Электронные эффекты в нелинейных возбуждениях в проводящих твердых телах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Р Г Б ОД

1 5 ЙЕН 1938

Урсулов Андрей Владимирович

ЭЛЕКТРОННЫЕ ЭФФЕКТЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЗБУЖДЕНИЯХ В ПРОВОДЯЩИХ ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ

01.04.07 - Физика твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург - 1996

Работа выполнена в Уральском государственном университете кафедре теоретической физики

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, I профессор Памятных Е.А.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

главный научный сотрудник Окулов В.И.

кандидат физико-математических наук, доцент Колесов В.В.

Ведущее учреждение - Санкт-Петербургский государственный

педагогический университет

Защита состоится " ¡ЛСЯу]^ 1995 г. в часов на

заседании диссертационного совета К 063.78.04 по присуждению ученой :епени кандидата физико-математических наук в Уральском государствен-м университете (620083, г.Екатеринбург, К-83, пр. Ленина, 51, комн. 18).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Уральского госу-арственного университета.

Автореферат разослан ■■ -¡995 г_

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук

У.В. Кудреватых

- з -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Коллективные возбуждения в твердых телах активно исследуются уже в течение нескольких десятилетий. Помимо научного интереса к таким возбуждениям как к своеобразным физическим явлениям и их важности с точки зрения практического использования, исследование коллективных возбуждений позволяет получить информацию (порой недоступную для других методов) о характеристиках микроскопических систем, образующих твердое тело. К настоящему времени различные коллективные возбуждения в твердых телах хорошо изучены экспериментально и теоретически в линейном режиме, когда интенсивности возбуждений достаточно малы. Однако в некоторых практически важных ситуациях амплитуды возмущений достигают больших значений, что ставит в число актуальных задач задачу изучения нелинейных возбуждений в твердых телах. Прежде всего были исследованы нелинейные акустические явления в . диэлектриках Е13. Для металлов на отдельных конкретных задачах была выявлена важная роль электронной компоненты в нелинейных процессах [2,3]. На это же указывают детальные исследования нелинейных коллективных явлений в плазме [4]. Для проводящих твердых тел условия существования и свойства нелинейных коллективных возбуждений должны обладать рядом отличительных особенностей. Теоретическому исследованию некоторых из этих особенностей посвящена данная диссертация.

Целью работы является исследование возможности существования и свойств стационарных нелинейных квазиэлектростатических и упругих возбуждений (с-олитонов и ударных волн малой интенсивности) в проводящих твердых телах.

Научная новизна и практическая значимость работы определяется тем, что в ней:

- впервые показано, что в многокомпонентной плазме полупроводников и полуметаллов в бесстолкновительном режиме возможно существование квазиэлектростатических солитонов, характеристики и условия существования которых существенно зависят от квантовых особенностей движения частиц;

- с учетом деформационного и электростатического взаимодействия впервые изучено влияние электронной системы на различные типы упругих солитонов в проводящих твердых- телах. Рассчитаны электронные перенормировки нелинейных модулей упругости и дисперсионных параметров решетки. Проанализированы характеристики и условия существования различных

типов упругих солитонов;

- впервые установлена возможность существования упругих ударных волн в проводящих твердых телах при низких температурах, целиком обусловленных вязкостью электронного газа и изучены их основные свойства.

Изложенные в диссертации результаты получены на хорошо опробиро-ванных моделях. Экспериментальное обнаружение изучаемых эффектов позволит получить новую информацию об электронной и ионной системе нормальных проводников.

На защиту выносится:

1. Обоснование возможности существования слабонелинейных уединенных стационарных квазиэлектростатических возмущений самосогласованного поля и результаты расчета их характеристик.

2. Предсказание нового типа уединенных возмущений самосогласованного поля, обусловленных квантовым характером движения частиц.

3. Предложенная система уравнений, описывающих упругие нелинейные возмущения в проводящих твердых телах.

4. Результаты рассчета электронных перенормировок нелинейных модулей упругости и дисперсионных параметров решетки, а также характеристик слабонелинейных уединенных возмущений в проводящих твердых телах.

5. Результаты исследования упругих ударных волн малой интенсивности в проводящих твердых телах. Обоснование возможности существования упругих ударных волн в области низких температур за счет электронной вязкости.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзном семинаре по низкотемпературной физике металлов (Донецк, 1989) и на Международной конференции по физике низкотемпературной плазмы (Петрозаводск, 1995) и опубликованы в пяти работах.

Структура и обьем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав с выводами к каждой главе, заключения и изложена на 133 страницах машинописного текста, включая 2 рисунка, список литературы, содержащий 130 наименований и приложение, содержащее 2 таблицы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются основные цели и задачи работы, новизна полученных результатов .

В первой главе исследуются электростатические солитоны самосогласованного поля в металлах и полупроводниках. Рассматривается двухком-понентная система носителей заряда в металлах и вырожденных полупроводниках, состоящая из электронов (е) и дырок (И). Поведение каждой компоненты описывается вигнеровской функцией распределения (р,£,¿) удовлетворяющей квантовому кинетическому уравнению (в бесстолкновительном приближении) [53:

(з1 + V £) £ - ЛЧ £ (?(* - 4М) -

-Ч>(г + ¥.1)}елр[1?(р-Р)]^.0= 0 - с»

Потенциал самосогласованного поля удовлетворяет уравнению Пуассона

(2)

Для стационарных уединенных возмущений, движущихся со скоростью Ы. вдоль оси X , в предположении малости амплитуды возмущения (1вл(р|« , - энергия Ферми) и его достаточной плавности

( « А , - дебройлевская длина волны частиц, А - размер

возмущения), с учетом только квадратичных нелинейностей и первых нейс-чезающих поправок, обусловленных квантовым характером-движения частиц (квантовая дисперсия), уравнения (1) и (2) сводятся к стационарному уравнению Кортевега-де Вриза (КдВ):

(1 ШФ ~ £Ы)Ф2 = о , (з)

где Ф = еср , а штрих означает производную по Дисперсион-

ный член (1 - ^(ц)) Ф" содержит два вклада: первое слагаемое (1-Ф ) происходит от второй производной в уравнении Пуассона (т.е. связано с

-г //

природой электростатических сил), а второе слагаемое (-^Т ) обусловлено квантовым характером движения частиц (первая квантовая поправка к кьазиклассичес.кому движению). Локализованные в пространстве решения

уравнения (3) (КдВ-солитоны) имеют вид [1,63

ГДб ЭМ1ХТГМфи7Та ^ м тмпынд ^ ппттмфпид паоии

(5)

Требования малой амплитуды солитона и большой его ширины удовлетворяются, если величина У0 (и.) мала, что соответствует условию близости скорости солитона О. к скорости линейных волн и. 0 , которая определяется уравнением Й0 (Ч)= О- В случае, когда фермиевские скорости электронов Уе и дырок сильно отличаются: У^« уе . такими воз-

буждениями являются акустические плазмоны 173. Тогда в выражениях (5) можно положить Х'а — Р г^З (1С0) ; в этом случае произведение

А1Д ^ не зависит от скорости солитона: А± д^согкЬ. Анализ показывает, что в случае квадратичного изотропного закона дисперсии при достаточно больших фермиевских скоростях электронов \/е , соответствующих хорошим металлам, учет квантового характера движения частиц не меняет характера движения солитона (т.е., в этом случае 1-У2>0). Такой солитон будет: 1) солитоном положительного потенциала (ф > О); 2) сверхзвуковым (И> Ы0); 3) устойчивым относительно поперечных возмущений. С понижением \/е , т.е. с переходом от металлов к полуметаллам и полупроводникам, величина будет возрастать, что может привести к

тому, что величина может стать отрицательной: 1 -%2<о. в этом

случае солитон будет: 1) солитоном отрицательного потенциала (<р < О ); 2) дозвуковым (а<ч0); 3) неустойчивым относительно поперечных возмущений.

Учет квантовой дисперсии может также привести к тому, что разность 1 - станет малой. В этом случае существенную роль начинают играть квантовые поправки более высокого порядка. Полный учет квантовой дисперсии в квадратичном по Ф приближении приводит к уравнению

Анализ показывает, - что функции 'Эе 5 и <е2 имеют резкие максимумы при обращении своих аргументов в нуль, ширина которых порядка дебройлевс-кой длины волны электронов X . Функция Ф является достаточно плавной по сравнению с функциями и и может быть разложена в

ряд вблизи максимумов этих функций. Первые неисчезающие члены этого разложения соответствуют квазиклассическому движению частиц; следующие члены дают квантовые поправки к этому движению. Считая квантовые поправки достаточно малыми, пренебрежем их вкладом в нелинейном слагаемом. В линейном же слагаемом учтем только первые две квантовые поправки. Учет первой из них () дает уравнение КдВ (3); учет же следующей квантовой поправки приводит к уравнению

В случае, когда скорость солитона И является решением уравнения

2

(7)

ш

[1 -ы*)]

1 ■ (8)

уравнение (7) имеет солитонныё решения вида [8]

(9)

где амплитуда А 2 и ширина Д 2 солитона равны

д _ 35 КоОО л <?\\\Ъ

Поскольку такие солитоны существуют благодаря квантовым аффектам (коэффициент ^ ). то их можно назвать квантовыми солитонами. Квантовые солитоны приемущественно могут распространяться в вырожденных полупроводниках и полуметаллах.

Особенности квантовых солитонов по сравнению с КдВ-солитонами состоят в следующем: 1) скорость квантового солитона \12 целиком определяется свойствами среды, в которой он распространяется, в то время как скорость КдВ-солитона зависит от его амплитуды; 2) амплитуды

квантового и КдВ-солитона могут иметь разные знаки (когда э^п-Ц-У (и^) + - У2 (и2))). Требования малости амплитуды КдВ-солитона (1А2и<£м) и большой его ширины (Д2»\) будут выполняться, если иг близко к а0 . Поэтому мы можем положить ^ %2 (¡¿о).

£> ^Р (и0) .в этом случае =соп $* . причем А±л1

0.37, что позволяет отличить квантовый солитон от КдВ-солитона в эксперименте.

Во второй главе исследуются солитоны деформации в нормальных проводниках. Рассматривается взаимодействующая система электронов проводимости и заряженной кристаллической решетки. Взаимодействие осуществляется как через самосогласованное электростатическое поле, так и посредством деформационного потенциала.

В континуальном приближении в лагранжевой (сопутствующей) системе координат ( х ) уравнение движения решетки имеет вид

Ф=1тг+к-2 £ > <«>

где р0 - плотность недсформированного кристалла, - компонента

вектора смещений, - тензор напряжений решетки, Л;к - тензор

деформационного потенциала, ^ (р,.х ,"Ь) - функция распределения электронов, Р• - компонента силы, действующей на решетку со стороны самосогласованного поля. Второй член в правой части этого уравнения представляет собой силу, действующую на решетку со стороны электронов, обусловленную деформационным механизмом взаимодействия электронов и решетки. Этот член связан с изменением энергии электрона С ^ в деформированной решетке

(м,-ь) = £оСР) + Л:к (р)и>1к , (12)

где

^ " 2 Ъч -Эх, ) (13)

- тензор деформаций. Второе слагаемое в фигурных скобках в (11) (член, содержащий "Э Ы-1 /Ъхк ) связано с учетом геометрической нелинейности

тензора деформаций (последнее слагаемое ь (13)).

Рассматривая слабонелинейные возмущения, мы можем записать тензор напряжений в виде

^ = \ -1- л Ъь + у.

В этом выражении первый член соответствует закону Гука, второй член описывает нелинейные поправки к закону Гука, а третий - учитывает пространственную дисперсию модулей упругости.

Для того, чтобы получить замкнутую систему уравнений, мы должны добавить к (11) записанные в сопутствующей, системе координат: 1) выражение для силы Р (х,"1) , действующей со стороны самосогласованного электрического поля электронов; 2) уравнение Пуассона для потенциала ф(х,1) этого поля; 3) кинетическое уравнение для одночастичной функции распределения электронов / Ср, £) ; 4) условие электронейтрзль-ности проводника в отсутствие Еозмущения.

Рассматривая плавные слабонелинейные возмущения, движущиеся вдоль оси X со скоростью 5 , предполагая, что Л;к (р) = соп& и ограничиваясь бесстолкновительным приближением для электронов, получим уравнение

(р+£>е)н'н" +СХ о , иь)

где X и £ - дисперсионный коэффициент и нелинейный модуль упругости решетки, соответственно, "У - перенормированный электронами линейный модуль упругости. Величины Хе и учитывают дисперсию, связанную с экранирующими свойствами электронного газа и с квантовым характером движения электронов, соответственно, а /5е учитывает нелинейный характер движения электронов, связанный как с нелинейностью их взаимодействия с ионами решетки (сила Г ), так и с нелинейностью кинетического уравнения. Таким образом, наличие электронов проводимости приводит к электронной перенормировке коэффициентов при всех членах уравнения (15). Анализ показывает, что электронная перенормировка нелинейных модулей упругости и дисперсиооных коэффициентов важна в тех же условиях, когда важна электронная перенормировка линейных модулей упругости, т.е. в хороших металлах, а так же в полупроводниках и полуметаллах с достаточно большой концентрацией и малой эффективной массой электро-

нов.

Уравнение (15) для деформаций Ц.' имеет решение в виде КдВ-соли-

тонов

где Э0 - перенормированная скорость звука. Электронная перенормировка, как видно, может существенно изменить параметры солитона (амплитуду, ширину, скорость, условия устойчивости).

В случае, когда за счет электронной перенормировки коэффициент

+ мал» возможно распространение солитонов с дисперсией более высокого порядка, аналогичных рассмотренным выше квантовым солитонам. Электронная перенормировка дисперсионного параметра следующего (по сравнению с ^ ) порядка целиком обусловлена квантовым характером движения частиц и может при определенных условиях (например, в хороших металлах с малыми эффективными массами электронов) равняться соответствующему решеточному вкладу.

В случае, когда возмущение представляет собой потенциальную яму, возможно образование группы захваченных частиц. Электрон захватывается полем возмущения в случае, если его полная энергия отрицательна (Е ^ О ), а время пролета им области возмущения т: мало по сравнению со временем релаксации Тр : т тр [23. Если при этом где 'Ь0 - время нарастания возмущения, то реализуется режим стационарного захвата электронов полем волны, когда распределение захваченных частиц можно описывать стационарным кинетическим уравнением. Солитоны, возникающие в этом случае, по виду аналогичны рассмотренным выше КдВ-солитонам, однако имеют амплитуду большую, а ширину меньшую, чем соответствующие амплитуда и ширина солитонов в отсутствие захвата. Если выполняются неравенства т « 10 «Тр , то реализуется режим адиабатического захвата электронов [43. Требование £ < о приводит в этом случае к условию и/ < О . в квазиклассическом приближении для электронов плавные слабонелинейные стационарные возмущения деформации описываются тогда уравнением

где > е - электронный модуль упругости (обратная сжимаемость вырож-

денного электронного газа). Нелинейный член ( {-и!)ъ/г ) здесь целиком обусловлен электронами. Солитонные решения уравнения (17) имеют вид

Потенциал самосогласованного поля ср связан с и! соотношением

2 3 А \ ,

ГзП1-^)^ (19)

Без учета решеточной дисперсии X и деформационного потенциала У\_ такие солитоны рассматривались в работе [3]. Как еидно из (18), учет решеточной дисперсии & может привести к изменению скорости солитона. А именно, поскольку > о , то в случае 'гГ + Хе < о возможно распространение дозвукового солитона (э < во )• Из (19) следует, что учет деформационного потенциала А может привести к распространению солитонов отрицательного потенциала: ср <с о (при Л. > ).

В третьей главе рассматриваются слабоинтенсивные ударные волны деформации, образующиеся в проводящих твердых телах при низких температурах, обусловленные электронной вязкостью, возникающей благодаря столкновениям электронов с -дефектами решетки и играющей определяющую роль в затухании ультразвука [9]. Учитывая электронные столкновения в приближении времени релаксации, для достаточно плавных ( Д » I 7 С- - длина свободного пробега электронов) слабонелинейных стационарных возмущений деформации получим уравнение

( МеЧт) ^ ^ ^ + (Ме) + Я (1 - |) и'' = О ? (20)

где

(21)

Столкновения электронов приводят к появлению в уравнении (20) диссипа-тивного члена с третьей производной от смешения (-1) и. ). Кроме того .

связанная со столкновениями пространственная дисперсия дает дополнительный вклад £ст в дисперсионное слагаемое (член, содержаний четвертую производную в уравнении (20)). Уравнение (20) с граничными условиями - сС0 , м'(+<*>) = О после однократного интегрирования принимает вид стационарного уравнения КдВ-Еюргерса и имеет решения в виде ударных волн [33, амплитуда и ширина А которых равны

1 +

Ыо

л,

где величины

~ ^ Ч2 рг

Л _ , А = и + Хе+М

определяются только свойствами среды, в которой распространяется ударная волна. Малость амплитуды ударной волны (I ¿01 « 1 ) и большая её ширина ( д х> -б ) будут обеспечены близостью скорости ударной волны Б к скорости звука , причем, как показывает анализ, рассматриваемая ударная волна будут сверхзвуковой {5. > ). Структура ударной волны определяется величиной её амплитуды. При \с10\>с1к ударная волна будет иметь осцилляционную структуру,- а при |г)„|<с}к - монотонную. Анализ асимптотик ударных волн показывает, что при ¿4 гге + йст >о осцилляции будут за фронтом, а при % й"е + йст < О - перед фронтом ударной волны. Период осцилляций Ь определяется выражением

ОТ Л

1 =

(24)

Ширина осцилляционных ударных волн Аос , согласно (22), удовлетворяет неравенствам д0 < дос<(г.-»-/!) А0 , ширина же монотонных ударных волн Ам - неравенствам (2+ )Л0< Ам< Д^ , где величина

Эо

\е I

А°° = Н ^^ \л0\ ' (25)

представляет собой ширину ударной волны в отсутствие дисперсии ( & + ^ + - О ^' которая описывается уравнением Еюргерса. Таким об-

разом, осцилляционная ударная волна будет иметь амплитуду больше, а ширину меньше, чем монотонная ударная Еолна.

Коэффициент при дисперсионном члене в уравнении (20) будет целиком определяться величиной Хст • если 1КСТ| > IX ^ Хе| > что возможно в случае, когда длина свободного пробега t превышает некоторое критическое значение

(26)

В типичных металлах (п0~ З-Ю^см"3, т ~>пг0 ) С0~ 10 см, в вырожденных полупроводниках и полуметаллах (п0 ~ 1018 см-3, т. «о.т„) £0 ~ 3-10 * см. При I >> I о величина не зависит от £ .В

этом случае в металлах ^ Ю"1 . Деформации, величина которых не превышает предела упругости, возможны в этом случае только при амплитудах, значительно меньших величины <1% : , что указывает на то, что в рассматриваемых условиях в типичных металлах могут распространяться только монотонные ударные волны. В вырожденных полупроводниках и полуметаллах Лк ~ Ю~ю и, следовательно, в достаточно широком интервале амплитуд деформации 1»1с1о1» Ю-10 возможно распространение осцилляционных ударных волн. При £ < £а значение с{к понижается и, следовательно, и в металлах, и в полуметаллах и вырожденных полупроводниках могут распространяться как монотонные, так и осцилля-ционные ударные волны.

В Заключении сформулированы основные результаты и выводы, полученные в диссертационной работе.

1. Показано, что в металлах и полупроводниках, содержащих несколько групп носителей заряда, ' возможно распространение стационарных уединенных возмущений (солитонов) самосогласованного поля и исследованы условия их существования и свойства, Указано на важную роль квантового характера движения частиц, приводящего к изменению ширины, скорости, амплитуды солитона и влияющего на его устойчивость. Предсказана возможность существования нового типа уединенных стационарных возмущений, целиком обусловленных квантовым характером движения частиц (квантовых солитонов). Выяснены условия существования таких солитонов и исследованы- их характеристики.

2. Получена система уравнений, описывающая нелинейные упругие возмущения в проводящих твердых телах, учитывающая взаимод^йстгн^

электронов и решетки как через самосогласованное электрическое поле, так и посредством деформационного потенциала. Рассчитана электронная перенормировка нелинейных модулей упругости и дисперсионных параметров решетки в бесстолкновительном режиме. Показано, что указанные перенормировки оказываются существенными в тех же условиях, когда важна электронная перенормировка линейных модулей упругости.

3. Показано, что в отсутствие захвата частиц возмущением в случае, когда существенны только дисперсионные поправки низшего порядка, распространение слабонелинейных уединенных возмущений деформации описывается стационарным уравнением Кортевега-де Вриза. С учетом электронных перенормировок проанализированы особенности характеристик таких возмущений (КдВ-солитонов). Показано, что в условиях, когда благодаря электронной перенормировке дисперсионные коэффициенты первого порядка малы, возможно существование солитонов деформации, обусловленных дисперсией более высокого порядка.

4. Показано, что стационарный захват электронов полем возмущения, приводит к увеличению амплитуды и уменьшению ширины КдВ-солитона. Показано, что при адиабатическом захвате электронов учет деформационного взаимодействия и дисперсии модулей упругости решетки приводят к возможности существования дозвуковых солитонов и солитонов отрицательного потенциала.

5. Рассчитаны перенормировки нелинейных модулей упругости и дисперсионных параметров решетки за счет столкновений электронов. Показано, что при достаточно большой длине свободного пробега дисперсия в основном определяется столкновениями электронов.

6. Предсказана возможность существования упругих ударных волн, обусловленных столкновениями электронов и рассмотрены условия их существования и свойства.

В Приложение вынесено исследование асимптотик ударных волн деформации, рассмотренных в третьей глаЕе.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

1. Памятных Е.А., Урсулов A.B. Солитоны самосогласованного поля в металлах и полупроводниках. //<1ММ.-1989.-Т.68, вып. 3, - С. 619-621.

2. Памятных Е.А., Урсулов A.B. Уединенные волны деформации в металлах. У/АкЖ.-1993.-Т.39, вып. 1.-е. 133-139.

3. Памятных Е.А., Урсулов A.B. Квантовые электростатические соли-тони в вырожденных полупроводниках и полуметаллах./ЛШМ.-1Р95.Т.80,

тоны в вырожденных полупроводниках вып. 6. - С.3-9.

4. Памятных Е.А., Урсулов A.B. гокомпонентной плазме металлов и конф. по физике низкотемпературной 1995. С."161 - 162.

и полуметаллах./ЛША.-1995.Т.80,

Нелинейные уединенные волны в мно-полупроводников.//Материалы Межд. плазмы - ФНТП 95 - Петрозаводск,

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА.

1. Наугольных К.А., Островский Л.А. Нелинейные волноЕые процессы в акустике. - М.: Наука, 1995,- 238 с.

2. Гальперин Ю.М., Гуревич В.Л., Козуб В.И. Нелинейные эффекты при распространении высокочастотного звука в нормальных проводниках. //УФН.- 1979,- Т.128, вып. 1. - с. 107 -133.

3. Шустер Г.В. Акустический солитон в металлах.//Укр. физ. журнал. - 1988.-Т.33, вып. 10. - С. 1550 -1552.

4. ЛифшицЕ.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. - М.: Наука, 1979,- 584 с.

5. Климонтович Ю.Л. Кинетическая теория неидеального газа и неидеальной плазмы. - М.:Наука, 1975.- 352 с.

6. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. -М. .-Наука, 1973.- 176 с.

7. Cottey A.A. Acoustic Plasmons in a Two-component Fermi Gas.//J. Phys. F: Met. Phys.-1985.-Vol. 15.- p.2203-2206.

8. Селезов И.Т., Корсунский С.В. Нестационарные и нелинейные волны в электропроводящих средах. - КиеЕ: Наукова думка, 1991.-200 с.

9. Абрикосов А.А. Основы теории металлов.- М. :Наука, 1987.-520 с.

Подписано в печать 21. 10. 96. Формат 60> 84 1/16. Печать офсетная. Объём 1.0. Тир. 100. ЗакМ7'>"5 Екатеринбург, К-83, пр. Ленина, 51. Типлаборатория УрГУ.