Колебания электропроводных систем с распределенными параметрами в магнитном поле тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Содержание.,

Перечень обозначений

Введение.

1 Собственные колебания электропроводной струны в однородном стационарном магнитном поле

1.1 Постановка линейной задачи о колебаниях струны в магнитном поле.

1.2 Анализ линейной задачи о колебаниях струны в магнитном поле.

1.3 Случай нескольких активных участков.

1.4 Собственные формы колебаний струны.

1.5 Исследование двухволновых процессов.

1.6 Нелинейные колебания струны.

2 Собственные колебания электропроводного стержня в однородном стационарном магнитном поле

2.1 Поперечные колебания однородного призматического стержня.

2.2 Случай нескольких активных участков.

2.3 Собственные формы колебаний стержня.

3 Вынужденные колебания одномерных проводящих систем в однородном стационарном магнитном поле

3.1 Линейная задача об электромагнитном возбуждении колебаний струны.

3.2 Электромагнитное возбуждение поперечных колебаний стержня.

3.3 Формы колебаний струны при электромагнитном возбуждении.

3.4 Формы колебаний стержня при электромагнитном возбуждении.

3.5 Нелинейный резонанс струны.

4 Колебания одномерных систем в неоднородном магнитном поле

4.1 Колебания струны в магнитном поле с продольной неоднородностью.

4.2 Поперечные колебания стержня в неоднородном магнитном поле.

4.3 Случай магнитного поля, неоднородного в поперечном к струне направлении.

5 Колебания одномерных проводящих систем в нестационарном магнитном поле

5.1 Колебания струны в нестационарном магнитном поле.

5.2 Колебания проводящего стержня в нестационарном магнитном поле. . . . И

5.3 Колебания струны с реактивными параметрами во внешней цепи.

5.4 Случай нестационарного и неоднородного магнитного поля.

6 Колебания одномерных систем в магнитном поле с учетом специальных свойств

6.1 Сведения о магнитострикции.

6.2 Линейные колебания струны с учетом магнитострикции.

6.3 Поперечные колебания стержня в магнитном поле с учетом магнитострикции.

6.4 Линейные колебания струны в продольном магнитном поле с учетом магнитострикции.

6.5 Физическая линеаризация вынужденных колебаний струны при помощи магнитострикции.

7 Вибрации проводящих пластин в стационарном магнитном поле

7.1 Собственные вибрации прямоугольной пластины в магнитном поле.

7.2 Собственные вибрации круглой пластины в магнитном поле.

7.3 Вынужденные вибрации пластин в магнитном поле.

8 Электромагнитное воздействие на колебания вязкой электропроводной жидкости

8.1 Постановка задачи.

8.2 Случай неограниченной жидкости.

8.3 Колебания жидкости в канале между вертикальными стенками.

9 Прикладные задачи

9 л Электромагнитный способ частотного анализа колебаний проводящих механических систем.

9.2 Активное электромагнитное гашение собственных колебаний одномерных проводящих систем.

Динамика электропроводных сред в электрических и магнитных полях в настояпдее время представляет собой обширную и хорошо развитую науку, образовавшуюся на стыке теоретической механики и электродинамики. Первоначально развивалось в основном направление, связанное с изучением движения проводящих твердых тел в электрическом и магнитном полях. Решение подобных задач стимулировалось, прежде всего, потребностями электротехники и электромеханики. Первые результаты в этой области принадлежат Максвеллу, который в 1873 году составил уравнения электромеханической системы в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа-Максвелла). Затем в 1880 году Г. Герц впервые поставил и рассмотрел классическую задачу об определении сил и моментов, действующих на металлический шар или сферическую оболочку в магнитном или электрическом поле. История развития данного вопроса достаточно полно изложена во введении к монографии Ю.Г. Мартыненко / 1 /. Основные результаты, относящиеся к общей статике и динамике электропроводящего твердого тела в электрических и магнитных полях, изложены в / 1 /, а также в монографиях Ландау Л. Д. и Лифшица Е. М. 12 I, Сермонса Г. Я. / 3 /, научных статьях Голубкова В. В. / 4 /, Астахова В. И. / 5,6 /. Впоследствии актуальность приобрели задачи, связанные с динамикой спутников и гироскопов в неконтактном подвесе. Важнейшие результаты в исследовании этих задач связаны с именами Белецкого В.В., Хентова A.A., Мартыненко Ю.Г., Кобрина А.И., Богоявленского О.И., Линькова Р.В., Урмана Ю.М., Поливанова К. М., Самсонова В.А., Рябова А.Б. и других ученых II- 24/.

Специальные разделы данного научного направления стыкуются с гидродинамикой (магнитная гидродинамика, динамика ферромагнитных жидкостей и т.п.), с механикой и физикой плазмы, механикой деформируемого твердого тела, физикой твердого тела, астрофизикой. Потребности техники привели к задачам, в которых рассматривается движение сложных механических систем с электропроводными и намагниченными областями в электрических и магнитных полях. В частности, проблемы металлургии, ядерной энергетики и космонавтики, потребовали рассмотрения задач о движении проводящего твердого тела с полостями, содержащими проводящую жидкость в магнитном поле. История развития, состояние этого вопроса и анализ некоторых задач содержится в кандидатской диссертации автора, защищенной в 1985 году.

Научно-технический прогресс постоянно требует постановки и решения новых все более сложных модельных задач. Одна из наиболее актуальных и перспективных мало изученных проблем в настоящее время связана с электромагнитным воздействием на вибрации электропроводных континуальных систем. Эта проблема объединяет теорию колебаний систем с распределенными параметрами, динамику деформируемого твердого тела, электродинамику и специальные разделы физики. Тема настоящей диссертации связана именно с этим направлением. Ее выбор обусловлен широким кругом недостаточно исследованных физических явлений, требующих теоретического описания.

Колебания электропроводных систем с распределенными параметрами в магнитном поле давно используются в технике, в частности в некоторых типах электромеханических преобразователей акустического диапазона -радиодинамиках /25 - 26/. Их принципиальное устройство заключается в создании механических колебаний проводящей мембраны в магнитном поле при пропускании по ней переменного электрического тока со сложным набором частот. Современные звуковоспроизводящие устройства создают звук очень высокого качества, однако его отличие от живого голоса всегда ощутимо, так как все они имеют какие-либо дефекты. Борьба с этими дефектами ведется в основном экспериментально путем подбора формы динамика и материалов для его изготовления. Часто для повышения качества звучания электрический сигнал разделяют на несколько диапазонов. Обычно выделяют высокие и низкие частоты, и выводят их на разные динамики. Однако, до сих пор не существует общей теории для такого типа преобразователей, объясняющей причины всех дефектов, определяющей условия их возникновения и методы устранения.

Область применения электромеханических континуальных систем вибрационного типа довольно широка /27/. Например, проводящие струны, помещенные в магнитное поле используются в некоторых измерительных системах (струнные преобразователи) /28 - 29/. Стационарные и квазистационарные магнитные поля все чаще применяются в скоростных транспортных средствах. Вибрации, возникающие в отдельных проводящих конструкциях, помещенных в магнитные поля, здесь обычно играют негативную роль, их требуется гасить, или искать условия, при которых они не генерируются.

Отдельные результаты в этом направлении стали появляться в научной литературе в последние 10-15 лет. Значительное число работ выполнено в Армении, укажем лишь некоторые из них, выполненные в последние годы /30 - 39 /. В этих работах выявлен и проанализирован целый ряд интересных эффектов, связанных в основном с явлением магнитоупругости. В частности установлена возможность возникновения параметрического резонанса при помещении сверхпроводящей прямоугольной пластинки в нестационарное периодическое магнитное поле. Показано, что в цилиндрической оболочке, находящейся в сильном продольном магнитном поле, возникают чисто магнитные, не зависящие от свойств материала, высокочастотные колебания. Большинство работ этой научной школы посвящены динамике волн, возникающих в анизотропных проводящих средах в присутствии магнитных полей. Известно несколько работ, авторы которых принадлежат к другим научным школам /40 - 44/. В этих статьях рассматриваются аналогичные задачи, часто с конкретным техническим приложением.

Еще более сложные проблемы возникают при разработке электромеханических преобразователей ультразвукового диапазона. Обычно их основой служат колебательные процессы в системах с магнитострикционными (пье-зомагнитными) или пьезоэлектрическими свойствами. Теория колебаний систем с усложненными свойствами стала бурно развиваться в последние годы в связи с созданием и применением композитных материалов. Пьезоэлектрические датчики (сенсоры) или приводы (актуаторы) в последнее время используются очень часто для экспериментального исследования колебаний в сложных системах, например, в плоскостях самолетов, в лопастях турбин и т.д. Физические основы механики сред со специальными свойствами изложены в переводной монографии Ж. Можена /45/. При рассмотрении многих из этих задач главным является вопрос об адекватности электрического сигнала и механического колебательного процесса при взаимных преобразованиях.

Особо следует остановиться на большом цикле работ японских и китайских авторов /46 -51/, опубликованных в самые последние годы. В них рассматривается новая модельная задача о контроле за колебаниями сложных систем с распределенными параметрами и об активном воздействии на них при помощи пьезокерамических сенсоров и актуаторов. Тонкая пьезокера-мическая пленка наклеивается на одну из поверхностей системы, подвергающуюся изгибам при колебаниях. Выбором места расположения и размеров пленки можно добиться, чтобы электрические сигналы, возникающие в ней, имели тот же набор частот, что и сама колеблющаяся система. После усиления этот сигнал направляется на другую ( а иногда на эту же) пьезоке-рамическую пленку (актуатор), тоже расположенную на вибрирующей системе, которая под действием приложенного напряжения изменяет свою (и всей системы) изгибную жесткость. Таким способом предлагается устранять вибрации некоторых частот. Он применяется там, где нет возможности создать достаточно сильное внешнее магнитное поле или вибрирующая конструкция не является проводящей. Основные проблемы, которые решаются в данных статьях заключаются в оптимальном расположении сенсоров и ак-туаторов и в создании "нейронной" сети, связывающей их.

Одна из самых важных проблем динамики континуальных систем связана с параметрическими колебаниями. В электромеханических системах параметрическую неустойчивость можно вызвать различными способами. Выше уже упоминалось о возникновении параметрических колебаний магнитоуп-ругих систем в нестационарном магнитном поле. Другие причины могут быть связаны с явлениями магнитострикции или пьезоэффекта /52 - 59/. В некоторых случаях к параметрической неустойчивости приводят термические эффекты /60 - 63/.

Актуальность темы. Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию особенностей управляющего электромагнитного воздействия на вибрации электропроводящих систем с распределенными параметрами. Актуальность тематики вытекает из потребностей современной тех

НИКИ, так как теоретическое объяснение причин, условий возникновения и анализ последствий физических явлений позволяет создать принципиально новые более совершенные технические средства, либо устранить дефекты уже имеюш;ихся систем.

Цель исследования заключается в построении обш;ей теории электромагнитного воздействия на колебания электропроводных континуальных систем.

Задачи исследования. Главное внимание уделяется поиску общих условий отсутствия электромагнитного воздействия на вибрации этих систем. Изучается вопрос об определении форм главных колебаний с учетом электромагнитного воздействия. Определяются условия параметрического возбуждения в нестационарных магнитных полях. Исследуется проблема возникновения и физического устранения нелинейности в системах в результате электромагнитного воздействия. Ставится вопрос о применении теоретических результатов, полученных в работе для решения конкретных технических проблем.

Методы и объекты исследования. Объектами исследования являются электропроводящие струны, однородные призматические стержни, пластинки, ограниченная и неограниченная жидкость. Исследование проводится на основе дифференциальных уравнений движения данных систем. Используются аналитические, приближенные и качественные методы линейной и нелинейной теории колебаний. На защиту выносятся:

- постановки новых задач об исследовании управляющего электромагнитного воздействия на вибрационные процессы в континуальных системах;

- общие и частные условия отсутствия электромагнитного воздействия на колебания проводящих систем с распределенными параметрами;

- расчет собственных амплитудных форм с учетом электромагнитного воздействия;

- результаты исследования случаев параметрического возбуждения в электромеханических системах с различными свойствами;

- результаты исследования нелинейных электромеханических систем;

- новые теоретически обоснованные методы частотного анализа колебаний одномерных электромеханических систем и их активного гашения.

Степень обоснованности и достоверности результатов. Основные результаты, полученные в диссертации, проверены экспериментально, и адекватно объясняют физические явления, происходящие в электромеханических системах. При этом имеется соответствие между общими и частными теоретическими положениями. Проанализированы аналогии в описании систем с различными свойствами. Гипотезы, использованные при построении математических моделей, обоснованы. Анализ ведется на основе строгих и приближенных математических методов. При этом особое внимание уделяется достоверности результатов, полученных приближенными методами.

Научная новизна диссертации заключается, прежде всего, в самой постановке задачи, которая предусматривает анализ электромагнитных сил с целью выяснения условий их возникновения и исследования электромеханических эффектов, вызываемых ими. Новыми являются все основные результаты работы. Впервые получены общие условия отсутствия электромагнитного воздействия на систему в неоднородном и нестационарном магнитном поле. Указано на двухволновой характер колебательных процессов в магнитном поле. Получены приближенные аналитические выражения для амплитудных функций собственных и вынужденных колебаний струны и стержня в магнитном поле. Показано, что электромагнитное воздействие может служить причиной нелинейности, либо применяться для ее физического устранения. Обнаружены аналогии между электромагнитным воздействием на одномерные и более сложные системы (пластинки, жидкость). Предложены новые принципиальные решения проблем частотного анализа проводящих механических систем и их активного электромагнитного гашения.

Практическая ценность диссертации. Полученные в работе результаты могут найти применение при разработке новых типов электромеханических преобразователей акустического и ультразвукового диапазонов и совершенствовании существующих. Условия отсутствия электромагнитного воздействия можно использовать для устранения вибраций при проектировании транспортных средств. Практическое применение могут найти идеи частотного анализа и активного гашения колебаний в электромеханических системах.

Связь темы с планами отраслей науки. Тема исследования входит в тематический план НИР Восточно-Казахстанского государственного университета. Отдельные результаты вошли в научные отчеты по темам, координируемым АН Республики Казахстан.

Апробация результатов работы. Результаты исследований докладывались:

- на научной сессии отделения физико-математических наук АН РК (г. Алматы, 1993 г.),

- на научной конференции "Моделирование сложных систем" (г. Ташкент, 1991 г.),

- на школе-семинаре по механике и ее приложениям (г. Алматы, 1996 г.), -на I Республиканском съезде по теоретической и прикладной механике (г.

Алматы, 1996 г.),

- на Международной научно-практической конференции "Проблемы вы-чис

- лительной математики и информационных технологий" (г. Алматы , 1999 г.),

- на У Международной конференции " Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 1999 г.).

- на ХХУШ Летней школе « Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем. Актуальные проблемы механики» (С- Петербург (Репино), 2000 г.),

- на научной конференции, посвяпЛенной 80-летию Ю.И. Пеймарка (Нижний Новгород, 2000 г.),

- на научных семинарах по теоретической механике в КазГУ им. аль-Фараби (г. Алматы, 1999 г.), КазНТУ (г. Алматы, 1998 г.), ВКГУ (г. Усть-Каменогорск, 1998 и 1999 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 32 статьи и 8 тезисов докладов конференций и съездов /64-103/. В публикациях отражены основные результаты, вошедшие в каждый раздел диссертации.

Личный вклад автора во всех работах, опубликованных в соавторстве, состоит в постановке задач и участии в анализе полученных основных результатов.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, девяти разделов, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 193 страницы машинописного текста, содержит 27 иллюстраций, список использованных источников включает 131 название.

Заключение

Сформулируем основные результаты и выводы, полученные в диссертации, и дадим рекомендации по их применению.

1. Разработана общая теория электромагнитного воздействия на собственные поперечные колебания одномерных континуальных электропроводных систем при наличии замыкающей электрической цепи. Показано, что это воздействие носит избирательный характер по отношению к различным парциальным колебаниям. Во всех случаях получены условия отсутствия электромагнитного демпфирования колебаний, определены группы изолированных мод. Указаны пределы возможных значений числа Стюарта в вибрационных электромеханических системах.

2. Обосновано применение метода расщепления системы дифференциальных уравнений для исследуемых электромеханических систем. При помощи этого метода выявлен механизм перераспределения механической энергии между парциальными колебаниями.

3. Исследовано влияние внешнего магнитного поля на собственные формы колебаний одномерных электропроводных систем. Выявлен двухволно-вой характер колебательных процессов электромеханических систем. Установлено, что одна из амплитудных функций даже при максимальном значении числа Стюарта близка к неискаженной, а другая по масштабу существенно меньше первой.

4. При изучении собственных нелинейных колебаний электропроводной струны в магнитном поле, получено приближенное аналитическое решение, показывающее как влияет число Стюарта на диссипацию энергии колебаний основного тона.

5. Разработана общая теория электромагнитного возбуждения колебаний одномерных электропроводных систем. Показано, что особенностью этого воздействия является не полная адекватность преобразования электрического сигнала в механический вибрационный процесс. Получены условия, определяющие группу изолированных мод, не возбуждаемых электромагнитным способом при заданном распределении магнитного поля. Установлено, что в общем случае эти условия полностью совпадают с условиями отсутствия электромагнитного демпфирования. Рассчитаны амплитудные функции вынужденных колебаний, возбуждаемых электромагнитным способом, показано, что их две и они не описываются простыми гармоническими функциями. Разработанная теория объясняет дефекты акустических систем электромеханического типа и может применяться для их устранения.

6. Изучено влияние числа Стюарта на нелинейную амплитудно-частотную характеристику. Установлено, что при определенных его значениях «скачок» и «срыв» практически совпадают.

7. Изучены особенности электромагнитного воздействия на одномерные проводящие системы в магнитном поле, имеющем продольную неоднородность. Получены условия выделения изолированных мод.

8. Впервые сформулирована и решена задача о собственных и вынужденных колебаниях струны в магнитном поле, имеющем неоднородность в поперечном к струне направлении. Показано, что магнитная диссипация в этом случае обладает нелинейностью, а при наличии внешнего тока воздействие является не только силовым, но и параметрическим.

9. Показана принципиальная возможность параметрического возбуждения колебаний в одномерных электропроводных системах в нестационарном магнитном поле и разработана теория этого вопроса в одномодовом приближении.

10. При изучении колебаний струны с реактивными параметрами во внешней цепи в нестационарном магнитном поле обнаружено параметрическое воздействие на все коэффициенты механической системы: квазиинерционный, диссипативный и квазиупругий. Показателем этого воздействия является число Стюарта. Указано на возможность управления механическими свойствами электромеханической системы при помощи реактивных параметров.

11. Получены дифференциальные уравнения, описывающие колебания струны в неоднородном и нестационарном магнитном поле. Показано, что неоднородность магнитного поля можно использовать для обеспечения избирательности электромагнитного воздействия, а нестационарность - для выделения резонансным способом некоторых парциальных колебаний из группы испытывающих электромагнитное воздействие.

12. Изучено параметрическое воздействие на одномерные электропроводные системы в поперечном нестационарном магнитном поле с учетом магнитострикции. Составлены два типа дифференциальных уравнений, описывающих колебания ферромагнитной струны в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. На их основе в одномодовом приближении показано, что условия параметрического резонанса для них, в общем случае, различаются, следовательно, возможно параметрическое возбуждение колебаний только в одной плоскости.

13. На примере струны показано, что в магнитострикционных системах имеется принципиальная возможность физического устранения нелинейности. Найдены соответствующие условия для основного тона.

14. При исследовании собственных и вынужденных вибраций двумерных электропроводных систем - пластин в магнитном поле определены группы изолированных мод, не подвергающихся электромагнитному воздействию. Результаты, полученные при рассмотрении вибраций прямоугольной пластины со свободно опертыми краями и круглой пластины, закрепленной на периферии, хорошо согласуются с соответст

185 вующими результатами, полученными при исследовании одномерных систем.

15. Сформулирована и рассмотрена краевая задача о собственных колебаниях тяжелой вязкой электропроводной жидкости в магнитном поле при условии замыкания индуцированных токов. Обнаружены аналогии и различия в особенностях электромагнитного воздействия на колебания одномерных электропроводных систем и на колебания электропроводной жидкости в мелком канале с двумя вертикальными стенками.

16. На основе разработанной теории в диссертации предложен новый экспериментальный способ частотного анализа колебаний электропроводных систем и способ активного электромагнитного гашения собственных колебаний в них.

Анализ проблем, поставленных и изученных в диссертации, позволяет судить о возможностях и границах применимости управляющего электромагнитного воздействия на динамические процессы в электромеханических системах и может служить основой для практического применения.

Автор выражает искреннюю благодарность научному консультанту доктору физико-математических наук, профессору Тюреходжаеву А.Н. за ценные советы и дружескую поддержку.

1. Мартыненко Ю.Г. Движение твердого тела в электрических и магнитных полях. М.: Наука, 1988.- 368 с.

2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. - 620 с.

3. Сермонс Г. Я. Динамика твердых тел в электромагнитном поле. Рига: Зинатне, 1974.-248 с.

4. Голубков В. В. Момент сил в магнитном поле // Космические исследования. 1972.- Т. 10, № 1 . - С. 20 - 39.

5. Астахов В. И. К расчету силового воздействия магнитного поля на тела, несущие токи // Изв. вузов. Электромеханика. 1984. - № 10.- С.5 - 14.

6. Астахов В. И. Задача расчета квазистационарного электромагнитного поля в проводящих оболочках// Изв. вузов. Электромеханика. 1985.- №1. -С. 15-30.

7. Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1965. - 416 с.

8. Белецкий В. В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1975. - 308 с.

9. Белецкий В. В., Хентов А. А. Вращательное движение намагниченного спутника. М.: Наука, 1985. - 288 с.

10. Кобрин А.И. Асимптотическое решение задачи о движении твердого тела в магнитном поле // Дифференциальные уравнения 1985. - Т . 21, № 10. -С. 1808 - 1811.

11. Кобрин А.И. Момент сил, действующий на ротор гироскопа в магнитном поле // Межвузовск. сб. трудов. М.: Моск. энерг. ин-т. - № 80.- С. 106 - 110.

12. Кобрин А. И., Мартыненко Ю. Г. Динамика проводящего твердого тела в высокочастотном магнитном поле // Докл. АН СССР. 1980. - Т.255, № 5.-С. 1063 - 1065.

13. Кобрин А. И., Мартыненко Ю. Г. Движение проводящего твердого тела около центра масс в медленно изменяющемся магнитном поле // Докл. АН СССР. 1981. - Т. 261, № 5. - С. 1070 - 1073.

14. Линьков Р. В. Медленные движения проводящего волчка при резонансном взаимодействии с переменным магнитным полем // Жури. техн. физики.- 1980.-Т. 50, №6.-С. 1152- 1159.

15. Линьков Р. В. , Урман Ю. М. Силы и моменты, действующие на проводящую оболочку, вращаюгцуюся в магнитном поле // Журн. техн. физики. 1977. - Т. 47, № 5. - С. 889 - 896.

16. Линьков Р. В., Урман Ю. М. Быстрые вращения проводящего магнитного волчка в неоднородном переменном магнитном поле // Журн. техн. физики. 1978. - Т. 48, № 6. - С. 1123 - 1131.

17. Урман Ю.М., Комаров В.Н. Активное гашение нутаций ротора неконтактного гироскопа// Изв. вузов. Приборостроение. 1982. - Т. 25, № 12.- С.44-47.

18. Урман Ю.М., Комаров В.Н. О влиянии неконтактного подвеса на движение гироскопа // Прикладная механика. 1986. - Т. 22, № 10.- С. 109-114.

19. Мартыненко Ю. Г. Движение проводящего твердого тела около неподвижной точки в магнитном поле // Изв. АН СССР. МТТ.-1977.- № 4.-С.36 45.

20. Мартыненко Ю. Г. Аналитическая динамика электромеханических систем. Моск. энерг. ин.-т, 1984. - 64 с.

21. Поливанов К. М. Электродинамика движущихся тел. М.: Энергоиздат, 1982.- 192 с.

22. Рябов А. Б. Определение главного вектора и главного момента сил, действующих на сверх проводящее тело в магнитном поле // Изв. АН СССР. МТТ.- 1 969.-№6.-С. 34- 37.

23. Самсонов В. А. О вращении тела в магнитном поле // Изв. АН СССР. МТТ. 1984.-№ 4.-С. 32 - 34.

24. Богоявленский О.И. Новые интегрируемые случаи динамики твердого тела в силовом поле // Докл. АН ССР. 1984 -Т. 275, № 6. - С. 1359 - 1363.

25. Алдошина И.А. Электродинамические громкоговорители. М.: Радио и связь, 1989.- 272 с.

26. Алдошина И.А., Войшвилло А.Г. Высококачественные акустические системы и излучатели. М.: Радио и связь, 1985. - 165 с.

27. Пондемоторное действие электромагнитного поля (Теория и приложения). Под ред. Валитова Р. А. М.: Сов. радио.- 1975.- 226 с.

28. A.c. № 777490 СССР. Струнный датчик// Привалов В.Д., Козин М.П., Левин М.Н., Ляпидов B.C. Офиц. бюллетень ГК СССР по делам изобр. и откр.- 1980.- №41 : С . 179.

29. А. с. № 1464051. Магнитоупругий преобразователь силы// Агабеков М.Г., Гершуни А. А. Офиц. бюл. ГК СССР по делам изобр. и откр. 1980 -№41гС. 180.

30. Саркисян С. О. Задача о вибродиагностике тонкой упругой проводящей цилиндрической оболочки с использованием метода магнитоупругости // Научно-технический прогресс в машиностроении (Москва). 1989.- № 17. С. 81 -90.

31. Варданян Л. В. Колебания двух параллельных электропроводящих прямоугольных пластин в продольном магнитном поле // Изв. АН Арм. ССР. Мех. 1988. - Т.41, № 4. - С. 19 -25.

32. Багдасарян Г. Е., Даноян Э. А. Математическое моделирование колебаний двухслойных магнитострикционных пластин // Изв. РАН. МТТ. 1992. -№3. С. 87-94.

33. Багдасарян Г. Е., Саноян А. А. Параметрические колебания проводящей цилиндрической оболочки, обусловленные нестационарным магнитным полем // Прикладная математика (Ереван). 1988.- № 7. - С. 48 - 57.

34. Багдасарян Г. Е., Пилипосян Г. Т. Математическое моделирование и исследование колебаний сверхпроводящей прямоугольной пластинки в нестационарном магнитном поле // Изв. АН Армении. Мех. 1993. - Т. 46, №1-2.-0.5-13.

35. Амбарцумян СЛ., Белубекян М.В., Минасян М. М. Осесимметричные колебания нелинейно-упругой цилиндрической оболочки в продольном магнитном поле // Изв. АН Армении. Мех. 1995. - Т.48, № 2. - С. 3 - 12.

36. Багдасарян Г.Е., Пилипосян Г. Т. Исследование магнитоупругой устойчивости сверхпроводящей пластинки на основе численного решения внешней задачи Неймана // Изв. АН Армении. Мех. 1995 - Т.48, № 2 . -С. 13 - 26.

37. Саркисян А. В. О распространении волн в нелинейно-упругой анизотропной цилиндрической оболочке в продольном магнитном поле // Меж-дунар. н.-т. конф. "Инж.-физ. пробл. авиации и косм, техники". Егорьевск, 1995.-Тез. докл. С. 109.

38. Саркисян А.В. Волны модуляции ортотропной цилиндрической оболочки, расположенной в магнитном поле // 4 Междунар. совещ.-сем. "Инж. -физ. пробл. новой техники".: Тез. докл. М., 1996. - С. 100 - 101.

39. Казарян К. Б. Низкочастотные колебания упругой токонесущей пластинки // 4 Междунар. совещ.-сем. "Инж. физ. пробл. новой техники".: Тез. докл.-М., 1996.-С. 118.

40. Белоконь А. В., Наседкин А. В. О некоторых свойствах собственных частот электроупругих тел ограниченных размеров // ПММ. 1996 - Т. 60, № 1 .-С. 151 - 158.

41. Скубов Д. Ю., Ходжаев К. Ш. Системы с магнитоэлектрическими гасителями колебаний // Изв. АН. Мех. тв. тела. 1996. - № 2. - С. 64 - 74.

42. Попов А. Н. Загадки теории динамики электромеханических систем с упругими связями // Автоматиз. и соврем технол. 1996. - № 2 .- С. 23 - 24.

43. Мольченко Л. В., Лоос И. П., Индиаминов Р. Ш. Нелинейное демпфирование конической оболочки, находящейся в магнитном поле // Прикл. мех. (Киев).- 1997. Т. 33, № 3. - С. 58 - 63.

44. Карнаухов В. Г., Сенченков И. К., Михайленко В. В. Резонансные колебания осесимметричной электромеханической системы с автоподстройкой частоты // Прикладная механика (Киев). 1995. - Т. 31, № :. - С. 57 -63.

45. Можен Ж. Механика электромагнитных сплошных сред. М.: Мир, 1991.-560 с.

46. Lu Xiaobo, Tao Yungang, He Yanwei. Active vibration control of a cantilever beam using piezoelectric sensors and actuators // Trans. Nanjing Univ. Aeron. and Astron. 1997. - T. 14, № 3. - C. 67 - 72.

47. Mizuno Takeshi, Araki Kenji. Active dynamic vibration absorber with automatic frequency- tracking performance // Nihon kikai gakkai ronbunshu. C. Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. 1997. - T. 63, № 612. - C. 2616 - 2621.

48. Yang S. M., Jeng C. A. Structural vibration suppression by concurrent piezoelectric sensor and aktuator // Smart Mater, and Struct. 1996.- T. 5, №6. -C. 806- 813.

49. Pietzakowski Marek. Dynamik model of beam piezoceramic aktuator coupling for active vibration control //Mech. teor. i stosow. -1997. - T. 35, № 1. - C. 3 - 20.

50. Smyser С. P., Chandrachekhara К. Robust vibration control of composite beams using piezoelectric devices and neural networks // Smart Mat. and Struct. 1997. - T.6, № 2 . - C. 178 - 189.

51. Sun Dongchang, Wang Dajun, Xu Z. L. Distributed piezoelectric segmtnt method for vibration control of smart beans // AIAA Jomal. 1997. - T. 35, № 3-е. 583 - 584.

52. Фомин В. Н. Математическая теория параметрического резонанса в линейных распределенных системах. Л.: Изд-во ЛГУ. - 1972. - 238 с.

53. Шмидт Г. Параметрические колебания. М.: Мир. - 1978.- 336 с.

54. Весницкий А. И., Потапов А. И.Теория колебаний распределенных параметрических систем : Учебное пособие. Ч. 1.- Горький : Изд-во ГГУ. -1977.- 67 с.

55. Весницкий А. П., Потапов А. И.Теория колебаний распределенных параметрических систем : Учебное пособие. Ч. 2.- Горький : Изд-во ГГУ. -1980.- 87 с.

56. Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распределенными параметрами. АН СССР. Сиб. отд. Иркут. ВЦ. - Новосибирск: Наука Сиб. отд. -1987. - 229 с.

57. Чечурин С. Л. Параметрические колебания и устойчивость периодического движения. Л.: Изд-во ЛГУ. - 1983. - 219 с.

58. Нагаев Р. Ф., Ходжаев К. Ш. Колебания механических систем с периодической структурой. Ташкент: Фан. - 1973. - 269 с.

59. Jones Lowell Dale, Garcia Ephrahim. Self-sensing magnetostrictive actuator for vibration suppression // J. Cuid., Contr. and Dyn. 1996. - T. 19, № 3. - C. 713-715.

60. Несис C.E., Кармацкий Н.П., Борисов E.B. Экспериментальное исследование параметрического возбуждения поперечных колебаний горизонтальной струны электротермическими модуляциями// Вестник Ставропольского гос. ун-та.- 1996.- № 7.-С.76-78.

61. Потапов А.И., Романов Н.Д., Севостьянов А.С. Экспериментальные исследования нелинейных колебаний токонесущих тел // Тез. докл. Y Меж-дунар. конф. "Нелинейные колебания механических систем". Н. Новгород, 1999.-С. 186- 187.

62. Потапов А.И., Ступнин В.В. Термопараметрическое возбуждение нелинейных колебаний струны // ПМТФ, 1985. № 5.- С. 142- 146.

63. Кадинская И.А., Потапов А.И. Термопараметрическая дестабилизация токонесущего стержня// Прикл. механика. 1988. Т. 24. № 12. - С. 100-104.

64. Томилин А.К. О магнитном демпфировании и возбуждении упругих колебаний проводящей балки // Изв. АН КазССР, Сер. физ.-мат. 1991, № 5.- С. 84-87.

65. Томилин А.К. Колебания упругих проводящих систем с распределенными параметрами в магнитном поле // Материалы научн. сессии отд. физ.-мат. наук АН РК.- Алматы, 1993. С. 136-139.

66. Томилин А.К. О магнитном демпфировании четных форм колебаний в системах с распределенными параметрами // Вестник КазГУ, сер. матем. -1993.-С. 60-65.

67. Томилин А.К. Поперечные колебания проводящего упругого стержня в магнитном поле // Изв. ПАП РК. Сер. физ.-мат. 1995. № 1.- С. 76-80.

68. Томилин А. К. О собственных формах колебаний проводящих систем с распределенными параметрами во внешнем магнитном поле // Изв. ЬТАН РК. Сер. физ.-мат. 1995, № 5. - С. 74-80.

69. Томилин А.К. Поперечные колебания проводящей балки в магнитном поле // Тез докл. научн. конф. "Моделирование сложных систем": Ташкент, 1991. С. 21-22.

70. Томилин А.К. Общая задача о колебаниях одномерных континуальных проводящих систем в магнитном поле // Изв. МН-АН РК. Сер. физ.-мат. -1996, № 5 . С . 80-85.

71. Tomilin А. К. Nonlinear vibrations of electroconductive string in magnetic field// Труды ХХПХ летней школы «Актуальные проблемы механики», т. 1.: С- Петербург, 2001. С. 334-341.

72. Томилин А.К. Нелинейные колебания электропроводной струны в магнитном поле// Региональный вестник Востока. 2000, № 4. - С. 32-41.

73. Томилин А.К. Нелинейный резонанс при электромагнитном возбуждении колебаний проводящей струны// Вестник КазНТУ. 1995, № 3. - С. 28-31.

74. Томилин А. К. Об электромагнитном возбуждении вибраций в проводящих континуальных системах вблизи резонанса // Вестник КазГУ. Сер. физ.-мат. Алматы, 1995. - №2.- С. 88-96.

75. Томилин А.К., Половин В. М. Колебания упругих проводящих континуальных систем в неоднородном магнитном поле // Некоторые проблемы теоретич. и эксперим. физики, матем. и их приложения.: Сб. научн. тр. -Усть-Каменогорск. 1995. - С. 64-69.

76. Томилин А. К., Мамырбаева И. К. О влиянии магнитного поля на двух-волновые процессы континуальных колебательных систем // Тез. докл. шк.-сем. по механике и ее приложениям. Алматы, 1996.- С. 78.

77. Томилин А. К., Мамырбаева И.К. О магнитном демпфировании двух-волновых процессом континуальных систем // Материалы I Респ. съезда по теоретич. и прикл. мех.- Алматы, 1996. С. 34.

78. Томилин А. К., Мамырбаева И.К. Колебания струны с неклассическими фаничными условиями // Вестник КазНТУ.- 1996, № 1. С. 24 - 30.

79. Томилин А. К., Мамырбаева И. К. О влиянии магнитного поля на двух-волновые процессы континуальных колебательных систем // Вестник КазГУ. Сер. матем., механика, информат. Алматы, 1997.- С. 104 - 111.

80. Мамырбаева И.К., Томилин А.К. Колебания струны с неклассическими граничными условиями в неоднородном магнитном поле // Совр. научн.-техн. проблемы в авиации. : Сб. научн. тр. АГА. Вып. 1. - Алматы, 1998. -С. 66 -70.

81. Томилин А. К. Исследование вибраций континуальных электромеханических систем // Материалы I Респ. съезда по теоретич. и прикл. мех. Ал-маты, 1996. - С. 44.

82. Tomilin А. К. Nonlinear electromagnetic influence on vibrations of electroconductive string// Доклады AH PK, 2000, №2.- C. 18-23.

83. Томилин А.К. Колебания упругой проводящей струны в нестационарном магнитном поле // Теоретич. и метод, аспекты подгот. спец. в условиях университета. Усть-Каменогорск. - Изд. ВКГУ, 1996. - С. 320 - 324.

84. Томилин А. К. Параметрические колебания проводящих систем в нестационарном магнитном поле // Тез. докл. шк.-сем. по механике и ее приложениям. Алматы, 1996. - С. 106.

85. Томилин А. К., Афанасьева И.С. Параметрические колебания континуальных проводящих систем в нестационарном магнитном поле // Вестник КазГУ. Сер. матем., механика, информат. Алматы, 1997.- С. 163- 169.

86. Томилин А.К., Афанасьева И.С. Исследование трехмерных параметрических систем вибрационного типа // Региональный вестник Востока. / Научный журнал. Усть-Каменогорск, 1999. - № 3 - С. 22-29.

87. Томилин А. К. Колебания упругих проводящих континуальных систем в нестационарном магнитном поле// Изв. МН-АН РК. Сер. физ.-мат. 1996, №3.-С. 85-89.

88. Афанасьева И.С, Томилин А.К. О построении диаграмм устойчивости некоторых параметрических систем // Совр. научн.-техн. проблемы в авиации. : Сб. научн. тр. АГА. Вып. 1. - Алматы, 1998. -С. 40-48.

89. Курильская Н.Ф., Томилин А.К. Колебания проводящей струны в нестационарном неоднородном магнитном поле // Совр. научн.-техн. проблемы в авиации. : Сб. научн. тр. АГА. Вып. 1. - Алматы, 1998. - С. 61-66.

90. Томилин А.К. Общая задача о колебаниях проводящих континуальных систем в нестационарном магнитном поле //Региональный вестник Востока. / Научный журнал. Усть-Каменогорск, 1999. -№ 1 (1). - С. 110-117.

91. Томилин А.К. Параметрические колебания электромеханических систем// Тез. докл. Y Междунар. конф. "Нелинейные колебания механических систем". Н. Новгород, 1999. - С. 213-214.

92. Томилин А.К., Никитин Е.А. Параметрические колебания континуальных проводящих систем с учетом магнитострикции // Теоретич. и метод, аспекты подгот. спец. в усл. университета. Усть-Каменогорск. - Изд. ВКГУ, 1996.-С. 324-328.

93. Томилин А. К. О параметрических колебаниях ферромагнитной струны с учетом магнитострикции // Вестник КазНТУ.- 1995, № 4. С. 72-77.

94. Томилин А. К. Собственные вибрации проводящих пластин в магнитном поле. Вестник КазГУ. Сер. матем. мех., информ.- Алматы, 1998, № 11.-С. 200-206.

95. Томилин А.К. Собственные вибрации круглой пластины в стационарном магнитном поле // Вестник КазГУ. Сер. матем. мех., информ. Алматы, 1998, № 13.-С. 196-201.

96. Томилин А.К. Влияние магнитного поля на волновые движения вязкой проводящей жидкости// Соврем, пробл. матем., мех., физики. Сб научн. тр. - Усть-Каменогорск, 1994. - С.82- 88.

97. Томилин А.К. Колебания слабовязкой электропроводной жидкости в магнитном поле// Мат. между нар. научно-прак. конф. "Проблемы вычисл. матем. и информ. технологий". Алматы, 25-26 марта 1999. - С. 359-360.

98. Диденко Ю.А., Сапа В.А., Томилин А.К. О кондукционном вращении деформируемой проводящей среды // "Динамика твердого тела". Сб. научн. тр. Алма-Ата, 1991. С. 10-17.

99. Шустова Е.В., Томилин А.К. Динамическое уравновешивание систем переменного состава с жидким наполнением// Изв. ПАН РК. Сер. физ.-мат. 1995, № 1. С. 70-75.

100. Томилин А. К. Колебания вязкой электропроводной жидкости в неоднородном магнитном поле// Региональный вестник Востока./ Научный журнал. Усть-Каменогорск, 2000 . - № 1 - С. 49 - 56.

101. Тюреходжаев А.Н., Томилин А.К. Активное электромагнитное гашение собственных колебаний проводящих одномерных систем // Вестник КазНТУ. Алматы, 1998. - № 1-2 . - С. 3- 6.

102. Томилин А.К. Колебания электропроводных систем с распределенными параметрами в магнитном поле// Тез. докл конф. «Выч. матем. и кибернетика», поев. 80-летию Ю.И. Неймарка. П. Новгород, 2000.- С.32.

103. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. М.: Высш. школа. -1980.-408 с.

104. Бабаков И.М. Теория колебаний .- М.: Наука, 1968. 560 с.

105. Гамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука. - 1976.- 616 с.

106. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука. - 1982. - 620 с.

107. Василенко Н.В. Теория колебаний. -Киев: Наукова думка.- 1992. 430 с.

108. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. -М.: Наука.-1976.-320 с.

109. ПО. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. М.: Учпедгиз.- 1960. -396 с.

110. Блэкьер О. Анализ нелинейных систем. М.: Мир. - 1969.- 341 с.

111. Гуляев В.И., Баженов В.А., Попов СЛ. Прикладные задачи теории нелинейных механических колебаний. М.: Высш. шк., -1989. - 383 с.

112. Яблонский А. А., Норейко С.С Курс теории колебаний. М.: Высш. школа. - 1975. - 248 с.

113. Левитский Н. И. Колебания в механизмах. М.: Наука. - 1988. - 336 с.

114. Горошко О.А., Демьяненко А.Г., Киба С. П. Двохвильов! процеси в ме-хашчних системах. Киев: Либщь. - 1991. - 188 с.

115. Горошко О.А., Демьяненко А. Г. О двухволновом представлении решения дифференциальных уравнений, описывающих динамику некоторых конструкций с подвижной нагрузкой// Укр. мат. журн. 1974. Т. 26, № 5. -С. 648 -651.

116. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний . М.: Наука. - 1971.- 240 с.

117. Пановко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих систем . М.: Наука. - 1987. - 352 с.

118. Магнус К. Колебания. М.: Мир, - 1982 . - 304 с.

119. Светлицкий В.А. Механика стержней. Ч. П. Динамика. М.: Высш. школа.- 1987.- 304 с.

120. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука. - 1976. - 576 с.

121. Белов К.П. Упругие, тепловые и электрические явления в ферромагнитных металлах. М.-Л., 1951.- 254 с.

122. Мишин Д. Д. Магнитные материалы. М. : Высшая школа.-1991.- 383 с.

123. Кринчик Г.С. Физика магнитных явлений. М.: Изд. МГУ.- 1985.- 336 с.

124. Грабовский М.А. Колебания и волны. Лекционные демонстрации по физике № 7.-м.: ГТТЛ.- 1952. 231 с.

125. Данов К. Д., Рудерман М.С. Нелинейные волны на мелкой воде в присутствии горизонтального магнитного поля // Изв. Ан ССР. МЖГ. 1983, №5.-С. 110-115.

126. Hofman М. Nonlinear waves on free surface of an electrically conducting liquid// Wave Motion. 1983. - 5, №2. 115 - 124.

127. Bhimsen K. Shivamoggi A variational principle for surface waves in magnetohydrodynamics//Quarterly of applied mathematics. -1983 April, 31-33.

128. Моисеев H. H., Румянцев В. В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука, 1965. - 439 с.

129. Брановер Г. Г., Цинобер А. Б. Магнитная гидродинамика несжимаемых сред .- М.: Наука, 1970. 412 с.

130. Новиков И.И. Прикладная магнитная гидродинамика. М.: Атомиздат, 1969.-314 с.