Асимптотические представления решений неавтономныхобыкновенных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НАЦЮНАЛЬНА АКАДЕМШ НАУК УКРА1НИ ЦШГШГИ&^Т МАТЕМАТИКИ

1 О ФЕВ 1998

еВТУХОВ Вячеслав Михайлович

УДК 517. 928

АСИМПТОТИЧН1 ЗОБРАЖЕННЯ РОЗВ'ЯЗЮВ НЕАВТОНОМНИХ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЩАЛЬНИХ РШНЯНЬ

01.01.02 — диференшальш р1вняння

Автореферат

двсертацп на эдобуття наукового ступеня доктора ф!Зико - математичних наук

Ктв •— 1997

Дисертащею с рукопис.

Робота викоиана на кафедр! диференщалыгах р1внянь Одесь-кого державного ушверситету iM. I.I. Мечникова

Офгщйш опоненти:

академис HAH Грузи, доктор ф1зико-математичних наук, професор

К1ГУРАДЗЕ 1ван Тар1елович,

1нститут математики iM. А. Размадзе HAH Грузи, директор;

член -кореспондент HAH Украхни, доктор ф!зико-математич-

них наук, професор

ПЕРЕСТЮК Микола Олексшович,

Кшвськнй ушверситет iM. Тараса Шевченка, завщуючип кафедрою, декан факультету;

доктор ф1зико-математнчних наук, професор ТЕПЛШСЬКИЙ lOpiä Володимирович, Кам'йнепь - Подшьськпй педагопчний ушверситет, заводу юпий кафедрою.

Провщна установа:

Чершвецький державний ушверситет iM. Ю. Федьковича, кафедра прикладно? математика i мехашки.

Захист вщбудеться 1998 р. о ^^годиш

на засшанш спещал1зовано1 ради Д.01.66.02 при 1нститут1 математики HAH УкраУни за адресою: 252601, Ки1в-4, МСП, вул. Терещенмвська, 3.

3 дисертащею можна оэнайомитися у б!блштещ 1нституту.

1997 р.

Вчений секретар спещалпгжанч) ради

А Ю. ЛУЧКА

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИК РОБОТИ

Актуальность теми. Незважаючи на бшьш шзс и'исову icropm, питания про асимптотичле повод зкення розв'язк^в дмференщальних р1внянь продозжуе i в теперешнш час служити предметом числепних дослщжень. ;

Роботи А. Пуанкаре, JI. Шлезингера, А. Кнеэера, Ж. Хорна i О. Перрона, опублшоват паприктщ XIX - початку ХХ'стол1ття, створили передумови для розвитку асимптотичноа теорп лшпших неавтономних звичайнкх диференщальних ргвнянь.

Значний вклад у становления aiei Teopii внесли Е. К*оттон, Г. Шпет, М. Матель, О. Хаупт, М. Хухухара, Н. Левшсон, А. Ушт-иер, Г.Л. Турртн, B.C. Пугачов, I.M. Рапопорт, А. Девшатц, С.Ф. Фещенко, М. I. Шкшь, М.В. Федорюк та багато жших.

I.T. Югурадзе на основг доопджень М. Мателля розробив теорию асимптотичного штегрування лшшних диференщальних р!внянь

к=0

де

Ы<)=Ро* (<)+?!»(*). А = 0,1,-. ..,п — 1, (2)

Рчк '• [я,+оо[—>■ R - лохально абсолютно неперервт, а Pik ' [а. +оо[ —у R- лохально сумовш фунхцп. Прн цьому розгладав-ся випадок, коли кнують Aßiqi неперервно диферентйовш функцц <р, ф : [а, +оо[—»■)(), +оо[ там, що: 1) функцй

«•w-f'-w»«. m

«>(') = lf-'+1(')Pu(<). ' = ».1.....n-1.

задов олъняють умовн • [

■}-оо +ОС +ОС

j |et(i)|A<+00, J |Äj(<)|A<+00, f,\ck(i)\d1.<+cc:

2) алгебраг'чне р'тняння

п-1

-i »-i 1-1

JJ(A + a0j) = £ Ьок Д(А + ü<y) + б.

де üqj — ^ lim <ij (t), 60j = ^ lim bj(t), мае npocTi кореш.

Одержан] I.T. Югурадзе теореми охоплюють багато В1домих результатов i дозволяють за рахунок вибору функцш <р i ф встановьти асимптотику фундаментально!" сдмЧ розв'язк1в для ряду важливих к.лас!в лшшних длференщальних р1внянь вигляду (1).

Але ш теорсми вимагали уточнения, так як в окремих випадкак не охоплювали бшьш загальних результатов, наприклад, результатов А. Уштнера при <p(t) = i¡>(t) = 1. Кргм того, залишалось вщкритии питания про поширення lúeí Teopií на випадки наявпост! у р1зняння (4) кратних корещв.

Особливо iHTeHCHBHa робота в останш десятиршчя проведена у Teopi'í íctotho нелшшних иеавтономних звичайних диференщальыих р!внянь. Значна кшьюсть з одержаних у щ роки результата шдсу-мована у монографи I. Т. Югурадзо i Т. А. Чантур1я ("Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений". - М.: Наука, 1990).

Один Í3 папрямюв в теорп íctotho нелшшних диференщальних р'пзняпь пов'язаний з класичним р!внянням Емдена-Фгулера

Це ршняиня вперше з'явилось в астроф^зпчних досладженнях Р. Емдена, як1 проводились у другш половит XIX стол1Тгя. По-Т1м воно винпкае в ядернш фпиц1 у вигляд! р^вняння Томаса-Ферм! у" = в газовш динам1Щ, механщ! рщин та в пппих галу-

зях природознавства. Асимптотичне поводження його правшхьнкх ро-ш'язк'т при а > 1 дослщжено в роботах Р. Фаулсра, Е. Хопфа, Дж. Сансоне та íh. Одержат при цьому результата П1дсумован1 у вшомих монографиях Р. Беллмана i Дж. Сансоне (1954 р.).

Вивчення р!вняння Емдена-Фаулера було важлииою передумо-вою для дослщжения ¡стотно нелшшних ргвнянь другого порядку бшьш эагального вигладу

у" - 002»('-)!у|<г sígujf,

(5)

де й0 ,е {-l,l}i 0 < <т ф 1 i р : [а,+оо[—f]0,+oo[ - неперервна функщя.

Р1вняння (5) розглядалось у роботах Ф.В. Аткшсона, I.T. Kiry-радзе, Ш. Бшогорця, Т.А. Чантур1я4 О.В. Костша, М.М. Аршова, 3. Hexapi, Дх. Уонга, В.О. Кондратьева i B.C. Самовола, В.О. Кондратьева i В.О. Ншшина та багатьох imnHX автор1в. Основш результата про изування у р1внянвя (5) правнльних та сингулярних роз-в'яэыв першого i другого роду, коливних та неколивних розв'язк1в, а також про асимптотику цих роэв'язив, що одержан! протягом 19551990 poxiB, викладет у вищеяазвашй монографи I.T. Югурадзе i Т.А. Чантур1я.

I.T. Югурадзе належить важлива шея використанпя перетворень эмшних загальвого вигляду

г = г(<), »(<) = в(<)ч(г)

для вивчення асимптотичного поводження правильних неколивних роэв'яэкш ртняння (5) у випадку, коли <r > 1 i функция р допускав зображення

• p(t) = Ро(<)[1 + де ро : [а, +оо[—f]0, +оо[- двга неперервно диференцшовна функц!я, & го : [а, +оо[—>] — 1, +оо[- неперервна функщя така, що

lim r0(t) = 0.

«-f + OO v '

Виб!р функшй г i v эдайснювався по разному в залежносп вш enroll ання тих чи шших умов.

Ця шея в роботах Т.А. Чантур»я була поширена на випадок 0 < <т < 1 i набула подальшого розвитку в досл!дженнях О.В. Костша. О.В. Косин запропонував виб1р функшй т i v эдшсюовати э

шпсорнстанням наближеяня Г. Харда ^ ( v ) > що дозволило побудувати метод, якай падал! в роботах О.В. Костша i автора був ооширеяий на ршняввя '

j/'rraop^lvriy'l^igny, , (б)

до том ж для дов1льпих <r i А таких, що о + А Ф 1. Недослщже-яям залншався випадок <г + А = 1. KpiM того, эалишалися витеритами: а) питания про аснмптотнчне поводження правильних неколивних роэв'яэкго р1ввяш> (5) i (6) у деяких. оеобливих шшадклх!

б) питания про можливкть зняття умов па гладккть коефщкнта р при вивченю аскмптотичних властивостей неколивних розв'язкш р!внянь (5) 1 (6); в) питания про можливкть поширення розробле-но1 для р1вняння (6) методики доывдження на шип класи ¡стотно нелшшних рхвнянь другого порядку.

Важливою особливктю вищеназваних робгг, присвячених р!в-нянням (5) 1 (6), е те, що при цшком природных умовах була вста-новлена асимптотика у с 1 х Ъс неколивних розв'ядов. Спроби в становления аналопчнпх результат1в для р!внянь типу Емдена-Фаулера третьего та бшып високих порядыв не були такими ж ефективними. Бшып перспсктивним для дих р1внянь виявився пишд, який намтшся в робой 1.Т. Ккурадзо (Мат. сб. - 1904. - Т. 65, N. 2.-С. 172-187). Надалх вш був поширений на достатньо широк1 класс р1внянь п- то порядку, що охошповалн р1вняння

у(п)=а0р(<)|уГы8пу, (7).

де ао 6 {—1,1}, сг > 0, I р\ [а, +оо[—►](), +оо[- неперервна фушиця. Для таких ршнянь спочатку були видолет ус1 типи IX правильних та сингулярних розв'языв. Дал1 розв'язки кйжного 13 можливих тишв дослщжувались окремо. Для деяких з них (швидкозростаючнх, кне-зеровських 1 сингулярних неколивних розв'язк!в) в роботах 1.Т. К1гу-радзе 1 Г.Г. КвЫкадзе були одержат двосторонш асимптотичнг оцш-ки. Питания про точш асимптотичт формули для у ах тишв правильних та сингулярних неколивних розв'язшв залишалось вщкрк-тим навггь для р1вняння (7). Вщомими були лише результата 1.Т. К> гурадзе про умопи кнуванн? розв'язюл 1з степеневою асимптотикою

у(Ь) ~ с,-«-1 (г=1,...,п) при *->+оо,

а такой: результата О.В. Костша про асимптотику розв'язив широкого класу ¡стотно нелшшних диференвдапьнпх ршнянь, яка визна-чметься форыальним застосуванням формул Г. Хард!

В дисертацшшй робо-п эдшснсьа спроба заповнити вихценазваш прогалини.

Мета роботи полягае в тому, щоб: а) доповнити 1 пошири-ти на зипадох наявност! кратних корснш у алгебраТчного р1внян-ня (4) теорию 1.Т. Югурадзе асимптотичвого штегрування лшшних р!внянь (1); б) розробити методику встановлення точних асимпто-тичних формул для широкого класу неколивних розв'язив нелшш-пих р!внянь п- го порядку, зокрема piвнянь типу Емдена- Фаулера, яка охошпое метод О.В. Косина використання формул Г. Хард1 (8); в) розробити тлУ1Д для дослщження асимптотичного ководжсння ус1х неколивних розв'язюв р1вняння (б), який дозволяе не тшьки зня-ти умови на гладшсть коефщкнта р, а й охопити не дослщжеш особ-лив1 випадки; г) поширити методику дослщження узагальненйх р1а-нянь типу Емдена-Фаулера (б) на деяк1шип типи ктотно нел'шшних р1внянь другого порядку.

Методи дослщження. В робот1 застосовуються методи мате-матичного анал1зу, теори функций, функционального андл1зу, методи яккно! теори диференщальних ршнянь I асимптотичш методи. Набувае подальшого розвитку метод перетворень змшних, який систематично викорпстовуеться при дослщженш асимптотичних влас-тивостей розв'язмв неавтономних звичайних диференщальних р-1в-вянь 1 систем таких рдвнянь.

Наукова новизна. Для систем лшшних диференщальних р1в-нянь, головна матриця коефщ1ент!в яких мае структуру кваз1жор-даново! нормально! форми, впроваджено новий тип умов Мателля-Левшсона э вагою 1 доведено теореми про асимптотику лшшно неза-лежних розв'язк1в, вщповщних кваз^жордановим Клейнам, та фундаментально! ам1 розв'ячюв. На основ! цих теорем одержан! нов1 результата про асимптотичш зображення розв'язх!в лшшних неавтономних диференщальних р^внянь п - го порядку (1).

Для ¡стотно нелшшних неавтономних диференщальних р»внянь п - го порядку визначено новий клас, так званих, Р^-роэв'ячк)в, ях1 при деяких умовах охоплюють уел типи правильних та сингуляр-них монотонннх розв'язив, вщм1нних вщ степеневих. Одержан! точш асимптотичш формула для уах Ри - розв'язк1в 1 Ьс пох!днпх до п -1 -го порядку включно узагальненого ктотно нелшшного р1вняння типу Емдена-Фаулера п - го порядку. Встановлеш необхщш > достатш умови 1х кнування, а також умови асимптотично! скв'талеятносп двох рхвнянь типу Емдена-Фаулера.

Удоскопалюючи методику, роэроблену для р1вняль n-го порядку, отримаш нов! результата про асимптотичве поводження ycix (а не тшьки Ры) правильних та сингулярних монотонних розв'язюв уза-гальнепих диференщальних р1внянь типу Емдена-Фаулера другого порядку (6), а також деяких клас!в диференщальних р1внянь другого порядку з. нелшшностями шшого типу. Зокрема, досконало до-слщжеш р^вняння, як! виникають в теорп ¡зотершчно! плазми при вивченш розподшу елсктростатичного потенциалу навколо Tin i3 сфе-ричною та цилгадричною симстргею.

Теоретична та практична цшшсть. Отримак! в робст результата i розроблеш в нш методики можуть бути використаш для досл'щжеппя асимптотичного поводження розв'язкхв неавтономних диференщальних р1внянь бшьш загального вигляду, нш Ti, що роз-глядались у дисертаци, а також конкретних лЫйних та нелшшних неавтономних диференщальних р1внянь вищих порящпв, ят виникають в теоретичщй ф1зищ, мехашщ, астронома та шших галузях при-родознавства. Деяш з них були эастосоваш в дослщженнях кафедри теплоф1зикп Одесьгого державного ушверситету iM. LI. Мечникова.

Апробац1в роботи. Осиовт результата дисертацшшп робота доповщалксь на наукових семшарах э яысно? Teopii диференщальних ¡«внянь в 1нститутах математики АН У кра1ни (1992,1993,1997 рр.), АН Грузи (1989 р.), АН НДР (1982 р.), в Московському ушверсите-п 1м. М.В. Ломоносова (1991, 1995 рр.), в Берлшському (1982 р.) i Ро-стокському (1982 р.) университетах, на Розширених заеданиях ссмь нару 1пституту прикладно! математики im. I.H. Векуа Тбшкького ушверситету (1988; 1990, 1992 рр.), на шжнародних конференциях "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики - вторые Боголюбовские чтения" (Кшв, 1992 р.), " Асимптота чш та яккш метода в теори нел1щшшх коливань" - Tperi Боголюбовсьш читання (Кюв, 1997 р.), "Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения" (Кюв, 1994 р., Кам'янець-Подшьський, 1996 р.), "П'ята М1жяародна наукова конференщя ш. академию М. Кравчука" (Киш, 1996 р.), "Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики и их приложения" (Феодоая, 1997 р.), на Всесоюзних конференщях з яккгкй теори диференщальних р^внянь (Рига, 1989 р.) i нелшшних проблем диференщальних ршнякь i математичноТ фпнки (Терношль, 1989 р.), на Республианських конференщях (Киш, 1992 р.; Одсса, 1982, 1987,

1992 рр.; Севастополь, 1990 р.), на школ! по теорп функцш ( Воронеж, 1993 р.), неодноразово на наукових семшарах в Одесысому державному ушверситет! 1м. 1.1. Мечникова.

Публ1кацп. Основы! результата дисертацп опубликован! у роботах [1-28].

Структура ! обсяг роботи. Дисертацшна робота складаеться 1з вступу, п'яти роэдипв 1 списку лхтератури, який мктить 232 назви.' Обсяг роботи - 295 сторшок машинописного тексту. г 1

ЗМ1СТ РОБОТИ

У встуш обгрунтовуеться актуальшстъ теми, подаються стис-лий огляд робгг за даною тематикою, эшст дисертацп та основш результата.

Перший роздш (§§ 1-2) носить, в цшому, допом1жний характер. Однах, одержат в ньому результата мають 1 самостшний штерес.

У § 1 (пп. 1.1-1.5) дослщжуеться система Л1ШЙних диференщ-альних ршнянь

' . ¿У

¿х

= №) + Я(х)]у,

(9)

де

XV{х) -

( ь>и(х) 1 0 0 \

0 о»,2(а:) ... 0 0

1Г{(х) = ; • • 1 •

0 0 1

к 0 0 0 «¿„Да:) /

1,...,8, П,- > I,1 9 х>,- = », «=1 фунхцп Ыц (к = 1

I = 1,...,«) 1 матриця Л = (г,у) хомплекснозначш 1 локально су-мовш на пром^жку [ж0, +оо[.

Для шс1 системи рЬнипь розглядаеться випадок, коли функпи Щк ( ^ £ 3< к 5: пн 1 < < ')| я*» внэнпчет рекурентними сшввщношенвями:

'При п,- = 1 припускаемо, що И^х) = ы,\(х).

= 1 при к = 1,...,п,-,

х

в]к(х) = у в)+1к(г)<1ц+1(г)л при 1 < з < к < щ,

»и

де

dim(x)=expJ[ыim{т)-Ыim-^{т)]dr, т = 2,..п,-,

*а

+оо .

»;.={«Г» & <£ ■ / и^^н^

»0

эадопольныють наступну умову:

(5в). 1спують С1 > О 1 т\ > хо таю, що для будь яких I е {1,..., в] та 1 < ] < т < щ

В[т(х)ф О,

В{и(т)В)т(х)

В\т{*)

< С1 при X > XI .

Умова (Яв) виконана, наприклад, у випадках, коли для кожного } € {1... >,я} або п,- = 1, або п,- > 11 им(х) = • • • = «,„((а;).

Осповш результат (тереми 1.1 - 1.3) про асимптотичне штегру-вання гитами (8), головна матриця косф!цкпт1в V/ якоТ задовольпяе уыопу (), а Л - мала у деякому розумшш, одержан! у пп. 1.1 -1.3. ЩоГ) сформулювати одну з доведения тут теорем, визначимо для Кожного » £ {1,..., з) функцп

х

Я«(®) =В'1к(х)ехрI[ы41(«) к=

Го

упровадимо позначепня

лг1 = о, п„: 1 — 2—, в,

) 1ЬЧСТ\"11Н<!

Оэначення 1. Нехай у — (*у,-)*_д - вектор-функщя з неперервними компонентами 7,- : [жо,+оо[—>]0, +оо[ (« = 1,..., я). Будемо казати, що система п локально сумовних фуккцш (Чт :]жо>+оо[—► К. (т — 1,...,«,;» = 1...,а) задовольняе на пром1жку [жх, +оо[с]хо, +оо[умову Мателля-Левшсона (коротко умо-ву (М — Ь)) з вагою 7, якщо для будь-яких (1, то), (р, д) £ ^о або

виР \ /'.т{») ] А» - Ь

або

7<(*) И{г)

1>т>х 1 > < +оо,

7.'(г)

1: > Г > > > —00

Нт

с

{[Игя(а)

7.(<)

= +0С.

Теорема 1.3. Нехай для деяког вектпор-функци 7 = (71)1=1 3 неперервними неспадними компонентами 7,- : [:го,+оо[—>]0,+оо[ (» = 1,..в) виконуються поряд з (5в) наступт умови: 1) система п функцгй

«.М-я. [«,(■)+

(т = » = 1.....я)

задовольняе на промгжку [х\, +оо[ умову (М — /•) з вагою 7; 2) при будь яких (|,т), {I, к) € «70

+ О0 /

Я,т(в)

Я,* (я)

»Т^+тМ+И*)

(1х < +О0.

То<?« система ршнхнь (9) мае фундаменталъну с1м 'ю розе 'язьпв ум = (уРМ)"=1, 9 = 1,..., Пр, р = 1,коМпоненти ыожнчяо з яких допускаютъ при х +оо асимптогптнг зображснн.т

УряМр+к(х) — ехР jb>pk(t)di Blq(x) + o (7 (g)^(a;))]

npu fc= l,...,<f,

= о (-^M^expJ^dt^

при i = p, fc = g + l,...,np (jffKttjo q < np ), а також при 1фр (t G {l,...,s}) i к - l,...,ni.

Якщо, kpim наведених и теореьн умов, у деякому okojü +00

> Со > 0 (k = l,,..,q),

то асимптотичш формули для компонент i/P3jvp+t (Л = 1,...,д) розв'язку jjpq можуть бути записаш у вигляд!

х

Уря^Ф) = В19(х)ехр Jupk(t)dt + [)] = 1,...,«).

*0

У теоремах 1.1 i 1.2 при бшьш слабких умокох сдержано асимптотичш формули для окремих розв'язшв, а також для пР лшшно незалежних розв'язмв, яы вщповщають oi-i^*- ...у квазгжордановому блоку Wp.

В пл. 1.4 i 1.5 видшяються деяга кпаси систем вигляду (9), для яхих умова ( Sß) свщомо виконана, i для них конхретиэуються результата попередшх пункта!.

В § 2 (пл. 2.1, 2.2) на осшш вхдомих теорем О.В. Костша вста-новлюються эручн1 для вшсористання в подальшому достатт умопн кнування зникаючих в нескшченноеп дшсних розв'язив у система квазшшйгаих диференшалышх р1внянь

% = fi(z) + £ Pij(x) Уз + ffi(x) Ж®. Уи - ■ • 1 Vnh i=1

i- l,...,n,

де У;(г,0,...,0) = 0 (i = l,..-.,n) при x>a, У< : Slab—> R

l /iiPijiSi : K+oc[—► ß. (i = l,...,n; j = l,...,n) - неперервш функцц, |a| < +00, b > 0, П„ь = [a, +oc[xR£,

r? = {(vi.....2/n) б h.",: |и|<ь, t = l,...,n}.

Тут окремо розглядаються: а) випадок систеыи з майже трикутною лгвшною частиною (п. 2.1); б) ввпадок систеыи э майже сталими коеф1щеытами (п. 2.2).

Другий роздал (§§ 3-8) присвячено лшшним дифер&ншальшш ртнянням (1). В ньоыу дослщжуеться випадок, коли ко^.фщинти рк (к = 0, l,...,n — 1) р1вняння (1) допускають зображенну виду (2) й ¡.снують там двгч! неперервно диференцшовш функцц <р, ф : [о, -f ос[—>]0, +ос[, що:

а) 1снують скшчент гранищ

lim ak(t) = aok, lim bk(t) = Ьои (к = 0,1,..., п - 1),

I-+ + OÜ <-» + OQ

да а*, bk (к = 0,1,..., п — 1) - функцп з формул (3);

б) алгебрашне р'шияння

П-1 П-1 *-1

П (А+а> w) = £ь* (*) П (А+«>«))+м<)

)=0 »=1 1=0

I

мае кореш А ,т(<) (т = l,...,n,; i = 1,..., з; «, = n), е локально абсолютно неперервниыи на деякому гцюшжку [¿о, 1-ос[ ком-плекснозначними функвдями i задовольняють умови

lim Aim(<)=Ä, (т~ 1,...,п,; i = 1,...,а),

да Ai,...,A, - корсн1 кратное^ rtj(вЬцпов^дно) граничного р!вняння (4);

в) для кожного значения i 6 {!,...,4} функцп Bjk (1 < j < < к < п,), як! яизначаються рекурентаиыи сгпвв1дношеннями

Btfc(i) = 1, k=h...,nh

t т

BjkW = j 4'{r)tfnik{T)«*i, j </'(*)[Х;Я1(«)~ А,,(.<)] JWr,

1 < j < к < и,,

де граница штегрування ßjk дор1вюос або to, або +00 i обрана таким же чином, як i рашше у функщях Bjkl задовольняють умови

lim = const ф о, Кт<к<щ.

г-++°° B[k(t) г - - -

При цьому на додатки ри накладаються обмеження, як! забезпечу-ють асимптотичну ёкв1валентшсть розв'язюв р'шняпня (1) i "скоро-ченого" р1вняння

п-1

к=0

Основш результата другого роздшу (теореми 3.1-3.3) сформуль-оваш у § 3 i доведет в § 5.

§ 4 носить допом'шний характер. Тут, у эв'язху з умовами а) 1 б), обговорюеться ( п. 4.1) питания про кнуванпя у алгебраГчного ршвяипя э майже сталими I локально абсолютно нсоерервними на йроМ1жку [/о, +оо[ косфщкнтами Kopenia з тиме ж гладккними влас-тивостями, а також будуеться у явному виглвд) ( п. 4.2) невироджена t локально абсолютно непсрервна у деякому охол! -f-oo матрица G(t), «»я эздовольняе стввшношеиня

G~l(t) A0{t) G(t) = «iiag [Л,(f),..., A,[t)),

№

( -oo(t) 1

0 -ai(<)

* •

4 •

0 0

\ M<) Ш

~a„.,(t) 1

bn„2(i) bn~\[t) — an_i(t)

( A«(t) 1 0 >«(«)

m =

0 0

0 0

\

Wi(<) 1

0 Ai,i,(<) )

'Tliia п,- = 1 приггускпемо, що A,-(<) = A,i(i).

У § 5 ртняння (1) за допомогою перетворення

*

» = J ф(т)(1г,

а

( «(«)

l/i(*)

= F(t)G(t)[

уп(х)

\ /

де

i*(i) = diag[#»(i), >p(t)m,.... »W"^)]

зводиться до система днференщальних р1внянь виду (9)," яка допускав застосування теорем з § 1. На основ! цих теорем i воуанов-люються теореми 3.1 - 3.3.

У §§ 6-8 з використанвям теорем 3.1-3.3 дослхджуеться асимп-тотичне поводження розв'язкш лшшних диференц»альних р^вняш. з майже сталими коефхщентами ( § 6), лшшних р1внянь, асимптотично екв!валеитних р!внянням Ейлера (§ 7) i асимптотично екв!аалентних ршняннйм ti<") = p(i) и"), де 0 < / < я - 1 (§ 8). Наведемо одну з двох теорем J 8.

Теорема 8. 2. Яе хай для деякого I € {0,.,.,п— 1} «снують deiut неперервно диференцгйовна функция р : [а, +оо[—► R \ {0} t

стала а > 0 так!, що функцхя 'fojp * монотонною в okoai |-оо i випопуються улови:

Ihn р'(<)|р(<)Гй^А=0,

i-»+oo

+0° „ I 'I

J («IpWI^) (p'WWir1^1) </¿<+00,

в

I

q-n-H+1

ta I Mt) - p(t) I dt < +oo,

7

I t''k\p(t)\'1 \pt^{t)\ dK+oo, * = («що1 / > 1),

а

+ов /

<°b'(i)|a^i \dt< fx, * = 1...'.,/,{ +2,...,n.

Todi ргвняння (1) мае n — I лЫЫно незалежних роэв'язкie Uj (j — I + 1,.. .,n), ski допускають при t —> -foo асимптотиим зоб-ражен ня

.. n+1+1-2t r I

ti}fc_1,(t) = |p(f)| exp / Xj(r) |р(г)|Я^ drx

а

k = l........ j = l + l,...,n,

<?e i. = max{l. i}, Ao; (j = i + 1,..., n) - кореш pieняння

А п~' = (г, <т — eignp(i), а кожма Aj с коренем ргвняння

який прямуе до Ао> при t —> -foo.

При i = а = 0 ця теорема сшвпадас э теоремою, яка була рашше одержана I. Т. К1гурадэс.

Центральним роэдшом диг.ертацп е роздш III (§§ 9-11). У пьому розглядаеться ктотно пелппйне диференшальпе р!вняння тину ЕмдгНа-Фаулера

— oc0p(«) I »Г°| j/ Iе"1 • • -1 |fi,,_1> Г—' signy, (10)

дс ii > 2, «о € {-1.1), itov ..,<rn_i д1йсн1 числа. як! эадовольпя-ють uepinnicTb <7ц 4 ai"- 4 <rn~i ф 1, i p : [«,w[~4]0,4oc[ ( oc < a < w < 4 ос-) - неперерпиа фупкц|Я.

Означения 2. Розв'ямк у рЬняпия (10). виэначений на доякому промшку [io,w[C [а. начив.агться Ри- ¡»^в'чтеоч, якшо ein зпдонольняс наступш трг умови:

1) при f6[«o.w[;

2) для кожного k. е {0,..., п - 1) :\f~<o Пту'*>(<) := 0, ибо

linu^'m - ;

М-''

3) 1сиуе скшченнд або несшнченна граница

Ао _Ит Ы-Ч)?

Меток» роэдшу е встановлення точних асимптотичних формул для уах можливпх титв Рш- розв'язк1в р^вняння (10) та Тх похцших до порядку п — 1 включно, а також умов "¡снування Ри- ]Х)зв'язк1в з знайденимн асимптотичними зображеннями.

Впкладемо коротко суть розробленого методу дослщження асимптотнчного поводження Ри- розв'язывр1вняння (10). Опечатку у § 10 дослцхзсуються класи Р"(А®_|) п раз неперервно диференцшов-пих на пром1жху [<о>^[ функцш, як! задовольпяють нер1вшсть ф 0 при I б [¿о,о»[ I умови 2), 3) означення 2. Доводиться (леми 10.1 1 10.2), що для будь-яко'/ функци у € мають

М1сце при к = 1,..., п — 1 граничш сшввцщошення

1Г« ; . П« {п - к - 1) А„_,(у)(0 - (п.- к- 2)

1 МО »<*'(<) .,т *>(»/)<*)

~ ™ Му№ Г 1 '

т

\ („ЧЛ - Ы*^)]3 , /*\ _ / якщо ы =

Лк{т) - »(*+!)(4)»(»-»)(*) • М] якщо У < +оо

Щ граничш стввщношення використовуються для встановлення асимптотичних властивостей функшй у € Р"(А°_Х) . При цьому з'ясовуеться, що множила ус!х клас'ш (А°_!) за свошн асимптотичними властивостямн розпадаеться на п +1 неперетинних пшмно* хита, в5дпов1дних наступним значениям

А2-1 = ±оо! А«.^^, < = 1.....п-1;

А2-10{о. §...., 8г!,±0°}.

Иод&мо два э одержан жх тут тверджень, як*1 в!дносяться до внпадк1в, коля { О, Н.....±оо } а А°_1 = ±<зо.

Л е м а 10.3. Якщо у 6 Р;(>°_х) » £ {о, §, §.....£=}, ±оо},

то при < "[■ и> игають мгсцс асимптотиит Зобразхеиня

* = 1 п-1

11 Гт1 V У{п)И) ) ' *-1'"->п II «О,

де

а0( = (п-^Л^!-(»-»- 1), 1 = 1,..., п-1.

Л с м р. 10.4. Якщо у € Р£(±оо) , то при I и жаютъ мгсце аашптотичнг зображеннв

к = 1....,п- 1

Для функцш у € Р^Н","!.?1) , ДО « 6 {1,. •.,« - 1}> одержан! лемп 10.5 I 10.6 аналогичного тину, але тут, на в!дмшу вщ лем 10.3 110.4, кожна при к 6 {¿ +1,..., п} виражаеться асимптотично через

»-у похадну фуккци у, а при к € {0,2} (якщо » > 1)- через и I — 1-у похищу.

Дал1 ( § 11), враховуючп, що козней Р^-розв'язогс у ргвшшня (10) наложить до одного з п+1 вищепазванпх клаав Р^(А°_г), 1 викорис-товуючи вцшовщпу леыу з § 10, р^вняння (10) вводиться до асиьшто-тично екв!вапентного на розв'язках даного класу р1вняння першого порядку вщносно одше! з пох!дних у. 3 цього р!внянпя, з урахуван-вям застосовано! леми, зяаходиться асимптотика видшеного класу Рц,-розв1язк1в та IX похщних до порядку п — 1 включно. При цьоку встановлюються також 1 необхщш умовк кнування таких розв'язк'ш. Питания про 1х фактичне кнуваппя вир^шуегься шлехом звэдеикя до питання про кнуваиня знпкаючше в нескшчешюсп розв'языв у деяйй систем! кшшлшшних днференщальпих ртаянь, одерхгашй з (10) в результат! перетворення, яке визпачавться отриманими аевть тотичнйми зо€раженнями. А це питания вже вприпуетъея на оспой! теорем з § 2. Сл!Д зазначити, що у випадках, коли А® е | 0, | ,§,..., . ±оо |, вони застосову ються лише шеля по-передпього доведения одержано'! система кваэшшшнихдиференщаль-¡;и:: р'лшянь за допомогою лодаткоппх п^ретворень до сиетеми з

ыайпе трикутвозо лшшною частнною.

Внаслцгок проведеного у §§ 10 1 11 досл1дзхення були встановлен! теореми 9.1-9.7, як'1 сформульоваш в § 9. Щоб навести ц:> теореми, введемо додатков! позначення:

п-Х

7* = 1-Е"*.

¡-г п-1

рц = п-» + ]Г]<гк(»-А- 1)- ]Г/1<«^п,

I. П-1-1 ¡-1 1 ^а

t I

Л(<) = IРяк* (г) Лг, бго(0 = 11 Мт) ¿г,

Л0 Ва

» I

/-!(<) = I Р&(Г) ¿г, (<)--- У ^(^.Г^г)^, д-1 а-,

« I

/•(«) = / I »„(г) |"-р(Г)¿г, <?„(<) = 11 Л(г) ¿Г,

А. <

/,(*) =111 жы(т) рЬ(т) с*г, 1 < .' < п - 1,

л,

<

<;,.(<) * У } 7Г„(г) |""^Г0* рЪ(г) | Л(г) ¿г, 1 < * <> _

де южна гранях» штегруванпя Л<, В,- € {«А и» }(Ь - будь- яке число

г» т

'Тут! у подлльшому пряпуехяеио,то ]Гс; гг О2 ЭД с/ « 1ггрят < к,

¿5* ыь

э промЬхку ja, w[x) i вибрана таким чином, шоб вщповщний ш штег-рал прямував або до 0, або до +оо при 11 w.

Теорема 9. 1. Для icuyeanus у pienxMHS (10) Ры~роЗв 'язкга таких, що Aj|_i = ±оо, необхгдно i достатнъо, щоб виконувалисъ dei умови:

P^Kt*)!1^" =0> ao7ojB(í)[)rw(í)]»-i>0 при t&]aM-«tu <М4)

Kpin того, кожиий такиб додатмий Ри~ розе'язок допускав при i f и> асимптотичм зобрахсення

~ • Ь (МО Г"'"1 «gn[Tto/n(«)l,

. i 2=0,1,...,n- 1.

Теорема 9. 2. Еехай цп ф — 1. То di для хснуаапня у piawnt-ня (10) Ри~ розв'язкгв mama, що ^ |о, §, ffM^rf» ±оо|, нсобтлоно, шоб виконувалисъ умови

цю [<%(*)]' -ДО

«о

(i п п-1

j^-JoWj Пао<>0 при Í €]а,ы[,

(И)

де

aoi ~(п~ »)A»~i - (« - i - 1), i - 1,...,«- 1.

Крш того, кохсиий такий додатний розв'язок допускав при i f ш асимптотичм эображениж

VüpQ п-1

П «0< i-j+t

7о

1 +

•Mt)

7qJQ(<)

Líl + ^P^iS).

e-j-i

j = 0,...,n~ 1,

Чиапускасмо, що a > 0 при и sr -feo

де

Vо

[1 п — 1 Уа—Ц

1 + Рп 1

Якщо ж поряд з (11), де А®_1 £ 10, .. ч ^гт > ^^ }' виконуетъся

одна з маступних умов:

п—2

<Ти

ч Е

к=0

<1;

п-1

1 - О-п-1

2) алгебрагчне ргвияння п-1 п-1 к

П ао,П(«о.+А) = (1 + Л) П(«о. + Л) (12)

4=0 1=Пг+1 1=1 1=1

не мае кореиго э нулъавою ¿{йеною частпиною, то у дпференцхалъно-го ргвняиня (10) кнуютъ аказаного типу Ри- розв'язки.

Теорема 9. 3. Нехай цп — — 1. Тодг для генуеання у рхвняния (10) Ри~ розв'язкгв таких, що £ {в, §, §»•••»Ц5?т ие-

обхгдно, а якщо виконуеться одна з умов 1) або 2) теоремы 9.2, то » достатньо, щоб

п-1

1=1

де ао; (» = 1,... ,п— 1) - тг ж с<ш», що » в (11). Крш того, кожний такий додатний Ри- роза'язок допускав при ^ ^ и аашптотичт зобразхекнз

п «о«-

рН) -

п-,-1

[1+0(1)1, 3 = 0,...,п— 1,

де

п-1

гг ао «^П [ «/■-!(<) ] ,

1=1

Наступна теорема в деякш м1рг доаоввюе дв1 попереднь Теорема 9. 4. Для генування у ргвняння (10) Рш- розе 'язьпв таких, що А®_1 £ 10, ..., 1, ±оо необххдно, а якщо еико-нуетъея одна з умов 1) або 2) теоремы 9.2, то < достатньо, щоб

11т [С"(<)]2 Л°

п-1

»о7о[(А®_1-1)?ги,(<)]п-1Л(<) П°о'>° пРи

¿=1

Кр1м того, кожний такий додатний Рш- роэа'язок допускав при 11 ш асимптотичт зображення

. уищ „ аок^ЫМ |7о , ^ _ ! л(<)|£ х

П °0. <=>+1

У випадках, коли алгебралчне р1вняння (12) мае кореш з нуль-овою доскою частияою, питания про кнування у диференщального р1вняння (10) роэв'язшв ¡з вкаганими у теоремах 9.2-9.4 асимпто-тичними эобралсеннями дослщжено при деяхих додатхових умовах на коефЫент р.

Теорема 9. 5. Нехай у ф 0 при деякому < € {1,..., п — 2}. Тод} для кнування у ргвняння (10) Рш- роэв'язто таких, що

А®. = —, нсобхгдно, щоб виконувалисъ у моей

П — %

11111--7Г7Г\-.|сг»~п»

^ от (13|)

при I еКЧ.

Кргм того, к ожний такий додатний Р^-.роэе'яэок допускав при X 16« аемдттифял«« зображення

yM(t) =

Pi Vi

(¿-У -1)!

£

M<)rj-I[i + <>(1)},

^„(-iv-ii'wv-vKm

Ю Ji{t)

JJdi) "ы*)]'"'.

I

de

Vi = ßign^^)]'-1. Якщо as порлд ъз (13,) вьконуетъся одна э наступит двох умов:

п-2

Ч Е

t=i

fffc

<Г„_! - 1

< 1;

Fl — 1

2) с.хгебрагчне ргвняння

i=<-fl m=S+l jssl jf=i+l

не. мае коретв э пульовою дШсною час тиною, то у диференцгалъно-го р(аняннж (10) гснують вкязаного типу Р,,- розв'язки.

Теорена 9. ß. Исхай in-i ф 0. Tadi для ¡снування у pi вняння (10) Ри - розе 'язгпв, длз situz = 0 » гснус скЫченна або несми-

ченна гранщя lim необидно i достатньо, щоб викону-

вались умови (13n_i), Билыи того, для кожного такого додатного Ри - розо'язку мсютъ мкце при t | из асшттотичт зображення

(14„-i).

Inmoro типу результат »«стать паступна теорема. В тй подат умови, asm заСезпечують асишгготячлу екв'талентшсть шяс пра-вшгьшцлп пгколавнимп розэ'язкамл р'шняппя (10) i рЬняння

2<"> = a0g(f)!*roUTl... | г*"-1* Г'—sign*, (15)

де фушсшя q : («,а>[—}-]0, +оо[ йеперервна i така, що

Я(*)~Р(0 при M'w. (IG)

Теорема 9. 7. Якщо поряд э (16) виконуютъся ¡/моей

в-2, .

fu-i ф 1 » 2 [ 1>>то для кожного розе'язку z ргв-

няння (15), т» — 1 позядна якого огс/мшна eid нуля у деякому Ate ому околг и, хснуе та кий розе 'язок у ¡пвняння (10), що при t f ы мають мгсуе асимптотиинг зображення

y(k>(i) = *(*>(t) [H-o(l)], А = 0,...,n — 1.

Одержат у роздып III теореми дозволякхгь, у зв'язку з довшьшстю ш < -foo, описати асимптотику ве тЗльки правильних, а й р1зних тишв сингулярних неколивних розв'языв рШНЯННЯ (10).

У четвертому розд!л! (§§ 12-17) бшьш детально дослцщуеться днференщальне р1внявня типу Емдена-Фаулера другого порядку

у" = <*op(i) | У П У* |Ä eiga у, (17)

два о 6 {—1,1}, 0",А G R i р: [a,w[—>]0,+оо[ (-оо < о < ш < +оо)~ веперервна функшя.

Для цього р1вняння спочатку, в доповнення до теорем роздшу III, встановлюються (§ 13) необхшш i достатн1 умови ¡снування розв'яэив 1э степевевою асимптотикою y(t) ~ с( [ (t) (t € {1,2} ) при < f де с< (i = 1,2) - вцгмшшв!д нуля стал!. Дал!, розглядаються окремо випадкн, коли

(<т + А — 1)(А—1)^0 i <r-f А = 1.

У випадку (<т + А — 1)(А — 1) ф 0, на основа результат^ третьего розд!лу, видшено ( $ 12) наступи! три умови:

pjix(t)

п = ¿о. «то «т = -Ii

("i)

te gm ю~1; (18з)

де 0 < |10| < +оо,

г I

G0(t) = У |J0(r)|Ä* dr, Jo(t) = Jp*&(T)dr,

Во А о

ß-, А_,

(

Gi(t) = I К(т)\&р^{т)\11(т)\Г=^Х dr,

t i

• Л(<) = J |rrw(r)|I^pT^(r)rfr, /,(<) = J K(r)\l-xp(r)dT,

Ai A,

Л, G {a,w}, i = -1,0,1,2, ß, e г = -1,0,1 (i> - будь-яке

число з пронпжку ]a, w[1) i обрат подобно тому, як у допом1жних функшях з розд!лу III.

Ц1 три умови у деякому розумшв1 доповпгоють одна одну. А c<v ме, якщо р : [a,w[—»]0,+oc[~ неперервно диференщйовна функщя н icnyc скшченна або нескшченна границя lim ^К то ПРЛ

Lq = ±оо умова (18j) равносильна умов1 (18i) (тобто одна випливае з 1яшо1 i павппки), а при Lo = 0 - равносильна умов! (18з).

У §§15 i 16 при виконанш кожно! з умов (18,), » £ {1,2,3} дослщ-жено ксимптотичне поводження ycix (а не ттькн Рш) правильних неколивних розп'язып р!внянпя (17). Особливо важливим с те, що одержан} результата дали змогу, на вщмту bU попередтх дослщ-жень р1вняння (17), не тшьки зняти додатков*! обмеження на гладкость коефгщента р, але i охопитл не дослщжеш особлив! випадкп. Треба однах зазначита, що при пьому поряд з теоремами рочд'шу Ш пикористовувалися методи, як! розроблет були раньше для pin-пянь типу Емдена-Фнулгра у роботах I.T. Югурадэе, Т. А. Чантут«я, О.П. Коетша й автора.

1 Прячуmuiмо, н;о и > 0 при и> ~ -)

Подамо три ¡3 одержаних тут теорем.

Теорема 16. 1 Нехай виконустъся умое а (181), де О < |£0| < +°о. ТосН:

1) якщо аоЬо < 0, то кожний правилъний неколионцй розе 'язок ршняння (17) задовольняе одне з двох асимптотичних ствв1дно-шеиь;

у(<)=со + о(1) при г^ы; (19)

у(<)=тги,(^[с1 + о(1)] при < (20)

де со, С1 - вхдмЫм в1д нуля сталг;

2) якщо ао 1>о > 0 » «о (о- + А — 1) > 0, то кожний правильный неколивний розе'язок ргвняння (17) або допускае одне з асимптотичних зображенъ (19), (20), або одне з эображень виду

1-<г — А

М*)

а-л

1 -г а

у випадку се ф — 1, (21)

1(<)| при

у випадку а = — 1; (22)

3) якщо «о Хо > 0 « ао (с + А — 1) < 0, то для кожного правильного неколивного розв'язку у рюняння (17) або мае мясце одне и эображень (19) - (22), або хенуе послхдовшстъ {<*} (I* б]а, ¿=1,2,...), яка збггаетъся до ш « така, що при к +оо

1-е-А

МЬ)

-2=1-1—«г^А

1 + <г

у випадку а ф —1, "1/(<*) |У_1(«/ь)| у випадку <г ~

Теорема 16. 2. Нехай виконустъся умова (18з). Тодк 1) лки+о ао(1-А)(1-о' - А)7гы(<)Л(4) > 0 при t то

кожний правилъний ксколивний розе 'язок рмняння (17) задоаолькяе одне з асимптотичних стввхдногиень (1.9), (20);

2) якщо а0( 1 - А)( 1 - <r - А) (<)«/i(«) < 0 при t e]a,w[ « ао(<т+Х — 1) > О, то кожний правильный неколивний роза'язок pie-няння (17) або допускав од не з аашптотичних зображень (19), (20), або однс гз зображень виду

У(<)=±

1 — <г — А 1 — А

Mi)

1-Л

(1 + с(1)] при (23)

3) я>л/(о ао(1 — А)(1 — (г — А)7Ги,(<) Л(<) < 0 при < €]а,ы[ » ао (<т+А—1) < 0, то для кожного правильного неполивного розе 'язку ргвняння (17) або мае жсце одне гз зображень виду (19), (20), (23), або 1снуе послгдовмсть {} (<* €]д,ш[, к — 1,2,...), яка збггасться до ш, i така, що

y(tk) ~ ±

1 - <7 - А

1 - А

Mh)

1-Х i-<r-V

при к -)• +оо.

Теорема 10. 3 Нехай виконуеться умов а (18з). Тодг: 1) ао (<т + А — 1) > 0 або ао (<т + А — 1) < 0 » у деякому лгзолу OKO.it и

_____ < 1 _ ,т _ д,

то кожний правильный неколивний розв'язок ргвняння (17) або до-пускас однс з асилттотичних зображень (19), (20), або одне гз зображень виду

y(t) ~±5Г„(*)

f

(1-<Г-А)| |7Tu(r)rP(r)dr As

г^Ьх

(24)

при t, | ш,

де Лз 6 {а;о»} »' визначаеться так само, як « Лг; 2) якщо ао(сг + А — 1) < 0 « для будь-якого г € [а,а;[

то для кожного правильного неколивного розе 'язку ргвняння (17) або мае мгеце одне з асимптотичних зображень (19), (20), (24). або г'снуе послгдовюсть { } (I* ы[, к = 1,2,...), яка збггаеть-

с£ до ш, «' така, що при к +сх>

У(<к) ~ ±1г«(<») - (1 - <т - А).

При <г 4- А = 1 р1вняныя (16) набувае вигляду

¡/' = аоР(<)|у|1-А|1/|Ав18пу (25)

I носить назву натвлшшного диференцхального р1вняння другого порядку. Асимптотика уах правильних ньколивних розв'яэыв ць-ого р1внянця дослщасена (§§14, 17) при Х ф 1,2' у припущенш, що коефвдент р допускас зображеыня виду

Р(<) = «(<)[!+ »■(«)],

да д : [а,ы[-+]0, +оо[- неперервно диференцшовна 1 г : {а,а»[—► Я-неперервна функци, так! що:

А-З

Игп«'(<)«^(*) = 10 (-оо <10< +оо), Игаг(<) = 0,

(1)Л = 4* ос.

При хшконант двх умов мае мкце наступна

Теорема 17.1. Кожний неколивний розе 'язок у : —► И ргвняння (25) допусков одне з чотиръох асимптотичних зображень:

« 1 »(<) = с ехРу[со + <ч»(а) ] Л, !/(*) = сехр^ (2»)

«

с

(о

<

у(<) = с ехр

<

'о

*

<0

(27)

'При А — 1, 2 ртвнжинл (17) {втегруг.ться у киадратурлх.

и

/ g(t) dt = +00

а .

w 9

/g(<)eft<+oo

а

с, со, ц - eidMinni в id нуля сталг; щ — aosign[(l — Л) Q(<) ], а «,■ : [<о, w[—>■ R (t = 0,1,2,3) - неперервт фуници, ягп прямуютъ до нуля при 11 а;.

KpiM того, у §§14-17 одержан! пеобхщт ^достатт умови 1сну-вання розв'зтв кожного з поданнх у теоремах 16.1-16.3, 17.1 тишв, аспмптотачт зображення для похщних цих розв'зюв, а також уточнения асимптотичних формул для розв'зыв виду (19), (20), (26)—(28) (теореми 16.4-16.9, 17.3-17.9).

Роздш V (§§ 18-20) мктить результата, одержан! автором разом з аспирантами i сп!вроб!тниками хафедри теплофизики Одеського уш-версптету. Тут розглядаються:

1) система нелшшних дпференщальних р1вняпь типу Емдепа-Фаулера

= ос(р{(г) I tx3_( |А' sign«3_i, i = 1,2,

де а, € {-1,1}, А,- € R \ {0} i р,- : [а, 6[—>]0, +оо[ (г = 1,2) - непе-рервз! функци;

2) пашвлшшпе диференщальне р'шняння другого порядку

y" = f^a(pi(t)|y|1-A'|2/IA'8igny, 1=1

де a, 6 {-1,1} А< € R\ {1,2} (г = 1,...,п), А,- ф А,- при i ф j\ Pi: [а, —»]0, +схз[ (i = 1,..., п) - пеперервш функцп;

3) диференщальне ргвнянпя другого порядку i3 степенево-експо-непцшпою пел!в!вшстю

jr = aop{t)e"\i/\\

Де ао € {—1,1}, <r, A S R i р: [a,a/[—>-]0, +оо[ - неперервна функция;

4) нелшшт диферепщальш р!внянпя другого порядку

у" = И1>(!/) i у" = е"рМ,

де <т е R\ {0} i р :]a, f>[—)• R\ {0} - неперервна фушсщя, вщм'шна р'ш степеневоц

а, якщо «, якщо

I

Q{t) = J q(s)ds, v =

5) нелппйш диферешиальш ровияння типу Пуассона

де А,Вли € R, и > 0 i А2 + В2 ф 0, яко виникають при дослщ-жеш розподшу електростатичного потенщалу в Ьотерличнш плазма навколо тш водповщно 31 сферичного та цилшдричною симетр1ею, до-слщжекня яких створило передумови для поширення методики розда-лу III на ктотно нелппйш ровняння «- го порядку бшьш загального вигляду, !пк (10).

У сшлышх роботах з асшрантами [4, 14-17, 21, 24, 25, 27) автору дисертаца налсжить постановка задач, розробка методов доел щження та обговорення теорстичних результатов, а сшвавторам -встановлення конкретних теорем з використанням дих методик. В [28] автором одержаш yci результата про асимптотичне ловоджепня розв'язк1в першого з ровнянь Пуассона, а ствавторам налсжить постановка ф1эичноо задач! i опис на ochobI цих результатов ф1зичних явищ у сферично - симетричной плг.эы1 продуктов згорання.

висновки

1. В робота одержан! ноы результата про асимптотичне повод-ження розв'язив систем лоншних диференшальних ровнянь, го-ловна матриця коефощентов яко'о мае структуру квазожордано-Bo'i нормально! форми, а також побудоваш перетворення, яко зводять до такого вигляду делю класи систем з майже сталими косфощснтами. На основ» цих результатов поширена на больш загально випадки розроблена I.T. Югурздзе Teopia асимптотич-ного штегрування лоншних пеавтономних диференшальних pis-нянь п- го порядку.

2. Розроблено та обгрунтозано методику встановлення точних асимптотичних формул для Pw- розв'езк'ш узагальиениг pin-

_ нянь типу Емдена-Фаулера n-го порядку. Доведено, що по своис асимптотичних властивостях множена ycix Ри- розв'язков роз-падасться на п + 1 неперетинних класш. Для Ри- рот'яэкш кожного з цих хлас1в одержано асимгпотичга зобраткенн», а також необходш i достатпо умовк Ьс к^уачиня. Кр;ч того. <отч>-жат умови асимпютвчноо ссшвалентпот двох р'тняпь гг.пу Емдена Фаулера п- го аорялку.

3. 3 використанням вказаних вище результатов вид'шено три умо-ви, що в деякому розумшт доповнюють одна одну, при вп-колант кожно! з яких дослщжепо асимптотичне поводжеиня ycix (а не тшьхи Ри) правильних та сингулкрних неколивних розв'язкп} icTOTHO нелшшкого ¿пвияння типу Емдена-Фаулера другого порядку. При цьому на п'тыту вщ попередшх досл^д-жень знято додатков! умови на гладккть косфадента р!вняння i зменшено кшьккть особливих випадкт.

4. Методики дослщження асимптотичного поводження роэв?язх1в узагальнених ртнянь типу Емдена-Фаулера, як! Сули розроб-лет I.T. Ккурадзе, О.В. Костгшш i автором роботи, попга-рено у дисертаци на нашвлшшш дпферешпалып р1вняння, на р5вняння з степенево-скснопенцшною нелипйшстю та на деяш innii класи icTOTHO нелшшних диференщальних pionsnb. Зок-рема, досконало дослшжет нелшшт диферепщальш р1вняння, ani виникають при вивчент розпощлу електростагичного потентату в сферично-симетрячнш i цилшдрично- симетричпш плазмь

СПИСОК ОПУБЛ1КОВАНИХ АВТОРОМ ИРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦП ,

1. Е в т у х о в В. М. Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка // Сообщ. АН ГССР. - 1982. - 10G, N 3. -С. 473-476.

2. Е п т у х о в В. М. Асимптотические свойства решений одного класса дифференциальных уравнений второго порядка // Math. Nachr. - 1984. - 115. - S. 215-236.

3. Е в т у х о в В. М. Асимптотическое интегрирование линейных систем дифференциальных уравнений с почти постоянными коэффициентами // Сообщ. АН ГССР. - 1989. - 1.16, N 3. - С. 541-544.

4. Е в т у х о в В. М., Д р и к II. Г. Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка // Сообщ. АН ГССР. - 1989. -133, N 1. - С. 29 32.

5. Евтухов В. М. Асимптотика решений одного полулинейного дифференциального уравнения второго порядка // Дифферент уравнения - 1990. - 26, N5.-0. 776-787.

6. Евтухов В. М. Об асимптотическом представлении решений линейных дифференциальных уравнений п-го порядка // Сообщ. АН ГССР. - 1990. - 137, N 1.-0. 45-48.

7. Евтухов В. М. Асимптотическое интегрирование линейных систем дифференциальных уравнений в случае квазижор-дановой нормальной формы главной матрицы коэффициентов // Докл. АН СССР.- 1990. - 314, N2.-0. 279-283.

8. Евтухов В. М. Об асимптотике правильных решений нелинейных дифференциальных уравнений типа Емдена-Фаулера // Дифференц. уравнения. - 1991. - 27, N П. - С. 2007-2008.

9. Е в т у х о в В. М. Об одном классе монотонных решений нелинейного дифференциального уравнения п-го порядка типа Эмдсна-Фаулера // Сообщ. АН Грузии. - 1992. - 145, N 2.-С. 269-273.

10. Е в т у х о в В. М. Об асимптотике монотонных решений дифференциальных уравнений типа Эмдена-Фаулера // Дифференц. уравнения. - 1992. - 28, N6.-0. 1076-1078.

И. Евтухов В. М. Асимптотичесхие представления монотонных решений нелинейного дифференциального уравнения типа Эмденаг Фаулера п-го порядка // Докл. АН России. - 1992. -324, N2.-0. 258-260.

12. Евтухов В.М. Об условиях колеблемости и неколеблемости решений одного полулинейного дифференциального уравнения второго порядка // Укр. мат. журн. - 1994. - 46, N 7. -С. 833-841.

13. Е в т у х о в В. М. К вопросу об асимптотике решений ли" нейных дифференциальных уравнений п-го порядка // Дифференц. уравнения. - 1995. - 31, N 9.-0. 1595-1596.

14. Евтухов В. М., Васильева Н. С. Асимптотичесхие представления правильных решений одного полулинейного дифференциального уравнения второго порядка // Сообщ. АН Грузии. - 1995. - 152, N2.-0. 228-234.

15. Е в т у х о в В. М., Васильева Н. С. Асимптотические представления правильных решений одного полулинейного дифференциального уравнения второго порядха // Дифферепц. уравнения. - 1995. - 31, N 9. - С. 1591-1592.

16. Е v t u k h о v V. М., D г i к N. G. Asymptotic behavior of solutions of a second order nonlinear differential equation// Georgian Math. J. - 1996. - 3, N 2. - P. 101 - 120.

17. E в т у x о в В. М., Шебанина Е. В. К вопросу об асимптотике решений нелинейных дифференциальных уравнений тг- го порядка // Дифференц. уравнения. - 1997. -33, N 6. - С. 858.

18. Е в т у х о в В. М. Асимптотические свойства монотонных решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений n-го порядка // Докл. расшир. заседаний семинара Инта прикл. математики им. И.Н. Векуа ТГУ. - 1988. - 3, N 3. -С. 62-65.

19. Е в т у х о в В. М. К вопросу об асимптотическом интегрировании линейных дифференциальных уравнений // Дохл, расшир. заседаний семинара Ин-та прикл. математики им. И.Н. Векуа ТГУ. - 1990. - 5, N 3. - С. 72-74.

20. Е в т у х о в В. М. К вопросу об асимптотике монотонных решений одного дифференциального уравнения типа Эмдена-Фаулера // Reports of enlarged eeesion of the seminar of I.N. Vekua inut. of appl. math.- 1992. - 7, N 3. - P. 36-38.

21. E в т у x о в В. М., Д р н к Н. Г. Асимптотические представления решений одного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка // Reports of enlarged session of the seminar of I.N. Vekua inst. of appl. math. - 1992. - 7, N 3. - P. 39-42.

22. E в т у x о а В. M. Об асимптотике правильных неколеблющихся решений нелинейных дифференциальных уравнений п - го порядха // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения: Сб. науч. тр. - Киев, 1990.-С. 108-110.

23. Е в т у х о в В. М. Об одном классе решений нелинейных дифференциальных уравнений типа Эмдена-Фаулера высших порядков // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения: Сб. науч. тр. - Киев, 1994.- С. 74.

24. Е в т у х о в В. М., В а у л и н Е. В. Об асимптотти-чесхом представлении решений линейных дифференциальных уравнений п- го порядка // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения: Сб. науч. тр. - Киев, 1990 - С. 110 - 112.

25. Е в т у х о в В. М., Емельянова В. Е. Об одном полулинейном дифференциальном уравнении п- го порядка // Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики и их приложения: Сб. научн. тр. - Киев, 1997. -С. 85-87.

26. Е в т у х о в В. М. О линейных дифферециальных уравнениях, асимптотически эквивалентных двучленным // Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики: Сб. науч. тр. - Киев, 1997.- С. 109-111.

27. Е в т у х о в В. М., Шинкаренхо В. И. К вопросу об асимптотике правильных решений одного нелинейного дифференциального уравнения п- го порядка // Математика и психология в педагогической системе " Технический университет" : Сб. ст. 1-й между нар. науч. - практ. конф. - Одесса, 1996. - Ч. 1. - С. 37-39.

28. Вишняков В. И., Драган Г. С., Ев ту хо в В. М., Маргащук С. В. Распределение электростатического потенциала в сферически симметричной плазме. Москва, 1986.17 е.- Деп. в ВИНИТИ 13.12.86 г., N 8791-В86-Напечатана в соответствии с решением редколлегии журнала "Теплофизика высоких температур" АН СССР от 13.11.86.

Анот. в ж. Теплофизика высоких температур. - 1987. - 25, N 3. - С. 620.

ввтухов В.М. Асимптотичш зображення розв'язклв неавтоном-них звичайних диференщальних р^внянь. - Рухопис.

Дисертащя на здобуття наукового ступеня доктора ф'пико-мате-матичних наук за спещальшстю 01.01.02 - диферепщальш р!вняння.~ 1нститут математики HAH Украши, Knis, 1998.

Дисертащю присвячено встановленню точних асимптотичних формул для розв'язк1в неавтономних звичайних диференщальних piB-нянь. У робот! запропоновано конструктивпий тдхщ, який дав змо-гу поширити на бшьш загальш випадки розроблену I.T. Клгурадзе теорно асимптотичпого штегрування лшшних неавтономних диференщальних р^внянь п- го порядку. Розроблено метод встаповления точнкх асимптотичних формул для ycix, так званих розв'язшв узагальненого р!впяння типу Емдена-Фаулера п- го порядку. Доведено, що множина ycix Рш- розв'язюв цього р5вняння розпадаеться на n + 1 неперетинних клаав з р1зними асимптототними зображен-нямп. 3 використанням здобутих теорем встановлеш hobí результата про асимптотичне поводження ycix (а не тшьки Рш) правяльних i сингулярних пеколивних розз'язюв узагальненого р5вняння типу Емдена-Фаулера другого порядку. Методики достдження р^впянь типу Емдена-Фаулера поширсно на р1вняння з нелшшностями дс-яких шших тигав, зокрема, на р'шняппя типу Пуассона Í3 теори Ьо-терм1чно1 плазми.

Ключов! слова: лшшт диференщальн! р1вняння, р'шняння типу Емдена-Фаулера, асимптотичш зображення розв'язюв.

Евтухоо В.М. Асимптотические представления решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений.- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.02- дифференциальные уравнения.- Институт математики HAH Украины, Киев, 1998.

Диссертация посвящена установлению точных асимптотических формул для решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. В работе предложен конструктивный подход, позволяющий распространить на более общие случаи разработаную И.Т. Кигурадзе теорию асимптотического интегрирования линейных неавтономных дифференциальных уравнений п- го порядка. Разработан метод установления точных асимптотических формул для всех, так называемых, Ри- решений обобщенного уравнения типа Эмдена-Фаулера п- го порядка. Доказано, что множество всех Рм-

решений этого уравнения распадается нап + 1 непересекающихся классов с разными асимптотическими представлениями. С использованием полученных теорем установлены новые результаты об асимптотике всех (а не только Ри) правильных и сингулярных неколеблющихся решений обобщенного уравнения типа Эмдена - Фаулера второго порядка. Методики исследования уравнений типа Эмдена-Фаулера распространены также и на уравнения с нелпнейностями некоторых других типов, в частности, на уравнения типа Пуассона из теории изотермической плазмы.

Ключевые слова: линейные дифференциальные уравнения, уравнения типа Эмдена-Фаулера, асимптотические представления решений.

Evtukhov V.M. Asymptotic representation of solutions of nonauto-nomous ordinary differential equations.- Manuscript.

Thesis for a degree of doctor of science in physics and mathematics, speciality 01.01.02 - defferential equations. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine, Kiev, 1998.

The thesis is devoted to founding out of the exact asymptotic formulae for solutions of the nonautonomou* ordinary differential equations. This paper offers the constructive approach, permitting to spread the theory of asymptotic integration of linear nonautonomous differential equations of the order n-th (worked out by I.T. Kiguradze) for more , common cases. The method of the exact asymptotic formulas for all, so-called, Pw- solutions of the generalised equation of a type Emden-Fowler n-th of the order is developed. It is proved, that the set of all solutions of this equation breaks up into n+1 of not Intersected classes with different asymptotic representations. With the use of the obtained theorems the new outcomes about the asymptotic of all (and not just Ры) right and singular not varying solutions of the generalized equation Of a type Emden-Fowler of the second order are established. The techniques of 6 research of the equations of a type Emden-Fowler are spread on the equations with nonlinearities of some other types, in particular, on the equations such as the Poisson one from the theory of isotermal plasma.

Key words: linear differential equations, equation of a type Emden-Fowler, Asymptotic representations of solutions.