Асимптотические методы решения дифференциальных уравнений в банаховом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

§ I. Постановка задачи. Основные ограничения

§ 2. Асимптотическое решение А/ - го порядка в проекции

ОС - окрестности на ось OJZ .I?

§ 3. Асимптотическое решение /1/ -го порядка в проекции

А - окрестности на ось OJC.

§ 4. О методе стационарной фазы.

§ 5. "Склейка" решений

§ б. Глобализация решения нулевого порядка

§ 7. Преобразование J/'Jh) при переходе к другим ненулевым сечениям

§ 8. Случай замкнутой кривой. "Условие квантования"

§ 9. Глобализация решения первого порядка и его построение в случае замкнутой кривой

§10. Пример.

Различные задачи математической и теоретической физики приводят к .дифференциальным уравнениям, которые содержат малый параметр при старшей производной. Для построения приближенных решений таких уравнений эффективно применяются асимптотические методы. Широкий класс задач исследуется методами, связанными с теорией пограничного слоя (см.[з],[4], [б]). С.А. Ломовым и его сотрудниками интенсивно разрабатывается метод регуляризации (см. [21]). Однако указанные методы не работают в случаях, когда исследуются быстро колеблющиеся решения.

Для обыкновенных дифференциальных уравнений в классических работах Грина и Лиувилля был развит асимптотический метод построения быстро колеблющихся приближенных решений, который впоследствии был применен Вентцелем, Крамерсом и Бриллюэном к задачам квантовой механики и получил название метода ВКБ (см., например, £39],[~40]). Этот метод в основном применяется в тех случаях, когда решение ищется в области, которая не содержит.точек поворота.

Существенным достижением последних двух десятилетий было создание метода канонического оператора В.П. Маслова ([22], [24]-[2б]). Этот метод позволил построить асимптотику в целом для ряда важнейших задач математической физики. В разработку теории метода канонического оператора включился ряд ведущих математиков в СССР и за рубежом (см.[7] , [20], [2б], [29] , [l2] -[l9] ).

Отметим ещё большой цикл работ по асимптотическим методам в теории дифракции волн, выполненных В.М. Бабичем, B.C. Булдыревым и их сотрудниками (cm.[i] ,[27]).

Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве объединяют в себе различные черты как обыкновенных дифференциальных уравнений так и уравнений с частными производными. В связи с этим развитие асимптотических методов построения приближенных решений таких уравнений является актуальной задачей. Первая попытка применения метода В.П. Маслова к дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве была сделана С.Г. Крейном в простейшей ситуации, когда ядро и коядро соответствующего операторного коэффициента одномерны (см. [9], [io]). Настоящая работа посвящена исследованию более общей ситуации в случае произвольных конечных размерностей ядра и коядра и неотрицательности индекса. Перейдем к формулировкам основных результатов. В § I говорится о постановке задачи и накладываются основные ограничения. А именно в вещественном банаховом пространстве Е задан полиномиальный операторный пучок m где Afc - линейные, ограниченные операторы, действующие в Е . Рассматривается дифференциальное уравнение к-^-ШГ-о, (2) где ^Y - искомая функция со значениями в комплексификации пространства Е » h - малый вещественный параметр. Гладкая функция

Mr, k) называется формальным асимптотическим решением порядка Ь уравнения (2), если

А^М-д мгм-оа14) о) при k О .

Нашей задачей является построение формального асимптотического решения N - го порядка для уравнения (2).

Наложим ряд ограничений на заданный операторный пучок.

1. На вещественной плоскости (,Х,Л) задана такая ограниченная кривая , лежащая в полосе CL ^ X 4 в , что оператор при каждом является полуфредгольмовым оператором с постоянной размерностью коядра, равной /I , и размерностью ядра, большей или равной Ц

2. Существует гладко зависящий от t^[o,iJ проектор пространства £ на

Ы Bft).

3. В коядре и ядре оператора 13 It) ввделены гладко зависящие от

Мод] базисы е/уде^щ,.,

4. На кривой Г имеется конечное число точек X - и Л - поворота. Ни одна точка кривой не является одновременно точкой Х~ и Л -поворота. Начало и конец кривой не являются точками поворота. Предполагается, что

Х(о)=- CL , Х(1)=8 и на Г нет особых точек.

Наличие точек поворота связывается с существованием присоединенных векторов к собственным векторам пучка \I ~ /\(х) •

Во втором параграфе строится формальное асимптотическое решение N -го порядка для уравнения (2) в проекции окрестности кривой Г , не содержащей точек X - поворота ( «X - окрестности) на ось ОХ методом ВКБ в виде

- б где S'fac) = X (Ux))t а ^fj (х) удовлетворяют системе уравнений

5)

• -т 1 t ' = / ? 1

- Ж

S'M1-A(xj) 4(x)---tcth фи,.).

В третьем параграфе для проекции Л - окрестности на ось О ОС строится формальное асимптотическое решение Д/ -го порядка для уравнения (2) методом В.П. Маелова в виде ffjc, fi) - фтс

- аО где ~ S М ^ХЩЬ)) , a *f /А) удовлетворяют системе уравнений

Ш-(710]>Ш)=о №~ 01J у (\) - Ol,%(\y-o

7) спЛм-о.

Здесь с.к-е , «л

СП -У Miil^L^T-, ad s) е

В четвертом параграфе кратко говорится о результатах из теории метода стационарной фазы и приводится вывод явной формулы для второго члена асимптотики в этом методе.

В пятом параграфе на основе результатов из теории метода стационарной фазы строится формальное асимптотическое решение

V - го порядка на отрезке [CL, в] в виде z. t k) = L / . (8) где

Yfc (X, k) (ГМ)) являются асимптотическими решениями N -го порядка в соответствующих проекциях JC~ окрестностей на ось ООО. , а есть некоторые срезающие функции.

В шестом параграфе проводится глобализация решения нулевого порядка. Здесь выводится система дифференциальных уравнений Jk ru гладко разрешимая на всём отрезке [О, IJ , решение (i) которой позволяют построить формальное асимптотическое решение нулевого порядка уравнения (2) на всем [(1,6] по формуле

Ш11) = t Н.т)еСШ(гмГ1)е^(х)\ it* о х L f I/1,^ /м . v> „ Ш

Г £ S(Z,i(Xh , у /A, x

- o= fU

J / Ш = I Ate.

VgM

10) г/4

Здесь являются некоторыми срезающими функциями, а - иццекс Маслова дуги

В седьмом параграфе при переходе к другим ненулевым сечени ям вида eft) , l(t)eH) выводится матрица преобразования функций Yl(^) • Оказывается, что где

• |

Здесь

- алгебраические дополнения элементов cL'J ^ (i) в матрице (d>i У.

Особый интерес представляет случай замкнутой кривой Г » когда возникает вопрос об однозначности решения. В восьмом параграфе для такой кривой строится глобальное формальное асимптотическое решение нулевого порядка и выводится условие его однозначности ("условие квантования"), которое имеет вид

§>\dx.

П2) где & определяется из равенства С0 с в .

В девятом параграфе выводится система дифференциальных уравнений tHfflw * - I ь ,(13) М] * К гладко разрешимая на всём отрезке [0,1] , решение ^ (i) которой вместе с J^ (I) позволяют построить формальное асимптотическое решение первого порядка уравнения (2) на [cl,€] по формуле

Ш) - L e/L s(^lx))х

YL^O xf jhvr m Е^тФ +1 x

•». к,-1 VP ii (1пс!Шо)^Ш)±4г) л Г I е VzfT J е х п

- >v> k(<P"'w+ (I4> f

J/r)- / A^x. tfo) ч

Здесь и Ц,: ft) определяются по следующим формулам vm,I ^^/-jc'l vg^f ZwvfiM- г x(i5)

LwfM гь . . I

ЩД l/ffill/P сю i [tilth

Л 1-1 1

1 z J

Г It) // ■ v\j(t) щ^))

В формулах (15) и (16) , J.Z определяются из соотношений

Ь" и Ь

- 12 п. где el'HI-^hZ^^eJi),

С-/ £ ptf'O (I'M lz/>l>

В (14) £ ft) определена на всём отрезке [0,l] и удовлетворяет соотношению

Затем для решения (14) выводится условие однозначности, которое имеет прежний вид (12).

Наконец в десятом параграфе рассматривается пример, для которого выписывается "условие квантования".

Результаты диссертации докладывались на семинарах профессора С.Г. Крейна в Воронежском лесотехническом институте (ВЛТИ), на ежегодных научных конференциях ВЛТИ, в Воронежских зимних математических школах и на 43-ей научной конференции по дифференциальным уравнениям Латвийского госуниверситета им. П. Стучки.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [3lj , [32], [33].

Отметим некоторые технические особенности текста. Формулы нумеруются двумя числами, первое из которых соответствует номеру параграфа, второе - номеру формулы.

Автор выражает глубокую благодарность профессору С.Г. Крей-ну за постановку задачи и руководство работой.

- 13

1. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. Метод эталонных задач. - М.: Наука, 1972. - 456 с.

2. Буслаев B.C. Производящий интеграл и канонический оператор Маслова в методе ВКБ. Функц. анализ и его прил., 1969, т.З, вып. 3, с. 17-31.

3. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968.- 464 с.

4. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.-272с.

5. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. М.: Изд. МГУ, 1978. - 106 с.

6. Вайнберг Б.Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. М.: Изд. МГУ, 1982. - 294 с.

7. Гийемин В., Стернберг С. Геометрические асимптотики.- М.: Мир, 1981.- 504 с.

8. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. - 544 с.

9. Котко Л.А., Крейн С.Г. Точки поворота и метод Маслова. Воронеж, 1981, 25 с. Рукопись представлена Воронеж, лесотехн. ин-том. Деп. в ВИНИТИ 28 апреля 1981, № 2550-81.

10. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.- 464 с.

11. Кучеренко В.В. Квазиклассическая асимптотика функции точечного источника для стационарного уравнения Шрёдингера. Те-ор. и матем. физика, 1969, т. I, № 3, с. 384-406.

12. Кучеренко В.В. Асимптотика решения системы /\(Xfih^)u,=0 при hо в случае характеристик переменной кратности. -Изв. АН СССР. Сер. матем., 1974, т. 38, № 3, с. 625-662.

13. Кучеренко В.В. Формула коммутации $ ' псевдодифференциального оператора с быстро осциллирующей экспонентой. - Матем. сборник, 1974, т. 94, вып. I, с. 89-113.

14. Кучеренко В.В. Асимптотические решения уравнения с комплексными характеристиками.- Матем. сборник, 1974, т. 95, вып. 2, с. 163-213.

15. Кучеренко В.В., Осипов Ю.В. Асимптотические решения гиперболического уравнения с характеристиками переменной кратности.-Докл. АН СССР, 1979, т. 249, № 2, с. 289-293.

16. Кучеренко В.В., Осипов Ю.В. Асимптотические решения уравнений с характеристиками переменной кратности. Успехи мат. наук, 1980, т. 35, вып. 4, с. 159-160.

17. Кучеренко В.В., Осипов Ю.В. Асимптотические решения обыкновенных дифференциальных уравнений с вырождающимся символом. -Матем. сборник, 1982, т. 118, вып. I, с. 74-103.

18. Кучеренко В.В., Осипов Ю.В. Обоснование формальных асимптотических решений для обыкновенных дифференциальных уравнений с выровдающимся символом. Матем. сборник, 1983, т. 121, вып.6, с. 156-175.

19. Лере Ж. Лагранжев анализ и квантовая механика. М.: Мир, 1978. - 264 с.

20. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений.- 97 М.: Наука, 1981. 400 с.

21. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы.-М.: Изд. МГУ, 1965.- 553 с.

22. Маслов В.П. Метод ВКБ в многомерном случае. Приложение к книге Дж. Хединга "Введение в метод фазовых интегралов".-М.: Мир, 1965, с. 177-237.

23. Маслов В.П. Операторные методы. М.: Наука, 1973. - 543 с.

24. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях.-М.: Наука, 1977. 384 с.

25. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1976. - 296 с.

26. Математические вопросы теории распространения волн. II: Записки научных семинаров ЛОМИ, т. 104. /Под ред. В.М. Бабича.Л.: Наука, 1981. 240 с.

27. Мищенко А.С., Стернин В.Ю. Метод канонического оператора в прикладной математике, ч. I. М.: Изд. МИЭМ, 1974.- 189 с.

28. Мищенко А.С., Стернин Б.Ю., Шаталов В.Е. Лагранжевые многообразия и метод канонического оператора. М.: Наука, 1978.352 с.

29. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Иностр. литерат., 1953. - 348 с.

30. Сапронов И.В. О высших приближениях в методах ВКБ и Маслова.-У1Л школа по теории операторов в функциональных пространствах: Тезисы докладов. Рига: ЛГУ им. П. Стучки, 1983, т. 2, с. 7273.

31. Сапронов И.В. О высших приближениях в методах ВКБ и Маслова. Воронеж, 1984, 18 с. Рукопись представлена Воронеж, лесотехн. ин-том. Деп. в ВИНИТИ 25 апреля 1984, № 2606-84.

32. Котко JI.А., Сапронов И.В. Асимптотическое решение дифференциального уравнения с точками поворота в банаховом пространстве. Сб. Приближенные методы исследования дифференциальных уравнений и их приложения, Куйбышев: Изд. КРУ, 1983,с. 66-77.

33. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М.: Иностр. литерат., 1962. - 352 с.

34. Федорюк М.В. Метод стационарной фазы для многомерных интегралов. Журн. вычисл. математики и мат. физики, 1962, т. 2,I, с. 145-150.

35. Федорюк М.В. Метод стационарной фазы и псевдодифференциальные операторы. Успехи мат. наук, 1971, т. 26, вып. I, с. 67-112.

36. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983. - 352 с.

37. Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977. - 368 с.

38. Фрёман Н., Фрёман П.У. ВКВ-приближение. М.: Мир, 1967.-168с.

39. Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ).-М.: Мир, 1965. 240 с.

40. HMulJ.B. СоъгеАее! fto/lb-SotnmJbfM (fmdtun.conditions fib (юпяфагшШ Sybils ~ h™ ■ Phy*-,1.O-/**