Слабонелинейные взаимодействия диспергирующих волн тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Российская академия наук Уфимский научный центр Институт математики с вычислительным центром

На правах рукописи

Шакирьянов Марс Маратович

СЛАБОНЕЛИНЕЙНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДИСПЕРГИРУЮЩИХ ВОЛН

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д.ф.-м.н. Калякин Л. А.

Уфа—1998

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ................................................................3

Глава 1. Асимптотика решения задачи Коши для слабонелинейной системы уравнений ..........................................................21

§1. Пример. Формальные построения ..................................23

§2. Асимптотическое решение задачи Коши для слабонелинейной системы уравнений..............................................................29

Глава 2. Длинноволновая асимптотика решений уравнения Вуссинеска 43 §3. Формальный асимптотический переход к системе уравнений Дэви-

Стюартсона ............................................................45

§4. Асимптотика решения задачи Коши для двумерного волнового уравнения ..................................................................58

Глава 3. Разрешимость краевых задач для систем уравнений Дэви- Стю-

артсона ................................................................ 72

§5. Разрешимость начально-краевой задачи для уравнений Дэви-Стюарт-

сона-П .................................................................77

§6. Разрешимость задачи Гурса-Коши для систем уравнений типа Дэви-

Стюартсона-1 ..........................................................85

Литература ...........................................................102

Введение

Дифференциальные уравнения в настоящее время представляют основу большей части математических моделей естествознания. В частности, теоретические исследования волновых явлений в механике и физике в значительной степени сводятся к исследованию решений соответствующих дифференциальных уравнений.

С термином " волна" в простейшем случае связываются функции двух переменных

U = Aexp{i(kx - uit)}, к eR, жбМ, А = const, (0.1)

известные под названием " плоские волны", которые характеризуются амплитудой А, волновым числом к и частотой и. Выражения такого типа являются точными решениями линейных дифференциальных уравнений

L(idt,-id.)U = 0. (0.2)

При этом частота и = и (к) и волновое число к связаны дисперсионным соотношением

Ци,к) = 0. (0.3)

Понятие дисперсии волны связывается с нелинейной зависимостью от к корней алгебраического уравнения (0.3). Если в дисперсионном уравнении присутствует малый параметр, то дисперсия может быть слабой или сильной, в зависимости от того, линейны или нелинейны по к главные члены асимптотики корней дисперсионного соотношения (0.3).

Следует отметить, что лишь немногие модели механики и физики приводят к уравнениям, для которых можно написать общее решение. Препятствием для интегрирования обычно оказываются различного рода нелинейности, неоднородности, сложные граничные условия и т.п. Для ана-

лиза таких более сложных моделей часто применяют асимптотические методы.

Распространённый подход состоит в том, чтобы исследовать классы решений вблизи известных точных. Мерой близости обычно служит малый параметр 0 < е <С 1, который может входить как в исходное уравнение, так и в начальные условия. Так, задачи о слабонелинейных возмущениях могут ставиться в виде уравнений с малыми нелинейными добавками:

Ь№,-{д.)и = е/(и,д.и) (0.4)

с начальными данными, которые могут представлять собой волновой пакет с постоянной амплитудой:

Щ=о = А0ехр{г'&ж}, (0.5)

либо в виде сильнонелинейных уравнений

ь№,-гд.)и = /(и,д.и)

с начальными данными вблизи заданного решения С/о Обычно С/о (ж, е) выделяется заранее, и дело сводится к начальному условию с малой амплитудой:

С/|<=о = еА0 ехр{Игх}.

В любом случае, начальные данные могут представлять собой слабоде-формированный волновой пакет, так что в амплитуде Ао допускается зависимость от медленной переменной: А0 = А^ех).

Обсудим проблемы, которые возникают при построении асимптотического разложения решения при г —» 0 в задачах типа (0.4)-(0.5). Тривиальный подход состоит в том, чтобы искать асимптотическое решение в виде прямого ряда теории возмущений:

оо

и(х,^е) = & ОМ), £ —»■ 0, (0.6)

71=0

используя в качестве главного члена асимптотики решения линейных

о

уравнений в виде плоской волны: U (x,t) = Аоехр{г(&# — cut)}. На конечных промежутках времени, например, 0 < t < М (М = const > 0), прямое разложение (0.6) даёт асимптотический ряд. Если же ставить задачу о построении асимптотики на больших промежутках времени 0 < t < Ме~1 (М = const > 0), то прямое разложение (0.6) может оказаться непригодным. Это проявляется в том, что ряд (0.6) перестаёт быть асим-

п

птотическим из-за наличия в решениях для поправок U {x,t), п > 1 так называемых секулярных членов, пропорциональных tn. Для получения равномерно пригодного разложения подобные члены должны отсутствовать. Этого можно добиться, учитывая медленные деформации в коэффициентах. асимптотического разложения, определив в них зависимость от медленных переменных ex, et.

В качестве примера рассмотрим линейную задачу:

ut - их = еих, u\t=Q = ехр{г'ж}, решение которой в прямом разложении имеет секулярные члены:

оо

и(х, í, е) = ехр{г'(ж +1) + ist} = ехр{г(я + t)} —¡~®n • (0-7)

Ряд в правой части (0.7) не является асимптотическим при е —» 0 на далеких временах t е"1. Для того, чтобы он был асимптотическим, необходимо определить зависимость коэффициентов асимптотического разложения от медленного времени т = et. В данном случае точное решение и = ехр{г(ж +1) + ¿r} дает главный (и единственный здесь) член асимптотики. Это решение и = i>(s,r), s = x + t, удовлетворяет уравнению vT = va с начальным условием г>(з,0) — exp{¿s}.

В более сложных ситуациях дело сводится к решению нелинейных уравнений. Например, задача

щ — их = еиих, М|<=:0 = sin х (0.8)

той же заменой и = v(s,t) сводится к решению задачи Коши для нелинейного уравнения Хопфа:

vT — vva = 0, = sins.

Ответ в этом случае можно выписать в параметрической форме: v(s,r) = sin£, £ = 5 + r sin£. В данном примере решение уравнения Хопфа представляет единственный член асимптотики решения исходной задачи (0.8). В более общей ситуации возникают асимптотические ряды, коэффициенты которых находятся из рекуррентной системы задач. При этом нелинейности встречаются лишь в уравнениях для главного члена асимптотики. Исходные задачи такого типа принято называть слабонелинейными и о них пойдёт речь в диссертации.

В основном будут рассматриваться задачи для уравнений в частных производных с малым параметром, в которых построение асимптотики решения приводит в главном к более простым, зачастую интегрируемым нелинейным уравнениям. При этом уравнения, к которым сводится нахождение главного члена асимптотики, будем называть стандартными уравнениями.

К основным этапам построения асимптотики решений можно отнести следующие: 1) построение формального асимптотического решения; 2) исследование стандартных задач; 3) обоснование полученных асимптотик.

В настоящий момент для различных задач разработан целый ряд методов для построения формальных асимптотических решений [4, 6, 30, 38, 24, 37, 41, 45, 66]. Здесь для формальных построений мы будем пользоваться известным методом многомасштабных разложений [4, 41].

Исследование стандартных задач подразумевает доказательство для них теорем существования и единственности решений.

Под обоснованием асимптотики понимается получение оценки для остатка, то есть для разности между точным решением исходной зада-

чи и построенным формальным асимптотическим решением.

В задачах с сильной дисперсией построение асимптотики решения в главном ведет к системе дифференциальных уравнений (в медленных переменных), которая описывает медленную эволюцию для конечного числа амплитуд плоских волн [2, 8, 34]. Если на этом этапе уравнения оказываются линейными, то появляется возможность "продвинуться" в следующий масштаб. На этом масштабе в качестве стандартных уравнений обычно выступают нелинейные уравнения Шредингера (НУШ). Формальные переходы к НУШ для задач оптики и поверхностных волн исследованы в работах [68, 48, 10]. Имеется много других задач, которые приводят к НУШ, см. например [7, 14, 18, 29, 47].

Задачи со слабой дисперсией отличаются тем, что в главном присутствует бесконечное число гармоник (и плоских волн, соответственно), даже если в начальный момент была одна, как, например, в приведенном выше примере (0.8). Известно, что, если ограничиваться изучением эволюции конечного числа плоских волн в главном члене асимптотического разложения, то это ведет к ошибкам порядка 0( 1) на временах t = 0{е~1). Поэтому для таких задач обычно рассматривают периодические (либо убывающие) решения, которые разлагаются в ряды (либо интегралы) Фурье по быстрым переменным [17, 34]. Нахождение главных членов асимптотики в этих задачах сводится к решению уравнений типа Хопфа, Бюр-герса, КдФ. Задачи, в которых формальные построения приводят к уравнениям Хопфа и Бюргерса рассмотрены в [1, 8, 35, 36, 45]. Формальные переходы к уравнению КдФ известны из работ [69, 3, 1, 7, 8, 11, 24, 65].

Как правило, до настоящего времени рассматривались задачи со слабой дисперсией отдельно от задач с сильной дисперсией. На практике же возможны ситуации, когда встречаются системы уравнений, которые включают в себя как уравнения со слабой дисперсией, так и с сильной. На уровне построения формального асимптотического решения в довольно

общей форме такие задачи рассмотрены [8, 33]. Однако строгое математическое обоснование этих результатов отсутствует. В данной диссертации решается вопрос обоснования на примере одной задачи такого типа [50].

Известно, что вопрос обоснования асимптотических разложений для многих конкретных задач остается открытым. Строгие результаты в этом направлении для задач со слабой дисперсией известны из работ [53,13,17,19, 20, 26, 27]. В случае сильной дисперсии известны результаты по обоснованию асимптотических разложений, полученные в [5, 25,14,18]. Отдельно можно выделить результаты по обоснованию перехода от системы уравнений поверхностных волн к уравнениям Буссинеска и КдФ [32, 67] и к уравнениям газовой динамики [43].

Выше речь шла только об одномерных задачах по х £ М. В многомерном случае все зависит от рассматриваемого класса решений. Чаще всего рассматривают неодномерную медленную модуляцию одномерных (плоских) волн. В случае слабой дисперсии такие задачи рассмотрены в [12, 33, 34, 35, 36]. В задачах с сильной дисперсией формальные переходы к многомерному НУШ, системе уравнений Дэви-Стюартсона известны из работ [57, 61, 58].

Если говорить о неодномерных задачах, то здесь обоснование перехода к уравнениям мелкой воды для двумерных (2+1-мерных) поверхностных волн в классах аналитических функций получено в [43]. Обоснование перехода от многомерного уравнения Буссинеска к уравнению Кадомцева-Петвиашвили и многомерному НУШ приведено в [15]. Проблемы, связанные с обоснованием формальных переходов в таких задачах, исследуются в данной диссертации.

Переходим к изложению содержания диссертации по главам.

Первая глава посвящена исследованию системы дифференциальных уравнений в частных производных, которая описывает слабонелинейные

взаимодействия волн со слабой и сильной дисперсией:

(д< Т ад.)^ = £ ■ дх(с(и+ - и-)2 - 6,ф2 + 62ф1), 0 < е < 1, фи - Ь2фхх + и1ф = £-дх ((и+ - и~)фх + 63(и+ - и~)ф).

Уравнения (0.9) дополняются начальными условиями вида:

(0.9)

"to =<P±(X)i

ф ф*

|{=0

= Е

Фи

..г/с д;

(0.10)

где ^{х) - известные периодические функции с периодом 2тг; амплитуды фо!к,ф\<к при конечном числе гармоник к = 0, ±1,..., ±д считаются постоянными; a,b,c,u>o,S{ = const, Vz.

Выбор таких уравнений обусловлен следующим. С одной стороны, система (0.9) происходит из конкретной физической задачи; она описывает двухмодовую слабонелинейную модель продольных колебаний стержня (если учесть, что v^ = ut ± аих, то функция и отвечает за продольные деформации, а функция ф - за поперечные смещения [9]). С другой стороны, такая система представляет собой одну из моделей, описывающих слабонелинейные взаимодействия волн со слабой и сильной дисперсией.

Целью данной главы является построение и обоснование асимптотического разложения решения задачи Коши для уравнений (0.9) при е —»■ 0, равномерного для ж 6 1,0 < i < (^(е-1).

В первом параграфе рассмотрен простейший пример, иллюстрирующий взаимодействие волн со слабой и сильной дисперсией, где выполнены формальные построения.

Основные математические результаты первой главы содержатся во втором параграфе. Нахождение главных членов асимптотического решения задачи Коши (0.9)—(0.10) сводится к решению следующей системы уравнений:

dTvf - 2c(vf + P[vf])d.Vo = /±(A), A'(r) = g(a±,A),

(0.11)

1 ж

а*,±(т) = — У Р[у^ ее а0,±,

— 7Г

су± - вектор, составленный из конечного набора коэффициентов Фурье /±(А) и g(a±, А) являются гладкими функциями своих аргументов; А - вектор, состоящий из функций (г), < д. Начальные данные для системы (0.11) следующие:

v

/ о (0.12)

А(0) =А .

Теорема 0.1. При условии аналитичности функций V?±(s) в полосе \1т sl < Ро (А) = const > 0) существуют такие т0 > 0, /3 G (0,/30); что задача Коши (0.11)-(0.12) имеет аналитическое по s решение в полосе |Im s| <(3, Vr G [0, Го].

Доказательство разрешимости стандартной задачи (0.11)—(0.12) основывается на разложении Фурье по переменной s, что позволяет перейти к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов Фурье, а затем к интегральной системе уравнений.

В основе доказательства существования решения интегральной системы уравнений лежит метод сжатых отображений в подходящей шкале банаховых пространств. Этот подход к доказательству теорем существования является традиционным и использовался многими авторами [5, 14, 43]. Напомним определение шкалы банаховых пространств, данное JI.B. Овсянниковым [43, 44].

Пусть £ - семейство банаховых пространств £т, зависящих от вещественного параметра у > 0. Норму элемента U £ £у обозначим через ||£/||т. Тогда объединение 8 = U£y по всем у > 0 называется шкалой банаховых пространств, если в нём выполняется импликация:

V 7,7 < 7 =» С ¿у и ||U\\yl < И|7, (U G £,).

Мы будем использовать банаховы пространства HßiP коэффициентов Фурье ак, непрерывных по к и экспоненциально убывающих на бесконечности с нормами:

|| afc 11^= sup(1 + k2Y'2 • exp(ß\k\) • |afc|, (ß > 0,p > 2).

¿eZ

Следует заметить, что подобные пространства с экспоненциальными весами в прообразах Фурье соответствуют функциям, аналитическим в полосе |Im s\<ß [43].

Вектор-функции А (г), непрерывно зависящие от т £ [0, т0], рассматриваются в векторном пространстве непрерывных функций С([0,т0]), норма в котором определяется через сумму норм компонент этого вектора в С([0,т0]). Функции ак(т) £ HßtP, непрерывно зависящие от г £ [0,г0], рассматриваются в банаховом пространстве CßiP = С([0, r0]; HßtP) с нормой:

II lk,p= sup II ак(т) \\ßtP .

tG[0,to]

Показано, что интегральный оператор, действующий по правилу полученной системы интегральных уравнений, оказывается сжимающим в С([0,т0]; Д^) х С([0,г0]) с ß = ß0 - ßxr (Д,Д = const > 0), норма в котором определяется через сумму норм функций ак (г), А (г) в пространствах С([0,то]; HßtP) и С([0,т0]) соответственно. Это обеспечивает локальную разрешимость интегральной системы уравнений, а, следовательно, и нашей исходной задачи.

Следующий этап - обоснование асимптотического разложения. Требуется показать, что построенный в первом пункте отрезок формального асимптотического решения дает асимптотическое разложение при е —» 0 некоторого решения исходной задачи (0.9)—(0.10) на больших временах

0 < t < TQS~l.

Теорема 0.2. При условии аналитичности функций ^(х) в полосе \1т х\ < ßo (ßo = const > 0) существуют Т, £0 > 0, ß £ (0, /?0) такие, что

V<s 6 [0,£о] задача (0.9)-(0.10) разрешима в слое Q(T) = {х Е R', 0 < t < Те-1}, в классе функций, аналитических по х в полосе \1т х\ < (3. Для этого решения справедливо асимптотическое разложение при £ —> О:

гг^я, t, е) = v^(x ± at, т) + 0(е),

k, w

равномерное в слое О(Т). Функции v^(s±,r), АкгШ(т) (\к\ < q, и = ±\[ш1 + к2Ъ2) определяются из решения задачи Коши (0.11)-(0.12).

Фактически дело сводится к доказательству разрешимости и к оценке решения задачи для остатка асимптотического разложения. Обоснование асимптотического разложения основывается на разложении Фурье по переменной х. После обращения линейной части полученной бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений мы переходим к операторному уравнению для коэффициентов Фурье.

Для доказательства разрешимости операторного уравнения мы используем метод сжатых отображений в подходящей шкале банаховых пространств.

По аналогии с предыдущим пунктом здесь вводятся банаховы пространства VpyP вектор-функций г (к) с компонентами, непрерывными по к и экспоненциально убывающими на бесконечности. Норма в пространстве VpiP определяется как сумма норм компонент вектора г (к) в пространствах Н^р и H0tP+1 с нормой ||г(&)||р.

Вектор-функции г (к, t,e) £ VpiP, непрерывно зависящие от t Е [0, Те-1], г Е [0,£о], рассматриваются в банаховом пространстве Ср = С([0,Те~1] х [0,£0]; с нормой:

II г(М,е) ||ср ~ sup || г(М,е) II •

Л*

Показано, что интегральный оператор оказывается сжимающим в С ([О, Те'1] х [0, £о]; с (3 = fa — P\£t (Д),/?1 = const > 0). Это и обеспечи-

вает локальную разрешимость интегрального уравнения в С([0,Те'1] х [О,£о]; Vf}tP). При этом определяется верхняя граница про�