Оценка пункта 1 верна при любом р.

Следующие две теоремы дают описание решений с асимптотиками типа фундаментального решения или его производных.

Теорема 2. Пусть и — решение уравнения (4) в R™ \ К и коэффициенты уравнения удовлетворяют условию (7). Пусть и = 0(\х\^)

при х —> оо, причём 0 < (2 + р)/( 1 — сг). Тогда имеет место следующая альтернатива.

I. Или найдутся целое число т, удовлетворяющее 2 — п — т < 0, и сферические гармоники Фт 6 &т,...,Фт> € &т', где т! -наибольшее целое число, удовлетворяющее 2 — п — т'>(2 — п — т)а + р + 2, такие что при х —> оо выполняется

т'

и(х) = £ 7>{\х\2-п-ЩА + 0(\х(9)

3=т

с любым 7 < ет, причём Фт ф 0.

II. Или для всех т 6 N выполняется и(х) = при а; —> оо.

Замечание. Если I/ = Д, то вторая альтернатива Теоремы 2 может иметь место только для тривиального решения. Это есть простое следствие доказываемого варианта теоремы о сильном нуле (Теорема 13).

Теорема 3. Пусть вЖп\К задано уравнение (4), коэффициенты которого удовлетворяют условию (7). Пусть задано целое неотрицательное число т, удовлетворяющее 2 — п — т < и сферические гармоники Фт € ©т,..., Фт< 6 &т', где т! - наибольшее целое число, удовлетворяющее 2—п — т'>(2 — п — т)а + р + 2. Тогда найдётся такое Я, зависящее от т, что

в К" \ Вц существует решение (4), имеющее при х —» оо асимптотику

т'

и(х) = ]Г)ЯМ2~И~'Ф>] + 0(\х\2-п~т~^)

З-т

для всех'у € (0,£т).

В случае а > аа- выполнено 2~п < Используя этот факт и оценки Теоремы 1 получаем

Следствие 4. Пусть и — решение (4) е \ К. Пусть а > и выполнено условие (7). Тогда для и имеет место асимптотика, гарантированная теоремой 2.

Существование решений с такой асимптотикой следует из Теоремы 3. Перейдём к описанию "критического случая" (о ~ сгст).

Теорема 5. Пусть и — решение (4) в Rn \ К и а = Сто-. Пусть коэффициенты уравнения удовлетворяют условию (7). Тогда найдётся такое сферически-симметричное решение (8) urad(r), что

u(x)=urad(\x\) + 0(\x\2-n">) (10)

при х —> оо для всех 7 < min(l, а).

Замечание. Если оказалось, что urad(r) = 0, то легко видеть, что решение удовлетворяет условиям Теоремы 2 и имеет асимптотику описанную там.

В следующей теореме строится решение, близкое к заданному радиальному решению (8).

Теорема 6. Пусть а = (Та- и коэффициенты оператора L удовлетворяют условию (7). Пусть R(r) — радиальное решение уравнения (8), «7 < а. Тогда найдётся такое р, что в KPt00 существует решение уравнения (4) и{х), удовлетворяющее

и{х) - R{\x\) = 0{\x\2~n-i) при х->оа.

Это решение будет обозначаться какР[Щ.

Для положительных решений доказано следующее уточнение результата теоремы 5.

Теорема 7. Пусть и — положительное решение (4) в Rn \ К и а = (Тс-■ Пусть коэффициенты уравнения удовлетворяют условию (7). Пусть ura,i(r) — радиальное решение (8), найденное в Теореме 5. Тогда имеет место следующая альтернатива.

I. Или найдутся целое число т > 0 и набор сферических гармоник Фj £ &j, т < j < т + 5т, такие, что при х —* оо выполняется

и{х) = V[urad] + £ |х|2"Х1(М)Ф/ (6) + екм2-"-"1-^),

m<j<m+5m

где е - любое произвольно малое число, 8т = min(т,а). Функции Vjti(r) ~ r-i(br)-,J есть решения некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом Фт ф 0.

II. Или для любого т € N выполняется и(х) — V[urad] + 0(|ж|~т) при х —» 00.

Замечание. Уравнения на Vjll(r) получаются методом разделения переменных из уравнения Ду = а\х\р(ига(]У~1ь, при подстановке у — где € Выбирается решение, убывающее к

нулю на бесконечности.

Замечание. Если Ь — Д, то вторая альтернатива Теоремы 7 имеет место только если и = игай- Это есть простое следствие Теоремы 13.

Для анализа поведения положительных решений применяется техника суб- и суперрешений, что позволяет описать их поведение при меньших предположениях о скорости стабилизации коэффициентов.

Теорема 8. Пустпъ коэффициенты (4) удовлетворяют условиям (5), (б). Пусть и — положительное решение (4) в Жп\ К. Пусть а > «Тег- Тогда и(х) — с[х|2_п(1+о(1)) прих —► оо, причём величина с может принимать различные значения.

Теорема 9. Пусть коэффициенты (4) удовлетворяют условиям (5), (6). Пусть и — положительное решение (4) в Кп \ К. Пусть а — Оо-- Тогда и(х) — Ссг\х\2~п (1п (1 4- о(1)) при х —► оо.

Теорема 10. Пусть и — положительное решение (4) в К" \ К, и коэффициенты уравнения удовлетворяют (5). Пусть а € (1, ста)-Тогда и(х) = С8сг\х\^(1 + о( 1)) при х —>• оо.

Для радиальных решений уравнения (8) получено полное асимптотическое представление.

Теорема 11. Пусть и(г) — нетривиальное радиальное решение

(8) б М" \ К.

1. Пусть а > аа-. Тогда и(г) ~ Х^о С/Т2-"--'60 при г —> оо. Здесь С1,С2,... вычисляются через со по рекуррентным формулам, асо изменяется от решения к решению.

2. Пусть о — (Та-. Тогда при г —» оо выполняется

(оо к \

1+ЕЕс*лыпг)'(1Пг)-ч,

к=1 3= о /

где Скк зависят только от параметров уравнения, а остальные коэффициенты меняются от решения к решению. В частности,

Сп = (п-2)(о--1)2"

8. Пусть а < оа. Тогда и(г) ~ СвсгА2+рУ^ [1 + 5X1 с*г"*] при г —> оо. Здесь ¡1 есть отрицательный корень уравнения ¡л2 + Вц + Л(1 — а) — 0, постоянная С\ зависит от решения, а Сг, сз,... вычисляются через с\ по рекуррентным формулам.

Глава 2. Вторая глава носит вспомогательный характер. В этой главе доказываются априорные оценки решений (теорема 1) и факты из теории линейных уравнений. Также в этой главе содержатся доказательства следующих двух утверждений.

Теорема 12. Пусть коэффициенты оператора Ь удовлетворяют условиям (5) и (6). Тогда в некоторой окрестности бесконечности существует решение уравнения Ьи = 0 с асимптотикой и(х) ~ |х|2_п при х —► оо.

Теорема 13. Пусть в области Кц<оа задано и € У^^{Кц>0о), удовлетворяющее неравенству |Ди| < С^ж!-1^«! + С2]х|~2|п|, где С\, Сг - константы, причём С\ достаточно мало (ограничено константой, зависящей отп). Пусть известно, что\и{х)\ < Слт|х|-ЛГ для всех N € N. Тогда и = 0 в Л'я.оо-

Глава 3. В этой главе приведены доказательства теорем 2 и 3. Эти доказательства основаны на применении техники весовых пространств В.А. Кондратьева и стандартных оценок теории эллиптических уравнений.

Глава 4. Глава посвящена случаю а > ас-. Асимптотика радиального решения уравнения (8) изучается при помощи техники весовых пространств В.А. Кондратьева. Далее изучается положительное решение уравнения (4) в случае, если выполнены условия (5), (6) на коэффициенты. Вначале с помощью метода барьеров доказывается, что Сх|х|2_п < и(х) < Сг|х|2_п. Строится решение уравнения Ью = |ж|р|и|ст"~1и, которое есть 0(\х\2~п~е) для некоторого е > 0. Разность и — из удовлетворяет в некоторой окрестности бесконечности уравнению Ь(и - и>) = 0, положительна и сравнима с \х\2~п. У однородного уравнения Ьг = 0 в некоторой окрестности бесконечности есть решение г(х) ~ |а:|2~п. Рассуждения, основанные на применении принципа максимума и неравенства Харнака, показывают, что и{х) ~ сг(х) с некоторой постоянной с > 0.

Глава 5. Глава посвящена исследованию случая а = аст. С помощью методов асимптотического анализа получен асимптотический ряд для радиального решения уравнения (8). Далее, "методом стрельб" строятся суб- и суперрешения уравнения (4), что позволяет изучить асимптотическое поведение положительных решений, если коэффициенты удовлетворяют условиям (5), (6). Если же коэффициенты удовлетворяют условию (7), то оказывается возможным изучить поведение решений вне зависимости от знака. Ключевую роль играет следующая лемма для решений ОДУ:

Лемма 14. Пусть г>(4) удовлетворяет уравнению и + (2 — п)Ь = на интервалеЬ е (¿о, оо). Пусть г/(£) = и для неко-

торого е > 0 выполнено (/г°° ¡/(в)]2^)1^2 = 0{е~а) при Ь —* оо. Тогда найдутся ¿1 > Ц и Я(£) — решение уравнения Я+{2—п)Я = Я? на интервале (¿1, оо), такие, что V — Я = 0(е~~£{) при Ь —> оо.

Далее, проводится анализ младших членов асимптотического разложения положительного решения. Для этого изучаются проекции решения на пространства сферических гармоник.

Глава 6. Глава посвящена изучению "субкритического случая" а < асг. Строится асимптотический ряд для радиального решения уравнения (8). С помошью метода суб- и суперрешений изучаются положительные решения уравнения (4), коэффициенты которого удовлетворяют условию (5).

Автор искренне благодарит своего научного руководителя доктора физико-математических наук, профессора Владимира Александровича Кондратьева за постановку интересных задач и постоянное внимание к работе.

Публикации по теме диссертации

1. Сурначёв М.Д., „Асимптотическое поведение на бесконечности решений уравнения типа Эмдена-Фаулера".// Дифференциальные уравнения, 2009, т. 45, N.8., стр. 1150-1165.

2. Surnachev M.D., „Estimâtes for Emden-Fowler type inequalities with absorption term".// J. Math. Anal. Appl., vol. 348, N. 2, 2008, pp. 996-1011.

3. Сурначёв M.Д., „Асимптотическое поведение на бесконечности решений уравнения типа Эмдена-Фаулера".// Вестник МГУ, Сер. 1 Мат. Мех., 2009, N.2, стр. 56-59.

4. Сурначёв М.Д., „Асимптотическое поведение на бесконечности решений уравнений типа Эмдена-Фаулера".// Материалы международной конференции посвящённой памяти И.Г. Петровского „Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", стр. 310-311, Москва, 2007.

5. Сурначёв М.Д., „Асимптотическое поведение на бесконечности решений уравнения типа Эмдена-Фаулера".// Материалы международной конференции „XXXIII Гагаринские чтения", т.5, стр. 70-71, Москва, 2007.

6. Сурначёв М.Д., „Асимптотическое поведение на бесконечности решений уравнения типа Эмдена-Фаулера".// Материалы международной конференции „Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования", Воронеж, 2005.

Подписано в печать 3/. 02. оз Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. 1,0 Тираж (СО экз. Заказ

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова

1 Введение

1.1 Предположения и обозначения.

1.2 Результаты.•.

2 Вспомогательные результаты

2.1 Оценки решений.

2.2 Факты линейной теории эллиптических уравнений

2.3 Техника весовых пространств В.А. Кондратьева

2.4 Решение Ьи = 0 с асимптотикой типа фундаментального

2.5 Теорема о „сильном нуле".

3 Доказательство основных теорем

3.1 Доказательство теоремы 1.2.

3.2 Доказательство теоремы 1.3.

4 „Суперкритический" случай а > асг

4.1 Асимптотика радиальных решений.

4.2 Доказательство теоремы 1.9.

5 „Критический" случай а = асг

5.1 Асимптотика радиальных решений.

5.2 Доказательство теоремы 1.10.

5.3 Доказательство Теоремы 1.7.

5.4 Метод „энергетических неравенств"

5.4.1 Доказательство Теоремы 1.5.

5.4.2 Доказательство теоремы 1.8.

6 „Субкритический" случай а < асг

6.1 Асимптотика радиальных решений.

6.2 Доказательство теоремы 1.11.

Первоначально исследование уравнений такого типа сводилось в основном к изучению сферически-симметричных решений уравнений видаАи = ±\х\риа (1.4)для задач уравнений в частных производных, и решений уравнений вида* (^Х ± = 0 (1.5)для соответствующих задач теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Систематические исследования свойств решений (1.4),(1.5) начались с работ Эмдена ([66],[67]). В серии работ Фаулера ([68], [69], [70]) и других авторов, индуцированной применением теории Эмдена к задачам астрофизики ([74], [86], [93]) и теорией Томаса-Ферми в ядерной физике ([72], [73], [94]) были подробно исследованы решения ОДУ типа (1.5). Обзор теории решений (1.5) может быть найден в монографиях Сансоне ([52]) и Беллмана ([7]). В последней работе содержится полное описание возможных асимптотик решений (1.5),' существующих на бесконечном временном интервале. Случай, когда в (1.5) вес при нелинейности общего вида был подробно исследован в [95]. Обширная монография Кигурадзе,Чантурия [19] посвящена уравнениям и системам типа Эмдена-Фаулера общего вида. Отдельный интерес представляет также и изучение свойств решений нелинейных ОДУ высокого порядка и систем. Результаты в этой области могут быть найдены в книге [92], работах Конькова, Кигурадзе,Чантурия (см. ссылки в [39] и [19], соотв.) и иных авторов.

Исследование уравнений типа (1.1) велось в различных направлениях — исследование асимптотического поведения решений, вопросы существования и несуществования (положительных) решений, получение априорных оценок, исследование уравнений высокого порядка и т.д. Также широко изучались параболические уравнения такого типа и уравнения с нелинейностью в главной части. При этом наблюдаемые феномены существенно отличаются от проявляемых свойств решений линейных уравнений. Например, для уравнения А и = иа в шаре существует положительное решение, обращающееся в бесконечность на границе этого шара. С другой стороны, любое решение этого уравнения во всём пространстве Rn есть тождественный ноль.

Важным свойством для уравнений типа (1.1) (с нелинейным членом типа абсорбции) является наличие априорной оценки, ' которая в этой работе сформулирована в виде Леммы 2.2. Эта оценка восходит к работам [75], [90]', для эллиптических уравнений второго порядка с главной частью общего вида она была доказана в работе [31] (см. также [32}), её перенесение на параболические уравнения содержргтся в [55]. Для нелинейности общего вида результат такого типа содержится в [28]', для уравнений высокого порядка в [22] были получены интегральные оценки. Для квазилинейных уравнений с нелинейностью общего вида, где L = Ар, такая оценка была получена в [96]. Относительно недавно появилась серия работ и монография A.A. Конькова [39], в которой оценки такого типа были выведены для широкого класса эллиптических и параболических уравнений второго порядка, с линейной или квазилинейной главной частью, и нелинейностью в правой части общего вида.

Интересным является вопрос несуществования положительных решений в областях различной геометрии для уравнений с членом типа нелинейного источника. Первые результаты в этойобласти были получены для уравнения Аи + иа = 0 во всём пространстве и в области с условием Дирихле на границе, затем результаты были перенесены на конические области. Недавно были получены результаты для уравнений с главной частью, являющейся дивергентным или недивергентным оператором общего вида (см. [78], [79] и приведённые там ссылки на более ранние работы). Подробный обзор [51] посвящён такого рода вопросам для уравнений различных типов.

Исследование асимптотического поведения решений уравнений типа (1.1) с главной частью, записанной в дивергентном или недивергентном виде, велось многими авторами. При этом рассматривались области различной структуры — цилиндрические ([14], [16], [24], [25]), [38], [58], [76], [77], [81], [88]), конические ([23], [35]), области, содержащие окрестность бесконечности ([99], [63]) или окрестность выколотой точки ([34], [36], [31], [60], [63], [97], [98], [101]), изучалось поведение решений, стремящихся к бесконечности при приближении к границе области ([33], [80], [35], [23], [71], [83],[103], [84], [82]). Исследовались вопросы устранимости особенностей (напр., [60], [100], [31], [98]).

Заметим, что изучение предельного поведения в окрестности бесконечности в определённом смысле эквивалентно изучению предельного поведения в окрестности точки. Это следует из возможности применения преобразования Кельвина: в самом деле, пусть и есть решение уравненияАи = \х\риа в Б? \ {0}. (1.6)Сделаем заменуХ I 1/2—2 | |2—пУ М9> и = \У\ У= М V-\Х\Нетрудно проверить, что тогдаАхи = \у\п+2Ауу, и, следовательно, в новых переменных уравнение (1.6) имеет вид Ауу = \у\-п-2-р+(п-2)ауа в (1.7)где В® обозначает шар радиуса 1 с центром в 0.

С другой стороны, имеется взаимосвязь между коническим и цилиндрическими облястями - под действием сферической замены координат х = ж (г, а;) и замены г — е1 конус переходит в бесконечный цилиндр, а равномерно эллиптический оператор Ь переходит в новых координатах (£, в е2гЬ', где Ь' также равномерно эллиптичен.

В этой работе широко используется техника пространств с весом, основанная на сведении задачи для уравнения в частных производных к рассмотрению дифференциального уравнения в подходящем (банаховом) пространстве. Идеология этой техники изложена в [56] (см. также [5], [49]). В этой работе использованы фундаментальные результаты [21] для конических областей (см. также [3], [4] для результатов в Мп). Необходимые для применения этой техники результаты теории операторов могут быть найдены в [47], [18], [9], [53]. Оценки резольвенты эллиптических операторов общего вида, зависящих от параметра, содержатся в [2].

Подробный обзор результатов по поведению решений эллиптических уравнений типа Эмдена-Фаулера и их параболических аналогов содержится в книге [104] и недавно появившемся обзоре [105] Верона. В этой книге используется в основном контекст исследования сингулярностей, что эквивалентно рассматриваемому здесь случаю, если сингулярность точечная.

Результаты этой работы могут рассматриваться как продолжение результатов работы Л. Верона [99], посвящённой исследованию асимптотического поведения на бесконечности решений Аи = \и\аги во внешности единичного шара в Мп при п > 3. В этой работе была показана следующая альтернатива:1. Пусть а > - Тогда существует конечный Ишл-кэо \х\п2и(х).

2. Пусть а = Тогда существует предел77—2С = НгПя-юо \х\п2 (1п и(х), причём С Е {0, ^С^а, п)}.

3. Пусть < сг < г) или 1 < сг < и и знакопостоянна в^ п—1 те—2 п—2некоторой окрестности бесконечности. Тогда существует пре2дел С = Нт-с-юо \х\^и(х)} причём С 6 {0, ±62(0", п)}.

Значения С^Съ даны, указана скорость сходимости к пределу. В настоящей работе получены обобщения этих результатов.

1. С. Агмон, А. Дуглис и Л. Ниренберг, Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных производных при общих граничных условиях. 1. Москва, ИЛ, 1962

2. Агранович М.С., Вишик М.И., Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида. УМНД964, т. 19, вып. 3, стр. 53-161.

3. Багиров Л.А., Кондратьев В.А., Об эллиптических уравнениях в Мп, Диф. Ур., 1975, т. 11, N. 3, стр. 498-504.

4. Багиров Л.А., Кондратьев В.А., Об одном классе эллиптических уравнений в Тр. сем. им. С.Л. Соболева, 1978, вып.2, стр. 5-16.

5. Багиров Л.А., Кондратьев В.А., Об асимптотике решений дифференциальных уравнений в гильбертовом простран- стве. Матем. Сб., 1991, т. 182,N. 4, стр. 508-525.

6. Багиров Л.А., Кондратьев В.А., Об асимптотических свойствах решений уравнения диффузии, Тр. сем. им. И.Г. Петровского, 2002, Вып. 22, стр. 37-70.

7. Беллман Р., Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1954.

8. Л. Берс, Ф. Джон, М. Шехтер, Уравнения с частными производными. Москва, "Мир 1966.

9. Блехер П.М., Об операторах зависящих мероморфно от параметра, Вести. МГУ, Сер. Матем. Мех., 1969, N. 5, стр. 30-36.5

10. Гилбарг Д., Трудиигер Н., Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. Москва, Наука, 1989 463 стр.

11. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г., Основные положения о дефектных числах, корневых векторах и индексах линейных операторов. УМН 1957, т. 12, вып. 2, стр. 43-118.

12. Гохберг И.Ц., Сигал Е.И., Операторное обобщение теоремы о логарифмическом вычете и теоремы Руше. Матем. сб., 1971, т. 84(126)', N. 4, стр. 607-629'.

13. Данилов В.Г., Волосов К.А., Маслов В.П., Математическое моделирование процессов тепло-массопереноса, М.: Наука, 1987, 351 стр.

14. Егоров Ю.В., Кондратьев В.А., Об одной проблеме O.A. Олейник, УМН, 1997, т. 52, Вып. 6, стр: 159-160.

15. Егоров Ю.В., Кондратьев В.А., Об асимптотическом поведении решений нелинейной параболической краевой задачи, Докл. РАН, 2004, т. 397, N. 5, стр. 590-592.

16. Егоров Ю.В., Кондратьев В.А., Олейник O.A., Асимптотические свойства решений эллиптических и параболических систем в цилиндрических областях, Мат. Сб., 1998, т. 189, N. 3, стр. 45-68.

17. Зельдович Я'.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Махви-ладзе Г.Н., Математическая теория горения и взрыва. М:, Наука, 1980, 500 стр.

18. Келдыш М.В., О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряжённых уравнений. ДАН СССР, 1951, вып. 1, стр. 11-14.

19. Кигурадзе И.Т., Чантурия Т.А., Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Наука, 1990.

20. Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов Н.С., Исследование уравнения диффузии, соединённого с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме. Бюллетень МГУ, сер. Мат. и Мех., 1937, т. 1, вып. 6, стр. 1-26.

21. Кондратьев В.А., Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками. Труды ММО, 16, стр. 209-292.

22. Кондратьев В.А., О качественных свойствах решений полулинейных эллиптических уравнений, Тр. сем. им. И.Г. Петровского, 1992; Вып. 16, стр. 186-190.

23. Кондратьев В. А., О'решениях слабонелинейных эллиптических уравнений в окрестности конической точки границы. Диф. Ур., 1993, т. 29, N. 2., стр. 298-305.

24. Кондратьев В.А., О некоторых нелинейных краевых задачах в цилиндрических областях, Тр. сем. им. И.Г. Петровского, 1996, Вып. 19, стр. 235-261.

25. Кондратьев В.А., О решениях нелинейных эллиптических уравнений в цилиндрических областях, Фунд. и прикл. ма-тем., 1996, т.2, Вып.З, стр. 863-874.

26. Кондратьев В.А., Об асимптотических свойствах решений нелинейного уравнения теплопроводности, Диф. Ур., 1998, т. 34, N. 2, стр. 246-255.

27. Кондратьев В.А., Арефьев В.Н., Асимптотическое поведение решений второй краевой задачи для нелинейных параболических уравнений, Диф. Ур., 1993, т. 29, N. 12, стр. 2104-2116.

28. Кондратьев В.А., Коньков A.A., О свойствах решений одного класса нелинейных уравнений второго порядка, Мат. Сб., 1994, т. 185, N. 9, стр. 81-94.

29. Кондратьев В.А., Козлов В.А., Мазья В.Г., Ознакоперемен-ности и отсутствии сильных нулей решений эллиптических уравнений. Изв. АН СССР Сер. Мат. т. 53, 1989, N. 2, стр. 328-344.

30. Кондратьев В.А., Ландис Б.М., Качественная теория линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. ВИНИТИ, Сер. Современные проблемы математики1, фундаментальные направления, т. 32, стр. 99-215.

31. Кондратьев В.А., Ландис Е.М., О качественных свойствах решений одного нелинейного уравнения второго порядка. Мат. Сб., 1988, т. 135, N. 3, стр. 346-359.

32. Кондратьев В.А.,* Ландис Е.М., Полулинейные уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой. Мат. Заметки, 1988, т. 44, Вып. 4, стр. 457-468.

33. Кондратьев В.А., Никишкин В.А., Об асимптотике вблизи границы решения сингулярной краевой задачи для полулинейного эллиптического уравнения. Диф. Ур., 1990, т. 26, N. 3, стр. 465-468.

34. Кондратьев В.А., Никишкин В.А., Изолированные особенности уравнений типа Эмдена-Фаулера. Диф. Ур., 1993, т. 29, N. 6, стр.1025-1038.

35. Кондратьев В.А., Никишкин В.А., Об асимптотике вблизи кусочно-гладкой границы сингулярных решений полулинейных эллиптических уравнений, Мат. Заметки, 1994, т. 56, Вып. 1, стр. 50-56.

36. Кондратьев В.А., Никишкин В.А., О положительных решениях одного полулинейного уравнения, Тр. сем. им. И.Г. Петровского, 1995, Вып. 18, стр. 157-169.

37. Кондратьев В.А., Олейник O.A., Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях. УМН, 1983, т. 38, вып. 2(230), стр. 3-76.

38. Кондратьев В.А., Олейник O.A., О поведении на бесконечности решений одного класса нелинейных эллиптических уравнений в цилиндрической области. Докл. РАН, 1995, т. 341, N. 4, стр. 446-449.

39. Коньков A.A., Поведение решений квазилинейных эллиптических неравенств. Совр. Матем. Фундам. Напр. 7, 2004, стр. 3-158.

40. Конти Р., Рейсиг Р., Сансоне Г., Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1974, 318 стр.

41. Крылов Н.В., Сафонов М.В., Некоторое свойство решений параболических уравнений с измеримыми коэффициэнта-ми. Изв. АН СССР, 1980, т. 44, N. 1, стр. 161-175.

42. Курант Р., Гильберт Д., Методы математической физики. т.1, М.-Л., 1951.

43. Курант Р., Уравнения с частными производными. Изд-во „Мир", М., 1964.

44. Ладыженская O.A., Уральцева H.H., Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

45. Ландис Е.М., Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. М.: Наука, 1971.

46. Ландис Е.М., Некоторые вопросы качественной теории эллиптических уравнений второго порядка. УМН, 1963, т. 18, N. 1, стр. 3-62.

47. Люстерпик Л.А., Соболев В.И., Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.

48. Мазья В.Г., Пламеневский В.А., О псевдоаналитичности решений возмущённого полигармонического уравнения в М™. Теория рассеяния; теория колебаний, стр. 75-91, 185, проблемы мат. физики, 9, ЛГУ, 1979.

49. Мазья В.Г. Пламеневский В.А., Об асимптотическом поведении решений-дифференциальных уравнения в гильбертовом пространстве. Изв. АН СССР, Сер. матем., 1973, т. 36, N. 6, стр. 1080-1133.

50. Миранда К., Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: ИЛ, 1957.

51. Митидиери Э., Похожаев С.И., Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и» неравенств в частных производных. Труды МИАН им. В.А. Стеклова, 2001, т. 234, стр. 1-384.

52. Сансоне Г., Обыкновенные дифференциальные уравнения, т. 1-2. М.: ИЛ, 1953,1954, 346 стр.,415 стр.

53. Трофимов В.П., О корневых подпространствах операторов, аналитически зависящих от параметра. Мат. Исследования, 1968, т. 3, вып. 3(9), стр. 117-125.

54. Худяев С.И., Пороговые явления в нелинейных уравнениях. М.: Физматлит, 2003, 272 стр.

55. Чистяков В.В., О свойствах решений полулинейных параболических уравнений второго порядка. Тр. сем. им. И.Г. Петровского, 1991, Вып. 15, стр. 70-107.

56. S. Agmon, L. Nirenberg, Properties of solutions of ordinary differential equations in Banach' Space. Comm. Pure Appl. Math., 1963, N. 16, p. 121-239.

57. R. Benguria, H. Brezis and E.H. Lieb, The Thomas-Fermi-von Weizsäcker theory of atoms and molecules. Comm. Math. Phys. 79, 1980, p. 167-180.

58. Berestycki H., Nirenberg L., Some qualitative properties of solutions of semilinear elliptic equations in cylindrical domains. Analysis (volume dedicated to J. Moser), N.Y.: Acad.Press, 1990, p.115-164.

59. H. Brezis and E.H. Lieb, Long range atomic* potentials in Thomas-Fermi theory. Comm. Math. Phys. 65, 1979, p. 231346.

60. H. Brezis, L. Veron, Removable singularities for some nonlinear elliptic equations. Arch. Rational Mech. Anal. 75 (1980/81), no. 1, p. 1-6.

61. S. Chandrasekhar, Principles of stellar dynamics. London: Constable, 1960.

62. S. Chandrasekhar, An Introduction to the Study of Stellar Structure. Dover Publ. Inc., 1967.

63. X.-Y. Chen, M. Matano, L. Veron, Anisotropic singularities of solutions of nonlinear elliptic equations in 1R2. J. Funct. Anal., 1989, v. 83, N. 1, p. 50-97.

64. Davies E.B., Heat kernels and spectral theory. Cambridge Univ. Press, 1989.

65. Eddington A.S., The internal constitution of stars. Cambridge, 1926.

66. Emden R., Gaskugeln. Teubner, Leipzig, 1897.

67. Emden R., Gaskugeln, Anwendungen der mechanischen Warmentheorie auf Kosmologie und meteorologische Probleme. Leipzig, 1907, Kap. XII.

68. Fowler R.H., The form near infinity of real continuos solutions of certain differential equation of second order. Quart. Journ. Math. 45 (1914), p. 289-350.

69. Fowler R.H., The solutions of Emden's and similar differential equations. Monthly notices of the Royal Astr. Soc. 91 (1930), p. 63-91.

70. Fowler R.H., Further studies of Emden's and similar differential equation. Quart. Journ. Math. 2 (1931), p. 259-288.

71. A. Gmira, L. Veron, Boundary singularities of solutions of some nonlinear elliptic equations. Duke Math. J., 1991, v. 64, N. 2, p. 271-324.

72. E.Hille, Some aspects of the Thomas-Fermi equation. Jl. Analyse Math. 23 (1970), p. 147-171.

73. E. Hille; Aspects of Emden's equation, Jl. Fac.Sci. Tokyo, Sect. I-A, 1970, v. 17, N. 1-2, p. 12-30.

74. E. Hopf, On Emden's Differential Equation. Monthly Notices of the Royal Astr. Soc. 1930, Vol. 91. p. 653-663.

75. J.B. Keller, On solutions of Au = f(u). Comm. Pure Appl. Math., 1957, vol. 10, p. 503-510.

76. Kondratiev V.A., On the existence of positive solutions of second-order semilinear elliptic equations in cylindrical domains. Russ. J. Math. Phys., 2003, V. 10, N. 1, p. 11-20.

77. V.A. Kondratiev, O.A. Oleinik, Boundary value problems for nonlinear elliptic equations in cylindrical domains. J. Partial Diff. Eq., 1993, N. 1, p. 10-16.

78. V. Kondratiev, V. Liskevich, Z. Sobol, Positive super-solutions to semi-linear second-order non-divergence type ' elliptic equations in exterior domains. To appear in Transactions of AMS.

79. V. Kondratiev, V. Liskevich, Z. Sobol, Positive solutions to semi-linear and quasi-linear second-order elliptic equations on unbounded domains. Handbook of differential equations: Stationary Partial Differential Equations , vol. 6, p. 177-268.

80. Kondratiev V.A., Nikishkin V.A., On positive solutions of singular boundary value problems for the equation Au = uk.Russian J. Math. Phys. 1 (1993), no. 1, p. 131-135.i

81. Kondratiev V.A., Veron L., Asymptotic behaviour of solutions of some nonlinear parabolic or elliptic equations. Asymptotic Analysis, 1997, v. 14, p. 117-156.

82. M. Marcus, L. Veron, Uniqueness and asymptotic behavior of solutions with boundary blow-up for a class of nonlinear elliptic equations. Ann. Inst. H. Poincare Anal. Non Lineaire 14 (1997), no. 2, p. 237-274.

83. M. Marcus, L. Veron, The boundary trace of positive solutions of semilinear elliptic equations: the subcritical case. Arch. Rational Mech. Anal., 1998, v. 144, N. 3, p. 201-231.

84. J.L. Vazquez, An a priori interior estimate for the solutions of a non-linear problem representing weak diffusion. Nonlinear Anal., 1981, v. 5, N. 1, p. 95-103.

85. J.L. Vazquez, L. Veron, Singularities of elliptic equations with an exponential nonlinearity. Math. Ann. 269, 1984, p. 115-135.

86. J.L. Vazquez, L. Veron, Isolated singularities of some semilinear elliptic equations. J. Differential Equations 60 (1985), no. 3, p. 301-321.

87. L. Veron, Comportement asymptotique des solutions d'équations elliptique semi-linearies dans W1. Ann. Mat. Pura Appl., 1981, v. 127, p. 25-50.

88. L. Veron, Singularities eliminables d'équations elliptiques non lineairies. J. Diff. Eq. 41 (1981), p. 87-95.

89. L. Veron, Singular solutions of some nonlinear elliptic equations. Nonlinear Anal. 5 (1981), no. 3, p. 225-242.

90. L. Veron, Geometric invariance of singular solutions of some nonlinear partial differential equations. Indiana Univ. Math. J., 1989, v. 38, N. 1, p. 75-100.

91. L. Veron, Semilinear elliptic equations with uniform blow-up on the boundary. J. Anal. Math. 29 (1992), p. 231-250.

92. L. Veron, Singularities of solutions of second order quasilinear equations. Pitman Research Notes, vol. 353, Longman, Harlow, 1996. viii+377 pp.

93. L. Veron, Elliptic equations involving measures, in Handbook of Differential Equations: Stationary Partial Differential Equations, 1, NORTH-HOLLAND, 2004.Публикации автора по теме диссертации

94. Сурначёв М.Д., „Асимптотическое поведение на бесконечности решений уравнения типа Эмдена-Фаулера", Дифференциальные уравнения, 2009, т. 45, N.8., стр. 1150-1165.

95. Surnachev M.D., Estimates for Emden-Fowler type inequalities with absorption term, J. Math. Anal. Appl., vol. 348, N. 2, 2008, pp. 996-1011.

96. Сурначёв М.Д., „Асимптотическое поведение на бесконечности решений уравнения типа Эмдена-Фаулера", Вестник МГУ, Сер. 1 Мат. Мех., 2009, N.2, стр. 56-59.

97. Сурначёв М.Д., „Асимптотическое поведение на бесконечности решений уравнений типа Эмдена-Фаулера", сб. тезисов конференции посвящённой памяти И.Г. Петровского „Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", стр. 310-311, Москва, 2007.

98. Сурначёв М.Д., „Асимптотическое поведение на бесконечности решений уравнения типа Эмдена-Фаулера", сб. тезисов конференции „XXXIII Гагаринские чтения", т.5, стр. 7071, Москва, 2007.

99. Сурначёв М.Д., „Асимптотическое поведение на бесконечности решений уравнения типа Эмдена-Фаулера", сб. тезисов конференции „Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования", Воронеж, 2005.